Fluxo&em&Redes& - lucianaassis.pro.br · Algoritmos&em&Grafos& 12 Árvore&Geradorade&Peso& Mínimo& Princípio: a aresta de menor peso sempre pertence à árvore geradora de peso

Fluxo em Redes

Luciana Assis

Sumário

•  Árvore Geradora Mínima •  Caminho Mínimo •  Fluxo Máximo

ÁRVORE GERADORA MÍNIMA

Árvore Geradora Mínima

•  Árvore: grafo conexo sem ciclo. •  Árvore Geradora de G(V,A): é uma árvore contendo todos os vérAces do grafo G

•  Árvore Geradora Mínima de G(V,A): árvore geradora de G, cuja soma dos pesos de suas arestas é mínima.

•  Aplicação: problemas de comunicação e conexão


•  Teoremas: –  T1: Todo grafo conexo tem pelo menos uma árvore geradora. Um grafo desconexo é composto por uma floresta de árvores geradoras.

–  T2: Dado o grafo G(V,A), sendo n = |V|. Seja a árvore geradora AG(V,A’), então |A’|=n-‐1.

–  T3: Dado o grafo G(V,A), A(V’,A’) é uma árvore de G se a remoção de qualquer aresta torna o grafo desconexo

–  T4: Dado o grafo G(V,A), A(V’,A’) é uma árvore de G se a inserção de qualquer aresta de A em A’ acrescenta um único ciclo em A.


•  Exemplo: Fundação Zoo-‐Botânica – Problema: Criação de postos de informações em todos os setores a fundação. Onde passar as linhas telefônicas de forma que todos os postos fiquem conectados?


Fig.2 – Fundação Zoo-‐Botânica Disponível em:www.pbh.gov.br/zoobotanica

6

5

5

6

3

7

6 4

4

3

3 5

4

3


9 Algoritmos em Grafos

Árvore Geradora de Peso Mínimo

Exemplo:

9 D

A

E

B

C

F 3

4

8 4

7

2

2

5 9

árvore geradora peso = 15

D

A B

C

E F

árvore geradora peso = 24

D

A

E

B

C

F

3

4

8 4 5

3

4

4

2

2


•  Sabemos que uma árvore geradora mínima resolve o problema da fundação zoo-‐botânica, mas como encontrar uma árvore geradora mínima?

•  Algoritmos: – Algoritmo de Kruskal – Algoritmo de Prim



  Dados: G = (V,E) grafo não-‐orientado, com |V|=n e |E|=m

peso c(e), ∀e ∈ E

  Problema Obter F ⊆ E tal que:

  o grafo G’=(V,F) é acíclico e conexo (G’ é gerador de G)   c(F) = Σe∈Ec(e) é mínimo



  Princípio: a aresta de menor peso sempre pertence à árvore geradora de peso mínimo.

Algoritmo de Kruskal

  Prova:   Suponha que a aresta de peso mínimo não pertença à solução

ótima.   Inserindo-se a aresta de peso mínimo nesta solução ótima,

obtém-se um ciclo.   Pode-se obter uma nova árvore geradora removendo-se a

aresta de maior peso.   Esta nova árvore geradora teria peso menor do que a anterior,

portanto aquela solução não poderia ser ótima.



Criar uma lista L com as arestas ordenadas em ordem crescente de pesos. Criar |V| subárvores contendo cada uma um nó isolado. F ← ∅ contador ← 0 Enquanto contador < |V|-1 e L ≠ ∅ faça Seja (u,v) o próximo arco de L. L ← L – {(u,v)} Se u e v não estão na mesma subárvore então F ← F ∪ {(u,v)} Unir as subárvores que contêm u e v. contador ← contador + 1 fim-se fim-enquanto

Algoritmo de Kruskal


Exemplo:


8 3

9 D

A

E

B

C

F

4

4

7

2 2

5 9 e c(e)

(C,F) 2

(E,F) 2

(A,D) 3

(C,E) 3

(A,B) 4

(A,E) 4

(B,F) 5

(D,F) 7

(B,C) 8

(B,E) 9

(C,D) 9

Lista L

Subárvores

{ A } { B } { C } { D } { E } { F } { A } { B } { C, F } { D } { E }

c(F) = 2

{ A } { B } { C, E, F } { D }

c(F) = 4

{ A, D } { B } { C, E, F }

c(F) = 7

{ A, B, D } { C, E, F }

c(F) = 11

{ A, B, C, D, E, F }

c(F) = 15

3

X


Exemplo:


H

A

B

J

C

e c(e) (D,E) 1

(D,L) 2

(F,J) 2

(G,J) 2

(C,D) 3

(E,F) 3

(H,I) 3

(A,B) 4

(B,C) 4

… …

Lista L

Subárvores c(F) = 1

E

M L

G

D

I

F

4

7

4

3

7

5

6

2 2

3

1

4

2

3

8

6

4

{ A } { B } { C } { D } { E } { F }

{ G } { H } { I } { J } { L } { M }

{ A } { B } { C } { D, E } { F }

{ G } { H } { I } { J } { L } { M }

c(F) = 3

{ A } { B } { C } { D, E, L } { F }

{ G } { H } { I } { J } { M }

{ A } { B } { C } { D, E, L }

{ F, J } { G } { H } { I } { M }

c(F) = 5

{ A } { B } { C } { D, E, L }

{ F, G, J } { H } { I } { M }

c(F) = 7

{ A } { B } { C, D, E, L }

{ F, G, J } { H } { I } { M }

c(F) = 10

{ A } { B } { C, D, E, L, F, G, J }

{ H } { I } { M }

c(F) = 13

{ A } { B } { C, D, E, L, F, G, J }

{ H, I } { M }

c(F) = 16

{ A, B } { C, D, E, L, F, G, J }

{ H, I } { M }

c(F) = 20

{ A, B, C, D, E, F, G, J, L }

{ H, I } { M }

c(F) = 24


Exemplo:


H

A

B

J

C Lista L

Subárvores

E

M L

G

D

I

F

4

7

4

3

7

5

6

2 2

3

1

4

2

3

8

6

4

{ A, B, C, D, E, F, G, J, L }

{ H, I } { M }

c(F) = 24

e c(e) ... ...

(A,I) 4

(J,L) 4

(G,M) 5

(C,M) 6

(I,J) 6

(A,M) 7

(G,H) 7

(B,L) 8 { A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, L }

{ M }

c(F) = 28

X

{ A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, L, M }

c(F) = 33



  Começar com uma árvore formada apenas por um nó qualquer do grafo, ou pela aresta de peso mínimo.

Algoritmo de Prim

  A cada iteração, adicionar a aresta de menor peso que conecta um nó já conectado a um nó não-conectado.



Seja (u,v) a aresta de menor peso. F ← {(u,v)} Para i = 1,...,n faça Se c(i,u) < c(i,v) então prox(i) ← u Senão prox(i) ← v fim-para prox(u), prox(v) ← 0, contador ← 0 Enquanto contador < n-2 faça Seja j tal que prox(j)≠0 e c(j,prox(j)) é mínimo. F ← F ∪ {(j,prox(j))} prox(j) ← 0 Para i = 1,...,n faça Se prox(i) ≠ 0 e c(i,prox(i)) > c(i,j) então prox(i) ← j fim-para contador ← contador + 1 fim-enquanto

Algoritmo de Prim



Exemplo:

9 D

A

E

B

C

F 3

4

8 4

7

2 2

5 9

c(F) = 2 c(F) = 4 c(F) = 7 c(F) = 11 c(F) = 15

3



Exemplo:

c(F) = 1

H

A

B

J

C

E

M L

G

D

I

F

4

7

4

3

7

5

6

2 2

3

1

4

2

3

8

6

4

c(F) = 3 c(F) = 6 c(F) = 9 c(F) = 11 c(F) = 13 c(F) = 17 c(F) = 21 c(F) = 25 c(F) = 28 c(F) = 33

CAMINHO MÍNIMO

Caminho Mínimo

•  Caminho: seqüência de arcos (a1,a2,a3,...,an) tais que, cada arco ai, com exceção do primeiro e do úlAmo, é ligado ao arco ai-‐1 por um extremidade e ai+1 por outra.

•  “Caminho mínimo entre u e v é uma seqüência de arestas que, passando por vérAces disAntos, liga u e v de forma a acumular o menor comprimento .” (Goldberg,2000)

Caminho Mínimo

•  Exemplo: Fundação Zoo-‐Botânica – Problema: Como idenAficar o caminho mais curto entre as portarias da fundação zoo-‐botânica?


Fig.3 – Fundação Zoo-‐Botânica Disponível em:www.pbh.gov.br/zoobotanica

Caminho Mínimo

Origem

DesAno

Transbordo

T

O

D

T

D

T T

T

T

T

T

T

T

O T

T

T

T 1

1

2

3

3 3

3

4 4

4

4 4

4

4

5

4

5

5 2

5

5

4 5

6

5

6

7

7

2

1

T

Caminho Mínimo •  Um motorista procura o caminho mais curto entre DiamanAna e Ouro Preto. Possui mapa com as distâncias entre cada par de interseções adjacentes.

•  Modelagem: – G = (V;A): grafo direcionado ponderado, mapa rodoviário.

–  V : interseções. – A: segmentos de estrada entre interseções –  p(u; v): peso de cada aresta, distância entre interseções.

Caminho Mínimo •  Caminhos mais curtos a parAr de uma origem:

–  dado um grafo ponderado G = (V;A), desejamos obter o caminho mais curto a parAr de um dado vérAce origem s ∈ V até cada v ∈ V .

•  Muitos problemas podem ser resolvidos pelo algoritmo para o problema origem única: –  Caminhos mais curtos com desXno único: reduzido ao problema origem única invertendo a direção de cada aresta do grafo.

–  Caminhos mais curtos entre um par de vérXces: o algoritmo para origem única é a melhor opção conhecida.

–  Caminhos mais curtos entre todos os pares de vérXces: resolvido aplicando o algoritmo origem única |V | vezes, uma vez para cada vérAce origem.

Caminho Mínimo

•  Como encontrar um caminho mínimo em um grafo?

•  Algoritmos:

– Algoritmo Dijkstra

Algoritmo de Dijkstra

•  Mantém um conjunto S de vérAces cujos caminhos mais curtos até um vérAce origem já são conhecidos.

•  Produz uma árvore de caminhos mais curtos de um vérAce origem s para todos os vérAces que são alcançáveis a parAr de s.

30

Exemplo

•  Encontrar o caminho mais curto entre s e t

s

3

t

2

6

7

4

5

24

18

2

9

14

15 5

30

20

44

16

11

6

19

6

31

Outro Exemplo

s

3

t

2

6

7

4

5

24

18

2

9

14

15 5

30

20

44

16

11

6

19

6

∞

∞ ∞

∞

∞

∞

∞

0

distance label

S = { } PQ = { s, 2, 3, 4, 5, 6, 7, t }

32

Outro Exemplo

s

3

t

2

6

7

4

5

24

18

2

9

14

15 5

30

20

44

16

11

6

19

6

∞

∞ ∞

∞

∞

∞

∞

0

distancia

S = { } PQ = { s, 2, 3, 4, 5, 6, 7, t }

menor

33

Outro Exemplo

s

3

t

2

6

7

4

5

24

18

2

9

14

15 5

30

20

44

16

11

6

19

6

15

9 ∞

∞

∞

14

∞

0

distance label

S = { s } PQ = { 2, 3, 4, 5, 6, 7, t }

Decrementa

∞ X

∞

∞ X

X

34

Outro Exemplo

s

3

t

2

6

7

4

5

24

18

2

9

14

15 5

30

20

44

16

11

6

19

6

15

9 ∞

∞

∞

14

∞

0

distance label

S = { s } PQ = { 2, 3, 4, 5, 6, 7, t }

∞ X

∞

∞ X

X

menor

35

Outro Exemplo

s

3

t

2

6

7

4

5

24

18

2

9

14

15 5

30

20

44

16

11

6

19

6

15

9 ∞

∞

∞

14

∞

0

S = { s, 2 } PQ = { 3, 4, 5, 6, 7, t }

∞ X

∞

∞ X

X

36

Outro Exemplo

s

3

t

2

6

7

4

5

24

18

2

9

14

15 5

30

20

44

16

11

6

19

6

15

9 ∞

∞

∞

14

∞

0

S = { s, 2 } PQ = { 3, 4, 5, 6, 7, t }

∞ X

∞

∞ X

X

Decrementa

X 33

37

Outro Exemplo

s

3

t

2

6

7

4

5

24

18

2

9

14

15 5

30

20

44

16

11

6

19

6

15

9 ∞

∞

∞

14

∞

0

S = { s, 2 } PQ = { 3, 4, 5, 6, 7, t }

∞ X

∞

∞ X

X

X 33

menor

38

Outro Exemplo

s

3

t

2

6

7

4

5

24

18

2

9

14

15 5

30

20

44

16

11

6

19

6

15

9 ∞

∞

∞

14

∞

0

S = { s, 2, 6 } PQ = { 3, 4, 5, 7, t }

∞ X

∞

∞ X

X

X 33

44 X

X

32

39

Outro Exemplo

s

3

t

2

6

7

4

5

24

18

2

9

14

15 5

30

20

44

16

11

6

19

6

15

9

∞

∞

14

∞

0

S = { s, 2, 6 } PQ = { 3, 4, 5, 7, t }

∞ X

∞

∞ X

X

44 X

menor

∞ X 33 X

32

40

Outro Exemplo

s

3

t

2

6

7

4

5

18

2

9

14

15 5

30

20

44

16

11

6

19

6

15

9

∞

∞

14

∞

0

S = { s, 2, 6, 7 } PQ = { 3, 4, 5, t }

∞ X

∞

∞ X

X

44 X

35 X

59 X

24

∞ X 33 X

32

41

Outro Exemplo

s

3

t

2

6

7

4

5

24

18

2

9

14

15 5

30

20

44

16

11

6

19

6

15

9

∞

∞

14

∞

0

S = { s, 2, 6, 7 } PQ = { 3, 4, 5, t }

∞ X

∞

∞ X

X

44 X

35 X

59 X

menor

∞ X 33 X

32

42

Outro Exemplo

s

3

t

2

6

7

4

5

24

18

2

9

14

15 5

30

20

44

16

11

6

19

6

15

9

∞

∞

14

∞

0

S = { s, 2, 3, 6, 7 } PQ = { 4, 5, t }

∞ X

∞

∞ X

X

44 X

35 X

59 X X 51

X 34

∞ X 33 X

32

43

Outro Exemplo

s

3

t

2

6

7

4

5

18

2

9

14

15 5

30

20

44

16

11

6

19

6

15

9

∞

∞

14

∞

0

S = { s, 2, 3, 6, 7 } PQ = { 4, 5, t }

∞ X

∞

∞ X

X

44 X

35 X

59 X X 51

X 34

menor

∞ X 33 X

32

24

44

Outro Exemplo

s

3

t

2

6

7

4

5

18

2

9

14

15 5

30

20

44

16

11

6

19

6

15

9

∞

∞

14

∞

0

S = { s, 2, 3, 5, 6, 7 } PQ = { 4, t }

∞ X

∞

∞ X

X

44 X

35 X

59 X X 51

X 34

24

X 50

X 45

∞ X 33 X

32

45

Outro Exemplo

s

3

t

2

6

7

4

5

18

2

9

14

15 5

30

20

44

16

11

6

19

6

15

9

∞

∞

14

∞

0

S = { s, 2, 3, 5, 6, 7 } PQ = { 4, t }

∞ X

∞

∞ X

X

44 X

35 X

59 X X 51

X 34

24

X 50

X 45

menor

∞ X 33 X

32

46

Outro Exemplo

s

3

t

2

6

7

4

5

18

2

9

14

15 5

30

20

44

16

11

6

19

6

15

9

∞

∞

14

∞

0

S = { s, 2, 3, 4, 5, 6, 7 } PQ = { t }

∞ X

∞

∞ X

X

44 X

35 X

59 X X 51

X 34

24

X 50

X 45

∞ X 33 X

32

47

Outro Exemplo

s

3

t

2

6

7

4

5

18

2

9

14

15 5

30

20

44

16

11

6

19

6

15

9

∞

∞

14

∞

0

S = { s, 2, 3, 4, 5, 6, 7 } PQ = { t }

∞ X

∞

∞ X

X

44 X

35 X

59 X X 51

X 34

X 50

X 45

menor

∞ X 33 X

32

24

48

Outro Exemplo

s

3

t

2

6

7

4

5

24

18

2

9

14

15 5

30

20

44

16

11

6

19

6

15

9

∞

∞

14

∞

0

S = { s, 2, 3, 4, 5, 6, 7, t } PQ = { }

∞ X

∞

∞ X

X

44 X

35 X

59 X X 51

X 34

X 50

X 45

∞ X 33 X

32

49

Outro Exemplo

s

3

t

2

6

7

4

5

24

18

2

9

14

15 5

30

20

44

16

11

6

19

6

15

9

∞

∞

14

∞

0

S = { s, 2, 3, 4, 5, 6, 7, t } PQ = { }

∞ X

∞

∞ X

X

44 X

35 X

59 X X 51

X 34

X 50

X 45

∞ X 33 X

32

Exemplo

Exemplo

FLUXO MÁXIMO

Introdução

•  Mapa rodoviário à grafo orientado à encontrar o menor caminho de um ponto a outro.

•  Grafo orientado pode representar também um “fluxo em rede” à fluxo de materiais.

•  Ex: Material percorrendo um sistema desde uma origem, onde o material é produzido, até um sorvedor, onde ele é consumido. – Origem produz material em alguma taxa fixa e o sorvedor consome o material na mesma taxa.

17/04/18 Luciana Assis – Algoritmos e Estrutura de Dados III -‐ UFVJM 53

Aplicações

•  O fluxo em redes pode ser usado para modelar líquidos fluindo por tubos, peças de linha de montagem, corrente por redes elétricas, informações por redes de comunicação e assim por diante.


Exemplo

Exemplo

Solução ÓAma

Modelagem •  Cada aresta orientada em um fluxo de rede representa um canal para o material.

•  Cada canal tem uma capacidade estabelecida. •  VérAces são junções de canais e, exceto origem e sorvedor, a taxa na qual o material entra no vérAce deve ser igual a taxa em que ele deixa o vérAce à Conservação de Fluxo

•  ObjeAvo: Calcular a maior taxa na qual o material pode ser enviado desde a origem até o sorvedor sem violar quaisquer restrições de capacidade dos canais (arestas).


Fluxo em Redes

•  Grafo orientado em que cada aresta tem uma capacidade não negaAva.

•  DisAnguimos dois vérAces em um fluxo em rede: – Origem (s) – Sorvedor (t)

•  Consideramos que existe um caminho s àvà t.


Fluxo •  Fluxo em G saAsfaz às três propriedades seguintes: –  Restrição de capacidade: Nenhuma aresta pode transportar mais que sua capacidade à f(u,v) ≤ c(u,v)

– AnA-‐simetria oblíqua: Se existe um fluxo de u até v, então existe um fluxo inverso de v até u à f(u,v)=-‐ f(v,u)

–  Conservação de fluxo: Fluxo de entrada = Fluxo de saída à Σu∈V f(u,v) = 0.

•  Isso garante que: –  não existe acumulo nos nós interiores; –  os nós interiores não produzem o item transportado; –  Eles apenas repassam... (roteamento)


Redes Residuais

•  A rede residual Gf consiste em arestas que podem admiAr mais fluxo.

•  Seja f um fluxo em G, e considere um par de vérAces u,v ∈ V: – A quanAdade de fluxo adicional que podemos “empurrar” de u para v antes de exceder a capacidade c(u,v) é a capacidade residual.


Capacidade residual

•  Capacidade Residual (cf): – cf (u, v) = c(u,v) -‐ f (u, v)

•  Exemplo: – Capacidade de a para b é de 10Kbps; – Estamos uAlizando 2Kbps; – Então, a capacidade residual é 8Kbps...


Aresta Residual •  Aresta da rede residual, ou seja, pode admiAr ainda algum fluxo maior que 0.

•  Aresta de Gf


Fluxo

Capacidade

Caminhos Aumentantes •  Caminho aumentante p é um caminho simples desde s até t na rede residual Gf.

•  Pela definição de rede residual, cada aresta (u,v) em um caminho aumentante admite algum fluxo posiAvo adicional de u até v sem violar a restrição de capacidade sobre a aresta.

•  A quanAdade máxima pela qual podemos aumentar o fluxo em cada aresta de um caminho aumentante p de capacidade residual de p, dada por: –  cf(p) = min{cf(u,v) | (u,v) ∈p}


Problema de Fluxo Máximo

•  fonte s e depósito t. •  c(u,v) = capacidade máxima do arco

•  f(u,v) = fluxo entre vérAces u e v.

Rede G(V,E)



•  cf:Capacidade residual •  Rf: Rede residual •  Caminhos Aumentantes

2

2

3

1

1

1

0

0

cf(d,t) = 2

Rede G(V,E)


Corte de Fluxo em Redes

•  Corte (S,T) de um fluxo em rede G=(V,E) é uma parAção de V em S e T, tal que s ∈ S e t ∈ T.

•  Se f é um fluxo, então o fluxo líquido pelo corte (S,T) é definido como f(S,T). – Somatório do fluxo (posiAvo e negaAvo) do corte

•  Capacidade do corte (S,T) é c(S,T) – somatório das capacidades posiAvas do corte.

•  Corte Mínimo: Capacidade mínima dentre todos os cortes possíveis.



•  Corte •  Fluxo Líquido •  Capacidade do Corte •  Teorema de Fluxo Máximo e Corte Mínimo

Rede G(V,E) 17/04/18 Luciana Assis – Algoritmos e Estrutura de Dados III -‐ UFVJM 67

2

2

3

1

1

1

0

0

f(S,T) = 3 – 1 –0 + 1 = 3 c(S,T) = 3 + 3 = 6 c(S,T) = 2 + 3 = 5

Teorema de Fluxo Máximo e Corte Mínimo

•  Em qualquer grafo direcionado (digrafo) capacitado com vérAce inicial e vérAce final, a intensidade de um fluxo máximo que respeita as capacidades é igual à capacidade de um corte mínimo que separa o vérAce inicial do final.


•  Esse problema consiste em calcular o maior volume de itens que podem ser transportados entre duas localizações sem violar as restrições de capacidades dos canais de comunicação da rede.


Algoritmo Corte Mínimo

•  Enumerar todos os cortes possíveis. •  O corte com menor capacidade indica o maior fluxo possível na rede.

•  Problema: A enumeração de todos os cortes é inviável para problemas de grande magnitude.


•  Algoritmo Ford e Fulkerson (1962): Enquanto exisAr caminho aumentante s-‐>t Encontra caminho aumentante “p” Encontra capacidade residual mínima de p Cf(p) = Min{Cf(u,v), ∀ (u,v) ∈ p} f(u,v) += Cf (p), ∀ (u,v) ∈ p Fim.


Exemplo

2

2

2

2 2

2

2

3

2

2

2

2

3

1

2

2

1

0

0

0

1

1

1

0

1

2

2

0

3

0

Referências •  [1] CORMEN T.H., LEISERSON C.E., RIVEST R.L., STEIN C., Algoritmos:

Teoria e Prática, Campus, 2002. •  [2] MALHOTRA V.M., PRAMODTH M., MAHESHWARI S.N., “An o(v3)

algorithm for finding maximum flows in networks,” Information Processing Latters, vol. 7, no. 6, Outubro 1978.

•  [3] GOLDBARG Marco Cesar LUNA Henrique Pacca, Otimização Combinatória e Programação Linear, Campus, 2000.

•  [4] BAZARAA Mokhtar S., JARVIS John J., SHERALI Hanif D., Linear Programming and Network Flows, Wiley.


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