Belajar persamaan lingkaran materi matematika kelas 11 SMA dengan contoh soal dan pembahasan.Artikel awal ini membahas persamaan lingkaran dengan pusat titik (0, 0), titik (a, b) dan bentuk umum persamaan lingkaran,  garis singgung pada lingkaran dibahas pada artikel tersendiri.

Soal No. 1Berikut lukisan sebuah lingkaran pada sumbu x dan sumbu y. 

Tentukan:a) koordinat titik pusat lingkaranb) jari-jari lingkaranc) persamaan lingkaranPembahasana) koordinat titik pusat lingkarandari gambar terlihat bahwa koordinat pusat lingkaran adalah (0, 0)

b) jari-jari lingkaranJari-jari lingkaran r = 5

c) persamaan lingkaranlingkaran dengan pusat titik (0, 0) dengan jari-jari r akan memiliki persamaan dengan bentuk :x2 + y2 = r2 

 

sehinggax2 + y2 = 52

x2 + y2 = 25

Soal No. 2Suatu lingkaran memiliki persamaan:x2 + y2 = 144

Tentukan panjang diameter lingkaran tersebut!

PembahasanLingkaran pusat di (0, 0) di atas memiliki jari-jari:r = √144 = 12 cm.

Diameter lingkaran:D = 2 r= 24 cm.

Soal No. 3Diberikan sebuah lingkaran seperti gambar berikut! 

Tentukan:a) koordinat titik pusat lingkaranb) jari-jari lingkaranc) persamaan lingkaranPembahasana) koordinat titik pusat lingkaranpusat lingkaran terletak pada x = 5 dengan y = 6 sehingga koordinatnya adalah (5, 6)

b) jari-jari lingkaransesuai gambar diatas, jari-jari lingkaran adalah 5 − 2 = 3

c) persamaan lingkaranlingkaran dengan titik pusat di (a, b) dengan jari-jari r akan memiliki persamaan berikut:(x − a)2 + (y − b)2 = r2 

 

dimana a = 5, dan b = 6

sehingga(x − 5)2 + (y − 6)2 = 32

(x − 5)2 + (y − 6)2 = 9

Soal No. 4Persamaan suatu lingkaran adalah x2 + y2 − 8x + 4y − 5 = 0Tentukan:a) titik pusat lingkaranb) jari-jari lingkaran

Pembahasan Suatu lingkaran x2 + y2 + Ax + By + C = 0 

 

akan memiliki titik pusat (−1/2A, −1/2 B) dan jari-jari r = √[1/4 A2 + 1/4 B2 −C] . 

Dari persamaan lingkaran diatas nilai :A = −8, B = 4 dan C = − 5

a) titik pusat (−1/2[−8], −1/2 [4]) = (4, −2)b) jari-jari lingkaran r = √[1/4 (−8)2 + 1/4 (4)2 −(−5)] = √25 = 5Soal No. 5Jari-jari dan pusat lingkaran yang memiliki persamaan x2 + y2 + 4x − 6y − 12 = 0 adalah...A. 5 dan (−2, 3)B. 5 dan (2, −3)C. 6 dan (−3, 2)D. 6 dan (3, −2)E. 7 dan (4, 3)

Pembahasanx2 + y2 + 4x − 6y − 12 = 0 

A = 4B = −6C = −12 

Pusat: 

 

Jari-jari: 

 

Sehingga jari-jari dan pusatnya adalah 5 dan (−2, 3).

Soal No. 6Lingkaran dengan persamaan 2x2 + 2y2 − 1/2 ax + 4y − 12 = 0 melalui titik (1, − 1). Diameter lingkaran tersebut adalah....A. 2B. 3C. 4D. 6E. 8

PembahasanMasukkan titik (1, − 1) ke persamaan lingkaran untuk mendapatkan nilai a terlebih dahulu: 

 

Jadi persamaan lingkarannya sebenarnya adalah 

 

Jari-jarinya: 

 

Diameternya adalah 2 × 4 = 8Soal No. 7Diberikan persamaan lingkaran:x2 + y2 −4x + 2y − 4 = 0. 

Titik A memiliki koordinat (2, 1). Tentukan posisi titik tersebut, apakah di dalam lingkaran, di luar lingkaran atau pada lingkaran! 

PembahasanMasukkan koordinat A ke persamaan lingkarannya:Titik A (2, 1)x = 2y = 1

x2 + y2 −4x + 2y − 4 = (2)2 + (1)2 −4(2) + 2(1) − 4 = 4 + 1 − 8 + 2 − 4= −5

Hasilnya lebih kecil dari 0, sehingga titik A berada di dalam lingkaran.

Aturan selengkapnya:

Hasil < 0 , titik di dalam lingkaranHasil > 0 , titik akan berada di luar lingkaran.Hasil = 0, maka titik berada pada lingkaran.

Soal No. 8Diberikan persamaan lingkaran:(x − 2)2 + (x + 1)2 = 9

Titik B memiliki koordinat (5, − 1). Tentukan posisi titik B apakah berada di dalam, luar atau pada lingkaran!

PembahasanUntuk bentuk persamaan lingkaran bentuk (x − a)2 + (x − b)2 = r2, kedudukan titik terhadap lingkarannya sebagai berikut:

Di dalam lingkaran untuk (x − a)2 + (x − b)2 < r2

Di luar lingkaran untuk (x − a)2 + (x − b)2 > r2

Pada lingkaran untuk (x − a)2 + (x − b)2 = r2

Masukkan koordinat B ke persamaan lingkarannya, lihat hasilnya terhadap angka 9, lebih besar, lebih kecil ataukah sama.B (5, − 1)x = 5y = − 1

(x − 2)2 + (x + 1)2 = (5 − 2)2 + (−1 + 1)2 = 9 

Hasilnya sama, jadi titik B berada pada lingkaran.

Soal No. 9Diberikan persamaan lingkaran:(x − 2)2 + (x + 1)2 = 9

Titik C memiliki koordinat (3, 4).Tentukan jarak titik C dari pusat lingkaran!

PembahasanPersamaan lingkarannya,(x − a)2 + (x − b)2 = r2 (x − 2)2 + (x + 1)2 = 9

Pusat lingkaran ini adalah,P (a, b) = (2, − 1) 

Jarak titik C (3, 4) ke pusat P (2, − 1) ditentukan dengan rumus jarak antara dua titik:

 

Hasilnya 

 

Terbalik angkanya hasilnya sama juga 

Soal No. 10Diberikan persamaan lingkaran sebagai berikut:x2 + y2 −2x + 4y + 1 = 0

Jika pusat lingkaran adalah P(a, b) maka nilai dari 10a − 5b =....A. −10B. −5C. 5D. 10E. 20

Pembahasanx2 + y2 −2x + 4y + 1 = 0

Pusatnya adalahP (−1/2[−2], −1/2 [4])= (1, −2)

Jadi a = 1 dan b = − 2.10a − 5b =....10(1) − 5(−2) = 10 + 10 = 20Soal No. 11   Lingkaran yang persamaannya x2 + y2 − Ax − 10y + 4 = 0 menyinggung sumbu x. Nilai A yang memenuhi adalah...A. − 2 dan 2

B. − 4 dan 4C. − 5 dan 5D. − 6 dan 6E. − 9 dan 9

PembahasanCara Pertama:Lingkarannya menyinggung sumbu x, sehingga jari-jari lingkarannya akan sama dengan nilai positif dari ordinat titik pusatnya atau 

 

Sehingga jari-jari lingkaran x2 + y2 − Ax − 10y + 4 = 0 adalah r = 10/2 = 5.

Dari rumus jari-jari lingkaran yang telah dihilangkan tanda akarnya: 

 

Cara kedua:Lingkaran yang persamaannya x2 + y2 − Ax − 10y + 4 = 0 menyinggung sumbu x. Artinya saat menyinggung sumbu x nilai y = 0. Masukkan ke persamaan, y diisi nol, 

 

Terbentuk persamaan kuadrat, syaratnya menyinggung nilai diskrimanan sama dengan nol (D = 0), ingat D = b2 − 4ac di materi persamaan kuadrat. Sehingga 

Soal No. 12   Persamaan lingkaran dengan pusat P(3, 1) dan menyinggung garis 3x + 4y + 7 = 0 adalah.....A. x2 + y2 − 6x − 2y + 6 = 0 B. x2 + y2 − 6x − 2y + 9 = 0 C. x2 + y2 − 6x − 2y − 6 = 0 D. x2 + y2 + 6x − 2y + 6 = 0 E. x2 + y2 + 6x + 2y − 6 = 0 (Persamaan Lingkaran - UAN 2006)

PembahasanKuncinya adalah mengetahui berapa jari-jari lingkaran terlebih dahulu. Baik diketahui dulu rumus untuk menentukan jarak suatu titik ke suatu garis. 

 

Dalam kasus ini jari-jari lingkarannya sama dengan jarak titik ke garis, karena garisnya menyinggung lingkaran.

Jarak titik P(3, 1) ke garis x + 4y + 7 = 0 adalah 

 

Dengan demikian jari-jari lingkarannya r = d = 4.

Tinggal membuat persamaan lingkarannya, pusatnya di titik (3, 1) dengan jari-

jari 4 

 

Soal No. 13Jari-jari lingkaran pada gambar di bawah ini adalah... 

 

A √3B. 3C. √13D. 3√3E. √37(Lingkaran - Ebtanas 1996)

Soal No. 14Tentukan persamaan garis singgung untuk lingkaran x2 + y2 = 29 yang melalui titik (5, − 2).

PembahasanTitik (5, − 2) terletak pada lingkaran dan sekaligus menjadi titik singgungnya, karena 52 + (−2)2 = 25 + 4 = 29 Persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 = r2 jika diketahui titik singgungnya adalah:x1x + y1y = r2

5x + (−2)y = 295x − 2y = 29Soal No. 15Tentukan persamaan garis singgung untuk lingkaran x2 + y2 = 13 yang melalui titik:a) (3, −2)b) (3, 2) 

Pembahasan

Tipe soal masih seperti nomor 14. Titik (3, − 2) dan titik (3, 2) sama-sama berada pada lingkaran x2 + y2 = 13 sehingga persamaan garis singgungnya masing-masing adalah:a) x1x + y1y = r2

3x − 2y = 13

b) x1x + y1y = r2

3x + 2y = 13

Read more: http://matematikastudycenter.com/kelas-11-sma/14-persamaan-lingkaran-kelas-11-sma#ixzz3UAs9u31Z

Soal 1: Deteksi Radar

Suatu kapal pesiar yang ditempatkan pada koordinat (5, 12) memiliki

radar dengan jangkauan 45 km ke segala arah. (a) Tulislah persamaan

yang memodelkan jangkauan maksimum dari radar kapal tersebut, dan

(b) gunakan rumus jarak untuk menentukan apakah radar tersebut dapat

mendeteksi kapal lain pada koordinat (50, 25).

Pembahasan (a) Dengan menggunakan posisi kapal pesiar, (5, 12),

sebagai titik pusat, kita memperoleh a = 5, b = 12, dan r = 45.

Sehingga, jangkauan maksimum dari radar tersebut dapat dimodelkan

sebagai: (x – 5)2 + (y – 12)2 = 452 yang sama dengan persamaan (x – 5)2 +

(y – 12)2 = 2.025.

(b) Dengan (x1, y1) = (5, 12) dan (x2, y2) = (50, 25), maka dengan

menggunakan rumus jarak

Karena 46,84 > 45, maka kapal pesiar yang kedua tidak akan dapat

terdeteksi oleh radar kapal pesiar pertama.

Soal 2: Lingkaran Dalam

Tentukan persamaan dari lingkaran yang berwarna merah dan biru,

kemudian tentukan luas daerah yang berwarna biru.

Pembahasan Dengan menggunakan grid pada gambar di atas, kita

dapat melihat bahwa lingkaran yang berwarna biru memiliki titik pusat

di (2, 0) dan berjari-jari R = 4 satuan panjang. Selain itu, kita juga dapat

melihat bahwa lingkaran yang berwarna merah memiliki titik pusat di (2,

2) dan berjari-jari r = 2 satuan panjang. Sehingga persamaan lingkaran

yang berwarna biru adalah (x – 2)2 + (y – o)2 = 42 atau dapat

disederhanakan menjadi (x – 2)2 + y2 = 16. Dengan cara yang sama kita

dapat memperoleh persamaan lingkaran yang berwarna merah adalah

(x – 2)2 + (y – 2)2 = 4.

Selanjutnya kita akan menentukan luas daerah yang berwarna biru.

Daerah ini merupakan hasil pengurangan daerah dalam lingkaran biru

oleh daerah dalam lingkaran merah. Sehingga,

Jadi, luas daerah yang berwarna biru adalah 12π satuan luas

Soal 3: Jangkauan Siaran Radio

Dua stasiun radio tidak akan menggunakan frekuensi yang sama apabila

daerah siarannya bertumpang tindih. Misalkan stasiun radio KXRQ

memiliki daerah siaran yang dibatasi oleh x2 + y2 + 8x – 6y = 0 dan WLRT

memiliki daerah siaran yang dibatasi oleh x2 + y2 – 10x + 4y = 0 (dalam

kilometer). Lukislah daerah siaran dari kedua radio tersebut dalam satu

bidang koordinat untuk menentukan apakah kedua stasiun tersebut

harus memiliki frekuensi yang berbeda atau tidak.

Pembahasan Pertama, kita harus mengubah persamaan

lingkaran x2 + y2 + 8x – 6y = 0 menjadi persamaan yang memuat kuadrat

dari binomial-binomial dalam x dan y.

Sehingga stasiun radio KXRQ memiliki lokasi di koordinat (–4, 3) dan

memiliki jari-jari siaran maksimum r = √25 = 5 km. Selanjutnya kita

ubah persamaan x2 + y2 – 10x + 4y = 0 ke dalam kuadrat binomial-

binomial x dan y.

Sehingga, stasiun radio WLRT memiliki posisi di koordinat (5, –2) dan

memiliki radius siaran maksimum R = √29 ≈ 5,39 km. Selanjutnya kita

gambarkan daerah siaran dari kedua stasiun tersebut.

Dari gambar di atas, kita dapat melihat bahwa ada daerah yang saling

tumpang tindih. Untuk membuktikannya, kita dapat menggunakan

rumus jarak (–4, 3) dengan (5, –2). Untuk (x1, y1) = (–4, 3) dan (x2, y2) = (5,

–2),

Karena d ≈ 10,30 < 5 + 5,39 = r + R, maka kita dapat menyimpulkan

bahwa ada daerah yang saling tumpang tindih. Jadi, kedua stasiun radio

tersebut harus menggunakan frekuensi gelombang yang berbeda.

Soal 4: Segitiga Dalam Lingkaran

Luas daerah segitiga sama sisi yang ketiga titik sudutnya terletak pada

suatu lingkaran diberikan oleh rumus L = (3√3/4)r2, dengan r adalah jari-

jari lingkaran. Tentukan luas segitiga sama sisi yang ditunjukkan oleh

gambar berikut.

Pembahasan Jari-jari dari lingkaran tersebut sama dengan jarak titik

pusatnya, (0, 0), dengan salah satu titik pada lingkaran, yaitu (3,4).

Dengan (x1, y1) = (0, 0) dan (x2, y2) = (3, 4), kita mendapatkan

Sehingga jari-jari dari lingkaran tersebut adalah r = 5 satuan panjang.

Selanjutnya kita tentukan luas dari segitiga dalamnya.

Jadi, luas segitiga sama sisi dalam lingkaran tersebut adalah 32,48

satuan luas.

Soal 5: Jangkauan Gempa Bumi

Suatu episentrum (titik pusat) dari suatu gempa terletak pada koordinat

peta (3, 7), dan gempa tersebut memiliki radius 36 km. (a) Tulislah

persamaan yang memodelkan jangkauan maksimum dari gempa

tersebut. (b) Gunakan rumus jarak untuk menentukan apakah seseorang

yang memiliki lokasi di (33, 25) merasakan gempa tersebut.

Pembahasan Jangkauan maksimum suatu gempa bumi dapat

dimodelkan dengan persamaan lingkaran. Karena titik pusatnya (3, 7)

dan jari-jarinya 36 km, maka persamaanya menjadi (x – 3)2 + (y – 7)2 =

362 atau dapat disederhanakan menjadi (x – 3)2+ (y – 7)2 = 1.296. Grafik

dari lingkaran tersebut dapat dilihat seperti berikut.

Selanjutnya kita tentukan jarak seseorang yang ada di posisi (33, 25)

dengan pusat gempa, (3, 7). Dengan (x1, y1) = (3, 7) dan (x2, y2) = (33, 25),

akan menghasilkan

Karena d = 34,99 < 36, maka orang tersebut akan merasakan dampak

dari gempa bumi tersebut. Semoga bermanfaat, yos3prens.

Soal No. 1Tentukan turunan pertama dari fungsi berikut:a) f(x) = 3x4 + 2x2 − 5xb) f(x) = 2x3 + 7xPembahasanRumus turunan fungsi aljabar bentuk axn 

Sehingga:a) f(x) = 3x4 + 2x2 − 5x f '(x) = 4⋅3x4− 1 + 2⋅2x2−1 − 5x1-1

f '(x) = 12x3 + 4x1 − 5x0

f '(x) = 12x3 + 4x − 5

b) f(x) = 2x3 + 7xf '(x) = 6x2 + 7

Soal No. 2Tentukan turunan pertama dari fungsi berikut:a) f(x) = 10xb) f(x) = 8c) f(x) = 12

Pembahasana) f(x) = 10xf(x) = 10x1

f '(x) = 10x1−1

f '(x) = 10x0

f '(x) = 10

 

b) f(x) = 8f(x) = 8x0

f '(x) = 0⋅ 8x0−1

f '(x) = 0

 

c) f(x) = 12f '(x) = 0

Soal No. 3Tentukan turunan pertama dari fungsi berikut:a) f(x) = 5(2x2 + 4x)b) f(x) = (2x + 3)(5x + 4)

PembahasanTentukan turunan pertama dari fungsi berikut:a) f(x) = 5(2x2 + 4x)f(x) = 10x2 + 20xf ' (x) = 20x + 20

b) f(x) = (2x + 3)(5x + 4)

Urai terlebih dahulu hingga menjadif (x) = 10x2 + 8x + 15x + 12f (x) = 10x2 + 13x + 12

Sehinggaf ' (x) = 20x + 13

Soal No. 4Tentukan turunan dari fungsi-fungsi berikut

a)

b)

c)

Pembahasana)

b)

c)

Soal No. 5Tentukan turunan dari fungsi-fungsi berikut, nyatakan hasil akhir dalam bentuk akara)

b)

c)

Pembahasana)

b)

c)

Soal No. 6Dengan menggunakan rumus turunan hasil kali fungsi berikut ini 

 

Tentukan turunan untuk f(x) = (x2 + 2x + 3)(4x + 5)

PembahasanMisal :u = (x2 + 2x + 3)v = (4x + 5)

maka u ' = 2x + 2

v ' = 4

sehingga penerapan rumus di atas menjadi 

 

Soal No. 7Diketahui

 Jika f '(x) menyatakan turunan pertama f(x), maka f(0) + 2f ' (0) =...A. − 10B. − 9C. − 7D. − 5E. − 3(Soal UN 2008)

PembahasanUntuk x = 0 maka nilai f(x) adalah 

 

Berikutnya menentukan turunan f (x) yang berbentuk hasil bagi fungsi 

 

Misal:u = x2 + 3    ->    u' = 2xv = 2x + 1    ->    v' = 2Sehingga

Untuk nilai x = 0 langsung bisa dimasukkan saja seperti ini

Sehingga f(0) + 2f' (0) = 3 + 2(−6) = − 9

Read more: http://matematikastudycenter.com/kelas-11-sma/100-turunan-fungsi-aljabar-11-sma#ixzz3UB2kwuF2