03 เซต...

คมอประกอบสอการสอน วชาคณตศาสตร

เรอง

เซต (เนอหาตอนท 2)

เซตก าลงและการด าเนนการบนเซต

โดย

ศาสตราจารย ดร.กฤษณะ เนยมมณ

สอการสอนชดน เปนความรวมมอระหวาง คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย กบ

ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน (สพฐ.) กระทรวงศกษาธการ

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

สอการสอน เรอง เซต สอการสอน เรอง เซต มจ านวนตอนทงหมดรวม 7 ตอน ซงประกอบดวย

1. บทน า เรอง เซต 2. เนอหาตอนท 1 ความหมายของเซต

- ความหมายของเซต - การเขยนเซต - เซตจ ากดและเซตอนนต

3. เนอหาตอนท 2 เซตก าลงและการด าเนนการบนเซต - แผนภาพเวนน-ออยเลอร - สบเซตและเซตก าลง - การเทากนของเซต - การด าเนนการบนเซต

4. เนอหาตอนท 3 เอกลกษณของการด าเนนการบนเซตและแผนภาพเวนน-ออยเลอร - เอกลกษณการด าเนนการบนเซต - การหาจ านวนสมาชกของเซตและการแกปญหาโดยใชแผนภาพเวนน-ออยเลอร

5. แบบฝกหด (พนฐาน) 6. แบบฝกหด (ขนสง) 7. สอปฏสมพนธ เรอง แผนภาพเวนน-ออยเลอร

คณะผจดท าหวงเปนอยางยงวา สอการสอนชดนจะเปนประโยชนตอการเรยนการสอนส าหรบคร และนกเรยนทกโรงเรยนทใชสอชดนรวมกบการเรยนการสอนวชาคณตศาสตร เรอง เซต นอกจากนหากทานสนใจสอการสอนวชาคณตศาสตรในเรองอนๆทคณะผจดท าไดด าเนนการไปแลว ทานสามารถดชอเรอง และชอตอนไดจากรายชอสอการสอนวชาคณตศาสตรทงหมดในตอนทายของคมอฉบบน

เรอง เซต (เซตก าลงและการด าเนนการบนเซต) หมวด เนอหา ตอนท 2 (2/3) หวขอยอย 1. แผนภาพเวนน-ออยเลอร 2. สบเซตและเซตก าลง 3. การเทากนของเซต 4. การด าเนนการบนเซต จดประสงคการเรยนร เพอใหผเรยน

1. มความเขาใจในการใชแผนภาพเวนน-ออยเลอร เพอแกปญหา 2. สามารถหาสบเซตและเซตก าลงของเซตจ ากด 3. เกดความเขาใจในมโนทศนเกยวกบการเทากนของเซต 4. สามารถหายเนยน อนเตอรเซกชน ผลตาง และคอมพลเมนตของเซตทก าหนดให

ผลการเรยนรทคาดหวง

ผเรยนสามารถ 1. ใชแผนภาพเวนน-ออยเลอร ในการแกปญหาได 2. ใชแผนภาพเวนน-ออยเลอร ประกอบการอธบายความหมายของสบเซต และเซตก าลงได 3. ระบหรอยกตวอยางสบเซต และเซตก าลง ของเซตจ ากดภายใตเงอนไขทก าหนดใหได 4. ตรวจสอบความเปนสบเซต และความเปนสมาชกของเซตก าลงได 5. บอกและอธบายสตรในการหาจ านวนสบเซตทงหมดของเซตจ ากด พรอมทงยกตวอยางประกอบได 6. อธบายการเทากนของเซต และการเทยบเทากนของเซต พรอมทงยกตวอยางประกอบได 7. อธบายความหมายของการด าเนนการบนเซตไดแก ยเนยน อนเตอรเซกชน ผลตาง และคอมพลเมนตได 8. ใชแผนภาพเวนน-ออยเลอร ประกอบการอธบายการด าเนนการบนเซตได 9. หาผลลพธของการด าเนนการบนเซตได

เนอหาในสอการสอน

เนอหาทงหมด

1. แผนภาพเวนน – ออยเลอร

ในหวขอน ผเรยนจะไดชมสอ ทอธบายการเขยนแผนภาพแทนเซต โดยเราจะเรยกแผนภาพดงกลาววา แผนภาพเวนน-ออยเลอร

หลงจากผเรยนดสอชวงท 1 เรองแผนภาพเวนน-ออยเลอรจบแลว ผสอนอาจยกตวอยางเรองการประยกตการเขยนแผนภาพเวนน-ออยเลอร เพมเตม โดยเฉพาะการประยกตใชในการหาจ านวนสมาชก เพอน าเขาสการด าเนนการบนเซต โดยอาจยกตวอยางตอไปนเพมเตม ตวอยางท 1 ก าหนดให 2,4,6,8,...,20 , 2| 6 8 0A x x x และ 4,6,8B

1. จงเขยนแผนภาพเวนน-ออยเลอรแสดงความสมพนธของ , A และ B 2. จงหาสมาชกทเปนสมาชกของทง A และ B 3. จงหาสมาชกทไมอยใน B

วธท า 1. หาเซต A

2 6 8 0

2 4 6 20

10 12 14 16

ชอบคณตศาสตร ชอบภาษาไทย

25-10 10 20-10 =15 =10

ดงนน 2,4A ท าใหสามารถเขยนแผนภาพเวนน-ออยเลอร ไดดงตอไปน

2. สมาชกทอยทง A และ B คอ 4 3. สมาชกทไมอยใน B คอ 2,10,12,14,16,18,20 #

ทงนเพอเปนการเพมทกษะใหกบผเรยน ผสอนอาจยกตวอยางในท านองเดยวกนกบตวอยางท 1 เพมเตมใหกบผเรยนไดอก ตวอยางท 2 นกเรยนหองหนงมจ านวน 50 คน มนกเรยนทชอบวชาคณตศาสตร 25 คน และชอบวชาภาษาไทย 20 คน โดยมนกเรยนทชอบทง 2 วชา จ านวน 10 คน จงหาจ านวนนกเรยนทไมชอบทง 2 รายวชา

วธท า จากแผนภาพเวนน-ออยเลอร จะไดจ านวนนกเรยนทไมชอบทงสองวชาคอ 50 – (15+10+10) =15 คน # หมายเหต ผสอนตองชแจงผเรยนวาตวเลขทใสในแผนภาพเวนน-ออยเลอร คอ จ านวนสมาชก ไมใชสมาชก

ชอบคณตศาสตร ชอบภาษาไทย

14 6 10 x

. ชอบภาษาองกฤษ

ผสอนควรยกตวอยาง ในท านองเดยวกนกบตวอยางท 2 เพมเตม เพอใหผเรยนเกดทกษะการหาจ านวนสมาชกของเซต โดยใชแผนภาพเวนน-ออยเลอร และเนนเฉพาะแผนภาพทมแค 2 เซต ส าหรบกรณทม 3 เซต อาจยกตวอยางดงตวอยางตอไปน ตวอยางท 3 ในการส ารวจนกเรยน 50 คน มนกเรยนทชอบคณตศาสตร 25 คน ชอบภาษาไทย 20 คน ชอบภาษาองกฤษ 20 คน ชอบคณตศาสตรและภาษาไทย 10 คน ชอบคณตศาสตรและภาษาองกฤษ 5 คน ชอบทง 3 วชา 4 คน และไมชอบทกวชา 5 คน จงหาจ านวนนกเรยนทชอบภาษาไทยและภาษาองกฤษ วธท า นกเรยนทงหมดม 50 คน ดงนน จากแผนภาพเวนน-ออยเลอร จะไดวา

14 6 4 1 10 15 5 50

ดงนน นกเรยนทชอบทงภาษาไทยและภาษาองกฤษ มจ านวน 4 9x คน # หลงจากยกตวอยางแลว ผสอนควรบอกผเรยนวา ยงมสตรของการหาจ านวนสมาชก ทจะสอนตอในตอนท 3 อก นนคอสตร

n A B n A n B n A B และ

n A B C n A n B n C n A B

n A C n B C n A B C

แบบฝกหดเพมเตม เรอง แผนภาพเวนน-ออยเลอร

1-8 จงเขยนแผนภาพเวนน-ออยเลอรแสดงความสมพนธของเซตตอไปน

1. 2,4,6,8,...,20 2,6,8,10A 8,10,12,14,16,18B 2. 1,2,3,...,10 1,2,3A 3,4,5B 3. 1,2,3,...,10 1,2,3A 4,5,6B 6,7C 4. 1,2,3,...,10 4,6A 3,7B 2,3,6,7,8,10C

4,6,8,9,10D

5. |1 15x x

1,3,5,7A 2,4,6,8,10B 3,5,7,9C 6. | 10 10x x 2| 5 4 0A x x x 2| 3 4 0B x x x 7. ก าหนดให 1,2,3,...,15 , { | 5A x หาร x ลงตว} , | 4 12B x x , | 3 7C x x

8. ก าหนดให 1,2,3,...,10 , 1A , 4,5,7,9B , 1,2,3,4,5C

9. จากการสอบถามผทดมชาหรอกาแฟจ านวน 100 คน มผทชอบดมชา 50 คนชอบดมกาแฟ 60 คน จงหาจ านวนผทชอบดมทงชาและกาแฟ

10. จากการส ารวจนกเรยนหองหนง พบวา 70% ชอบเรยนคณตศาสตร 50% ชอบเรยนภาษาองกฤษ และ 20% ชอบเรยนทงสองวชา จงหาเปอรเซนของนกเรยนท 10.1 ไมชอบเรยนทงสองวชา 10.2 ชอบเรยนเพยงวชาเดยว

11. ในการสอบของนกเรยนหองหนงพบวา มผสอบผานวชาคณตศาสตร 30 คน วชาสงคมศกษา 45 คน วชาภาษาไทย 40 คน และมผสอบผานวชาคณตศาสตรและสงคมศกษา 10คน ผทสอบผานสงคมศกษาและภาษาไทยม 12 คน ผทสอบผานวชาคณตศาสตรและภาษาไทยม 6 คน และมผสอบผานทงสามวชา 5 คน ดงนนมผสอบผานหนงวชากคน

2. สบเซตและเซตก าลง

ในหวขอนผเรยนจะไดทราบถงบทนยามของสบเซตและเซตก าลง การหาจ านวนสบเซตทงหมดของเซตจ ากด ตลอดจนตวอยางการตรวจสอบสมบตพนฐานของสบเซตและเซตก าลง

หลงจากผเรยนไดเหนตวอยางของการตรวจสอบการเปนสบเซตไปแลว ผสอนอาจยกตวอยางการตรวจสอบการเปนสบเซตเพมเตม ดงตวอยางตอไปน

ตวอยาง จากเซต A และ B ทก าหนดใหตอไปน จงพจารณาวา A เปนสบเซตของ B หรอไม 1. 2,4,6,8,...A B เซตของจ านวนนบ 2. 2, 4, 6,...A B เซตของจ านวนนบ 3. 2| 3 0A x x B เซตของจ านวนตรรกยะ 4. | 1 1xA x B เซตของจ านวนเตม

ค าตอบ 1. A B เพราะเซต A มจ านวนสมาชกเปนจ านวนเตมคบวก ซงเปนจ านวนนบ 2. A B เนองจากมสมาชกของ A ทไมเปนสมาชกของ B เชน 2 เปนตน 3. A B เพราะ 3,3A ซง 3 เปนจ านวนตรรกยะ

4. A B เนองจากมสมาชกของ A ทไมใชจ านวนเตม เชน 0.5 เปนตน # ผสอนสามารถยกตวอยางอนประกอบการสอนเพมเตม จนท าใหผเรยนเขาใจการเปนสบเซตอยางถองแท

A B กตอเมอ x x A x B

ส าหรบนกเรยนทมความสามารถสง ผสอนอาจสอนบทนยามทรดกมของสบเซต โดยใชความรเรองตรรกศาสตร ดงตอไปน

นอกจากนผสอนอาจยกตวอยาง เพอแสดงการไมเปนสบเซตโดยใชความรทางตรรกศาสตรตามขอความตอไปน

ในการพสจนการเปนสบเซต หรอการแสดงการไมเปนสบเซตนน ตองแสดงใหไดตามขอความทกลาวขางตน ดงตวอยางตอไปน ตวอยาง ให 2, 4, 6,...A และ B เซตของจ านวนนบ จงแสดงวา A ไมเปนสบเซตของ B วธท า ในการแสดงวา A B นนผเรยนตองแสดงวา x x A x B นนคอเราตองหาสมาชก x A ท x B ในทนเราอาจเลอก 2x ซง x A แต x B ดงนน A B #

ถา A B และ B C แลว A C

ตวอยางตอไปนเปนการพสจนการเปนสบเซต โดยใชความรเรองตรรกศาสตร

ตวอยาง จงพสจนขอความตอไปน โดยใชบทนยามของสบเซต พสจน ในการพสจนวา A C นน เราตองแสดงวา x x A x C ดงนน เราก าหนดให x A เนองจาก A B ดงนน x B และเนองจาก B C ท าให x C ดวย ดงนนทก x A เราแสดงไดวา x C นนคอ A C นนเอง #

ผสอนอาจยกตวอยางการหาสบเซต ตอไปนเพมเตม ตวอยาง จงหาสบเซตทงหมดของเซตทก าหนดใหตอไปน

1. 0,1A 2. 0,B 3. 1, 1 ,2C

1, 2, 3, 4B

สมาชกเหลานอาจจะอยหรอไมอยใน B กได ตองอยใน B

ค าตอบ สบเซตทงหมดของ A คอ , 0 , 1 , A สบเซตทงหมดของ B คอ , 0 , , B สบเซตทงหมดของ C คอ , 1 , 1 , 2 , 1, 1 , 1,2 , 1 ,2 ,C #

ในเรองของจ านวนสบเซตนน ถาผเรยนมความสามารถสง ผสอนอาจเพมเตมโจทยตวอยางเกยวกบการนบจ านวนสบเซต ภายใตสถานการณตางๆ ดงตวอยางตอไปน ตวอยาง ให 1,2,3,4A จงหาจ านวนสบเซต B ของ A ท 1 B วธท า พจารณาสบเซต B ของ A ท 1 B

1 B A ดงนน ดงนน สามารถสราง B ได 1 2 2 2 8 เซต # ตวอยาง ให 1,2,3,4A จงหาจ านวนสบเซต B ของ A ตามเงอนไขตอไปน

1. 1, 2 B 2. 1 B และ 2 B

วธท า (แบบฝกหด)

ผสอนควรยกตวอยางเพมเตม เพอใหผเรยนเขาใจเรอง สบเซตแท ดงน ตวอยาง จงหาสบเซตแทของเซตตอไปน

1. 0,1A 2. 0,B 3. 1, 1 ,2C

ค าตอบ

1. , 0 , 1 , A 2. , 0 , , B 3. , 1 , 1 , 2 , 1, 1 , 1,2 , 1 ,2 , C #

ตวอยาง ให 1,2, 1,2A ขอใดตอไปนถกตอง 1. 1,2 A และ 1,2 A 2. A มสบเซตแททงหมด 32 สบเซต

ค าตอบ

1. ถก 2. ผด #

ผสอนควรยกตวอยางเพมเตมเรอง เซตก าลง ดงน ตวอยาง จงหาเซตก าลงของเซตตอไปน

1. 0,1A 2. 0,B 3. 1, 1 ,2C

ค าตอบ

1. , 0 , 1 ,P A A 2. , 0 , ,P B B 3. , 1 , 1 , 2 , 1, 1 , 1,2 , 1 ,2 ,P C C #

หลงจากดสอการสอนแลว ผสอนอาจฝกการพสจนเพมเตม จากทฤษฎบทตอไปน

ทฤษฎบท 1. P A P B P A B

2. ถา A B แลว P A P B พสจน 1. ให C P A P B ดงนน C P A หรอ C P B นนคอ C A หรอ C B

ท าให C A B ดงนน C P A B เราแสดงไดวาทก C P A P B จะไดวา C P A B ดงนน P A P B P A B

2. สมมตให A B ในการพสจน P A P B เราก าหนดให C P A ดงนน C A เนองจาก A B ดงนน C B ท าให C P B เราแสดงไดวา ถา C P A แลว C P B ดงนน P A P B #

แบบฝกหดเพมเตม เรอง สบเซตและเซตก าลง

1. ก าหนดให | 10A x x และ 2| 3 4 0B x x x จงพจารณาวา B เปนสบเซตของ A หรอไม 2. ก าหนดให 0,1A จงหาสบเซตทงหมดของ A 3. จงหาสบเซตทงหมดของ 1,2,3A 4. จงหาสบเซตทงหมดของ 1,0,1B 5. ก าหนดให 0, 0A จงหาสบเซตทงหมดของ A 6. ก าหนดให 1,2A , 1,2,3,4B จงหาเซต X ทงหมดท 6.1 A X B 6.2 A X B 7. จงหา P A เมอ 0,2A 8. ให 10n A แลว A มสบเซตทงหมดจ านวนเทาใด 9. จงหาสบเซตแททงหมดของ ,A a b

10. จงหาสบเซตแททงหมดของ ,A 11. จงหา P A เมอ 4A 12. จงหา P A เมอ ,A a b 13. จงหา P A เมอ 3,4,5A 14. จงหา P A เมอ 1,2,3,4A 15. จงหา P A เมอ 0,A 16. จงหา P A เมอ A P 17. จงหา P P A เมอ A a 18. ก าหนดให 2, 2,4 ,4A จงพจารณาวาขอความตอไปนถกหรอผด 18.1 2,4 A 18.2 2,4 A 18.3 4 A 18.4 2, 2,4 A

19. ก าหนดให 3A , 2| 3 2 0B x x x , 1,2,3C , { |D x x และ 0 4}x , 1,2, 3E จงพจารณาวาเซตใดเปนสบเซตของเซตใด 20. จงหาสบเซตทเปนไปไดทงหมดของเซต A เมอ 1 ,2, 2,3A 21. ก าหนดให , 1 ,2,3, 2,3A จงพจารณาวาขอความตอไปนถกหรอผด 21.1 2,3 A 21.2 2 P A 21.3 2 P A 21.4 2,3 P A 21.5 2,3 P A 22. ก าหนดให A เปนเซตใดๆ จงพจารณาวาขอความตอไปนถกหรอผด 22.1 P A 22.2 P A 22.3 P A 22.4 A P A 22.5 A P A 23. ก าหนดให A , B และ C เปนเซตใดๆ จงพจารณาวาขอความตอไปนถกหรอผด 23.1 ถา A B แลว P A P B 23.2 ถา P A P B แลว A B 23.3 ถา A P B แลว A B 23.4 ถา A P B แลว A B 23.5 ถา ,A B P C แลว A C และ B C

3. การเทากนของเซต

ในหวขอนผเรยนจะไดศกษาเรองการเทากนของเซต ดงตอไปน

ผสอนควรยกตวอยางเพมเตม เรอง การเทากนของเซต ดงน ตวอยาง จงพจารณาวาเซตตอไปนเทากนหรอไม 1. 1,2,3 และ 2,3,1 2. 1,2,3 และ 1,2,2 3. 1,2,3 และ 1,2,2,3,3,3 4. 2| 1 0x x และ 2| 1 0x x 5. |1 4x x และ | 0 5x x ค าตอบ

1. เทากน เพราะวาการเขยนเซตนน ต าแหนงของสมาชกไมส าคญ ดงนน 2,3,1 1,2,3

2. ไมเทากน เพราะจ านวนสมาชกของทง 2 เซตไมเทากน 3. เทากน เนองจากการเขยนเซตนน เมอมการเขยนซ า เราจะนบเพยงครง เดยวท าให 1,2,2,3,3,3 1,2,3

4. ไมเทากน เนองจากจ านวนจรงทสอดคลองสมการ 2 1 0x คอ 1 แต จ านวนนบ ทสอดคลองกบสมการ 2 1 0x คอ 1 เทานน ดงนน 2| 1 0x x จงไมเทากบ 2| 1 0x x

5. เทากน เพราะจ านวนเตม x ท 1 4x คอ 1, 2,3, 4 ซงกคอ จ านวนเตม x ทท าให 0 5x นนเอง #

แบบฝกหดเพมเตม เรอง การเทากนของเซต

1. จงพจารณาวาเซตใดตอไปนเทากนบาง 1.1 1,2,3A 1.2 1,2,3B 1.3 1,0,1C 1.4 3|D x x x 1.5 | 2 2E x x

2-7 จงพจารณาวาเซต A และเซต B ทก าหนดใหตอไปนเทากนหรอไม 2. 5,10,15,...,100A { | 5B x x n เมอ n เปนจ านวนนบทนอยกวา 20}

3. 2 10

1 1 11, , ,...,

2 2 2A

2nB x x เมอ 1,2,...,10}n

4. 2,4,6,8,10A 10,8,6,4,2B 5. 1,2,3A 1,2,2,3,3,3B 6. 2| 4A x x 2B 7. 2,4,6,8,10A 4,2,8,6,10,10B

4. การด าเนนการบนเซต

ในหวขอน ผเรยนจะไดชมสอซงอธบายเกยวกบการด าเนนการพนฐานของเซต ทประกอบดวย ยเนยน

อนเตอรเซกชน ผลตาง และคอมพลเมนต

ผสอนควรยกตวอยางเพมเตม เรอง ยเนยน และอนเตอรเซกชน ดงตอไปน ตวอยาง ผสอนควรยกตวอยางเพมเตมดงน ก าหนดให

1,2,3,...,10

5, 4, 3, 2,..., 4,5

จงหา 1. A B 2. A B C 3. A B C วธท า 1. 5, 4,...,8,9,10A B 2. 1,2,....10 5,0,5 5,0,1,2,...,10A B C 3. 5, 4,...,8,9,10 5,0,5 5,0,5A B C # ตวอยาง จากแผนภาพเวนน-ออยเลอร ตอไปน

จงแรเงาบรเวณ 1. A B 2 A B C 3. A B C วธท า

1. A B 2. A B C

3. A B C #

เพอใหผเรยนเขาใจเรองการด าเนนการพนฐานของเซตเพมมากขน ผสอนควรยกตวอยางเพมเตมดงน ตวอยาง ก าหนดให

1,2,3, 1 , 2 , 3

จงหา

1. A B C 2. A B B C 3. A B C

วธท า

1. 1,2,3, 1 , 2 , 3 2,3,4A B C 1, 1 , 2 , 3

2. 1,2,3,4, 1 , 2 , 3 2,3,4A B B C 1, 1 , 2 , 3 3. A B C A A #

ตวอยาง จากแผนภาพตอไปน

จงแรเงาบรเวณตอไปน

1. A B C 2. A B C 3. A B B C 4. A B C 5. A B C

วธท า 1. A B C 2. A B C 3. A B B C 4. A B C

5. A B C

จะเหนวา A B C = A B C #

ถามเวลาผสอนอาจยกตวอยางตอไปนเพมเตม ตวอยาง จงพจารณาวาขอความตอไปนถกหรอผด โดยใชความรทางตรรกศาสตร

1. P A B P A P B 2. P A B P A P B

วธท า 1. ถก ให C P A B ดงนน C A B นนคอ C A และ C B ดงนน C P A และ

C P B ท าให C P A P B ดงนน P A B P A P B ให C P A P B ดงนน C P A และ C P B นนคอ C A และ C B ท าให C A B ดงนน C P A B นนคอ P A P B P A B จากทง 2 กรณขางตน เราสรปไดวา P A B P A P B 2. ผด ยกตวอยางเชน 1A และ 2B เราจะไดวา 1,2A B , , 1P A , , 2P B และ , 1 , 2 , 1,2P A B จะเหนไดวา 1,2 P A B แต

1,2 P A P B ดงนน P A B P A P B #

แบบฝกหดเพมเตม เรอง การด าเนนการบนเซต

1. ก าหนดให

1,2,3,..., 20

2,4,6,8,..., 20

1,3,5,7,...,19

1,2,3,4

จงหา 1.1 A B 1.2 A B 1.3 B C 1.4 A B

2. ก าหนดให

2,4,6,..., 20

2,4,6,...,10

4,6,8,10

8,10,12,14,16

จงหา 2.1 A B C 2.2 A B C 2.3 B A 2.4 A B C

3. จากแผนภาพ

จงแรเงาบรเวณทก าหนดตอไปน 3.1 A B 3.2 A B 3.3 A B 3.4 A

จงแรเงาบรเวณทก าหนดตอไปน 4.1 A B 4.2 A B 4.3 A B

จงแรเงาบรเวณทก าหนดตอไปน 5.1 A B C 5.2 A B C

5.3 A B 5.4 A B C

จงหา 6.1 A B 6.2 A B 6.3 A 6.4 A B

1 7 9 8

2 3 10

4 6 5 12 11

จงหา 7.1 A B C 7.2 A B C 7.3 A B 7.4 C A

8. ให 1,2, 1 , 2 , 1,2A และ 1, 1B จงหา

8.1. A B 8.2 A B

9. ให 1,2, 1 , 2 , 1,2A จงหา A P A

10. ให 0,A และ ,B จงหา 10.1. P A B 10.2 P A B

สรปสาระส าคญประจ าตอน

ภาคผนวกท 1 แบบฝกหด/เนอหาเพมเตม

แบบฝกหดระคน

1. ก าหนดให 1,2,3,...,6A และ 2,4B สบเซต C ของ A ซง B C ม จ านวนเทากบเทาใด 1. 16 2. 32 3. 48 4. 64

2. ก าหนดให 0,1, 0 , 1 , 0,1A แลวขอใดตอไปนถกตอง 1. 0,1 0 0,1, 0 , 1A 2. 0,1 0,1, 0 , 1A

3. 0,1 A 4. 0,1 A

3. ก าหนดให ,A a b และ , , ,B a a a b แลวขอใดตอไปนถกตอง 1. A B 2. A B 3. ,B A a a 4. A B A

4. ส าหรบเซต A และ B ใดๆ ขอใดตอไปนถกตอง 1. A B B A 2. ถา A B A แลว A B B 3. ถา A B แลว A B 4. ถา A B B A แลว A B

5. ขอใดตอไปนไมถกตอง 1. 2. 2| 4 0x x ไมมสบเซตแท 3. ถา A B แลว A หรอ B 4. ถา A B และ ,C A B แลว A B C

6. ถา 10n A , 8n B และ 5n A B แลวจ านวนสบเซตของ A B มเทากบเทาใด 1. 52 2. 102 3. 132 4. 182

7. ให 1 5A x x และ 2| 3 4 0B x x x แลวขอใดตอไปนถกตอง

1. A B 2. 6, 1A B 3. 1,4A B 4. 4, , 6A B 8. ถา A และ B เปนเซตจ ากด โดยท 3n A B และ 21n A B ถาจ านวนสมาชกของ A เปน 2

เทาของ B จงหาจ านวนสมาชกของ A B 1. 3 2. 8 3. 13 4. 16 9. ในการส ารวจนกเรยน 100 คน เกยวกบความชอบวชาคณตศาสตรและวชาภาษาองกฤษพบวา มนกเรยนท

ไมชอบทง 2 วชา มจ านวน 30 คน และนกเรยนทชอบทง 2 วชา มจ านวน20 คน ถามนกเรยนชอบวชาคณตศาสตรเปน 2 เทาของนกเรยนทชอบวชาภาษาองกฤษ จงหา จ านวนนกเรยนทชอบวชาภาษาองกฤษอยางเดยว วามจ านวนเทาไร

1. 10 2. 20 3. 30 4. 40

10. จากการส ารวจเกษตรกร 200 คน พบวาม ผทท านา 90 คน ท าไร 80 คน ท าสวน 120 คน ผทท านาและท าไร 50 คน ท านาและท าสวน 40 คน ท าไรและท าสวน 60 คน และทง 200 คน จะตองท าอยางนอยหนงประเภท จงหาจ านวนผทท าไรอยางเดยว

1. 30 2. 60 3. 65 4. 70

ภาคผนวกท 2 เฉลยแบบฝกหด

2 8 12 4

10 14 16

6 18 20

A B 6 7

2 5 6 7

8 9 10

4 6 3 7

6 8 1 5 9

11 12 13 14 15

-2 A B 2 6 7

-4 3 8

-5 1 4 -1

-6 9 0

-7 -8 -9 5

1 2 5 6 7

3 4 15 10 8 9

12 13 14

6 8 10

เฉลยแบบฝกหด เรอง แผนภาพเวนน-ออยเลอร

9. 10 คน 10. 10.1 0 % 10.2 80% 11. 74 คน

เฉลยแบบฝกหด เรอง สบเซตและเซตก าลง

1. ไมเปน 2. , 0 , 1 , 0,1 3. , 1 , 2 , 3 , 1,2 , 1,3 , 2,3 , 1,2,3 4. , 1 , 0 , 1 , 1,0 , 1,1 , 0,1 , 1,0,1 5. , 0 , 0 , 0, 0 6. 6.1 1,2 , 1,2,3 , 1,2,4 , 1,2,3,4

6.2 , 1 , 1,3 , 1,4 , 1,3,4 , 2 , 2,3 , 2,4 , 2,3,4 , 3 , 4 , 3,4 7. , 0 , 2 , 0,2 8. 102 9. , ,a b 10. , , 11. , 4 12. , , , ,a b a b 13. , 3 , 4 , 5 , 3,4 , 3,5 , 4,5 , 3,4,5 14. { , 1 , 2 , 3 , 4 , 1,2 , 1,3 , 1,4 , 2,3 , 2,4 , 3,4 , 1,2,3 , 1,2,4 , 1,3,4 , 2,3,4 , 1,2,3,4 } 15. , 0 , , 0, 16. , 17. , , , ,a a

18. 18.1 ถก 18.2 ถก 18.3 ถก 18.4 ถก 19. , ,A D B D B E 20. , 1 , 2 , 2,3 , 1 ,2 , 1 , 2,3 , 2, 2,3 , 1 ,2, 2,3 21. 21.1 ถก 21.2 ถก 21.3 ผด 21.4 ถก 21.5 ถก 22. 22.1 ถก 22.2 ถก 22.3 ผด 22.4 ถก 22.5 ผด 23. 23.1 ถก 23.2 ถก 23.3 ถก 23.4 ถก 23.5 ถก

เฉลยแบบฝกหด เรอง การเทากนของเซต

1. C E 2. ไมเทากน 3. ไมเทากน 4. เทากน 5. เทากน 6. ไมเทากน 7. เทากน

เฉลยแบบฝกหด เรอง การด าเนนการบนเซต

1. 1.1 1.2 1.3 1,3 1.4 A 2. 2.1 2 2.2 B 2.3 2.4 4,6 3. 3.1 3.2 3.3 3.4 4. 4.1 4.2

4.3 5.5.1 5.2

5.3 5.4

6. 6.1 1,4,7 6.2 1,2,3,...,10 6.3 3,5,8,10,11,12 6.4 1,4,7 7. 7.1 ,e k 7.2 , , ,a d e k 7.3 , ,g h i 7.4 , ,c i j 8. 8.1 2, 2 , 1,2 8.2 B 9. 1 , 2 , 1,2

10. 10.1 , 10.2 0 , 0,

เฉลยแบบฝกหดระคน 1. 3 2. 2 3. 1 4. 2 5. 3 6. 3 7. 2 8. 3 9. 1 10. 1

รายชอสอการสอนวชาคณตศาสตร จ านวน 92 ตอน

เรอง ตอน

เซต บทน า เรอง เซต

ความหมายของเซต

เซตก าลงและการด าเนนการบนเซต

เอกลกษณของการด าเนนการบนเซตและแผนภาพเวนน-ออยเลอร

สอปฏสมพนธเรองแผนภาพเวนน-ออยเลอร

การใหเหตผลและตรรกศาสตร บทน า เรอง การใหเหตผลและตรรกศาสตร

การใหเหตผล

ประพจนและการสมมล

สจนรนดรและการอางเหตผล

ประโยคเปดและวลบงปรมาณ

สอปฏสมพนธเรองหอคอยฮานอย

สอปฏสมพนธเรองตารางคาความจรง

จ านวนจรง

บทน า เรอง จ านวนจรง

สมบตของจ านวนจรง

การแยกตวประกอบ

ทฤษฏบทตวประกอบ

สมการพหนาม

อสมการ

เทคนคการแกอสมการ

คาสมบรณ

การแกอสมการคาสมบรณ

กราฟคาสมบรณ

สอปฏสมพนธเรองชวงบนเสนจ านวน

สอปฏสมพนธเรองสมการและอสมการพหนาม

สอปฏสมพนธเรองกราฟคาสมบรณ

ทฤษฎจ านวนเบองตน บทน า เรอง ทฤษฎจ านวนเบองตน

การหารลงตวและจ านวนเฉพาะ (การหารลงตวและตวหารรวมมาก) ตวหารรวมมากและตวคณรวมนอย

ความสมพนธและฟงกชน บทน า เรอง ความสมพนธและฟงกชน

ความสมพนธ

เรอง ตอน ความสมพนธและฟงกชน โดเมนและเรนจ

อนเวอรสของความสมพนธและบทนยามของฟงกชน

ฟงกชนเบองตน

พชคณตของฟงกชน

อนเวอรสของฟงกชนและฟงกชนอนเวอรส

ฟงกชนประกอบ

ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม บทน า เรอง ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม

เลขยกก าลง

ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม

ลอการทม

อสมการเลขชก าลง

อสมการลอการทม

ตรโกณมต บทน า เรอง ตรโกณมต

อตราสวนตรโกณมต

เอกลกษณของอตราสวนตรโกณมต และวงกลมหนงหนวย

ฟงกชนตรโกณมต 1

กฎของไซนและโคไซน

กราฟของฟงกชนตรโกณมต

ฟงกชนตรโกณมตผกผน

สอปฏสมพนธเรองมมบนวงกลมหนงหนวย

สอปฏสมพนธเรองกราฟของฟงกชนตรโกณมต

สอปฏสมพนธเรองกฎของไซนและกฎของโคไซน

ก าหนดการเชงเสน บทน า เรอง ก าหนดการเชงเสน

การสรางแบบจ าลองทางคณตศาสตร

การหาคาสดขด

ล าดบและอนกรม บทน า เรอง ล าดบและอนกรม

ล าดบ

การประยกตล าดบเลขคณตและเรขาคณต

ลมตของล าดบ

ผลบวกยอย

อนกรม

ทฤษฎบทการลเขาของอนกรม

เรอง ตอน

การนบและความนาจะเปน .

บทน า เรอง การนบและความนาจะเปน

การนบเบองตน

การเรยงสบเปลยน

การจดหม

ทฤษฎบททวนาม

การทดลองสม

ความนาจะเปน 1

ความนาจะเปน 2

สถตและการวเคราะหขอมล

บทน า เรอง สถตและการวเคราะหขอมล

บทน า เนอหา

แนวโนมเขาสสวนกลาง 1

การกระจายของขอมล

การกระจายสมบรณ 1

การกระจายสมพทธ

คะแนนมาตรฐาน

ความสมพนธระหวางขอมล 1

ความสมพนธระหวางขอมล 2

โปรแกรมการค านวณทางสถต 1

โปรแกรมการค านวณทางสถต 2

โครงงานคณตศาสตร การลงทน SET50 โดยวธการลงทนแบบถวเฉลย

ปญหาการวางตวเบยบนตารางจตรส

การถอดรากทสาม

เสนตรงลอมเสนโคง

กระเบองทยดหดได

03 เซต...

Documents

75 สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล ตอนที่2_แนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง1

67 การนับและความน่าจะเป็น ตอนที่2_การเรียงสับเปลี่ยน

เซต เล่ม 2

31 ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน ตอนที่2_โดเมนและเรนจ์

1เซต - hot-vcds.com · Ajarnpuk , T.081-5664645 คณิตศาสตร ์ม.6 PAT1 เซต หน้า 1 PAT1 เซต ประกอบด้วย 2 ตอน

39 ฟังก์ชันชี้กำลังและฟังก์ชันลอการิทึม ตอนที่2_ฟังก์ชันชี้กำลังและฟังก์ชันลอการิทึม

ตอนที่ ข้อมูลพื้นฐานประถมศึกษาจัดการเรียนการสอนตามหลักสูตรประถมศึกษา

ตอนที่ 2 - thaischool.in.th · 63 ตอนที่ 2 การพฒันาคุณภาพการจัดการศึกษาตามแผนปฏิบัติการประ

ตอนที่ 1 · 2019-11-04 · ตอนที่ 1 ... ข้อ 2 ระเบียบนี้ให้ใช้บังคับตั้งแต่ปีการศึกษา

57 กำหนดการเชิงเส้น ตอนที่2_การหาค่าสุดขีด

ตอนที่ 101 : ท่านยูเอะผู้ไร้ ... · 2018. 7. 15. · ตอนที่ 101 : "ท่านยูเอะผู้ไร้เทียมทาน"

89 โครงงานคณิตศาสตร์ ตอนที่2_ปัญหาการวางตัวเบี้ยบนตารางจัตุรัส

M1401 เซต2014

เซต (Sets)

ตอนที่ 21 เวกเตอร์ ตอนที่ 1A4%D9%E8%C1%D7… · คู่มือประกอบสื่อการสอน วิชาคณิตศาสตร์

ตอนที่ ข้อมูลพื้นฐาน · 2016-08-15 · ตอนที่ " ข้อมูลพื้นฐาน ". ข้อมูลทั่วไป ชื่อวิทยาลัยฯ

ตอนที่ - amarinbooks.com file1 ตอนที่๑ เดิมแผ่นดินเมืองจีน ทั้งปวงนั้น เป็นสุขมาช้านาน

15 จำนวนจริง ตอนที่2_การแยกตัวประกอบ

สื่อการเรียนการสอน เซต (Sets · 2015-08-14 · 2. การเขียนเซตแบบแจกแจงสมาชิกเขียนสมาชิกแต่ละตัวเพียงครั้งเดียวเท่านั้น

บทที่1เซต จำนวนจริง กราฟ และฟังก์ชัน(ต่อ)