Embed Size (px)
Citation preview
La carga eléctrica Es una magnitud escalar, como la masa, es
una propiedad fundamental de la materia.
Benjamín Franklin definió por dos tipos de
carga :
• Carga eléctrica positiva
• Carga eléctrica negativa
Se establece por convención que cuando una
varilla de vidrio se ha frotado con seda, la
varilla se carga positivamente y la seda
negativamente.
La unidad de carga en el sistema
internacional de unidades es el coulomb y su
símbolo es C. 1 C es una cantidad muy alta
de carga. Generalmente trabajaremos con
mC o μC. El culombio negativo equivale a
6,241 509 629 152 650×1018 veces la carga
de un electrón
La carga fundamental son protones y
electrones con un valor ±e donde:
Un objeto es cargado por adición o retiro
de electrones.
La carga está cuantizada. Es decir, toda
carga Q son un múltiplo de la carga
fundamental e.
Donde n es un número entero positivo.
La carga neta
Un objeto neutro con carga neta nula,
tiene:
+
-
Ce 19106,1 enQ
eNNQ )(
NN
kg10...1,67492716
:
kg10...1,67262158m
:
10...10938188,9
:
27
27-
p
31
n
e
m
neutróndelMasa
protóndelMasa
kgm
electróndelMasa
Átomo neutro
+ -
+ -
+ -
+ -
+
+ -
Ión con +3e
+ -
+ -
+ -
-
- -
Ión con -2e
https://www.youtube.com/watch?v=w9Y6ypbxcnI (fuerzas fundamentales:
electrica 16:37)
Materiales Conductores: Cuando un material permite que la carga transite con
relativa facilidad a través de él. Ejm: Metales, soluciones salinas.
https://www.youtube.com/watch?v=Rf2mS4J0FNg
(Agua con sal y sin sal)
METALES
https://www.youtube.com/watch?v=xh90z-kLx78
https://www.youtube.com/watch?v=J9RbGCgCcKM (pruebas de materiales)
Aislantes: Cuando un material dificulta en gran medida el paso de la
carga eléctrica. Pero no significa que no puedan llegar a conducir carga
eléctrica. Ejm: Aire, vidrio, caucho.
https://www.youtube.com/watch?v=-n1pSHzdahc
(Cerco eléctrico)
http://www.dailymotion.com/video/xlg13n_rajmohan-nair-el-
superhumano-electrico_school
EL hombre inmune a la electricidad
Semiconductores: También existen materiales que usualmente se
comportan como aislantes, pero bajo determinadas circunstancias
(aplicación de un voltaje, iluminación con una fuente de luz, dopaje) se
convierten en conductores. Ejm: Silicio, germanio, selenio, arseniuro de
galio, nitruro de silicio.
https://www.youtube.com/watch?v=cy50YR7kr8c
(Semiconductores enlaces)
https://www.youtube.com/watch?v=6AOdvdVnaI4
(chips)
Aplicaciones: Los imanes más potentes se fabrican con bobinas de cables superconductores
(electroimanes superconductores). Este es el caso de los imanes que se utilizan en grandes
instalaciones científicas, como los aceleradores de partículas, y en medicina, como los aparatos
de resonancia magnética nuclear. Los imanes potentes son también un componente
importante de los generadores que transforman energía mecánica en electricidad (como es el
caso de los generadores eólicos e hidráulicos). El uso de imanes producidos por bobinas
superconductoras disminuyen las pérdidas mecánicas en la producción de energías alternativas.
De esta forma disminuye de forma muy importante el peso y las dimensiones de los
motores. Además el uso de generadores superconductores disminuye la dependencia en las
escasas tierras raras que componen los imanes convencionales.
Otras aplicaciones que están en mayor o menor medida en desarrollo son relevantes para la
eficiencia energética (ej. cables que conducen la electricidad sin pérdidas de energía) y
transportes (trenes que levitan).
Superconductores: No opone resistencia al flujo de corriente eléctrica
por él. La superconductividad es una propiedad presente en muchos
metales y algunas cerámicas, que aparece a bajas temperaturas, alrededor
del cero absoluto. Los superconductores se caracterizan por la pérdida de
resistividad a partir de cierta temperatura característica de cada material,
denominada temperatura crítica.
https://www.youtube.
com/watch?v=5el1A5
B-h3Q
Maglev
Fuerza Gravitacional y Fuerza Eléctrica
2211
2
21
/1067,6 kgNmG
r
mmGFG
LTF
TLF
229
2
21
/1099,8 CNmk
r
qqkFElectrica
Ambas tienen alcance infinito y su magnitud decae con la inversa al cuadrado.
Ejem: Fuerza eléctrica y gravitacional entre un electrón y un protón.
39
273111
2199
2
2
1023,2)107,1)(101,9(1067,6
)106,1(1099,8
x
r
mmG
r
qqk
F
F
pe
pe
G
e ElectricaG FF
http://acer.forestales.upm.es/basicas/udfisica/asignaturas/fisica/animaciones_files/coulomb.swf (cable)
adpermitivid
deteCons
x
k
tan:
108544187,8
4
1
0
12
0
0
k – constante eléctrica (o de Coulomb)
La constante eléctrica también se expresa como:
Donde ε se denomina permisividad eléctrica del medio.
Material (C2/N∙m2) k (N∙m2/C2)
Vacío 8,85×10-12 8,99×109
Parafina 1,90×10-11 4,16×109
Mica 5,76×10-11 1,38×109
Papel parafinado 1,95×10-11 4,09×109
Poliestireno 9,30×10-12 8,56×109
Baquelita 3,90×10-11 2,04×109
C-irbolito 3,54×10-11 2,25×109
Vidrio orgánico 3,01×10-11 2,64×109
4
1k
Pregunta
Tenemos dos cargas eléctricas
puntuales q1 y q2 separadas una
distancia d inmersas en parafina líquida.
¿Qué pasa con la fuerza eléctrica
entre ellas si las llevamos al aire (aprox.
vacío)?
¿Qué pasa con la fuerza si se
encuentran dentro de vidrio orgánico?
En ambos casos, considere que sus
cargas y la distancia de separación no
cambian.
Formas de Cargar Por fricción: La afinidad electrónica
de los materiales los hace susceptibles
a donar o recibir electrones cuando
son frotados uno con otro (efecto
triboeléctrico es la capacidad de los
cuerpos a la electrificación).
vidrio (+) con seda (-)
acrílico (-) con lana (+)
PVC (-) con piel de conejo (+)
https://www.youtube.com/watch?v=Z4EutFqBjck Grifo
A la tierra la debemos considerar como un cuerpo conductor aislado en el espacio y
cargado negativamente, capaz de ceder o admitir electrones. Por eso, cuando
conectamos a tierra un conductor cargado positivamente o negativamente, este se
descarga. Si está cargado positivamente, la tierra entrega electrones hasta que
alcanza el equilibrio, si lo está negativamente, los electrones que el cuerpo tiene en
exceso pasan a tierra.
+ +
+ +
+ +
- - - -
- -
+ + + +
+ +
- - - -
- -
Prof. Carlos
Pizarro Conectar a tierra
Pozo a Tierra
Un pozo a tierra es básicamente eso, un
pozo, un hueco que rellenamos con tierra
(puede servir la que se usa para plantas o
cultivos) donde conectamos el cable de
aterramiento que viene de la instalación.
Hay diferentes maneras de hacerlo, pero
todas se basan en el principio de enterrar
una barra o jabalina de cobre.
Comercialmente, esta barra se
llama Copperweld. Tiene unos 2 metros de
largo y la venden en ferreterías y
almacenes de construcción.
Un pozo a tierra es básicamente eso, un pozo, un hueco que rellenamos con tierra
(puede servir la que se usa para plantas o cultivos) donde conectamos el cable de
aterramiento que viene de la instalación. Hay diferentes maneras de hacerlo, pero
todas se basan en el principio de enterrar una barra o jabalina de cobre.
Comercialmente, esta barra se llama Copperweld. Tiene unos 2 metros de largo y la
venden en ferreterías y almacenes de construcción.
https://www.youtube.com/watch?v=wtz0nYtQxbo (conector a tierra)
https://www.youtube.com/watch?v=pQc_lnTlUNk
(Tierra –cemento conductivo)
https://www.youtube.com/watch?v=CfaawgMBFkE (experimento 1:51)
Por Inducción: Un inductor atrae a las cargas de signo
opuesto y repele la de igual signo de un cuerpo neutro. Se
coloca un medio introducir carga y neutralizar la zona
polarizada luego se retira el inductor.
a) Esfera metálica neutra, con igual cantidad de cargas positivas y
negativas.
b) Al acercar una varilla de hule cargada, los electrones en la esfera
neutra se redistribuyen.
c) Al conectar la esfera a tierra, algunos de sus electrones se fugan a
través del alambre a tierra.
d) Al eliminar la conexión a la tierra, la esfera queda con demasiada
carga positiva que no está distribuida de manera uniforme.
e) Al retirar la varilla, se redistribuyen los electrones restantes y se
tiene una distribución uniforme positiva neta sobre la esfera.
Esfera metálica cargada por inducción (es decir, sin que un
objeto toque otro):
Aislante cargado por inducción
Aislante inducido:
El objeto con carga de la
izquierda induce una
distribución de carga
sobre la superficie de un
material aislante debido a
la realineación de las
cargas en las moléculas.
https://www.youtube.com/watch?v=4iklHuSqU-4
El alma de la fiesta (0:36)
OJO: SOLO en los
CONDUCTORES se mueven
las cargas
Carga por Inducción (inductor positivo)
La carga libre sobre una esfera
conductora se polariza a causa de la
barra cargada positivamente
Si la esfera se conecta a tierra por
medio de un alambre, los
electrones del suelo neutralizan la
carga positiva en el lado derecho y
la esfera queda negativamente
cargada.
La carga negativa permanece si el
cable se desconecta antes de separar la
barra.
Al quitar la barra, la esfera queda cargada
negativa y uniformemente.
Prof. Carlos
Pizarro
CARGA POR INDUCCION (dos esferas metálicas idénticas)
Los dos conductores esféricos en
contacto adquieren cargas
opuestas, pues la barra cargada
positivamente atrae los electrones
hacia la esfera de la izquierda
dejando la esfera de la derecha con
cargas positivas.
Si las esferas se separan sin mover
la barra de su posición, las esferas
retienen sus cargas iguales y
opuestas.
Al quitar la barra, las esferas quedan uniformemente cargadas con cargas iguales y
opuestas.
https://www.youtube.com/watch?v=tzYE1L_n308&t=131 (carga electrostática-burbuja 1:33)
https://www.youtube.com/watch?v=JFv31DpjFIE (carga por fricción e inducción)
https://www.youtube.com/watch?v=t_d2PLoOGcI (formas de cargar Levitando 3:48)
Prof. Carlos
Pizarro
La carga se conserva y los únicos que se mueven son los electrones.
Se determina la carga neta
La nueva carga de cada uno es si las esferas solo si son idénticas:
Por Contacto: Se puede cargar un cuerpo con sólo tocarlo con
otro previamente cargado. En este caso, ambos quedan con el
mismo tipo de carga, es decir, si toco un cuerpo neutro con otro
con carga positiva, el primero también queda con carga positiva.
- - - -
- - + +
+ +
+ +
+ + + +
+ +
- - - -
- -
- - - -
- -
+ + + +
+ +
+ + + +
+ +
- - - -
- -
- - - -
- -
- -
- -
- -
- - - -
- - + +
+ +
+ + + + + +
+ + +
+
+
+ +
+
Caso 1(Esferas metálicas idénticas)
Caso 2 (Esferas metálicas idénticas)
)( QQQneta
2netaQ
Otras formas de cargar
Efecto Fotoeléctrico: producida por
la luz cuando incide sobre una
superficie logra liberar electrones
ionizando la superficie
Efecto Termoiónico:
• A altas temperaturas los electrones
que vibran cada vez más fuerte
pueden escapar del cuerpo, por lo
tanto este quedara con carga positiva.
• Este fenómeno explica la ionización
producida por el calor, cuya principal
aplicación es la base de la electrónica
de válvulas.
Electrización por piezoeléctrico:
• Si se comprimen ciertos cristales
cortados de cierta manera, aparecen,
debido a la disposición de sus átomos,
cargas positivas y negativas sobre sus
caras.
• Los signos de las cargas cambian, si en
lugar de comprimir se trata de dilatar el
cristal.
ELECTROSCOPIO
Electroscopio: Las dos hojas de oro se
conectan a una barra metálica terminada en la
parte superior por una esfera de metal. Cuando
una carga negativa se deposita sobre la bola
metálica, es conducida a las hojas y éstas se
repelen entre sí.
Una barra metálica está en contacto
con la esfera de metal del
electroscopio. Al tocar el extremo de
la barra con otra de plástico cargada
negativamente, parte de la carga es
conducida a lo largo de la barra
metálica al electroscopio, como
evidencia la separación de las hojas de
oro
Prof. Carlos Pizarro
Repulsión Atracción
Fuerza eléctrica: Ley de Coulomb
:21
F
Fuerza que siente 2 debido a 1
q1 q2
2r
1r
12 rr
u
signossusCon
rr
rr
rr
qqkF
ˆ
12
12
2
12
2121
)(
21F
Prof. Carlos
Pizarro
21F
)( 123
12
2121 rr
rr
qqkF
signossusCon
Ley de Coulomb para una distribución discreta de
cargas
ir
r
q0
irr
F
+ q3
+ q2 + q1
+
qi +
Principio de Superposición
n
i
i
i
io
k
o
rrrr
qqF
13
)(4
1
n
i i
i
i
io
rr
rruu
rr
qkqF
12
)(ˆˆ
Cargas puntuales: Son aquellas cuyas dimensiones son muy pequeñas en
comparación con cualquier otra longitud pertinente, la carga se encuentra localizada
en un punto.
Cuerpos cargados: En caso de existir un gran número de cargas en un volumen
finito, es conveniente ignorar el hecho que las cargas vienen en paquetes, como
electrones y protones, y puede considerarse como algo continuo.
La carga se distribuye de diferentes manera y dependiendo de la geometría puede
distribuirse de tres maneras:
Distribución de cargas continuas
dV
dq
V
qzyx
V
0lim),,(
Distribución lineal de
carga: Cuando la carga se
distribuye a través de
una longitud.
Distribución volumétrica
de carga: Cuando la
carga se distribuye a
través del volumen.
Distribución superficial
de carga: Cuando la carga
se distribuye a través de
una superficie.
Q C
l m
dQ
dl
dQ dl
2
Q C
A m
dQ
dA dQ dA
3
Q C
V m
dQ
dV
dQ dV
dl dA dV
Fuerza eléctrica para una distribución continua de cargas
r rr
r dq
V rr
rrdqkqF
30
)(
q0
Prof. Carlos
Pizarro
n
i
i
i
io rr
rr
qkqF
13
)(
Aplicaciones Lentillas y maquillajes: Las lentillas o lentes de contacto blandas son un
ejemplo de aplicación de las fuerzas eléctricas atractivas. El material plástico del
que están hechas atrae a las moléculas de proteína de las lágrimas humanas. Así
dichas moléculas son absorbidas por el plástico, que se mantiene húmedo con
líquido lagrimal y el ojo de la persona no percibe la lentilla como un objeto
extraño.
De forma similar, algunos tipos de maquillaje incorporan sustancias que son
atraídas eléctricamente por la piel, facilitando que los pigmentos permanezcan en
su lugar después de ser aplicados.
Fotocopiadora: En ella las regiones del tambor de imágenes se cargan
positivamente y atraen a partículas con carga negativa del toner. Estas
partículas conforman un polvillo negro, que dibuja la imagen cuando se
adhiere a la hoja de la copia
1: El documento original es barrido por un rayo de luz, que refleja o proyecta
la imagen sobre un tambor foto-sensible. Las áreas oscuras quedan con carga
positiva después de la exposición.
2: Las partículas del toner, con carga negativa, son atraídas por el área de
carga positiva.
3: Se carga una hoja de papel blanco, preparada para recibir la copia
4: Las partículas se adhieren sobre el papel cuando éste rueda sobre el toner,
produciendo la copia.
Carlson (1906-1968) inventó en 1938 la primera máquina que funcionó por
fotografía eléctrica (no comenzó a utilizarse hasta 1947), precursora de las
fotocopiadoras actuales. El proceso se denominó poco después "xerografía",
palabra que procede de dos antiguos vocablos griegos y significa "escritura en
seco".
Peces eléctricos:
Existen unas 250 especies de peces eléctricos, que aplican en su beneficio
diferencia de potencial eléctrico que ellos mismos producen. Muchos de estos
peces tienen la vista muy débil y viven en aguas turbias o en zonas profundas,
donde la visibilidad es escasa. En estas condiciones, su "electricidad" les resulta de
gran utilidad, puesto que los receptores existentes en la piel informan al animal
de las alteraciones del campo eléctrico y ello les permite evitar obstáculos, les
ayuda a identificar posibles animales depredadores, a encontrar alimento, a
detectar otros animales de su especie, etc. A algunos peces eléctricos
depredadores, las descargas les sirven también para paralizar a la presa. Por
ejemplo, una raya grande (puede alcanzar hasta 2m de longitud) puede producir
una descarga de más de 200 voltios, capaz de paralizar a un hombre. (ELECTRO
RECEPCIÓN)
Descargadores eléctricos en Aviones:
Son unas varillas situadas en los extremos de las alas y superficies de control de
un avión. Es un conductor eléctrico, un cable de calidad, flexible, que libera la
carga estática ubicada en la superficie del avión debido a la resistencia del aire a
alta velocidad.
La carga estática se produce por :
Paso rápido de combustible por las mangueras.
Resistencia del aire
Vuelo con la atmósfera cargada
Fricción de la las llantas con el suelo en el despegue y aterrizaje
Problema 1
Se dispone de tres esferas conductoras idénticas aisladas. Una de ellas tiene carga +q y las otras dos están descargadas. ¿Cómo podemos hacer que cada una tenga una carga de +2q/3?
+q
Solución:
La carga total es +q, por conservación de carga si cada una
debe tener carga +2q/3 la carga total: (+2q/3) x 3 = +2q
+2q > +q
¿Cómo obtener más carga?
+q - +
-q
-q + -
+q
+q -q +q
+q +q
Unidas por un cable conductor largo delgado
Problema 2
Ubicar una tercera carga de manera que el
sistema final esté en reposo. ¿Cuál es su valor
y su posición?
d
+q +4q
En la figura se muestra tres cargas fijas q1, q2 y q3, que se han
dispuesto en las esquinas de un triángulo equilátero de lado L. Las
tres cargas tienen signo positivo.
a) Si se cumple que ql = q2 = q3 = q, calcule la fuerza eléctrica
sobre una carga Q ubicada en el punto P .
b) Manteniendo la relación q2 = q3 = q. ¿Qué valor deberá tener la
carga ql (en magnitud y signo) para que la fuerza sobre Q sea
nula? (Tareita)
y
x q1
q3
q2
P
Problema 3
n
i
i
i
i
k
rrrr
qqF
13
0
0
)(4
1
y
x q1
q3
q2
P
2
3;
2
3 LLr
( 0;01
r ( 0;
2Lr
2
3;
23LL
r
2
3;
2
31
LLrr
2
3;
22LL
rr ( 0;
3Lrr
(
1
0;1
1
2
3;
2
1
33
2
3;
2
3
2L
qQkF
( NL
qQ331;39
24 2
0
( ( NL
qQF 1;3
24
3312
0
a)
Otra forma:
El valor de la fuerza de q1 sobre Q:
23
04
1L
qQF
El valor de la fuerza resultante de q2 y q3 sobre Q:
(
602
20
4
sen
L
qQF
20
4
3
L
Como estas fuerzas son paralelas , el valor de la fuerza resultante de las
tres cargas sobre Q se obtiene sumando escalarmente los resultados
anteriores:
( NL
qQF 331
20
12
( ( 30;30cos3312
012
senL
qQF
Vectorialmente:
( ( NL
qQ1;3
24
3312
0
Problema 4 (TAREitA)
x
)0;0;3(
)0;3;0(
y
z
oq
2q
mrr
rrF
mrr
rrF
)4;3;0(
)0;3;0()4;0;0(:
)4;0;3(
)0;0;3()4;0;0(:
1
12
1
11
)4;0;0(
1q
3
2
222
3
1
111
)(
)(:
rr
rrqkqF
rr
rrqkqF
o
o
Una esfera maciza, no conductora de radio R, tiene una
densidad de carga ρ = A/r, donde A es una constante.
Calcule la carga total de la esfera.
R r
dV = 4 r2 dr
Problema 5
Problema 6 Sobre el punto el punto medio de una barra muy delgada
uniformemente con densidad +λ se ubica una carga de
prueba +q. Calcular la fuerza electrostática sobre la
carga debida a la barra.
x
z
d
P
V rr
rrdqkqF
30
)(
L - L
Caxax
xdx2/1222/322 )(
1
)(
C
axa
x
ax
dx2/12222/322 )(
1
)(
En la figura se muestra a un anillo de radio R que tiene una
carga Q distribuida uniformemente. Calcule la fuerza que
ejerce el anillo sobre la carga puntual positiva q0 ubicada en
su eje.
q0
d
R
x
y
z
Problema 7
Solución:
dQ f
q0
x
y
z
r
r
rr
= Rdf
kd ˆ
jRseniRr ˆˆcos ff
kdjRseniR ˆˆˆcos ff
( ( kdjRseniR
dR
RdqkFd o
ˆˆˆcos2/322
fff
( ( k
dR
dQqkk
dR
dRqkF o
Q
oˆˆ2
2/3222/322
Solución:
Q f
Analice el resultado obtenido cuando la carga está bien
alejada del anillo.
q0
x
y
z
d
( k
dR
QqdF ˆ
4
12/322
0
kd
Qqkk
d
Qqdkk
dR
QqdkFgranded
d
d
ˆˆˆ232/3
22
3
2
kd
QqkFgranded ˆ
2
En la figura se muestra una carga q ubicada sobre el eje de un disco
de radio R. Si el disco posee una carga Q distribuida uniformemente
sobre él, ¿cuál es la fuerza que éste ejerce sobre la carga q?
Problema 8
Dx
F
Solución: r2dr
dAdQ rdr 2
( k
dR
QqdF ˆ
4
12/322
0
(
(
i
xr
xqdrri
xr
xqdQFd
D
DdQ
D
D
ˆ2
4
1ˆ
4
12/3
220
2/3
220
Es más fácil tener la expresión de Fuerza en función de la
carga total y luego decir que esa carga es muy pequeña y
se convierte en un diferencial del carga que genera un
diferencial de fuerza. El diferencial de carga lo expresamos
en función de la densidad que nos conviene.
dV
dA
dl
dQ
FddQ
FQ
Dx
Para un disco i
xR
xqF ˆ1
2 220
0
¿Qué sucede si el disco se convierte en un
plano infinito?
RSi iqF ˆ2 0
0
(
(
i
xr
xqdrrki
xr
xqdQkFd
D
DdQ
D
D
ˆ2
ˆ2/3
22
2/3
22
Dx
Analizando x, es la distancia del centro del disco al punto P
22 xR
x
( ..
2
11)1( 2
a
nnnaa n
( naan
11
1aSi
n
a
x
R2
1
2
2
1
2
2
1
1
x
R
2
2
2
11
x
R
ixR
xqF ˆ1
2 220
0
ix
Rqi
x
Rq ˆ
4ˆ
4 2
0
2
02
0
2
0
2
1
2
2
1
x
RRxSi
ix
Qq ˆ
4 2
0
0
¿Qué sucede si la carga se encuentra bien alejada del disco?
1
x
Ra
ix
RqF ˆ
2
111
2 2
2
0
0
ix
QqkF o ˆ
2
Se compartan como si fueran dos cargas puntuales (ley de Coulomb)
RDx
Problemitas de aplicación directa
Se produce un rayo cuando hay un flujo de carga eléctrica (principalmente electrones) entre el suelo y un nubarrón. La proporción máxima de un flujo de carga al caer un rayo es de alrededor de 20 000 C/s; esto dura 100 ms más o menos. ¿Cuánta carga fluye entre el suelo y la nube en este tiempo? ¿Cuántos electrones fluyen durante este tiempo? 1 ms = 10-6 s e- = 1,60217733 x 10 – 19 C
Solución.
a) La cantidad de carga que fluye es igual a la tasa de descarga x
tiempo de descarga. 20 000 C/s x 100 10-6 s
Luego de cancelar los segundos y de multiplicar: 2 x 104 x 1 x 10-4 C
La respuesta es: 2 C ó 2 coulombs
b)¿Cuántos electrones se han desplazado?
Dividimos el resultado anterior entre la carga del electrón.
2 C/ 1,602 x 10-19 C
El resultado da: 1,25 x 1019 electrones
Cada día en el mundo se producen 8 000 000
de rayos
Integrales BÁSICAS
Caxax
xdx2/1222/322 )(
1
)(
Caxa
x
ax
dx2/12222/322 )(
1
)(
Caxxax
dx))(ln(
)(
2/122
2/122
