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En las interacciones electromagnéticas intervienen partículas que tienen una propiedad conocida como carga eléctrica, los objetos con carga eléctrica son acelerados por las fuerzas eléctricas. Descubriremos que la carga eléctrica está cuantizada y que obedece un principio de conservación. Hoy en día decimos que el ámbar ha adquirido una carga eléctrica neta, esto es, que se ha cargado. Electrostática: las interacciones entre cargas eléctricas que están en reposo (o casi).

Estos experimentos, y muchos otros parecidos a éstos, han mostrado que hay exactamente dos tipos de carga eléctrica: carga negativa y positiva. La barra de plástico y la seda tienen carga negativa; la barra de vidrio y la piel tienen carga positiva. Dos cargas positivas o dos cargas negativas se repe len mutuamente. Una carga positiva y una carga negativa se atraen u na a la otra. Carga eléctrica y estructura de la materia No se producen cambios fisicos visibles cuando se carga a un material. Hay que mirar la estructura de toda la materia: los atomos, su estructura se puede describir en términos de tres partículas: el electrón, con carga negativa (Fig. 21.3), el protón, con carga positiva, y el neutrón que no tiene carga. El protón y el neutrón son combinaciones de otras entidades llamadas quarks, que tienen cargas equivalentes a ±5 y ±3 de la carga del electrón. No se han observado quarks aislados, y existen razones teóricas para pensar que, en principio, es imposible observar un quark solo. La carga negativa del electrón tiene (dentro de los límites de error experimental) exactamente la misma magnitud que la carga positiva del protón. En un átomo neutro el número de electrones es igual al número de protones del núcleo, y la carga eléctrica neta (la suma algebraica de todas las cargas) es exactamente cero (Fig. 21.4a). El número de protones o de electrones de un átomo neutro es el número atómico del elemento. Si se separa uno o más electrones, la estructura restante con carga positiva es un ion positivo (Fig. 21.4b). Un ion negativo es un átomo que ha ganado uno o más electrones (Fig. 21.4c). Esta ganancia o pérdida de electrones se conoce como ionización. Cuando el número total de protones de un cuerpo macroscópico es igual al número total de electrones, la carga total es cero y el cuerpo, en conjunto, es eléctricamente neutro. Para proporcionar a un cuerpo una carga negativa en exceso, se puede ya sea agregar cargas negativas a un cuerpo neutro o quitar cargas positivas a ese cuerpo. De manera análoga, se obtiene una carga positiva en exceso ya sea agregando carga positiva o quitando carga negativa. En la mayor parte de los casos se agregan o se retiran electrones con carga negativa (y de gran movilidad), y un "cuerpo con carga positiva" es aquel que ha perdido parte de su complemento normal de electrones. Cuando se habla de la carga de un cuerpo, siempre se trata de su carga neta. La carga neta es en todos los casos una fracción muy pequeña (típicamente no mayor que 1012) de la carga positiva o negativa total del cuerpo. Principio de conservación de la carga: La suma alge braica de todas las cargas eléctricas de cualquier sistema cerrado es constante. es una ley de conservación universal. la magnitud de la carga del electrón o del protón e s una unidad natural de carga. Toda cantidad observable de carga eléctrica es siempre un múltiplo entero de esta unidad básica y se dice que la carga está cuantizada. La carga eléctrica no es divisible en cantidades menores que la carga de un electrón o de un protón. Conductores, aisladores y cargas inducidas Aisladores: materiales donde se observa que no se transfiere carga eléctrica alguna entre los cuerpos.

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Conductores: permiten que la carga eléctrica se desplace fácilmente a través de ellos. Casi todos los metales son buenos conductores, El movimiento de estos electrones con carga negativa transporta carga a través del metal. Los demás electrones permanecen ligados a los núcleos con carga positiva, los que, a su vez, están sujetos en posiciones prácticamente fijas dentro del material. En un aislador hay pocos electrones libres (o ninguno), y la carga eléctrica no se puede desplazar libremente por todo el material. Semiconductores: tienen propiedades que son intermedias entre las de los buenos conductores y las de los buenos aisladores. Existen dos formas de cargar los materiales, por contacto directo, produciendose el traspazo de un cuerpo a otro y por Inducción, donde traspasa una carga designos opuestos sin perder su propia carga.

La figura 21.6a muestra un ejemplo de carga por inducción. Se tiene una esfera metálica apoyada en un soporte aislante. Cuando se le acerca una barra con carga negativa, sin llegar a tocarla (Fig. 21.6b), el exceso de electrones de la barra repele los electrones libres de la esfera metálica, los cuales se desplazan hacia la derecha, alejándose de la barra. Estos electrones no pueden escapar de la esfera porque el soporte y el aire que la rodea son aisladores. Por consiguiente, se tiene un exceso de carga negativa en la superficie derecha de la esfera y una deficiencia de carga negativa (es decir, una carga positiva neta) en la superficie izquierda. Estas cargas en exceso se conocen como cargas, inducidas. La carga por inducción funcionaría de igual manera si las cargas móviles de las esferas fueran cargas positivas en vez de electrones con carga negativa, o incluso si estuviesen presentes cargas móviles tanto positivas como negativas. Por último, advertimos que un cuerpo con carga eléctrica ejerce fuerzas incluso sobre objetos que no tienen carga en sí. Polarización : pequeño desplazamiento de carga dentro de las moléculas del aislador neutro. Ley de Coulomb

Utilizó una balanza de torsión, similar a la que utilizada años después para estudiar la interacción gravitatoria. En el caso de las cargas puntuales, esto es, de cuerpos con carga que son muy pequeños en comparación con la distancia que los separa, Coulomb encontró que la fuerza eléctrica es proporcional a 1/r.

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1 22

.q qF k

r= k = 8.988 X 109[N-m2/C2]

Ley de Coulomb: La magnitud de cada una de las fuer zas eléctricas con que interactúan dos cargas puntuales es directamente proporcional al producto de las cargas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa. Se usan barras de valor absoluto en la ecuación porque las cargas q1 y q2 pueden ser positivas o negativas, en tanto que la magnitud de la fuerza F siempre es positiva. La dirección de las fuerzas que las dos cargas ejercen una sobre la otra siguen siempre la línea que las une. Cuando las cargas q1 y q2

tienen ambas el mismo signo, ya sea positivo o negativo, las fuerzas son de repulsión (Fig. 21.9 b) cuando las cargas poseen signos opuestos las fuerzas son de atracción (Fig.21.9c). Las dos fuerzas obedecen la tercera ley de Newton; siempre son de igual magnitud y con direcciones opuestas, incluso cuando las cargas no son del mismo tipo. Las interacciones eléctricas y las gravitatorias son fenómenos de dos clases distintas. Las interacciones eléctricas dependen de las cargas eléctricas, y pueden ser ya sea de atracción o de repulsión, en tanto que las interacciones gravitatorias dependen de la masa y son siempre de atracción (porque no existe la masa negativa). De aquí en adelante, usualmente escribiremos la ley de Coulomb como

1 22

0

.1

4

q qF

rπε=

Para la fuerza entre dos cargas puntuales. Las constantes de la ecuación son aproximadamente

128,854.10oε −= [C2/Nm2] 9 2 2 9 2 2

0

18.988 X 10 [Nm /C ] 9 X 10 [Nm /C ]

4k

πε= = ≈

La unidad de carga más fundamental es la magnitud de la carga de un electrón o de un protón, que se denota como e. e= 1,602176462(63) X 10-19 C. La ley de Coulomb, tal como la hemos expresado, describe sólo la interacción de dos cargas puntuales. Los experimentos muestran que, cuando dos cargas ejercen fuerzas simultáneamente sobre una tercera carga, la fuerza total que actúa sobre esa carga es la suma vectorial de las fuerzas que las dos cargas ejercerían individualmente. Esta importante propiedad, llamada principio de superposición de fuerzas, es válida para cualquier número de cargas. Con base en este principio, podemos aplicar la ley de Coulomb a cualquier conjunto de cargas. Campo eléctrico y fuerzas eléctricas

Para explicar con más detalle cómo se lleva a cabo este proceso, consideremos primero el cuerpo A solo: quitamos el cuerpo B y marcamos la posición que ocupaba como el punto P (Fig. 21.13b). Decimos que el cuerpo con carga A produce o causa un campo eléctrico en el punto P (y en todos los demás puntos de las cercanías). Este campo eléctrico está presente en P incluso cuando no hay otra carga en P; es una consecuencia de la carga del cuerpo A, exclusivamente. Si a continuación se coloca una carga puntual q0 en el punto P, la carga experimenta la fuerza F0. Adoptamos el punto de vista de que el campo en P ejerce esta fuerza sobre q0 (Fig. 21.13c). Así pues, el campo eléctrico es el intermediario a través del cual A comunica su presencia a q0. Puesto que la carga puntual q0 experimentaría una fuerza en cualquier punto de las cercanías de A, el campo eléctrico que A produce en todos los puntos de la región alrededor de A. De manera análoga, se puede afirmar que la carga puntual q0 produce un campo eléctrico en el espacio circundante, y que este campo eléctrico ejerce la fuerza F0 sobre el cuerpo A. Con respecto a cada fuerza (la fuerza de A sobre q0 y la fuerza de qu sobre A), una carga establece un campo eléctrico que ejerce una fuerza sobre la segunda carga. Conviene insistir en que ésta es una interacción entre dos cuerpos con carga. Un cuerpo solo produce un campo eléctrico en el espacio circundante, pero este campo eléctrico no puede ejercer una fuerza neta sobre la carga que lo creó; éste es un ejemplo del principio general de que un cuerpo no puede ejercer una fuerza neta sobre sí mismo,

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La fuerza eléctrica sobre un cuerpo con carga es ej ercida por el campo eléctrico creado por otros cuerpos con carga. La fuerza es una magnitud vectorial; por tanto, el campo eléctrico también es una magnitud vectorial.

Se define la intensidad del campo eléctrico Er

en un punto como el cociente de la fuerza eléctrica 0Fr

que

experimenta una carga de prueba qu en ese punto entre la carga q0. Es decir, el campo eléctrico en un punto determinado es igual a la fuerza eléctrica en cada unidad de carga que experimenta una carga en ese punto:

0

0

FE

q=

rr

(definición del campo eléctrico como fuerza eléctrica en cada unidad de carga)

Al campo eléctrico lo podemos obtener del campo gravitacional, colocando una carga de prueba q0 (+)

0 0

F Fg E

m q= → =

r rrr

Aquí el campo eléctrico Er

proviene de otras cargas que pueden estar presentes, pero no de la carga q, para obtener una expresión exacta, aplicamos

0

0

00

limq

FE

q→=

rr

Campo eléctrico de una carga puntual Si la distribución de la fuente es una carga puntual q, es fácil hallar el campo eléctrico que produce. Llamaremos punto de origen a la ubicación de la carga, y punto de campo al punto P donde estamos determinando el campo. También es útil introducir un vector unitario r que apunta a lo largo de la recta que va del punto de fuente al punto de campo (Fig. 21.15a). Con base en el vector unitario r

), podemos escribir una ecuación

vectorial que proporcionatanto la magnitud como la dirección del campo eléctrico Er

En la línea radial proveniente de q, la dirección de E

res la misma que la de F

r, señala hacia adentro si es (-

) y hacia fuera si es (+). Campo eléctrico de varias cargas puntuales Se calcula el campo debido a cada una de las cargas en los puntos dados como si fueran las unicas cargas presentes y por separado se suma vectorialmente cada uno de los campos para encontrar la resultante

1 2 ...T nE E E E E= + + + =∑r r r r r

Líneas de campo eléctrico Una línea de campo eléctrico es una recta o curva imaginaria trazada a través de una región del espacio, de modo tal que su tangente en cualquier punto tenga la dirección del vector de campo eléctrico en ese punto. Las líneas de campo eléctrico muestran la dirección de E en cada punto, y su separación da una idea general de la magnitud de E en cada punto. Donde E es intenso, se dibujan líneas estrechamente

agrupadas; donde E es más débil, las líneas están más separadas. En cualquier punto en particular, el campo eléctrico tiene una dirección única, por lo que sólo una línea de campo puede pasar por cada punto del campo. En otras palabras, las líneas de campo nunca se cruzan. En un campo uniforme, las líneas de campo son rectas, paralelas y con una separación uniforme.

0 0.F E q=r r

20

1

4

qE r

rπε=

r )

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Distribuciones de carga El procedimiento básico consiste en dividirla en elementos infinitesimales y usar los métodos de cálculo para obtener la fuerza total debida a todos ellos. Si un objeto contiene una carga neta q, imaginemos que se divide en muchos elementos dq. Expresamos dq en función del tamaño del elemento y la densidad de carga, que describe como se contribuyen las cargas en la longitud, superficie o volumen del objeto. Existen distintos tipos de distribuciones:

• DENSIDAD LINEAL DE CARGA λ (carga por unidad de longitud) dq= λ dx. Para las varillas. • DENSIDAD SUPERFICIAL DE CARGA σ (carga por unidad de superficie) dq= σ dA. Para la

superficie bidimensional. • DENSIDAD VOLUMÉTRICA DE CARGA ρ (carga por unidad de volumen) dq= ρ dV .Para el

volumen de un cuerpo tridimensional.

El procedimiento con el que se calcula la fuerza que este tipo de distribución ejerce sobre una carga puntual es el siguiente:

1. Se supone que la distribución continua está dividida en muchos elementos pequeños de carga. 2. Se selecciona un elemento arbitrario y se expresa su carga dq a partir de las ecuaciones dq= λ dx, dq= σ dA, dq= ρ dV , según la distribución. 3. Por ser dq infinitesimalmente pequeña, se la toma como una carga puntual, donde r es la distancia

entre dq y q0. 0

20

1

4

dq qdF

rπε= donde q0 es la carga de prueba positiva.

4. Se tienen en cuenta los signos y la ubicación de dq y q0 para determinar la dirección del elemento

de fuerza dF. 5. Luego, se calcula la fuerza total, sumando todos los elementos infinitesimales, que implica la

integral: F dF= ∫

r r y se integran cada una de las componentes vectoriales.

Electrón en un campo uniforme

Cuando se conectan los bornes de una batería a dos placas conductoras grandes paralelas, las cargas resultantes en las placas originan, en la región comprendida entre las placas, un campo eléctrico E que es casi uniforme. Si las placas son horizontales y están separadas 1.0 cm y conectadas a una batería de 100 volt, la magnitud del campo es E = 100 X 104 N/C. a) Si se libera un electrón en reposo en la placa superior, ¿cuál es su aceleración? b) ¿Qué rapidez y qué energía cinética adquiere al recorrer 1.0 cm hacia la placa inferior? c) ¿Cuánto tiempo se requiere para que el electrón recorra esta distancia? Un electrón tiene una

carga -e = -1.60X 10-9 C y una masa m = 9.11 X 10-31 kg. En este ejemplo intervienen varios conceptos: la relación entre campo eléctrico y fuerza eléctrica, la relación entre fuerza y aceleración, la definición de energía cinética y las relaciones cinemáticas entre aceleración, distancia, velocidad y tiempo.

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Campo eléctrico de una distribución contínua de carga Linea de carga

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Anillo o disco con carga uniforme

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Hoja infinita con carga Es un caso límite del disco con carga, donde R → ∞ y el disco se transforma en una hoja infinita, por eso aproximamos la ecuación a:

02zFσε

= esta expresión es posible usar sin importar la forma.

Cascarón esferico con carga uniforme Podemos utilizar sus propiedades para deducir el campo eléctrico debido a un cascarón delgado cargado uniformemente. Supongamos que el cascaron tiene radio R y la carga q (positiva). E=0 en su interior y en el exterior se comporta como una carga puntual.

20

1

4

qF

rπε=

Dipolos eléctricos Un dipolo eléctrico es un par de cargas puntuales de igual magnitud y signos opuestos (una carga positiva q y una carga negativa -q) separadas por una distancia d. Fuerza y momento de torsión en un dipolo eléctrico La fuerza eléctrica neta sobre un dipolo eléctrico en un campo eléctrico externo uniforme es cero. Momento de torsión Los momentos de torsión se calculan con respecto al centro del dipolo. Momento de torsión neto La magnitud del momento de torsión neto es simplemente el doble de la magnitud de cualquiera de los momentos de torsión individuales. El producto de la carga q por la separación d es la magnitud de una cantidad conocidacomo momento dipolar eléctrico, que se denota mediante p: p = qd (magnitud del momento dipolar eléctrico)

( . ).( . )q E d senτ φ=

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. .p E senτ φ= (magnitud del momento de torsión sobre un dipolo

eléctrico)

pXEτ =rr r

(momento de torsión sobre un dipolo eléctrico, en forma vectorial) Cuando un dipolo cambia de dirección en un campo eléctrico, el momento de torsión del campo eléctrico realiza trabajo sobre él, con un cambio correspondiente de energía potencial. El trabajo dW realizado por un momento de torsión τ durante un desplazamiento infinitesimal dφ está

dado por la ecuación .dW dτ φ= Dado que el momento de torsión es en

la dirección en que φ disminuye,

es preciso escribir el momento de torsión como pEsenτ φ= − y dW d pEsen dτ φ φ φ= = −

.U p E= −rr

(energía potencial de un dipolo en un campo eléctrico)

Campo eléctrico de un dipolo

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Ley de Gauss La ley de Gauss es parte de la clave para simplificar los cálculos de campos eléctricos con base en consideraciones de simetría. Es un enunciado fundamental acerca de la relación entre las cargas eléctricas y los campos eléctricos. Entre otras cosas, la ley de Gauss nos ayuda a entender cómo se distribuye la carga eléctrica en los cuerpos conductores. La ley de Gauss se refiere a lo siguiente. Dada una distribución de carga cualquiera, la envolvemos en una superficie imaginaria que encierra la carga. A continuación, examinamos el campo eléctrico en diversos puntos de esta superficie imaginaria. La ley de Gauss es la relación entre el campo en lodos los puntos de la superficie y la carga total encerrada dentro de la superficie. Carga y flujo eléctrico Se puede conocer la cantidad de carga que hay adentro de una “caja imaginaria” que las contiene. Para conocer el contenido de la caja, es necesario medir E sólo en la superficie de la caja.

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Flujo eléctrico: campo eléctrico por el área que se utiliza al calcular. La figura sugiere una relación simple: la carga positiva que está dentro de la caja atraviesa con un flujo eléctrico saliente la superficie de la caja, y la carga negativa del interior lo hace con un flujo eléctrico entrante. Si E = 0 en todas partes, por lo que no hay flujo eléctrico hacia adentro ni hacia afuera de la caja. el flujo eléctrico entrante en una parte de la caja compensa exactamente el flujo eléctrico saliente en la otra parte. Las figuras ponen de manifiesto una vinculación entre el signo (positivo, negativo o cero) de la carga neta encerrada por una superficie cerrada y el sentido (saliente, entrante o ninguno) del flujo eléctrico neto a través de la superficie. También hay una vinculación entre la magnitud de la carga neta adentro de la superficie cerrada y la intensidad del "flujo" neto de E en toda la superficie. Esto sugiere que el flujo eléctrico neto a través de la superficie de la caja es directamente proporcional a la magnitud de la carga neta que encierra la caja. Si se define el flujo eléctrico como sigue: con respecto a cada cara de la caja, tómese el producto de la componente perpendicular media de E por el área de esa cara; luego, súmense los resultados de todas las caras de la caja. Con esta definición el flujo eléctrico neto debido a una sola cara puntual encerrada en la caja es independiente del tamaño de ésta, y depende sólo de la carga neta presente dentro de la caja. Con respecto a los casos especiales de una superficie cerrada con forma de caja rectangular y distribuciones de carga compuestas de cargas puntuales o láminas infinitas con carga, hemos hallado que:

1. El hecho de que haya o no un flujo eléctrico saliente o entrante neto a través de una superficie cerrada depende del signo de la carga encerrada.

2. Las cargas que están afuera de la superficie no proporcionan un flujo eléctrico neto a través de la superficie.

3. El flujo eléctrico neto es directamente proporcional a la cantidad de carga neta encerrada dentro de su superficie, pero, por lo demás, es independiente del tamaño de la superficie cerrada.

¿Son válidas estas observaciones con respecto a otras distribuciones de carga y a superficies cerradas de forma arbitraria? La respuesta a esta pregunta resultará ser afirmativa. Cálculo del flujo eléctrico En términos cualitativos, el flujo eléctrico a través de una superficie es una descripción de si el campo eléctrico É apunta hacia adentro o hacia afuera de la superficie Utilicemos de nuevo la analogía entre un campo eléctrico E y el campo de vectores de velocidad v de un fluido en circulación. La figura muestra un fluido que fluye de modo uniforme de izquierda a derecha. Examinemos la relación de flujo volumétrico dV/dt (por ejemplo, en metros cúbicos en cada segundo) a través del rectángulo de alambre de área A. Cuando el área es perpendicular a la velocidad de flujo v (Fig. 22.5a) y la velocidad de flujo es la misma en todos los puntos del fluido, la relación de flujo volumétrico dV/dt es el área A multiplicada por la rapidez de flujo v:

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Cuando se inclina el rectángulo un ángulo φ de modo que su cara no sea perpendicular a v. el área que se considera es el área de la silueta que vemos cuando enfrentamos la dirección de v. Esta área, que está dibujada en rojo.

Si φ = 90°, dV/dt = 0; el rectángulo de alambre presenta su borde al flujo, y no pasa fluido alguno a través del rectángulo. La relación de flujo volumétrico se puede expresar de manera más compacta empleando el concepto de vector área, A, una magnitud vectorial de magnitud A y dirección perpendicular al plano del área que se describe. El vector área A describe tanto el tamaño de un área como su orientación en el espacio. En términos de A, podemos escribir la relación de flujo volumétrico de fluido a través del rectángulo de la figura (b) como un producto escalar (punto):

Siguiendo con la analogía a los fluidos, para calcular el flujo eléctrico, simplemente sustituimos la velocidad del fluido v por el campo eléctrico E. El flujo electrico se representa con EΦ .

Se define el flujo eléctrico a través de esta área como el producto de la magnitud del campo £ por el área A:

De forma aproximada, podemos describir EΦ en términos de las líneas de campo que pasan a través de A. Aumentar el área significa que más líneas de E atraviesan el área, con lo cual el flujo aumenta; un campo más intenso significa líneas de E más próximas unas a otras y, por tanto, más líneas en cada unidad de área, de modo que, una vez más, el flujo aumenta.

Puesto que Ecosφ es la componente de E perpendicular al área, podemos escribir de nuevo la ecuación como:

En términos del vector área A perpendicular al área, se puede escribir el flujo eléctrico como el producto escalar de É por A. Calculo del flujo para superficies irregulares y campos no uniformes ¿Qué sucede si el campo eléctrico E no es uniforme, sino que varía de un punto a otro en el área A? ¿O si A es parte de una superficie curva? En tales casos se divide A en muchos elementos pequeños dA, cada uno de los cuales tiene un vector unitario n

) perpendicular a él y un vector área dA = n dA

). Se calcula el flujo eléctrico a través de cada

elemento y se integran los resultados para obtener el flujo total:

(definición general del flujo)

Calculo para un disco: se calcula igual que el rectangulo pero cambia el área de este por el del disco. Cálculo para un cubo: se calculan cada una de las 6 caras planas y se suman cada uno de los campos.

cosE E dA EdAφΦ = =∫ ∫rr

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Calculo para la esfera: es irregular, por eso se usa la expresión general. Ley de Gauss

Es una alternativa de la ley de Coulomb. Aunque es totalmente equivalente a la ley de Coulomb, la ley de Gauss ofrece una manera diferente de expresar la relación entre la carga eléctrica y el campo eléctrico. La ley de Gauss establece que el flujo eléctrico total a través de cualquier superficie cerrada (una superficie que encierra un volumen definido) es proporcional a la carga eléctrica total (neta) dentro de la superficie. Comencemos con el campo de una sola carga puntual positiva q. Las líneas de campo se extienden en forma radial hacia afuera en todas direcciones por igual. Si colocamos la carga en el centro de una superficie esférica imaginaria de radio R, la magnitud E del campo eléctrico en todos los puntos de la superficie está dada por

El flujo eléctrico total es simplemente el producto de la magnitud del campo E por el área total A:

El flujo es independiente del radio R de la esfera. Depende únicamente de la carga q encerrada por la esfera. Se puede extender este análisis a superficies no esféricas. En vez de una segunda esfera, rodeemos la esfera de radio R con una superficie de forma irregular, como en la figura 22.13a. Considérese un elemento pequeño de área dA sobre la superficie irregular; vemos que esta área es más grande que el elemento correspondiente sobre una superficie esférica a la misma distancia de q. Si una normal a dA forma un ánguloφ con una línea radial proveniente de q, dos lados del área proyectada sobre la superficie esférica son reducidos por un factor de cosφ (Fig, 22.13b). Los otros dos lados no cambian. Por tanto, el flujo eléctrico a través del elemento de la superficie esférica es igual al flujo E da.cosφ través del elemento correspondiente de la superficie irregular.

Podemos dividir toda la superficie irregular en

elementos dA, calcular el flujo eléctrico E dA cosφ correspondi

ente a cada uno y sumar

los resultados

por integra-ción, como en la ecuación de la definición general de campo. Cada uno de los elementos de área se proyecta sobre un elemento correspondiente de la superficie esférica. Así, el flujo eléctrico total a través de de la superficie irregular, dado por cualquiera de las formas de la ecuación general, debe ser el mismo que el flujo total a través de una esfera, que según la ecuación

Es igual a 0/q ε . De esta manera, para la superficie irregular,

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La ecuación anterior es válida para una superficie de cualquier forma o tamaño, con la sola condición de que se trate de una superficie cerrada que encierra la carga q. El círculo sobre el signo de integral nos recuerda que la integral se toma siempre con respecto a una superficie cerrada. Los elementos de área dA y los vectores unitarios n

) correspondientes siempre apuntan hacia afuera del

volumen encerrado por la superficie. Así, el flujo eléctrico es positivo en las regiones donde el campo eléctrico apunta hacia afuera de la superficie y negativo donde apunta hacia adentro. Asimismo, E es positivo en los puntos donde E apunta hacia afuera respecto a la superficie y negativo en los puntos donde E apunta hacia adentro de la superficie. Para una superficie cerrada que no encierra carga:

Las líneas de campo eléctrico pueden iniciar o terminar dentro de una región del espacio sólo cuando hay carga en esa región.

Forma general de la ley de Gauss Supóngase que la superficie encierra no sólo una carga puntual q,

sino varias cargas q1, q2, qi,.... El campo eléctrico total (resultante) E en cualquier punto es la suma vectorial de los campos E de las cargas individuales. Sea encQ la carga total encerrada por la superficie:

Sea además E el campo total en la posición del elemento de área superficial dA, y sea Et su componente perpendicular al plano de ese elemento (es decir, paralelo a dA). En estas condiciones se puede escribir una ecuación como la ecuación con respecto a cada carga y su campo correspondiente y sumar los resultados. Al hacerlo, se obtiene el enunciado general de la ley de Gauss:

0

. encE

QE dA

εΦ = =∫

rr

Aplicaciones de la Ley de Gauss La ley de Gauss es válida con respecto a cualquier distribución de cargas y a cualquier superficie cerrada. Esta ley es útil de dos maneras. Si se conoce la distribución de carga, y si ésta tiene la simetría suficiente para que sea posible evaluar la integral de la ley de Gauss, se puede hallar el campo. O bien, si se conoce el campo, la ley de Gauss permite hallar la distribución de carga, por ejemplo, las cargas sobre superficies conductoras.

1 2 3 ...encQ q q q= + + +

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En los problemas prácticos es frecuente encontrar situaciones en las que se desea conocer el campo eléctrico creado por una distribución de carga sobre un conductor. Estos cálculos se facilitan en virtud del hecho notable siguiente: cuando se coloca en un conductor un exceso de carga y ésta se halla en reposo, reside en .su totalidad en la superficie, no en el interior del material. (Un exceso significa cargas diferentes de los iones y electrones libres que constituyen el conductor neutro). Deducción de la Ley de Coulomb a traves de Gauss

Aplicamos la ley de Gauss a una carga puntual positiva y aislada. En este caso (por simetría) E debe ser perpendicular a la superficie para que el angulo entre E y dA sea cero en toda la superficie. E posee la

misma magnitud en todas las partes. En la figura, .E dArr

va siempre hacia fuera, por eso queda .E dA y la ley de Gauss queda

0 0. .E dA E dA qε ε= =∫ ∫rr

como Er

es contante sale fuera de la

integral, y queda la integral que es solamente el área superficial total de

la esfera 20 0 0. . (4 )E dA q E A E r qε ε ε π= ⇒ = =∫

Y despejando queda 2

0

1

4

qE

rπε= (Ley de Coulomb)

Línea infinita de cargas Dése cuenta que, no obstante que la totalidad de la carga del alambre contribuye al campo, sólo se considera la parte de la carga total que está dentro de la superficie gaussiana al aplicar la ley de Gauss. Esto quizá parezca extraño; da la impresión de que, de algún modo, hemos obtenido la respuesta correcta sin tener en cuenta parte de la carga, y que el campo de un alambre corto de longitud l sería el mismo que el de un alambre muy largo. Pero si se incluye la totalidad de la carga del alambre al hacer uso de la simetría del problema. Si el alambre es corto, la simetría con respecto a desplazamientos a lo largo del eje no está presente, y el campo no es uniforme en términos de

magnitud en toda la superficie gaussiana. La ley de Gauss deja entonces de ser útil y no sirve para hallar el campo; la mejor forma de atacar el problema es mediante la técnica de integración. Se puede usar una superficie gaussiana como la de la figura para mostrar que el campo en puntos simados afuera de un cilindro largo con carga uniforme es el mismo que se tendría si la carga estuviera concentrada en una recta a lo largo de su eje. También se puede calcular el campo eléctrico en el espacio comprendido entre un cilindro con carga y un cilindro conductor coaxial hueco que lo rodea. Este es un modelo de un cable coaxial, como los cables con los que se conecta el televisor a una "toma" de televisión por cable.

Hoja infinita con carga

La lámina con carga pasa por el punto medio de la longitud del cilindro, de modo que los extremos del cilindro están equidistantes de la lámina. En cada extremo del cilindro, É es perpendicular a la superficie y E± es igual a E; por tanto, el flujo a través de cada extremo es +EA. Puesto que E es perpendicular a la lámina con carga, es paralelo a la pared lateral curva del cilindro; por tanto, EL en esta pared es cero y no hay flujo a través de ella. La integral del flujo total de la ley de Gauss es entonces 2EA (EA de cada extremo y cero de la pared lateral). La carga neta dentro de la superficie gaussiana es la carga en cada unidad

de área multiplicada por el área de la lámina encerrada por la superficie, es decir,

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El campo es uniforme y su dirección es perpendicular al plano de la lámina. Su magnitud es independiente de la distancia respecto a la lámina. Las lineas de campo son, por consiguiente, rectas, paralelas unas a otras y perpendiculares a la lámina.

Teoremas para cascarones esféricos con carga

1. En los puntos extremos un cascarón esférico uniforme con carga se comporta como si una carga se concentrara en su centro.

2. un cascarón esférico uniforme con carga no ejerce fuerza eléctrica sobre una partícula con carga colocada dentro del mismo.

Esfera con carga simétrica

Por simetría la magnitud E del campo eléctrico tiene el mismo valor en todos los puntos de la superficie gaussiana, y la dirección de E es radial en todos los puntos de la superficie; por tanto, Ex = E. Por consiguiente, el flujo eléctrico total a través de la superficie gaussiana es el producto de E por el

área total de la superficie, A = 4πr2, es decir, 24E r EπΦ =

La cantidad de carga encerrada en el interior de la superficie gaussiana depende del radio r. Hallemos en primer término la magnitud del campo adentro de la esfera con carga de radio R; la magnitud de E se evalúa en el radio de la superficie gaussiana, de modo que elegimos r < R. La densidad de carga volumétrica p es el cociente de la carga Q entre el volumen de toda la esfera con carga de radio R:

34 / 3

Q

Rρ

π=

El volumen Venc encerrado por la superficie gaussiana es 343 rπ , por tanto, la carga total Qenc encerrada por

esa superficie es: Entonces la ley de Gauss se transforma en:

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La magnitud del campo es proporcional a la distancia r entre el punto del campo y el centro de la esfera. En el centro (r = 0), E = 0. Para hallar la magnitud del campo afuera de la esfera con carga se emplea la superficie gaussiana de radio r > R. Esta superficie encierra la totalidad de la esfera con carga, por lo que Qm = Q, y la ley de Gauss da

En cualquier cuerpo esféricamente simétrico con carga, el campo eléctrico afuera del cuerpo es el mismo que si toda la carga estuviese concentrada en el centro. Carga en conductores el campo eléctrico en todos los puntos interiores del conductor es cero, y que todo exceso de carga en un conductor sólido se encuentra en su totalidad en la superficie de éste Pero, ¿qué ocurre si hay una cavidad adentro del conductor (Fig. 22.24b)? Si no hay carga adentro de la cavidad, se puede emplear una superficie gaussiana como A (que se encuentra integramente dentro del material del conductor) para demostrar que la carga neta en la superficie de la cavidad debe ser cero, porque E = 0 en cualquier lugar de la superficie gaussiana. De hecho, se puede probar que en esta situación no puede haber carga alguna en la superficie de la cavidad. Supóngase que se coloca un cuerpo pequeño con una carga q adentro de una cavidad en el interior de un conductor .El conductor no tiene carga y está aislado de la carga q. También en este caso E = 0 en cualquier lugar de la superficie A; por tanto, de acuerdo con la ley de Gauss la carga total en el interior de esta superficie debe ser cero. Por consiguiente, debe haber una carga — q distribuida en la superficie de la cavidad, atraída hacia ella por la carga q del interior de la cavidad. La carga total del conductor debe seguir siendo cero; por tanto, debe aparecer una carga +q ya sea en su superficie externa o adentro del material. Pero en las secciones anteriores hemos demostramos que en una situación electrostática no puede haber un exceso de carga dentro del material de un conductor. Por tanto, se concluye que la carga +q debe aparecer en la superficie externa. Por el mismo razonamiento, si el conductor tenía originalmente una carga qc, entonces la carga total en la superficie externa debe ser q + qc después de introducir la carga q en la cavidad.

Campo en la superficie de un conductor Por último, advertimos que existe una relación directa entre el campo E en un punto inmediatamente afuera de cualquier conductor y la densidad superficial de carga σ en ese punto. En general, σ varia de un punto de la superficie a otro. La dirección de E siempre es perpendicular a la superficie. Para hallar una relación entre σ con cualquier punto de la superficie y la componente perpendicular del campo eléctrico en ese punto, se construye una superficie gaussiana con forma de un cilindro pequeño (Fig. 22.30). La cara de un extremo, de área A, se encuentra dentro del conductor, y la otra se halla inmediatamente afuera de él. El campo eléctrico es cero en todos los puntos del interior del conductor. Afuera del conductor la componente de E perpendicular a las paredes laterales del cilindro es cero, y en toda la cara del extremo la componente perpendicular es igual a Ex. (Si σ es positiva, el campo eléctrico apunta hacia afuera del conductor y EL es positiva; si σ es negativa, el campo apunta hacia adentro y E± es negativa.) Por consiguiente, el flujo total a través de la superficie es E±A. La carga encerrada dentro de la superficie gaussiana es σA; por tanto, por la ley de Gauss,

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Energía de potencial eléctrica Cuando una partícula con carga se desplaza en un campo eléctrico, el campo ejerce una fuerza que puede realizar trabajo sobre la partícula. Este trabajo se puede expresar siempre en términos de energía potencial eléctrica. La energía potencial eléctrica depende de la posición de la partícula con carga en el campo eléctrico. Energía potencial eléctrica en un campo uniforme

Examinemos un ejemplo eléctrico de estos conceptos básicos. En la figura un par de placas metálicas paralelas con carga establecen un campo eléctrico descendente uniforme de magnitud E. El campo ejerce una fuerza hacia abajo de magnitud F=qoE sobre una carga positiva de prueba qo. Conforme la carga se desplaza hacia abajo una distancia d del punto a al punto b, la fuerza sobre la carga de prueba- es constante e independiente de su ubicación. Por tanto, el trabajo realizado por el campo eléctrico es el producto de la magnitud de la fuerza por la componente de desplazamiento en la dirección (descendente) de la fuerza:

Este trabajo es positivo ya que tiene la misma dirección que el desplazamiento de la carga de prueba.

Energía potencial eléctrica de dos cargas puntuales La idea de energía potencial eléctrica no está restringida al caso especial de un campo eléctrico uniforme. De hecho, se puede aplicar este concepto a una carga puntual en cualquier campo eléctrico creado por una distribución de carga estática. Por consiguiente, resulta útil calcular el trabajo realizado sobre una carga de prueba q0 que se desplaza en el campo eléctrico creado por una sola carga puntual estacionaria q.

Consideraremos en primer término un desplazamiento a lo largo de la línea radial de la figura, del punto a al punto b. La fuerza sobre q0 está dada por la ley de Coulomb y su componente radial es

Si q y q0 tienen el mismo signo (+ o -), la fuerza es de repulsión y F es positiva; si las dos cargas tienen signos opuestos, la fuerza es de atracción y F es negativa. La fuerza no es constante durante el desplazamiento y es necesario integrar para calcular el trabajo

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El trabajo realizado por la fuerza eléctrica en el caso de esta trayectoria en particular depende sólo de los puntos extremos. El trabajo es el mismo en todas las trayectorias posibles de a a b.

Pero la figura muestra que cos φ = dr. Es decir, el trabajo realizado durante un desplazamiento pequeño di depende únicamente del cambio dr de la distancia r entre las cargas, que es la componente radial del desplazamiento. Por consiguiente, la ecuación anterior es válida incluso con respecto a este desplazamiento más general; el trabajo realizado sobre q0 por el campo eléctrico E producido por q depende sólo de ra y rh, no de los detalles de la trayectoria. Asimismo, si qa regresa a su punto de partida a por un camino diferente, el trabajo total realizado en el desplazamiento de un viaje de ida y vuelta es cero (la integral de la ecuación (23.8) es de ra de nuevo a r0). Éstas son las características necesarias de una fuerza conservativa.

0

0

1

4

qqU

rπε= (energia potencial entre dos cargas q y q0 separadas r)

Conviene hacer hincapié en que la energía potencial U dada por la ecuación (23.9) es una propiedad compartida de las dos cargas q y q0; es consecuencia de la interacción entre estos dos cuerpos. Si la distancia entre las dos cargas cambia de ra a rb el campo de energía potencial es el mismo ya sea que q se mantenga fija y q0 se desplace o que q0 se mantenga fija y q se desplace. Por esta razón, nunca empleamos la frase "la energía potencial eléctrica de una carga puntual". Energía potencial eléctrica con varias cargas puntuales

Supóngase que el campo eléctrico E en el que se desplaza la carga q0 se debe a varias cargas puntuales q1, q2, q3, a distancias r1, r2, r3,... de q0,.El campo eléctrico total en cada punto es la suma vectorial de los campos de-bidos a las cargas individuales, y el trabajo total que se realiza sobre q0 durante cual quier desplazamiento es la suma de las contribuciones de las cargas individuales. De la ecuación

0

0

1

4

qqU

rπε=

Se concluye que la energía potencial asociada con la carga de prueba q0 en el punto a de la figura es la suma algebraica (no la suma vectorial).

0 3 01 2

0 1 2 3 0

...4 4

i

i i

q q q qq qU

r r r rπε πε

= + + + =

∑ (carga puntual q0 y conjunto de cargas qi)

El trabajo realizado sobre la carga q0 cuando ésta se desplaza de a a b a lo largo de cualquier trayectoria es igual a la diferencia Ua - Uh entre las energías potenciales cuando qfí está en a y en b.

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Podemos representar cualquier distribución de carga como un conjunto de cargas puntuales; por tanto, la ecuación (23.10) exhibe que siempre se puede hallar una función energía-potencial para cualquier campo eléctrico estático. Se sigue que con respecto a cada campo eléctrico debido a una distribución de carga estática, la fuerza ejercida por ese campo es conservativa. Si en un principio las cargas q1, q2, q3,... están todas separadas unas de otras por distancias infinitas, y luego las juntamos de modo que la distancia entre qi y qj sea rij, la energía potencial total U es la suma de las energías potenciales de interacción de cada par de cargas. Esto se puede escribir como:

Interpretación de la energía potencial eléctrica La hemos definido en términos del trabajo realizado por el campo eléctrico sobre una partícula con carga que se desplaza en el campo Cuando una partícula se desplaza del punto a al punto b, el trabajo que sobre ella realiza el campo eléctrico es Wab = Ua — Ub. Por tanto, la diferencia de energía potencial Ua – Ub es igual al trabajo que la fuerza eléctrica realiza cuando la partícula se desplaza de a a b. Cuando Ua es mayor que Ub , el campo realiza trabajo positivo sobre la partícula cuando ésta "cae" de un punto de más energía potencial (a) a un punto de menos energía potencial (b). No obstante, otro punto de vista, equivalente, consiste en considerar cuánto trabajo se tendría que hacer para "subir" una partícula de un punto b, donde la energía potencial es Ub, a un punto a donde la energía potencial tiene un valor mayor Ua (por ejemplo, empujar dos cargas positivas para acercarlas). Para mover la partícula lentamente (a modo de no impartirle energía cinética) necesitamos ejercer una fuerza externa adicional Fcu, que es igual y opuesta a la fuerza del campo eléctrico y realiza trabajo positivo. La diferencia de energía potencial Ua – Ub se define entonces como el trabajo que debe realizar una fuerza externa para desplazar la partícula lentamente deba a contra la fuerza eléctrica. Puesto que Fcu es el negativo de la fuerza del campo eléctrico y el desplazamiento es en dirección opuesta, esta definición de la diferencia de potencial Ua - Ub es equivalente a la que se dio anteriormente. Potencial eléctrico Un potencial es energía potencial por unidad de carga. Se define el potencial V en cualquier punto de un campo eléctrico como la energía potencial U por unidad de carga asociada con una carga de prueba q0 en ese punto.

Se suele llamar simplemente potencial. Se le suele llamar voltaje El potencial eléctrico está íntimamente relacionado con el campo eléctrico E Cuando se necesita hallar un campo eléctrico, suele ser más fácil determinar primero el potencial y luego hallar el campo a partir de él. La energía potencial y la carga son escalares; por consiguiente, el potencial es una cantidad escalar. La unidad SI de potencial, llamada un volt .1 V = 1 volt = 1 J/C = 1 joule/coulomb. Expresemos la ecuación, que iguala el trabajo realizado por la fuerza eléctrica durante un desplazamiento de a a b con la cantidad -∆U = -(Ub - Ua), sobre una base de "trabajo por unidad de carga". Al dividir esta ecuación entre q0 se obtiene:

Llamamos a Va y Vb el potencial en el punto a y potencial en el punto b, respectivamente. Por tanto, el trabajo por unidad de carga realizado por la fuerza eléctrica cuando un cuerpo con carga se desplaza de a a b es igual al potencial en a menos el potencial en b. A la diferencia Va - Vb se le llama el potencial de a con respecto a b Vab , el potencial de a con respecto a b, es igual al trabajo realizado por la fuerza eléctrica cuando una UNIDAD de carga se desplaza de a a b. Ua - Ub es la cantidad de trabajo que debe realizar una fuerza externa para desplazar lentamente una partícula de carga q0 de b a a contra la fuerza eléctrica. El trabajo que la fuerza externa deber realizar por unidad de carga es entonces (Ua - Ub)/q0 = Va-Vb= Vab. En otras palabras, V, el potencial de a con respecto a b, es igual al trabajo que es preciso realizar para desplazar lentamente una UNIDAD de carga de b a a contra la fuerza eléctrica. Para hallar el potencial V debido a una sola carga puntual q:

0 0

1U qV

q a rπε= = (potencial debido a una carga puntual)

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Donde r es la distancia desde la carga puntual q al punto en el que se evalúa el potencial. Si q es positiva, el potencial que crea es positivo en todos los puntos; si q es negativa, produce un potencial que es negativo en todas partes. En ambos casos, V es igual a cero en r =∞, a una distancia infinita de la carga puntual. Dése cuenta que el potencial, como el campo eléctrico, es independiente de la carga de prueba q0 que se utiliza para definirlo. Para un conjunto de cargas puntuales:

0 0

1

4i

i i

qUV

q rπε= = ∑

El potencial eléctrico debido a un conjunto de cargas puntuales es la suma escalar de los potenciales debidos a cada carga. Cuando se tiene una distribución continua de carga a lo largo de una línea, en una superficie o en todo un volumen, se divide la carga en elementos dq, y la suma de la ecuación anterior se transforma en una integral:

0

1

4

dqV

rπε= ∫

Donde r es la distancia del elemento de carga dq al punto de campo donde se evalúa V. ciertos problemas en los que se conoce el campo eléctrico o^e puede hallar sin dificultad, es más fácil

determinar V a partir de E. La fuerza F sobre una carga de prueba q0 se puede escribir como 0F q E=r r

. así

que, el trabajo realizado por la fuerza eléctrica cuando la carga de prueba se desplaza de a a b está dado por

Si se divide todo por q0 y se compra el resultado con

Tenemos . cosb b

a b a aV V E dl E dlφ− = =∫ ∫

rr(diferencia de potencial con respecto a E)

Cálculo del potencial eléctrico Cuando se calcula el potencial debido a una distribución de carga, por lo regular se sigue una de dos rutas. Si se conoce la distribución de carga, se usa la ecuación

0 0

1

4i

i i

qUV

q rπε= = ∑ o la ecuación

0

1

4

dqV

rπε= ∫

O bien, si se sabe cómo depende el campo eléctrico de la posición, se puede emplear la ecuación

. cosb b

a b a aV V E dl E dlφ− = =∫ ∫

rr

que define el potencial como cero en algún lugar conveniente. Algunos problemas requieren una combinación de estos métodos. Aplicaciones Línea de carga

Se tiene una carga eléctrica Q distribuida uniformemente a lo largo de una linca o varilla delgada de longitud 2a. La distancia de dQ a P es y la contribución de dV al potencial en P es

Para obtener el potencial en P debido a la varilla en su totalidad, se integra dVde principio a fin la longitud de la varilla de

y = -a a y = a:

puede consultar la integral en una tabla. El resultado final es

2 2x + yV =

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Anillo con carga

Discos con carga Para

calcular el punto P, debido a un anillo de radio w y de carga dq=σdA con el elemento de área dA=2πwdw

( )2 2

2 20 002 2

R wdwV w Z Z

w Z

σ σε ε

= = + −+∫

Su potencial tiene el valor máximo en la superficie del disco (donde Z=0) y disminuye al movernos del eje Z en una y otra dirección.

Con valores muy pequeños de Z el potencial es 0 02 2

ZRV

σσε ε

= − .

El potencial se aproxima al valor constante 0

02

RZ

σε

→ →

Cálculo del campo a partir del potencial si se conoce el potencial V en diversos puntos, se puede determinar E con base en él. Considerando V como una función de las coordenadas (x,y, z) de un punto en el espacio, demostraremos que las componentes de E están directamente relacionadas con las derivadas parciales de V con respecto a x, y y z. Va - Vb es el potencial de a con respecto a b, es decir, el cambio de potencial cuando un punto se traslada de b a a. Esto se puede escribir como

donde dV es el cambio infinitesimal de potencial que acompaña a un elemento infinitesimal dl de la trayectoria de b a a. Comparando con la ecuación anterior tenemos:

Estas dos integrales deben ser iguales con cualquier par de límites a y b, y para que esto se cumpla los integrados deben ser iguales. En estos términos, para cualquier desplazamiento infinitesimal dl,

A fin de interpretar esta expresión escribimos E y dl en términos de sus componentes: E = i Ex + j Ey + k dZ y dl = i dx + j dy + k dz. Por lo tanto se tiene que

-dV = Ex dx + Ey dy + E, dz

Superficies equipotenciales Las líneas de campo nos ayudan a visualizar los campos eléctricos. De manera semejante, el potencial en diversos puntos de un campo eléctrico se puede representar gráficamente mediante superficies equipotenciales. Una superficie equipotencial es una superficie tridimensional sobre la cual el potencial eléctrico V es el mismo en todos los puntos. Si se traslada una carga de prueba q0 de un punto a otro sobre una superficie de este tipo, la energía potencial eléctrica permanece constante. En una región donde está presente un campo eléctrico se puede construir una superficie equipotencial que pase por cualquier punto. En los diagramas se acostumbra mostrar sólo unos pocos equipotenciales representativos, a menudo con diferencias de potencial iguales entre superficies adyacentes. Ya que la energía potencial no cambia cuando una carga de prueba se traslada sobre una superficie equipotencial, el campo eléctrico no puede realizar trabajo sobre esa carga. Se sigue que E debe ser perpendicular a la superficie en todos los puntos para que la fuerza eléctrica q0E sea en todo momento

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perpendicular al desplazamiento de una carga que se mueve sobre la superficie. Las líneas de campo y las superficies equipotenciales son siempre mutuamente perpendiculares. La figura 23.23 muestra varias configuraciones de cargas. Las líneas de campo que están en el plano de las cargas se representan mediante líneas rojas, y las intersecciones de las superficies equipotenciales con este plano (esto es, cortes transversales de estas superficies) se muestran como líneas azules. en las regiones donde el campo es más débil, las superficies equipotenciales están más separadas; esto sucede en los radios más grandes

Equipotenciales y conductores

Cuando todas las cargas están en reposo, la superficie de un conductores siempre una superficie equipotencial. Puesto que el campo eléctrico E es siempre perpendicular a una superficie equipotencial, se puede verificar este enunciado si se demuestra que cuando todas las cargas están en reposo, el campo eléctrico inmediatamente afuera de un conductor debe ser perpendicular a la superficie en todos los puntos (Fig. 23.24). Sabemos que E = 0 en todas las partes del interior del conductor; de lo contrario, las cargas se trasladarían. El teorema es el siguiente: en una situación electrostática, si un conductor contiene una cavidad y no hay carga en el interior de ésta, entonces no puede haber una carga neta en ninguna parte de la superficie de la cavidad. Esto significa que si uno está adentro de una caja conductora con carga, puede tocar sin peligro cualquier punto de las paredes interiores de la caja sin sufrir una descarga. Para verificar este teorema, primero demostraremos que todos los puntos del interior de la cavidad están al mismo potencial. En la figura 23.26 la superficie conductora A de la cavidad es una superficie equipotencial, como recién hemos demostrado. Supóngase que el punto P de la cavidad está a un potencial diferente; por lo tanto se puede construir una superficie equipotencial diferente B que incluya el punto P. Considere ahora una superficie gaussiana (Fig. 23.26) entre dos superficiesequipotenciales. En virtud de la relación entre E y las equipotenciales, sabemos que en todos los puntos entre las equipotenciales el campo se dirige de A hacia B, o bien en todos los puntos se dirige de B hacia A, según la superficie equipotencial que esté al potencial más elevado. En uno u otro caso el flujo a través de esta superficie gaussiana es con certeza diferente de cero. Pero entonces la ley de Gauss afirma que la carga encerrada por la superficie gaussiana no

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puede ser cero. Esto contradice nuestra suposición inicial de que no hay carga en la cavidad. Por tanto, el potencial en P no puede ser diferente del que hay en la pared de la cavidad. En consecuencia, la región de la cavidad en su totalidad, debe estar al mismo potencial. Sin embargo, para que esto sea cierto, el campo eléctrico en el interior de la cavidad debe ser cero en todas partes. Por último, la ley de Gauss demuestra que el campo eléctrico en cualquier punto de la superficie de un conductor es proporcional a la densidad de carga superficial o" en ese punto. Se concluye que la densidad de carga superficial en la pared de la cavidad es cero en todos los puntos. Este razonamiento puede parecer tortuoso, pero vale la pena estudiarlo detenidamente. Efecto corona El efecto corona es un fenómeno eléctrico que se produce en los conductores de las líneas de alta tensión y se manifiesta en forma de halo luminoso a su alrededor. Dado que los conductores suelen ser de sección circular, el halo adopta una forma de corona, de ahí el nombre del fenómeno.El efecto corona está causado por la ionización del aire circundante al conductor debido a los altos niveles de tensión, y por ende, de campo magnético, de la línea. En el momento que las moléculas de aire se ionizan, éstas son capaces de conducir la corriente eléctrica y parte los electrones que circulan por la línea pasan a circular por el aire. Tal circulación producirá un incremento de temperatura en el gas, que se tornará de un color rojizo para niveles bajos de temperatura, o azulado para niveles altos. La intensidad del efecto corona, por lo tanto, se puede cuantificar según el color del halo, que será rojizo en aquellos casos leves y azulado para los más severos. Cuando lor radios de la esfera son mas pequeños más grande será el campo eléctrico fuera de la superficie. Cerca de un conductor afilado (de radio muy pequeño) en el airenormalmente no conductor puede conducir la carga y alejarlo de él. Vm = REm, En el caso de una esfera conductora de 1 cm de radio en el aire, Vm = (10-2

m) (3 X 106 V/m) = 30 000 V Por más que se "cargue" una esfera conductora de este tamaño en presencia de aire,.no se puede elevar su potencial a más de aproximadamente 30 000 V; si se intenta elevar más aún el potencial agregando carga adicional, el aire circundante se ioniza y se hace conductor y la carga adicional agregada se fuga hacia el aire. Potencial de dipolo eléctrico Este ejercicio sirve para calcularlo

Generador electrostático

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El generador de Van de Graaff es una máquina electrostática que utiliza una cinta móvil para acumular grandes cantidades de carga eléctrica en el interior de una esfera metálica hueca. Las diferencias de potencial así alcanzadas en un generador de Van de Graaff moderno pueden llegar a alcanzar los 5 megavoltios. Las diferentes aplicaciones de esta máquina incluyen la producción de rayos X, esterilización de alimentos y experimentos de física de partículas y fisica nuclear. El generador consiste en una cinta transportadora de material aislante motorizada, que transporta carga a un terminal hueco. La carga es depositada en la cinta por frotamiento a través del efecto triboeléctrico. Dentro del terminal, la carga es recolectada por una varilla metálica que se aproxima a la cinta. La carga, transportada por la cinta, pasa al terminal esférico nulo. Los generadores de Van De Graaff son máquinas especiales que se utilizan para que los estudiantes de física comprendan los fenómenos electrostáticos.

Capacitor

Lo forman dos conductores cualesquiera separados por un aislador (o un vacío). Se lo utiliza para almacenar energía.

En casi todas las aplicaciones prácticas, cada conductor tiene inicialmente una carga neta de cero y se transfieren electrones de un conductor al otro; a esto se le denomina cargar el capacitor. Una manera común de cargar un capacitor consiste en conectar estos dos alambres a bornes opuestos de una batería. Una vez que se establecen las cargas Q y -Q en los conductores, se desconecta la batería. Esto proporciona una di-ferencia de potencial Vab fija entre los conductores (es decir, el potencial del conductor con carga positiva a con respecto al conductor con carga negativa b) que es exactamente igual al voltaje de la batería. El campo eléctrico en cualquier punto de la región entre los conductores es proporcional a la magnitud Q de la carga de cada conductor.

Capacitancia [C] Es la relación de carga respecto a la diferencia de potencial que no cambia. Cuanto mayor es la capacitancia C de un capacitor, tanto más grande es la magnitud Q de la carga en cualquiera de los conductores con una diferencia de potencial determinada Vab y, en consecuencia, es mayor la cantidad de energía almacenada.

ab

QC

V=

Cálculo de la capacitancia: capacitores en un vacío Se calcula la capacitancia C de un determinado capacitor hallando la diferencia de potencial Vab entre los conductores con una magnitud de carga Q dada y aplicando en seguida la ecuación de capacitancia. Capacitores placas paralelas La forma más simple de un capacitor consiste en dos placas paralelas conductoras, cada una con un área A, separadas por una distancia d que es pequeña en comparación con sus dimensiones.

0ab

Q AC

V dε= = (Capacitor placas paralelas en un vacío)

La capacitancia depende sólo de la geometría del capacitor; es directamente proporcional al área A de cada placa e inversamente proporcional a su separación d. Las cantidades A y d son constantes con respecto a un capacitor dado, y e0 es una constante universal.

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Con respecto a cualquier capacitor en un vacío, la capacitancia C depende únicamente de la forma, dimensiones y separación de los conductores que constituyen el capacitor. Si los conductores tienen una forma más compleja que los del capacitor de placas paralelas, la expresión de la capacitancia es más complicada que la ecuación de los de placas paralelas. Capacitor esférico

Capacitor cilíndrico

Capacitores en serie Dos capacitores se conectan en serie (uno en seguida del otro) mediante alambres conductores entre los puntos a y b. Ambos capacitores están inicialmente sin carga. Cuando se aplica una diferencia de potencial Vab positiva y constante entre los puntos ay b, los capacitores se cargan; la figura muestra que la carga de todas las placas conductoras tiene la misma magnitud.

La capacitancia equivalente Ceq de la combinación en serie se define como la capacitancia de un solo capacitor cuya carga Q es la misma que la de la combinación, cuando la diferencia de potencial V es la misma.

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El recíproco de la capacitancia equivalente de una combinación en serie es igual a la suma de los recíprocos de las capacitancias individuales. En una conexión en serie, la capacitancia equivalente siempre es menor que cualquiera de las capacitancias individuales. Capacitores en paralelo En una conexión en paralelo la diferencia de potencial de todos los capacitores individuales es la misma e igual a Vab = V. De cualquier manera, las cargas Q1 y Q2 no son necesariamente iguales puesto que pueden llegar cargas a cada capacitor de modo independiente desde la fuente (como una batería) del voltaje Vab. Las cargas son

La capacit

ancia equival

ente de una combinación en paralelo es igual a la suma de las capacitancias individuales. En una conexión en paralelo la capacitancia equivalente siempre es mayor que cualquiera de las capacitancias individuales.

Almacenamiento de energía en capacitores y energía de campo eléctrico La energía potencial eléctrica almacenada en un capacitor cargado es simplemente igual a la cantidad de trabajo que se necesitó para cargarlo, es decir, para separar cargas opuestas y colocarlas en conductores diferentes. La energía potencial U de un capacitor cargado se halla calculando el trabajo W que se necesitó para cargarlo.

Supóngase que al terminar de cargar el capacitor la carga final es Q y la diferencia de potencial final es V. De acuerdo con la ecuación (24.1), estas cantidades se relacionan como sigue:

Sean q y v la carga y la diferencia de potencial, respectivamente, en una etapa intermedia del proceso de carga; entonces v = q/C. En esta etapa, el trabajo dW que se requiere para transferir un elemento de carga adicional dq es

El trabajo total W que se necesita para aumentar la carga q del capacitor de cero a un valor final Q es

Esto también es igual al trabajo total que el campo eléctrico realiza sobre la carga cuando el capacitor se descarga. En este caso q disminuye de un valor inicial Q a cero conforme los elementos de carga dq "caen" a través de diferencias de potencial v que varían desde V hasta cero. Si se define como cero la energía potencial de un capacitor sin carga, entonces W de la ecuación anterior es igual a la energía potencial del capacitor cargado. La carga almacenada final es Q = CV; por tanto, se puede expresar U (que es igual a W) como

La forma final de la ecuación muestra que el trabajo total que se requiere para cargar el capacitor es igual a la carga total multiplicada por la diferencia de potencial promedio 1/2V durante el proceso de carga.

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Casi todas las aplicaciones prácticas de los capacitores aprovechan su capacidad para almacenar y liberar energía. Las propiedades de almacenamiento de energía de los capacitores tienen además ciertos efectos prácticos indeseables. Energía del campo eléctrico Se puede cargar un capacitor trasladando electrones directamente de una placa a otra. Para ello es necesario realizar trabajo contra el campo eléctrico existente entre las placas. De esta manera, se puede pensar que la energía está almacenada en el campo de la región comprendida entre las placas. A fin de formular esta relación, hallemos la energía por unidad de volumen en el espacio entre las placas de un capacitor de placas paralelas con área de placa A y separación d. Llamaremos a esto densidad de energía, y la denotaremos como u. De acuerdo con la ecuación la energía potencial almacenada total es 1/2CV2 y el volumen entre las placas es simplemente Ad; por tanto, la densidad de energía es:

De acuerdo con la ecuación (24.2) la capacitancia C está dada por C = ε0A/d. La diferencia de potencial V está relacionada con la magnitud del campo eléctrico E según V = Ed. Si empleamos estas expresiones en la ecuación anterior, los factores geométricos A y d se cancelan y se obtiene

Aunque hemos deducido esta relación sólo con respecto a un capacitor de placas paralelas, resulta ser válida con respecto a cualquier capacitor en un vacío y, de hecho, a cualquier configuración de campo eléctrico en un vacio. Dieléctricos Casi todos los capacitores tienen un material no conductor, o dieléctrico, entre sus placas conductoras. Una clase común de capacitor emplea largas tiras de hoja metálica como placas, separadas por tiras de hoja de material plástico como el Mylar. La presencia de un dieléctrico sólido entre las placas de un capacitor tiene tres funciones. Primero, resuelve el problema mecánico de mantener dos láminas metálicas grandes separadas por una distancia muy pequeña sin contacto efectivo. Segundo, el uso de un dieléctrico aumenta la máxima diferencia de potencial posible entre las placas del capacitor. Cualquier material aislante, cuando se somete a un campo eléctrico suficientemente grande, experimenta ruptura del dieléctrico, una ionización parcial que permite la conducción a través de él. Muchos materiales dieléctricos toleran campos eléctricos más intensos sin ruptura que el aire. Por esto, el uso de un dieléctrico permite a un capacitor mantener una diferencia de potencial V más grande y así almacenar mayores cantidades de carga y energía. Tercero, la capacitancia de un capacitor de dimensiones específicas es mayor cuando hay un material dieléctrico entre las placas que cuando hay un vacío. La capacitancia original C0 está dada por C0 = Q/V0, y la capacitancia C con el dieléctrico presente es C = Q/V. La carga Q es la misma en ambos casos, y Fes menor que V0; por tanto, se concluye que la capacitancia C con el dieléctrico presente es mayor que C0. Cuando el espacio entre las placas está ocupado totalmente por el dieléctrico, la proporción de C a C0 (igual a la proporción de V0 a V) recibe el nombre de constante dieléctrica del material, K:

Cuando la carga es constante, Q = C0V0 = CV y C/C0 = VQ/V. En este caso, la ecuación anterior se puede escribir de esta otra forma:

La constante dieléctrica K es un número puro. Puesto que C siempre es mayor que C0, K siempre es mayor que la unidad. En el caso del vacío, K = 1 por definición. Ningún dieléctrico real es un aislador perfecto. En consecuencia, siempre hay cierta corriente de fuga entre las placas con carga de un capacitor con dieléctrico.

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Carga inducida y polarización Cuando se inserta un material dieléctrico entre las placas y se mantiene constante la carga, la diferencia de potencial entre las placas disminuye por un factor de K. Dado que la magnitud del campo eléctrico es menor cuando el dieléctrico está presente, la densidad de carga superficial (que crea el campo) también debe ser más pequeña. La carga superficial de las placas conductoras no cambia, pero aparece una carga inducida de signo opuesto en cada superficie del dieléctrico (Fig. 24.13). El dieléctrico era originalmente neutro, y lo sigue siendo; las cargas superficiales inducidas aparecen como resultado de una redistribución de la carga positiva y negativa en el interior del material dieléctrico, fenómeno que se conoce como polarización. Supondremos que la carga superficial inducida es directamente proporcional a la magnitud del campo eléctrico E en el material; éste es en efecto el caso en muchos dieléctricos comunes. Se puede deducir una relación entre esta carga superficial inducida y las cargas de las placas. Denotemos como σi la magnitud de la carga por unidad de área inducida en las superficies del dieléctrico (la densidad de carga superficial inducida). La magnitud de la densidad de carga superficial en las placas del capacitor es σ, como de costumbre. En tal caso la magnitud de la carga superficial neta en cada lado del capacitor es (σ- σi), como se muestra en la figura 24.13b El campo entre las placas está relacionado con la densidad de carga superficial según E = σneta/ε0 . Sin y con el dieléctrico, respectivamente, se tiene:

Sustituyendo estas expresiones en la ecuación y reorganizando el resultado, se encuentra que

Esta ecuación muestra que, cuando K es muy grande, σi, es casi tan grande como σ. En este caso, σi cancela casi totalmente a σ, y el campo y la diferencia de potencial son mucho más pequeños que sus valores en un vacío. El producto Kε0 se conoce como la permitividad o capacitancia inductiva es-pecífica del dieléctrico, la cual se denota como ∈ :

En términos de ∈ , el campo eléctrico dentro del dieléctrico se expresa como

La capacitancia cuando el dieléctrico está presente está dada por

Podemos repetir la deducción de la ecuación (24.11) con respecto a la densidad de energía u en un campo eléctrico en el caso en el que está presente un dieléctrico. El resultado es

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Ruptura del dieléctrico Ya hemos mencionado que cuando se somete un material dieléctrico a un campo eléctrico suficientemente intenso, se produce una ruptura del dieléctrico y el dieléctrico se convierte en conductor. Esto sucede cuando el campo eléctrico es tan intenso que arranca electrones de sus moléculas y los lanza sobre otras moléculas, con lo cual se liberan aún más electrones. Esta avalancha de carga en movimiento, que forma una chispa o descarga de arco, suele iniciarse repentinamente. Debido a la ruptura del dieléctrico, los capacitores siempre tienen voltajes máximos nominales. La magnitud máxima de campo eléctrico que un material puede soportar sin que ocurra una ruptura se conoce como su resistencia dieléctrica. La Ley de Gauss y los dieléctricos El análisis de la sección 24.4 se puede ampliar a fin de reformular la ley de Gauss en una forma que resulta particularmente útil en el caso de los dieléctricos. La figura 24.21 es un acercamiento de la placa izquierda del capacitor y de la superficie izquierda del dieléctrico de la figura 24.13b. Apliquemos la ley de Gauss a la caja rectangular que se muestra en corte transversal mediante la línea morada; el área total de los lados izquierdo y derecho es A. El lado izquierdo está incrustado en el conductor que constituye la placa izquierda del capacitor; por tanto, el campo eléctrico en todas las partes de esa superficie es cero. El lado derecho está incrustado en el dieléctrico, donde la magnitud del campo eléctrico es E, y EL = 0 en todos los puntos de los otros cuatro lados. La carga total encerrada, incluida tanto la carga de la placa del capacitor como la carga inducida en la superficie del dieléctrico, es Qenc = (σ-σi)A por tanto, la ley de Gauss da Esta ecuación no es muy esclarecedora tal como se muestra porque relaciona dos magnitudes desconocidas: E en el interior del dieléctrico y la densidad de carga superficial inducida σi . Pero ahora podemos aplicar la ecuación formulada para esta misma situación, a fin de simplificar la ecuación eliminando σi . La ecuación (24.16) es.

Combinando esto con la ecuación (24.21) se obtiene

La ecuación anterior afirma que el flujo de KE, no E, a través de la superficie gaussiana de la figura 24.21 es igual al cociente de la carga libre encerrada σA. entre e0. Resulta que, con respecto a cualquier superficie gaussiana, siempre que la carga inducida es proporcional al campo eléctrico en el material, la ley de Gauss se puede escribir como

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Corriente eléctrica Una corriente eléctrica es todo movimiento de carga de una región a otra. En las situaciones electrostáticas el campo eléctrico es cero y en todos los puntos del interior del conductor y no hay corriente. No obstante no quiere decir que estén en reposo dentro. En los elementos conductores se trasladan de un lado a otro y no escapan porque son atraidos a los iones (+). El movimiento es aleatorio, no hay flujo neto de cargas, entonces NO hay corriente. Campo E dentro de un conductor

Una partícula con carga esa sometida a una fuerza constante F=q.E. la partícula choca contra iones de gran masa cambiando su dirección. El efecto neto del campo eléctrico E es que, además del movimiento aleatorio de las partículas con carga den-tro del conductor, hay un movimiento neto muy lento, o deriva, del traslado de las partículas con carga, como grupo, en la dirección de la fuerza eléctrica F = qE (Fig. 25.1). Este desplazamiento se describe en términos de la velocidad de deriva vd de las partículas. En consecuencia, hay una corriente neta en el conductor. ¿Por que se mueve tan rápido cuando se prende la luz? La razón es que el campo eléctrico se establece en el alambre con una rapidez próxima a la de la luz, y los electrones comienzan a trasladarse a lo largo del alambre prácticamente todos al mismo tiempo. El campo E realiza trabajo al trasladar las cargas. La energía cinética resultante se transfiere al material del conductor por medio de colisiones con los iones, los cuales vibran próximos a sus posiciones de equilibrio en la estructura cristalina del conductor. Esta transferencia de energía aumenta la energía promedio de vibración de los iones y, por consiguiente, la temperatura del material. Es así que gran parte del trabajo realizado por el campo eléctrico se invierte en calentar el conductor, no en hacer que las cargas en movimiento se trasladen cada vez más rápidamente. En los metales las cargas en movimiento siempre son electrones (-) y los huecos funcionan como (+).

(+) a favor de E (-) en contra de E

Definimos la dirección de la corriente, que se representa como /, como aquella en la que hay un flujo de carga positiva. Definimos la corriente a través del área de sección transversal A como la carga neta que fluye a través del área por unidad de tiempo. Por consiguiente, si una carga neta dQ fluye a través de un área en un tiempo dt, la corriente / a través del área es I dQ dt= (Definición de corriente) (25.1) NO es un vector. Su unidad es [A] (Ampere) Coulomb x segundo. Corriente, velocidad de deriva y densidad de corriente La corriente se puede expresar en la velocidad de deriva

( )d ddq q nAv dt nqv Adt= =

Siendo dt: diferencial de tiempo, A: área, vd: velocidad de deriva, q: carga, n: densidad de electrones libres. Densidad de corriente: /J I A=

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Si las cargas en movimiento son negativas en vez de positivas, como en la figura 25.2b, la velocidad de deriva es opuesta a E. Pero la corriente sigue teniendo la misma dirección que E en cada punto del conductor. Por consiguiente, la comente / y la densidad de corriente J no dependen del signo de la carga, y es por ello que en las expresiones anteriores de I y J sustituimos la carga q por su valor absoluto q :

dv J n q=

La corriente continua circula siempre en el mismo sentido, mientras que en la corriente alterna I cambia constantemente CUIDADO Dése cuenta que la densidad de corriente J es un vector, pero no la corriente /. La diferencia radica en que la densidad de corriente / describe cómo fluyen las cargas en un punto determinado, y la dirección del vector se refiere a la dirección del flujo en ese punto. En cambio, la corriente / describe cómo fluyen las cargas a través de un objeto extenso, como un alambre. Cuando hay distintas cargas, concentraciones y velocidades de deriva la corriente total I se halla sumando las corrientes debidas a cada clase de partícula con carga mediante la ecuación (25.2). De la misma manera, la densidad de corriente vectorial total J se encuentra aplicando la ecuación (25.4) a cada clase de partícula con carga y sumando los resultados. 25.2 Resistividad La densidad de corriente J de un conductor depende del campo eléctrico E y de las propiedades del material. En general, esta dependencia puede ser muy compleja. Pero en el caso de ciertos materiales, en especial metales, a una temperatura dada, J es casi directamente proporcional a E, y la relación de las magnitudes E y J es constante. Esta relación, llamada ley de Ohm. Cuanto más grande es la resistividad, tanto mayor es el campo que se necesita para generar una densidad de corriente determinada, o tanto menor es la densidad de corriente generada por un campo dado. Unidades . .V m A m= Ω . El conductor perfecto tiene resistividad cero.

El recíproco de la resistividad es la conductividad. Sus unidades son ( ) 1

.m−Ω . Los buenos conductores de

electricidad tienen una conductividad más grande que los aisladores. Malos conductores eléctricos son los materiales cerámicos y plásticos. Los semiconductores tienen resistividades intermedias entre las de los metales y las de los aisladores. Estos materiales son importantes en virtud de la manera en que la temperatura y la presencia de pequeñas cantidades de impurezas influyen en su resistividad. Un material-que obedece la ley de Ohm razonablemente bien se describe como un conductor óhmico o un conductor lineal. En estos materiales, y a una temperatura dada, ρ es una constante que no depende del valor de E. Muchos materiales muestran desviaciones importantes respecto al comportamiento que describe la ley de Ohm; son no afónicas o no lineales. En estos materiales, J depende de E de un modo más complicado. Resistividad y temperatura La resistividad de un conductor metálico casi siempre aumenta con la temperatura. En los semiconductores, la resistividad baja abruptamente a cero

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25.3 Resistencia

Si ρ es constante, como en el caso de los materiales óhmicos, entonces también lo es R. La ecuación V = IR (relación entre voltaje, corriente y resistencia) (25.11) suele identificarse con la ley de Ohm, pero es importante comprender que el verdadero contenido de la ley de Ohm es la proporcionalidad directa (en el caso de ciertos materiales) de V con respecto a I o de J con respecto a E. La ecuación (25.9) o la (25.11) definen la resistencia R de cualquier conductor, ya sea que obedezca la ley de Ohm o no, pero sólo cuando R es constante es correcto llamar ley de Ohm a esta relación. La resistencia también varía con la temperatura, cuando la variación no es grande se usa la ecuación 25.12.

25.4 Fuerza electromotriz y circuitos Para que un conductor tenga una corriente constante, debe ser parte de un camino que forme una espira cerrada o circuito completo. La razón es la siguiente. Si se establece un campo eléctrico E1 adentro de un conductor aislado con resistividad p que no es parte de un circuito completo, comienza a fluir una corriente con densidad de corriente J = E1 / ρ (Fig. 25.11a). En consecuencia, se acumula rápidamente una carga positiva neta en un extremo del conductor y una carga negativa neta en el otro extremo (Fig. 25.1 Ib). Estas cargas crean por sí mismas un campo eléctrico E2 en dirección opuesta a E1, lo cual hace disminuir el campo eléctrico total y, por tanto, la corriente. En el término de una muy pequeña fracción de segundo, se acumula en los extremos del conductor la carga suficiente para que el campo eléctrico total E = E1 + E2 = 0 adentro del conductor. Entonces también J = 0, y la corriente cesa totalmente (Fig. 25.11 c). Así pues, no puede haber un movimiento constante de carga en un circuito incompleto como éste. Cuando una carga circula en un circuito cerrado. Hay una disminución de energía potencial cuando se desplazan cargas a través de un material conductor ordinario con resistencia. Por tanto, debe haber alguna parte del circuito donde la energía potencial aumenta.

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Fuerza electromotriz(ε) En este dispositivo una carga viaja "cuesta arriba", de menor a mayor energía potencial, a pesar de que la fuerza electrostática intenta empujarla de mayor a menor energía potencial. La dirección de la corriente en un dispositivo de este tipo es de menor a mayor potencial, exactamente lo contrario de lo que ocurre en un conductor ordinario. La influencia que hace fluir corriente de un potencial menor a otro mayor se llama fuerza electromotriz (se abrevia fem). Energía por unidad de carga (1V=J/C) Todo circuito completo con una corriente constante debe incluir algún dispositivo que suministre fem. Este dispositivo recibe el nombre de fuente de fem. La ideal se mantiene siempre constante. La fem es cuantitativamente la diferencia de potencial

La dirección del campo eléctrico adentro del dispositivo es de a a b, como se muestra. Una carga q en el interior de la fuente experimenta una fuerza eléctrica Fe =qE. Pero la fuente suministra además una in-fluencia adicional, que representaremos como una fuerza no electrostática Fn. Esta fuerza, que actúa en el interior del dispositivo, empuja carga de b_ a a en una dirección "cuesta arriba" contra la fuerza eléctrica Fe. De este modo Fn mantiene la diferencia de potencial entre los bornes. Si Fe no estuviese presente, fluiría carga entre los bornes hasta que la diferencia de potencial fuera cero. El origen de la influencia adicional Fn depende de la clase de fuente. Formemos ahora un circuito completo conectando un alambre de resistencia R a los bornes de una fuente (Fig. 25.14). La diferencia de potencial entre los bornes a y b establece un campo eléctrico adentro del alambre; esto provoca un flujo de corriente alrededor de la espira de a hacia b, de mayor a menor potencial. Dése cuenta que, donde el alambre se dobla, persisten cantidades iguales de carga positiva y negativa en el "interior" y en el "exterior" del doblez. Estas cargas ejercen las fuerzas que obligan a la corriente a seguir los dobleces del alambre.

abV IRε = =

Resistencia interna La razón es que la carga que se traslada a través del material de cualquier fuente real encuentra resistencia. A ésta se le conoce como la resistencia interna de la fuente, y se representa como r. Si esta resistencia se comporta de acuerdo con la ley de Ohm, r es constante e independiente de la corriente I. Conforme la corriente avanza a través de r, experimenta una caída de potencial asociada e igual a Ir. I R rε= + Para fuentes con resistencia interna. El potencial Vab ,llamado tensión de bornes, es menor que la fem ε debido al término Ir que representa la caída de potencial a través de la resistencia interna r. Símbolos para diagramas de circuitos

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Fuente en cortocircuito /I rε= porque 0abV Irε= − =

Situaciones donde las resistencias son óhmicas. Si el circuito incluye un dispositivo no lineal, como un diodo (véanse las figuras 25.9b y 25.9c), la ecuación (25.16) sigue siendo válida pero no se puede resolver algebraicamente, porque R no es constante. En una situación como ésta, se puede hallar la comente / por medio de técnicas numéricas Por último, conviene señalar que la ecuación abV Irε= − (25.15) no es siempre una representación

adecuada del comportamiento de una fuente. La fem puede no ser constante, y lo que hemos descrito como una resistencia interna puede ser en realidad una relación más compleja de voltaje y corriente que no obedece la ley de Ohm. 25.5 Energía y potencia en circuitos eléctricos

En los circuitos eléctricos lo que más nos suele interesar es la rapidez con la que se entrega o se extrae energía a o de un elemento de circuito. Si la corriente a través del elemento es /, entonces en un intervalo de tiempo dt una cantidad de carga dQ = I dt pasa a través del elemento. El cambio de energía potencial que corresponde a esta cantidad de carga es Vab dQ = Vab I dt. Dividiendo esta expresión entre dt se obtiene la rapidez con la que se transfiere energía hacia adentro o hacia afuera del elemento de circuito. La relación de transferencia de energía por unidad de tiempo es la potencia, que se representa mediante P; por tanto, escribimos

Resistencia pura

La potencia pata una resistencia es

Todo resistor tiene una potencia nominal, la potencia máxima que el dispositivo puede disipar sin sobrecalentarse y sufrir daños. En las aplicaciones prácticas la potencia nominal de un resistor suele ser una característica tan importante como su valor de resistencia.

Potencia salida de una fuente

El punto a está a un potencial mayor que el punto b: por tanto Va > Vb y Vab es positiva. Dése cuenta que la corriente I sale de la fuente por el borne de mayor potencial (en vez de entrar por ahí). Se está entregando energía al circuito externo, y la rapidez con la que se entrega al circuito está dada por la ecuación (25.17):

P = Vab I En el caso de una fuente que se describe en términos de una fem ε y una resistencia interna r, se puede emplear la ecuación (25.15):

Vab = ε- Ir Multiplicando esta ecuación por / se obtiene

P = Vab I = ε I - I2r (25.19) ε I es la intensidad a la que se realiza trabajo sobre las cargas por el medio, cualquiera que éste sea, que genera la fuerza no electrostática en la fuente. Este término representa la rapidez de conversión de energía no

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eléctrica en energía eléctrica dentro de la fuente. El término / 2r es la proporción a la que se disipa energía eléctrica en la resistencia interna de la fuente. La diferencia £l-I2r es la potencia eléctrica neta útil de la fuente, esto es, la rapidez a la que la fuente entrega energía eléctrica al resto del circuito. Potencia de entrada a una fuente

La corriente tiene dirección contraria, entonces se tiene, con respecto a la fuente superior, abV Irε= + y en vez de la ecuación (25.19) se

tiene 2abP V I I I Rε= = + (25.20)

En vez de que el agente que genera la fuerza no electrostática de la fuente superior realice trabajo, se está realizando trabajo sobre el agente. En la fuente superior hay una conversión de energía eléctrica en energía no eléctrica en una proporción de εI. El término I 2r de la ecuación (25.20) es una vez más la rapidez a la que se disipa energía en la resistencia interna de la fuente superior, y la suma εI +I2r es la potencia eléctrica total de alimentación a la fuente superior.

Capítulo 26 Resistencia en serie La corriente es siempre la misma, la diferencia de potencial no siempre son iguales, pero la total es la suma de las individuales. La diferencia de potencial Vah entre los extremos de la combinación en su totalidad es la suma de estas diferencias de potencial individuales:

( )1 2 3ab ax xy ybV V V V I R R R= + + = + + y por tanto 1 2 3abV I R R R= + +

Por definición, la proporción Vab/ l es la resistencia equivalente Req. En consecuencia, 1 2 3eqR R R R= + +

Es fácil generalizar esto a cualquier número de resistores:

1 2 3 ...eqR R R R= + + + (resistores en serie)(26.1)

La resistencia equivalente de cualquier número de resistores en serie es igual a la suma de sus resistencias individuales. La resistencia equivalente es mayor que cualquiera de las resistencias individuales. Resistencia en paralelo La Vab es siempre la misma, la I divide y queda: I=I1+I2+I3+… Entonces dado que:

1 1abI V R= 2 2abI V R= 3 3abI V R=

En general, la corriente es diferente a través de cada resistor. Puesto que no se acumula ni se pierde carga por el punto a, la corriente total / debe ser igual a las tres corrientes de los resistores:

( )1 2 3 1 2 31 1 1abI I I I V R R R= + + = + + o bien 1 2 31 1 1abI V R R R= + +

Pero por definición la resistencia equivalente Req, I/Vab=1/Req, de modo que 1 2 31 1 1 1eqR R R R= + +

También en este caso es fácil generalizar a cualquier número de resistores en paralelo:

1 2 31 1 1 1 ...eqR R R R= + + + (resistores en paralelo) (26.2)

En el caso de cualquier número de resistores en paralelo, el recíproco de la resistencia equivalente es igual a la suma de ¡os recíprocos de sus resistencias individuales. La resistencia equivalente siempre es menor que cualquiera de las resistencias individuales. Reglas de Kirchhoff

Una unión de un circuito es un punto donde se encuentran tres o más conductores. Las uniones también se conocen como nodos o puntos de derivación. Una espira es cualquier camino conductor cerrado. Las reglas de Kirchhoff consisten de los dos enunciados siguientes:

1. Regla de Kirchhoff de las uniones: La suma algebraica de las corrientes en cualquier unión es cero. Es decir,

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2. Regla de Kirchhoff de las espiras: la suma algebraica de las diferencias de potencial en cualquier espira, incluso las asociadas a la fem y las de elementos con resistencia, debe ser igual a cero, es decir

En los nudos, las corrientes que entran son (+) y las que salen (-) Para la ley de las espiras, cuando se recorre de (-) a (+) se considera positiva y cuando se recorre de (+) a (-) se considera negativa. Si el sentido real de una cantidad en particular es opuesto al que se supuso, se obtendrá el resultado con signo negativo. Ddp (+) hay más potencial, Ddp (-) hay menos potencial Efecto Joule Si en un conductor circula corriente eléctrica, parte de la energía cinética de los electrones se transforma en calor debido a los choques que sufren con los átomos del material conductor por el que circulan, elevando la temperatura del mismo. Este efecto es conocido como Efecto Joule en honor a su descubridor el físico británico James Joule. Este efecto fue definido de la siguiente manera: "La cantidad de energía calorífica producida por una corriente eléctrica, depende directamente del cuadrado de la intensidad de la corriente, del tiempo que ésta circula por el conductor y de la resistencia que opone el mismo al paso de la corriente". Matemáticamente se expresa como

donde: Q = energía calorífica producida por la corriente I = intensidad de la corriente que circula y se mide en amperios R = resistencia eléctrica del conductor y se mide en ohms t = tiempo el cual se mide en segundos Así, la potencia disipada por efecto Joule será:

donde V es la diferencia de potencial entre los extremos del conductor. Instrumentos eléctricos Amperímetro

Mide corriente. Su resistencia tiene que ser la mínima posible. Cualquier medidor se puede adaptar para medir corrientes mayores que su lectura de escala completa conectando un resistor en paralelo con él (Fig. 26.15a), a fin de que parte de la corriente se desvíe de la bobina del medidor. El resistor en paralelo recibe el nombre de resistor de derivación o simplemente derivación, y se denota como Rsh.

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Suponga que se desea convertir un medidor con corriente de escala completa Ifs y resistencia de bobina Rc en un amperímetro con lectura de escala completa Ia. Para determinar la resistencia de derivación Rsh que se necesita, dése cuenta que, con desviación de escala completa, la corriente total a través de la combinación en pa-ralelo es /a, la corriente a través de la bobina del medidor es /fs, y la corriente a tra-vés de la derivación es la diferencia /a - Iec. La diferencia de potencial Vab es la misma en ambos caminos; por tanto,

Ifs Rc = (/a - /fS)RSh (en un amperímetro) (26.7) Voltímetros

Mide ddp entre dos puntos y los bornes deben estar conectados a esos puntos. El aparato ideal tendría resistencia infinita entonces no alteraría las corrientes. Tiene que ser de resistencia grande En estas condiciones sólo una fracción de la diferencia de potencial total aparece entre los bornes de la bobina misma, y el resto aparece entre los extremos de Rs. En el caso de un voltímetro con lectura de escala completa Vv, se necesita un resistor en serie Rs en la figura 26.15b tal que vv = Ifs(Rc+Rs)(en un voltímetro)(26.8)

Amperímetros y voltímetros en combinación Se pueden utilizar un amperímetro y un voltímetro juntos para medir resistencia y potencia. La resistencia R de un resistor es igual a la diferencia de potencial Vab entre sus bornes dividida entre la corriente /; es decir, R = Vab/I. La potencia de alimentación P a cada elemento de circuito es el producto de la diferencia de po-tencial entre sus bornes por la corriente que pasa a través de él: P = Vah I. En principio, la manera más directa de medir R o P es medir Vab e / simultáneamente. En los reales se deben hacer conexiones.

Ohmiometros Para medir resistencias. Con cualquier valor intermedio de R la desviación del medidor depende del valor de R, y se puede calibrar la escala para leer directamente la resistencia R. Una corriente mayor corresponde a una resistencia más pequeña; por tanto, esta escala se lee hacia atrás en comparación con la escala que muestra la corriente.

Potenciometro El término potenciómetro se aplica además a cualquier resistor variable, que por lo regular tiene un elemento de resistencia circular y un contacto corredizo controlado mediante un eje giratorio y una perilla.

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Capítulo 27 Los imanes permanentes atraen objetos de hierros no magnetizados y atraen o repelen otros imanes. Las fuerzas magnéticas actúan sobre cargas eléctricas en movimiento (corriente eléctrica) 27.1 Magnetismo Una barra de hierro con un iman natural, la barra se magnetiza. Un imán produce campo magnético y uno de sus lados atrae a los cuerpos hacia el. Los polos opuestos se atraen mientras que los polos similares se repelen.

27.2 Campo magnético (B) Las interacciones magnéticas de manera similar:

1. Una carga en movimiento o una corriente genera un campo magnético en el espacio circundante (además de su campo eléctrico).

2. El campo magnético ejerce una fuerza F sobre cualquier otra carga en movimiento o corriente presente en el campo.

¿Qué fuerza ejerce sobre una carga en movimiento una corriente? El campo magnético es VECTORIAL. La dirección de B es aquella que tiende a apuntar el norte de una brújula. ¿Cuáles son las características de la fuerza magnética que se ejerce sobre una carga en movimiento? Primero, su magnitud es proporcional a la magnitud de la carga. Si una carga de 1 µC y otra de 2 µC se trasladan a través de un campo magnético determinado con la misma velocidad, los experimentos muestran que la fuerza sobre la carga de 2 µC es dos veces mayor que la fuerza sobre la carga de 1 µC. La magnitud de la fuerza también es proporcional a la magnitud, o "intensidad", del campo; si se duplica la magnitud del campo (por ejemplo, empleando dos barras magnéticas idénticas en vez de una) sin alterar la carga ni su velocidad, la fuerza se duplica. También la fuerza magnética depende de la velocidad de la partícula. En esto se distingue claramente de la fuerza de campo eléctrico, que es la misma ya sea que la carga se mueva o no. Una partícula con carga en reposo no experimenta fuerza magnética alguna. Además, se encuentra experimentalmente que la fuerza magnética F no tiene la misma dirección que el campo magnético B, sino que siempre es perpendicular tanto a B como a la velocidad v. La magnitud F de la fuerza resulta ser proporcional a la componente de v perpendicular al campo; cuando esta componente es cero (es decir, cuando v y B son paralelas o antipara-lelas), la fuerza es cero.

F siempre tiene dos direcciones opuestas entre si y perpendicular a v y B.

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Se comple la regla de la MANO DERECHA con v y B. Los dedos se mueven de v a B y dan la dirección de F.

La ecuación anterior sale de resultados experimentales. Su magnitud es . .F q v senθ= . El ángulo es entre v y B. cuando la q es (-) la F opuesta a los vectores de v y B. Si dos cargas iguales en magnitud y signos opuestos se trasladan en el mismo campo B las fuerzas tienen igual magnitud y direcciones opuestas. Para explorar un campo magnético desconocido, se pueden medir la magnitud y la dirección de la fuerza que ejerce sobre una carga de prueba en movimiento, y luego aplicar la ecuación (27.2) para hallar B. Cuando una partícula con carga se traslada a través de una región del espacio donde están presentes tanto un campo eléctrico como uno magnético, ambos campos ejercen fuerzas sobre la partícula. La fuerza total F es la suma vectorial de las fuerzas eléctrica y magnética:

27.3 Líneas de campo magnético y flujo magnético Se dibujan las líneas de modo que la línea que pasa por un punto cualquiera sea tangente al vector del campo magnético en ese punto. Cuando las líneas están más próximas el campo es mas grande, mientras que cuando están mas separadas el campo es mas débil. NUNCA SE CRUZAN

Flujo magnético y ley de Gauss El flujo magnético es la cantidad de campo en un área.

Si B es perpendicular a la superficie, el flujo es el producto de estos dos (B.A) Su unidad es el Tesla [T]. En la ley de Gauss el flujo eléctrico total a través de una superficie cerrada es proporcional a la carga eléctrica total encerrada por la superficie. Por ejemplo, si la superficie cerrada contiene un dipolo eléctrico, el

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flujo eléctrico total es cero porque la carga total es cero. (Es conveniente repasar la sección 22.3, referente a la ley de Gauss). Por analogía, si existiese algo así como una carga magnética individual (monopolo magnético), el flujo magnético total a través de una superficie cerrada sería proporcional a la carga magnética total encerrada. Pero hemos mencionado que jamás se ha observado un monopolo magnético, a pesar de que se ha buscado exhaustivamente. Se concluye que el flujo magnético total a tra-vés de una superficie cerrada siempre es cero. De forma simbólica,

A esta ecuación se le llama en ocasiones ley de Gauss del magnetismo. 27.4 Movimiento de partículas con carga en un campo magnético

Cuando una partícula con carga se traslada en un campo magnético, actúa sobre ella la fuerza magnética dada por la ecuación (27.2), y el movimento está determinado por las leyes de Newton. La fuerza magnética F = qv XB tiene magnitud F = qvB y su dirección es como se muestra en la figura. La fuerza siempre es perpendicular a v, por lo que no puede alterar la magnitud de la velocidad; sólo su dirección. En otras palabras, la fuerza magnética nunca tiene una componente paralela al movimiento de la partícula; por consiguiente, la fuerza magnética nunca puede realizar trabajo sobre la partícula. Esto es válido incluso cuando el campo magnético no es uniforme. El movimiento de una partícula con carga bajo la so la influencia de un campo magnético siempre es con rap idez constante.

2. . .F q v B m v R= =

(Pag 1030) donde m es la masa de la partícula. Resolviendo la ecuación (27.10) para el radio R de la trayectoria circular se obtiene

Esto también se puede escribir como R =p/|q|B, donde p = mv es la magnitud de la cantidad de movimiento de la partícula. Si la carga q es negativa, la partícula se traslada en el sentido de las manecillas del reloj en torno a la órbita de la figura 27.15a. La rapidez angular ω de la partícula se halla a partir de la ecuación v = R ω. Combinando esto con la ecuación (27.11) se obtiene

El número de revoluciones por unidad de tiempo es f= ω/2Π. Esta frecuencia f es independiente del radio R de la trayectoria. Si la dirección de la velocidad inicial no es perpendicular al campo, la componente de velocidad paralela al campo es constante porque no hay ninguna fuerza paralela al campo. En estas condiciones la partícula se mueve en una hélice (Fig. (27.16). El radio de la hélice está dado por la ecuación (27.11), donde v es ahora la componente de velocidad perpendicular al campo B.

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Movimiento en campo no uniforme

El movimiento de una partícula con carga en un campo magnético no uniforme es más complejo. La figura 27.17 muestra un campo producido por dos bobinas circulares separadas por cierta distancia. Las partículas próximas a cualquiera de las bobinas experimentan una fuerza magnética hacia el centro de la región; las partículas que tienen la rapidez apropiada circulan repetidamente en espiral de un extremo de la región al otro y de regreso. Ya que las partículas con carga pueden quedar atrapadas en un campo magnético de este tipo, a éste se le conoce como botella magnética.

Estrategia para problemas

1. Si la partícula se traslada perpendicularmente a un campo magnético uniforme, la trayectoria es un círculo cuyo radio y rapidez angular están dados por las ecuaciones (27.11) y (27.12).

2. Si su cálculo se refiere a una trayectoria más compleja, utilice F ma=∑r r " en forma de componente:

x xF ma=∑r r , y así sucesivamente. Este método resulta particularmente útil cuando están presentes

tanto electrones como campos magnéticos. 27.5 Aplicaciones del movimiento de partículas con carga Selector de velocidad

Se pueden seleccionar partículas del haz con una rapidez específica mediante una configuración de campos eléctricos y magnéticos llamada selector de velocidad. En la figura 27.20 una partícula con carga de masa m, carga q y rapidez v entra en una región del espacio donde los campos eléctrico y magnético son perpendiculares a la velocidad de la partícula y uno respecto al otro. El campo eléctrico E es hacia la izquierda, y el campo magnético B es hacia el plano de la figura. Si q es positiva, la fuerza eléctrica es hacia la izquierda con magnitud qE la fuerza magnética es hacia la derecha con magnitud qvB. Para magnitudes de campo dadas Ey B, con respecto a un valor particular de v las fuerzas eléctrica y magnética serán de igual magnitud; por esto la fuerza total es cero, y la partícula viaja en línea recta con velocidad constante. Si la fuerza total es cero, ∑,Fy = 0 y es necesario que -qE + qvB = 0; resolviendo para la rapidez v para la que no hay desviación, se tiene que

Sólo las partículas cuya rapidez sea igual a E/B pasan sin ser desviadas por los campos Experimento de e/m de Thomson

En un recipiente de vidrio al alto vacío, se aceleran electrones provenientes del cátodo caliente y se reúnen en un haz mediante una diferencia de potencial V entre los dos ánodos A y A'. La rapidez v de los electrones está

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determinada por el potencial acelerador V. La energía cinética 1/2.mv2 es igual a la pérdida de energía potencial eléctrica eV, donde e es la magnitud de la carga del electrón:

Los electrones pasan entre las placas P y P ' e inciden en la pantalla del extremo del tubo, la cual está recubierta de un material fluorescente que emite luz en el punto del impacto. Los electrones pasan en línea recta entre las placas cuando se satisface la ecuación (27.13); combinando esto con la ecuación (27.14) se obtiene

Todas las magnitudes del lado derecho se pueden medir; por consiguiente, se puede determinar la relación elm de carga a masa. No es posible medir e ni m por separado por este método; sólo su proporción. Espectrómetros de masas Se pueden emplear técnicas similares al experimento de elm de Thomson para medir masas de iones y, de este modo, medir masas atómicas y moleculares. En 1919, Francis Aston (1877-1945), discípulo de Thomson, construyó la primera familia de instrumentos denominados espectrómetros de masas. En la figura 27.22 se muestra una variante construida por Bainbridge. Los iones positivos provenientes de una fuente pasan a través de las ranuras S1 y S2, y forman un haz estrecho. En seguida, los iones atraviesan un selector de velocidad con campos E y B cruzados, como hemos descrito, para bloquear todos los iones salvo aquellos cuya rapidez v es igual a EIB. Por último, los iones entran en una región con un campo magnético B' perpendicular a la figura, donde se trasladan en arcos circulares de radio R, determinado por la ecuación (27.11): R = mvIqB'. Los iones con diferentes masas inciden en la placa fotográfica en puntos diferentes, y así se pueden medir los valores de R. 27.6 Fuerza magnética sobre un conductor que transporta corriente

Las fuerzas que lo hacen girar son fuerzas que un campo magnético ejerce sobre un conductor que transporta corriente. Las fuerzas magnéticas sobre las cargas en movimiento del interior del conductor se transmiten al material del conductor, y el conductor en conjunto experimenta una fuerza distribuida a todo lo largo de él.

Se calcula como una sola partícula .F q vxB=r rr

El alambre se encuentra en un campo magnético uniforme B, perpendicular al plano del diagrama y dirigido hacia el plano. Supongamos en primer término que las cargas en movimiento son positivas. Más adelante veremos qué ocurre cuando son negativas. La velocidad de deriva vd es ascendente, perpendicular a B. La fuerza promedio sobre cada carga es F = qvd X B, dirigida hacia la izquierda como se muestra en la figura; dado que vd y B son perpendiculares, la magnitud de la fuerza es

F = qvdB. Podemos deducir una expresión de la fuerza total sobre todas las cargas en movimiento en un tramo del conductor de longitud L y área de sección transversal A.

. . . (27.17)dJ n q v J A I F IlB= → = → =

Cuando B tiene un ángulo Φ La fuerza es perpendicular a I y a B y la dirección es determinada por la mano derecha.

27.7 Fuerza y momento de torsión en una espira de corriente Podemos representar la espira como una serie de segmentos rectilíneos. Hallaremos que la fuerza total sobre la espira es cero, pero que puede haber un momento de torsión neto que actúe sobre la espira, con algunas propiedades interesantes.

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La figura 27.29 muestra una espira rectangular de alambre con lados de longitudes a y b. Una línea perpendicular al plano de la espira (esto es, una normal al plano) forma un ángulo Φ con la dirección del campo magnético B, y la espira transporta una corriente /. Se omiten los alambres que introducen y sacan la corriente de la espira, así como de la fuente de fem, para simplificar el diagrama.

La fuerza F sobre el lado derecho de la espira (longitud a) está a la derecha, en la dirección +x como se muestra. En este lado, B es perpendicular a la dirección de la corriente, y la fuerza sobre este lado tiene magnitud F = IaB (27.21) Una fuerza -F de la misma magnitud pero en dirección opuesta actúa sobre el lado opuesto de la espira, como se muestra en la figura. Los lados de longitud b forman un ángulo (90° - Φ) con la dirección de B. Las fuerzas sobre estos lados son los vectores F` y -F'; su magnitud F' está dada por

F' = IbB sen(90° - Φ) = IbB cos Φ Las líneas de acción de ambas fuerzas se encuentran a lo largo del eje de y. La fuerza total sobre la espira es cero porque las fuerzas sobre lados opuestos se cancelan por pares. La fuerza neta sobre una espira de corriente en un cam po magnético uniforme es cero. No obstante, el momento de torsión neto en general no es igual a cero. Las dos fuerzas F` y - F' de la figura 27.29a yacen a lo largo de la misma línea y, por tanto, dan origen a un momento de torsión neto de cero con respecto a cualquier punto. Las dos fuerzas F y -F yacen a lo largo de líneas diferentes, y cada una da origen a un momento de torsión en torno al eje y. De acuerdo con la regla de la mano derecha para hallar la dirección de los momentos de torsión, los momentos de torsión vectoriales debidos a F y -F tienen ambos la dirección +y; por tanto, el momento de torsión vectorial neto ? también tiene la dirección +y. El momento de brazo de cada una de estas fuerzas (igual a la distancia perpendicular del eje de rotación a la línea de acción de la fuerza) es (b/2)sen Φ por tanto, la magnitud del momento de torsión debido a cada fuerza es F(b/2)sen Φ. Si aplicamos la ecuación (27.21) de F, la magnitud del momento de torsión neto es Τ= 2F(b/2)sen Φ = (iBa) (B sen Φ) (27.22) El momento de torsión es máximo cuando Φ = 90°, B está en el plano de la espira, y la normal a este plano es perpendicular a B (Fig. 27.29b). El momento de torsión es cero cuando Φ es cero o 180° y la normal a la espira es paralela o antiparalela al campo (Fig. 27.29c). El valor Φ = 0 es una posición de equilibrio estable porque el mo-mento de torsión es cero en ese punto, y cuando se hace girar la espira un poco respecto a esta posición, el momento de torsión resultante tiende a hacerlo girar de regreso hacia Φ = 0. La posición Φ = 180° es una posición de equilibrio inestable; si se desplaza un poco respecto a esta posición, la espira tiende a trasladarse aún más de Φ = 180°. La figura 27.29 muestra la rotación en torno al eje y; pero ya que la fuerza neta sobre la espira es cero, la ecuación (27.22) del momento de torsión es válida cualquiera que sea el eje que se elija.

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El área A de la espira es igual a ab; por tanto, podemos reformular la ecuación (27.22) como

El producto IA se denomina momento dipolar magnético (magnitud del momento de torsión sobre una espira de corriente) o momento magnético de la espira, y se representa mediante el símbolo µ (la letra

griega "mu"): (27.24) Es análogo al momento dipolar eléctrico. En términos de µ, la magnitud del momento de torsión sobre una espira de corriente es

donde Φ es el ángulo entre la normal a la espira (la dirección del área vectorial A) y B. El momento de torsión tiende a hacer girar la espira en la dirección de Φ decreciente, es decir, hacia su posición de equilibrio estable donde la espira yace en el plano xy, perpendicular a la dirección del campo B (Fig. 27.29c). Una espira de corriente, o cualquier otro cuerpo que experimenta un momento de torsión magnético dado por la ecuación (27.25), recibe también el nombre de dipolo magnético. Además podemos definir un momento magnético vectorial µ de magnitud IA; éste se muestra en la figura 27.29. La dirección de µ se define como perpendicular al plano de la espira, con un sentido determinado por la regla de la mano derecha, como se muestra en la figura 27.30. Doble los dedos de su mano derecha en torno al perímetro de la espira en la dirección de la corriente. A continuación extienda el pulgar de modo que sea perpendicular al plano de la espira; El momento de torsión es máximo cuando µ y B son perpendiculares, y es cero cuando son paralelos o an-tiparalelos. En la posición de equilibrio estable, µ y B son paralelos. Por último, podemos expresar esta interacción en términos del vector de momento de torsión τ, que ya utilizamos en las interacciones de dipolos eléctricos. De acuerdo con la ecuación (27.25) la magnitud de τ es igual a la magnitud de µ x B, y una consulta a la figura 27.29 muestra que las direcciones también son las mismas. Por tanto, tenemos que

Cuando la orientación de un dipolo magnético cambia en un campo eléctrico, el campo realiza trabajo sobre él. En un desplazamiento angular infinitesimal dΦ el trabajo dW está dado por τdΦ, y hay un cambio correspondiente de energía potencial, Como lo sugiere lo antes expuesto, la energía potencial es mínima cuando µ y B son paralelos, y máxima cuando son antiparalelos. Para hallar una expresión de la energía potencial U en función de la orientación, podemos aprovechar la bella simetría que existe entre las interacciones de dipolos eléctricos y magnéticos. La energía potencial es mínima cuando µ y B son paralelos y máxima cuando son anti paralelos. Si todas estas espiras transportan corrientes iguales en el mismo sentido, entonces las fuerzas y momentos de torsión sobre los lados de dos espiras adyacentes se cancelan, y las únicas fuerzas y momentos de tor-sión que no se cancelan se deben a corrientes en torno a la frontera. Por tanto, todas las relaciones anteriores son válidas para una espira de corriente de superficie plana de cualquier forma, con el momento magnético µ dado por µ= IA. Podemos generalizar asimismo toda esta formulación con respecto a una bobina consistente en N espiras en un plano próximas entre sí; el efecto es simplemente el de multiplicar cada fuerza, el momento magnético, el momento de torsión y la energía potencial por un factor de N.

El momento de torsión total sobre un solenoide en un campo magnético es simplemente la suma de los momentos de torsión de las espiras individuales. En el caso de un solenoide con N espiras en un campo uniforme 5, el momento magnético es µ= NIA y

Donde Φ es el ángulo entre el eje del solenoide y la dirección del campo. El vector de momento magnético µ está orientado a lo largo del eje del solenoide. El momento de torsión es máximo cuando el eje del

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solenoide y el campo magnético son perpendiculares, y cero cuando son paralelos. El efecto de este momento de torsión es una tendencia a hacer girar el solenoide hacia una posición donde su eje es paralelo al campo. 27.9 I Efecto Hall

El efecto Hall consiste en la aparición de un campo eléctrico en un conductor cuando es atravesado por un campo magnético. A este campo eléctrico se le llama campo Hall. Llamado efecto Hall en honor a su descubridor Edwin Duntey Hall. Cuando por un material conductor o semiconductor, circula una corriente eléctrica, y estando este mismo material en el seno de un campo magnético, se comprueba que aparece una fuerza magnética en los portadores de carga que los reagrupa dentro del material, esto es, los portadores de carga se desvían y agrupan a un lado del material conductor o semiconductor, apareciendo así un campo eléctrico perpendicular al campo magnético y al propio campo eléctrico generado por la batería (FM). Este campo eléctrico es el denominado campo Hall (EH),

y ligado a él aparece la tensión Hall, que se puede medir mediante el voltímetro de la figura. En el caso de la figura, tenemos una barra de un material desconocido y queremos saber cuales son sus portadores de carga. Para ello, mediante una batería hacemos circular por la barra una corriente eléctrica. Una vez hecho esto, introducimos la barra en el seno de un campo magnético uniforme y perpendicular a la tableta. Aparecerá entonces una fuerza magnética sobre los portadores de carga, que tenderá a agruparlos a un lado de la barra, apareciendo de este modo una tensión Hall y un campo eléctrico Hall entre ambos lados de la barra. Dependiendo de si la lectura del voltímetro es positiva o negativa, y conociendo el sentido del campo magnético y del campo eléctrico originado por la batería, podemos deducir si los portadores de carga de la barra de material desconocido son las cargas positivas o las negativas. En la figura de al lado vemos como el material tiene dos zonas: la de la izquierda y la de la derecha. En una zona, los portadores son huecos y en la otra electrones. Sea el material por el que circula la corriente con una velocidad v al que se le aplica un campo magnético B. Al aparecer una fuerza magnética Fm, las portadores de carga se agrupan en una región del material, ocasionando la aparición de una tensión VH y por lo tanto de un campo eléctrico E en la misma dirección. Este campo ocasiona a su vez la aparición de una fuerza eléctrica Fe con la misma dirección pero sentido opuesto a Fm. Cuando estas dos fuerzas llegan a un estado de equilibrio se tiene la siguiente situación:

Capítulo 28 28.1 Campo magnético de una carga en movimiento

Una carga puntual q con velocidad constante v. Tal como lo hicimos en el caso de los campos eléctricos, llamaremos punto de fuente a la ubicación de la carga en movimiento en un instante dado, y punto de campo al punto P donde nos proponemos hallar el campo. En la sección 21.4 encontramos que en un punto de campo situado a una distancia r desde una carga puntual q, la magnitud del campo eléctrico E generado por la carga es proporcional a la magnitud de la carga |q| y a 1/r2, y la dirección de E (si q es positiva) es a lo largo de la línea que une el punto de fuente con el punto de campo. La relación correspondiente al campo magnético B de una carga puntual q que se desplaza con velocidad constante presenta ciertas semejanzas y ciertas diferencias interesantes.

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Los experimentos muestran que la magnitud de B también es proporcional a |q| y a 1/r2. Pero la dirección de B no sigue la línea que va del punto de fuente al punto de campo. En cambio, B es perpendicular al plano que contiene esta recta y al vector de velocidad v de la partícula, como se muestra en la figura 28.1. De la misma manera, la magnitud del campo B también es proporcional a la rapidez v de la partícula y al seno del ángulo Φ. Por consiguiente, la magnitud del campo magnético en el punto P está dada por

Donde µ0/4π es una constante de proporcionalidad La dirección de la fuente de q a P se llama r

). r r r= r)

Si la carga q es (-) las direcciones de B son opuestas. Lo antes expuesto muestra que, en el caso de una carga puntual que se desplaza con una velocidad v, las líneas de campo magnético son círculos centrados en la línea de v y que yacen en planos perpendiculares a esta línea. Las direcciones de las líneas de campo correspondientes a una carga positiva están dadas por la siguiente regla de la mano derecha, para establecer la dirección del campo magnético creado por diversas fuentes. Las unidades son 1 N s2 / C2= 1 Tm/A 28.2 | Campo magnético de un elemento de corriente

Como en el caso del campo eléctrico, existe un principio de sobreposición de campos magnéticos: el campo magnético total generado por varias cargas en movimiento es la suma vectorial de los campos generados por las cargas individuales. Este principio, junto con los resultados de la sección 28.1, nos permite hallar el campo magnético creado por una corriente en un conductor.

A las ecuaciones (28.5) y (28.6) se las conoce como la ley de Biot-Savart. Esta ley permite hallar el campo magnético total B debido a la corriente en un circuito completo, en cualquier punto del espacio. Para calcular B integramos las ecuaciones anteriores. Φ es el ángulo de dl con r. Si hay materia presente en el espacio que rodea a un conductor portador de corriente, el campo en un punto de campo P próximo a él tendrá una contribución adicional debida a la magnetización del material. Sin embargo, a menos que el material sea hierro o algún otro material ferromagnético, el campo adicional es pequeño y, por lo regular, insignificante. 28.3 Campo magnético de un conductor recto que transporta corriente Es una aplicación de la ley de Biot-Savart. Se calcula B a un punto perpendicular a dl. Se usa la REGLA DE LA MANO DERECHA que va de I a r. De la figura sale que 2 2r X Y= + y ( ) 2 2sen sen X X Yφ π φ= − = +

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La regla de la mano derecha correspondiente al producto vectorial dl x r

) indica que Ia dirección de dB es hacia el plano de la figura

y perpendicular al plano; además, las direcciones de los dB generados por todos los elementos del conductor son las mismas. De esta manera, al integrar la ecuación (28.7) podemos simplemente sumar las magnitudes de los dB, lo que representa una simplificación importante. Combinando todo lo anterior, hallamos que la magnitud del campo total B es

Podemos integrar esto por sustitución trigonométrica o con ayuda de una tabla de integrales. El resultado final es

Cuando la longitud 2a del conductor es muy grande en comparación con su distancia x respecto al punto P, se puede considerar como infinitamente largo. Cuando a es mucho mayor que x, 2 2X Y+ es aproximadamente igual a a; por tanto, en el límite a → ∞ la ecuación (28.8) se convierte en

La situación física tiene simetría axial en torno al eje y. Por tanto, B debe tener la misma magnitud en todos los puntos de un círculo centrado en el conductor y que yace en un plano perpendicular a él, y la dirección de B debe ser tangente a todo ese círculo. Por consiguiente, en todos los puntos de un círculo de radio r al-rededor del conductor, la magnitud B es

Esto implica que no existen cargas magnéticas aisladas ni monopolos magnéticos. Toda línea de campo magnético que entra en una superficie cerrada también debe salir de ella. 28.4 Fuerza entre conductores paralelos

Cada conductor se encuentra en el campo magnético establecido por el otro, por lo que cada uno experimenta una fuerza. El diagrama muestra algunas de las líneas de campo que establece la corriente del conductor inferior. De acuerdo con la ecuación (28.9), el conductor de abajo genera un campo B cuya magnitud es, en la posición del conductor de arriba,

De acuerdo con la ecuación (27.19), la fuerza que este campo ejerce sobre un tramo de longitud L del conductor superior es F = I'L x B, donde el vector L tiene la dirección de la corriente /' y su magnitud es L. Puesto que B es perpendicular a la longitud del conductor y, por tanto, a L, la magnitud de esta fuerza es

La aplicación de la regla de la mano derecha a F = I'L x B indica que la fuerza sobre el conductor de arriba está dirigida hacia abajo.

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Dos conductores paralelos que trasportan corriente en el mismo sentido se atraen mutuamente. Si se invierte el sentido de cualquiera de las corrientes, las fuerzas también se invierten. Los conductores paralelos que transportan corrientes en sentidos opuestos se repelen mutuamente. La atracción o repulsión entre dos conductores rectos paralelos que transportan corriente es la base de la definición oficial del ampere: Un ampere es la corriente invariable que, si está presente en dos conductores paralelos de longitud infinita y separados por una distancia de un metro en el espacio vacío, provoca que cada conductor experimente una fuerza de exactamente 2 X 10-7 newton por metro de longitud. 28.5 Campo magnético de una espira circular de corriente

28.6 Ley de Ampere Ley de Gauss para el campo eléctrico en una superficie cerrada. Relaciona campos eléctricos con distribuciones de carga. La de Gauss de campos magnéticos no puede usarse porque dice que el flujo de B encerrado en una superficie cualquiera siempre es cero y no importa si hay o no corriente.

Para la ley de Ampere utilizamos la integral de línea .B dl∫r

Para evaluar esta integral, se divide el trayecto en segmentos infinitesimales dl, se calcula el producto escalar de B.dl correspondiente a cada segmento y se suman estos productos. El círculo sobre el signo de integral indica que esta integral siempre se calcula con respecto a un trayecto cerrado, esto es, uno cuyos puntos inicial y final son iguales. A fin de presentar la idea básica de la ley de Ampere, considérese una vez más el campo magnético generado por un conductor recto y largo que transporta una corriente /. En la sección 28.3 se encontró que la magnitud del campo a una distancia r del conductor es

y que las líneas de campo magnético son círculos centrados en el conductor. Obtengamos la integral de línea de B alrededor de uno de estos círculos de radio r, como en la figura 28.15a. En todos los puntos del círculo B y dl son paralelos y, por tanto, B.dl = Bdl; puesto que r es constante alrededor del círculo, B también es constante. También se puede decir que BII es constante e igual a B en todos los puntos del círculo. Por consiguiente, podemos sacar a B de la integral. La integral restante dl∫ es simplemente la circunferencia

del círculo; por tanto

Por esto, la integral de línea es independiente del radio del círculo y es igual al producto µ0 por la corriente que pasa a través del área limitada por el círculo. En la figura 28.15b la situación es la misma, pero ahora el trayecto de integración es alrededor del círculo en sentido opuesto. Ahora B y dl son antiparalelos; por tanto, B.dl = -Bdl y la integral de línea es igual a µ0.I. Se obtiene el mismo resultado si el trayecto de integración es el mismo que en la figura 28.15a, pero la dirección de la corriente se invierte. Por consiguiente, la integral de línea Bdl∫

r

es igual a µ0 multiplicado por la corriente

que pasa a través del área limitada por el trayecto de integración, con signo positivo o negativo según la dirección de la corriente respecto a la dirección de integración. Para hallar el sentido de la corriente, utilizando la mano derecha, doble los dedos de su mano derecha en torno al trayecto de integración de modo que se doblen en la dirección de integración (esto es, la dirección que se emplea para evaluar Bdl∫

r

). En estas condiciones el pulgar derecho indica la dirección de la corriente

positiva. Este resultado no depende de la forma del trayecto ni de la posición del alambre en su interior. Si la corriente en el alambre es opuesta a la que se muestra, la integral es de signo contrario. Pero si el trayecto no encierra el

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alambre (Fig. 28.16b), entonces el cambio neto de θ durante el recorrido del trayecto de integración es cero; dθ∫ es cero en vez de 2Π y la integral de línea es cero.

Para generalizar, tomamos varios conductores rectos y largos son encerrados por la superficie. El campo magnético total B en cualquier punto del trayecto es la suma vectorial de los campos producidos por los conductores individuales. Por tanto, la integral de línea del B total es igual a µ0 por la suma algebraica de las corrientes. Todo conductor presente que no esté encerrado por un trayecto en particular puede no obstante contribuir al valor de B en todos los puntos, pero las integrales de línea de sus campos alrededor del trayecto son cero. De este modo se puede sustituir / en la ecuación (28.19) por /enc, la suma algebraica de las corrientes encerradas o enlazadas por el trayecto de integración, con la suma evaluada con base en la regla de signos ya descrita. Por lo tanto nuestro enunciado de la ley de Ampere es

28.7 Aplicaciones de la ley de Ampere Se utiliza cuando hay alta simetría.

Aplicar .B dl∫r

en todo el trayecto elegido.

Si B es tangente al trayecto y de igual magnitud, es B.longitud. Si B es perpendicular al trayecto no contribuye porque es cero. Si no hay corriente neta encerrada por el trayecto, el campo en los puntos sobre el trayecto, no es necesariamente cero pero la integral de línea siempre es cero. B tangente al trayecto e Ienc (+) dirección de B coincide con el trayecto. B tangente al trayecto e Ienc (-) dirección de B contraria al trayecto. Conductor recto y largo transporta corriente

El trayecto es un círculo de radio r ( ) 0. 2nB dl B dl B r Iπ µ= = =∫ ∫r r

Campo en el interior de un conductor cilíndrico largo

Conductor de radio R conduce una corriente I. Encontrar el campo adentro (r<R) y afuera (r>R) Adentro: el resultado de la integral es B(2πr). Para hallar la Ienc se usa la densidad de corriente:

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 20 0/ / 2 2J I R I J r Ir R B r Ir R B Ir Rπ π π µ µ π= → = = → = → =

Afuera: 0 2B I rµ π= Ienc es I, y el resultado de la integral es B(2πr).

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Campo de un solenoide El campo total B es la suma vectorial de los campos generados por las espiras individuales. Las líneas de campo cercanas al centro del solenoide son aproximadamente paralelas, lo que indica un B casi uniforme; afuera del solenoide, las líneas de campo están dispersas y el campo magnético es débil. Si el solenoide es largo en comparación con su diámetro de sección transversal y las bobinas tienen un devanado compacto, el campo interno cerca del punto medio de la longitud del solenoide es casi uniforme en toda la sección transversal y paralelo al eje, y el campo externo cerca del punto medio es muy pequeño. El solenoide tiene n espiras por unidad de longitud y conduce una corriente /.

Al llevar a cabo la integración por la Ley de Ampere, seguimos el lado ab en la dirección de B, así pues en este lado BII = +B

A lo largo de los lados bc y da, BII = 0 porque B es perpendicular a estos lados; a lo largo del lado cd, BII= 0 porque B = 0. Por tanto, la integral Bdl∫

rr

alrededor de todo el trayecto cerrado se reduce a BL.

El número de espiras del tramo L es nL. Cada una de estas espiras atraviesa una vez el rectángulo abcd y transporta una corriente /, donde / es la corriente en los devanados. En estos términos la corriente total encerrada por el rectángulo es Ienc = n.L.I

Campo de un solenoide toroidal

Considere en primer término el trayecto de integración 1 de la figura 28.23b. Si el solenoide toroidal produce algún campo en esta región, deberá ser tangente al trayecto en todos los puntos, y Bdl∫

rr

será igual al

producto de B por la circunferencia / = 2πr del trayecto. Pero la corriente total encerrada por el trayecto es cero, por lo que, de acuerdo con la ley de Ampere, el campo B debe ser cero en todo este trayecto. De modo análogo, si el solenoide toroidal genera algún campo a lo largo del trayecto 3, también deberá ser tangente al trayecto en todos los puntos. Cada espira del devanado pasa dos veces a través del área limitada por este trayecto, transportando corrientes iguales en sentidos opuestos. La corriente neta /enc encerrada dentro

de esta área es, por tanto, cero y B = 0 en consecuencia en todos los puntos del trayecto. Conclusión: El campo de un solenoide toroidal idealizado está confinado en su totalidad en el espacio encerrado por los devanados. Podemos pensar en un solenoide toroidal idealizado de este tipo como en un solenoide con devanado compacto que ha sido doblado para formar un círculo. Por último, consideraremos el trayecto 2, un círculo de radio r. Nuevamente por simetría, es de esperar que el campo B sea tangente al trayecto y Bdl∫

rr

es igual a 2πrB. Cada espira del devanado pasa una vez a través

del área limitada por el trayecto 2. La corriente total encerrada por el trayecto es /enc = NI, donde N es el número total de espiras del devanado; Ienc es positiva con respecto a la dirección de integración en el sentido de las manecillas del reloj en la figura 28.23b; por tanto, B tiene la dirección que se muestra. En estos términos, de acuerdo con la ley de Ampere:

Capítulo 29 Inducción electromagnética cambia el sentido de B produciendo una fem y una corriente. El campo magnético varía con el tiempo genera campo eléctrico. La ley de Faraday relaciona la fem inducida con el flujo magnético variable en cualquier espira, incluso en un circuito cerrado.

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29.1 Experimentos de Faraday

Lo que hace la figura 29.1 (a) se le llama corriente inducida, y la fem correspondiente que se requiere para crear esta corriente se conoce como fem inducida. Para la figura 29.1 (b) se modifica la corriente en la segunda bobina, ya sea abriendo y cerrando el interruptor o alterando la resistencia de la segunda bobina Se conecta una bobina de alambre a un galvanómetro, a continuación se coloca la bobina entre los polos de un electroimán cuyo campo magnético se puede modificar. Lo que se observa es lo siguiente:

1. Cuando no hay corriente en el electroimán, de modo que B = 0, el galvanómetro no muestra corriente.

2. Cuando se conecta el electroimán, hay una corriente transitoria a través del medidor conforme B aumenta.

3. Cuando B se estabiliza en un valor constante, la corriente decae a cero, no importa cuan grande sea B.

4. Con la bobina en un plano horizontal, se oprime de modo que se reduzca su área de sección transversal. El medidor detecta corriente sólo durante la deformación, no antes ni después. Cuando se aumenta el área para devolver a la bobina su forma original, hay corriente en sentido opuesto, pero sólo mientras el área de la bobina está cambiando.

5. Si se hace girar la bobina unos pocos grados en torno a un eje horizontal, el medidor detecta corriente durante la rotación, en el mismo sentido que cuando se redujo el área. Cuando se hace girar la bobina hacia su posición original, hay corriente en sentido opuesto durante esta rotación.

6. Si se saca bruscamente la bobina del campo magnético, hay corriente durante el movimiento, en el mismo sentido que cuando se redujo el área.

7. Si se reduce el número de espiras de la bobina desenrollando una o más de ellas, hay corriente durante el proceso, en el mismo sentido que cuando se redujo el área. Si se enrollan más espiras en la bobina, hay una corriente en sentido opuesto al enrollar.

8. Cuando se desconecta el electroimán, hay una corriente momentánea en el sentido opuesto al de la corriente al momento de conectarlo.

9. Cuanto más rápidamente se efectúan estos cambios, tanto más grande es la corriente. 10. Si se repiten todos estos experimentos con una bobina de la misma forma pero de diferente material

y con otra resistencia, en todos los casos la corriente es proporcional a la resistencia total del circuito. Esto demuestra que las fem inducidas que crean la corriente no dependen del material de la bobina, sino sólo de su forma y del campo magnético.

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El elemento común a todos estos experimentos es un flujo magnético cambiante ΦB a través de la bobina conectada al galvanómetro. En cada caso el flujo cambia ya sea porque el campo magnético cambia con el tiempo o porque la bobina se mueve a través de un campo magnético no uniforme. 29.2 Ley de inducción de Faraday

El flujo magnético BdΦ a través del área es

cosBd BdA BperpdA BdA φΦ = = =r rr

. Φ es el ángulo entre B y dA .

El elemento común en todos los efectos de inducción es el flujo magnético cambiante a través de un circuito. Antes de enunciar la sencilla ley física que sintetiza todas las clases de experimentos descritos en la sección 29.1, repasemos primero el concepto de flujo magnético ΦB . Con respecto a un elemento infinitesimal de área dA en un campo magnético B (Fig. 29.3), el flujo magnético dΦB a través del área es

donde Bperpend es la componente de B perpendicular a la superficie del elemento de área y θ es el ángulo entre B y dA. El flujo magnético total ΦB a

través de un área finita es la integral de esta expresión sobre el área:

Si B es uniforme en toda un área plana A, en estos términos

La ley de Faraday de la inducción establece lo siguiente: La fem inducida en una espira cerrada es igual al negativo de la relación de cambio con respecto al tiempo del flujo magnético a través de la espira. En símbolos, la ley de Faraday es

Dirección de la fem inducida El procedimiento es el siguiente:

1. Defina una dirección positiva para el vector de área A. 2. Con base en las direcciones de A y del campo magnético B, determine el signo del flujo magnético ΦB

y de su rapidez de cambio dΦB/dt. La figura 29.5 muestra varios ejemplos. 3. Encuentre el signo de la fem o corriente inducida. Si el flujo aumenta, de modo que dΦB/dt. es positiva, por

esto la fem o corriente inducida es negativa; si el flujo disminuye, dΦB/dt. es negativa y la fem o corriente inducida es positiva.

4. Por último, determine la dirección de la fem o corriente inducida con ayuda de su mano derecha. Doble los dedos de esa mano en torno al vector A, con el pulgar en la dirección de A. Si la fem o corriente inducida en el circuito es positiva, tiene la dirección de sus dedos doblados; si la fem o corriente inducida es negativa, su dirección es la opuesta.

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Si se tiene una bobina con N espiras idénticas, y si el flujo varía al mismo ritmo a través de cada espira, la rapidez total de cambio a través de todas las espiras es N veces más grande que la correspondiente a una sola espira. Si ΦB es el flujo a través de cada espira, la fem total en una bobina con N espiras es

Para plantear:

1. Ver que hace cambiar al flujo, importa la rapidez del cambio. 2. Elegir la dirección de A o dA perpendicular al plano del área. 3. Calcular B con (29.1) si es NO uniforme y con (29.2) si es uniforme. Tiene en cuenta la dirección. 4. Calcular fem inducida con (29.3) o (29.4) 5. Para sacar I uso ε=I.R

29.3 Ley de Lenz La ley de Lenz es otro método conveniente para hallar la dirección de una corriente o fem inducida. Tiene los mismos signos que la ley de Faraday, se deduce de ésta pero es más simple de aplicar. La ley de Lenz establece lo siguiente: La dirección de todo efecto de inducción magnética es la que se opone a la causa del efecto. La "causa" puede ser un flujo cambiante a través de un circuito fijo debido a un campo magnético variable, un flujo cambiante debido al movimiento de los conductores que constituyen el circuito, o cualquier combinación de lo anterior. Si cambia el flujo en un circuito fijo, como en los ejemplos 29.1 y 29.2, la corriente inducida establece un campo magnético propio. Dentro del área limitada por el circuito, este campo es opuesto al campo original si éste aumenta; en cambio, tiene la dirección del campo original si éste disminuye. Es decir, la corriente inducida se opone al cambio de flujo a través del circuito (no al flujo en sí). La ley de Lenz también está directamente relacionada con la conservación de la energía.

Ley de Lenz y respuesta a los cambios de flujo Si una corriente inducida siempre se opone a todo cambio del flujo magnético a través de un circuito, ¿cómo es posible entonces que el flujo cambie? La respuesta es que la ley de Lenz indica sólo el sentido de una corriente inducida; la magnitud de la corriente depende de la resistencia del circuito. Cuanto mayor es la

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resistencia del circuito, tanto menor es la corriente inducida que parece oponerse a todo cambio de flujo, y más fácil es que se lleve a efecto el cambio de flujo. También puede darse la inversa. 29.4 Fuerza electromotriz de movimiento

La figura 29.14a muestra la misma barra móvil que estudiamos en el ejen> pío 29.6, separada por ahora del conductor con forma de U. El campo magnético B es uniforme y está dirigido hacia la parte interna de la página, y se traslada la barra hacia la derecha a una velocidad constante v. Una partícula con carga q de la barra ex-perimenta en estas condiciones una fuerza magnética F = qv x B cuya magnitud es F = |q|vB. En la exposición que sigue consideramos que q es positiva; en ese caso la dirección de esta fuerza es hacia arriba a lo largo de la barra, de b hacia a. Esta fuerza magnética provoca que las cargas libres de la barra se trasladen, originando un exceso de carga positiva en el extremo superior a y de carga negativa en el extremo inferior b. Esto, a su vez, proporciona un campo eléctrico E dentro de la barra, en la dirección de a a b (opuesto a la fuerza magnética). La carga continúa acumulándose en los extremos de la barra hasta que E alcanza la magnitud suficiente para que la fuerza eléctrica hacia abajo (de magnitud qE) cancele exactamente la fuerza magnética hacia arriba (de magnitud qvB). Por tanto qE = qvB y las cargas están en equilibrio. La magnitud de la diferencia de potencial Vab = Va-Vb es igual al producto de la magnitud del campo eléctrico E por la longitud L de la barra. De acuerdo con lo antes expuesto, E = vB; por tanto,

Con el punto a en un potencial más alto que el punto b. Suponga ahora que la barra móvil se desliza a lo largo de un conductor fijo con forma de U formando un circuito completo (Fig. 29.14b). Ninguna fuerza magnética actúa sobre las cargas del conductor fijo con forma de U, pero la carga que estaba cerca de los puntos a y b se redistribuye a lo largo de los conductores fijos y origina un campo eléctrico dentro de ellos. Este campo establece una corriente en el sentido que se indica. La barra en movimiento se ha convertido en una fuente de fuerza electromotriz; en su interior, la carga se traslada de un potencial más bajo a uno más alto, y en el resto del circuito la carga se traslada de un potencial más alto a uno más bajo. Esta fem se llama fuerza electromotriz de movimiento y se denota con ε. De acuerdo con lo antes expuesto, la magnitud de esta fem es

Lo que corresponde a una fuerza por unidad de carga de magnitud vB que actúa por una distancia L a lo largo de la barra en movimiento. Si la resistencia total del circuito del conductor con forma de U y la barra corrediza es R, la corriente / inducida en el circuito está dada por vBL = IR En este caso podemos completar mentalmente el circuito entre los extremos del conductor y aplicar la ley de Lenz para establecer el sentido de la corriente. Con base en esto podemos deducir la polaridad de los extremos del conductor en circuito abierto. El sentido del extremo (-) al extremo (+) dentro de l conductor es el sentido que la corriente tendría si el circuito estuviese completo. ε está en volt. (Recuérdese que 1 V = 1 J/C). Podemos generalizar el concepto de fem de movimiento respecto a un conductor de cualquier forma, que se desplaza en un campo magnético cualquiera, uniforme o no (suponiendo que el campo magnético en cada punto no varía con el tiempo). En el caso de un elemento dl, la contribución dε a la fem es la magnitud dl multiplicada por la componente de v x B (la fuerza magnética por unidad de carga) paralela a dl; es decir,

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En el caso de una espira conductora cerrada cualquiera, la fem total es

Esta opción suele ser más conveniente que la original en problemas relacionados con conductores en movimiento. Pero cuando se tienen conductores fijos en campos magnéticos cambiantes, no se puede usar la ecuación (29.7); en este caso, ε = dΦB/dt es la única manera correcta de expresar la ley de Faraday . 29.5 Campos eléctricos inducidos

Considérese la situación que se muestra en la figura 29.16. Un solenoide largo y delgado con área de sección transversal A y n espiras por unidad de longitud está rodeado en su centro por una espira conductora circular. El galvanómetro G mide la corriente en la espira. Una corriente I en el devanado del solenoide establece un campo magnético B a lo largo del eje del solenoide. La fem inducida es

Pero, ¿cuál es la fuerza que hace circular a las cargas en la espira? No puede ser una fuerza magnética porque el conductor no se está moviendo en un campo magnético; de hecho, ni siquiera está en un campo magnético, Nos vemos obligados a concluir que debe haber un campo eléctrico inducido en el conductor, originado por el flujo magnético cambiante. Cuando una carga q completa un recorrido alrededor de la espira, el trabajo total que el campo eléctrico realiza sobre ella debe ser igual a q veces la fem ε. Es decir, el campo eléctrico en la espira es no conservativo. De acuerdo con la ley de Faraday la fem ε también es el negativo de la rapidez de cambio del flujo magnético a través de la espira. Por tanto, en este caso podemos reformular la ley de Faraday como

Advierta que la ley de Faraday siempre se cumple en la forma ε = -dΦB/dt, la forma dada en la ecuación (29.10) es válida sólo si el trayecto alrededor del cual se efectúa la int egración es constante. La ley de Faraday es válida con respecto a dos situaciones diferentes. En una las fuerzas magnéticas que actúan sobre cargas inducen una fem cuando el conductor se traslada a través de un campo magnético. En la otra, un campo magnético que varía con el tiempo induce un campo eléctrico en un conductor fijo y en consecuencia, induce una fem; de hecho, se induce el campo E incluso en ausencia de un conductor. El campo E difiere de un campo electrostático en un aspecto importante: es no conservativo; la integral de línea Edl∫

rr

alrededor de un trayecto cerrado no es cero, y cuando una carga se traslada alrededor de un

camino cerrado, el campo realiza sobre ella una cantidad de trabajo diferente de cero.

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29.6 Corrientes parásitas (de Focault) La corriente de Foucault (o corriente parásita) es un fenómeno eléctrico descubierto por el físico francés León Foucault en 1851. Es causada cuando un campo magnético variable intersecta un conductor, o viceversa. El movimiento relativo causa una circulación de electrones, o corriente dentro del conductor. Estas corrientes circulares de Foucault crean electroimanes con campos magnéticos que se oponen al efecto del campo magnético aplicado (ver Ley de Lenz). Cuanto más fuerte sea el campo magnético aplicado, o mayor la conductividad del conductor, o mayor la velocidad relativa de movimiento; mayores serán las corrientes de Foucault y los campos opositores generados. En los núcleos de bobinas y transformadores se generan tensiones inducidas debido a las variaciones de flujo magnético a que son

sometidos. Estas tensiones inducidas son causa de que se produzcan corrientes parásitas en el núcleo (llamadas corrientes de Foucault), que no son óptimas para la buena eficiencia eléctrica de estos. Las corrientes de Foucault crean pérdidas de energía a través del efecto Joule. Más precisamente, las corrientes de Foucault transforman formas útiles de energía como la energía cinética, en calor, lo cual generalmente es mucho menos útil. A su vez disminuyen la eficiencia de muchos dispositivos que usan campos magnéticos variables, como ser transformadores de núcleo de hierro y motores eléctricos. Estas pérdidas son minimizadas utilizando núcleos con materiales magnéticos que tengan baja conductividad eléctrica (como por ejemplo ferrita) o utilizando delgadas hojas de material magnético, conocido como laminados. Los electrones no pueden atravesar la capa aisladora entre los laminados y por lo tanto no pueden circular en arcos abiertos. Se acumulan cargas en los extremos del laminado, en un proceso análogo al efecto Hall, produciendo campos eléctricos que se oponen a una mayor acumulación de cargas y a su vez eliminando las corrientes de Foucault. Mientras más corta sea la distancia entre laminados adyacentes (por ejemplo, mientras mayor sea el número de laminados por unidad de área, perpendicular al campo aplicado), mayor será la eliminación de las corrientes de Foucault. La pérdida de energía útil no siempre es indeseable, no obstante, tiene algunas aplicaciones prácticas. Una de ellas es en los frenos de algunos trenes, conocidos como frenos de corrientes de Foucault (eddy current brake). Durante el frenado, las ruedas de metal están expuestas a un campo magnético de un electroimán, que genera corrientes de Foucault en las ruedas. Las corrientes de Foucault encuentran resistencia mientras circulan a través del metal, y disipan energía como calor, generando que las ruedas disminuyan su velocidad. Mientras más rápido giren las ruedas, más fuerte será el efecto, resultando en que a medida que el tren disminuya su velocidad, también lo hará la fuerza de frenado, resultando en un frenado suave. Generadores y motores (Resnick)

La figura muestra los elementos básicos de un generador. Una espira de alambre conductor gira con una velocidad constante angular ω en un campo magnético externo.Otro elemento lo hace girar.

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Supondremos que el campo magnético es uniforme en la región donde gira la espira. El flujo magnético a través de la espira está dado por la ecuación 34-2:

. .cosB B A θΦ = (34.2)

Al girar ella, el ángulo θ entre las direcciones del campo magnético y los elementos de área dA dentro de la espira cambian con el tiempo de acuerdo con θ = ω.t. La fuerza electromotriz inducida en la espira giratoria es

( ). cos . .Bd dB A t B A sen t

dt dtε ω ωΦ= − = − = (34-10)

Si la espira tiene N vueltas, el flujo total se multiplica por N así, la fuerza electromotriz sería є = NBA ω sen ωt Examinamos en seguida la dirección de la comente inducida en la espira. Cuando esta última está en la posición descrita en la figura 34-13, una pequeña rotación en dirección de ω disminuiría el flujo; por ello, la comente inducida (de acuerdo con la ley de Lenz) en ella debe producir un campo en la misma dirección que el campo externo (y que, por lo mismo, se opone a la reducción del flujo). La comente cambia de dirección siempre que la espira gira 180°. Si pudiéramos diseñar una espira giratoria con cojinetes sin fricción, una vez que la hubiéramos hecho rotar con cierta velocidad angular, la corriente inducida debería proseguir indefinidamente en el circuito externo. Cuando fluye corriente por ella hay un par magnético dado por la ecuación 32-34 (τ = NiAB sen θ). El par empuja el plano de la espira hacia θ = 0 y al hacerlo se opone a la rotación. El par permanece en la misma dirección, aun cuando la espira atraviesa θ =180º y la comente cambie de dirección. Para oponerse par, el dispositivo que hace girar la espira habrá de continuar efectuando a medida que ella gire. Motor eléctrico Un motor eléctrico no es más que un generador que funciona en sentido inverso. Desconectamos la fuente externa que hace girar la espira y reemplazamos el circuito de la figura 34-13 por otro generador, el cual produce una fuerza electromotriz de corriente alterna ε que origina una corriente / =ε/R en la espira. En este caso hay, otra vez, un par magnético en ella que la hace girar. Del mismo modo que la espira pasa por θ =180º , donde el par es cero, la corriente procedente del exterior cambia de dirección, con lo cual mantiene el par en la misma dirección en que ella sigue girando. A pesar de que la comente cambia de dirección cada medio ciclo, el par magnético conserva la misma dirección. Pero hemos olvidado que la espira giratoria genera una fuerza electromotriz inducida εind (conocida como "fuerza contraelectromotriz" en el caso de un motor) que está dada Por la ecuación 34-10. Conforme a la ley de Lenz, Cuando se quiere arrancar el motor por primera vez, la corriente equivale a / = ε/R. Conforme la rotación va adquiriendo rapidez, la fuerza aumenta y la comente disminuye a i= = (ε- εind )/R A medida que la velocidad de rotación sigue creciendo, lo mismo sucede con la fuerza contraelectromotriz; cuando finalmente εind = ε, no fluye corriente y el motor giratorio deja de suministrar un par. Si aplicamos un circuito al motor (por ejemplo, un peso a levantar), la rotación decrece un poco y, por lo mismo, εind disminuye y aumenta i: el generador de la fuente ha de proporcionar trabajo eléctrico adicional. Así pues, un motor puede considerarse como un dispositivo que convierte el trabajo eléctrico (procedente del generador activador) en trabajo mecánico. Capítulo 30 Las bobinas de esta clase reciben el nombre de inductores, y la relación entre la corriente y la fem queda descrita por la inductancia (también llamada auto inductancia) de la bobina. Si una bobina conduce inicialmente una corriente, se libera energía cuando la corriente disminuye; este principio se aplica en los sistemas de encendido de un automóvil. 30.1 Inductancia mutua (M) Existe una interacción especial cuando hay una corriente cambiante en uno de los dos conductores. Las letras minúsculas son las que varían con el tiempo. Considérense dos bobinas de alambre una al lado de otra, como se ve en la figura 30.1. Una corriente que fluye en la bobina 1 origina un campo magnético B y, en consecuencia, un flujo magnético a través de la bobina 2. Si cambia la corriente de la bobina 1, también se altera el flujo a través de la bobina 2; y de acuerdo con la ley de Faraday, esto induce una fem en la bobina 2. Es así como un cambio de corriente en un circuito induce una corriente en un segundo circuito.

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Denotamos el flujo magnético a través de cada espira de la bobina 2, originado por la corriente i1, de la bobina 1, con ΦB2. (Si el flujo es diferente a través de las distintas espiras de la bobina, entonces ΦB2 denota el flujo promedio). El campo magnético es proporcional a i1; así que, ΦB2 también es proporcional a i1. Cuando i1 cambia, ΦB2 cambia; este flujo cambiante induce una fem ε2 en la bobina 2, dada por

Introduciendo una constante de proporcionalidad M2l denominada inductancia mutua de las dos bobinas, escribimos

Donde ΦB2 es el flujo a través de una sola espira de la bobina 2. A partir de esto

Y podemos reformular la ecuación como

Es decir, un cambio en la corriente i1, de la bobina 1 induce una fem en la bobina 2 que es directamente proporcional a la rapidez de cambio de i1, (Fig. 30.2). La definición de la inductancia mutua también se puede escribir como

Si las bobinas están en un vacío, el flujo ΦB2 a través de cada espira de la bobina 2 es directamente proporcional a la corriente i1. En estas condiciones la inductancia mutua M2] es una constante que depende sólo de la geometría de las dos bobinas (el tamaño, forma, número de espiras y orientación de cada bobina y la separación entre las bobinas). Si está presente un material magnético, M también depende de las propiedades magnéticas de este material. M12=M21 analizando el caso inverso, queda simplemente M

Unidad [H] Henry. M es a veces indispensable por eso no se diseña con las bobinas separadas y en planos perpendiculares Un transformador, que se utiliza en los circuitos de corriente alterna para elevar o reducir voltajes, no difiere en lo fundamental de las dos bobinas de la figura 30.1. Una corriente alterna que varia con el tiempo en una bobina del transformador genera una fem alternante en la otra bobina; el valor de M, que depende de la geometría de las bobinas, determina la amplitud de la fem inducida en la segunda bobina y, por ende, la amplitud del voltaje de salida. 30.2 Auto inductancia e inductores Considerando un solo circuito aislado. Cuando está presente una corriente en un circuito, establece un campo magnético que genera un flujo magnético a través del mismo circuito; este flujo cambia cuando se altera la corriente. Por consiguiente, en todo circuito que conduce una corriente variable se induce una fem en él en virtud de la variación de su propio campo magnético. Esta fem recibe el nombre de fem autoinducida. Por la ley de Lenz, una fem autoinducida siempre se opone al cambio de corriente que generó la fem y, por tanto, tiende a hacer más

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difícil que ocurran variaciones de corriente. Por esta razón, las fem autoinducidas pueden llegar a ser muy importantes siempre que se tiene una corriente variable. En cualquier circuito puede haber fem inducida.

Si la corriente i del circuito cambia, también lo hace el flujo ΦB; reorganizando la ecuación (30.6) y derivando con respecto al tiempo, la relación entre una y otra rapidez de cambio es

De acuerdo con la ley de Faraday aplicada a una bobina con N espiras [ecuación (29.4)], la„fem autoinducida es ε = -N dΦB /dt, de donde se deduce que

diL

dtε = − (fem auto inducida) (30.7)

El signo de menos en la ecuación (30.7) es un reflejo de la ley de Lenz; indica que la fem autoinducida en un circuito se opone a cualquier cambio de la corriente en ese circuito.

Se utiliza para oponerse a toda variación de la corriente que fluye en el circuito. En un circuito de corriente continua, un inductor contribuye a mantener una com ente estable a pesar de las fluctuaciones de la fem aplicada ; en un circuito de corriente alterna, un inductor tiende a suprimir las variaciones de corriente que son de mayor raudal de lo que se desea. Para comprender el comportamiento de los circuitos que contienen inductores, es necesario formular un principio general análogo a la regla de las espiras de Kirchhoff (analizada en la sección 26.2). Para aplicar esta regla, se recorre la espira conductora midiendo diferencias de potencial entre los extremos de elemen-tos sucesivos a medida que se avanza. La suma de estas diferencias alrededor de cualquier espira cerrada debe ser cero, porque el campo eléctrico originado por las cargas distribuidas alrededor del circuito es conservativo. En la sección 29.7 denotamos los campos conservativos de esta clase como Ec. La situación cambia cuando se incluye un inductor en el circuito. El campo eléctrico inducido por medios magnéticos dentro de las bobinas del inductor no es conservativo; como en la sección 29.7, lo denotamos con En

Considere el circuito que se muestra en la figura 30.5; la caja contiene cierta combinación de baterías y resistores variables que nos permite regular la corriente i en el circuito. De acuerdo con la ley de Faraday [ecuación (29.10)], la integral de línea de En alrededor del circuito es el negativo de la rapidez de cambio del flu-jo a través del circuito, la que, a su vez, está dada por la ecuación (30.7). Combinando estas dos relaciones se obtiene lo siguiente:

Donde se integra en el sentido de las manecillas del reloj alrededor de la espira (el sentido de la corriente supuesta). Pero En es diferente de cero sólo en el interior del inductor. Por consiguiente, la integral de En alrededor de toda la espira se puede sustituir por su integral sólo de a a b a través del inductor; esto es,

A continuación, puesto que Ec + En = 0 en todos los puntos dentro de las bobinas del inductor, podemos reformular esto como

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Pero esta integral es simplemente el potencial Vab del punto a con respecto al punto b, por lo que finalmente se obtiene

Se concluye que hay una diferencia de potencial auténtica entre los bornes del inductor, asociada con fuerzas electrostáticas conservativas, pese al hecho de que el campo eléctrico asociado con el efecto de inducción magnética es no conservativa. Por tanto, se justifica el uso de la regla de las espiras de Kirchhoff para analizar circuitos que incluyen inductores. La ecuación (30.8) proporciona la diferencia de potencial entre los bornes de un inductor en un circuito. La autoinductancia de un circuito depende de su tamaño, forma y número de espiras. Con N espiras muy juntas, siempre es proporcional a N2. También depende de las propiedades magnéticas del material encerrado por el circuito. En los ejemplos que siguen supondremos que el circuito encierra sólo vacío (o aire, que desde el punto de vista del magnetismo es prácticamente un vacío). Sin embargo, si el flujo está concentrado en una región que contiene un material magnético de permeabilidad µ, en tal caso en la expresión de B se debe sustituir µ0 (la permeabilidad del vacío) por µ = Kmµ0. Si el material es diamagnético o paramagnético, esta sustitución no representa una gran diferencia, pues Km es muy cercana a 1. En cambio, si el material es ferromagnético la diferencia es de importancia crucial. Un solenoide devanado sobre un núcleo de hierro dulce con Km = 5000 puede tener una inductancia aproximadamente 5000 veces tan grande como la del mismo solenoide con un núcleo de aire. Los inductores de núcleo ferromagnético se utilizan extensamente en diversas aplicaciones electrónicas y de suministro de electricidad. 30.3 Energía de campo magnético

Para establecer una corriente en un inductor se requiere una aportación de energía, y un inductor que conduce corriente contiene energía almacenada. En la figura 30.5, una corriente creciente i en el inductor genera una fem ε entre sus bornes, y una diferencia de potencial Vab correspondiente entre los bornes de la fuente, con el punto a a un potencial mayor que el punto b. Por consiguiente, la fuente debe estar aportando energía al inductor, y la potencia instantánea P (rapidez de transferencia de energía al inductor) es P = Vab i. Calcularemos la aportación total de energía U que se necesita para establecer una corriente final I en un inductor de inductancia L si la corriente inicial es cero. Suponemos que la resistencia del inductor es cero, por lo

que no se disipa energía en su interior. Sea i la corriente en cierto instante y sea su rapidez de cambio di/dt; la corriente está aumentando, de modo que di/dt > 0. El voltaje entre los bornes a y b del inductor en este instante es Vab = L.di/dt, y la rapidez P con la que se entrega energía al inductor (igual a la potencia instantánea suministrada por la fuente externa) es

La energía dU suministrada al inductor durante un intervalo infinitesimal de tiempo dt es dU = P dt; por tanto,

dU = Li di La energía total U suministrada mientras la corriente aumenta de cero a un valor final / es

Una vez que la corriente ha alcanzado su valor final estable /, di/dt = 0 y no se alimenta más energía al inductor. Cuando no hay corriente, la energía almacenada U es cero; cuando la corriente es /, la energía es 1/2LI2. Cuando la corriente disminuye de I a cero el inductor actúa como una fuente que suministra una cantidad total de energía 1/2LI2 al circuito externo. Si se interrumpe el circuito de improviso abriendo un interruptor o al arrancar violentamente una clavija de una toma de comente de pared, la corriente disminuye con gran rapidez, la fem inducida es muy grande, y la energía podría disiparse en forma de un arco entre los contactos del interruptor. Esta fem grande es el análogo eléctrico de la gran fuerza que ejerce un auto al embestir un muro de ladrillo y detenerse súbitamente. La energía de un inductor se halla almacenada en efecto en el campo magnético del interior de la bobina, del mismo modo que la energía de un capacitor está almacenada en el campo eléctrico entre sus placas.

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Utilizaremos el caso de un núcleo toroidal, supondremos que el área de sección transversal A es lo suficientemente pequeña para hacer de cuenta que el campo magnético es uniforme en toda el área. El volumen V encerrado por el solenoide toroidal es aproximadamente igual al producto de la circunferencia 2πr por el área A:V= 2πr A. De acuerdo con la ecuación (30.8) del ejemplo 30.3, la autoinductancia del solenoide toroidal con vacío en el interior de sus bobinas es

De acuerdo con la ecuación (30.9), la energía U almacenada en el solenoide toroidal cuando la corriente es / es

El campo magnético y, por ende, esta energía, se localizan en el volumen V = 2πr A encerrado por los devanados. La energía por unidad de volumen, o densidad de energía magnética es u = U/V:

Podemos expresar esto en términos de la magnitud B del campo magnético en el interior del solenoide toroidal. Según la ecuación (28.24) del ejemplo 28.11 (sección 28.7), esto es

y, por tanto,

Si sustituimos esto en la ecuación anterior de u, hallamos finalmente la expresión de la densidad de energía magnética en un vacío:

Cuando en el interior del toroide no hay vacío sino un material con permeabilidad magnética (constante) µ = Kmµ0 se sustituye µ0 por µ en la ecuación (30.10). En tal caso la energía por unidad de volumen del campo magnético es

30.4 El circuito R-L Con la ecuación (30.7) y las reglas de Kirchhoff podemos analizar circuitos con inductores. En la regla de las espiras de Kirchhoff, cuando se pasa a través de un inductor en el mismo sentido de la comente supuesta, se halla una calda de voltaje igual a L di/dt, por lo que el término correspondiente en la ecuación de la espira es -L di/dt. Crecimiento de la corriente en un circuito R-L

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El inductor ayuda a prevenir cambios rápidos de corriente, lo que resulta útil si se requiere una corriente estable y la fuente externa tiene una fem fluctuante. El resistor R puede ser un elemento de circuito individual o bien la resistencia de los devanados del inductor; en la vida real todo inductor tiene cierta resistencia, a menos que haya sido construido de alambre superconductor. Al cerrar el interruptor S1, podemos conectar la combinación R-L a una fuente con fem constante ε. (Suponemos que la resistencia interna de la fuente es cero, por lo que la tensión de bornes es igual a la fem). Supóngase que, para comenzar, ambos interruptores están abiertos, y luego se cierra el interruptor S1, en cierto momento inicial t = 0. La corriente no puede cambiar súbitamente de cero a un valor final determinado, porque tanto di/dt como la fem inducida en el inductor serían infinitas. En cambio, la corriente comienza a crecer a un ritmo que depende sólo del valor de L en el circuito. Sea i la corriente en cierto tiempo t después del cierre del interruptor S1, y sea di/dt su rapidez de cambio en ese tiempo. La diferencia de potencial entre los extremos del resistor en ese momento es

y la diferencia de potencial vbc entre los bornes del inductor es

Dese cuenta que si la corriente tiene el sentido que se muestra en la figura 30.11 y está aumentando, en tal caso tanto vab como vbc son positivas; a está a un potencial más alto que b, y éste, a su vez, está a un potencial más alto que c. (Compárese con la figura 30.6b). Se aplica la regla de las espiras de Kirchhoff, a partir del borne negativo y en sentido contrario a las manecillas del reloj alrededor de la espira:

Despejando di/dt, se encuentra que la rapidez de aumento de la corriente es

En el instante en que se cierra el interruptor S1, por primera vez, i = 0 y la caída de potencial entre los extremos de R es cero. La rapidez de cambio inicial de la corriente es

Como es de esperar, cuanto más grande es la inductancia L, tanto más lento es el aumento de la corriente. A medida que la corriente crece, el término (R/L)i de la ecuación (30.13) también aumenta, y la rapidez de crecimiento de la corriente dada por la ecuación (30.13) es cada vez más pequeña. Esto significa que la corriente se aproxima a un valor final I de estado estable. Cuando la corriente alcanza este valor, su rapidez de crecimiento es cero, y entonces la ecuación (30.13) se transforma en

La corriente final no depende de la inductancia L: es la misma que sería si sólo la resistencia R estuviese conectada a la fuente de fem ε. Como indica la figura 30.12, la corriente instantánea i primero crece rápidamente, y por tanto aumenta con más lentitud y tiende asintóticamente a un valor final I= ε/R. En un tiempo igual a L/R la corriente ha aumentado a (1 - 1/e), o aproximadamente el 63%, de su valor final. La cantidad LIR es, por tanto, una me-dida de la rapidez con que la comente se intensifica hacia su valor final; esta cantidad se conoce como la constante de tiempo del circuito, y se denota con

Decaimiento de la corriente en un circuito R-L

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Suponga ahora que el interruptor S1 del circuito de la figura 30.11 ha permanecido cerrado durante algún tiempo y la corriente ha alcanzado el valor I0. Luego de poner en cero nuestro cronómetro para definir de nuevo el tiempo inicial, cerramos el interruptor S2 en el tiempo t = 0, con la batería puesta en derivación. (Al mismo tiempo debemos abrir el interruptor S1, para que no se arruine la batería). La corriente a través de R y L no se reduce instantáneamente a cero, sino que se debilita de modo gradual, como se muestra en la figura 30.13. La ecuación de las espiras de la regla de Kirchhoff se obtiene a partir de la ecuación (30.12) simplemente omitiendo el término ε. La corriente i varía con el tiempo de acuerdo con

Donde /0 es la corriente inicial en el tiempo t = 0. La constante de tiempo, τ = L/R, es el tiempo en que la corriente disminuye a 1/e, o aproximadamente 37%, de su valor original. En el tiempo 2τ la corriente ha disminuido al 13.5%, en 5 τ, al 0.67%, y en 10 τ, a 0.0045%. La energía necesaria para mantener la corriente durante este decaimiento proviene de la energía almacenada en el campo magnético del inductor. El análisis energético es más sencillo en este caso. En lugar de la ecuación (30.17) tenemos

Dipolo magnético Las cargas individuales producen un campo eléctrico y éste a su vez, generado por el grupo de cargas, es capaz de influir en el comportamiento de otras. En algunas moléculas neutras conviene suponer que la interacción fundamental se basa en el dipolo eléctrico (el cual, a su vez, puede analizarse como dos cargas puntuales). Cuando se intenta explicar las propiedades magnéticas de los materiales, esta explicación a partir de los elementos de corriente no es tan satisfactoria como la que se basa en el dipolo magnético. En definitiva, podemos considerar que lo causan las cargas en movimiento, producen un dipolo magnético, mientras que un dipolo eléctrico está formado por dos cargas estáticas. Pero cuando nos referimos a las propiedades magnéticas de los materiales, se logra un conocimiento mejor de éstas al tener en cuenta que son una colección de átomos con momentos individuales dipolares magnéticos. la magnitud del momento bipolar µ= iA. Si la espira tiene N vueltas, µ= NiA. Las unidades equivalentes son J/T (joules por tesla). A semejanza del momento dipolar eléctrico, el momento dipolar magnético es una magnitud vectorial. La dirección de µ es perpendicular al plano de la espira con corriente, esta dirección se determina con el uso de la regla de la mano derecha

032

Bz

µ µπ

=r

r(35-4)

En la ecuación 35-4, B es el campo magnético producido por el momento dipolar magnético µ. Analicemos ahora el efecto que un campo magnético tiene en un dipolo magnético. La figura 35-2 muestra una espira con corriente en un campo magnético uniforme B.

Este campo B se debe a un agente externo, que no se incluye en la figura. Concluimos que en un campo uniforme la espira no experimenta fuerza alguna, pero sí un par neto dado por

pxEτ =rr r (Ec. 32-35), donde ñ es un vector unitario perpendicular a la espira en una dirección determinada

por la regla de la mano derecha.

iAnµ =r ) xBτ µ=

rr r(35-5)

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En otras palabras, el par tiende a girar la espira de modo que µ se alinea con B. La ecuación 35-5 es válida, sin importar la forma de la espira ni su orientación con el campo magnético. Las ecuaciones 35-4 y 35-5 satisfacen nuestros dos objetivos: la primera indica cómo un dipolo magnético produce un campo magnético; la segunda, de qué manera un campo magnético aplicado influye en un dipolo magnético. El trabajo hecho para cambiar la orientación del dipolo magnético en un campo magnético y relacionando el trabajo con la energía potencial de un dipolo magnético en un campo magnético

cos .U B Bµ θ µ= − = −rr

(35.6)

µ forma un ángulo con B. Es posible definir la energía potencial de un sistema constituido por un dipolo en el campo. De esta observación se deducen de inmediato vanas conclusiones:

1. Los electrones no pueden ser elementos del núcleo, pues de lo contrario la magnitud de los mo-mentos dipolares magnéticos nucleares sería casi igual a los del electrón.

2. Los efectos magnéticos ordinarios en los materiales dependen del magnetismo atómico, y no del magnetismo nuclear, que es mucho más débil.

3. Para aplicar el par necesario a fin de alinear los dipolos nucleares, se requiere que el campo magnético tenga una magnitud de tres a seis órdenes de magnittid más grandes que los que se requiere para alinear los dipolos atómicos.

El campo en un dipolo A continuación vamos a concentrarnos en el campo completo del dipolo magnético. Se descubre una gran semejanza entre el patrón de las líneas del campo fuera de la espira. Es conveniente designar a sus dos extremos como polo norte (N) y polo sur (S): las lineas del campo salen del polo norte y convergen en el polo sur. la figura 35-3c, se observa que las líneas del campo no comienzan ni terminan en los polos, sino que prosiguen por el interior del imán, formando otra vez espiras cerradas.

35-2 La fuerza sobre un dipolo en un campo no uniforme Si el campo es no uniforme, las fuerzas tienen distinta magnitud y, en consecuencia, una fuerza neta puede ejercer sobre el dipolo. La misma conclusión se aplica a los dipolos magnéticos: en un campo magnético uniforme puede haber un par neto en el dipolo, pero no existe una fuerza neta. Para que ésta se ejerza sobre él, es preciso que el campo magnético sea no uniforme. La espira 1 produce un campo magnético B1 que luego interactúa con la espira 2. En los puntos C y D, que son extremos opuestos de un diámetro de la espira 2, las fuerzas dF = i2ds X B1 en los elementos ds presentan componentes hacía abajo y radialmente hacia afuera. Cuando sumamos las fuerzas en todos los pares de elementos, vemos que los componentes radiales se cancelan y que los componentes hacia abajo se suman para dar una fuerza neta descendente sobre la espira con corriente. Las espiras con corriente pueden representarse como imanes cuyos; polos norte y sur están orientados como se ve en la figura 35-4.

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En la figura 35-4, existe también repulsión entre los dos polos N y los dos polos S, pero la fuerza de atracción N-S es la fuerza mayor porque los polos se encuentran más cerca uno del otro. Al emplear la ecuación 35-6 para calcular la energía potencial del momento dipolar magnético de la espira 2 en el campo magnético producido por la espira 1(U= -µ2.B1) Momentos dipolares magnéticos inducidos Un campo eléctrico aplicado puede inducir un momento dipolar al causar la separación de las cargas positivas y negativas en la molécula. Un efecto semejante se presenta en los campos magnéticos: la aplicación de un campo magnético puede inducir un momento dipolar en los materiales que carecen de momentos dipolares magnéticos permanentes. Supongamos una espira doble, constituida por dos espiras simples que transportan corrientes idénticas en direcciones contrarias, dentro de un campo no uniforme que pudo haber sido creado por un imán permanente.

Al acercar el imán a esta espira doble, el flujo de las espiras crece y ocasiona que la corriente inducida, de acuerdo con la ley de Lenz, siga la dirección de las manecillas del reloj (vista desde arriba). Esta corriente inducida, que se incorpora a las corrientes en las dos espiras, genera una comente neta i - iind en la espira de arriba e i + iind en la de abajo. En resumen, dentro de un campo magnético no uniforme, se giran los dipolos permanentes para alinearlos con el campo y son atraídos hacia la fuente de dicho campo; pero, los dipolos inducidos son repelidos por la fuente del campo. 35-3 Magnetismo atómico y nuclear También las propiedades magnéticas de los materiales dependen de los momentos de dipolo magnético de los átomos individuales; podemos suponer que los materiales magnéticos se componen de varios dipolos atómicos, que podrían alinearse al aplicar un campo magnético externo. Los momentos dipolares magnéticos de los átomos se miden pasando un haz de átomos por una región donde existe un campo magnético no uniforme. Una fuerza neta opera sobre el dipolo magnético en un campo no uniforme; de ahí que los átomos sean desviados de su trayectoria original cuando pasan a través de la región del campo. En la década de 1920, los experimentos de este tipo demostraron que un campo magnético desviaba todavía los átomos sin momentos dipolares magnéticos orbitales. Los electrones en diversos estados de movimiento tienen distintos momentos dipolares magnéticos orbitales, pero todos presentan exactamente el mismo momento dipolar magnético intrínseco.

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El momento magnético total de un átomo se obtiene mediante la suma vectorial de los momentos magnéticos orbital y de spín de todos sus electrones. Magnetismo nuclear El núcleo, que se compone de protones y de neutrones én movimiento orbital y que está bajo la influencia de sus fuerzas mutuas, tiene un momento magnético constituido de dos partes: una parte orbital, debida al movimiento de los protones y otra, intrínseca, debida a los momentos magnéticos intrínsecos de los protones y neutrones Los núcleos tienen momentos dipolares magnéticos orbitales de spín que pueden expresarse por medio de la ecuación 35-10. Los momentos nucleares típicos del dipolo magnético son más pequeños que los momentos atómicos del dipolo en un factor del orden de 10-3. 35-4 Magnetización Consideremos ahora un medio magnético compuesto de átomos con los momentos dipolares magnéticos µn. En general, estos dipolos apuntan en varias direcciones del espacio. Calculemos el momento dipolar neto µ en un volumen V del material, efectuando la suma vectorial de todos los dipolos del volumen: µ = ∑ µn. Entonces definimos la magnetización M del material como el momento dipolar neto por unidad de volumen , o sea

0MV V

µµ= = ∑rr

r(35.12)

Supóngase que este material se coloca en un campo uniforme B0. Este campo aplicado lo "magnetiza" y alinea los dipolos. Los dipolos alineados producen un campo magnético propio, en analogía con el campo eléctrico generado por los dipolos eléctricos en un medio dieléctrico. En cualquier punto del espacio el campo magnético neto B es la suma del campo aplicado B0 y del producido por los dipolos, al que llamamos BM. Por tanto, B = B0 + BM. (35-14.) El campo de magnetización BM se relaciona con la magnetización M, En los campos débiles, M es proporcional al campo aplicado B0. Consideramos un solenoide largo (ideal) de sección transversal circular, lleno con material magnético (Fig. 35-8). En este caso, el campo aplicado es uniforme en todo el interior; B0 y M son paralelos al eje, pudiendo demostrarse que BM = µ0M en el interior del solenoide B = B0 + µ0M

En los campos débiles, M crece linealmente con el campo aplicado B0 y, por lo mismo, B debe ser proporcional a B0. En este caso, podemos escribir

B = kmB0, (35-10) Donde k es la permeabilidad del material. Con respecto a otros materiales que no son ferromagnéticos, la permeabilidad puede depender de propiedades como la temperatura y la densidad del material, pero no del campo B0.

µ0M = (km - 1) B0. Paramagnetismo

El paramagnetismo se observa en materiales cuyos átomos tienen momentos dipolares magnéticos permanentes; no importa si los momentos son del tipo orbital o del tipo spín. En una muestra de material paramagnético a la que no se le aplica un campo magnético, al inicio los momentos dipolares atómicos se orientan aleatoriamente en el espacio (Fig. 35-9-0). La magnetización, calculada de acuerdo con la ecuación 35-13, es cero porque las

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direcciones aleatorias de µn hacen desaparecer la suma vectorial, del mismo modo que la suma de las velocidades con dirección aleatoria de las moléculas en la muestra de un gas da cero para la velocidad del centro de masa de toda la muestra. Cuando al material se le aplica un campo magnético externo (quizá colocándolo dentro de los devanados de un soíenoide), el par resultante en los dipolos tiende a alinearlos con el campo (Fig. 35-96). La suma vectorial de los momentos dipolares individuales ya no es cero. El campo dentro del material tiene ahora dos componentes: el campo aplicado B0 y el campo inducido µ0M procedente de la magnetización de los dipolos. Adviértase que los dos campos son paralelos; los dipolos aumentan el campo aplicado, a diferencia de lo que ocurre en el caso eléctrico: el campo del dipolo se oponía al campo aplicado y reducía el campo eléctrico total en el material El movimiento térmico de los átomos tiende a alterar la alineación de los dipolos; de ahí que la magnetización disminuya al aumentar la temperatura.

0BM C

T= (35-18)

A esta expresión se le conoce como ley de Curie y a la constante C se le llama constante de Curie. La temperatura es en ºK. Esta ecuación es válida sólo cuando B0/T es pequeña, o sea con campos pequeños o con temperaturas elevadas. En campos aplicados grandes, la magnetización se acerca a su valor máximo, que ocurre cuando todos los dipolos son paralelos. Si hay N de ellos en un volumen V, el valor máximo ∑ µn es N µn , correspondiente a N vectores paralelos µn En este caso la ecuación 35-13 da

max n

NM

Vµ=

La ley de Curie, la cual establece que M crece linealmente con B0, es válida sólo cuando la magnetización está lejos de la saturación. Cuando el campo magnético externo se retira de una muestra paramagnética, el movimiento térmico ocasiona que la dirección de los momentos dipolares magnéticos se vuelvan aleatorios otra vez: las fuerzas magnéticas entre átomos son demasiado débiles para mantener la alineación e impedir la aleatoriedad. Este efecto sirve para enfriar mediante un proceso que se conoce como desmagnetización adiabática. La desmagnetización de los dipolos magnéticos atómicos sirve para alcanzar temperaturas del orden de 0.001 K, en tanto que la desmagnetización de los dipolos magnéticos nucleares, mucho menores, permite obtener temperaturas por debajo de los 10-6 K. Diamagnetismo Faraday descubrió que una muestra de bismuto era repelida por un imán fuerte. A esa sustancia la llamó diamagnética. (En cambio, las sustancias paramagnéticas siempre son atraídas por un imán.) Es un efecto mucho más débil que el paramagnetismo; por ello puede observarse muy fácilmente sólo en los materiales no paramagnéticos. El efecto del diamagnetismo se parece al efecto de los campos eléctricos inducidos en electrostática: un fragmento no cargado de material como el papel es atraído por una varilla cargada de una u otra polaridad. En los materiales diamagnéticos, los átomos que carecen de momentos dipolares magnéticos permanentes adquieren momentos dipolares inducidos, cuando se colocan en un campo magnético externo La magnetización de un material diamagnético siempre se opone al campo aplicado. Ferromagnetismo El ferromagnetismo, igual que el paramagnetismo, se observa en materiales cuyos átomos tienen momentos dipolares magnéticos permanentes. Lo que los distingue de los materiales paramagnéticos es que los ferromagnéticos muestran una fuerte interacción entre los átomos cercanos que conservan alineados sus momentos dipolares, aun cuando se elimine el campo magnético externo. Entre los materiales ferromagnéticos comunes a temperatura ambiente se cuentan el hierro, el cobalto y el níquel. Podemos disminuir la efectividad del acoplamiento entre átomos cercanos que causa el ferromagnetismo, elevando la temperatura de la sustancia. La temperatura a la cual un material ferromagnético se convierte en uno paramagnético se llama temperatura de Curie. El campo aplicado aumenta de modo considerable en los ferromagnéticos. La magnitud del campo magnético total B dentro de uno ferromagnético puede ser de 103 o 104 veces mayor que la magnitud del campo aplicado B0. Cuando el ferromagnético se coloca en un campo externo, pueden presentarse dos efectos:

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1. los dipolos fuera de las paredes de los dominios que se alinean con el campo pueden girar y alinearse, permitiendo con ello que tales dominios crezcan a expensas de los dominios cercanos;

2. los dipolos de los dominios no alineados pueden oscilar enteramente hasta alinearse con el campo aplicado.

Histéresis y dominios magnéticos Introduzcamos un material ferromagnético como el hierro en un solenoide, según se observa en la figura 35-8 b). Suponemos que la corriente es cero al inicio y que el hierro no está magnetizado, así que ori-ginalmente tanto B0 como M son cero. Aumentamos B0 incrementando la corriente en el solenoide. La magnetización aumenta rápidamente al valor de saturación como lo indica, en la figura 35-11, el segmento ab. Ahora reducimos la corriente a cero. La magnetización no recorre nuevamente su trayectoria original, sino que el hierro permanece magnetizado (en el punto c) a pesar de ser cero el campo aplicado B0. Si invertimos después la dirección de la corriente en el solenoide, alcanzaremos una magnetización saturada en la dirección contraria (punto d); retomando a cero la corriente, descubriremos que la muestra mantiene una magnetización permanente en el punto e. Entonces podemos aumentar de nuevo la corriente para re-tornar a la magnetización saturada en la dirección original (punto b). La trayectoria bcdeb puede seguirse una y otra vez. Al comportamiento descrito en la figura 35-11 se le conoce como histéresis. En los puntos c y e, el hierro está magnetizado, aun cuando el solenoide no tenga corriente. Más aún, el hierro "recuerda" cómo se magnetizó: una corriente negativa produce una magnetización distinta a la que produce una co-rriente positiva. Esta "memoria" es indispensable para que la información se almacene en forma magnética, como ocurre en las cintas de los casetes o en los discos de computadora.

Capítulo 32 32.1 Ecuaciones de Maxwell y ondas electromagnéticas Las ecuaciones de Maxwell muestran que un campo magnético que varía con el tiempo actúa como fuente de campo eléctrico, y que un campo eléctrico que varía con el tiempo actúa como fuente de campo magnético. Estos campos E y B se sustentan mutuamente y forman una onda electromagnética que se propaga a través del espacio. Cuando un campo ya sea eléctrico o magnético cambia con el tiempo, se induce un campo de otra clase en regiones adyacentes del espacio. Nos vemos orillados (como le ocurrió a Maxwell) a considerar la posibilidad de una perturbación electromagnética, que consiste en campos eléctricos y magnéticos que varían con el tiempo, capaz de propagarse a través del espacio de una región a otra, aun cuando no exista materia en la región intermedia. Tal perturbación, en caso de existir, tendrá las propiedades de una onda, y un término apropiado es el de onda electromagnética. Maxwell descubrió que los principios básicos del electromagnetismo se pueden expresar en términos de las cuatro ecuaciones que hoy conocemos como las ecuaciones de Maxwell, las cuales estudiamos en la sección 29.7. Estas cuatro ecuaciones son (a) la ley de Gauss de los campos eléctricos; (2) la ley de Gauss de los campos magnéticos, que demuestra la ausencia de monopolos magnéticos; (3) la ley de Ampere, con la inclusión de la corriente de desplazamiento y (4) la ley de Faraday.

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Estas ecuaciones se aplican a los campos eléctricos y magnéticos en un vacío. Si está presente un material, la permitividad є0 y la permeabilidad µo del espacio libre se sustituyen por la permitividad є y la permeabilidad µ del material. De acuerdo con las ecuaciones de Maxwell, una carga puntual en reposo crea un campo E estático, pero ningún campo B; una carga puntual que se desplaza con velocidad constante (sección 28.1) crea campos tanto E como B. Las ecuaciones de Maxwell también permiten demostrar que, para que una carga puntual genere ondas electromagnéticas, es necesario que la carga se acelere. De hecho, un resultado general de las ecuaciones de Maxwell es que toda carga acelerada irradia energía electromagnética. Una manera de conseguir que una carga puntual emita ondas electromagnéticas consiste en hacerla oscilar en un movimiento armónico simple, de modo que tenga aceleración casi en todo momento (la excepción es cuando la carga pasa por la posición de equilibrio). Existe una perturbación magnética que se extiende hacia afuera desde la carga; esto no se muestra en la figura 32.2. Ya que las perturbaciones eléctricas y magnéticas se extienden o irradian alejándose de la fuente, el nombre de radiación electromagnética se utiliza indistintamente como sinónimo de "ondas electromagnéticas". Hertz encontró la rapidez de las ondas a partir de la relación entre longitud de onda y frecuencia v fλ= , y

estableció que era igual a la rapidez de la luz; esto comprobaba directamente la predicción teórica de Maxwell. El nombre de la unidad SI de frecuencia honra la memoria de Hertz: un hertz (1 Hz) es igual a un ciclo por segundo.

32.2 Ondas electromagnéticas planas y rapidez de la luz Campo simple con comportamiento ondulatoria. Supondremos un campo eléctrico E con sólo una componente y y un campo magnético B con sólo una componente z, y supondremos además que ambos campos se desplazan juntos en la dirección +x con una rapidez c que inicialmente desconocemos. Cumplen con las ecuaciones de Maxwell Una onda electromagnética plana Como en la figura (32.3) el espacio está dividido por un plano, a la izquierda hay B y E y aumenta en el sentido de x (+).Una onda como ésta, en la que en todo momento los campos son uniformes en toda la extensión de cualquier plano perpendicular a la dirección de propagación, se llama onda plana.

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Para satisfacer las ecuaciones primera y segunda de Maxwell, los campos eléctrico y magnético deben ser perpendiculares a la dirección de propagación; es decir, la onda debe ser transversal.

Esto demuestra que nuestra onda es congruente con la ley de Faraday sólo si la rapidez de onda c y las magnitudes de los vectores perpendiculares E y B guardan la relación que describe la ecuación (32.4).

Por último, llevamos a cabo un cálculo similar con la ley de Ampere, el miembro restante de las ecuaciones de Maxwell. No hay corriente de conducción (ic = 0); por tanto, la ley de Ampere es

Llegamos a la misma conclusión que inferimos a partir de la ley de Faraday: en una onda electromagnética, E y B deben ser mutuamente perpendiculares. De esta manera, la onda que hemos supuesto obedece la ley de Ampere sólo si la relación entre B, c y E es la que describe la ecuación (32.8).

Nuestra onda electromagnética debe obedecer tanto la ley de Ampere como la ley de Faraday; así que también se deben satisfacer las ecuaciones (32.4) y (32.8). Esto sólo es posible si

La onda que hemos supuesto es congruente con todas las ecuaciones de Maxwell, siempre y cuando el frente de onda se traslade con la rapidez señalada, la velocidad de la luz. Características importantes de las ondas electromagnéticas

1. La onda es transversal; tanto E como B son perpendiculares a la dirección de propagación de la onda. Los campos eléctrico y magnético también son perpendiculares entre síA La dirección de propagación es la dirección del producto vectorial E X B.

2. Hay una relación definida entre las magnitudes de E y B: E = cB. 3. La onda viaja en el vacío con una rapidez definida y constante. 4. A diferencia de las ondas mecánicas, que necesitan las partículas oscilantes de un medio como el

agua o el aire para transmitirse, las ondas electromagnéticas no requieren un medio. Lo que "ondula" en una onda electromagnética son los campos eléctricos y magnéticos.

Podemos tener una onda CONJUGANDO dos o más ondas simples como las descritas, pero los campos varían de una a otra. Esto es posible porque los campos E y B obedecen el principio de sobreposición en las ondas del mismo modo que en las situaciones estáticas: cuando se sobreponen dos ondas, el campo E total en cada punto es la suma vectorial de los campos E de las ondas individuales, y de modo análogo en el caso del campo B total.

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Las ondas electromagnéticas tienen la propiedad de polarización. De una onda en la que E es siempre paralelo a un eje determinado se dice que está Linealmente polarizada a lo largo de ese eje. En términos más generales, cualquier onda que viaja en la dirección x se puede representar como una sobreposición de ondas linealmente polarizadas en las direcciones y y z. 32.3 Ondas electromagnéticas sinusoidales En una onda electromagnética sinusoidal, E y B son funciones sinusoidales del tiempo en cualquier punto del espacio, y en todo momento la variación espacial de los campos también es sinusoidal. Ciertas ondas sinusoidales son ondas planas transversales. Las ondas electromagnéticas generadas por una carga puntual oscilante (Fig. 32.2) son un ejemplo de ondas sinusoidales que no son ondas planas. Pero según como se las mire son buenas aproximaciones. La frecuencia f; la longitud de onda A y la rapidez de propagación c de cualquier onda periódica guardan entre sí la conocida relación entre longitud de onda y frecuencia c fλ= .

La figura 32.10 muestra una onda electromagnética sinusoidal linealmente polarizada que viaja en la dirección +x. Se muestran los vectores E y B correspondientes a sólo unos pocos puntos sobre el eje de las x positivas. Dése cuenta que los campos eléctrico y magnético oscilan en fase: E es máximo donde B es máxi-mo y E es cero donde B es cero. Podemos describir las ondas electromagnéticas por medio de funciones de onda.

Donde y(x, t) es el desplazamiento transversal respecto a la posición de equilibrio en el tiempo t de un punto con coordenada x sobre la cuerda. La magnitud A es el desplazamiento máximo, o amplitud, de la onda; ω es su frecuencia angular, igual a 2π veces la frecuencia f, y A: es el número de onda, igual a 2π/λ, donde λ es la longitud de onda. Sea Ey(x, t) y Bz(x, t) la representación de los valores instantáneos de la componente y de E y de la componente z de B, respectivamente, en la figura 32.10, y sean Emáx y Bmáx los valores máximos, o amplitudes, de estos campos. De esta manera las funciones de onda de la onda son

(onda electromagnética plana sinusoidal que se propaga en la dirección +x)

También podemos escribir las funciones de onda de forma vectorial:

CUIDADO Dese cuenta que las dos k son diferentes: el vector unitario k)

en la dirección z y el número de onda k. ¡No confunda estos conceptos! Las ecuaciones (32.16) y (32.17) muestran que B y E están en fase.

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Cuando se trasladan como en la figura 32.11 Las funciones de onda correspondientes a esta onda son

(onda electromagnética plana sinusoidal que se propaga en la dirección -x) Como en el caso de la onda que viaja en la dirección +x, en todos los puntos las oscilaciones sinusoidales de los campos E y B están en fase, y el producto vectorial EXB apunta en la dirección de propagación. Ondas electromagnéticas en la materia Para materiales dieléctricos En un dieléctrico la rapidez de las ondas no es la misma que en un vacío, y la denotamos con v en vez de c. La ley de Faraday permanece intacta, pero en la ecuación (32.4), deducida de la ley de Faraday, se sustituye la rapidez c por v. En la ley de Ampere la corriente de desplazamiento viene dada no por є0dΦE/dt, donde ΦE es el flujo de E a través de una superficie, sino por єdΦE/dt =K є0dΦE/dt, donde K es la constante dieléctrica y є es la permitividad del dieléctrico. Además, es preciso sustituir la constante µ0 de la ley de Ampere por µ=Km.µ0

donde Km es la permeabilidad relativa del dieléctrico y µ es su permeabilidad. Por esto, las ecuaciones (32.4) y (32.8) se sustituyen por

Siguiendo el mismo procedimiento que en el caso de ondas en un vacío, hallamos que la rapidez de onda v es

Debido a que K es siempre mayor que la unidad, la rapidez v de las ondas electromagnéticas en un dieléctrico

siempre es menor que la rapidez c en un vacío por un factor de 1 K . La proporción de la rapidez c en un vacío respecto a la rapidez v en un material se conoce en óptica como el índice de refracción n del material. 32.4 Energía y cantidad de movimiento de las ondas electromagnéticas

Combinando las ecuaciones (32.23) y (32.24), podemos expresar también la densidad de energía u de una onda electromagnética simple en un vacío como

Esto demuestra que, en un vacío, la densidad de energía asociada con el campo É en nuestra onda simple es igual a la densidad de energía del campo B. En general, la magnitud del campo eléctrico E es función de la posición y del tiempo,

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Flujo de energía electromagnética y el vector de Poyntig

Podemos describir esta transferencia de energía en términos de la energía transferida por unidad de tiempo y por unidad de área de sección transversal, o potencia por unidad de área, respecto a un área perpendicular a la dirección de recorrido de la onda. El volumen dV de la región en cuestión es el producto del área de la base A por la longitud c dt, y la energía dU de esta región es el producto de la densidad de energía u por este volumen.

Esta energía pasa a través del área A en el tiempo dt. El flujo de energía por unidad de tiempo y por unidad de área, al que llamaremos S, es

Las unidades de S son de energía por unidad de tiempo y por unidad de área, o de potencia por unidad de área. La unidad SI de S es 1 J/s m2 o 1 W/m2.

Podemos definir una cantidad vectorial que describe tanto la magnitud como la dirección de la rapidez de flujo de energía:

Puesto que E y B son perpendiculares, la magnitud de S es 0. /S E B µ=

El flujo total de energía por unidad de tiempo (potencia, P) hacia afuera de cualquier superficie cerrada es la integral de S sobre la superficie:

En el caso de las ondas sinusoidales estudiadas en la sección 32.3, así como en el de otras ondas más complejas, los campos eléctricos y magnéticos en un punto cualquiera varían con el tiempo, por lo que el vector de Poynting también es función del tiempo. La magnitud del valor promedio (porque es muy grande la variación) se conoce como la intensidad de la radiación en ese punto. La componente x del vector de Poynting es

El valor promedio en el tiempo de cos 2(kx - ωt) es cero porque, en cualquier punto, es positivo durante medio ciclo y negativo durante la otra mitad. Por tanto, el valor promedio del vector de Poynting en un ciclo completo es Sprom = í.Sprom, donde

En todo este análisis hemos considerado sólo ondas electromagnéticas que se propagan en un vacío. De cualquier modo, si las ondas viajan en un medio dieléctrico es necesario modificar las expresiones de la densidad de energía [ecuación (32.23)], el vector de Poynting [ecuación 32.28)] y la intensidad de una onda

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sinusoidal [ecuación (32.29)]. Resulta que las modificaciones que se requieren son muy simples: basta con sustituir є0 por la permitividad є del dieléctrico, µ0 por la permeabilidad µ del dieléctrico, y c por la rapidez v de las ondas electromagnéticas en el dieléctrico. Sorprendentemente, las densidades de energía de los campos E y B son iguales incluso en un dieléctrico. Flujo de cantidad de movimiento electromagnético y presión de radiación Las ondas electromagnéticas transportan energía. Además se puede demostrar que las ondas electromagnéticas transportan una cantidad de movimiento p, con una densidad de cantidad de movimiento correspondiente (cantidad de movimiento dp por volumen dV) de magnitud

Existe además una rapidez de flujo de cantidad de movimiento correspondiente. El volumen dV ocupado por una onda electromagnética (rapidez c) que pasa a través de un área A en un tiempo dt es dV = Ac dt. Cuando se sustituye esto en la ecuación (32.30) y se reordena, se encuentra que la rapidez de flujo de cantidad de movimiento por unidad de área es

Se obtiene la rapidez promedio de transferencia de cantidad de movimiento por unidad de área sustituyendo S por Sprom = I en la ecuación (32.31). A esta cantidad de movimiento se debe el fenómeno de la presión de radiación. 32.5 Ondas electromagnéticas estacionarias

Las ondas electromagnéticas se pueden reflejar. La sobreposición de una onda incidente y una onda reflejada forma una onda estacionaria . E no puede tener una componente paralela a la superficie de un conductor perfecto. En consecuencia, en la situación que nos ocupa E debe ser cero en todas partes en el plano del conductor perfecto. Pero esta onda incidente induce corrientes oscilantes en la superficie del conductor, y estas corrientes dan origen a un campo eléctrico adicional. El campo eléctrico neto, que es la suma vectorial de este campo y del E incidente, es cero en todas partes, tanto en el interior como en la superficie del conductor. Las corrientes inducidas en la superficie del conductor producen también una onda reflejada que viaja del plano hacia afuera en la dirección +x. Suponga que la onda incidente queda descrita por las funciones de onda de las ecuaciones (32.19) (una onda sinusoidal que viaja en la dirección -x) y la onda reflejada me-diante el negativo de las ecuaciones (32.16) (una onda sinusoidal que viaja en la dirección +x). El principio de sobreposición establece que el campo E total en cualquier punto es la suma vectorial de los campos E de las ondas incidente y reflejada, y de modo análogo respecto al campo B. Por consiguiente, las funciones de onda correspondientes a la sobreposición de las dos ondas son

Podemos expandir y simplificar estas expresiones con ayuda de las identidades

Los resultados son

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Puesto que 2 /k π λ= , las posiciones de estos planos son

Estos planos se conocen como los planos nodales del campo E; son el equivalente de los nodos, o puntos nodales, de una onda estacionaria en una cuerda. El campo eléctrico total es una función seno de t, y el campo magnético total es una función coseno de t. En consecuencia, las variaciones sinusoidales de los dos campos están 90° fuera de fase en cada punto. Lo distingue de las sinusoidales que éstas no están en fase. Podemos insertar un segundo plano conductor, paralelo al primero y a una distancia L de él, a lo largo del eje x. Esto es análogo a una cuerda estirada sujeta en los puntos x=0 y x=L. Ambos planos conductores deben ser planos nodales de E; sólo puede existir una onda estacionaria cuando el segundo plano se encuentra en una de las posiciones donde E(x, t) = 0. Es decir, para que exista una onda estacionaria, L debe ser un múltiplo entero de λ/2. Las longitudes de onda que satisfacen esta condición son

Las frecuencias correspondientes son

De este modo, existe un conjunto de modos normales, cada uno con una frecuencia, forma de onda y distribución nodal características (Fig. 32.19). Las superficies conductoras no son las únicas que reflejan las ondas electromagnéticas. También se producen reflexiones en una interfaz entre dos materiales aislantes con diferentes propiedades dieléctricas o magnéticas.

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Naturaleza de la luz La luz es una onda electromagnética. Sin embargo, la concepción ondulatoria de la luz no ofrece una visión completa sobre su naturaleza. Varios efectos asociados con la emisión y absorción de luz ponen de manifiesto un aspecto corpuscular, en cuanto a que la energía transportada por las ondas de luz está contenida en paquetes discretos llamados fotones o cuantos. Las fuentes fundamentales de toda la radiación electromagnética son las cargas eléctricas en movimiento acelerado. Todos los cuerpos emiten radiación electromagnética como resultado del movimiento térmico de sus moléculas; esta radiación, llamada radiación térmica, es una mezcla de longitudes de onda diferentes. A temperaturas suficientemente altas, toda la materia emite una cantidad luz visible para ser autoluminosa ; La propagación de la luz se describe mejor mediante un modelo ondulatorio, pero para comprender la emisión y la absorción se requiere un enfoque corpuscular. También se produce luz durante las descargas eléctricas a través de gases ionizados. Sin importar cuál sea su fuente, la radiación electromagnética viaja en el vacío a la rapidez de la luz. Con base en el análisis de todas las mediciones efectuadas hasta 1983, el valor más probable para la rapidez de la luz en ese ano era de c = 2.99792458 X 108 m/s Ondas, frentes de onda y rayos Frente de onda El fugar geométrico de todos los puntos adyacentes en fase en los cuales la fase de vibración de una magnitud física asociada con la onda es la misma. Es decir, en cualquier instante, todos los puntos de un frente de onda están en la misma parte de su ciclo de variación. Cuando dejamos caer una piedra en un estanque en calma, los circulos en expansión formados por las crestas de onda, al igual que los circulas formados por los valles de onda intermedios, son frentes de onda. De manera habitual, en los diagramas de movimiento de ondas dibujamos sólo partes de algunos pocos frentes de onda, y solemos elegir. frentes de onda consecutivos que tienen la misma fase y, por tanto, están separados por una longitud de onda, como las crestas de las olas en el agua. Rayo Para la propagación se usan los rayos. En la teoria corpuscular de la luz., los rayos son las trayectorias de las partículas. Desde el punto de vista ondulatorio Un royo es una línea imaginaria a lo largo de la dirección de propagación de la luz. Cuando las ondas viajan en un material isotrópico homogeneo (un material con propiedades identicas en todas sus regiones y en todas direcciones), los rayos son siempre líneas rectas normales a los frentes de onda. En una superficie limítrofe entre dos materiales, por ejemplo, en la superficie de una hoja de vidrio en aire, la rapidez de la onda y la dirección de un rayo pueden cambiar, pero los segmentos de rayo en el aire y en el vidrio son líneas rectas.

El espectro electromagnético Las ondas electromagnéticas abarcan un espectro extremadamente amplio de longitud de onda y frecuencia. Pese a las enormes diferencias en cuanto a sus usos y medios de generación, todos son ondas electro-magnéticas con las características generales que se han descrito en las secciones precedentes, entre ellas la rapidez de propagación (en el vacío) c = 299,792,458 m/s. Las ondas electromagnéticas pueden diferir en términos de frecuencia y longitud de onda λ, pero la relación c = λ /f en el vacío se cumple en todos los casos. Por medio de nuestro sentido de la vista podemos detectar directamente sólo un segmento muy pequeño de este espectro

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Principio de Huygens Para hallar las leyes de reflexión y refracción por medio de la naturaleza ondulatoria de la luz. Es un método geométrico, es decir, de una forma geométrica conocer un momento subsiguiente.

Ley de reflexión Para deducir la ley de reflexión a partir del principio de Huygens, considérese una onda plana que se aproxima a una superficie reflectora plana. En la figura 33.32a las líneas AA', OB' Y NC' representan posiciones sucesivas de un frente de onda que se acerca a la superficie MM'. El punto A del frente de onda AA' acaba de llegar a la superficie reflectora. Podemos aplicar el principio de Huygens para hallar la posición del frente de onda al cabo de un intervalo de tiempo f. Con puntos situados sobre AA' como centros, dibujamos varias onditas secundarias de radio vt. Las onditas que nacen cerca del extremo superior de AA' se extienden sin encontrar obstáculos, y su envolvente proporciona la porción OB' del nuevo frente de onda. Si la superficie reflectora no estuviese ahí, las onditas que se originan cerca del extremo inferior de AA' alcanzarían de forma análoga las posiciones que muestran los arcos circulares discontinuos. Por el contrario, estas onditas inciden en la superficie reflectora. El efecto de la superficie reflectora consiste en cambiar la dirección de propagación de las onditas que inciden en ella, de modo que parte de una ondita que habría penetrado la superficie se encuentra en realidad a la izquierda de ella, como lo muestran las líneas continuas. La primera de estas onditas está centrada en el punto A; la envolvente de todas estas onditas reflejadas es la porción OB del frente de onda. El trazo del frente de onda completo en este instante es el segmento de arco BOB'. Una construcción análoga proporciona la línea CNC` del frente de onda al cabo de otro intervalo t. De acuerdo con la geometría plana el ángulo θa entre el frente de onda incidente y la superficie es el mismo que entre el rayo incidente y la normal a la superficie y es, por tanto, el ángulo de incidencia. De modo análogo, θr es el ángulo de reflexión. Para hallar la relación entre estos ángulos, consideremos la figura 33.32b. A partir de O trazamos OP = vt, perpendicular a AA'. Ahora OB, por construcción, es tangente a un círculo de radio vt con centro en A. Si trazamos AQ de A al punto de tangencia, los triángulos APO y OQA son congruentes porque son triángulos rectángulos con el lado AO en común y con AQ = OP = vt. El ángulo θa es, por tanto, igual al ángulo θr y tenemos la ley de reflexión.

Ley de refracción Podemos deducir la ley de refracción por un procedimiento similar. En la figura 33.33 consideramos un frente de onda, representado por la línea AA', cuyo punto A acaba de llegar a la superficie limítrofe SS' entre dos materiales transparentes a y b, con índices de refracción na y nb Y rapidez de onda va y vb (En la figura no se muestran las ondas reflejadas; éstas se comportan exactamente como en la figura 33.32). Podemos aplicar el principio de Huygens para hallar la posición de los frentes de onda refractados al cabo de un tiempo t. Con los puntos sobre AA' como centros, dibujamos varias onditas secundarias. Las que se originan cerca del extremo superior de AA' viajan con rapidez va y, al cabo de un intervalo de tiempo t, son superficies esféricas de radio va t. La ondita que nace en el punto A, sin embargo, se propaga en el segundo material b con rapidez vb Y en el tiempo t es una superficie esférica de radio vbt;. La envolvente de las onditas derivadas del frente de onda original es el plano cuyo trazo es el segmento de arco B0B'. Una construcción similar permite obtener el trazo PCP` al cabo de un segundo intervalo t. Los ángulos θa y θb entre la superficie y los frentes de onda refractados son el

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ángulo de incidencia y el ángulo de refracción respectivamente. Para hallar la relación entre los ángulos, véase la figura 33.33b. Dibújese OQ = va t, perpendicular a AQ, y dibújese AB = vb t perpendicular a BO. Del triángulo rectángulo AOQ y del triángulo rectángulo AOB

Combinando ambas expresiones hallamos que

Hemos definido el índice de refracción n de un material como la razón de la rapidez de la luz c en un vacío

respecto a su rapidez u en el material: Por tanto,

Polarización Polarización lineal La polarización es una característica de todas las ondas transversales. Este capítulo trata acerca de la luz; sin embargo, para presentar algunos conceptos básicos de polarización, volvamos por un momento a las ondas transversales Cuando una onda tiene sólo desplazamientos y, decimos que está linealmente polarizada en la dirección y; una onda con sólo desplazamientos z está linealmente polarizada en la dirección z. En el caso de las ondas mecánicas podemos construir un filtro polarizador, o simplemente polarizador, que sólo permite el paso de ondas con cierta dirección de polarización. En la figura 33.19c la cuerda puede deslizarse verticalmente en la ranura sin fricción, pero todo movimiento horizontal es imposible. Este filtro deja pasar las ondas polarizadas en la dirección y, pero impide el paso de las que están polarizadas en la dirección z. Siempre definimos la dirección de polarización de una onda electromagnética como la dirección del vector de campo eléctrico E, no del campo magnético, porque muchos detectores comunes de ondas electromagnéticas responden a las fuerzas eléctricas sobre los electrones de los materiales, no a las fuerzas magnéticas. Por consiguiente, de la onda electromagnética descrita por la ecuación (32 .17),

Se dice que está polarizada en la dirección y porque el campo eléctrico tiene sólo una componente y.

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Filtros polarizadores Las ondas que emite una molécula cualquiera pueden estar linealmente polarizadas, como las de una antena de radio. Sin embargo, toda fuente real de luz contiene un número enorme de moleculas orientadas al azar, por lo que la luz emitida es una mezcla aleatoria de ondas linealmente polarizadas en todas las direcciones transversales posibles. La luz de este tipo se describe como luz no polar izada o luz natural. Para crear luz polarizada a partir de luz natural no polarizada se necesita un filtro análogo a la ranura para ondas mecánicas de la figura 33.19c. Los filtros polarizadores para ondas electromagnéticas tienen diferentes detalles de construcción, según la longitud de onda de que se filtre. En el caso de microondas con una longitud de onda de unos pocos centímetros, un buen polarizador es una serie de alambres conductores paralelos muy próximos entre si y aislados unos de otros. (Algo así como una parrilla para asar carne en la que el anillo metálico externo se ha sustituido por un anillo aislante). Los electrones tienen libertad de movimiento a lo largo de los alambres conductores, y se mueven en respuesta a una onda cuyo campo E es paralelo a los alambres. Las corrientes resultantes en los alambres disipan energía por calentamiento de I2R; la energía disipada proviene de la onda, por lo que la amplitud de toda onda que pasa a través de la rejilla se reduce considerablemente. Las ondas cuyo E está orientado perpendicularmente a los alambres pasan prácticamente intactas, pues los electrones no se pueden desplazar a través del aire que separa los alambres. En consecuencia, una onda que atraviese un filtro de esta naturaleza quedará polarizada principalmente en la dirección perpendicular a los alambres. Filtro Polaroid este material contiene sustancias que presentan dicroísmo, una absorción selectiva en la que uno de los componentes polarizados se absorbe mucho más intensamente que el otro (Fig. 33.20). Un filtro Polaroid transmite el 80 % o más de la intensidad de las ondas polarizadas paralelamente a cierto eje del material, conocido como eje de polarización, pero sólo el 1% o menos de las ondas polarizadas perpendicularmente a este eje. Un filtro polarizador ideal permite el paso del 100% de la luz incidente que está polarizada en la dirección del eje de polarización, pero bloquea totalmente la luz polarizada perpendicularmente a este eje.

El vector E de la onda incidente se puede representar en términos de las componentes paralela y perpendicular al eje de polarización; sólo se transmite la componente de E paralela al eje de polarización. En consecuencia, la luz que emerge del polarizador está linealmente polarizada en la dirección paralela al eje de polarización. Cuando incide luz no polarizada en un polarizador ideal, como en la figura 33.21, la intensidad de la luz transmitida es exactamente la mitad de intensidad de la luz incidente no polarizada, no importa cómo esté orientado el eje de polarización. La razón es la siguiente. Podemos resolver el campo E de la onda incidente en una componente paralela al eje de polarización y una componente perpendicular a él. Debido a que la luz incidente es una mezcla aleatoria de todos los estados de polarización, estas dos componentes, en promedio, son iguales. El polarizador ideal transmite únicamente la componente paralela al eje de polarización, por lo que sólo se transmite la mitad de la intensidad incidente.

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Para establecer la dirección de polarización de la luz transmitida por el primer polarizador, se hace girar el analizador hasta que la intensidad medida por la foto celda de la figura 33.22 es de cero; en ese momento el eje de polarización de! primer polarizador es perpendicular al del analizador.

Ley de Malus Para hallar la intensidad transmitida a valores intermedios del ángulo Φ, la intensidad de una onda electromagnética es proporcional al el/adrado de la amplitud de la onda. La razón de la amplitud transmitida respecto a la incidente es cos Φ; por tanto, la razón de la intensidad transmitida respecto a la incidente es cos2 Φ. Por consiguiente, la intensidad de la luz transmitida a través del analizador es

Donde lmax es la intensidad máxima de la luz transmitida (en Φ=O) e I es la cantidad transmitida en el ángulo Φ. Esta relación se conoce como la ley de Malus. La ley de Malus se aplica sólo si la luz incidente que pasa a través del analizador ya está linealmente polarizada. Polarización circular y elíptica Supóngase ahora, en cambio, que las dos ondas de igual amplitud difieren en cuanto a su fase en un cuarto de ciclo. Entonces el movimiento resultante corresponde a una superposición de dos movimientos armónicos simples en ángulo recto, con una diferencia de fase de un cuarto de ciclo. El desplazamiento y en un punto es máximo en los momentos en que el desplazamiento z es cero, y viceversa. En estas condiciones, el movimiento de la cuerda en conjunto ya no tiene lugar en un solo plano. Se puede demostrar que cada punto de la cuerda describe un círculo en un plano paralelo al plano Z. Los puntos sucesivos de la cuerda tienen diferencias de fase sucesivas, y el movimiento global de la cuerda tiene la apariencia de una hélice en rotación. Esto se muestra a la izquierda del filtro polarizador en la figura 33.19c. Esta superposición particular de dos ondas linealmente polarizadas se conoce como polarización circular. Por convención, se dice que la onda está circularmente polarizada por la derecha cuando el sentido del movimiento de una partícula de la cuerda, para un observador que mira hacia atrás a lo largo de la dirección de propagación, es en el sentido de las manecillas del reloj; se dice que la onda está circularmente polarizada por la izquierda si el sentido de movimiento es inverso. La figura 33.27 muestra la situación análoga correspondiente a una onda electromagnética. Se superponen dos ondas sinusoidales de igual amplitud, polarizadas en las direcciones y y z y con una diferencia de fase de un cuarto de ciclo. El resultado es una onda en la cual el vector E tiene en cada punto una magnitud constante, pero gira en torno a la dirección de propagación. Si la onda de la figura 33.27 se propaga hacia el observador, se trata de una onda electromagnética circularmente polarizada por la derecha. Si la diferencia de fase entre las dos ondas componentes es otra distinta de un cuarto de ciclo, O si las dos ondas componentes tienen diferente amplitud, entonces cada punto de la cuerda no describe un círculo, sino una elipse. Se dice que la onda resultante está elípticamente polarizada.

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Polarización por reflexión Cuando la luz se refleja en una superficie plana sufre una polarización parcial en el plano perpendicular al plano de incidencia. Variando de modo contínuo el ángulo de incidencia, si se dispone de algún instrumento que permita analizar el grado de polarización de la luz reflejada, se observará que ésta es máxima para cierto ángulo, conocido como ángulo de Brewster. Más adelante se justificará este hecho en función del ángulo de incidencia y del índice de refracción de los medios en que ocurre el fenómeno. Este efecto tiene lugar en algunas situaciones cotidianas, como por ejemplo en las puestas o salidas de sol sobre el mar o sobre un lago, que forman superficies reflectantes relativamente planas. La luz procedente del reflejo sobre el agua está fuertemente polarizada, de modo que si se quiere reducir su intensidad en una fotografía se debe utilizar un filtro polarizador en un ángulo de polarización adecuado, dependiendo del efecto que se quiera producir en la imagen. Polarización por absorción: láminas polarizadoras

Desde antiguo se conoce la propiedad de algunos minerales que, tallados en la orientación adecuada, son capaces de absorber fuertemente la radiación que vibra en uno de los planos, dejando pasar la otra. De hecho lo que sucede es que, al entrar una onda en cualquier medio anisótropo, se desdobla en dos linealmente polarizadas, las cuales atraviesan en cristal con velocidades y propiedades distintas. Puede ocurrir que la absorción producida sobre una de ellas sea muy importante respecto de la otra, y que la luz que emerge de la lámina de cristal esté formada de modo casi exclusivo por una de las ondas, que estará linealmente polarizada. Este hecho se detectó desde hace mucho tiempo en la turmalina, y las llamadas “pinzas de turmalina” han sido uno de los artilugios más utilizados para mostrar la polarización de la luz hasta la generalización de las láminas polarizadoras, comercializadas por primera vez por la firma Polaroid, cuyo nombre comercial ha dado lugar a la denominación popular de estas láminas.

Las láminas polarizadoras no son otra cosa que hojas de cierto plástico cuyas propiedades absorbentes de una de las ondas producidas son suficientes como para que, al emerger, prácticamente toda la luz se pueda considerar linealmente polarizada. El fenómeno es el mismo que en las láminas de turmalina, pero su eficacia es mayor y la absorción total (de ambas ondas) menor, lo cual las hace útiles como elementos polarizadores para la mayoría de las experiencias rutinarias en Óptica: de hecho son los elementos de polarización que incorporan la inmensa mayoría de los microscopios de polarización. Estas láminas polarizantes tienen un buen rendimiento como tales en la totalidad del espectro visible e infrarojo cercano, pero dejan de ser efectivas en el ultravioleta, para cuyas radiaciones hay que emplear otro tipo de elemento polarizador, como por ejemplo un prisma de Nicol. Polarización por doble refracción: el prisma de Nicol

La luz que atraviesa un medio anisótropo se desdobla en dos ondas polarizadas con los planos de polarización mutuamente perpendiculares. Un dispositivo experimental que fuese capaz de eliminar una de las ondas y dejar pasar la otra sería un buen polarizador. Este dispositivo fué inventado por William Nicol en 1828. El prisma diseñado por Nicol (conocido universalmente por prisma de Nicol, o simplemente Nicol) consistía en esencia en un romboedro de calcita cortado en dos partes (comomuestra la Figura 5) unidas mediante bálsamo del Canadá, una substancia natural transparente de índice de refracción muy cercano a 1.5, aunque actualmente se utilizan resinas sintéticas. El haz luminoso que entra por uno de los extremos se desdobla en dos haces linealmente polarizados que siguen trayectorias distintas (siguen el camino de los rayos luminosos), uno corresponde a la onda extraordinaria, y otro a la ordinaria. Ambos haces llegan a la superficie de resina (n=1.5) bajo

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ángulos de incidencia distintos. El del ordinario (cuyo índice es superior al de la resina) es superior al ángulo límite y, por tanto, sufre reflexión total y es absorbido por las paredes de la montura del prisma. El otro, de índice muy parecido al de la resina pasa sin desviarse y atraviesa el conjunto del prisma, de modo que a la salida se recoge un haz de luz linealmente polarizada. La operatividad de este dispositivo se veía limitada por la absorción de la resina en la zona ultravioleta. Desarrollos posteriores, como el prisma de Glan-Foucault, sustituyen la resina por aire, y otros prismas modifican ligeramente la geometría del romboedro de exflociación para mejorar la apertura numérica del sistema aunque, en esencia, el fenómeno que tiene es el descrito para el prisma de Nicol. Fotoelasticidad La Fotoelasticidad es una técnica experimental para la medición de esfuerzos y deformaciones. Se basa en el uso de luz para dibujar figuras sobre piezas Que están siendo sometidas a esfuerzos. Las figuras que se dibujan son semejantes a las mostradas al realizar un análisis de elementos finitos ya que se pueden observar contornos y colores. La medición se logra al evaluar el cambio del índice de refracción de la pieza al someterse a una carga (piezas trasparentes). En el caso de una pieza no trasparente, se cubre la pieza con una resina birrefringente. Actividad óptica La rotación óptica o actividad óptica es la rotación de la polarización lineal de la luz cuando viaja a través de ciertos materiales. Suele ser un fenómeno que ocurre en soluciones que presentan moléculas tales como la sacarosa (azúcar), sólidos con píanos cristalinos rotados, tales como el cuarzo, y la polarización circular de gases atómicos o moleculares. Se emplea en la industria de elaboración de azúcar para medir en los siropes la concentración de azúcares, en óptica para manipular la polarización, en química para caracterizar sustancias en solución acuosa, y en medicina está siendo evaluado en la actualidad como un método de determinación de la concentración de azúcar en sangre en casos de personas que sufren la diabetes. La actividad óptica es una especie de birrefringencia. Cualquier polarización lineal de la luz puede ser escrita como una combinación equilibrada de polarización a derechas (RHC) y polarizada circularmente a izquierdas (LHC):

donde E es el campo eléctrico de la luz. La fase relativa entre las dos polarizaciones circulares es 2θ0, esto hace que la polarización lineal quede en el estado θ0. En un material ópticamente activo las dos polarizaciones circulares experimentan una trayectoria diferente debido al índice de refracción. La diferencia entre los índices de refracción hace que exista una diferencia de camino óptico entre ellos al recorrer el material, ∆n = nRHC − nLHC. Esta característica es muy habitual en los materiales (para sustancias en solución que tienen una rotación específica). Tras viajar a través de una longitud L de material las dos polarizaciones tienen una fase relativa de magnitud

, Donde λ es la longitud de onda de la luz (en el vacío). Consecuentemente, la polarización final es la rotación del plano de polarización un ángulo igual a: θ0 + ∆θ. Generalmente el índice de refracción depende de la longitud de onda (véase dispersión). La variación en la rotación con una longitud de onda dada se denomina dispersión óptica rotatoria (ORD). El espectro de ORD y el dicroísmo circular están íntimamente relacionados mediante las relaciones de Kramers-Kronig. Si se conoce el espectro completo de un tipo, se puede mediante estas relaciones conocer el espectro del otro. En resumen, el grado de rotación depende del color de la luz (la línea D del sodio cerca de los 589 nm de longitud de onda se emplea comúnmente para estas medidas), de la longitud óptica L y de las propiedades del material (es decir ∆n o rotación específica y/o concentración). Interferencia Interferencia y fuentes coherentes

El término interferencia se refiere a toda situación en la que dos o más ondas se traslapan en el espacio. Cuando esto ocurre, la onda total en cualquier punto y en todo momento está gobernada por el principio de superposición, que establece lo siguiente: Cuando se traslapan dos o más ondas, el desplazamiento resultante en cualquier punto y en cualquier instante se halla sumando los

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desplazamientos instantáneos que producirían en el punto las ondas individuales sí cada una estuviera presente sola. Los efectos de interferencia se observan con facilidad cuando se combinan ondas sinusoidales de una sola frecuencia f y longitud de onda λ. La figura 35.1 muestra una " instantánea" o "imagen congelada" de una fuente única S1 de ondas sinusoidales y algunos de los frentes de onda que esta fuente produce. Interferencia de dos frentes (Rendija doble) Cuando ondas idénticas provenientes de dos fuentes de luz se sobreponen en un punto del espacio, su intensidad combinada allí puede ser mayor o menor que la de una de estas dos ondas. A este efecto lo llamamos INTERFERENCIA. Esta puede ser constructiva cuando la intensidad neta es más grande que las intensidades individuales o destructivas cuando la intensidad total es más pequeña que las individuales. Independientemente de que la interferencia sea constructiva o destructiva depende siempre de la fase relativa de las dos ondas. Supondremos que la relación de fase entre estas dos ondas no cambia con el tiempo. Se dice que esas ondas son coherentes . Una fuente de luz (no se muestra) emite luz monocromática; sin embargo, esta luz no es idónea para un experimento de interferencia porque las emisiones de las diferentes partes de una fuente ordinaria no están sincronizadas. Para remediar esto, se dirige la luz hacia una pantalla con una ranura estrecha So, de aproximadamente 1 µm de ancho. La luz que emerge de la ranura proviene sólo de una región pequeña de la fuente luminosa; por tanto, la ranura So se comporta en mayor medida como la fuente idealizada de la figura 35.1. (En las versiones modernas de este experimento se utiliza un láser como fuente de luz coherente, y la ranura So no es necesaria). La luz que emana de la ranura Ro ilumina una pantalla con otras dos ranuras estrechas S1 y S2 cada una de aproximadamente 1 µm de ancho y a unas pocas decenas o centenas de micrómetros de distancia de la otra. A partir de la ranura So se propagan frentes de onda cilíndricos, los cuales alcanzan las ranuras S1 y S2 en fase porque recorren distancias iguales desde So. Por consiguiente, las ondas que emergen de las ranuras SI y S2 también están en fase, por lo que SI y S2 son fuentes coherentes. La interferencia de las ondas procedentes de SI y S2 crea un patrón en el espacio como el que aparece a la derecha de las fuentes en las figuras 35.2a y 35.3. Para visualizar el patrón de interferencia, se coloca una pantalla de modo que la luz proveniente de S1 y S2 incida sobre ella (Fig. 35.5b). Se observa que la pantalla está iluminada con intensidad máxima en los puntos P, donde las ondas luminosas provenientes de las ranuras interfieren constructivamente, y se ve más oscura en los puntos donde la interferencia es destructiva. Para simplificar el análisis del experimento de Young, supondremos que la distancia R de las ranuras a la pantalla es tan grande en comparación con la distancia d entre las ranuras que las líneas de S1 y S2 a P son prácticamente paralelas, como en la figura 35.5c. Éste suele ser el caso en los experimentos con luz; la separación entre las ranuras es típicamente de unos pocos milímetros, en tanto que la pantalla puede estar a un metro o más de distancia. La diferencia de longitud de trayectos es entonces

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donde θ es el ángulo entre una recta que va de las ranuras a la pantalla (en azul en la figura 35.5c) y la normal al plano de las ranuras (la recta negra fina) . En la sección 35.1 encontramos que hay interferencia constructiva (refuerzo) en los puntos donde la diferencia de trayecto d sen θ es un número entero de longitudes de onda, mλ, donde m = O, ± 1 , ±2, ±3,… Por tanto, las regiones brillantes de la pantalla se presentan en ángulos θ en los cuales

De modo análogo, hay interferencia destructiva (cancelación), con formación regiones oscuras en la pantalla, en los puntos donde la diferencia de trayecto es un número semi entero de longitudes de onda, (m + 1/2 )λ:

En consecuencia, el patrón de la pantalla de las figuras 35.5a y 35.5b es una sucesión de bandas brillantes y oscuras, o franjas de interferencia, paralelas a las ranuras S1 y S2. El centro del patrón es una banda brillante que corresponde a m=O en la ecuación (35.4); este punto de la pantalla es equidistante de las dos ranuras. Podemos deducir una expresión de la posición de los centros de las bandas brillantes en la pantalla. En la figura 35.5b, y se mide desde el centro del patrón, y corresponde a la distancia desde el centro de la figura 35.6. Sea ym, la distancia del centro del patrón (θ = O) al centro de la banda brillante número m. Sea θe el valor correspondiente de θ; entonces,

En experimentos como éste, las distancias Ym suelen ser mucho más pequeñas que la distancia R de las ranuras a la pantalla. Por tanto, θe es muy pequeño, tan θm es prácticamente igual a sen θm, Y

Combinando esto con la ecuación (35.4), encontramos que, sólo si los ángulos son pequeños,

Podemos medir R y d, así como las posiciones Ym de las franjas brillantes, por lo que este experimento permite medir directamente la longitud de onda λ. El experimento de Young fue, de hecho, la primera medición directa de longitudes de onda de luz. Amplitud en la interferencia de dos fuentes

Intensidad en la interferencia de dos fuentes

Diferencia de fase y diferencia de trayecto

Interferencia en películas finas Al reflejar la luz sobre paredes delgadas se observan colores (como por ejemplo en una burbuja de jabón). El espesor de estas paredes delgadas es del orden de magnitud de la longitud de onda de la luz. La situación se muestra de forma esquemática en la figura 35.10. La luz que ilumina la superficie superior de una película fina de espesor e se refleja parcialmente en esa superficie (trayecto abc). La luz que se transmite a través de la superficie superior se refleja parcialmente en la superficie inferior (trayecto abcdf). Las dos ondas reflejadas se encuentran en el punto P de la retina del ojo. De acuerdo con la relación de fase, las ondas interfieren constructiva o destructivamente. Los distintos colores tienen longitudes de onda diferentes, por lo que la interferencia puede ser constructiva en el caso de ciertos colores y destructiva en el de otros.

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El siguiente es un ejemplo en el que interviene luz monocromática que se refleja en dos superficies casi paralelas a una incidencia casi normal. La figura 35.11muestra dos placas de vidrio separadas por una cuña o película fina de aire. Nos proponemos considerar la interferencia entre las dos ondas luminosas que se reflejan en las superficies adyacentes a la cuña de aire, como se muestra. (También hay reflexiones en la superficie superior de la placa de arriba y en la superficie inferior de la placa de abajo; para no complicar nuestro análisis, no incluiremos éstas). La situación es la misma que en la figura 35.10 excepto que el espesor de la película (cuña) no es uniforme. La diferencia de trayecto entre las dos ondas es exactamente el doble del espesor e de la cuña de aire en cada punto. En los puntos donde 2e es un número entero de longitudes de onda, esperamos ver interferencia constructiva y un área brillante; donde hay un número semientero de longitudes de onda, esperamos ver interferencia destructiva y un área oscura. A lo largo de la línea donde las placas están en contacto, prácticamente no hay diferencia de trayecto, y es de esperar un área brillante. Cuando llevamos a cabo el experimento, las franjas brillantes y oscuras aparecen, pero están intercambiadas! A lo largo de la línea donde las placas están en contacto encontramos una franja oscura, no una brillante. Esto sugiere que una o la otra de las ondas reflejadas ha sufrido un desplazamiento de fase de medio ciclo durante su reflexión. En ese caso las dos ondas que se reflejan en la linea de contacto están medio ciclo fuera de fase, no obstante que tienen la misma longitud de trayecto. De hecho, este desplazamiento de fase es predecible con base en las ecuaciones de Maxwell y la naturaleza electromagnética de la luz. Los detalles de la deducción quedan fuera de nuestro alcance, pero el resultado es el siguiente. Supóngase que una onda luminosa con amplitud de campo eléctrico Ei se propaga en un material óptico de índice de refracción na, e incide en dirección normal en una interfaz con otro material óptico de índice nb. La amplitud E, de la onda reflejada en la interfaz es proporcional a la amplitud Ei de la onda incidente, y viene dada por

Podemos resumir este análisis en términos matematicos. Si la película tiene un espesor e, la luz incide en dirección normal y tiene una longitud de onda λ en la película; si ninguna, o si ambas ondas reflejadas en las dos superficies tienen un desplazamiento de fase de medio ciclo por reflexión, la condición para que haya interferencia constructiva es

En cambio, cuando una de las dos ondas tiene un desplazamiento de fase de medio ciclo por reflexión, esta ecuación representa la condición para que haya interferencia destructiva. De modo análogo, si ninguna, o si ambas ondas tienen un desplazamiento de fase de medio ciclo, la condición para que haya interferencia destructiva en las ondas reflejadas es

(Reflexión destructiva en película delgada, sin desplazamiento relativo de fase)

En cambio, si una de las ondas tiene un desplazamiento de fase de medio ciclo, ésa es la condición para que haya interferencia constructiva.

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Difracción Es una desviación hacia una nueva dirección de las ondas que encuentran un objeto (una barrera o una abertura) en su camino. Difracción desde una sola ranura El patrón de difracción que foona la luz monocromátíca de ondas planas (rayos paralelos) cuando emerge de una ranura larga y angosta, como se muestra en la figura 36.3. Llamaremos ancho a la dimensión angosta, no obstante que en esta figura se trata de una dimensión vertical. De acuerdo con la óptica geométrica, el haz transmitido debería tener la misma sección transversal que la ranura, como en la figura 36.3a. Lo que se observa en efecto es el patrón que se muestra en la figura 36.3b. El haz se ensancha en sentido vertical después de pasar por la ranura. El patrón de difracción consiste en una banda central brillante, que puede ser mucho más amplia que el ancho de la ranura, bordeada de bandas oscuras y brillantes alternas cuya intensidad decrece rápidamente. Al rededor del 85% de la potencia del haz transmitido se encuentra en la banda central brillante, cuya anchura resulta ser inversamente proporcional al ancho de la ranura. En general, cuando menos ancha es la ranura, tanto más amplio es el patrón de difracción en su totalidad. (El ensanchamiento horizontal del haz en la figura 36.3b es insignificante, porque la dimensión horizontal de la ranura es relativamente grande). Es fácil observar un patrón de difracción similar mirando una fuente puntual, como un farol distante, por ejemplo, a través de una abertura angosta formada entre dos dedos y colocada delante del ojo; la retina del ojo corresponde a la pantalla.

Para calcular la intensidad resultante en el punto P sumando las contribuciones de las onditas individuales, teniendo en cuenta como es debido sus diversas fases y amplitudes. Resulta mucho más fácil hacer

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este cálculo si suponemos que la pantalla está lo suficientemente lejos como para que todos los rayos que van de diversas partes de la ranura a un punto P específico de la pantalla sean paralelos, como en la figura 36.4c. Una situación equivalente es la que se representa en la figura 36.4d, donde los rayos que inciden en la lente son paralelos y la lente forma una imagen reducida del patrón que se formaría en una pantalla infinitamente distante sin la lente. Cabria esperar que los diversos trayectos de la luz a través de la lente introdujesen nuevos desplazamientos de fase pero, de hecho, se puede demostrar que todos los trayectos tienen desplazamientos de fase iguales, por lo que esto no representa un problema. Podemos deducir de forma muy simple las características más importantes del patrón de difracción de Fraunhofer correspondiente a una sola ranura. Considérense en primer término dos tiras largas, una inmediatamente debajo del borde superior del dibujo de la ranura y otra en su centro, la cual se muestra vista desde un extremo en la figura 36.5. La diferencia de longitud de trayecto al punto P es (a/2) sen θ, donde a es el ancho de la ranura y θ, el ángulo entre la perpendicular a la ranura y una recta del centro de la ranura a P. Supóngase que esta diferencia de trayecto resulta ser igual a λ/2; entonces la luz proveniente de estas dos tiras alcanza el punto P con una diferencia de fase de medio ciclo, y hay cancelación. De modo análogo, la luz proveniente de dos tiras inmediatamente debajo de las dos de la figura también llega a P medio ciclo fuera de fase. De hecho, la luz proveniente de cada una de las tiras de la mitad superior de la ranura cancela la luz proveniente de una tira correspondiente de la mitad inferior. El resultado es una cancelación total en P de la luz combinada que llega de toda la ranura, y se forma una franja oscura en el patrón de interferencia. Es decir, se presenta una franja oscura siempre que

El signo de mas o menos (±) de la ecuación (36.1) significa que hay franjas oscuras simétricas arriba y abajo del punto O de la figura 36.5a. La franja superior (θ> O) aparece en un punto P donde la luz proveniente de la mitad inferior de la ranura recorre λ/2 más para llegar a P que la luz procedente de la mitad superior; la franja inferior (θ < O) se presenta donde la luz proveniente de la mitad superior recorre λ /2 más que la luz procedente de la mitad inferior. También podemos dividir la pantalla en cuartos, sextos, etcétcra, y utilizar el argumento anterior para demostrar que se presenta una franja oscura siempre que

Y así sucesivamente. Así pues, la condición para que haya una franja oscura es

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Por ejemplo, si el ancho de ranura es igual a diez longitudes de onda (a= 10λ), aparecen franjas oscuras en

Entre las franjas oscuras hay franjas brillantes. Advertimos además que sen = O corresponde a una banda brillante; en este caso, la luz de toda la ranura llega a P en fase. Por tanto, sería erróneo incluir m = O en la ecuación (36.2). La franja central brillante es más ancha que las otras franjas brillantes, como lo muestra la figura 36.3. En la aproximación de ángulos pequeños que utilizaremos en seguida, es exactamente dos veces mas ancha. Con luz, la longitud de onda λ es del orden de 500 µm = 5 x 10-7 m. Este valor es frecuentemente mucho más pequeño que el ancho de ranura a; un ancho de ranura representativo es de 10-2 cm=10-4 m. Por consiguiente, los valores de θ en la ecuación (36.2) suelen ser tan pequeños que la aproximación sen θ=θ (donde θ está en radianes) es muy buena. En ese caso podemos reformular esta ecuación como

Donde θ está en radianes. Asimismo, si la distancia de la ranura a la pantalla es x, como en la figura 36.5a, y la distancia vertical de la banda oscura número m al centro del patrón es ym entonces

Si θ es pequeño también podemos tomar θ (en radianes) como aproximación de tan θ , y entonces resulta que

La figura 36.6 es una fotografia de un patrón de difracción de una sola ranura en el que se han identificado los mínimos m= ±1, ±2 Y ±3.

Intensidad en el patrón de una sola ranura

Diferencia de fase β

Las franjas oscuras del patrón son los lugares donde / = O, Éstos se presentan en puntos donde el numerador de la ecuación (36.5) es cero, por lo que β es un múltiplo de 2π. De acuerdo con la ecuación (36.6) esto corresponde a

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Esto concuerda con nuestro resultado anterior: la ecuación (36.2). Adviértase una vez más que β=O (correspondiente a θ=O) no es un mínimo. La ecuación (36.5) no está definida en β=O, pero podemos evaluar el límite cuando β O mediante la regla de L'Hópital. Encontramos que, en β= 0,I= lo como es de esperar. Intensidad máxima

donde Im es la intensidad del máximo lateral número m e lo es la intensidad del máximo central. La ecuación (36.10) proporciona la serie de intensidades 0.0450I0 ,0.0 162I0 ,0.0083I0 y así sucesivamente. Anchura del patrón de una sola ranura En el caso de las ondas luminosas, la longitud de onda λ suele ser mucho más pequeña que el ancho de ranura a, y los valores de θ en las ecuaciones (36.6) y (36.7) son tan pequeños que la aproximación sen θ = O es muy buena. Con esta aproximación, la posición θ1 del primer mínimo al lado del máximo central, que corresponde a β/2 = π, es, según la ecuación (36.7),

Esto caracteriza la anchura (extensión angular) del máximo central, y vemos que es inversamente proporcional al ancho de ranura a. Cuando la aproximación de ángulos pequeños es válida, el máximo central es exactamente dos veces más ancho que cada máximo lateral. Cuando a es del orden de un centímetro o más, θ1 es tan pequeño que podemos considerar que prácticamente toda la luz está concentrada en el foco geométrico. Pero cuando a es menor que λ, el máximo central abarca 180° y no se observa el patrón de franjas. Ranuras múltiples Dos ranuras de ancho finito Examinemos de nuevo el patrón de dos ranuras en el caso más realista en el que las ranuras tienen un ancho finito. Si las ranuras son angostas en comparación con la longItud de onda, podemos suponer que la luz proveniente de cada ranura se extiende de modo unifonne en todas direcciones a la derecha de la ranura. Hicimos esta suposición para calcular el patrón de interferencia descrito por la ecuación (36.10) o (36.15), consistente en una serie de máximos igualmente intensos y espaciados. Sin embargo, cuando las ranuras tienen un ancho finito, las crestas del patrón de interferencia de dos ranuras están moduladas por el patrón de difracción de una sola ranura característico del ancho de cada ranura. La figura 36.11 a muestra la intensidad en un patrón de difracción de una sola ranura de ancho a. Los mínimos de difracción están identificados mediante el entero md = ± 1, ± 2, ... ("d" de difracción). La figura 36.11 b muestra el patrón que forman dos ranuras muy angostas separadas por una distancia d, donde d es equivale a cuatro veces el ancho a de la ranura única de la figura 36.11 a; esto es, d = 4a. Los máximos de interferencia están identificados mediante el entero m¡ = ± 1, ± 2, ... ("i" de "interferencia"). Advertimos que la separación entre mínimos adyacentes en el patrón de una sola ranura es cuatro veces mayor que en el patrón de dos ranuras. Supóngase ahora que ensanchamos cada una de las ranuras angostas hasta el mismo ancho a de la ranura única de la figura 36.11 a. La figura 36. 11c muestra el patrón que forman dos ranuras de ancho a separadas por una distancia (entre centros) d = 4a. El efecto del ancho finito de las ranuras consiste en superponer los dos patrones, es decir, en multiplicar las dos intensidades en cada punto. Los máximos correspondientes a dos ranuras están en las mismas posiciones que antes, pero su intensidad está modulada por el patrón de una sola ranura, el cual actúa como una "envolvente" de la función de intensidad. La expresión de la intensidad que se muestra en la figura 36.11 e es proporcional al producto de las expresiones correspondientes a dos ranuras y a una sola ranura [ecuaciones (35.10) y (36.5):

donde, al igual que antes,

Adviértase que en la figura 36.11c falta cada cuarto máximo de interferencia a los lados, porque estos máximos de interferencia (mi = ±4, ± 8; …) coinciden con mínimos de difracción (md = ± 1, ± 2, ... ). Esto también se observa en la figura 36.11 d, que es una fotografía de un patrón real con d = 4a. Usted debe poder convencerse por su cuenta de que habrá máximos "faltantes" siempre que d es un múltiplo entero de u.

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Las figuras 36. 11c y 36.11d muestran que, a medida que aumenta la distancia respecto al máximo central brillante del patrón de dos ranuras, la intensidad de los máximos disminuye. Esto es consecuencia del patrón de modulación de una sola ranura que se muestra en la figura 36.11 a; en términos matemáticos, la disminución de intensidad se debe al factor (8/2)2 del denominador de la ecuación (36.12). Esta disminución de intensidad tambien se observa en la figura 35.6 (sección 35.2). Cuando más angostas son las ranuras, tanto más amplio es el patrón de una sola ranura (como en la figura 36.9) y más lenta la disminución de intensidad de un máximo de interferencia al siguiente. ¿Debemos llamar interferencia o difracción al patrón de la figura 36.11d? En realidad es ambas cosas, pues es el resultado de la superposición de ondas provenientes de diversas partes de las dos aberturas. No existe una auténtica distinción fundamental entre interferencia y difracción. Varias ranuras Consideremos ahora los patrones que producen varias ranuras muy angostas. Como veremos, los sistemas de ranuras angostas tienen una importancia práctica enorme en la espectroscopia, la determinación de las longitudes de onda especificas de la luz que emana de una fuente. Supóngase que cada ranura es estrecha en comparación con la longitud de onda, por lo que su patrón de difracción se extiende de modo casi uniforme. La figura 36.12 muestra un conjunto de ocho ranuras angostas, con una distancia d entre ranuras adyacentes. Sufren interferencia constructiva los rayos que forman un ángulo () con la normal y que llegan al punto P con una diferencia de trayecto entre ranuras adyacentes igual a un número entero de longitudes de onda:

Esto significa que hay reforzamiento cuando la diferencia de fase φ en P de la luz proveniente de ranuras adyacentes es un múltiplo entero de 2π. Es decir, los máximos del patrón aparecen en las mismas posiciones que en el caso de dos ranuras con la misma separación. En esta medida el patrón se asemeja al patrón de dos ranuras. Pero, ¿qué ocurre entre los máximos? En el patrón de dos ranuras hay exactamente un mínimo de intensidad situado a medio camino entre cada par de máximos, el cual corresponde a los ángulos a los que la diferencia de fase entre ondas provenientes de las dos fuentes es de 1 π, 3 π, 5 π, Y así sucesivamente. En el patrón de ocho ranuras estos también son mínimos porque la luz que llega de ranuras adyacentes se cancela por pares, lo cual corresponde al diagrama de fasores de la figura 36.13a. Pero no son éstos los únicos mínimos del patrón de ocho ranuras. Por ejemplo, cuando la diferencia de fase φ correspondiente a fuentes adyacentes es de π /4, el diagrama de fasores es como se muestra en la figura 36.13b; el fasor total (resultante) es cero y la intensidad es cero. Cuando φ = π /2, se tiene el diagrama de fasores de la figura 36.13c, y nuevamente el fasor total y la intensidad son cero. En términos más generales, la intensidad con ocho ranuras es cero siempre que φ es un múltiplo entero de π /4, salvo cuando φ es un múltiplo de 2 π. Asi pues, hay siete mínimos por cada máximo. Un cálculo pormenorizado muestra que el patrón de ocho ranuras es como se muestra en la figura 36.14b. Los máximos grandes, llamados máximos principales, están en la misma posición que en el caso del patrón de dos ranuras de la figura 36.14a, pero son mucho más angostos. Si la diferencia de fase φ entre ranuras adyacentes difiere levemente de un múltiplo de 2 π, las ondas provenientes de las ranuras 1 y 2 estará sólo un poco fuera de fase; sin embargo, la diferencia de fase entre las ranuras 1 y 3 será mayor, la diferencia entre las ranuras 1 y 4 será aún más grande, y así sucesivamente. Esto da lugar a una cancelación parcial en el caso de los ángulos que difieren sólo levemente del ángulo correspondiente a un máximo, y forma los máximos estrechos de la figura 36.14b. Los máximos son aún más angostos con dieciséis ranuras (Fig. 36. 14c).

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Le dejamos a usted la tarea de demostrar que, cuando hay N ranuras, hay (N - 1) mínimos entre cada par de los máximos principales, y se presenta un mínimo siempre que φ es un múltiplo entero de 2 π /N (salvo cuando φ es un múltiplo entero de 2 π, en cuyo caso se tiene un máximo principal). Hay pequeños máximos secundarios de intensidad entre Ios mínimos; éstos se reducen en comparación con el máximo principal a medida que N aumenta. Cuando mayor es el valor de N, tanto más estrechos se toman los máximos principales. Desde el punto de vista energético, la potencia total del patrón en su totalidad es proporcional a N. La altura de cada máximo principal es proporcional a N2 , de modo que, por la conservación de la energía, la anchura de cada máximo principal debe ser proporcional a 1/N. Como veremos en la siguiente sección, la estrechez de los máximos principales de un patrón de ranuras múltiples es de gran importancia práctica en física y en astronomía. Rejilla de difracción Hemos visto que si se aumenta el número de ranuras en un experimento de interferencia (manteniendo constante la separación entre ranuras adyacentes), se obtienen patrones de interferencia donde los máximos ocupan las mismas posiciones que con dos ranuras, pero son progresivamente más marcados y angostos. Por ser estos máximos tan marcados, se puede medir con una precisión muy grande su posición angular y, por tanto, su longitud de onda. Como veremos, este efecto tiene muchas aplicaciones prácticas importantes. Una serie de ranuras paralelas en gran número, todas del mismo ancho a y separadas por distancias iguales d entre sus centros, recibe el nombre de rejilla de difracción. Fraunhofer construyó la primera con alambres finos. Se pueden hacer rejillas rascando con un diamante muchos surcos igualmente espaciados sobre una superficie de vidrio o metal, o por reducción fotográfica de un patrón de tiras blancas y negras sobre papel. En el caso de una rejilla, se suele llamar rayas o líneas a lo que aquí hemos llamado ranuras. En la figura 36.15, GG' es una sección transversal de una rejilla de transmisión; las ranuras son perpendiculares al plano de la página y la luz que se transmite a través de las ranuras forma un patrón de interferencia. El diagrama muestra sólo seis ranuras; una rejilla real puede contener varios miles. La separación d entre los centros de rejillas adyacentes se conoce como el espaciado de rejilla. Una onda monocromática plana incide en dirección normal sobre la rejilla desde el lado izquierdo. Suponemos condiciones de campo lejano (Fraunhofer); es decir, el patrón se forma sobre una pantalla lo suficientemente alejada como para considerar como paralelos a todos los rayos que emergen de la rejilla y se dirigen hacia un punto determinado de la pantalla. En la sección 36.4 vimos que los máximos principales de intensidad con ranuras múltiples se forman en las mismas direcciones que en el caso del patrón de dos ranuras. Estas direcciones son aquel respecto a las cuales la diferencia correspondiente a ranuras adyacentes es un número entero de longitudes de onda. Por tanto, las posiciones de los máximos están dadas una vez más por

Los palrones de intensidad correspondientes a dos, ocho y dieciséis ranuras que se ilustran en la figura 36.14 muestran el aumento gradual de agudeza de los máximos a medida que crece el número de ranuras. Cuando se ilumina con un haz de rayos paralelos de luz monocromática una rejilla con cientos de miles de ranuras, el patrón es una serie de líneas muy marcadas en ángulos determinados por la ecuación (36.13). Las líneas m = ± 1 se llaman líneas de primer orden, las líneas m = ±2, líneas de segundo orden, y así sucesivamente. Si se ilumina la rejilla con luz blanca con una distribución continua de longitudes de onda, cada valor de m corresponde a un espectro continuo en el patrón. El ángulo correspondiente a cada longitud de onda está determinado por la ecuación (36.13); con respecto a un valor dado de m, las longitudes de onda largas (el extremo rojo del espectro) se encuentran a ángulos más grandes (es decir, se desvían más de la dirección recta) que las longitudes de onda más cortas del extremo violeta del espectro. Como se ve con la ecuación (36.13), el seno del ángulo de desviación de los máximos es proporcional a la razón λ/d. Para que haya una desviación importante, el espaciado de rejilla d debe ser del mismo orden dc magnitud que la longitud de onda λ. Las rejillas que se utilizan con luz visible (λ de 400 a 700 nm) tienen por lo regular unas 1000 ranuras por milímetro; el valor de d es el recíproco del número de ranuras por unidad de longitud, por lo que d es del orden de 1/1000 mm = 1000 nm. En una rejilla de reflexión, la serie de ranuras igualmente espaciadas de la figura 36.15 se sustituye por una serie de crestas o surcos igualmente espaciados en una pantalla reflectora. La luz reflejada tiene una intensidad máxima a ángulos donde la diferencia de fase entre las ondas luminosas que se reflejan de crestas o surcos adyacentes es un múltiplo entero de 2π. Si sobre una rejilla de reflexión con una separación d entre crestas o surcos adyacentes incide luz de longitud de onda λ en dirección normal, los ángulos reflejados a los que se presentan máximos de intensidad vienen dados por la ecuación (36.13). Los colores iridiscentes de ciertas mariposas tienen su origen en crestas microscópicas de las alas de

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la mariposa que forman una rejilla de reflexión. Cuando se contemplan las alas desde diferentes ángulos, que corresponden a un θ variable en la ecuación (36.13), la longitud de onda y el color que se reflejan de forma predominante hacia el ojo del observador también varían. Temperatura, equilibrio térmico y ley cero de la te rmodinámica Antes de definir el concepto temperatura debemos definir el equilibrio térmico. En la figura vemos dos sistemas A y B que, entre muchas cosas, podrían ser bloques metálicos o gases confinados. Está aislado uno del otro y del ambiente, es decir, no sale ni entra energía. Se dice que las paredes son adiabáticas, es decir, térmicamente aislantes. Los cambios en las propiedades medidas de una de los sistemas no repercuten en las del otro. En la otra figura observamos sustituimos la pared adiabática por otra que permita el flujo de energía en una forma que denominamos calor. Un ejemplo de el podría ser una lámina delgada y rígida de cobre. Esa pared se denomina diatérmica. Cuando los dos sistemas se ponen en contacto mediante un pared diatérmica, el paso de energía calorífica por ella hace que cambien las propiedades de los dos sistemas. Los cambios son rápidos al principio pero luego se van haciendo más lentamente hasta que finalmente las propiedades se aproximan a valores constantes. Cuando esto ocurre decimos que los dos sistemas se encuentran en equilibrio térmico entre si. Una forma de probar dos sistemas individuales consiste en utilizar un tercer sistema C. al ponerlo en contacto con A y luego con B podríamos descubrir que A y B se hallan en contacto directo. Esto se resume en un postulado llamado ley cero de la termodinámica: Si los sistemas A y B están en equilibrio térmico con un tercer sistema C, estarán en equilibrio térmico entre si.

Temperatura Cuando dos sistemas se hallan en equilibrio termico, decimos que tiene la misma temperatura. En uso corriente de la ley cero llamamos termómetro al sistema C, por lo tanto e aquí una formulación de la ley cero para la temperatura: Existe una magnitud escalar denominada temperatura que es una propiedad de todos los sistemas termodinámicos en equilibrio. Dos sistemas están en equilibrio si y solo si sus temperaturas son iguales. Termómetros y escalas de temperatura Para que el dispositivo de líquido en un tubo de la figura 17.1 sea un termómetro útil, necesitamos marcar una escala numerada en la pared del tubo. Esos números son arbitrarios, e históricamente se han usado muchos esquemas diferentes. Suponga que marcamos con "0" el nivel del líquido del termómetro a la temperatura de congelación del agua pura, y con "100" el nivel a la temperatura de ebullición, y dividimos la distancia entre ambos puntos en cien intervalos iguales llamados grados. El resultado es la escala de temperatura Celsius (antes llamada centígrada). La temperatura Celsius para un estado más frío que el agua en el momento de congelarse es un número negativo. La escala Celsius se usa, tanto en la vida cotidiana como en la ciencia y la industria, en casi todo el mundo. Otro tipo de termómetro común usa una tira bimetálica, que se fabrica pegando tiras de dos metales distintos (Fig. 17.3a). Al aumentar la temperatura de la tira compuesta, un metal se expande más que el otro y la tira se dobla. La tira usualmente se

moldea en espiral, con el extremo exterior anclado a la caja y el inte-rior unido a un puntero (Fig. 17.3c). El puntero gira en respuesta a

cambios de temperatura.

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En un termómetro de resistencia, se mide el cambio en la resistencia eléctrica de: una bobina de alambre fino, un cilindro de carbono o un cristal de germanio. Puesto que la resistencia puede medirse con gran precisión, los termómetros de resistencia suelen ser más precisos que los de otro tipo. Algunos termómetros no necesitan estar en contacto físico con el objeto cuya temperatura están midiendo. Un ejemplo es el termómetro de oído (Fig. 17.4) que usa un dispositivo llamado termopila para medir la cantidad de radiación infrarroja emitida por el tímpano, lo cual indica su temperatura. (En la sección 17.7, vere-mos que todos los objetos emiten radiación electromagnética como consecuencia de su temperatura.) La ventaja de esta técnica es que no requiere tocar el tímpano, que es frágil y podría dañarse fácilmente. En la escala de temperatura Fahrenheit, aún usada en la vida cotidiana en Estados Unidos, la temperatura de congelación del agua es de 32°F (32 grados Fahre nheit) y la de ebullición es de 212°F, ambas a pres ión atmosférica estándar. Hay 180 grados entre la congelación y la ebullición, en vez de 100 como en la escala Celsius, así que 1°F representa un cambio de temper atura sólo 100/180 o 5/9 de, de 1°C. Para convertir temperaturas de Celsius a Fahrenheit, observamos que una temperatura Celsius TQ es el número de grados Celsius arriba de la congelación; el número de grados Fahrenheit arriba de la congelación es | de esa cantidad, pero la congelación en la escala Fahrenheit es a 32°F, así que, para obtener la temperatura Fahrenheit TF, multiplicarnos Tc por f y le sumamos 32°. Con símbolos, Para convertir de Fahrenheit a Celsius, despejamos Tc de esta ecuación:

Es decir, restamos 32° para obtener el número de gr ados Fahrenheit arriba de la congelación y multiplicamos por 5/9 para obtener el número de grados Celsius arriba de la congelación, esto es, la temperatura Celsius. Conviene distinguir entre una temperatura real y un intervalo de temperatura (una diferencia o cambio de temperatura). Una temperatura real de 20° se escrib e 20°C, y un intervalo de temperatura de 10° se escribe 10 C° (diez grados Celsius). Un vaso de agua que se calienta de 20°C a 30°C tiene un cambio de temperatura de 10C°. Termómetro de gas El principio de un termómetro de gas muestra que la presión de un gas a volumen constante aumenta con la temperatura. Una cantidad de gas se coloca en un recipiente de volumen constante (Fig. 17.5a) y se mide su presión con uno de los dispositivos descritos en la sección 14.2. Para calibrar el termómetro, medimos la presión a dos temperaturas, digamos 0°C y 100°C, gr anearnos esos puntos y trazamos una línea recta entre ellos. Así, podemos leer de la gráfica la temperatura correspondiente a cualquier otra presión. La figura 17.5b muestra los resultados de tres experimentos de este tipo, utilizando en cada caso una clase y cantidad distintas de gas. Si extrapolamos la línea, veremos que hay una temperatura hipotética, -273.15°C, en la que la presión absoluta del gas sería cero. Podríamos esperar que tal temperatura fuera diferente para diferentes gases, pero resulta ser la misma para muchos gases distintos (al menos cuando el límite de densidad del gas es muy bajo). No podemos observar realmente esta condición de cero presión; los gases se licúan y solidifican a temperaturas muy bajas, y la presión deja de ser proporcional a la temperatura. Usamos esta temperatura extrapolada a presión cero como base para una escala de temperatura con su cero en esta temperatura: la escala de temperatura Kel vin, así llamada por el físico inglés Lord Kelvin (1824-1907). Las unidades tienen el mismo tamaño que las de la escala Celsius, pero el cero se desplaza de modo que 0 K = -273.15°C y 273.15 K = 0°C; es de cir,

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Escala de Temperatura para un gas ideal La menor variación en las lecturas de temperatura se ha encontrado en los termómetros de gas a volumen constante. A la vez, cuando reducimos la cantidad de gas, y por consiguiente su presión, la variación en las lecturas de temperatura se hace más pequeña independientemente del tipo de gas. El termómetro de gas a baja presión (gas ideal) y a volumen constante, consiste de una cápsula de gas conectada a un manómetro

de en forma de , ``conectado" por el otro extremo a la atmósfera. El manómetro a su vez está conectado a un reservorio que permite ajustar el cero de la escala (para mantener el gas a volumen constante) y a la vez medir la altura del reservorio respecto al cero de la escala. Así la presión del gas está dada por la diferencia entre la presión atmosférica y el producto de la densidad del mercurio con la aceleración debido a la gravedad y la altura. Para cierta cantidad de gas, digamos oxígeno, sumergimos la cápsula en un ``baño" de agua en el punto triple y medimos la presión, es decir, la altura del reservorio. Luego sumergimos la cápsula en el ambiente o baño cuya temperatura queremos medir y medimos la nueva presión a volumen constante. Extraemos algo de oxígeno y repetimos el procedimiento tantas veces como podamos. Estas mediciones de temperatura y presión las podemos graficar y extrapolar al valor de cero presión. Ahora cambiamos el gas (Nitrógeno, Aire, Helio, Hidrógeno, etc.). Se ha observado que la extrapolación de las rectas para distintos gases convergen a la misma temperatura. Esto nos permite definir la temperatura de una forma más general (aunque depende de los gases ideales):

(3)

Es posible definir una escala de temperatura independiente de las propiedades de la . Esta es la escala de temperatura termodinámica absoluta y no la discutiremos en este curso. Es imposible enfriar un sistema por debajo del cero absoluto. Más aún, no se ha podido alcanzar el cero absoluto. Además, el movimiento molecular no cesa en el cero absoluto (esto lo pudiéramos estudiar en un curso de fisica 41, si quieres aprender física informalmente). La mecánica cuántica (física de lo muy, muy pequeño) nos enseña que existe un límite inferior no nulo para la energía cinética molecular, aun en el cero absoluto. Expansión térmica Casi todos los materiales se expanden al aumentar su temperatura. El aumento en la temperatura hace que el líquido se expanda en los termómetros de líquido en un tubo (Fig. 17.1a) y que las tiras bimetálicas se doblen (Fig. 17.3). Las cubiertas de puentes necesitan articulaciones y soportes especiales que den margen a la expansión. Una botella totalmente llena de agua y tapada se revienta al calentarse, pero podernos aflojar la tapa metálica de un frasco virtiendo agua caliente sobre ella. Estos son ejemplos de expansión térmica. Expansión lineal Suponga que una varilla de material tiene longitud L0 a una temperatura inicial T0. Si la temperatura cambia en ∆T, la longitud cambia en ∆L. Se observa experimentalmente que, si ∆T no es muy grande (digamos, menos de 100 C°), ∆L es directamente proporcional a ∆T. Si dos varillas del mismo material tienen el mismo cambio de temperatura, pero una es dos veces más larga que la otra, su cambio de longitud también será del doble. Por tanto, ∆L también debe ser proporcional a L0. Si introducimos una constante de proporcionalidad α (diferente para cada material), podremos expresar estas relaciones en una ecuación:

Si un cuerpo tiene longitud L0 a la temperatura T0, su longitud L a T = T0 + ∆T es

La constante α, que describe las propiedades de expansión térmica de un material dado, se denomina coeficiente de expansión lineal. Las unidades de α son K-1 o (C0)-1. (Recuerde que un intervalo de temperatura es igual en las escalas Kelvin y Celsius.) En muchos materiales, todas las dimensiones lineales cambian según la ecuación (17.6) o (17.7). Así, L podría ser el espesor de una varilla, la longitud del lado de una lámina cuadrada o el diámetro de un agujero. Algunos materiales, como la madera o los monocristales, se expanden de diferente forma en diferentes direcciones. No consideraremos esta complicación. Podernos entender la expansión térmica cualitativamente desde una perspectiva molecular. Imaginemos las fuerzas interatómicas en un sólido como resortes (Fig. 17.8).

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Cada átomo vibra alrededor de su posición de equilibrio. Al aumentar la temperatura, la energía y la amplitud de la vibración aumentan. Las fuerzas de resorte interatómicas no son simétricas alrededor de la posición de equilibrio; suelen comportarse como un resorte que es más fácil de estirar que de comprimir. En consecuencia, al aumentar la amplitud de las vibraciones, también aumenta la distancia media entre las moléculas. Al separarse los átomos, todas las dimensiones aumentan. La proporcionalidad directa expresada por la ecuación (17.6) no es exacta; sólo es aproximadamente correcta para cambios de temperatura pequeños. Para un material dado, a varía un poco con la temperatura inicial T0 y el tamaño del intervalo de temperatura. Aquí haremos caso omiso de esta complicación. En la tabla 17.1, se dan valores medios de α para varios materiales. Dentro de la precisión de estos valores, no necesitamos preocuparnos por si T0 es 0°C o 20°C o alguna otra temperatura. Observe qu e los valores típicos de α son muy pequeños; aun para un cambio de temperatura de 100 C°, el cambio de longitud fraccionario ∆L/L0 es del orden de 1/1000 para los metales de la tabla. Expansión de volumen Un aumento de temperatura suele aumentar el volumen de materiales tanto líquidos como sólidos. Al igual que en la expansión lineal, se ha visto experimentalmente que, si el cambio de temperatura ∆T no es muy grande (menos de 100 C°), el aumento de volumen ∆V es aproximadamente proporcional a ∆T y al volumen inicial V0

La constante β caracteriza las propiedades de expansión de volumen de un material dado; se llama coeficiente de expansión de volumen. Las unidades de β son K-1 o (C0)-1. Al igual que en la expansión lineal, β varía un poco con la temperatura, y la ecuación (17.18) es una relación aproximada válida sólo para cambios de tem-peratura pequeños. En muchas sustancias, β disminuye a bajas temperaturas. Para materiales sólidos, hay una relación sencilla entre el coeficiente de expansión de volumen β y el coeficiente de expansión lineal α. Para deducir esta relación, consideramos un cubo de material con longitud de lado L y volumen V = L3. En la temperatura inicial, los valores son L0 y V0. Al aumentar la temperatura en dT, la longitud del lado aumenta en dL y el volumen aumenta en una cantidad dV dada por Ahora sustituimos L y Kpor los valores iniciales L0 y V0. Por la ecuación (17.6), dL es puesto que V0 = L0

3, esto implica que dV también puede expresarse como Esto es congruente con la forma infinitesimal de la ecuación (17.8),

sólo si Transmisión del calor Conducción y acumulación La conducción es el modo de transferencia térmica en el que el calor se mueve o viaja desde una capa de temperatura elevada del cerramiento a otra capa de inferior temperatura debido al contacto directo de las moléculas del material. La relación existente entre la velocidad de transferencia térmica por conducción y la distribución de temperaturas en el cerramiento depende de las características geométricas y las propiedades de los materiales que lo constituyen, obedeciendo la denominada la Ley de Fourier.

Ec. .1 [W/m2] Cuando el cerramiento se encuentra en equilibrio termodinámico resulta que el flujo de calor y la temperatura en cada punto del mismo permanece constante, y el proceso se denomina transmisión en régimen estacionario y el flujo de calor es función de la propiedad de los materiales denominada conductividad. Cuando no existe el anterior equilibrio, ya sea porque el cerramiento no ha tenido tiempo para estabilizarse o debido a que las condiciones del entorno varían en el tiempo, el proceso de denomina transmisión en régimen transitorio, caracterizado porque la temperatura en cada punto del cerramiento varían en el tiempo. Una consecuencia de la variación de temperatura en el interior del cerramiento es la acumulación del calor, debido a la propiedad de los materiales de absorber o disipar energía cuando varía su temperatura denominada calor específico. Convección Cuando el aire de un ambiente se pone en contacto con la superficie de un cerramiento a una temperatura distinta, el proceso resultante de intercambio de calor se denomina transmisión de calor por convección.

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Este proceso es una experiencia común, pero una descripción detallada del mecanismo es complicada dado que además de la conducción hay que considerar el movimiento del aire en zonas próximas a la superficie. En el caso que la fuerza motriz que mueve el aire proceda exclusivamente de la diferencia de densidad en el aire que resulta del contacto con la superficie a diferente temperatura y que da lugar a fuerzas ascensionales se producirá el proceso de transmisión denominado convección libre o natural. Cuando exista una fuerza motriz exterior, como el viento, que mueva al aire sobre una superficie a diferente temperatura se producirá una convección forzada, que debido al incremento de la velocidad del aire se transmitirá una mayor cantidad de calor que en la convección libre para una determinada diferencia de temperatura. En el caso que se superpongan ambas fuerzas motrices, por ser de magnitudes semejantes, el proceso se denomina convección mixta. En cualquiera de los casos el fenómeno se puede evaluar mediante la Ley de Newton del enfriamiento. Ec. .2 Q = h · D T [W/m2] Radiación Se denomina transmisión de calor por radiación cuando la superficie del cerramiento intercambia calor con el entorno mediante la absorción y emisión de energía por ondas electromagnéticas. Mientras que en la conducción y la convección era preciso la existencia de un medio material para transportar la energía, en la radiación el calor se transmite a través del vacío, o atravesando un medio transparente como el aire. Todas las superficies opacas emiten energía en forma de radiación en una magnitud proporcional a la cuarta potencia su temperatura absoluta T, y en un rango de longitudes de onda inversamente proporcional a su temperatura absoluta. Por consiguiente, los cerramientos emiten radiaciones de onda larga, correspondiente al espectro infrarrojo lejano, procedente de sus superficies a temperaturas típicas del ambiente, en función de una propiedad superficial denominada emitancia, y de forma simultánea absorben radiaciones similares emitidas por las superficies visibles de su entorno, en un proceso denominado irradiación. Ec. .3 Qemitida = e · s · T4 [W/m2] En el ambiente también se puede considerar la presencia de radiaciones de onda corta, correspondiente al espectro de radiación visible e infrarrojo cercano, procedente de fuentes de elevada temperatura como el sol y el alumbrado artificial, para las cuales los cerramientos se comportan solo como absorbentes en función de una propiedad superficial denominada absortancia. Ec. .4 Qabsorbida = a · Qincidente [W/m2] Ecuaciones de estado Las condiciones en que existe un material dado se describen con cantidades físicas como: presión, volumen, temperatura y cantidad de sustancia. Por ejemplo, un tanque de oxígeno para soldar tiene un manómetro y una etiqueta que indica su volumen. Podríamos agregar un termómetro y pesar el tanque para determinar su masa. Estas variables describen el estado del material y se llaman variables de estado. El volumen V de una sustancia suele estar determinado por su: presión p, temperatura T y cantidad de sustancia, descrita por la masa m o número de moles n. Normalmente, no podemos cambiar una de estas variables sin alterar otra. Si el tanque de oxígeno se calienta, la presión aumenta; si se calienta demasiado, hace explosión. Esto sucede ocasionalmente con las calderas de vapor sobrecalentadas. En unos cuantos casos, la relación entre: p, V, T y m (o n) es tan sencilla que podemos expresarla mediante una ecuación de estado; si es demasiado complicada, podemos usar gráficas o tablas numéricas. Aun así, la relación entre las variables sigue existiendo; la llamaremos ecuación de estado aunque no conozcamos la ecuación real. He aquí una ecuación de estado sencilla (aunque aproximada) para un material sólido. El coeficiente térmico de expansión de volumen β es el cambio fraccionario de volumen ∆V/V0 por cambio unitario de temperatura, y la compresibilidad k (sección 11.4) es el negativo del cambio fraccionario de volumen ∆V/V0 por cambio unitario de presión. Si cierta cantidad de material tiene un volumen V0 cuando la presión es p0 y la temperatura es T0, el volumen Va una presión p y temperatura T ligeramente distintas es aproximadamente

(El término k(p - p0) tiene signo negativo porque un aumento en la presión causa una disminución del volumen.) Llamamos a la ecuación (18.1) la ecuación de estado del material.

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La ecuación del gas ideal Otra ecuación de estado sencilla es la del gas ideal. La figura 18.1 muestra un sistema experimental para estudiar el comportamiento de un gas. El cilindro tiene un pistón móvil para variar el volumen, la temperatura puede variarse por calentamiento,y podemos bombear cuanto gas deseemos al cilindro. Luego medimos: la presión, el volumen, la temperatura y la cantidad de gas. Observe que presión se refiere tanto a la fuerza por unidad de área ejercida por el cilindro sobre el gas como a la ejercida por el gas sobre el cilindro; por la tercera ley de Newton, éstas deben ser iguales. Lo más fácil suele ser describir la cantidad de un gas en términos del número de moles n, en vez de la masa. Hicimos esto al definir la capacidad calorífica molar. La masa molar M de un compuesto (a veces llamada peso molecular) es la masa de un mol, y la masa total mtot de una cantidad dada de ese compuesto es el número de moles n multiplicado por la masa de un mol M: Llamamos a la masa total mtot porque más adelante usaremos m para la masa de una molécula. Las mediciones del comportamiento de diversos gases dan origen a varias conclusiones. Primera, el volumen Fes proporcional al número de moles n. Si duplicamos el número de moles, manteniendo constantes la temperatura y la presión, el volumen se duplica. Segunda, el volumen varía inversamente con la presión absoluta p. Si duplicamos la presión manteniendo constantes la temperatura Ty el número de moles n, el gas se comprime a la mitad de su volumen inicial. Dicho de otro modo, pV = constante cuando n y T son constantes. Tercera, la presión es proporcional a la temperatura absoluta. Si duplicamos la temperatura absoluta, manteniendo constantes el volumen y el número de moles, la presión se duplica. En otras palabras, p = (constante)T si n y Fson constantes. Estas tres relaciones se pueden combinar en una sola ecuación, llamada ecuación del gas ideal:

donde R es una constante de proporcionalidad. El gas ideal es un gas para el que la ecuación (18.3) se cumple con precisión a todas las presiones y temperaturas. Se trata de un modelo idealizado; funciona mejor a presiones muy bajas y altas temperaturas, cuando las moléculas del gas están muy separadas y en rápido movimiento. El modelo funciona razonablemente bien a presiones moderadas (unas cuantas atmósferas) y temperaturas muy por encima de aquella en la que el gas se licúa. Cabría esperar que la constante R de la ecuación del gas ideal tuviera diferentes valores para diferentes gases, pero resulta ser la misma para todos los gases, al menos a baja presión y alta temperatura. Llamamos a R la constante de los gases (o constante del gas ideal); su valor numérico depende de las unidades de: p, Vy T. En unidades del SI, con p en Pa (1 Pa = 1 N/m2) y V en m3, el mejor valor numérico actual de R es

o bien, R = 8.314 J/mol • K con cuatro dígitos significativos. Observe que las unidades de presión multiplicada por volumen son las de trabajo o energía (por ejemplo, N/m2 por m3); es por ello que R tiene unidades de energía por mol por unidad de temperatura absoluta. En los cálculos químicos, los volúmenes suelen expre-sarse en litros (L) y las presiones en atmósferas (atm). En este sistema

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Podemos expresar la ecuación del gas ideal (ecuación 18.3) en términos de la masa mtot del gas, usando mtot = nM de la ecuación (18.2):

De esto, podemos obtener una expresión para la densidad ρ = mtot /Vdel gas:

Para una masa constante (o número constante de moles) del gas ideal, el producto nR es constante, así que la cantidad pVIT también es constante. Si los subíndices 1 y 2 se refieren a dos estados cualesquiera de la misma masa de gas, entonces

La ecuación de Van der Waals La ecuación del gas ideal, ecuación (18.3), puede obtenerse de un modelo molecular sencillo que desprecia los volúmenes de las moléculas mismas y las fuerzas de atracción entre ellas. Mencionaremos otra ecuación de estado, la ecuación de van der Waals, que hace correcciones aproximadas por estas dos omisiones. La ecuación de Van der Waal es Las constantes a y b son constantes empíricas, diferentes para cada gas; b representa aproximadamente el volumen de un mol de moléculas, así que el volumen total de las moléculas es nb y el volumen neto disponible para que se muevan es V- nb. La constante a depende de las fuerzas de atracción intermoleculares, que reducen la presión del gas para valores dados de: n, V y T juntando las moléculas al tiempo que éstas empujan las paredes del recipiente. La reducción de presión es proporcional al número de moléculas por unidad de volumen en una capa cerca de la pared (las moléculas que ejercen la presión sobre la pared) y también al número por unidad de volumen en la siguiente capa más allá de la pared (que son las que atraen). Así, la reducción de presión debida a fuerzas intermoleculares es proporcional a n2/V2. Si n/Ves pequeño (cuando el gas está diluido), la distancia media entre moléculas es grande, las correcciones de la ecuación de van der Waals se hacen despreciables y la ecuación (18.7) se reduce a la del gas ideal. Por ejemplo, para dióxido de carbono (C02) gaseoso, las constantes de la ecuación de van der Waals son a = 0.364 J m3/mol2 y b = 4.27 X 10-5 m3/mol. Gráficas pV En principio, podríamos representar la relación p-V-T gráficamente como una superficie en un espacio tridimensional con coordenadas: p, V y T. Esta representación a veces ayuda a entender el comportamiento global de una sustancia, pero las gráficas bidimensionales ordinarias suelen ser más útiles. Una de las más útiles es un juego de curvas de presión en función del volumen, cada una para una temperatura constante dada. Semejante gráfica se llama gráfica pV. Cada curva, que representa el comportamiento a cierta temperatura, se denomina isoterma, o isoterma p V.

La figura 18.4 muestra isotermas para una cantidad constante de gas ideal. La temperatura más alta es T4; la más baja, T1. Ésta es una representación gráfica de la ecuación de estado del gas ideal. Podemos leer el volumen V correspondiente a cualquier presión p y temperatura T dadas en el intervalo mostrado.

La figura 18.5 muestra una gráfica pV para un material que no obedece la ecuación del gas ideal. A temperaturas por debajo de Tc las isotermas tienen regiones planas en las que podemos comprimir el material sin aumentar la presión. La observación del gas revela que se está condensando de la fase de vapor (gas) a la de líquido. Las partes planas de las isotermas en la parte sombreada de la figura 18.5 representan condiciones de equilibrio de fase líquido-vapor. Al disminuir el volumen, más y más material pasa de vapor a líquido, pero la presión no cambia. (Para mantener la temperatura constante durante la condensación, debemos eliminar el calor de vaporización, como se explicó en la sección 17.6.)

Si comprimimos un gas así a temperatura constante T2 en la figura 18.5, es vapor hasta llegar al punto a, donde comienza a licuarse; al reducirse más el volumen, más material se licúa, y tanto la presión como la temperatura permanecen constantes. En el punto b. todo el material está en estado líquido. Cualquier com-presión posterior causa un aumento muy rápido en la presión, porque los líquidos en general son mucho menos compresibles que los gases. A una temperatura constante menor T1 se presenta un comportamiento similar, pero la condensación comienza a menor presión y mayor volumen que a T2 constante. A temperaturas mayores que Tc no hay transición de fase al comprimirse el material; a las temperaturas más

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altas, como T4, las curvas semejan las de gas ideal de la figura 18.4. Llamamos a Tc la temperatura crítica del material.

El área bajo una curva pV (sea o no isoterma) representa el trabajo efectuado por el sistema durante un cambio de volumen. Este trabajo, a su vez, está directamente relacionado con la transferencia de calor y cambios en la energía interna del sistema.

CALORIMETRIA CALOR: es la energía en tránsito (en movimiento) entre 2 cuerpos o sistemas, proveniente de la existencia de una diferencia de temperatura entre ellos. Unidades de Cantidad de Calor (Q) Las unidades de cantidad de calor (Q) son las mismas unidades de trabajo (T).

Sistema de Medida Sistema Técnico

Sistema Internacional (S.I.) o M.K.S. Sistema C.G.S.

Unidad de Medida Kilográmetro (Kgm)

Joule (J) Ergio (erg)

Hay otras unidades usadas como Caloría (cal), Kilocaloría (Kcal), British Termal Unit (BTU). Caloría: es la cantidad de calor necesaria para aumentar la temperatura de 1 gramo de agua de 14,5 °C a 15,5 °C a la presión de 1 atmósfera (Presión normal ). Relación entre unidades

1 kgm = 9,8 J 1 J = 107 erg

1 kgm = 9,8.107 erg

1 cal = 4,186 J 1 kcal = 1000 cal = 10³ cal

1 BTU = 252 cal

Calor de combustión: es la razón entre la cantidad de calor (Q) que suministrada por determinada masa (m) de un combustible al ser quemada, y la masa considerada. Qc...calor de combustión (en cal/g)

Qc = Q/m Capacidad térmica de un cuerpo: es la relación entre la cantidad de calor (Q) recibida por un cuerpo y la variación de temperatura (∆t) que éste experimenta. Además, la capacidad térmica es una característica de cada cuerpo y representa su capacidad de recibir o ceder calor variando su energía térmica. C...capacidad térmica (en cal/°C)

Calor específico de un cuerpo: es la razón o cociente entre la capacidad térmica (C) de un cuerpo y la masa (m) de dicho cuerpo. Además, en el calor específico se debe notar que es una característica propia de las sustancias que constituye el cuerpo, en tanto que la capacidad térmica (C) depende de la masa (m) y de la sustancia que constituye el cuerpo. C...calor específico (en cal/g.°C)

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También, debemos notar que el calor específico de una sustancia varía con la temperatura, aumentando cuando está aumenta; pero en nuestro curso consideraremos que no varía El calor específico del agua es la excepción a está regla, pues disminuye cuando la temperatura aumenta en el intervalo de 0 °C a 35 °C y crece cuando la t emperatura es superior a 35 °C. En nuestro curso consideraremos el calor específico (c) del agua "constante" en el intervalo de 0 °C a 100 °C y es igual a 1 cal / g x °C. Tabla del calor específico de algunas sustancias

C agua = 1 cal/g.°C C hielo = 0,5 cal/g.°C C aire = 0,24 cal/g.°C

C aluminio = 0,217 cal/g.°C C plomo = 0,03 cal/g.°C

C hierro = 0,114 cal/g.°C C latón = 0,094 cal/g.°C

C mercurio = 0,033 cal/g.°C C cobre = 0,092 cal/g.°C C plata = 0,056 cal/g.°C

Ecuación fundamental de la calorimetría

Q... cantidad de calor m... masa del cuerpo c... calor específico del cuerpo ∆t... variación de temperatura Observación: Para que el cuerpo aumente de temperatura; tiene que recibir calor, para eso la temperatura tf debe ser mayor que la temperatura to ; y recibe el nombre de calor recibido.

tf> to ® calor recibido (Q > 0) Para disminuir la temperatura; tiene que ceder calor, para eso la temperatura tf debe ser menor que la temperatura to ; y recibe el nombre de calor cedido.

tf< to ® calor cedido (Q < 0) Calor sensible de un cuerpo: es la cantidad de calor recibido o cedido por un cuerpo al sufrir una variación de temperatura (∆t) sin que haya cambio de estado físico (sólido, líquido o gaseoso). Su expresión matemática es la ecuación fundamental de la calorimetría.

Qs = m.c.∆t donde: ∆t = tf - to Calor latente de un cuerpo: es aquel que causa en el cuerpo un cambio de estado físico (sólido, líquido o gaseoso) sin que se produzca variación de temperatura (∆t),es decir permanece constante.

QL = m.L Principios de la Calorimetría 1er Principio : Cuando 2 o más cuerpos con temperaturas diferentes son puestos en contacto, ellos intercambian calor entre sí hasta alcanzar el equilibrio térmico. Luego, considerando un sistema térmicamente aislado, "La cantidad de calor recibida por unos es igual a la cantidad de calor cedida por los otros". 2do Principio : "La cantidad de calor recibida por un sistema durante una transformación es igual a la cantidad de calor cedida por él en la transformación inversa". La primera ley de la termodinámica La primera ley de la termodinámica es una aplicación de la ley universal de conservación de la energía a la termodinámica y a su vez identifica el calor como una transferencia de energía. intEWQ ∆=+ . Q es la

energía trasferida (como calor), W es el trabajo hecho en el sistema o por él mediante fuerzas que actúan en su frontera y intE∆ es el cambio de energía interna que se ocurre cuando se transfiere energía hacia el

sistema o se extra de el en forma de calor o de trabajo. Por convención, hemos decidido que Q sea positivo cuando se transfiuere calor hacia el interior del sistema y que W también lo sea cuando se efectua trabajo en el. Con tales convenciones, los valores positivos de Q y W sirven para incrementar la energía térmica del sistema. Si el sistema está en movimiento, hay que agregarle el término CcmE∆ , y la ecuación quedaría CcmEEWQ ∆+∆=+ int

Denominación formal: “En todo proceso termodinámico entre los estados de equilibrio i (inicial) y f (final), la magnitud Q+W tiene el mismo valor para cualquier trayectoria entre i y f. Esta cantidad es igual al cambio de

valor de una función de estado llamado energía interna intE ”.

La primera ley de la termodinámica es un resultado general que esta pensado para aplicarse a todos los procesos de la naturaleza q se efectúen entre estados de equilibrio. No es necesario que todas las etapas del proceso estén en dicho estado; basta que lo estén en el inicial y el final.

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La ley nos indica que la energía ha de conservarse en todo el proceso, pero no nos señanala si un proceso en particular donde se cumpla o no en realidad.

Trabajo realizado en o por un gas ideal Partimos de la primera ley de la termodinámica y escogemos un gas ideal com sistema termodinámico. Por ejemplo, en un cilindro, al elevar la temperatura del gas que se expande dentro de el, produciendo un

trabajo en el piston. La fuerza está dada por ApF .= , y entonces por la tercer ley de Newton tenemos:

∫ ∫ −== dxpAdxFW x )(

Donde dx es el desplazamiento del pistón. Al bajar la temperatura del gas, se contraería en vez de expandirse y el trabajo sería (+) . Podemos escribirlo de una forma mas general: si un pistón se desplaza una cierta distancia dx, el volumen del gas cambiaria dxAdV .= , entonces:

∫−= dVpW . que se resuelve entre iV (volumen inicial) y fV (final). Si el gas se expande, dV es (+) y si se

comprime es (-). La magnitud del trabajo efectuado en el gas es igual a la superficie bajo la curva que representa al proceso pV. El signo determina según Vf >Vi (W es +) como en la figura, o Vi >Vf (W es -). Supongamos que queremos llevar el gas ideal de las condiciones iniciales Vi y pi (punto A) y ponerlo en las condiciones finales Vf y pf (punto D). podemos tomar

muchas trayectorias entre A y D, donde dos de las cuales se ven en la figura, a lo largo de la trayectoria (ABD), primero elevamos la presión de pi a pf con volumen constante, después seguimos la trayectoria BD al aumentar la temperatura, pero sin que agreguemos peso al pistón, de modo que la presión permanezca constante en el valor pf mientras que el volumen crece de Vi a Vf.

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Podemos calcular W1 (el trabajo efectuado en el gas a lo largo de la trayectoria 1) con solo considerar el trabajo hecho por los segmentos AB y BD:

)(.01 iff

V

V

fBDAB VVpdVpdVpWWWf

i

−−=−=−=+= ∫∫

Si queremos seguir la trayectoria 2 (ACD), primero se eleva la temperatura manteniendo constante la presión en pi (es decir sin agregarle mas peso al piston), de modo que el volumen crece de Vi a Vf. Después aumentamos la temperatura de pi a pf con el volumen constante Vf, incrementando la temperatura y agregando peso al pistón para impedir que se mueva. En este caso el trabajo efectuado es la superficie bajo la línea AC el rectangulo ACFE, estos podemos calcularlo así:

)(0.2 ifi

V

V

iCDAC VVpdVpdVpWWWf

i

−−=−=+=+= ∫∫

Desde luego 21 WW ≠ y el trabajo depende de la trayectoria. Trabajo hecho a volumen constante (isocórico) El trabajo es cero en cualquier proceso donde el volumen se mantenga constante (tramos AB y CD). 0=W (V cte). Nótese que no basta que el proceso comience y termine con el mismo volumen; éste ah de ser constante durante todo el proceso para que el trabajo desaparezca. Trabajo hecho a presión constante

Aquí se aplica fácilmente la ecuación ∫−= dVpW . y se saca p (cte) de la integral:

)( if VVpdVpW −−=−= ∫

Trabajo hecho a temperatura constante (isotermico) Si el gas se expande y se contrae a temperatura constante, la relación entre p y V, dada por la ley del gas ideal )..( TRnpV = , es pV=cte. En el diagrama pV, la gráfica de la ecuación pV=cte (es una hipérbola como la de la figura). Para determinar el trabajo hecho en un gas durante un proceso isotérmico, utilizamos

la ecuación ∫−= dVpW . , pero hay que encontrar la manera de resolver la integral cuando p varía. Para

hacerlo empleamos la ecuación de estado del gas ideal y escribimos VTRnp /..= , por tanto:

∫∫∫ −=−=−=−=f

i

f

i

f

i

V

V i

fV

V

V

V V

VInnRT

V

dVnRTdV

V

nRTdVpW .. , siendo constante T.

Trabajo hecho en aislamiento térmico (adiabático) Cuando un sistema está térmicamente aislado, rodeado de paredes adiabáticas, no existe intercambio de calor con el medio, sin embargo existen formas de realizar trabajo sobre el sistema o por el sistema. Para un sistema que se halla adiabáticamente aislado, el trabajo que se necesita para variar el sistema desde un estado 1 a un sistema final 2, resulta ser independiente de la forma que se realiza trabajo, sólo depende de los estados inicial y final. Ya que el trabajo adiabático depende sólo de los estado inicial y final del sistema, se define una función de las coordenadas termodinámica intE , llamada energía interna , de modo que: 2int1int12 EEW −=

Energía interna de un gas ideal La energía cinética traslacional por molécula de un gas monoatómico es TkE

TrasC .23= . Así pues, la energía

total de n moles de un gas ideal monoatómico es el número de moléculas )( AnN= multiplicado por la

energía promedio de la molécula: nTRknTNTknNKnNE aAtransA 23

23

23

int ).).(()).(( ====

nTRE 23

int = esta ecuación demuestra que si modificamos la energía interna del gas transfiriéndole calor o

realizando trabajo, su temperatura cambiará, por lo tanto: TnRE ∆=∆ 23

int .

Para moléculas diatómicas como el O2, N2 o el CO, la molécula puede adquirir energía cinética girando alrededor de su centro de masa. Su energía cinética rotacional, puede escribirse:

2212

21

yyxxrotacional wIwIEc += . La energía cinética total es la suma de la traslacional y la rotacional, esto es

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2212

212

212

212

21

yyxxzyxC wIwImvmvmvE ++++=

(a).Como se observa en la ecuación (a) una molécula diatómica tiene cinco grados de libertad: tres trasnacionales y dos rotacionales. Para determinar la energía cinética interna total del gas hay que calcular la energía promedio de una molécula y luego multiplicar el resultado por el número de ellas. Clerk Maxwell desarrolló un teorema llamado Teorema de equiparación de la energía, que dice “Cuando el número de moléculas es grande, la energía promedio por molécula es de Tk.2

1 para cada grado independiente de libertad”. La energía promedio por molécula es kT2

3 ( kT21 x 3

grados de libertad). La energía total de N moléculas es:

nRTkTNE 23

23

int )( == (gas monoatómico) y

nRTkTNE 25

25

int )( == (gas diatómico).

Un gas poli atómico (más de dos átomos por molécula) generalmente tiene tres ejes posibles derogación (salvo que estén en una línea recta como el CO2)

nRTkTNE 3)( 26

int == (Gas poli atómico).

La energía interna de un gas ideal depende exclusivamente de su temperatura. Por ejemplo, para una molécula diatómica que vibra libremente tiene dos contribuciones más aparte de las cinco anteriores: la energía potencial de vibración y la energía cinética de los átomos oscilantes, así tendría siete grados. En las poliatómicas los grados vibracionales pueden ser más de dos. Energía molecular: ).......(..2

1 oscilatEgvibEgesrotacionalgalestraslaciongTkE Cpm +++=

Calores específicos molares de los sólidos Un átomo en un sólido cristalino está fijo a una red cristalina. Alrededor de su posición de equilibrio oscila hacia atrás y hacia delante en tres direcciones independientes, desplegando así tres grados de libertad asociados a su energía cinética. También posee energía potencial, relacionada con las fuerzas entre él y los átomos vecinos, una vez más en tres direcciones independientes.

kTTkx 3.6 21 = . En una muestra con N átomos, la energía interna total será

nRTkTnNkTNE A 33)3(int === . Suponemos que se agrega energía en forma de calor a la muestra

sólida, elevando su temperatura en T∆ , no se produce trabajo y según la primer ley de la termodinámica tenemos TnREQ ∆=∆= 3int . Entonces el calor específico molar es

]./[25]./[31,8333

KmolJKmolJxRTn

TnR

Tn

QC ≈==

∆∆=

∆=

Sirve para altas temperaturas. Para bajas temperaturas se debería hacer un estudio en la física cuántica que logra coincidir con los experimentos. Capacidades caloríficas de un gas ideal Calor específico molar a volumen constante No hay cambio de volumen, entonces no se produce trabajo. Por la primer ley, y W=0 tenemos intEQ ∆= .

Con Cv representamos el calor específico molar a volumen constante, así que:

Tn

E

Tn

QCv ∆

∆=∆

= int ,para un gas monoatómico nRTE 23

int = , por lo tanto: ]./[5,1223 KmolJRCv == ,

para un diatómico: ]./[8,2025 KmolJRCv == para un poliatómico: ]./[9,243 KmolJRCv ==

Calor específico a presión constante Señalamos que la energía interna de un gas ideal depende exclusivamente de la temperatura. En todas las trayectorias que conectan a las dos isotermas, el cambio de energía interna posee el mismo valor, porque todas las trayectorias corresponden al mismo cambio de temperatura. En particular, el de energía interna es igual en las trayectorias AB y AC

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TnCEE vACAB ∆=∆=∆ intint (1), WQE AC +=∆ int (2). El calor transferido en un proceso constante puede

escribirse: TnCQ p∆= (3), donde Cp es el calor específico a presión constante. El trabajo

)( VpW ∆−= en la trayectoria AC, que usando la ley del gas ideal puede describirse así para un proceso a

presión constante: TnRVpW ∆−=∆−= (4). Con (1),(3) y (4) en (2):

TnRTnCTnC pV ∆−∆=∆ o bien RCC vp +=

]./[8,2025 KmolJRC p == (gas monoatómico)

]./[1,2927 KmolJRC p == (gas diatómico)

]./[3,334 KmolJRC p == (gas poliatómico)

Razón de calores específicos (γ)

V

p

C

C=γ El calor específico se relaciona con el calor específico molar mediante c=C/M, dónde M es la masa

molar de la sustancia. 67,13

5 ==γ (Gas monoatómico), 40,157 ==γ (Gas diatómico), 33,13

4 ==γ (poliatómico) Aplicaciones de la primera ley de la termodinámica Procesos adiabáticos Esto es un proceso que se realiza lentamente de modo que el sistema está siempre cerca del equilibrio pero, es lo suficientemente rápido en comparación con lo que tarda el sistema en intercambiar calor con los alrededores ; para esta situación la presión y el volumen en cualquier instante del proceso adiabático cuasi-estático están relacionados por la expresión:

Esta expresión la podemos deducir de las siguientes consideraciones: Sabemos que el primer principio de la termodinámica toma la forma a) dQ = cv dT + P dv y También toma la forma b) dQ = cP dT - V dP Como el proceso es adiabático (dQ =0), entonces de a) se tiene cV dT = -P dV y de b) se tiene cP dT = VdP Dividiendo ambas ecuaciones se tiene :

Si se considera a γ constante e integrando se tiene que:

Luego En un gráfico PV la pendiente de la curva adiabática es de mayor pendiente que la curva isotérmica.

Proceso isobárico Evolución de un sistema termodinámico a presión constante. El agua que hierve en un recipiente abierto a la atmósfera es un ejemplo de proceso isobárico. Cuando un sistema termodinámico experimenta un proceso isobárico, pasando del estado definido por las variables p y V

1, al estado definido por p y V

2, el trabajo que se realiza viene dado por W = p(V

2 – V

1). El

trabajo realizado por el sistema es positivo cuando el incremento de volumen es positivo; se efectúa trabajo sobre el sistema termodinámico si el incremento de volumen es negativo. El calor producido o absorbido cuando un sistema termodinámico experimenta un proceso isobárico es igual a la variación de entalpía del proceso.

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Procesos isotérmicos La temperatura es constante, si es en un gas ideal 00int =+⇒=∆ WQE , si en el gas se realiza una

cantidad de trabajo W (+), el gas liberará hacia el ambiente una cantidad equivalente de calor Q = -W. Procesos isocóricos (volumen constante) Al ser constante el volumen, no se produce trabajo (W=0) y por la primer ley nos da QE =∆ int . En este

caso, todo el calor que entra en el gas (Q>0) se guarda en forma de energía interna )0( int >∆E .

Procesos cíclicos En un proceso cíclico llevamos a cavo una secuencia de operaciones que con el tiempo devuelven el sistema a su estado original.

Expansión libre

Al inicio el gas se encuentra a un costado del contenedor y cuando se abre el grifo, se expande hacia la otra mitad previamente evacuada. El contenedor está aislado y por eso el proceso es adiabático. En consecuencia , con W=0 y con Q=0, la primer ley de la termodinámica nos da 0int =∆E .

Así pues, permanece constante la energía interna de un gas ideal sometido a este tipo de expansión; como la energía interna de un gas depende únicamente de la temperatura, lo mismo sucederá con su temperatura. En el caso de la expansión libre, el estado inicial (todo el gas en un lado) es de equilibrio, lo mismo que su estado final; pero en momentos intermedios, a

medida que el gas se desplaza apresuradamente de un lado al otro, ni la temperatura ni la presión poseen valores únicos y no es posible graficarla el proceso de un diagrama pV. Sistemas Un sistema es una entidad material formada por partes organizadas (o sus "componentes") que interactúan entre sí de manera que las propiedades del conjunto, sin contradecirlas, no pueden deducirse por completo de las propiedades de las partes. Los sistemas reales intercambian con su entorno energía, información y, en la mayor parte de los casos, también materia Tipos de sistemas Los sistemas reales pueden ser abiertos, cerrados o aislados, según que realicen o no intercambios con su entorno. Sistema abierto: es un sistema que recibe flujos (energía y materia) de su ambiente, cambiando o ajustando su comportamiento o su estado según las entradas que recibe. Los sistemas abiertos, por el hecho de recibir energía, pueden realizar el trabajo de mantener sus propias estructuras e incluso Sistema cerrado: sólo intercambia energía con su entorno. Procesos en una dirección Todos los procesos que se realizan espontáneamente ocurren en una dirección. Nunca siguen por si mismo direcciones contrarias. Los procesos espontáneos en una dirección son irreversibles, es decir, seguirán su curso una vez iniciados.

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Segunda ley de la termodinámica Dice que: cuando ocurren cambios dentro de un sistema cerrado, su entropía aumenta (en los procesos irreversibles) o permanece constante (en los procesos reversibles). Nunca disminuye. En forma de ecuación, la afirmación anterior se puede expresar así: 0≥∆S . El signo “mayor que” se aplica a los procesos irreversibles y el signo “igual” a los procesos reversibles. Máquinas térmicas y la segunda ley Máquina térmica:

La base de nuestra sociedad tecnológica es la capacidad de usar fuentes de energía distintas de la potencia muscular. Hay casos en que la energía mecánica está disponible directamente, como la del agua, pero casi toda nuestra energía proviene de quemar combustibles fósiles (carbón, petróleo y gas) y de reacciones nucleares. El producto es energía que se transfiere como calor, el cual es útil directamente para calentar edificios, cocinar y realizar procesos químicos; sin embargo, para operar una máquina o impulsar un vehículo, necesitamos energía mecánica. Por tanto, es importante saber cómo tomar calor de una fuente y convertir tanto de él como sea posible en energía mecánica o trabajo. Esto es lo que sucede en los motores a gasolina de los autos, los motores a reacción de los aviones, las turbinas de vapor en las plantas de electricidad y muchos otros sistemas. Se efectúan procesos muy similares en el reino animal; los alimentos se "queman" —es decir, los carbohidratos se combinan con oxígeno para producir agua, dióxido de carbono y energía— y esa energía se convierte parcialmente en energía mecánica cuando los músculos del animal efectúan trabajo sobre su entorno. Un dispositivo que transforma calor parcialmente en trabajo o energía

mecánica es una máquina de calor. Por lo regular, una cantidad de materia dentro del motor experimenta entrada y salida de calor, expansión y compresión, y a veces cambio de fase. Llamamos a ésta la sustancia de trabajo de la máquina. En los motores de combustión interna, la sustancia de trabajo es una mezcla de aire y combustible; en una turbina de vapor, es el agua (Fig. 20.2). El tipo de máquina más fácil de analizar es aquel en el que la sustancia de trabajo efectúa un proceso cíclico, una sucesión de procesos que al final deja la sustancia en el estado en que inició. En una turbina de vapor, el agua se recicla usándose una y otra vez. Los motores de combustión interna no usan el mismo aire una y otra vez, pero de todos modos podemos analizarlos en términos de procesos cíclicos que aproximan su funcionamiento real. Todas las máquinas de calor absorben calor de una fuente a una temperatura relativamente alta, realizan un trabajo mecánico y desechan o rechazan algo de calor a una temperatura más baja. En lo que a la máquina concierne, el calor desechado se desperdicia. En los motores de combustión interna, éste es el calor que se elimina en los gases de escape calientes y en el sistema de enfriamiento; en una turbina de vapor, es el calor que debe salir del vapor usado para poder condensar y reciclar el agua. Si un sistema pasa por un proceso cíclico, su energía interna inicial y final es la misma. Para todo proceso cíclico, la primera ley de la termodinámica exige que

U2 – U1 = 0 = Q - W así que Q = W Es decir, el calor neto que fluye hacia la máquina en un proceso cíclico es igual al trabajo realizado por la máquina. Al analizar máquinas de calor, resulta útil considerar dos depósitos con los que la sustancia de trabajo puede interactuar. Uno, llamado depósito caliente, representa la fuente de calor; puede dar a la sustancia de trabajo grandes cantidades de calor a temperatura constante Tc sin cambiar apreciablemente su propia temperatura. El otro, llamado depósito frío, puede absorber grandes cantidades de calor desechado por la máquina a una temperatura constante menor Tf. En un sistema de turbina de vapor, las flamas y gases calientes de la caldera son el depósito caliente, y el agua fría y el aire empleados para condensar y enfriar el vapor usado son el depósito frío. Denotamos las cantidades de calor transferido de los depósitos caliente y frío como Qc y Qf, respectivamente. Una cantidad de calor Q es positiva cuando se transfiere a la sustancia de trabajo, y negativa si sale de la sustancia. Así, en una máquina de calor, Qc es positivo pero Qf es negativo, pues representa calor que sale de la sustancia de trabajo. Muchas veces las relaciones son más claras si se plantean en términos de los valores absolutos de los Q y W, porque siempre son positivos. Podemos representar las transformaciones de energía en una máquina de calor con el diagrama de flujo de energía de la figura 20.3. La máquina en sí se representa con un círculo. El calor Qc suministrado a la máquina por el depósito caliente es proporcional a la anchura de la "tubería" de entrada en la parte superior del diagrama. La anchura de la tubería de salida abajo es proporcional a la magnitud |Qf| del calor rechazado

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en el escape. El ramal de la derecha representa la porción del calor suministrado que la máquina convierte en trabajo mecánico, W. Si una máquina repite el mismo ciclo una y otra vez, Qc y OF representan el calor absorbido y rechazado por la máquina durante un ciclo; Qc es positivo, y QF, negativo. El calor neto Q absorbido por ciclo es La salida útil de la máquina es el trabajo neto W efectuado por la sustancia de trabajo. Por la primera ley, Idealmente, nos gustaría convertir todo el calor Qc en trabajo; en tal caso tendríamos Qc = W y QF = 0. La experiencia muestra que esto es imposible; siempre se desperdicia algo de calor y QF nunca es cero. Definimos la eficiencia térmica de una máquina, denotada con e, como el cociente La eficiencia térmica e representa la fracción de Qc que sí se convierte en trabajo. Dicho de otro modo, e es lo que se obtiene dividido entre lo que se paga, y siempre es menor que 1: ¡una experiencia demasiado común! En términos del diagrama de flujo de la figura 20.3, la máquina más eficiente es aquella en la que el ramal que representa la salida de trabajo es lo más ancho posible, y la tubería de escape que representa el calor desechado es lo más angosta posible. Si sustituimos las dos expresiones para W dadas por la ecuación (20.2) en la ecuación (20.3), obtenemos las siguientes expresiones equivalentes para e:

Observe que e es el cociente de dos cantidades de energía y por tanto es un número puro, sin unidades. Desde luego, siempre debernos expresar W, Qc y Qf en las mismas unidades. Refrigeradores

Podemos ver un refrigerador como una máquina de calor que opera en reversa. Una máquina de calor toma calor de un lugar caliente y lo cede a un lugar más frío. Un refrigerador hace lo contrario; toma calor de un lugar frío (el interior del refrigerador) y lo cede a un lugar más caliente (generalmente a el aire del sitio donde está el refrigerador). Una máquina de calor tiene una salida neta de trabajo mecánico; el refrigerador requiere una entrada neta de trabajo mecánico. Aplicando las convenciones de signo de la sección 20.2, a un refrigerador, QF es positivo pero tanto W como Qc son negativos: |W| = -W y |Qc| = -Qc. La figura 20.7 muestra un diagrama de flujo para un refrigerador. Por la primera ley para un proceso cíclico,

Qc + QF - W = 0 o sea -Qc = Qf - W o bien, puesto que tanto Qc como W son negativos,

|Qc| = QF+|W| (20.7) Como muestra el diagrama, el calor |Qc| que sale de la sustancia de trabajo y se cede al depósito caliente siempre es mayor que el calor Qr tomado del depósito frío. Observe que la relación de valor absoluto

|Qc| =|QF|+|W| (20.8) es válida tanto para máquinas de calor como refrigeradores. Desde un punto de vista económico, el mejor ciclo de refrigeración es el que saca el máximo de calor |QF| del refrigerador con el menor gasto de trabajo mecánico, |W|. Por tanto, la razón relevante es |QF| / |W| cuanto mayor sea, mejor será el refrigerador. Llamamos a esta razón coeficiente de rendimiento, denotado con K. Por la ecuación (20.8), |W| = |QC| - |QF|, así que

Como siempre, medimos Qc, QF y W en las mismas unidades de energía; K es entonces un número adimensional.

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Los principios del ciclo de refrigeración común se muestran esquemáticamente en la figura 20.8a. El "circuito" contiene un fluido refrigerante (la sustancia de trabajo). El lado izquierdo del circuito (que incluye las espiras de enfriamiento dentro del refrigerador) está a baja temperatura y baja presión; el lado derecho (que incluye las espiras de condensación fuera del refrigerador) está a alta temperatura y alta presión. Por lo regular, ambos lados contienen líquido y vapor en equilibrio de fases. El compresor admite fluido (en estado gaseoso), lo comprime adiabáticamente y lo alimenta al condensador a alta presión. La temperatura del fluido es entonces mayor que la del aire que rodea al condensador, así que el refrigerante cede calor |Qc| y se condensa parcialmente (se convierte en líquido). Luego, el fluido se ex-pande adiabáticamente (pasa de líquido a gas) hacia el evaporador con una rapidez controlada por la válvula de expansión. Al expanderse, el fluido se enfría considerablemente, tanto que está más frío que el entorno del evaporador. El fluido absorbe calor |QF| de su entorno, enfilándolo y vaporizándose parcialmente. A continuación el fluido pasa al compresor para iniciar otro ciclo. El compresor, usualmente impulsado por un motor eléctrico (Fig. 20.8b), requiere aporte de energía y realiza trabajo |W| sobre la sustancia de trabajo durante cada ciclo.

La máquina de Carnot: La máquina absorbe calor desde la fuente caliente T1 y cede calor a la fría T2 produciendo trabajo. Suponemos que todos los procesos termodinámicos que intervienen en el funcionamiento de la máquina son reversibles.

Ciclo de Carnot Se define ciclo de Carnot como un proceso cíclico reversible que utiliza un gas perfecto, y que consta de dos transformaciones isotérmicas y dos adiabáticas, tal como se muestra en la figura.

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La representación gráfica del ciclo de Carnot en un diagrama p-V es el siguiente

Tramo A-B isoterma a la temperatura T1 Tramo B-C adiabática Tramo C-D isoterma a la temperatura T2 Tramo D-A adiabática

En cualquier ciclo, tenemos que obtener a partir de los datos iniciales:

• La presión, volumen de cada uno de los vértices. • El trabajo, el calor y la variación de energía interna en cada una de los procesos. • El trabajo total, el calor absorbido, el calor cedido, y el rendimiento del ciclo.

Escala de temperatura termodinámica La eficiencia térmica de una máquina de Carnot que opera entre dos depósitos de calor a temperaturas Tc y TF es independiente de la naturaleza de la sustancia de trabajo y depende únicamente de las temperaturas. Por la ecuación (20.4) la eficiencia es

Por tanto, la razón QfIQc es la misma para todas las máquinas de Carnot que operan entre dos temperaturas dadas Tc y Tr. Kelvin propuso que, por definición, la razón Tf /Tc fuera igual a la magnitud del cociente QFlQc de las cantidades de calor absorbida y expulsada:

La ecuación (20.16) parece idéntica a la (20.13), pero hay una sutil y crucial diferencia. Las temperaturas de la ecuación (20.13) se basan en un termómetro de gas ideal, mientras que la ecuación (20.16) define una escala de temperatura con base en el ciclo de Carnot y la segunda ley de la termodinámica, y es independiente del comportamiento de cualquier sustancia específica. Por tanto, la escala de temperatura Kelvin es en verdad absoluta. Para completar la definición de la escala Kelvin, asignamos, como en la sección 17.3, el valor arbitrario de 273.16 a la temperatura del punto triple del agua. Cuando llevamos una sustancia por un ciclo de Carnot, la razón de los calores absorbido y expulsado, |Qc| / |Qf| es igual a la razón de las temperaturas de los depósitos expresadas en la escala de termómetro de gas. Puesto que el punto triple del agua se escoge como 273.16 K en ambas escalas, se sigue que las escalas Kelvin y de gas ideal son idénticas. El punto cero de la escala Kelvin se denomina cero absoluto, y se puede interpretar en un nivel molecular: en el cero absoluto, el sistema tiene su mínima energía interna total (cinética más potencial) posible. Sin embargo, a causa de efectos cuánticos, no es verdad que en T = 0 cese todo el movimiento molecular. Hay razones teóricas para creer que no es posible lograr el cero absoluto experimental-mente, aunque se han alcanzado temperaturas por debajo de 10-7 K. Cuanto más nos acercamos al cero absoluto, más difícil es

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acercarse más. Un planteamiento de la tercera ley de la termodinámica es que es imposible alcanzar el cero absoluto en un número finito de pasos termodinámicos. Entropía (S) Es una propiedad de estado (como la presión y la temperatura) y controla la dirección de los procesos irreversibles. La entropía se distingue de la energía wn que no obedece una ley de conservación. Principio de entropía: si ocurre un proceso irreversible en un sistema cerrado, su entropía siempre aumenta, nunca disminuye. Si un proceso se efectúa de manera irreversible en un sistema cerrado, el principio de entropía establece que 0>∆S . Los procesos “reversibles” si es que ocurren, tendrian 0<∆S y violaría el principio. Hay dos formas equivalentes de definir el cambio de entropía de un sistema:

1. el método macroscopico: que incluye transferencia de calor y temperatura a la cual se da la transferencia.

2. el método microscópico: que exige contar con cuantas formas pueden disponerse, los átomos o moléculas que integran el sistema.

Definición del cambio de entropía Definimos el cambio de entropía S∆ que ocurre cuando, mediante un proceso que calificamos de reversible, un sistema pasa de un estado inicial a un estado final igualmente bien definido. Consideremos un bloque de metal en una placa caliente a una temperatura T. si aumentamos la temperatura de la placa caliente en un pequeño paso dT, se le transferirá de ella un poco de calor dQ al bloque. Y si luego disminuimos en dT la temperatura de la placa caliente, se le transferirá una cantidad igual de calor dQ desde el bloque. Al bloque y a la placa caliente se le restablece la condición original: el calor así transferido se obtiene por medio de un proceso reversible. En un proceso auténticamente reversible no se pierde energía a causa de la turbulencia, de la fricción ni de otros efectos disipatorios. Claro que este proceso es una abstracción, pues en todos los procesos naturales se producen estos tipos de pérdida de energía y, por tanto, son irreversibles. El proceso estrictamente reversible es una abstracción simple y útil que sirve para analizar y entender procesos mas complejos. Cambio de entropía en un proceso reversible

∫=∆f

i T

dQS (a)

Si el proceso es isotérmico y por ello la transferencia de calor se efectúa a una temperatura constante, la ecuación anterior se reduce a: T

QS =∆ . El cambio de entropía tiene el mismo signo algebraico que Q. La unidad de entropía es [joule/kelvin] La entropía como una propiedad de estado

intdEdWdQ =+ . Reemplazamos pdVdW −= y a dTnCE v=int en la ecuación anterior y despejamos

a dQ, quedando dTnCdVpdQ V+= . . Usando la ley del gas ideal reemplazamos p por nRT/V y luego

dividimos por T a cada término de la ecuación resultante, eso nos da

T

dTnC

V

dVnR

T

dQv+=

A continuación integramos los términos de la ecuación anterior entre un estado inicial arbitrario i y otro final f.

i

fv

i

f

T

TnC

V

VnRS lnln +=∆

El resultado anterior debe ser válido en todas las trayectorias (reversibles). Por eso el cambio de entropía entre los estados inicial y final de un gas ideal depende sólo de las propiedades del primero (Ti y Vi) y segundo (Tf y Vf). en conclusión, la entropía es, en defecto, una propiedad de estado, típica del estado particular de un sistema sin que dependa de cómo llegó a el. Cambio de entropía en los procesos irreversibles Para calcular en procesos irreversibles procedemos de la siguiente manera:

1. Se encuentra el proceso irreversible que conecta los dos mismos estados. Bastará con uno de ellos. Siempre nos conviene elegir el mas sencillo.

2. Con la ecuación (a) se calcula S∆ para este proceso irreversible equivalente. El resultado será válido también para el proceso original.

Ejemplo: caida de una piedra en una cubeta de agua aislada térmicamente.

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Escogemos el sistema piedra+agua. No se le transmite calor a través de la frontera, por lo cual Q=0. la fuerza gravitacional que opera sobre la piedra realiza trabajo en el sistema, con un valor msgh donde ms es la masa de la piedra. W=+ msgh, entonces: ghmghmWQE ss +=+=+=∆ 0int

El proceso que conecta a ambos es un depósito térmico cuya temperatura controlable ponemos a Ti. No dejamos que la piedra caiga libremente; la sujetamos a una piedra y la bajamos con mucha lentitud. Una vez en el agua aumentamos la temperatura. Este proceso es verdaderamente reversible. Podriamos cambiar la dirección del proceso en cualquier etapa, con solo hacer pequeños ajustes en el ambiente del sistema. Las transferencias de energía que se dan en el proceso son las siguientes: la fuerza que actúa sobre la piedra es cero; la fuerza de gravedad es balanceada por la tensión ascendente de la cuerda. Por tanto, W=0

ghmghmWEQ ss +=−=−∆= 0int . Esa cantidad de calor debe entrar desde el depósito térmico si

queremos aumentar la temperatura del sistema. Si conocemos Q podemos calcular S∆ . Entropía y la segunda ley Los resultados del ejemplo 20.10 respecto al flujo de calor de una temperatura mayor a una menor, o el mezclado de sustancias a diferentes temperaturas, son característicos de todos los procesos naturales (o sea, irreversibles). Si incluimos los cambios de entropía de todos los sistemas que participan en el proceso, los aumentos siempre son mayores que las reducciones. En el caso especial de un proceso reversible, los aumentos y reducciones son iguales, y podemos enunciar el principio general: si se incluyen todos los sistemas que participan en un proceso, la entropía se mantiene constante o bien aumenta. En otras palabras, no puede haber un proceso en el que la entropía tot al disminuya, si se incluyen todos los sistemas que participan en el proceso. Éste es otro planteamiento de la segunda ley de la termodinámica en términos de entropía, así que es equivalente a los planteamientos de "máquina" y "refrigerador" que vimos antes. La figura 20.17 muestra un ejemplo específico de este principio general. El aumento de entropía en todos los procesos naturales (irreversibles) mide el aumento del desorden o aleatoriedad del Universo asociado a ese proceso. Consideremos otra vez el ejemplo de mezclar agua caliente y fría (ejemplo 20.10). Podríamos haber usado estas aguas como depósitos de alta y baja temperatura de una máquina de calor. Al tomar calor del agua caliente y cederlo a la fría, podríamos haber obtenido algo de trabajo mecánico. Sin embargo, una vez que las dos aguas se mezclan y alcanzan una temperatura uniforme, esa oportunidad de convertir calor en trabajo mecánico se pierde irremediablemente. El agua tibia nunca se desmezclará, separándose en porciones fría y caliente. No hay disminución de energía cuando se mezclan las aguas fría y caliente; lo que se pierde no es energía, sino oportunidad: la oportunidad de convertir parte del calor del agua caliente en trabajo mecánico. Por tanto, cuando la entropía aumenta, la energía está menos disponible, y el Universo se vuelve más aleatorio o "gastado".