Upload
others
View
3
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Ajarnpuk www.hot-vcds.com, www.hot-itonline.com T.081-5664645
คณตศาสตร ม.6 PAT1 เซต หนา 1
PAT1 เซต
ประกอบดวย 2 ตอน ดงน
1. สมาชก สบเซต Operation เพาเวอรเซต
2. จานวนสมาชก
ตอนท 1 สมาชก สบเซต Operation เพาเวอรเซต
เซต เปนคาทไมมนยาม โดยปกตเราใชเซตแทนสงทเรากาลงสนใจอย เพอบงบอกกลมของสมาชกตางๆ เชน
เรากาลงสนใจกลมของนกเรยนกลมหนง
ก. สญลกษณตาง ๆ ทใชในเซต A, B, C, …. แทน เซต A, B, C, ….
หรอ (Phi) แทน เซตวาง | เปนเครองหมาย แทน “โดยท”
เปนสญลกษณ แทน “เปนสมาชกของ” เปนสญลกษณ แทน “ไมเปนสมาชกของ” เปนสญลกษณ แทน “เปนสบเซตของ” เปนสญลกษณ แทน “ไมเปนสบเซตของ” )(AP เปนสญลกษณ แทน “เปนเพาเวอรเซตของ A” U เปนสญลกษณ แทน “เอกภพสมพทธ” เปนสญลกษณ แทน “ยเนยน” เปนสญลกษณ แทน “อนเตอรเซกชน” 'A เปนสญลกษณ แทน “คอมพลเมนตของเซต A” BA เปนสญลกษณ แทน “ผลตางระหวางเซต A และเซต B” R เปนสญลกษณ แทน เซตของจานวนจรง R เปนสญลกษณ แทน เซตของจานวนจรงบวก R เปนสญลกษณ แทน เซตของจานวนจรงลบ
I เปนสญลกษณ แทน เซตของจานวนเตม I เปนสญลกษณ แทน เซตของจานวนเตมบวก I เปนสญลกษณ แทน เซตของจานวนเตมลบ N เปนสญลกษณ แทน เซตของจานวนนบ Q เปนสญลกษณ แทน เซตของจานวนตรรกยะ
Ajarnpuk www.hot-vcds.com, www.hot-itonline.com T.081-5664645
คณตศาสตร ม.6 PAT1 เซต หนา 2
Q เปนสญลกษณ แทน เซตของจานวนตรรกยะบวก
Q เปนสญลกษณ แทน เซตของจานวนตรรกยะลบ 'Q เปนสญลกษณ แทน เซตของจานวนอตรรกยะ P เปนสญลกษณ แทน เซตของจานวนเฉพาะ
ข. นยามทวไป
- สมาชก (element)
สญลกษณแทน การเปนสมาชกของ คอ และ แทนไมเปนสมาชก
เชน Ax อานวา “ x เปนสมาชกของ A” และ Bx อานวา “ x ไมเปนสมาชกของ B ”
- เอกภพสมพทธ (U ) คอ เซตทใหญทสดทเรากาลงพจารณาอย
- เซตวาง (Empty Set) เขยนแทนดวยสญลกษณ { } หรอ เปนตวอกษรกรก อานวา “phi
(ไฟ)” คอ เซตทไมมสมาชกเลย
- เซตจากด (Finite Set) คอ เซตทสามารถบอกจานวนสมาชกทแตกตางกนในเซตนน
วามจานวนเทาใดทมากกวาหรอเทากบ 0 ตว หรอกลาวอกนยหนง กคอ เปนเซตทมสมาชกจานวนแนนอน
รวมทงเซตวางทไมมสมาชกเลยดวย
- เซตอนนต (Infinite Set) คอ เซตทไมใชเซตจากด หรอกลาวอกนยหนง คอ
เซตทมจานวนสมาชกมากมายจนนบไมถวน
- การเทากนของเซต เซต A เทากบเซต B กตอเมอ เซตทงสองมสมาชกเหมอนกนทกตว
Ajarnpuk www.hot-vcds.com, www.hot-itonline.com T.081-5664645
คณตศาสตร ม.6 PAT1 เซต หนา 3
ค. วธการเขยนเซต เขยนได 2 แบบ คอ
(1) การเขยนแบบแจกแจงสมาชก โดยจะเขยนสมาชกทงหมดลงในเครองหมายปกกา
โดยจะใชเครองหมายจลภาค “,” คนระหวางสมาชกแตละตว และใชสญลกษณ “…”
ในการบอกวายงมสมาชกตอไปอก โดยจะตองรวาสมาชก ตวถดไปเปนอะไรอยางชดเจน เชน {1, 2, 3, …}
ขอตกลง
- จะเขยนสมาชกแตละตวเพยงครงเดยวเทานน นนคอ
สมาชกแตละตวทเขยนแบบแจกแจงสมาชกจะตองไมซากน เขน {3, 5, 3, 5}
จะหมายถง เซตทมสมาชกเพยง 2 ตว คอ {3, 5}
- สามารถสลบทสมาชกแตละตวได เชน {a, b} = {b, a}
(2) การเขยนแบบบอกเงอนไข
วธการน เปนวธการเขยนเซต โดยจะเขยนตวแปรแทนสมาชก
และกาหนดเงอนไขในรปของตวแปรนน เพอบอกวา สงใดเปนสมาชกของเซต
แลวใชวงเลบปกกาครอม
ขอตกลง
เมอเอกภพสมพทธ คอ เซตของจานวนจรง อาจตกลงไมเขยนเอกภพสมพทธ เชน
{ x | 12 x } จะหมายถง { Rx | 12 x } นนเอง
ง. สบเซต
เซต A เปนสบเซตของเซต B กตอเมอ สมาชกทกตวของเซต A เปนสมาชกของเซต B
ซงสามารถเขยนแทนไดดวย BA
ขอตกลง
AA A
ถา A เปนสบเซตแทของ B กตอเมอ BA และ BA
ถา BA และ CB แลว CA เมอ A , B และ C เปนเซตใด ๆ
BA และ AB กตอเมอ BA
Ajarnpuk www.hot-vcds.com, www.hot-itonline.com T.081-5664645
คณตศาสตร ม.6 PAT1 เซต หนา 4
ถา A มสมาชก )(An ) แลว จานวนสบเซตของ A จะม )(2 An ตว
จานวนสบเซตแทของเซต A เทากบ 12 )( An เซต
ถา BA แต BA จะไดวา A เลกกวา B
เรยกวา A เปนสบเซตแทของ B
ถา BA และ BA เรยกวา A เปนสบเซตไมแทของ B
ถา BA แลว '' AB
วธการดวาเซต A เปนสบเซตของเซต B หรอไม
ดจากการตดปกกานอกสดทง แลวดวาหนาตาสมาชกของเซตทนอยกวา เหมอนกบอกเซตทมากกวาหรอไม
ถาจานวนสมาชกนอยกวา และแตละตวหนาตาเหมอนกน กแสดงวาเปนสบเซต
จ. เพาเวอรเซตของเซต A หรอ )(AP คอ
เซตทประกอบดวยสมาชกทเปนเซตซงเปนสบเซตของ A
)(AP )(AP ทกเซต
)(P )(APA )(}{ APA
)(APB กตอเมอ AB
ถา BA แลว )()( BPAP และถา )()( BPAP แลว BA เชนกน
)()()( BAPBPAP
เมอ A เปนเซตจากด หากเซต A มสมาชก n ตว
Ajarnpuk www.hot-vcds.com, www.hot-itonline.com T.081-5664645
คณตศาสตร ม.6 PAT1 เซต หนา 5
ฉ. การกระทาทางเซต
(1) คอมพลเมนตของเซต A ซงเปนสบเซตของเอกภพสมพทธ U คอ
เซตทประกอบดวยสมาชกซงเปนสมาชกของ U แตไมเปนสมาชกของ A
ซงสามารถเขยนแทนดวย 'A
''' BABA ''' BABA
(2) ยเนยนของเซต A และเซต B คอ เซตทประกอบดวยสมาชกทเปนสมาชกของเซต A
หรอของเซต B หรอของทง 2 เซต ซงสามารถเขยนแทนดวย BA
ABBA คณสมบตการสลบท
(3) อนเตอรเซกชนของเซต A และเซต B คอ
เซตทประกอบดวยสมาชกซงเปนสมาชกของทงเซต A และเซต B ซงสามารถเขยนแทนไดดวย
ABBA คณสมบตการสลบท
CABACBA
CABACBA
(4) ผลตางระหวางเซต A และเซต B หรอ คอมพลเมนตของเซต B เมอเทยบกบเซต A คอ
เซตทประกอบดวยสมาชกของเซต A ซงไมเปนสมาชกของเซต B เขยนแทนดวย BA
แปลวา เอา A เปนตวตง แลวตดตวซากบ B ทงไป
'BABA
CABACBA
CABACBA
Ajarnpuk www.hot-vcds.com, www.hot-itonline.com T.081-5664645
คณตศาสตร ม.6 PAT1 เซต หนา 6
คณตศาสตร PAT 1 กรกฎาคม 2552
กาหนดให 3,2,1,2,1,2,1A
ขอใดตอไปนผด
ก. A2,1 ข. A3,2,1
ค. A2,1 ง. A3,2,1
คณตศาสตร PAT 1 มนาคม 2552
กาหนดให 1,1,A
ขอใดตอไปนผด
ก. A ข. A
ค. A1,1 ง. A1,1,1
คณตศาสตร PAT 1 ตลาคม 2555
ให U เปนเอกภพสมพทธ และใหเซต A , B และ C เปนสบเซตของ U
ขอใดตอไปนผด
ก. )()()( CBACABA
ข. CBACBCA )()()(
ค. )()()( CBAACBA
ง. )'()( CBACBA
Ajarnpuk www.hot-vcds.com, www.hot-itonline.com T.081-5664645
คณตศาสตร ม.6 PAT1 เซต หนา 7
คณตศาสตร PAT 1 มนาคม 2552
กาหนดให xxA เปนจานวนคบวก และ 100x
และ AxxB และ 3 หาร x ลงตว
จานวนสมาชกของเซต BP เทากบขอใดตอไปน
ก. 162 ข. 172 ค. 182 ง. 192
คณตศาสตร PAT 1 ธนวาคม 2554
กาหนดให A และ B เปนเซตจากด
โดยท จานวนสมาชกของ AP เปนสองเทาของจานวนสมาชกของ BP
จานวนสมาชกของ 8 BAP และจานวนสมาชกของ 256 BAP
จงหาจานวนสมาชกของ BAP
ก. 2 ข. 4 ค. 8 ง. 16
คณตศาสตร กสพท.
กาหนดให }}0{,0},{,{ A
จงหาจานวนสมาชกของ ))(())(( AAPAPA
ก. 0 ข. 13 ค. 28
ง. 45
จ. 64
คณตศาสตร PAT 1 มนาคม 2553
ให }}1{,1{A และ AP เปนเพาเวอรเซตของเซต A
ขอใดตอไปนผด
ก. จานวนสมาชกของ AAP เทากบ 3 ข. จานวนสมาชกของ APP เทากบ 16
ค. AAP 1 ง. APA ,
Ajarnpuk www.hot-vcds.com, www.hot-itonline.com T.081-5664645
คณตศาสตร ม.6 PAT1 เซต หนา 8
คณตศาสตร PAT 1 กรกฎาคม 2553
ให ,,,A และ AP เปนเพาเวอรเซตของเซต A
ขอใดตอไปนถกตอง
ก. จานวนสมาชกของ AP เทากบ 16
ข. จานวนสมาชกของ ,AP เทากบ 7
ค. ,,, AP
ง. AP ,,
คณตศาสตร PAT 1 ตลาคม 2552
กาหนดให 2,1,0,2,1,0A และ AP แทน เซตกาลงของ A
พจารณาขอความตอไปน
(1) 2,1,0 APA
(2) AAPnAPAn
ขอใดตอไปนเปนจรง
ก. (1) ถก และ (2) ถก ข. (1) ถก และ (2) ผด
ค. (1) ผด และ (2) ถก ง. (1) ผด และ (2) ผด
คณตศาสตร PAT 1 มนาคม 2556
พจารณาขอความตอไปน
(1) CBCBACBB )]()[(
(2) )])[()]([ CABPCABP
ขอใดตอไปนเปนจรง
ก. (1) ถก และ (2) ถก ข. (1) ถก และ (2) ผด
ค. (1) ผด และ (2) ถก ง. (1) ผด และ (2) ผด
Ajarnpuk www.hot-vcds.com, www.hot-itonline.com T.081-5664645
คณตศาสตร ม.6 PAT1 เซต หนา 9
ตอนท 2 จานวนสมาชก
(1) จานวนสมาชกของเซตลบกน
จาก 'BABA
จะไดวา CBACBA )('
)()'('' CBACBACBA
ACBACBCBA )(')('
)()(' BAnAnBAnBAn
(2) จานวนสมาชกโดยการใชสตรและแผนภาพเวนนออยเลอร
)()()()( BAnBnAnBAn
)( CBAn
)()()()()()()( CBAnCBnCAnBAnCnBnAn
Ajarnpuk www.hot-vcds.com, www.hot-itonline.com T.081-5664645
คณตศาสตร ม.6 PAT1 เซต หนา 10
คณตศาสตร PAT 1 มนาคม 2558
สาหรบเซต S ใดๆ กาหนดให )(SP แทน เพาเวอรเซตของ S
ถา D เปนเซตซง EDDP ,,1,)(
โดยท BAED , CB , BA}5,4.3,2{ และ B2
กาหนดจานวนสมาชกของเซตตางๆ ดงน
)(AP )(BP )( CAP )( ACP 8 32 2 4
แลว จานวนสมาชกของเซต CBA เทากบเทาใด
คณตศาสตร PAT 1 มนาคม 2557
ให 'X แทนคอมพลเมนตของเซต X และ )(Xn แทนจานวนสมาชกในเซต X
กาหนดให U แทนเอกภพสมพทธ
ถา A และ B เปนสบเซตใน U โดยท
30)'( BAn , 18)'( BAn , 3)( BAn และ 8)'( BAn
แลว จงหาจานวนสมาชกของเอกภพสมพทธ U เทากบขอใดตอไปน
ก. 29 ข. 30 ค. 37 ง. 42
คณตศาสตร PAT 1 ตลาคม 2552
กาหนดเซตและจานวนสมาชกของเซตตามตารางตอไปน
เซต A B C BA CB CA CBA จานวนสมาชก 15 17 22 23 29 32 28
จานวนสมาชกในเซต CBA เทากบเทาใด
Ajarnpuk www.hot-vcds.com, www.hot-itonline.com T.081-5664645
คณตศาสตร ม.6 PAT1 เซต หนา 11
คณตศาสตร PAT 1 เมษายน 2557
สาหรบเซต S ใดๆ ให )(Sn แทนจานวนสมาชกของเซต S
กาหนดให A , B และ C เปนสบเซตในเอกภพสมพทธทมสมบตดงน
)(3)(2)( CnBnAn , 15)( CBAn และ 2)( CBAn
ถา 8)( BAn , 4)( CBn , 9)( CAn แลว ])[( CBAn เทากบเทาใด
ก. 13 ข. 12 ค. 11 ง. 10
คณตศาสตร PAT 1 ตลาคม 2558
ให BA, และ C เปนเซตใดๆ โดยท
'CBA ∅เมอ 'A ′ หมายถง คอมพลเมนทของเซต A
ถา 20,16,15,12 CBAnCnBnAn และ
CAnCBnBAn
แลว ขอใดไมถกตอง
ก. 10 CBAn ข. 11 BAn
ค. 4' BAn ง. 12 CBAn
จ. 5' CBAn
คณตศาสตร PAT 1 พฤศจกายน 2557
กาหนดให A , B และ C เปนสบเซตของเอกภพสมพทธ U
โดยท CA =∅ และ BA ∅, AB ∅, CB ∅, BC ∅
ถา 20)( Un , 12)'( An , 9)'( Bn , 15)'( Cn , 11)]()[( ABBAn และ
12)]()[( BCCBn แลวคาของ )]()[( BCBAn เทากบเทาใด
เมอ )(Xn หมายถงจานวนสมาชกของเซต X
Ajarnpuk www.hot-vcds.com, www.hot-itonline.com T.081-5664645
คณตศาสตร ม.6 PAT1 เซต หนา 12
คณตศาสตร PAT 1 มนาคม 2553
กาหนดให ,A B และ C เปนเซตใดๆ
ถา ,91 CBAn ,11 CBAn
,15 CBABn ,20 CBAn
47 CBCABAn และ 59Cn
แลว CBAn เทากบเทาใด
คณตศาสตร PAT 1 ตลาคม 2555
กาหนดให U เปนเอกภพสมพทธและให A และ B เปนสบเซตของ U
ถา 25% ของสมาชกในเซต A เปนสมาชกในเซต B
12.5% ของสมาชกในเซต B เปนสมาชกในเซต A
และจานวนสมาชกของเซต )()( ABBA เทากบ 120 แลว จานวนสมาชกของเซต BA
เทากบเทาใด
คณตศาสตร PAT 1 ธนวาคม 2554
กาหนดให U แทนเอกภพสมพทธ และ ,A B , C เปนสบเซตของ U โดยท
44)( Un , 19)( Bn , 2)( CBAn , 3])[( BCAn ,
6)]([ CBAn และ 9)'''( CBAn
จงหา ])[ BCAn
Ajarnpuk www.hot-vcds.com, www.hot-itonline.com T.081-5664645
คณตศาสตร ม.6 PAT1 เซต หนา 13
คณตศาสตร PAT 1 กรกฎาคม 2552
ในการสารวจความเหนของนกเรยนชนมธยมศกษาตอนปลาย จานวน 880 คน เพอสอบถามขอมลเกยวกบ
การศกษาตอ ปรากฏผลดงน
มผตองการศกษาตอ 725 คน
มผตองการทางาน 160 คน
มผตองการศกษาตอหรอทางาน 813 คน
ผทตองการศกษาตอและทางานดวย มจานวนเทากบขอใดตอไปน
ก. 67 คน ข. 72 คน ค. 85 คน ง. 90 คน
คณตศาสตร PAT 1 กรกฎาคม 2553
ในการสอบวชาภาษาไทย วชาภาษาองกฤษและวชาคณตศาสตร ของโรงเรยนแหงหนง
มนกเรยนเขาสอบทงหมด 66 คน ปรากฏวา มนกเรยนทสอบตกทงสามวชา จานวน 13 คน
นกเรยนทสอบไดทงสามวชา มจานวน 17 คน
นกเรยนทสอบไดวชาภาษาไทยและวชาภาษาองกฤษแตสอบตกวชาคณตศาสตร มจานวน 10 คน
นกเรยนทสอบไดวชาภาษาไทยและวชาคณตศาสตร แตสอบตกวชาภาษาองกฤษมจานวน 11 คน
นกเรยนทสอบไดเพยงวชาเดยว มจานวน 6 คน
จานวนนกเรยนทสอบไดวชาภาษาองกฤษและวชาคณตศาสตรเทากบเทาใด
Ajarnpuk www.hot-vcds.com, www.hot-itonline.com T.081-5664645
คณตศาสตร ม.6 PAT1 เซต หนา 14
คณตศาสตร PAT 1 มนาคม 2554
โรงเรยนแหงหนงมนกเรยนจานวน 840 คน พบวา มนกเรยนจานวน 120 คน ไมเลนกฬาเลย นอกนนเลนกฬา
อยางนอยหนงประเภท คอ วอลเลยบอล บาสเกตบอล ฟตบอล
จากการสารวจเฉพาะกลมนกเรยนทเลนกฬา พบวา
มนกเรยนจานวน 630 คน เลนกฬาเพยงประเภทเดยวเทานน
มนกเรยน 30 คน เลนฟตบอลและวอลเลยบอล
มนกเรยน 50 คน เลนวอลเลยบอลและบาสเกตบอล
มนกเรยน 40 คน เลนฟตบอลและบาสเกตบอล
มนกเรยนไมเลนฟตบอลจานวน 250 คน
จงหาวามนกเรยนกคนทเลนฟตบอลเพยงอยางเดยว
คณตศาสตร PAT 1 มนาคม 2555
ในการสารวจนกกฬา 100 คน พบวา
ชอบเลนฟตบอลหรอเทนนสหรอปงปองอยางนอย 1 ประเภท และ
ม 75 คน ชอบเลนฟตบอล
ม 70 คน ชอบเลนเทนนส
ม 80 คน ชอบเลนปงปอง
จะมนกกฬาอยางมากกคนทชอบเลนกฬาทงสามประเภท
คณตศาสตร PAT 1 ตลาคม 2553
กาหนดให BA, และ C เปนเซตใดๆ
ถา 301 CnBnAn และ 102 CBAn
แลว CBAn มคาอยางนอยเทากบเทาใด
Ajarnpuk www.hot-vcds.com, www.hot-itonline.com T.081-5664645
คณตศาสตร ม.6 PAT1 เซต หนา 15
คณตศาสตร PAT 1 ตลาคม 2558
ในการสารวจความชอบเรยนวชาคณตศาสตร ภาษาไทย และภาษาองกฤษ ของนกเรยนกลมหนง พบวา
มนกเรยนชอบเรยนวชาคณตศาสตร 150 คน
มนกเรยนชอบเรยนวชาภาษาไทย 80 คน
มนกเรยนชอบเรยนวชาภาษาองกฤษ 60 คน
และ มนกเรยนชอบทงสามวชา 30 คน
นกเรยนกลมนมจานวนอยางมากกคน
คณตศาสตร กสพท.
ในการเขาแถวซอโดนทรานหนงของคน 42 คน
โดยมเงอนไขวาจะตองซอไดคนละ 1 หรอ 3 ชน เทานน
และจะตองซอรสชาตทแตกตางกนทงหมดจากรสออรจนล สม และกลวย
ถาแตละรสชาตมคนเลอกซอ 20, 15 และ 13 ชน แลว จะมคนซอทง 3 รสชาตไปทงหมดกชน
ก. 1 ข. 2 ค. 3
ง. 7 จ. 9
สำรองทนง สำรองทนง www.hot-vcds.comwww.hot-vcds.com
Line : ajarnpuk110Line : ajarnpuk110
Maths4KidMaths4KidBasic English 1Basic English 1Basic English 2Basic English 2
พนฐานคณต L.1พนฐานคณต L.1
พนฐานคณต L.2พนฐานคณต L.2
พนฐานคณต L.3พนฐานคณต L.3
พนฐานคณต L.4พนฐานคณต L.4
เสารเสารจนทร, พฤหสจนทร, พฤหส
พธพธศกรศกร
เสาร, อาทตยเสาร, อาทตยเสารเสารองคารองคารศกรศกร
องคาร, พฤหสองคาร, พฤหสอาทตยอาทตยจนทรจนทรพธพธ
เสาร, อาทตยเสาร, อาทตยเสาร, อาทตยเสาร, อาทตย
14.40 - 16.10 14.40 - 16.10 น.น.18.40 - 20.10 18.40 - 20.10 น.น.
17 - 18.30 17 - 18.30 น.น.18.40 - 20.10 18.40 - 20.10 น.น.
11 - 12.30 11 - 12.30 น.น.13 - 14.30 13 - 14.30 น.น.
18.40 - 20.10 18.40 - 20.10 น.น.17 - 18.30 17 - 18.30 น.น. 17 - 18.30 17 - 18.30 น.น. 13 - 14.30 13 - 14.30 น.น.17 - 18.30 17 - 18.30 น.น.
18.40 - 20.10 18.40 - 20.10 น.น.7.40 - 9.10 7.40 - 9.10 น.น.
9.20 - 10.50 9.20 - 10.50 น.น.
Maths4Kid : พนฐาน Maths (ภาษาองกฤษ) (เหมาะสำหรบ ป.4 - ป.5)Maths4Kid : พนฐาน Maths (ภาษาองกฤษ) (เหมาะสำหรบ ป.4 - ป.5)Basic English 1 : ใชขอสอบ Entrance ในการสอน Basic English 1 : ใชขอสอบ Entrance ในการสอน Basic English 2 : ใชขอสอบ GAT ในการสอน Basic English 2 : ใชขอสอบ GAT ในการสอน (เหมาะสำหรบ ป.6 เตรยมสอบ Gifted, E.P., ม.ตน (เหมาะสำหรบ ป.6 เตรยมสอบ Gifted, E.P., ม.ตน เตรยมสอบเขาเตรยมฯ, ม.ปลาย สอบเขามหาวทยาลย) เตรยมสอบเขาเตรยมฯ, ม.ปลาย สอบเขามหาวทยาลย)พนฐาน L.1 : ใชขอสอบแขงขนเพชรยอดมงกฎ, สสวท. สพฐ. พนฐาน L.1 : ใชขอสอบแขงขนเพชรยอดมงกฎ, สสวท. สพฐ. (เหมาะสำหรบ ป.5 - ป.6 เตรยมสอบ Gifted, ม.1 ทวไป) (เหมาะสำหรบ ป.5 - ป.6 เตรยมสอบ Gifted, ม.1 ทวไป)พนฐาน L.2 : ใชขอสอบสสวท. สมาคมคณตศาสตร (เหมาะสำหรบ ม.2 - 3 ทวไป)พนฐาน L.2 : ใชขอสอบสสวท. สมาคมคณตศาสตร (เหมาะสำหรบ ม.2 - 3 ทวไป)พนฐาน L.3 : ใชขอสอบเขา ม.4 เตรยมฯ มหดลฯ พนฐาน L.3 : ใชขอสอบเขา ม.4 เตรยมฯ มหดลฯ (เหมาะสำหรบ ม.3 เตรยมสอบเขาเตรยมฯ มหดลฯ) (เหมาะสำหรบ ม.3 เตรยมสอบเขาเตรยมฯ มหดลฯ)พนฐาน L.4 : ใชขอสอบคณต PAT1 (เหมาะสำหรบ ม.4 - 6)พนฐาน L.4 : ใชขอสอบคณต PAT1 (เหมาะสำหรบ ม.4 - 6)
สถานทเรยน :สถานทเรยน : ฮอตเอต (ตรงขามโลตสพระราม 4) ฮอตเอต (ตรงขามโลตสพระราม 4)
18 ป18 ป
อยากเกงอยากเกงเลขเลข
องกฤษ องกฤษ ลองดครบลองดครบ
สมครไดตงแตวนนสมครไดตงแตวนนเรยนกลมยอย ไมเกน 15 ทนงเรยนกลมยอย ไมเกน 15 ทนง
คาเรยนคาเรยน10 10 ครง ครง 3,200 3,200.-.-เรมเรยนไดทกวน (นบเปนครง)เรมเรยนไดทกวน (นบเปนครง)
เปยมลนดวยคณภาพเปยมลนดวยคณภาพ
เกง เกง Sure!!Sure!!เกง เกง Sure!!Sure!!