Б.В.Шабат ВВЕДЕНИЕ В КОМПЛЕКСНЫЙ АНАЛИЗ

В этой книге дается единое изложение основных понятий теории функций

одного и нескольких комплексных переменных. Первая часть, посвященная функциям одного переменного, содержит материал обязательного университетского курса. Вторая часть посвящена функциям нескольких переменных и содержит материал основного спецкурса.

В последние десятилетия интерес к теории функций нескольких комплексных переменных значительно возрос — это объясняется тем, что она имеет важные приложения и богатые связи с другими разделами математики. Первоначальное изучение этой теории обычно довольно затруднительно. Принятое в книге единое изложение значительно облегчает знакомство с ней.

ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие 7

ЧАСТЬ ПЕРВАЯ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО

Глава I. Голоморфные функции 13 § 1. Комплексная плоскость 13

1. Комплексные числа 13 2. Топология комплексной плоскости 17 3. Пути и кривые 20 4. Области 23

§ 2. Функции комплексного переменного 26 5. Понятие функции 26 6. Дифференцируемость 31 7. Геометрическая и гидродинамическая интерпретация 36

§ 3. Элементарные функции 42 8. Дробно-линейные функции 42 9. Геометрические свойства 47 10. Дробно-линейные изоморфизмы и автоморфизмы 50 11. Некоторые рациональные функции 54 12. Показательная функция 58 13. Тригонометрические функции 61

Задачи 65 Глава II. Свойства голоморфных функций 68 § 4. Интеграл 68

14. Понятие интеграла 68 15. Первообразная 72 16. Гомотопия. Теорема Коши 80 17. Обобщения теоремы Коши 86 18. Интегральная формула Коши 90

§ 5. Ряды Тейлора 93

19. Ряды Тейлора 94 20. Свойства голоморфных функций 100 21. Теорема единственности 103 22. Теорема Вейерштрасса 106

§ 6. Ряды Лорана и особые точки 112 23. Ряды Лорана 112 24. Изолированные особые точки 119 25. Вычеты 127

Задачи 134 Глава III. Аналитическое продолжение 137 § 7. Понятие аналитического продолжения 137

26. Элементы аналитических функций 137 27. Продолжение вдоль пути 144

§ 8. Понятие аналитической функции 151 28. Аналитические функции 151 29. Элементарные функции 156 30. Особые точки 164

§ 9. Понятие римановой поверхности 170 31. Элементарный подход 170 32. Общий подход 174

Задачи 181 Глава IV. Основы геометрической теории 183 § 10. Геометрические принципы 183

33. Принцип аргумента 183 34. Принцип сохранения области 187 35. Принцип максимума модуля и лемма Шварца 192

§ 11. Теорема Римана 195 36. Конформные изоморфизмы и автоморфизмы 195 37. Принцип компактности 199 38. Теорема Римана 204

§ 12. Соответствие границ и принцип симметрии 206 39. Соответствие границ 206 40. Принцип симметрии 211 41. Эллиптический синус и модулярная функция 216

Задачи 221 Глава V. Дополнительные вопросы 223 § 13. Разложения целых и мероморфных функций 223

42. Теорема Миттаг-Леффлера 223 43. Теорема Вейерштрасса 230

§ 14. Гармонические и субгармонические функции 238 44. Гармонические функции 238 45. Задача Дирихле 243 46. Субгармонические функции 248

Задачи 254

ЧАСТЬ ВТОРАЯ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

Глава I. Голоморфные функции нескольких переменных 259 § 1. Комплексное пространство 259

1. Пространство Сn 259 2. Простейшие области 264

§ 2. Понятие голоморфности 270 3. Определение голоморфности 270 4. Плюригармонические функции 277 5. Основная теорема Хартогса 280

§ 3. Голоморфные функции 285 6. Простейшие свойства 285 7. Степенные ряды 293 8. Ряды Хартогса и Лорана 297

Задачи 301 Глава II. Интегрирование 304 § 4. Многообразия и формы 304

9. Понятие многообразия 304 10. Дифференциальные формы 309 11. Понятие интеграла от формы 314

§ 5. Теорема Коши — Пуанкаре 321 12. Цепи и их границы 322 13. Дифференцирование форм 326 14. Формула Стокса 331 15. Теорема Коши — Пуанкаре 334

§ 6. Интегральные представления 337 16. Формулы Мартинелли — Бохнера и Лере 337 17. Теорема Севери 344 18. Формула Вейля 350

Задачи 355 Глава III. Аналитическое продолжение 357 § 7. Области голоморфности 357

19. Теорема Хартогса о продолжении 357 20. Понятие области голоморфности 360 21. Голоморфная выпуклость 365 22. Свойства областей голоморфности 372

§ 8. Псевдовыпуклость 377 23. Принцип непрерывности 377 24. Выпуклость в смысле Леви 381 25. Плюрисубгармонические функции 386 26. Псевдовыпуклые области 395

§ 9. Оболочки голоморфности 401 27. Однолистные оболочки голоморфности 402 28. Области разложения 408

29. Многолистные оболочки голоморфности 417 Задачи 422 Глава IV. Мероморфные функции и проблемы Кузена 424 § 10. Мероморфные функции 424

30. Понятие мероморфной функции 424 31. Первая проблема Кузена 429 32. Решение для поликругов 434 30. Применения. Вторая проблема Кузена 439

§ 11. Методы теории пучков 445 34. Основные определения 445 35. Группы когомологий 451 36. Точные последовательности пучков 455

§ 12. Применения 460 37. Решение первой проблемы Кузена 460 38. Решение второй проблемы Кузена 466 39. Решение ∂ -проблемы и проблемы Леви 469

Задачи 480 Глава V. Особенности и вычеты 484 § 13. Многомерные вычеты 484

40. Теория Мартинелли 485 41. Теория Лере 492 42. Логарифмический вычет 501

§ 14. Аналитические множества 507 43. Понятие аналитического множества 507 44. Локальное обращение голоморфных функций 515

§ 15. Аналитичность множества особенностей 519 45. Аналитичность множества особых точек 520 46. Существенно особые точки 523 47. Теорема о вложенном ребре 527

Задачи 530 Глава VI. Голоморфные отображения 533 § 16. Автоморфизмы простейших областей 533

48. Общие теоремы 534 49. Автоморфизмы пространства 540 50. Автоморфизмы некоторых областей 546

§ 17. Инвариантная метрика 551 51. Кернфункция 551 52. Метрика Бергмана 559 53. Поведение кернфункции на границе 564

Задачи 570 Предметный указатель 572

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Абеля теоремы 97, 275, 293 Абсолютный октант 267

Автоморфизмы канонических областей 197

— круга 53 — области 533 — поликруга 550 — пространства 540 — — нелинейные 541 — шара 546 Автоморфная функция 217 Адамара теорема 235 Аналитическая кривая 377 — плоскость 260 — — касательная 343, 510, 513 — поверхность 377 — — компактная 377 — прямая 260 — функция 152, 410 Аналитическое множество 507 — — компактное 531 — — локально неприводимое 508 — — неприводимое 507 — продолжение 137, 143, 410 — — вдоль пути 145, 410 — — непосредственное 143, 410 Антиголоморфная функция 277 Антиконформное отображение 38 А-точка 106 База открытых множеств 448 — пучка 446 — n-мерных гомологии 487 Барьер в граничной точке 362, 364 Бенке — Зоммера теорема 378, 520 Бенке — Штейна теоремы 370, 373 Бергмана граница 303 — кернфункция 555 Бесконечная точка 15, 36, 106, 130 Бесконечное произведение 230 Биголоморфное отображение 376,

413, 533 Буняковского — Шварца

неравенство 551 Бурмана — Лагранжа ряд 191 Вейерштрасса теорема

подготовительная 289, 514, 516

— теоремы 106, 231, 288 Вейля множество 350 — область 350 — разложение 353 — теорема 351 — формула 350 Векторное поле 40 Верхняя огибающая 250 Ветвь аналитической функции 152 Вложение многообразий 412 Внешнее умножение 311 Выпуклая оболочка 365 — функция 394 Выпуклость 365 — — в смысле Леви 381 — голоморфная 365, 415 — логарифмическая 294—296 Выпуклость относительно класса 366 — полиномиальная 366, 481 — рациональная 367, 531 Вычет 130 — логарифмический 183, 501 — относительно базисного цикла 488 — — особого цикла 490 — функции 128, 484 Вычет-класс 498 — — сложный 500 Вычет-форма 495 Гамма-функция 138 Гармоническая мажоранта 249, 250 — — наилучшая 252 — функция 238, 242, 390 Геометрия Лобачевского 67, 563 Гиперболическая метрика 563 Гипотеза Бибербаха 136 Глобальное сечение пучка 453 Голоморфизм 195, 307, 376, 413, 533 Голоморфная выпуклость 365, 415 — кривая 355 — нерасширяемость в точке 381 — форма 314 — функция 35, 271 — — в смысле Вейерштрасса 102,

285

— — — — Коши 102 — — — — Римана 102. 285 — — на комплексном многообразий

308 Голоморфное отображение

многообразий 412 — расширение области 361 Голоморфность функции в точке 35,

271 Голоморфный изоморфизм 412 — коцикл 430, 442 Гомологии компактные 497 Гомоморфизм пучков 456 Гомотопические классы 82 Гомотопия 80 Гомотопность кривых 83 Граница 324 — Бергмана 303 — области 24 — — ориентированная 87 — поликруга 265 — симплекса 322 — цепи 323, 325 — Шилова 237, 303, 570 Граничное расстояние 409 Грина формула 337, 338 Группа автоморфизмов 195, 544 — гомологии 324 — дифференциальных форм 313, 330 — когомологий 331, 434, 451—455 — — с коэффициентами в пучке 452 — — покрытия 453 — — пространства 455 — коциклов 452 — относительных гомологии 500 — — цепей 500 Даламбера — Эйлера условия 33 Двоякопериодичность 217 де Рама теорема 463, 482 Диаграмма Рейнхарта 267 — Хартогса 268 Диаметр множества 88 Дивизор 468 Дигармонические функции 278

Дирихле задача 243, 255, 280 Дискриминант 511 Дискриминантное множество 511,

517 Дифференциал 31 — формы 323 Дифференциальная форма 79, 278,

310— — — бистепени (p, q) 314 — — замкнутая 79, 278, 330, 433 — — класса )(0 DC∞ 471 — — Сq312 — — точная 79, 278, 330 — — эрмитова 384, 561 Дифференциальный коцикл 432 — —, когомологичный нулю 432 Дифференцирование сложных

функций 272 Дифференцируемость в смысле Сп

32, 270 — — Rп 31, 270 — — точке 31 Длина пути 22 Дольбо теорема 461 Дробно-линейные автоморфизмы 52 — — изоморфизмы 51 — — функции 42 Дуга аналитическая 208 ∂ -проблема 469 δ-функция 341 Евклидова метрика 16, 261 Жордана лемма 134 Жорданов путь 21 Жорданова граница 25 — кривая 23 — область 25 Жуковского функция 55 Задача Дирихле 243, 255, 280 Зацепления коэффициент 486 Идеал кольца 254, 291, 303 Изолированная особая точка 119,

164, 349 Изоморфизм голоморфный 376

— Дольбо 462 — областей 533 — пучков 456 Инверсия 49 Индекс отображения 519 — — локальный 506, 518 — пресечения симплексов 485 — — цепей 485 — поверхности относительно точки

501 — пути относительно точки 185 Интеграл 68, 78, 71, 316, 319 — Коши 90, 274, 321 — —типа Коши 134 — эллиптический первого рода 209—

211 Интегральное представление Вейля

350 — — Лере 343 — — Мартинелли — Бохнера 340 Исчерпание множества 320 — — компактное 108, 363, 368 Каратеодори компактификация 206 Картана теоремы 463, 464, 534 Картана — Каратеодори теорема 537 Картана — Туллена теоремы 367,

371, 415 Келлога теорема 207 Кернфункция 555 Класс-вычет 498 — — сложный 500 Класс функций 369 — — й-устойчивый 369 — — р-устойчивый 370 Кнезера теорема 527 Кограница 452 Кограничный оператор 452 — — Лере 496 Кольцо голоморфных функций 36,

272 — ростков голоморфных функций

445 — — мероморфных функций 450

Компакт 202 'Компактификация 15, 206, 261 Компактность в себе 202 Копактные гомологии 497 Комплекс 325 Комплексная плоскость 13, 15 — прямая 260 — структура на многообразии 306 Компоненты множества 24 Конформность 37, 207 Конформные автоморфизмы 195 — изоморфизмы 195 Координаты локальные 305 — однородные 262 Коцепь порядка р 452 Коцикл 331. 430, 433, 452 —, когомологичный нулю 331, 430 Коши интеграл 90 — — кратный 274 — — повторный 321 — неравенства 95, 117. 276 — теоремы 84, 128, 484 — формула 90 Коши — Адамара формула 97, 296 Коши — Буняковского неравенство

540 Коши — Гоина формула 92, 340 Коши — Пуанкаре теорема 335 Коши — Римана уравнения 33 — — — касательные 356 — — — неоднородные 434, 470 Коши — Фантапье формула 341 Коэффициент зацепления 486 Кривая 21 — гладкая 23 — жорданова 23 — — аналитическая 208 — кусочно гладкая 23 — спрямляемая 23 Кпитические точки 510, 513 Круг сходимости 98. 114 Кузена проблема вторая 441. 460, 466 — — первая 429, 460. 463, 464 Леви выпуклость 381

— определитель 385 — проблема 382, 478 — теоремы 525, 526 — форма 383 Леви — Кшоски теорема 384 Лере кограничный оператор 496 — теория 492—501 — формула 343 Линделёфа теорема 207 Линейная функция 43 Линейное преобразование 544—546 Линии тока 41 Липшица условие 102, 398 Лиувилля теорема 95, 241, 288, 302,

349 Логарифмическая выпуклость 294 — производная 183 Логарифмический вычет 183, 501 — образ 294 — потенциал 255, 521 Локально конечное покрытие 318,

432 Локальное обращение голоформных

функций 188, 515—519 Локальные координаты 305 Локальный индекс отображения 506,

518 — параметр 177, 304 — принцип максимума Росси 423 Лорана ряд 144, 299 L-выпуклость 381 Мартинелли — Бохнера

интегральное представление 340

— — формула 340 Матрица кососимметрическая 312 — Якоби 512 Мероморфная кривая 530 — функция 126, 237, 424, 427 Мероморфное продолжение 523 Метод Коши улучшения сходимости

139, 226 Метрика Бергмана 559, 563 — гиперболическая 563

— инвариантная 563 Миттаг — Леффлера теорема 224 Многолистные области 360 Многообразие 304 — гладкое 306 — дифференцируемое 306 — класса pC 306 — — ∞C 306 — комплексно аналитическое 177,

307 — комплексное 307, 355 — наложения над С 409 — ориентируемое 315, 356 — Штейна 417, 478 Множество аналитическое в точке

507 — ветвления 517 — дискриминантное 511, 517 — неприводимое 507 — неопределенности функции 124 — — мероморфной функции 427 — сходимости степенного ряда 303 — тонкое 358 Модель Пуанкаре геометрии

Лобачевского 67 Модулярная функция 217 Монтеля теорема 201 Мореры теорема 101, 335 Наилучшая гармоническая

мажоранта 252 — плюрисубгармоническая

мажоранта 408 — плюрисупергармоническая

мажоранта 407 Непрерывная функция 30 Непрерывность в смысле С 30 — — — C 30, 66 — точке 30 Неприводимая компонента

аналитического множества 509 Неравенство Коши 95, 117, 276 Неравенство Буняковского —

Шварца 551

— Коши — Буняковского 540 — треугольника 551 Носитель комплекса 325 — формы, функции 318, 432 Нуль мероморфной кривой 530 — функции 103 Ньютона — Лейбница формула 77,

333 Область 23 Оболочка выпуклая 365 — голоморфности 362, 402 — — области Рейнхарта 406 — — — Хартогса 407 — — трубчатой области 404 — F-выпуклая Общее положение многообразий 499 — — точек 322 Объединение областей

голоморфности 373 — путей 70 Ока теоремы 467, 480 Окрестность 17, 174, 410, 446 — проколотая 18 Октант абсолютный 267 Оператор взятия границы 323 — d 327, 330 — ∂ 469 — ∂ 482 — Лапласа 238 — res 495 Определитель Леви 385 Определяющая функция 439 Ориентация многообразия 315, 356 Осгуда лемма 282 — теорема 518 Осгуда — Брауна теорема 349 Особая точка 119, 164 — — изолированная 119, 164, 349 — — многозначного характера 166 — — неизолированная, пример 120 — — однозначного характера 166 — — устранимая 119 Остов множества Вейля 350

— поликруга 265 — поликруговой области 265, 335 Остроградского формула 333 Относительная граница 500 — топология 26 Отображение антиконформное 38 — биголоморфное 376, 413, 533 — конформное в точке 37 — — — области 37 — — второго рода 38 — пучков 455 Парсеваля равенство 553 Первообразная 72 — вдоль пути 76 — локальная 73 Пересечение областей

голоморфности 372 Пикара теорема 219, 220, 554 — — большая 220 Плоскость аналитическая 260 Плюригармоническая функция 278 Плюрисубгармоническая функция

387 Плюрисупергармоническая функция

407 Поверхность аналитическая 377 — модуля 29, 321 Подготовительная теорема

Вейерштрасса 289, 514, 516 Подпучок 456 Поле мероморфных функций 428 — отношений кольца 450 Поликруг (полицилиндр) 264, 287,

419, 550, 556 — — — — максимальный 409 — сходимости степенного ряда 296 Полиномиальная выпуклость 366,

481 Полиэдр 325 — аналитический 350, 367, 373 — полиномиальный 356 Полиэдрическая область 350 Полиэдрическое множество 350 Полунепрерывность 249, 278, 387

Полюс 119, 425 — мероморфной кривой 530 Полярная особенность 499 — — первого порядка 493 Полярное множество мероморфной

функции 425 Порядок Л-точки 106, 519 — ветвления 167 — нулевого множества 468, 509 — нуля 105, 530 —— — в бесконечности 106 — общего нуля 506 — полюса 123, 530 — полярного множества 468, 509 — целой функции 234 Последовательность гомоморфизмов

324 — — точная 324, 331 — комплексных чисел 19 Потенциал комплексный 41 Потенциальная функция поля 40 Предел функции 29, 30 Предельная точка

последовательности 19 Предпучок 448 — мероморфных функций 450 Преобразование линейное 544 — — положительно определенное

545 — — унитарное 545 — Рейнхарта 267, 302 Принадлежность компактна» 25 Проблема Кузена вторая

(мультипликативная) 441, 460, 466

— — первая (аддитивная) 429, 460, 463, 464

— Леви 382 Продолжение аналитическое 137,

143, 145, 410 — мероморфное 523 Производная 34 — аналитической функции 155 — по направлению 33

Пространство комплексное n-мерное 259

— — проективное 262, 307 — теории функций 262 — топологическое 174 — — хаусдорфово 175 — Сn 259 Псевдовыпуклость 377—395 Пуанкаре — Вольтерра теорема 154 Пуассона формула 244 Пути гомотопные 81, 149 — с общими концами 81 — эквивалентные 21 Путь 20 — гладкий 22, 320 —, гомотопный нулю 82 — жорданов 21 — замкнутый 21 — кусочно гладкий 22 — непрерывно дифференцируемый

22 — спрямляемый 22 Пучок 446 — групп 451 — колец 450 — полей 450 — постоянный 451 — ростков голоморфных функций

181, 450 — — дифференциальных форм 450 — — мероморфных функций 450 — — функций класса С 451 — тонкий 481 Равенство Парсеваля 553 Радиус мероморфности функции 526 — сходимости 98 — Хартогса 298, 395, 397 Радиусы сходимости сопряженные

296 Разбиение единицы 318, 432 Размерность аналитического

множества 512 — комплекса 325 Расстояние 16, 20

— граничное на многообразии наложения 409

Рациональная выпуклость 366, 531 Ребро множества Вейля 350 Результант 511, 516 Рейнхарта область 266, 267, 300, 405 Рельеф функции 29 Римана поверхность 171, 178, 308,

411 — сфера 16 — теорема 204 Римана — Грина формула 85, 333 Римана — Шварца принцип

симметрии 213 Риманово многообразие 176, 411 Росси локальный принцип

максимума модуля 423 — теорема 481 Росток аналитического множества

513 — аналитической функции 151, 410 — дивизора 469 — мероморфной функции 450 Рунге область 355 — теорема 109, 193 Руше теорема 186, 506 Ряд Бурмана — Лагранжа 191 — Лорана 114 — — кратный 299 — степенной 94, 293 — Тейлора 95 — Фурье 117, 549 — Хартогса 298 — Хартогса — Лорана 301, 524 ρ-метрика 261 Связность 24, 26, 308 — линейная 24 Севери теорема 344, 348 Семейство функций компактное 200 — — равномерно ограниченное

внутри области 199 — — равностепенно непрерывное

внутри области 200 — — слабо ограниченное 534

— — (сильно) ограниченное 535 Серра теорема 466, 482 Сечение пучка 181, 447 Сильное ф-вложение многообразий

412 Симплекс 314 — криволинейный 325 Синус 61 — эллиптический 216. 222 Слабая сходимость 475 Слабое ϕ-вложение многообразий

412 Сложный класс-вычет 500 Соответствие границ 206—208 Соотношения соседства 177, 305 Сопряженные радиусы сходимости

296 Сохоцкого теорема 123, 544 — формула 135 Сохранение углов 39 Стебель пучка 447 Степенная функция 54 Степенные ряды 94, 293 Степень дифференциальной формы

312 Стереографическая проекция 16, 302 Стирлинга формула 221 Стокса формула 331, 333 Строго плюрисубгармоническая

функция 389 Субгармоническая функция 249, 390 Супергармоническая функция 254 Существенно особая точка 120, 523 Сфера комплексных чисел 16 — Римана 15 Сферическая метрика 16 Сходимость последовательности

множеств 377 — ряда 93 — — мероморфных функций 224 — — равномерная 93 Тейлора ряд 95 Тип целой функции 235, 254 Тонкое множество 358

Тор комплексный n -мерпый 355 Точка ветвления 166 — — бесконечного порядка 167 — — конечного порядка 167 — — логарифмическая 167 — — римановой поверхности 171 — критическая 171, 510, 513 — неопределенности 424 — обыкновенная 171, 509, 512 Точки в общем положении 322 — симметричные 48 Точная последовательность пучков

457 Трансцендентная целая функция 126 Угловое граничное значение 207 Угол в бесконечности 44 Унитарное преобразование 545 Уравнения Коши — Римана 33 — — — касательные 356 — — — неоднородные 434, 470 Условие Липшица 108, 398 Условия Даламбера — Эйлера 33 — локальной однолистности 190, 515 Усредняющее ядро 472 Факторпучок 456 Фату пример 541—544 Форма-вычет 495 Форма дифференциальная 79, 278,

310—314, 330, 384, 433, 471, 561

Функционал 202, 417 ϕ-вложение сильное 412 — слабое 412 ϕ -расширение функции 413

ϕ -сужение функции 413 F-выпуклость 366 Характеристическая функция 332,

472 Харнака теорема 242 Хартогса лемма 283 — область 268, 302, 407 — — полная 268 — ряд 298 — теорема основная 284 — теоремы 252, 357, 520, 523 Хартогса — Лорана ряд 301, 524 Хефера теорема 351, 441 Хёрмандера теоремы 478, 567 Цепь 322 Цикл 324 —, гомологичный нулю 324 — особый 489 Циклы гомологичные 324 Шар 264, 287, 546, 557 Шварца лемма 194, 281, 539, 550 — теорема 215 Шилова граница 287, 303, 570 Шпета — Картана теорема 531 Эйлера формула 59 Экстремальная функция 553, 558 Элемент аналитической функции

143, 410 — — — канонический 144 Эллиптический интеграл 209 — синус 216, 222 ε-окрестность 17, 175 Ядро гомоморфизма 324, 331