View
6.306
Download
23
Category
Preview:
Citation preview
คมอประกอบสอการสอน วชาคณตศาสตร
เรอง
ตรโกณมต (เนอหาตอนท 4)
ฟงกชนตรโกณมต 2
โดย
รองศาสตราจารย จตรจวบ เปาอนทร
สอการสอนชดน เปนความรวมมอระหวาง คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย กบ
ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน (สพฐ.) กระทรวงศกษาธการ
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
1
สอการสอน เรอง ตรโกณมต สอการสอน เรอง ตรโกณมต มจ านวนตอนทงหมดรวม 15 ตอน ซงประกอบดวย
1. บทน า เรอง ตรโกณมต 2. เนอหาตอนท 1 อตราสวนตรโกณมต
- สมบตของรปสามเหลยมมมฉากและทฤษฎบทพทาโกรส - อตราสวนตรโกณมต - อตราสวนตรโกณมตของมม 30 45 และ 60
3. เนอหาตอนท 2 เอกลกษณของอตราสวนตรโกณมตและวงกลมหนงหนวย - เอกลกษณของอตราสวนตรโกณมต - วงกลมหนงหนวย การวดมม และหนวยของมม
4. เนอหาตอนท 3 ฟงกชนตรโกณมต 1 - ฟงกชนตรโกณมตของคาจรงและของมม - คาฟงกชนตรโกณมตของมม 30 45 และ 60
5. เนอหาตอนท 4 ฟงกชนตรโกณมต 2 - ความแตกตางและความสมพนธของอตราสวนตรโกณมต กบฟงกชนตรโกณมต - คาฟงกชนตรโกณมตของมมในจตภาคตาง ๆ
6. เนอหาตอนท 5 ฟงกชนตรโกณมต 3 - คาฟงกชนตรโกณมตของผลบวก และผลตางของมม - สตรผลคณ ผลบวก และผลตางของฟงกชนตรโกณมต
7. เนอหาตอนท 6 กฎของไซนและกฎของโคไซน - กฎของไซน - กฎของโคไซน
8. เนอหาตอนท 7 กราฟของฟงกชนตรโกณมต - การเปดตารางหาคาฟงกชนตรโกณมต - กราฟของฟงกชนตรโกณมต
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
2
9. เนอหาตอนท 8 ฟงกชนตรโกณมตผกผน
- ฟงกชนตรโกณมตผกผน - สมบตและความสมพนธของฟงกชนตรโกณมตผกผน
8. แบบฝกหด (พนฐาน 1) 9. แบบฝกหด (พนฐาน 2) 10. แบบฝกหด (พนฐาน 3) 11. แบบฝกหด (พนฐาน 4) 12. แบบฝกหด (ขนสง) 13. สอปฏสมพนธ เรอง มมบนวงกลมหนงหนวย 14. สอปฏสมพนธ เรอง กราฟของฟงกชนตรโกณมตและฟงกชนตรโกณมตผกผน 15. สอปฏสมพนธ เรอง กฎของไซนและกฎของโคไซน
คณะผจดท าหวงเปนอยางยงวา สอการสอนชดนจะเปนประโยชนตอการเรยนการสอนส าหรบคร และนกเรยนทกโรงเรยนทใชสอชดนรวมกบการเรยนการสอนวชาคณตศาสตร เรอง ตรโกณมต นอกจากนหากทานสนใจสอการสอนวชาคณตศาสตรในเรองอน ๆ ทคณะผจดท าไดด าเนนการไปแลว ทานสามารถดชอเรอง และชอตอนไดจากรายชอสอการสอนวชาคณตศาสตรทงหมดในตอนทายของคมอฉบบน
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
3
เรอง ตรโกณมต (ฟงกชนตรโกณมต 2) หมวด เนอหา ตอนท 4 (4 / 8) หวขอยอย 1. ความแตกตางและความสมพนธของอตราสวนตรโกณมตกบฟงกชนตรโกณมต 2. คาฟงกชนตรโกณมตของมมในจตภาคตาง ๆ จดประสงคการเรยนร เพอใหผเรยน 1. อธบายความแตกตางและความสมพนธของอตราสวนตรโกณมตกบฟงกชนตรโกณมตได 2. น าความสมพนธของอตราสวนตรโกณมตกบฟงกชนตรโกณมตไปใชประโยชนได 3. เขาใจความสมพนธของคาฟงกชนตรโกณมตของมมในจตภาคท 1 กบคาฟงกชนตรโกณมต ของมมในจตภาคอน ๆ 4. สามารถหาคาฟงกชนตรโกณมตของมมบางมมในจตภาคท 2, 3 และ 4 ได ผลการเรยนร ผเรยนสามารถ 1. หาคาฟงกชนตรโกณมตของมมแหลมโดยใชอตราสวนตรโกณมต 2. หาอตราสวนตรโกณมตไดจากคาฟงกชนตรโกณมต 3. หาคาฟงกชนตรโกณมตของมมบางมมในจตภาคท 2, 3 และ 4 ได
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
4
เนอหาในสอการสอน
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
5
เนอหาทงหมด
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
6
1. ความแตกตางและความสมพนธ ของอตราสวนตรโกณมต กบฟงกชนตรโกณมต
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
7
1. ความแตกตางและความสมพนธของ อตราสวนตรโกณมตกบฟงกชนตรโกณมต
หลงจากทนกเรยนไดเรยนอตราสวนตรโกณมตในตอนท 1 และเรยนฟงกชนตรโกณมตในตอนท 3
แลวนน เมอพจารณาชอทเหมอนกนของอตราสวนและฟงกชน เรองทควรสนใจตอไปกนาจะเปนความสมพนธ
ของอตราสวนตรโกณมตกบฟงกชนตรโกณมต แตกอนอนกตองกลบไปทบทวนบทนยามของทงอตราสวน
ตรโกณมตและฟงกชนตรโกณมตกน แลวจะไดเหนถงความแตกตาง ซงถกก าหนดไวตงแตเรมตน ดงน
และยงไปกวานนจะไดดวยวา
0 < sin A < 1 , 0 < cos A < 1
1 < cosec A , 1 < sec A โดยท A เปนมมแหลม
0 < tan A , 0 < cot A
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
8
นนคอ –1 sin () 1 , –1 cos() 1 ทก
และ 1 cosec () หรอ cosec() –1 เมอ n , n
1 sec () หรอ sec() –1 เมอ (2n 1)
2
, n
สวน tan() ไมจ ากดคา เมอ n , n
และ cot() ไมจ ากดคา เมอ (2n 1)
2
, n
เมอนกเรยนเหนความแตกตางของอตราสวนตรโกณมตกบฟงกชนตรโกณมตแลว ลองมาพจารณาตอไปวา
มสวนรวมกนหรอไม ?
มม (หนวยเปนเรเดยน) ในเรองอตราสวนตรโกณมต จะมคาไดเพยงในชวง (0, 1) ซงเปนเซตยอย
ของโดเมนของฟงกชนตรโกณมต และถาจ ากดโดเมนของฟงกชนตรโกณมตลงใหเหลอเพยงชวง (0, 1) เทานน
แลวอตราสวนตรโกณมตจะสมพนธกบฟงกชนตรโกณมตอยางไร?
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
9
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
10
ตอไปเปนตวอยางทแสดงใหเหนวาคาฟงกชนตรโกณมต หาไดจากอตราสวนตรโกณมต
และตอไปเปนตวอยางทแสดงใหเหนวาอตราสวนตรโกณมตของมมบางมมทไมไดก าหนดคาไว
นกเรยนสามารถใชฟงกชนตรโกณมต ซงมตารางแสดงคาก าหนดไวแลว แทนได
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
11
เพมเตมตวอยาง
ตวอยาง ABC เปนรปสามเหลยมมมฉากทม B
เปนมมฉาก ถาดาน BC ยาว 5 หนวย
และ A
มคา 51
360
เรเดยน จงหาความยาว AB และ AC
วธท า
เลอกอตราสวนตรโกณมตของมม A ทมคา a ปรากฏอย
sin A = a
b ดงนน b = a
sin A
tan A = a
c ดงนน c = a
tan A
จากตารางคาฟงกชนตรโกณมต (จะไดเรยนในตอนท 7)
sin A = sin51
360
= sin 2530 0.4305
tan A = tan51
360
= tan 2530 0.4770
ฉะนน b 5
0.4305 11.6144
และ c 5
0.4770 10.4822
สรปไดวา AB ยาวประมาณ 10.4822 หนวย
AC ยาวประมาณ 11.6144 หนวย
C
b = ? a = 5
A B c = ?
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
12
แบบฝกหดเพมเตม
เรอง
ความแตกตางและความสมพนธของอตราสวนตรโกณมตกบฟงกชนตรโกณมต
1. ถามม A เปนมมแหลม จงหาคาฟงกชนตรโกณมตของมม A เมอก าหนด
1.1 cos A = 2
3 1.2 tan A = 1
7
1.3 sin A = 12
13 1.4 sec A = 5
2
1.5 cosec A = 6
2 1.6 cot A = 3
1.7 sin A = x 1.8 cos A = x
2. ABC เปนรปสามเหลยมมมฉากทม B
เปนมมฉาก ถาก าหนดความยาวดานและมมตอไปน
จงหาความยาวดานทเหลอ
2.1 ดานตรงขามมมฉากยาว 5 หนวย A
มคา 9
เรเดยน
2.2 ดานประชดมม A ยาว 5 หนวย A
มคา 50
2.3 ดานตรงขามมม A ยาว 4 หนวย A
มคา 2
5
เรเดยน
พรอมทงก าหนดตารางคาฟงกชนตรโกณมตบางสวน มาใหดงน
20 0.3420 0.9397 0.3640
50 0.7660 0.6428 1.1918
72 0.9511 0.3090 3.0777
sin() cos() tan()
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
13
2. คาฟงกชนตรโกณมตของมมในจตภาคตาง ๆ
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
14
2. คาฟงกชนตรโกณมตของมมในจตภาคตาง ๆ กอนอน ๆ มาท าความรจก จตภาคตาง ๆ ของระนาบ XY กน
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
15
มมทกลาวถงตอไปตองเปนมมในต าแหนงมาตรฐาน ซงมหนวยเปนองศากได หรอมหนวยเปนเรเดยน
กได แตถาหนวยของมมเปนเรเดยน เราสามารถมองเปนคาจรงซงไดจากวงกลมหนงหนวย
ตวอยาง 1. พจารณามม 50
เนองจาก 0 < 50 < 90 ดงนนมม 50 อยในจตภาคท 1
2. พจารณามม 7
3
เรเดยน
เนองจาก 2 < 7
3
< 2 + 3
ดงนนมม 7
3
อยในจตภาคท 1
3. พจารณามม –700
เนองจาก –720 < –700 < –720 + 90 ดงนนมม –700 อยในจตภาคท 1
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
16
ตวอยาง 1. พจารณามม 160
เนองจาก 90 < 160 < 180 ดงนนมม 160 อยในจตภาคท 2
2. พจารณามม 4
5
เรเดยน
เนองจาก 2
< 4
5
< ดงนนมม 4
5
อยในจตภาคท 2
ตวอยาง 1. พจารณามม 87
เรเดยน
เนองจาก < 8
7
< 3
2
ดงนนมม 87
อยในจตภาคท 3
2. พจารณามม 550
เนองจาก 360 + 180 < 550 < 360 + 270 ดงนนมม 550 อยในจตภาคท 3
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
17
ตวอยาง 1. พจารณามม 350
เนองจาก 270 < 350 < 360 ดงนนมม 350 อยในจตภาคท 4
2. พจารณามม 5
เรเดยน
เนองจาก –2 + 3
2
= –2
< –5
< –2 + 2 ดงนนมม –5
อยในจตภาคท 4
เหตจงใจทชวนใหศกษาเรองความสมพนธของคาฟงกชนตรโกณมตของมมในจตภาคท 1
กบคาฟงกชนตรโกณมตของมมในจตภาคอน ๆ คอ
เนองจากตอนท 3 เราหาคาฟงกชนตรโกณมตของมมบางมม (30 45 และ 60) ไดแลว
ถานกเรยนหาความสมพนธของมมเหลานซงอยในจตภาคท 1 กบมมในจตภาคอน ๆ (จตภาคท 2, 3 และ 4)
แลวนกเรยนจะสามารถหาคาฟงกชนตรโกณมตของมมบางมมในจตภาคใด ๆ ได ซงในตอนแรกนฟงกชน
ตรโกณมตทจะกลาวถงกอน คอ ฟงกชนไซนและฟงกชนโคไซน
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
18
เราเรมจากการหาความสมพนธของคาฟงกชนตรโกณมตของมมในจตภาคท 1 กบมมในจตภาคท 2
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
19
ตอไปเปนความสมพนธของคาฟงกชนตรโกณมตของมมในจตภาคท 1 กบมมในจตภาคท 3
และสดทายเราหาความสมพนธของคาฟงกชนตรโกณมตของมมในจตภาคท 1 กบมมในจตภาคท 4
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
20
เราสามารถสรปความสมพนธของคาฟงกชนตรโกณมตของมมในจตภาคท 2, 3, และ 4 กบคาฟงกชน
ตรโกณมตของมมในจตภาคท 1 และในทางกลบกน จากคาฟงกชนตรโกณมตของมมในจตภาคท 1
สามารถหาคาฟงกชนตรโกณมตของมมในจตภาคท 2, 3 และ 4 ทมความสมพนธกนได
และตอไปเมอนกเรยนไดเรยนตรโกณมตตอนท 5 ซงกลาวถง คาฟงกชนตรโกณมตของผลบวกและผลตาง
ของมมใด ๆ จะท าใหไดสตร sin ( – ) = sin cos ( – ) = – cos
sin ( + ) = – sin cos ( + ) = – cos เมอ
sin (2 – ) = – sin cos (2 – ) = cos
นกเรยนสามารถจ าเครองหมายของคาฟงกชนไซนและคาฟงกชนโคไซนของมมในจตภาคตาง ๆ ดงน
sin cos
X
Y
X
Y
0 0
+
+ + +
– –
–
–
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
21
และสรปไดดวยวา sin ( – ) = sin และ sin ( + ) = sin(2 – )
cos ( – ) = sin ( + ) และ cos (2 – ) = cos
นนคอ ถาพจารณามมในชวง [0, 2] จะมมม 2 มมทใหคา sin เทากน
และมมม 2 มมทใหคา cos เทากน
ส าหรบฟงกชนตรโกณมตอน ๆ
tan ( – ) = – tan cot ( – ) = – cot
tan ( + ) = tan เมอ n, cot ( + ) = cot เมอ (2n 1)
2
,
tan (2 – ) = – tan n cot (2 – ) = – cot n cosec ( – ) = cosec sec ( – ) = – sec
cosec ( + ) = – cosec เมอ (2n 1)
2
, sec ( + ) = – sec เมอ n,
cosec (2 – ) = – cosec n sec (2 – ) = sec n
และสามารถจ าเครองหมายของคาฟงกชนตรโกณมตของมมในจตภาคตาง ๆ ดงน
ประโยชนของความสมพนธของคาฟงกชนตรโกณมตของมมในจตภาคตาง ๆ
1. สามารถหาคาฟงกชนตรโกณมตของมมบางมมในจตภาคท 2, 3 และ 4 ได
2. ถาก าหนดคาฟงกชนตรโกณมตของมมในชวง 0,2
ใหแลว สามารถหาคาฟงกชนตรโกณมต
ของมมใด ๆ ได ซงท าใหเขยนกราฟของฟงกชนไซนและฟงกชนโคไซนได
เมอ
tan และ cot sin และ cosec cos และ sec
0 0 0
– +
+ –
+ +
– – +
+ –
–
X
Y
X
Y Y
X
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
22
ใหนกเรยนลองเขยนกราฟ y = sin x2
, x
จะเหนวากราฟนเหมอนกราฟ y = cos x , x
นนคอ , x
และถานกเรยนลองเขยนกราฟ y = cos x2
, x
จะเหนวากราฟนเหมอนกราฟ y = sin x , x
นนคอ , x
sin x2
= cos x
cos x2
= sin x
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
23
ตวอยางการใชความสมพนธของคาฟงกชนตรโกณมตของมมในจตภาคท 1 กบคาฟงกชนตรโกณมต
ของมมในจตภาคอน ๆ
เพมเตมตวอยาง
ตวอยาง จงหาคาฟงกชนตรโกณมตตอไปน
1. sin 3
4
และ cos
3
4
วธท า 3
4
= – 4
ดงนน sin
3
4
= sin4
= 2
2
และ cos 3
4
= – cos4
= – 2
2
2. sin 29
6
และ cos
29
6
วธท า 29
6
= 4 + 5
6
= 4 +
6
ดงนน
sin 29
6
= sin5
6
= sin6
= 1
2 และ
cos 29
6
= cos5
6
= – cos6
= –3
2
3. sin 585 และ cos 585
วธท า 585 = 360 + 225 = 360 + (180 + 45) ดงนน
sin 585 = sin 225 = – sin 45 = 2
2 และ
cos 585 = cos 225 = – cos 45 = 2
2 และ
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
24
4. sin 11
6
และ cos
11
6
วธท า 11
6
= 2 – 6
ดงนน sin 11
6
= – sin6
= – 1
2
และ cos 11
6
= cos6
= 3
2
5. sin (–120) และ cos (–120)
วธท า sin (–120) = – sin (120) = – sin (180 – 60) = – sin 60 = –3
2
และ cos (–120) = cos (120) = cos (180 – 60) = – cos 60 = –1
2
ขอสงเกต มม –120 เปนมมในจตภาคท 3 ดงนนคาฟงกชนไซนและฟงกชนโคไซน มคาเปนลบทงค
ตวอยาง จงหาคาจรง ทท าให sin = 2
2
วธท า เราทราบแลววา sin4
= 2
2
และจากสตร sin4
= sin4
และ sin(2 + ) = sin ทก
ดงนน คอ 4
+ 2n หรอ 3
4
+ 2n เมอ n
ตวอยาง จงหาคาจรง ในชวง 3,
2 2
ทท าให cos = –1
2
วธท า เราทราบแลววา cos3
=
1
2
และจากสตร cos3
= cos3
= – cos3
= –1
2
ดงนน คอ 4
3
หรอ 2
3
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
25
ตวอยาง จงหาคาของ 5 5
3 sin 2 tan3 4
5cos
6
วธท า sin5
3
= sin 2
3
= – sin
3
=
3
2
cos5
6
= cos
6
= – cos6
=
3
2
tan5
4
= tan
4
= tan4
= 1
แลว 5 5
3 sin 2 tan3 4
5cos
6
=
33 2 1
2
3
2
=
32
12
3 3
2
ตวอยาง จงหาคาของ 2 2sec ( 45 ) tan (330 )
sin(150 )
วธท า sec(– 45) = 1 1 2
cos( 45 ) cos(45 )
tan(330) = tan(360 – 30) = – tan 30 = 1
3
sin(150) = sin(180 – 30) = sin 30 = 1
2
แลว 2 2
12
sec ( 45 ) tan (330 ) 143 = 1 3sin(150 )2
ตวอยาง จงหาคาจรง ในชวง , 2 2
ทท าให 3 sin – cos = 0
วธท า จาก 3 sin – cos = 0
3 sin = cos tan =
1
3
เรามวา tan 1
6 3
และ ,
2 2
ดงนน = 6
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
26
ตอไปจะหาคาฟงกชนตรโกณมตของมมปาน
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
27
ตวอยางเพมเตม ตวอยาง ถา A เปนมมในจตภาคท 3 และ cos A = x จงหาคาฟงกชนตรโกณมตของมม A
วธท า เนองจาก A เปนมมในจตภาคท 3 ดงนน cos A < 0 นนคอ x < 0
จากสตร cos A = – cos (A – ) จะไดวา cos (A – ) = –x
ใชรปสามเหลยมมมฉาก หาดานตรงขามมม A – ไดเทากบ 2 21 ( x) 1 x แลว sin A = – sin(A – ) = 21 x มคาเปนลบ
tan A = 21 x
x
มคาเปนบวก
cosec A = 2
1
1 x
มคาเปนลบ
sec A = 1
x มคาเปนลบ
cot A = 2
x
1 x
มคาเปนบวก
A– –x
21 x 1
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
28
แบบฝกหดเพมเตม เรอง
คาฟงกชนตรโกณมตของมมในจตภาคตาง ๆ 1. จงหาคาฟงกชนตรโกณมตของมมตอไปน
1.1 31
6
1.2 – 60
1.3 11
4
1.4 150
1.5 14
3
1.6 225
2. ก าหนดให sin x = 1
2 และ cos x < 0
จงหาคาของ sin(–x) และ cos(–x)
3. ก าหนดให sin x = 3
5 และ cos x > 0
จงหาคาฟงกชนตรโกณมตของมม –x , + x , – x
4. จงหาคาของ
4.1
5tan 2
4
71 sin
6
4.2 cos ec(135 ) sin(300 )
1 cos( 150 )
5. ถา A เปนมมปาน และ sin A = 2
3 จงหาคาฟงกชนตรโกณมตของมม A
6. ถา A เปนมมปาน และ cos A = 1
5 จงหาคาฟงกชนตรโกณมตของมม A
7. ถา A เปนมมในจตภาคท 3 และ cot A = 3 จงหาคาฟงกชนตรโกณมตของมม A
8. ถา sin A < 0 แต cos A > 0 และ tan A = x จงหาคาของ sin A และ cos A
9. จงหาคาจรง ในชวง [0, ] ทท าให sin 2 = 2
2
10. จงหาคาจรง ในชวง 0,2
ทท าให cos 3 = 1
2
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
29
สรปสาระส าคญประจ าตอน
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
30
สรปสาระส าคญประจ าตอน
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
31
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
32
เอกสารอางอง
1. ด ารงค ทพยโยธา, เสรมความรมงสโอลมปกคณตศาสตรโลกตรโกณมต,
โรงพมพแหงจฬาลงกรณมหาวทยาลย, 2550.
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
33
ภาคผนวกท 1
แบบฝกหด / เนอหาเพมเตม
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
34
แบบฝกหดระคน
1. ก าหนดให sin = 15
17 และ อยในจตภาคท 2 จงพจารณาวาขอใดตอไปนผด
ก. cos = 8
17 ข. tan =
15
8
ค. cosec + cot = 3
5 ง. sec – tan = 1
4
2. ก าหนดให cosec = 5
4 และ cos > 0 จงหาคาของ 3 tan – 4 cot + 5 cos
ก. – 2 ข. 2 ค. – 4 ง. 4
3. ก าหนดให cos ( – ) = 2
3 และ อยในจตภาคท 3 จงหาคาของ 3 sin + 2 tan
ก. 0 ข. 2 5 ค. 2 5 ง. 5
4. ก าหนดให sin = 5
13 และ cos < 0 จงหาคาของ sin ( – ) + cos ( – )
ก. 17
13 ข. 7
13 ค. 7
13 ง. 17
13
5. ก าหนดให = 75 จงหาคาของ 2 cos3 cos 4
2 sin 3 3 sin 4
ก. 1 ข. –1 ค. 3
5 ง. 3
5
6. ถา sin = cos , 2
< < และ tan = cot , 0 < <
2
จงหาคาของ +
ก. 4
ข. 2
ค. 34
ง.
7. ถา sin (x + y) = 1
2, sin (x – y) = –
1
2 เมอ x, y 0,
2
จงหาคาของ 3x + 2y
ก. 0 ข. 2
ค. ง. 2
8. ถา cos = 1 a
1 a
และ อยในจตภาคท 3 จงหาคาของ cot
ก. 1 a
2 a
ข. a 1
2 a
ค. 1 a
2 a
ง. 2 a
1 a
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
35
9. ก าหนดให 2 2 7sec tan
2 และ อยในจตภาคท 4 จงหาคาของ cos
ก. 3
4 ข. 3
4 ค. 2
3 ง. 2
3
10. จงหาคาจรง ในชวง [0, 2) ทท าให 1 + 2 sin = 3 cosec
ก. 4
ข. 3
ค. 6
ง. 2
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
36
ภาคผนวกท 2
เฉลยแบบฝกหด
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
37
เฉลยแบบฝกหด เรอง ความแตกตางและความสมพนธของ อตราสวนตรโกณมตกบฟงกชนตรโกณมต
1.
ขอ 1.1 1.2 1.3 1.4
sin A 5
3
1
5 2 12
13
1
5
cos A 2
3
7
5 2 5
13 2
5
tan A 5
2 1
7
12
5 1
2
cosec A 3
5 5 2 13
12 5
sec A 3
2 5 2
7
13
5 5
2
cot A 2
5 5
12
ขอ 1.5 1.6 1.7 1.8
sin A 2
6 1
10 x 21 x
cos A 2
6
3
10 21 x x
tan A 2
2 1
3
2
x
1 x 21 x
x
cosec A 6
2 10 1
x
2
1
1 x
sec A 6
2 10
3 2
1
1 x 1
x
cot A 2
2 3 21 x
x
2
x
1 x
7 2
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
38
2. ขอ ดานตรงขามมม A ดานประชดมม A ดานตรงขามมมฉาก 2.1 1.71 4.6985 5
2.2 5.959 5 7.7785
2.3 4 1.2997 4.2057
เฉลยแบบฝกหด
เรอง คาฟงกชนตรโกณมตของมมในจตภาคตาง ๆ 1.
ขอ 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6
มม 31
6
– 60 11
4
150 14
3
225
sin 1
2 3
2
2
2
1
2 3
2
2
2
cos 3
2
1
2 2
2
3
2
1
2 2
2
tan 1
3 3 1
3 3
cosec 2
3 2 2
3 2
sec 2
3
2 2
3
2
cot 3 1
3
3 1
3
2. sin(–x) = 1
2 และ cos(–x) = 3
2
–1 1
1 –1
2 –2
– 2 2
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
39
3. มม
sin 3
5 3
5 3
5
cos 4
5 4
5 4
5
tan 3
4 3
4 3
4
cosec 5
3 5
3 5
3
sec 5
4 5
4 5
4
cot 4
3 4
3 4
3
4. 4.1 2 4.2 2 2 3
2 3
ขอ
5 2
3 5
3
2
5 3
2 3
5 5
2
6 2 6
5 1
5 2 6 5
2 6 –5 1
2 6
7 1
10 3
10 1
3 10 10
3 3
8 2
x
1 x
2
1
1 x 21 x
x
21 x 1
x
9. 5 7,
8 8
10. 9
x
–x + x – x
sin A cos A tan A cosec A sec A cot A
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
40
เฉลยแบบฝกหดระคน 1. ง 2. ข 3. ก 4. ค 5. ค
6. ง 7. ง 8. ข 9. ค 10. ง
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
41
รายชอสอการสอนวชาคณตศาสตร จ านวน 92 ตอน
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
42
รายชอสอการสอนวชาคณตศาสตร จ านวน 92 ตอน
เรอง ตอน
เซต บทน า เรอง เซต
ความหมายของเซต
เซตก าลงและการด าเนนการบนเซต
เอกลกษณของการด าเนนการบนเซตและแผนภาพเวนน-ออยเลอร
สอปฏสมพนธเรองแผนภาพเวนน-ออยเลอร
การใหเหตผลและตรรกศาสตร บทน า เรอง การใหเหตผลและตรรกศาสตร
การใหเหตผล
ประพจนและการสมมล
สจนรนดรและการอางเหตผล
ประโยคเปดและวลบงปรมาณ
สอปฏสมพนธเรองหอคอยฮานอย
สอปฏสมพนธเรองตารางคาความจรง
จ านวนจรง
บทน า เรอง จ านวนจรง
สมบตของจ านวนจรง
การแยกตวประกอบ
ทฤษฏบทตวประกอบ
สมการพหนาม
อสมการ
เทคนคการแกอสมการ
คาสมบรณ
การแกอสมการคาสมบรณ
กราฟคาสมบรณ
สอปฏสมพนธเรองชวงบนเสนจ านวน
สอปฏสมพนธเรองสมการและอสมการพหนาม
สอปฏสมพนธเรองกราฟคาสมบรณ
ทฤษฎจ านวนเบองตน บทน า เรอง ทฤษฎจ านวนเบองตน
การหารลงตวและจ านวนเฉพาะ (การหารลงตวและตวหารรวมมาก) ตวหารรวมมากและตวคณรวมนอย
ความสมพนธและฟงกชน บทน า เรอง ความสมพนธและฟงกชน
ความสมพนธ
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
43
เรอง ตอน
ความสมพนธและฟงกชน โดเมนและเรนจ
อนเวอรสของความสมพนธและบทนยามของฟงกชน
ฟงกชนเบองตน
พชคณตของฟงกชน
อนเวอรสของฟงกชนและฟงกชนอนเวอรส
ฟงกชนประกอบ
ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม บทน า เรอง ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม
เลขยกก าลง
ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม
ลอการทม
อสมการเลขชก าลง
อสมการลอการทม
ตรโกณมต บทน า เรอง ตรโกณมต
อตราสวนตรโกณมต
เอกลกษณของอตราสวนตรโกณมต และวงกลมหนงหนวย
ฟงกชนตรโกณมต 1
ฟงกชนตรโกณมต 2
ฟงกชนตรโกณมต 3
กฎของไซนและโคไซน
กราฟของฟงกชนตรโกณมต
ฟงกชนตรโกณมตผกผน
สอปฏสมพนธเรองมมบนวงกลมหนงหนวย
สอปฏสมพนธเรองกราฟของฟงกชนตรโกณมต
สอปฏสมพนธเรองกฎของไซนและกฎของโคไซน
ก าหนดการเชงเสน บทน า เรอง ก าหนดการเชงเสน
การสรางแบบจ าลองทางคณตศาสตร
การหาคาสดขด
ล าดบและอนกรม บทน า เรอง ล าดบและอนกรม
ล าดบ
การประยกตล าดบเลขคณตและเรขาคณต
ลมตของล าดบ
ผลบวกยอย
อนกรม
ทฤษฎบทการลเขาของอนกรม
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
44
เรอง ตอน
การนบและความนาจะเปน .
บทน า เรอง การนบและความนาจะเปน
การนบเบองตน
การเรยงสบเปลยน
การจดหม
ทฤษฎบททวนาม
การทดลองสม
ความนาจะเปน 1
ความนาจะเปน 2
สถตและการวเคราะหขอมล
บทน า เรอง สถตและการวเคราะหขอมล
บทน า เนอหา
แนวโนมเขาสสวนกลาง 1
แนวโนมเขาสสวนกลาง 2
แนวโนมเขาสสวนกลาง 3
การกระจายของขอมล
การกระจายสมบรณ 1
การกระจายสมบรณ 2
การกระจายสมบรณ 3
การกระจายสมพทธ
คะแนนมาตรฐาน
ความสมพนธระหวางขอมล 1
ความสมพนธระหวางขอมล 2
โปรแกรมการค านวณทางสถต 1
โปรแกรมการค านวณทางสถต 2
โครงงานคณตศาสตร การลงทน SET50 โดยวธการลงทนแบบถวเฉลย
ปญหาการวางตวเบยบนตารางจตรส
การถอดรากทสาม
เสนตรงลอมเสนโคง
กระเบองทยดหดได
Recommended