Embed Size (px)
Citation preview
SMA - 1
WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COMDiperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya
∫ ∫
Contoh Soal-soal dan Pembahasan Integral
1. ∫ (2 x 3 + 3x 2 + x +
7)dx
= …….
Jawab:
pakai rumus : ∫ k x n dx
=
k
n + 1 x n+1 + c
∫ (2 x 3 + 3x 2 + x + 7)dx
=
2 x 4 +
4
3 x 3 +
3
1 x 2 + 7x + c
2
2. ∫ sin 3x sin
2x
=
dx = ……
1 x 4 + x 3 +
2
1 x 2 + 7x + c
2
Jawab:
ingat rumus trigonometri : -2 sin α sin β = cos( α + β ) – cos( α - β )
sin α sin β = - 1
( cos( α + β ) – cos( α - β ) )2
= 1
( cos( α - β ) - cos( α + β ) )2
∫ sin 3x sin
2xdx =
1 cos(3x − 2
x)dx2
-1
cos(3x + 2 x)dx2
1 1 1= ∫ 2 cos x dx - ∫ 2
cos 5x dx Æ pakai rumus ∫ cos(ax + b) dx = a
sin (ax+b) +
c
Sehingga menjadi :
= 1 sin x -
2
1 1 sin 5x + c
2 5
SMA - 2
WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COMDiperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya
=1
sin x -2
1 sin 5x + c
10
∫
1 11
3. ∫ x 2
2x 3 + 3
dx = …….
Jawab :
cara subtitusi:
misal: u = 2x 3 +3du
= 6x 2 Æ dx =dx
du
6x 2
Sehingga :
1du
∫ x 2
2x 3 + 3
dx = x 2 u 2
6x 2
2 1 1
2 +1= ∫ 6 u du = u + c
6 1 + 12
= 1 2
u 3
2
6 3+ c =
1 (2x 3 +3)
92x 3 + 3 + c
4. ∫ x 2 cos x dx = ……
Jawab :
Pakai rumus integral parsial : ∫u dv = uv - ∫v du
misal : u = x 2 Æ du = 2x dxdv = cos x dx Æ v = ∫ cos x dx = sinx
Sehingga :
∫ x 2 cos x dx = x 2 . sinx - 2∫ x sin xdx
∫ x sin x dx perlu diparsialkan lagi tersendiri :
misal u = x Æ du = dxdv = sinx dx Æ v = ∫ sin
x
dx = - cos x
∫ ∫
sehingga : ∫ x sin x dx = x . (-cos x) - ∫ − cos xdx
= - x cos x + ∫ cos xdx
= -x cos x + sinx +c
Maka :
∫ x 2 cos x dx = x 2 . sinx - 2∫ x sin xdx
= x 2 . sinx – 2 (-x cos x + sinx) + c= x 2 . sinx + 2x cos x – 2 sin x + c= (x 2 - 2). sin x + 2x cos x + c
5. ∫ x cos(2x 2 + 3)dx =……
jawab:
misal : u = 2x 2 +3 Æ du = 4x dx Ædx = du
4 x
sehingga :
du x cos(2x 2 + 3)dx = x cos u
4 x
1= ∫ 4 cos u du
= 1
sin u + c4
= 1
sin(2x 2 + 3) + c4
4
6. ∫ x3
(2 + x) 3 dx = …..
jawab :
| |
∫
misal : u = x Æ du = dx
dv = (2+x) 3 dx Æ v = ∫ (2 + x)3 dx Æ ∫ (ax + b) n
dx =
1
a(n + 1)(ax+b) n+1 + c
∫u dv = uv - ∫v du
= 1
(2 + x) 4
4
41 4 4
1∫ x (2 + x) 3 dx =
(2 + x) 4 | - ∫ (2 + x) 4 dx
3 4 3 3 4
=1
(2 + x) 4 4
- 1 1
(2 + x) 5 4
4 3 4 5 3
= 1
(1296 – 625) -4
1 (7776 – 3125)
20
= 671
-4
4651
20
= 3355 − 4651
= - 1296
= -64 4
20 20 5
π2
7. ∫ sin 2 x cos x dx = ….π6
Jawab:
Cara 1:
Pakai rumus : ∫sin n (ax+b) cos(ax+b) dx = 1
a(n +1)sin n+1 (ax+b) +c
π
2 1sin 2 x cos x dx
=π 36
π2
sin 3 x | π
6
= 1
( 1 3 - ( 1
) 3 ) = 1
. 7
= 7
3 2 3 8 24
|
3
Cara 2:Cara subtitusi :
misal u = sin x Æ du = cos x dx
π2 1∫ sin 2 x cos x dx = ∫u 2 du = u 3
π6
π
= 1
sin 3 x 2
3 π6
= 1
( 1 3 - ( 1
) 3 ) = 1
. 7
= 7
3 2 3 8 24
8. Luas daerah yang diarsir pada gambar adalah :
Jawab :
Cari titik potong persamaan y = 3x dan y= x 2 - 2x :
3x = x 2 - 2x⇔ x 2 - 5x = 0⇔ x(x - 5) = 0
didapat titik potong di x = 5 dan x = 0
|
5
L = ∫ (3x − ( x 2 − 2x)) dx0
5
= ∫ (5x − x 2 ) dx0
= 5
x 2-
1 x 3
5
2
= 5
52
2
3 0
- 1
53
3
= 125
- 125
=375 − 250
= 125
2
= 20
3 6 65
satuan luas6
9. Luas daerah yang diarsir pada gambar adalah :
Jawab:
cari titik potong kedua persamaan :
8-2x 2 = x + 2⇔ 2x 2 +x – 6 = 0⇔ (2x - 3)( x + 2) = 0
Didapat titik potong x =3
dan x = -22
|
3
2
L = ∫ ((8 − 2x 2 ) − ( x + 2))dx−2
3
2
= ∫ (6 − 2x 2 − x)dx−2
3
= 6x -2
x 3 -1
x 2 2
3 2 −2
= {6 . 3
-2
( 3
) 3 -1
( 3
) 2 } - {6 . -2 -2
(-2) 3 -1
(-2) 2 }2 3 2 2 2 3 2
= {9 - 2
.27
-1
. 9
} – {-12 + 16
- 2}3 8 2 4 3
= 9 -
= 23 -
54 -
24
54 -
9 + 12 -
8
9 -
16
16 + 2
3
24 8 3
= 552 − 54 − 27
−128
24
= 343
= 1424
7 satuan luas
24
10. Volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva y = x 2 dan y = x +6. Diputar mengelilingi sumbu x sebesar 360 0 adalah…..
Jawab:
|
Titik potong kurva :
x 2 = x + 6
⇔ x 2 - x – 6 = 0⇔ (x- 3)(x+2) = 0
titik potong di x = 3 dan x = -2
3
V = π ∫ (( x +
6) 2
−2
- ( x 2 ) 2 ) dx
3
= π ∫ (( x 2 + 12 x + 36) − x 4 ) dx−2
3
= π ∫ (−x 4 + x 2 + 12 x + 36 ) dx−2
= π { - 1 x 5 +
1 x 3 + 6 x 2 + 36x}
3
5 3 −2
= π {(- 243 + 9 + 54 + 108) – (
32 -
8 + 24 – 72)}
= π (-
5
243 +171 -
5
32 +
5
5 3
8 + 48)
3
= π (- 275
+5
8 + 219)
3= π (219 – 55 + 8
) = π (164 + 8
)3 3
= 1662
π satuan volume3
