49 ตรีโกณมิติ ตอนที่6_กฎของไซน์และโคไซน์

คมอประกอบสอการสอน วชาคณตศาสตร

เรอง

ตรโกณมต (เนอหาตอนท 6)

กฎของไซนและกฎของโคไซน

โดย

รองศาสตราจารย จตรจวบ เปาอนทร

สอการสอนชดน เปนความรวมมอระหวาง คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย กบ

ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน (สพฐ.) กระทรวงศกษาธการ

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

1

สอการสอน เรอง ตรโกณมต สอการสอน เรอง ตรโกณมต มจ านวนตอนทงหมดรวม 15 ตอน ซงประกอบดวย

1. บทน า เรอง ตรโกณมต 2. เนอหาตอนท 1 อตราสวนตรโกณมต

- สมบตของรปสามเหลยมมมฉากและทฤษฎบทพทาโกรส - อตราสวนตรโกณมต - อตราสวนตรโกณมตของมม 30 45 และ 60

3. เนอหาตอนท 2 เอกลกษณของอตราสวนตรโกณมตและวงกลมหนงหนวย - เอกลกษณของอตราสวนตรโกณมต - วงกลมหนงหนวย การวดมม และหนวยของมม

4. เนอหาตอนท 3 ฟงกชนตรโกณมต 1 - ฟงกชนตรโกณมตของคาจรงและของมม - คาฟงกชนตรโกณมตของมม 30 45 และ 60

5. เนอหาตอนท 4 ฟงกชนตรโกณมต 2 - ความแตกตางและความสมพนธของอตราสวนตรโกณมต กบฟงกชนตรโกณมต - คาฟงกชนตรโกณมตของมมในจตภาคตาง ๆ

6. เนอหาตอนท 5 ฟงกชนตรโกณมต 3 - คาฟงกชนตรโกณมตของผลบวก และผลตางของมม - สตรผลคณ ผลบวก และผลตางของฟงกชนตรโกณมต

7. เนอหาตอนท 6 กฎของไซนและกฎของโคไซน - กฎของไซน - กฎของโคไซน

8. เนอหาตอนท 7 กราฟของฟงกชนตรโกณมต - การเปดตารางหาคาฟงกชนตรโกณมต - กราฟของฟงกชนตรโกณมต


2

9. เนอหาตอนท 8 ฟงกชนตรโกณมตผกผน

- ฟงกชนตรโกณมตผกผน - สมบตและความสมพนธของฟงกชนตรโกณมตผกผน

8. แบบฝกหด (พนฐาน 1) 9. แบบฝกหด (พนฐาน 2) 10. แบบฝกหด (พนฐาน 3) 11. แบบฝกหด (พนฐาน 4) 12. แบบฝกหด (ขนสง) 13. สอปฏสมพนธ เรอง มมบนวงกลมหนงหนวย 14. สอปฏสมพนธ เรอง กราฟของฟงกชนตรโกณมตและฟงกชนตรโกณมตผกผน 15. สอปฏสมพนธ เรอง กฎของไซนและกฎของโคไซน

คณะผจดท าหวงเปนอยางยงวา สอการสอนชดนจะเปนประโยชนตอการเรยนการสอนส าหรบคร และนกเรยนทกโรงเรยนทใชสอชดนรวมกบการเรยนการสอนวชาคณตศาสตร เรอง ตรโกณมต นอกจากนหากทานสนใจสอการสอนวชาคณตศาสตรในเรองอน ๆ ทคณะผจดท าไดด าเนนการไปแลว ทานสามารถดชอเรอง และชอตอนไดจากรายชอสอการสอนวชาคณตศาสตรทงหมดในตอนทายของคมอฉบบน


3

เรอง ตรโกณมต (กฎของไซนและกฎของโคไซน) หมวด เนอหา ตอนท 6 (6 / 8) หวขอยอย 1. กฎของไซน 2. กฎของโคไซน จดประสงคการเรยนร เพอใหผเรยน 1. เขาใจและสามารถประยกตกฎของไซนเพอใชในการแกปญหาได 2. เขาใจและสามารถประยกตกฎของโคไซนเพอใชในการแกปญหาได ผลการเรยนร ผเรยนสามารถ 1. อธบายวธการและหาความยาวดานและมมของรปสามเหลยมใด ๆ เมอก าหนดความยาวดาน

บางดานมมบางมมมาให โดยใชกฎของไซนหรอของโคไซนได 2. อธบายวธการและประยกตกฎของไซนและกฎของโคไซนแสดงวธในการแกปญหาใน

ชวตประจ าวนได


4

เนอหาในสอการสอน


5

เนอหาทงหมด


6

1. กฎของไซน


7

1. กฎของไซน

พจารณารปสามเหลยมมมฉาก เราหาความสมพนธของความยาวดานตาง ๆ กบคาไซนของ

มมตาง ๆ ไดดงน ส าหรบรปสามเหลยมมมฉาก ABC โดยท B เปนมมฉาก

ให a เปนความยาวดานตรงขามมม A b เปนความยาวดานตรงขามมม B และ c เปนความยาวดานตรงขามมม C

จากอตราสวนตรโกณมตของมม A จะได sin A = a

b

จากอตราสวนตรโกณมตของมม C จะได sin C = c

b

ดงนนเราจะไดวา sin A 1

a b และ sin C 1

c b

และเนองจาก B เปนมมฉาก ดงนน sin B 1

b b

สรปไดวา

ซงจะเรยกวากฎของไซน แตถาเราอยากทราบตอไปวา ถาพจารณารปสามเหลยมใด ๆ แลวเราจะยงคงได

กฎของไซนแบบนหรอไม

เมอมมทกมมเปนมมแหลม เมอมมมหนงเปนมมปาน

A c B

a

C

b

sin A sin B sin C

a b c


8

เมอพจารณารปสามเหลยมทมมมทกมมเปนมมแหลม

เมอพจารณารปสามเหลยมทมมมหนงเปนมมปาน


9

จงสรปไดวา ส าหรบรปสามเหลยมใด ๆ เราสามารถหากฎของไซนไดเหมอนกน ดงน

และเมอไดกฎของไซนแลว เราจะน ากฎนไปใชประโยชน

ตอไปจะพจารณากรณตาง ๆ ทสามารถใชกฎของไซนไดอยางเหมาะสม หรอกรณทไมเหมาะทจะใช

กฎของไซน หรอแมกรณทมขอมลไมพอในการใชกฎของไซน


10

กรณทเหมาะสมมดงน

กรณท 1.1 กรณท 1.2

กรณท 1.3 กรณท 1.4

กรณท 2

กรณทไมเหมาะสมมดงน

กรณท 3 และ กรณท 4


11

และอกกรณหนงทถอวามขอมลไมพอ จงไมเหมาะสมในการใชกฎของไซน

เมอนกเรยนไดเหนวธการพจารณาวากรณแบบไหนสามารถใชกฎของไซน แลวจากนนจงมาดตวอยาง

ในสอการสอน


12

ตวอยางเพมเตม

ตวอยาง ถารปสามเหลยม ABC ม A

= 27 , B

= 43 และ a = 3 จงหา b และ c

วธท า ใชกฎของไซน sin A sin B sin C

a b c

หา b ไดจาก

แทน A

, B

และ a จะได sin 27 sin 43

3 b

จากตารางคาฟงกชนไซน จะได 0.4540 0.6820

3 b

แลว b = 4.5066

หา c ไดจาก และ C

= 180 – A

– B

= 110

แทน A

, a และ C

จะได sin 27 sin110

3 c


3 c

แลว c = 6.2095

หมายเหต นกเรยนสามารถเปดตารางหาคาไซนไดจากการเรยนเรองตรโกณมตเนอหาตอนท 7

sin A sin B

a b

sin A sin C

a c


13

ตวอยาง ถารปสามเหลยม ABC ม A

= 50 , B

= 60 และ c = 2 จงหา a และ b

วธท า ใชกฎของไซน sin A sin B sin C

a b c

โจทยก าหนด A

และ B

เราสามารถหา C

= 180 – A

– B

= 70

หา a ไดจาก

แทน A

, C

และ c จะได sin 50 sin 70

a 2


a 2

แลว a = 1.6303

หา b ไดจาก

แทน B

, C

และ c จะได sin 60 sin 70

b 2


b 2

แลว b = 1.8431

sin B sin C

b c

sin A sin C

a c


14

นกเรยนไดทราบแลววาการหากฎของไซนนน เราเรมพจารณาจากการหาพนทของรปสามเหลยม

ใด ๆ ในแบบตาง ๆ 3 แบบ และตอไปนเรากลบมาดสตรการหาพนทในแบบตาง ๆ อกครงดงน

ส าหรบรปสามเหลยม ABC

พนทของ ABC = 1

2bc sin A =

1

2ca sin B =

1

2ab sin C

ซงสรปไดเปนสตรดงน

ตวอยาง จงหาพนทของรปสามเหลยม ABC ซง a = 5 , b = 7 และ C

= 60

วธท า พนทของ ABC = 1

2ab sin C

= 1

2 5 7 sin 60 =

1

2 5 7

3 35 3

2 4

ตวอยาง จงหาพนทของรปสามเหลยมหนาจวซงมมมยอดเทากบ 30 และดานประกอบมมยอดยาว 8 หนวย

วธท า พนทของ = 1

2(ดานประกอบมมยอด)2 sin (มมยอด)

= 1

2 8

2 sin 30 =

1

2 64

1

2 = 16 ตารางหนวย

A c B

C

b a

A B

C

b

c

a

พนท = ผลคณของ 12 กบคาไซนของมมมมหนงกบความยาวดานประกอบมมนนทงสอง

ดาน


15

แบบฝกหดเพมเตม

เรอง

กฎของไซน

1. ส าหรบรปสามเหลยม ABC

1.1 จงหา b และ c เมอก าหนด A

= 45 , B

= 60 และ a = 4

1.2 จงหา B

และ C

เมอก าหนด A

= 120 , a = 3 และ b = 1

1.3 จงหา a เมอก าหนด A

= 30 , B

= 60 และ b = 2

1.4 จงหา b เมอก าหนด A

= 45 , B

= 30 และ c = 3 2. จงหาพนทของรปสามเหลยม ABC จากสงทก าหนดใหตอไปน

2.1 a = 3 , b = 4 และ C

= 45

2.2 c = 5 , b = 2 และ A

= 60

2.3 a = 1 , c = 3 และ B

= 135

2.4 a = 2 , b = 3 และ A

+ B

= 150

2.5 a = 4 , c = 5 และ A

+ C

= 120

2.6 b = 1 , c = 2 และ B

+ C

= 30


16

2. กฎของโคไซน


17

2. กฎของโคไซน ตอนทนกเรยนไดเรยนเรองทฤษฎบทพทาโกรสนน เราพจารณาเฉพาะรปสามเหลยมมมฉาก ซงเราไดวา ส าหรบรปสามเหลยมมมฉาก ABC ซงม A เปนมมฉาก a

2 = b

2 + c

2 หรอ

a = 2 2b c ถาหดมม A ใหเลกลงเปนมมแหลม โดยใหคา b และคา c คงเดม จะเหนวาคา a จะนอยลง จากรปจะเหนวา

a < 2 2b c หรอ

a2 = b

2 + c

2 + x ส าหรบบางคา x

ถาขยายมม A ใหใหญขนเปนมมปาน โดยใหคา b และคา c คงเดม จะเหนวาคา a จะเพมขนดวย จากรปจะเหนวา

a > 2 2b c หรอ

a2 = b

2 + c

2 + y ส าหรบบางคา y

จาก 2 กรณขางตน จะเหนวาคา x และคา y ขนอยกบมม A ซงตอไปเราจะหาความสมพนธดงกลาว

A B

C

b a

c

A B

C

b a

c

A

B

C

b

a

c


18

กรณแรกพจารณารปสามเหลยมทมมมทกมมเปนมมแหลม

กรณทสองพจารณารปสามเหลยมทมมมหนงเปนมมปาน


19

จงสรปเปนกฎของโคไซนส าหรบรปสามเหลยมใด ๆ ไดดงน

หมายเหต ถาสามเหลยมทพจารณาเปนรปสามเหลยมมมฉาก เราจะไดวา


20

ตอไปเราจะน ากฎของโคไซนไปใชประโยชนโดยพจารณากรณตาง ๆ ดงน

ตวอยางการใชกฎของโคไซน


21

ตวอยางเพมเตม

ตวอยาง ถารปสามเหลยม ABC ม a = 2 , b = 3 และ c = 4 จงหา A, B

และ C

วธท า ใชกฎของโคไซน

หา A

ใชสตร

แทนคา a, b, c จะได 4 = 9 + 16 – 24 cos A

แลว cos A = 21 7

24 8 = 0.875

จากตารางคาฟงกชนโคไซนได A

28 57

หา B

ใชสตร

แทนคา a, b, c จะได 9 = 4 + 16 – 16 cos B

แลว cos B = 11

16 = 0.6875

จากตารางคาฟงกชนโคไซนได B

46 34

และ C

= 180 – A

– B

10429

ตวอยาง ถารปสามเหลยม ABC ม a = 5 , b = 6 และ C

= 60 จงหา A

วธท า ใชกฎของโคไซน

หา c ใชสตร

แทนคา a, b และ C

จะได c2 = 25 + 36 – 30 = 31 และ c = 31

ตอไปจะหาคา A จากสตร

แทนคา a, b, c จะได 25 = 36 + 31 – 12 31 cos A

แลว cos A = 42

12 31 42

12 5.568 0.6286 ได A

51 3

a2 = b

2 + c

2 – 2bc cos A

b2 = a

2 + c

2 – 2ac cos B

c2 = a

2 + b

2 – 2ab cos C

a2 = b

2 + c

2 – 2bc cos A


22

หลงจากทเรามกฎของไซนและกฎของโคไซนแลว นกเรยนลองดตวอยางตอไปน และจงพจารณา เลอกใชกฎทงสองนอยางเหมาะสม

ตวอยาง ถารปสามเหลยม ABC ม a = 3 , b = 5 และ A

= 30 จงหาคาทเหลอทงหมด

วธท า เลอกใชกฎของไซน sin A sin B sin C

a b c

หา B

จากสตร

แทน a , b และ A

จะได sin 30 sin B

3 5 แลว sin B = 5 1 5

3 2 6 = 0.8333

ฉะนน B

56 27 และ C

= 180 – A

– B

93 33

ตอไปเราสามารถหาคา c ไดจากกฎของไซน ฉะนน c 5.988

หรอหาคา c ไดจากกฎของโคไซน ฉะนน c2 35.8575

และไมวาจะใชวธใด จะได c 5.988

ตวอยาง ถารปสามเหลยม ABC ม a = 3 , b = 5 และ C

= 60 จงหาคาทเหลอทงหมด

วธท า เลอกใชกฎของโคไซน

แทน a , b และ C

จะได c2 = 9 + 25 – 2 × 3 × 5 ×

1

2 = 19 ดงนน c = 19

ตอไปเราหา A

และ B

ไดทง 2 วธคอ

กฎของไซน และ B

= 180 – A

– C

กฎของโคไซน และ B

= 180 – A

– C

และไมวาจะใชวธใด จะได A

36 35 และ B

83 25

sin A sin B

a b

sin A sin C

a c

c2 = a

2+b

2 – 2ab cos C

c2 = a

2 + b

2 – 2ab cos C

sin A sin C

a c

a2 = b

2 + c

2 – 2bc cos A


23

ตอไปเราจะน ากฎของไซนและกฎของโคไซนมาประยกตกบปญหาจรง

1. การหาความสงของบาน

นกเรยนตองเขาใจโจทยและแปลงเปนโจทยเกยวกบตรโกณมต จากนนจงใชกฎของไซนแกปญหาดงน


24

2. การหาความกวางของคลอง

มวธในการแกปญหา 2 วธ คอ

2.1 พจารณารปสามเหลยมมมฉาก 2.2 ใชกฎของไซน

ตอนนนกเรยนคงไดเหนแลววาโจทยเกยวกบตรโกณมต อาจจะมวธหลายวธในการแกปญหา แตทกวธกม ความเกยวพนกบรปสามเหลยมมมฉากทงสน แมแตกฎของไซนซงนกเรยนไดกฎนมาจากการพจารณารปสามเหลยมมมฉากเชนเดยวกน


25

3. การหาระยะทางและทศทาง

เมอนกเรยนเขาใจโจทยแลว จากนนแปลงเปนโจทยเกยวกบตรโกณมต และใชกฎของโคไซน แกปญหาไดดงน

ตอนนนกเรยนไดเหนตวอยางการแกปญหาจรงโดยใชกฎของไซนและกฎของโคไซนมาพอสมควรแลว ถงเวลาของนกเรยนไดใชความรทเรยนมาตงแตตรโกณมตตอนท 1 ถงตรโกณมตตอนท 6 น น ามาแกปญหาจรงกน โดยบางปญหาจรงอาจเปนปญหาทนกเรยนตงขนเองและนกเรยนกแกปญหานน ๆ เองได


26

แบบฝกหดเพมเตม เรอง

กฎของโคไซน 1. ส าหรบรปสามเหลยม ABC

1.1 จงหา A, B, C

เมอก าหนด a = 2 b = 5 และ c = 4

1.2 จงหา c เมอก าหนด a = 7 b = 5 และ C

= 60

2. จงหาสวนตาง ๆ ทเหลอของรปสามเหลยม ABC จากสงทก าหนดใหตอไปน

2.1 a = 2 A

= 75 และ B

= 45

2.2 a = 3 B

= 75 และ C

= 45

2.3 a = 12 b = 5 และ A

= 60

2.4 a = 3 b = 7 และ C

= 30

2.5 a = 5 b = 6 และ c = 7

3. รปทรงสเหลยมมมฉาก ABCDEFGH ม AB ยาว 5 หนวย AD ยาว 4 หนวย และ AE ยาว 3 หนวยดงรป

จงหา A C E

, F D

H และ E C

H

A 5 B

C

G

F

3

E

H

D 4


27

4. เกอยนอยบนยอดตกหลงหนง เขามองเหนบอลลนก าลงลอยขนสทองฟาเปนมมเงย 15 และเมอ

บอลลนลอยขนไปอก 12 เมตร เขามองเหนบอลลนเปนมมเงย 60 จงหาวาตอนนเขาอยหางจากบอลลนเทาไร

5. ฝนยนอยหางจากตกหลงหนง 15 เมตร เธอมองเหนยอดตกและเสาอากาศซงอยบนยอดตกเปนมมเงย

30 และ 45 ตามล าดบ จงหาความสงของเสาอากาศ

6. อลฟายนอยบนดาดฟาของตกหลงหนง เธอมองเหนปอมยามทอยทางทศตะวนออกของตกเปนมมกม 60

และมองเหนรถสามลอคนหนงทจอดอยทางทศใตของปอมยามนนเปนมมกม 30 ถาตกหลงนนสง

60 เมตร จงหาวารถสามลอจอดอยหางจากปอมยามเทาไร

7. ถา A และ B เปนจดสองจดทอยตรงขามของบงแหงหนง และ C เปนจดบนพนราบเดยวกบ A และ B

ถาระยะ AC และ BC เทากบ 2.5 และ 2 กโลเมตรตามล าดบ และวดมม ACB ได 60

จงหา ความกวางของบงตามแนว AB

A

C

B


28

สรปสาระส าคญประจ าตอน


29

สรปสาระส าคญประจ าตอน

ความเหมาะสมของการเลอกใชกฎของไซนหรอกฎของโคไซน พจารณาจากสงทโจทยก าหนดมาให

1. ก าหนดความยาวของดาน 3 ดาน ใชกฎของโคไซน

2. ก าหนดความยาวของดาน 2 ดาน และมม 1 มมทไมตรงขามกบดานทก าหนดความยาวมาให

ใชกฎของโคไซน

3. ก าหนดความยาวของดาน 2 ดาน และมม 1 มมทตรงขามกบดานทก าหนดความยาวมาให

ใชกฎของไซน

4. ก าหนดความยาวของดาน 1 ดาน และมม 2 มม ใชกฎของไซน

แตถาก าหนดมม 3 มม เราไมสามารถหาความยาวของดานทแนนอนได เพราะมค าตอบมากมาย


30

เอกสารอางอง

1. ด ารงค ทพยโยธา, เสรมความรมงสโอลมปกคณตศาสตรโลกตรโกณมต,

โรงพมพแหงจฬาลงกรณมหาวทยาลย, 2550.


31

ภาคผนวกท 1 แบบฝกหด / เนอหาเพมเตม


32

แบบฝกหดระคน

1. ถารปสามเหลยม ABC ม a = 2 , b = 1 และ c = 3 จงพจารณาวาขอใดตอไปนถกตอง

ก. A C = 135 ข. A B

= 120

ค. B C

= 120 ง. B

= 45

2. ถารปสามเหลยม ABC มมม A เปนมมปาน และ sin A = 3

2, sin B = 1

2 จงหาอตราสวน a : b : c

ก. 3 : 3 : 3 ข. 3 : 1 : 1 ค. 1 : 3 : 2 ง. 3 : 2 : 2

3. ถารปสามเหลยม ABC ม a = 10 , B

= 60 และ C

= 45 จงพจารณาวาขอใดตอไปนถกตอง

ก. A

= 75 , b = 15 2 – 5 6 ข. b = 15 2 – 5 6 , c = 3 – 1

ค. b = 6 – 2 , c = 10( 3 – 1) ง. A

= 75 , c = 5( 3 – 1)

4. ก าหนดใหรปสามเหลยม ABC มสมบตวา sin2 A + sin

2 B = sin

2 C จงหาคาของ C

ก. 30 ข. 45 ค. 60 ง. 90

5. ถาลากเสนแบงครงมม C ของรปสามเหลยม ABC ไปพบดานตรงขาม AB ทจด D

แลว AD

BD จะเทากบขอใด

ก. sin A

sin C ข. sin C

sin B ค. sin B

sin A ง. sin C

sin A

6. ถารปสามเหลยม ABC ม c = 12 , b = 8 และ B

= 45 จงหาพนทของ ABC

ก. 3 3 ข. 3 3 ค. 3 ง. 3

A D B

C


33

7. ถารปสามเหลยม ABC ม a = 2 , b = 3 1 และ C

= 60 จงหาคา c

ก. 1 ข. 2 ค. 3 ง. 6

8. ถารปสามเหลยม ABC ม a = 7 , b = 5 และ c = 3 จงหาคาของมมทใหญสด

ก. 90 ข. 105 ค. 120 ง. 135

9. ถารปสามเหลยมหนาจวมฐานยาว 2 3 เมตร และสง 1 เมตร จงหาขนาดของมมยอด

ก. 30 ข. 45 ค. 60 ง. 120

10. ถารปสามเหลยม ABC ม a = 8 , b = 5 และ c = 7 จงหาคาของ 2 Bsin

2

ก. 11

14 ข. 3

28 ค. 11

28 ง. 1

2


34

ภาคผนวกท 2 เฉลยแบบฝกหด


35

เฉลยแบบฝกหด เรองกฎของไซน

1. 1.1 2 6 , 5.464 1.2 16 47 , 43 13 1.3 2 3

3 1.4 1.553

2. 2.1 3 2 2.2 5 3

2 2.3 3 2

4

2.4 3

2 2.5 5 3 2.6 1

2

เฉลยแบบฝกหด เรองกฎของโคไซน

1. 1.1 22 20 , 108 12 , 49 28 1.2 6.25

2. 2.1 C

= 60, b = 1.46 , c = 1.79 2.2 A

= 60, b = 3.346 , c = 6

2.3 B

= 21 9, C

= 98 51, c = 13.69 2.4 c = 4.65 , A

= 18 49, B

= 131 11

2.5 A

= 44 30, B

= 57, C

= 78 30

3. 25, 65 , 34 30 4. 16.39 เมตร

5. 6.3393 เมตร 6. 40 6 เมตร

7. 2.29 กโลเมตร

เฉลยแบบฝกหดระคน 1. ข 2. ข 3. ก 4. ง 5. ค

6. ก 7. ง 8. ค 9. ง 10. ข


36

รายชอสอการสอนวชาคณตศาสตร จ านวน 92 ตอน


37

รายชอสอการสอนวชาคณตศาสตร จ านวน 92 ตอน

เรอง ตอน

เซต บทน า เรอง เซต

ความหมายของเซต

เซตก าลงและการด าเนนการบนเซต

เอกลกษณของการด าเนนการบนเซตและแผนภาพเวนน-ออยเลอร

สอปฏสมพนธเรองแผนภาพเวนน-ออยเลอร

การใหเหตผลและตรรกศาสตร บทน า เรอง การใหเหตผลและตรรกศาสตร

การใหเหตผล

ประพจนและการสมมล

สจนรนดรและการอางเหตผล

ประโยคเปดและวลบงปรมาณ

สอปฏสมพนธเรองหอคอยฮานอย

สอปฏสมพนธเรองตารางคาความจรง

จ านวนจรง

บทน า เรอง จ านวนจรง

สมบตของจ านวนจรง

การแยกตวประกอบ

ทฤษฏบทตวประกอบ

สมการพหนาม

อสมการ

เทคนคการแกอสมการ

คาสมบรณ

การแกอสมการคาสมบรณ

กราฟคาสมบรณ

สอปฏสมพนธเรองชวงบนเสนจ านวน

สอปฏสมพนธเรองสมการและอสมการพหนาม

สอปฏสมพนธเรองกราฟคาสมบรณ

ทฤษฎจ านวนเบองตน บทน า เรอง ทฤษฎจ านวนเบองตน

การหารลงตวและจ านวนเฉพาะ (การหารลงตวและตวหารรวมมาก) ตวหารรวมมากและตวคณรวมนอย

ความสมพนธและฟงกชน บทน า เรอง ความสมพนธและฟงกชน

ความสมพนธ


38


ความสมพนธและฟงกชน โดเมนและเรนจ

อนเวอรสของความสมพนธและบทนยามของฟงกชน

ฟงกชนเบองตน

พชคณตของฟงกชน

อนเวอรสของฟงกชนและฟงกชนอนเวอรส

ฟงกชนประกอบ

ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม บทน า เรอง ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม

เลขยกก าลง

ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม

ลอการทม

อสมการเลขชก าลง

อสมการลอการทม

ตรโกณมต บทน า เรอง ตรโกณมต

อตราสวนตรโกณมต

เอกลกษณของอตราสวนตรโกณมต และวงกลมหนงหนวย

ฟงกชนตรโกณมต 1



กฎของไซนและโคไซน

กราฟของฟงกชนตรโกณมต

ฟงกชนตรโกณมตผกผน

สอปฏสมพนธเรองมมบนวงกลมหนงหนวย

สอปฏสมพนธเรองกราฟของฟงกชนตรโกณมต

สอปฏสมพนธเรองกฎของไซนและกฎของโคไซน

ก าหนดการเชงเสน บทน า เรอง ก าหนดการเชงเสน

การสรางแบบจ าลองทางคณตศาสตร

การหาคาสดขด

ล าดบและอนกรม บทน า เรอง ล าดบและอนกรม

ล าดบ

การประยกตล าดบเลขคณตและเรขาคณต

ลมตของล าดบ

ผลบวกยอย

อนกรม

ทฤษฎบทการลเขาของอนกรม


39


การนบและความนาจะเปน .

บทน า เรอง การนบและความนาจะเปน

การนบเบองตน

การเรยงสบเปลยน

การจดหม

ทฤษฎบททวนาม

การทดลองสม

ความนาจะเปน 1

ความนาจะเปน 2

สถตและการวเคราะหขอมล

บทน า เรอง สถตและการวเคราะหขอมล

บทน า เนอหา

แนวโนมเขาสสวนกลาง 1



การกระจายของขอมล

การกระจายสมบรณ 1



การกระจายสมพทธ

คะแนนมาตรฐาน

ความสมพนธระหวางขอมล 1

ความสมพนธระหวางขอมล 2

โปรแกรมการค านวณทางสถต 1

โปรแกรมการค านวณทางสถต 2

โครงงานคณตศาสตร การลงทน SET50 โดยวธการลงทนแบบถวเฉลย

ปญหาการวางตวเบยบนตารางจตรส

การถอดรากทสาม

เสนตรงลอมเสนโคง

กระเบองทยดหดได

Documents

49 ตรีโกณมิติ ตอนที่6_กฎของไซน์และโคไซน์