Problema de upgrading de delay mınimo dearvore geradora mınima

Francisco Glaubos

Universidade Federal do Rio de Janeiro

glaubos@cos.ufrj.br

2 de outubro de 2016

Formulacao: Variaveis

I xij

I 1 se a aresta i , j e utilizada;I 0 c.c.

I uiI 1 se o vertice i sofreu upgrade;I 0 c.c.

I Di ,j,l : (i , j) ∈ TI 1, se a aresta (i , j) recebeu upgrade do tipo l ;I 0 c.c.

Formulacao: Restricoes

n∑i

n∑j

xij = n − 1 (1)

n∑i∈S

n∑j∈S

xij ≤ |S| − 1 ∀(i , j) ∈ E , ∀S ⊆ V (2)

2∑l=0

Dijl = xij ∀(i , j) ∈ E (3)

Formulacao: Restricoes

Dij0 ≤ 1− ui ∀(i , j) ∈ E (4)

Dij0 ≤ 1− uj ∀(i , j) ∈ E (5)

ui + uj ≥ Dij1 ∀(i , j) ∈ E (6)

Dij1 + ui + uj ≤ 2 ∀(i , j) ∈ E (7)

Dij1 ≥ ui − uj − (1− xij) ∀(i , j) ∈ E (8)

Dij1 ≥ uj − ui − (1− xij) ∀(i , j) ∈ E (9)

Formulacao: Restricoes e F.O.

Dij2 ≤ ui ∀(i , j) ∈ E (10)

Dij2 ≤ uj ∀(i , j) ∈ E (11)

Dij2 ≥ ui + uj − 1− (1− xij) ∀(i , j) ∈ E (12)

∑i∈V

ui ci ≤ B (13)

F.O.:Minn∑i

n∑j

2∑l=0

Dijl Cijl (14)

Estrategias

Branch & BoundI Geracao de todas as SECsI heuristica primal

Branch & CutI Cut setI Cover cutI Clique cut

Relaxacao LagrangeanaI Subproblema: AGM + mochilaI Heurıstica Lagrangeana

Branch & Bound: Heurıstica primal

I Utilizada para encontrar um limite primal (cutoff )I Algoritmo:

1. E ′ ← E2. Para cada (i , i) ∈ E ′ :

I E′[i ].custo ← dij0

3. Kruskal(E ′ )

Branch & Cut: Cut set

Branch & Cut: Cover

Branch & Cut: Clique

Relaxacao Lagrangeana: subproblema

I Restricoes da AGM + mochilaI NP-Completude mantida

I Qualidade do limite dual X Velocidade

Relaxacao Lagrangeana: heurıstica lagrangeana

1. E ′ ← E2. Para cada (i , i) ∈ E ′ :

I E ′ [i ].custo ← dij0

3. Kruskal(E ′)4. Para cada u ∈ V :

4.1 Se ui > 0, tenta fazer upgrade em{(i , j) : (i , j) ∈ E ′

, (i , j) ∈ δ(ui )}

Relaxacao Lagrangeana: metodo do subgradiente

Resultados Computacionais

Ambiente de execucaoI Linguagem C++ e compilador g + + versao 4.6.3.I Computador com Intel R©CoreTM i7 CPU 650 @ 3.20GHz, 8Gb

de memoria RAM.

ParametrosI Cutoff: heurıstica primalI Branching Priority em ui

I Reducao do espaco de buscaI Se ui = 0 entao D2

ij = 0 ∀(i , j) ∈ δ+(i)I Desativados: PreSolve, Cuts e Heuristics.I Threads = 1

Branch & Bound

Tabela: Instancias DInstancias B LP Tlp(s) # nos T (s) Sol Best B.

D103911.6 66.61 0.00 3 0.02 73 7358 23.21 0.00 2 0.03 33 33

104.4 17.00 0.00 0 0.01 21 21

D50498329.4 - - - 0.00 365 -1647 - - - 0.00 365 -

2964.6 - - - 0.00 365 -

D1009781349.5 - - - 0.00 897 -6747.5 - - - 0.00 897 -

12145.5 - - - 0.00 897 -

Tabela: Instancias FInstancias B LP Tlp(s) # nos T(s) Sol Best B.

F104417 26.11 0.01 3 0.05 31 3187 9.00 0.01 2 0.04 9 9

157 9.00 0.01 0 0.02 9 9

F5015081 - - - 0.01 543 -

405 - - - 0.01 543 -729 - - - 0.01 543 -

F1004401780 - - - 0.01 687 -8902 - - - 0.01 687 -

16023 - - - 0.01 687 -

Branch & Bound

Tabela: Instancias HInstancias B LP Tlp(s) # nos T(s) Sol Best B.

H104560 28.56 0.01 5 0.05 34 34

302 9.33 0.01 875 0.53 21 21543 9 0.01 1028 0.40 12 12

H501225601 - - - 0.01 343 -

3009 - - - 0.01 343 -5417 - - - 0.01 343 -

H10049501232.1 - - - 0.03 693 -6160.5 - - - 0.03 693 -

11088.9 - - - 0.03 693 -

Tabela: Instancias VInstancias B LP Tlp(s) # nos T(s) Sol Best B.

v104530,49 103.78 0.00 7 0.03 113.49 113.49

152,49 91.90 0.00 26 0.04 93.28 93.28274,48 91.57 0.00 0 0.01 92.06 92.06

v501057605.33 - - - 0.01 2636 -

3026.69 - - - 0.01 2636 -5448.04 - - - 0.01 2636 -

v10041092545.34 - - - 0.01 2636 -

12726.73 - - - 0.01 2636 -22908.11 - - - 0.01 2636 -

Obs.: Branch & Bound

I Instancias mais faceis: D

I Instancias mais difıceis: H

I Nao foi possıvel carregar o modelo para 50 e 100 nos

Branch & CutTabela: Instancias D

Instancias B LP Tlp(s) # nos T(s) Sol Best B. UserCuts

LazyConst.

# mincut

T(s)min cuts

D103911.6 66.61 0.00 5 0.04 73 73 2 11 16 0.0058 23.18 0.00 9 0.03 33 33 0 3 9 0.00

104.4 17 0.00 0 0.03 21 21 1 4 6 0.00

D50498329.4 113.14 0.04 45 0.38 157 157 20 29 41 0.001647 49 0.02 90 0.73 55 55 7 37 59 0.00

2964.6 49 0.01 4 0.28 56 56 2 49 52 0.00

D1009781349.5 226.03 0.09 232 2.80 230 230 86 223 230 0.0046747.5 111.04 0.04 1719 12.65 113 113 132 764 1333 0.02

12145.5 99 0.03 10 0.55 100 100 0 59 62 0.001

Tabela: Instancias V

Instancias B LP Tlp(s) # nos T(s) Sol Best B. UserCuts

LazyConst.

# mincut

T(s)min cuts

v104521.72 102.20 0.01 5 0.02 113.48 113.48 2 3 6 0.00

108.63 92.40 0.00 29 0.02 93.28 93.28 12 13 30 0.00195.54 92.06 0.00 0 0.01 92.06 92.06 0 1 1 0.00

v501057610.42 2591.68 0.03 477 1.20 2633.37 2633.37 73 140 344 0.004

3052.13 2475.94 0.01 39 0.31 2477.07 2477.07 10 11 38 0.005493.84 2470.78 0.01 0 0.05 2479.83 5493.84 0 1 2 0.00

v10041092260.66 10018.26 0.30 979 45.12 10035.93 10035.93 58 169 791 0.02

11303.32 9926.81 0.23 115 9.52 9927.26 9927.26 27 40 118 0.00420345.97 9919.54 0.08 0 0.30 9919.54 9919.54 0 1 1 0.30

Branch & Cut

Tabela: Instancias HInstancias B LP Tlp(s) # nos T(s) Sol Best B. User

CutsLazy

Const.# min

cutT(s)

min cuts

H104560 27.55 0.000 6 0.01 34 34 1 7 13 0.000

302 9 0.000 129 0,05 21 21 16 17 82 0.000543 9 0.000 16 0,02 12 12 3 12 18 0.000

H501225601 57.06 0.210 27538 1800 160 154 11 182 19727 0.843

3009 49 0.050 23996 1800 50 49 3159 14365 15519 0.4825417 49 0.080 551 84.09 49 49 73 1577 2180 0.076

H10049501232.1 99 1.770 2277 1800 - 99 0 43 3182 0.2566160.5 99 0.290 2279 1800 117 101 87 3266 5048 0.332

11088.9 99 0.590 658 318.06 100 100 0 0 2128 0.172

Tabela: Instancias FInstancias B LP Tlp(s) # nos T(s) Sol Best B. User

CutsLazy

Const.# min

cutT(s)

min cuts

F104417 17.6 0.00 1 0.03 31 31 2 3 5 0.0087 9 0.00 0 0.02 9 9 1 1 4 0.00

157 9 0.00 0 0.02 9 9 0 2 3 0.00

F5015081 177.56 0.02 152 0.31 256 256 19 91 94 0.31

405 83 0.00 109 0.18 91 91 15 64 66 0.002729 72 0.00 0 0.03 72 72 0 1 1 0.00

F1004401780 251.80 0.07 785 2.58 276 276 86 166 546 0.018902 109.61 0.03 28 0.25 111 111 1 14 29 0.25

16023 99 0.02 0 0.08 99 99 0 1 1 0.00

Obs.: Branch & Cut

I Instancias mais difıceis: HI Tempo maximo excedido em 4 instancias

I Instancias mais faceis: F

I Algoritmo de separacao bastante rapido

Relaxacao Lagrangeana

Tabela: Instancias DInstancias B Valor RL T(s) # It. Sol

D103911.6 73.099 4.749 600 85.00058 32.293 7.609 1000 47.000

104.4 20.980 3.620 1000 33.000

D50498329.4 112.481 2341.125 600 296.0001647 49.706 202.452 600 203.000

2964.6 54.211 138.581 600 182.000

D1009781349.5 156.891 1823.339 16 703.0006747.5 110.385 1810.866 84 521.000

12145.5 104.687 1801.475 683 461.000

Tabela: Instancias FInstancias B Valor RL T(s) # It. Sol

F104417 27.864 8.026 1000 51.00087 10.764 4.971 1000 22.000

157 9.556 3.525 1000 15.000

F5015081 219.021 45.261 1000 399.000

405 108.857 33.132 1000 238.000729 94.390 38.768 1000 176.000

F1004401780 166.344 1883.311 75 612.0008902 144.839 1840.280 119 399.000

16023 133.793 732.628 1000 288.000

Tabela: Instancias HInstancias B Valor RL T(s) # It. Sol

H104560 32.085 11.831 1000 59.000

302 9.878 10.626 1000 29.000543 9.941 4.375 1000 18.000

H501225601 51.397 1804.633 190 260.000

3009 51.775 310.026 1000 169.0005417 51.259 221.766 1000 107.000

H10049501232.1 97.551 3245.636 6 520.0006160.5 101.718 1818.515 294 314.000

11088.9 102.655 1800.726 471 216.000

Tabela: Instancias VInstancias B Valor RL T(s) # It. Sol

v104521.72 110.116 8.875 1000 120.000

108.63 96.827 17.744 1000 108.000195.54 94.503 7.069 1000 104.000

v501057610.42 2595.953 499.286 1000 2896.000

3052.13 2493.225 239.044 1000 2660.0005493.84 2478.924 68.401 1000 2559.000

v10041092260.66 10016.663 1803.096 598 10482.000

11303.32 9929.867 1596.772 1000 10210.00020345.97 9921.301 509.582 1000 10083.000

Obs.: Relaxacao Lagrangeana

I Condicao de otimalidade nao ocorreu para nenhuma instanciaI Melhorar heurıstica LagrangeanaI Upper Bound variando muito pouco

I Para a grande maioria das instancias, superou a relaxacaolinear (em custo)

I GAP da solucao esta muito algo em relacao a solucao doB&B e B&Cl