Embed Size (px)
Citation preview
ChChương 2ương 2: BI: BIẾN ĐỔIẾN ĐỔI Z V Z VÀ ỨNG DỤNG VÀO À ỨNG DỤNG VÀO
HHỆ THỐNG LTI RỜI RẠCỆ THỐNG LTI RỜI RẠC
Bài 1 BIBài 1 BIẾN ĐỔIẾN ĐỔI Z Z
Bài 2 CBài 2 CÁC TÍNH CHẤT BIẾN ĐỔI ÁC TÍNH CHẤT BIẾN ĐỔI ZZ
Bài 3 BIBài 3 BIẾN ĐỔI Z NGƯỢCẾN ĐỔI Z NGƯỢC
Bài 4 HBài 4 HÀM TRUYỀN ĐẠT CỦA HỆ LTI RỜI RẠCÀM TRUYỀN ĐẠT CỦA HỆ LTI RỜI RẠC
Bài 5 GIBài 5 GIẢIẢI PTSP D PTSP DÙNG BIẾN ĐỔI Z 1 PHÍAÙNG BIẾN ĐỔI Z 1 PHÍA
Nếu x(n) nhân quả thì : (*) (**)Nếu x(n) nhân quả thì : (*) (**)
Ký hiệu:Ký hiệu:
x(n) X(z) hay X(z) = Z{x(n)}x(n) X(z) hay X(z) = Z{x(n)}
X(z) X(z) x(n) hay x(n) = Z x(n) hay x(n) = Z-1-1{X(z)} {X(z)}
BÀI 1 BIBÀI 1 BIẾẾN N ĐỔIĐỔI Z Z
1. 1. ĐỊNH NGHĨA BIẾN ĐỔIĐỊNH NGHĨA BIẾN ĐỔI Z: Z:
∑∞
=
−=0n
nznxzX )()(
→←Z
→←−1Z
≡
Biểu thức (*) còn gọi là biến đổi Z hai phíaBiểu thức (*) còn gọi là biến đổi Z hai phía
BiBiến đổi Z của dãyến đổi Z của dãy x(n): x(n):
Biến đổi Z 1 phía dãy x(n):Biến đổi Z 1 phía dãy x(n):
(*)(*)
(**)(**)
Trong Trong đóđó Z – bi Z – biến số phứcến số phức
∑∞
−∞=
−=n
nznxzX )()(
Miền hội tụ của biến đổi ZMiền hội tụ của biến đổi Z - - ROC (Region Of Convergence) ROC (Region Of Convergence) llà tập hợp tất cả à tập hợp tất cả ccác giá trị Z nằm trong mặt phẳng phứcác giá trị Z nằm trong mặt phẳng phức sao sao cho X(z) hcho X(z) hội tụội tụ..
2. MIỀN HỘI TỤ CỦA BIẾN ĐỔI Z (ROC)2. MIỀN HỘI TỤ CỦA BIẾN ĐỔI Z (ROC)
+++=∑∞
=)2()1()0()(
0
xxxnxn
1)(lim1
<∞→
nn
nx
00
Im(Z)
Re(z)
Rx+
Rx-ROCĐểĐể tìm ROC c tìm ROC củủa X(z) ta a X(z) ta áp dụngáp dụng
titiêu chuẩnêu chuẩn Cauchy Cauchy
TiTiêu chuẩnêu chuẩn Cauchy: Cauchy:
MMột chuỗi có dạngột chuỗi có dạng::
hhội tụ nếuội tụ nếu::
Ví dụ 1Ví dụ 1: : Tìm biến đổi Z & ROC của:Tìm biến đổi Z & ROC của:
Giải:Giải:( )
n
n
az∑∞
=
−=0
1
11
1)( −−
=az
zX
azaznn
n>⇔<
−
∞→1lim
11
∑∞
−∞=
−=n
nznxzX )()( [ ]∑∞
−∞=
−=n
nn znua )( ∑∞
=
−=0
.n
nn za
)()( nuanx n=
0
ROCROCIm(z)
Re(z)/a/
Theo tiTheo tiêuêu chu chuẩẩn Cauchy, n Cauchy,
X(z) sX(z) sẽẽ h hộội ti tụụ::
NNếu:ếu:
VVậy:ậy: aaz
zX >−
= − Z:ROC;1
1)( 1
)1()( −−−= nuanx n
( )m
m
za∑∞
=
−−=1
1
az <⇔ 1lim1
1 <
−
∞→
nn
nza
∑∞
−∞=
−=n
nznxzX )()( [ ]∑∞
−∞=
−−−−=n
nn znua )1( ∑−
−∞=
−−=1
.n
nn za
( ) 10
1 +−= ∑∞
=
−m
m
za
( ) 1)(0
1 +−= ∑∞
=
−n
m
zazX 11
1 −−
=az
0
ROCROC
Im(z)
Re(z)/a/
Ví dụ 2Ví dụ 2: : Tìm biến đổi Z & ROC của:Tìm biến đổi Z & ROC của:
Giải:Giải:
Theo tiTheo tiêuêu chu chuẩẩn Cauchy, n Cauchy,
X(z) sX(z) sẽẽ h hộội ti tụụ::
NNếu:ếu:
BÀI 2 CÁC TÍNH CHẤT BIẾN ĐỔI ZBÀI 2 CÁC TÍNH CHẤT BIẾN ĐỔI Z
1) 1) Tuyến tínhTuyến tính
RROC : )()( 222 =→← zXnx Z
RROC : )()( 111 =→← zXnx Z
)()()()( 22112211 zXazXanxanxa Z +→←+
)1()()( −−−= nubnuanx nn ba <GiGiải:ải:
Nếu:Nếu:
Thì:Thì:
Ví dụ 1Ví dụ 1: : Tìm biến đổi Z & ROC của:Tìm biến đổi Z & ROC của:
vvớiới
ROC ROC chchứa ứa RR11∩∩ R R22
Áp dụng tính chất tuyến tính, ta được:Áp dụng tính chất tuyến tính, ta được:
11
1)( −−
→←az
nua Zn
zbnub Zn
11
1)1( −−
→←−−− bzR <:2
→←−−− Znn nubnua )1()( 11 1
1
1
1−− −
+− bzaz
0
ROCROC
Im(z)
Re(z)/a/
0
ROCROC
Im(z)
Re(z)/b/
azR >:1
bzaRRR <<∩= :21
0
ROCROC
Im(z)
Re(z)/b/
/a/
Theo vTheo ví dụ 1 và 2, ta có:í dụ 1 và 2, ta có:
2) 2) Dịch theo thời gianDịch theo thời gian
aaz
nua Zn >−
→← − z:ROC;1
1)( 1
)1()( −= nuanx n
)1()( −= nuanx n )1(. 1 −= − nuaa n azaz
azZ >−
→← −
−
:1 1
1
RROC : )()( =→← zXnx Z
R'ROC : )()( 00 =→←− − zXZnnx nZ
R
R R'
= trừ giá trị z=0, khi n0>0
trừ giá trị z=∞, khi n0<0
Ví dụ 3Ví dụ 3: : Tìm biến đổi Z & ROC của:Tìm biến đổi Z & ROC của:
NNếu:ếu:
ThThì:ì:
VVới:ới:
Giải:Giải:
Theo vTheo ví dụ 1:í dụ 1:
VVậy:ậy:
3) 3) NhNhân với hàm mũ aân với hàm mũ ann
)()(1 nuanx n=
aR'az
zaXnuanxa Znn >−
=→←= −− z:;
1
1)()()(
11
RROC : )()( =→← zXnx Z
R ROC : )()( 1 azaXnxa Zn = →← −
)()(2 nunx =
1)()()()( −∞
−∞=∑=→←= znuzXnunxn
Z
Giải:Giải:
NNếu:ếu:
ThThì:ì:
Ví dụ 4Ví dụ 4: : XXét ét biến đổi Z & ROC của:biến đổi Z & ROC của:
vvàà
1:;1
11 >
−= − zR
z
4) 4) Đạo hàm X(z) theo zĐạo hàm X(z) theo z
)()( nunang n=
aaz
zXnuanx Zn >−
=→←= − z:ROC;1
1)()()( 1
RROC : )()( =→← zXnx Z
RROC : )( =−→←dz
dX(z)znxn Z
dz
zdXzzGnnxng Z )(
)()()( −=→←= azaz
az >−
= −
−
:)1( 21
1
Giải:Giải:
Theo vTheo ví dụ 1:í dụ 1:
NNếu:ếu:
ThThì:ì:
Ví dụ 5Ví dụ 5: : TTìm ìm biến đổi Z & ROC của:biến đổi Z & ROC của:
5) 5) Đảo biến sốĐảo biến số
NNếu:ếu:
ThThì:ì:
( ) )(1)( nuany n −=
aaz
zXnuanx Zn >−
=→←= − z:ROC;1
1)()()( 1
RROC : )()( =→← zXnx Z
RXnx Z 1ROC : )(z)( -1 =→←−
( ) )()()(1)( nxnuanuany nn −=−=−=⇒ −
( ) a/1z:ROC;az1
1
za1
1)z(X)z(Y 11
1 <−
=−
== −−−
Ví dụ 6Ví dụ 6: : TTìm ìm biến đổi Z & ROC của:biến đổi Z & ROC của:
Giải:Giải: Theo vTheo ví dụ 1:í dụ 1:
Áp dụng tính chất đảo biến số:Áp dụng tính chất đảo biến số:
6) 6) Liên hiệp phứcLiên hiệp phức
RROC : )()( =→← zXnx Z
RXnx Z =→← ROC : (z*)*)(*
7) 7) Tích 2 dãyTích 2 dãy
RRROC : d )(2
1)()( 21
12121 =
→← ∫ − ννν
νπ c
Z zXXnxnx
8) 8) Định lý giá trị đầuĐịnh lý giá trị đầu
NNếu x(n) nhân quả thì:ếu x(n) nhân quả thì: X(z) )0(∞→
=ZLimx
RROC : )()( 222 =→← zXnx Z
RROC : )()( 111 =→← zXnx Z
NNếu:ếu:
Thì:Thì:
NNếu:ếu:
Thì:Thì:
Ví dụ 7Ví dụ 7: : TTìm ìm x(0)x(0), bi, biết ết X(z)=eX(z)=e1/z1/z và x(n) nhân quả và x(n) nhân quả
Giải:Giải:
X(z) lim)0(∞→
=Z
x
9) 9) Tích chập 2 dãyTích chập 2 dãy
RROC : )()( 222 =→← zXnx Z
RROC : )()( 111 =→← zXnx Z
)()()(*)( 2121 zXzXnxnx Z→← ;ROC có chứa R1 ∩ R2
1e lim 1/z ==∞→Z
Thì:Thì:
Nếu:Nếu:
Theo Theo định lý giá trị đầu:định lý giá trị đầu:
5.0:;5.01
1)()()5.0()( 1 >
−=→←= − zROC
zzXnunx Zn
2:;21
1)()1(2)( 1 <
−=→←−−−= − zROC
zzHnunh Zn
25,0:;)21(
1.)5.01(
1)()()( 11 <<
−−== −− zROC
zzzHzXzY
25,0:;)21(
1.3
4
)5.01(
1.3
111 <<
−+
−−= −− zROC
zz
)1(23
4)()5.0(
3
1)(*)()( −−−−== nununhnxny nn
Z-1
Ví dụ 8Ví dụ 8:: TTìm ìm y(n) = x(n)*h(n), y(n) = x(n)*h(n), bibiết:ết:
)()5.0()( nunx n= )1(2)( −−−= nunh n
GiGiảiải::
TỔNG KẾT CÁC TÍNH CHẤT BIẾN ĐỔI ZTỔNG KẾT CÁC TÍNH CHẤT BIẾN ĐỔI Z
x(n)x(n) X(z)X(z) RR
aa11xx11(n)+a(n)+a22xx22(n)(n) aa11XX11(z)+a(z)+a22XX22(z)(z) Chứa Chứa RR1 1 ∩∩ R R22
x(n-nx(n-n00)) ZZ-n0 -n0 X(z)X(z) R’R’
aan n x(n)x(n) X(aX(a-1-1z)z) RR
nx(n)nx(n) -z dX(z)/dz-z dX(z)/dz RR
x(-n)x(-n) X(z X(z -1-1)) 1/R1/R
x*(n)x*(n) X*(z*)X*(z*) RR
xx11(n)x(n)x22(n)(n) RR1 1 ∩∩ R R22
x(n)x(n) nhân quả nhân quả x(0)=lim X(z ->x(0)=lim X(z ->∞)∞)
xx11(n)*x(n)*x22(n)(n) XX11(z)X(z)X22(z)(z) Chứa Chứa RR1 1 ∩∩ R R22
dvvv
zXvX
j C
121 )(
2
1 −
∫π
BIẾN ĐỔI Z MỘT SỐ DÃY THÔNG DỤNGBIẾN ĐỔI Z MỘT SỐ DÃY THÔNG DỤNG
x(n)x(n) X(z)X(z) ROCROC
δδ(n)(n) 11 ∀∀zz
u(n)u(n) /z/ >1/z/ >1
-u(-n-1)-u(-n-1) /z/ <1/z/ <1
aan n u(n)u(n) /z/ > /a//z/ > /a/
-a-an n u(-n-1)u(-n-1) /z/ < /a//z/ < /a/
nanan n u(n)u(n) /z/ > /a//z/ > /a/
-na-nan n u(-n-1)u(-n-1) /z/ < /a//z/ < /a/
cos(cos(ωωoon)u(n)n)u(n) (1-z(1-z-1-1coscosωωoo)/(1-2z)/(1-2z-1-1coscosωωoo++zz-2-2)) /z/ >1/z/ >1
sin(sin(ωωoon)u(n)n)u(n) (z(z-1-1sinsinωωoo)/(1-2z)/(1-2z-1-1coscosωωoo++zz-2-2)) /z/ >1/z/ >1
11
1−− z
11
1−− az
21
1
)1( −
−
− azaz
BÀI 3 BIẾN ĐỔI Z NGƯỢCBÀI 3 BIẾN ĐỔI Z NGƯỢC
1. C1. CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI Z NGƯỢCÔNG THỨC BIẾN ĐỔI Z NGƯỢC
∫ −=C
n dzz)z(Xj
)n(x 1
2
1
π
Với Với CC - đường cong khép kín bao quanh gốc tọa độ trong - đường cong khép kín bao quanh gốc tọa độ trong mặt phẳng phức, nằm trong miền hội tụ của X(z), theo mặt phẳng phức, nằm trong miền hội tụ của X(z), theo chiều (+) ngược chiều kim đồng hồ chiều (+) ngược chiều kim đồng hồ
Trên thực tế, biểu thức (*) ít được sử dụng do tính chất Trên thực tế, biểu thức (*) ít được sử dụng do tính chất phức tạp của phép lấy tích phân vòngphức tạp của phép lấy tích phân vòng
Các phương pháp biến đổi Z ngược:Các phương pháp biến đổi Z ngược: Thặng dưThặng dư Khai triển thành chuỗi luỹ thừaKhai triển thành chuỗi luỹ thừa Phân tích thành tổng các phân thức tối giảnPhân tích thành tổng các phân thức tối giản
(*)
2. PHƯƠNG PHÁP THẶNG DƯ2. PHƯƠNG PHÁP THẶNG DƯ
b)b) Phương pháp Phương pháp:: Theo lý thuyết thặng dư, biểu thức biến đổi Z ngược theo Theo lý thuyết thặng dư, biểu thức biến đổi Z ngược theo tích phân vòng (*) được xác định bằng tổng các thặng dư tích phân vòng (*) được xác định bằng tổng các thặng dư tại tất cả các điểm cực của hàm tại tất cả các điểm cực của hàm X(z)zX(z)zn-1n-1 ::
Thặng dư tại điểm cực Thặng dư tại điểm cực ZZcici bội bội r r của của F(z)F(z) được định nghĩa:được định nghĩa:
[ ] [ ]cici ZZ
rcir
r
ZZ zzzFdz
d
rzF =−
−
= −−
= ))(()!1(
1)(Res
)1(
)1(
Thặng dư tại điểm cực đơn Thặng dư tại điểm cực đơn ZZcici của của F(z)F(z) được định nghĩa:được định nghĩa:
[ ] [ ]cici ZZciZZ zzzFzF == −= ))(()(Res
a)a) Khái niệm thặng dư của 1 hàm tại điểm cực: Khái niệm thặng dư của 1 hàm tại điểm cực:
- Khái niệm điểm cực, điểm không.
∫ −=C
n dzzzXj
nx 1)(2
1)(
π
ZZcici – các điểm cực của X(z)z – các điểm cực của X(z)zn-1 n-1 nằm trong đường cong Cnằm trong đường cong C
ResRes[[X(z)zX(z)zn-1n-1]]z=zz=zci ci - thặng dư của X(z)z- thặng dư của X(z)zn-1n-1 tại điểm cực z tại điểm cực zcici
Trong đó:Trong đó:
Tổng cộng các thặng dư tại tất cả các điểm cực, ta Tổng cộng các thặng dư tại tất cả các điểm cực, ta được được x(n)x(n)
Ví dụ 1Ví dụ 1: : Tìm biến đổi Z ngược của:Tìm biến đổi Z ngược của:)2(
)(−
=z
zzX
(*)(*)
Giải:Giải:
∫ −=C
n dzzzXj
nx 1)(2
1)(
π ∫ −
−=
C
n dzzz
z
j1
)2(2
1
π
Thay X(z) vào (*), ta đượcThay X(z) vào (*), ta được
nn≥≥00::)2(
)( 1
−=−
z
zzzX
nn
có 1 điểm cực đơn Zcó 1 điểm cực đơn Zc1c1=2=2
Thặng dư tại ZThặng dư tại Zc1c1=2:=2:
2)2(
Res=
−
Z
n
z
z
2
)2()2( =
−
−=
Z
n
zz
z n2=
n<0n<0:: nn
zzzzX −
−
−=
)2(
1)( 1 ZZc1c1=2 đơn=2 đơn,,
ZZc2c2=0 bội m=0 bội mmzz )2(
1
−=
Với: ZVới: Zc1c1=2=22
)2(
1Res
=
−
Zmzz m2
1=2
)2()2(
1
=
−
−=
Zm zzz
Chọn C là đường cong khép kín nằm bên ngoài vòng tròn Chọn C là đường cong khép kín nằm bên ngoài vòng tròn có bán kính là 2có bán kính là 2
0
ROCROC
Im(z)
Re(z)2
C
−
−−−
=−
m
mm
m )2(
)1()!1(
)!1(
1 1
m2
1−=
Vậy, vớiVậy, với n<0: n<0: 02
1
2
1 =−= mm
suy rasuy ra 0:2)( ≥= nnx n hayhay )(2)( nunx n=
Với: ZVới: Zc2c2=0 bội m:=0 bội m:
0)2(
1Res
=
−
Zmzz
01
1
)2(
1
)!1(
1
=−
−
−−
=Z
mmm
m
zzzdz
d
m
3. PHƯƠNG PHÁP KHAI TRIỂN 3. PHƯƠNG PHÁP KHAI TRIỂN THÀNH CHUỖI LUỸ THỪA THÀNH CHUỖI LUỸ THỪA
Giả thiết Giả thiết X(z)X(z) có thể khai triển: có thể khai triển: ∑∞
−∞=
−=n
nnzazX )(
Theo định nghĩa biến đổi ZTheo định nghĩa biến đổi Z ∑∞
−∞=
−=n
nznxzX )()(
(*)(*)
(**)(**)
Đồng nhất (*) & (**), rút ra:Đồng nhất (*) & (**), rút ra: nanx =)(
Ví dụ 2Ví dụ 2: : Tìm x(n) biết:Tìm x(n) biết: )321)(1()( 212 −− +−+= zzzzX
GiảiGiải::
Khai triển X(z) ta được:Khai triển X(z) ta được:∞<< zROC 0:
212 3242)( −− +−+−= zzzzzX ∑−=
−=2
2
)(n
nznx
Suy ra:Suy ra:
Ví dụ 3Ví dụ 3: : Tìm x(n) biết:Tìm x(n) biết: 2:21
1)( 1 >
−= − z
zzX
GiảiGiải::
Do ROC của X(z) là Do ROC của X(z) là /z/>2/z/>2, nên , nên x(n)x(n) sẽ là dãy nhân quả và sẽ là dãy nhân quả và sẽ được khai triển thành chuỗi có dạng:sẽ được khai triển thành chuỗi có dạng:
∑∞
=
−=0
)(n
nnzazX +++= −− 2
21
10 zazaa
Để có dạng (*), thực hiện phép chia đa thức dưới đây:Để có dạng (*), thực hiện phép chia đa thức dưới đây:
(*)(*)
12 −+ z 222 −+ z +
∑∞
=
−=⇒0
2)(n
nn zzX
)(20:2)( nunnx nn ≡≥=⇒
Ví dụ 4Ví dụ 4: : Tìm x(n) biết:Tìm x(n) biết: 2:21
1)( 1 <
−= − z
zzX
GiảiGiải::
Do ROC của X(z) là Do ROC của X(z) là /z/<2/z/<2, nên , nên x(n)x(n) sẽ là dãy phản sẽ là dãy phản nhân quả và nhân quả và sẽ được khai triển thành chuỗi có dạng:sẽ được khai triển thành chuỗi có dạng:
∑−∞
−=
−=1
)(n
nnzazX +++= −−−
33
22
11 zazaza
Để có dạng (**), thực hiện phép chia đa thức dưới đây:Để có dạng (**), thực hiện phép chia đa thức dưới đây:
(**)(**)
222 z−− 332 z−− +
∑−∞
−=
−−=⇒1
2)(n
nn zzX
)1(20:2)( −−−≡<−=⇒ nunnx nn
4. PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH THÀNH4. PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH THÀNH TỔNG CÁC PHÂN THỨC TỐI GIẢN TỔNG CÁC PHÂN THỨC TỐI GIẢN
Xét Xét X(z)X(z) là phân thức hữu tỉ có dạng: là phân thức hữu tỉ có dạng:
)(
)()(
zB
zDzX =
011
1
011
1
...
...
bzbzbzb
dzdzdzdN
NN
N
KK
KK
++++++++= −
−
−− 0, >NKvới:với:
Nếu Nếu K>NK>N, thực hiện phép chia đa thức, ta được:, thực hiện phép chia đa thức, ta được:
)(
)()(
zB
zDzX =
)(
)()(
zB
zAzC +=
011
1
011
1
...
...)(
bzbzbzb
azazazazC N
NN
N
MM
MM
++++++++= −
−
−−
Ta được C(z) là đa thức và phân thức A(z)/B(z) cóTa được C(z) là đa thức và phân thức A(z)/B(z) có bậc bậc MM≤≤ NN
Nếu Nếu KK≤≤ NN, thì X(z) có dạng giống phân thức A(z)/B(z) , thì X(z) có dạng giống phân thức A(z)/B(z)
Việc lấy biến đổi Z ngược đa thức C(z) là đơn giản, vấn Việc lấy biến đổi Z ngược đa thức C(z) là đơn giản, vấn
đề phức tạp là tìmđề phức tạp là tìm biến đổi Z ngược A(z)/B(z) có bậc Mbiến đổi Z ngược A(z)/B(z) có bậc M≤≤ N N
Xét Xét X(z)/zX(z)/z là phân thức hữu tỉ có bậc là phân thức hữu tỉ có bậc MM≤≤ NN : :
)(
)()(
zB
zA
z
zX =
Xét đén các điểm cực của Xét đén các điểm cực của X(z)/zX(z)/z, hay, hay nghiệm của B(z) là nghiệm của B(z) là
đđơn, bội và phức liên hiệpơn, bội và phức liên hiệp
011
1
011
1
...
...
bzbzbzb
azazazaN
NN
N
MM
MM
+++++++= −
−
−−
a) Xét X(z)/z có các điểm cực đơn:a) Xét X(z)/z có các điểm cực đơn: Z Zc1c1, Z, Zc2c2, Z, Zc3c3,…. Z,…. ZcNcN,,
)(
)()(
zB
zA
z
zX =)())((
)(
21 cNccN zzzzzzb
zA
−−−=
Theo lý thuyết hàm hữu tỉ, Theo lý thuyết hàm hữu tỉ, X(z)/z X(z)/z phân tích thành:phân tích thành:
)(
)()(
zB
zA
z
zX =)()()( 2
2
1
1
cN
N
cc zz
K
zz
K
zz
K
−++
−+
−= ∑
= −=
N
i ci
i
zz
K
1 )(
Với hệ sốVới hệ số KKii xác định bởi:xác định bởi:
ciZZcii zz
z
zXK
=
−= )()(
Suy ra Suy ra X(z) X(z) có biểu thức:có biểu thức:
)1()1()1()( 11
2
21
1
1−−− −
++−
+−
=zz
K
zz
K
zz
KzX
cN
N
cc
∑=
−−=
N
1i1
ci
i
)zz1(
K
)1()( 1−−
=zz
KzX
ci
ii
Nếu ROC: Nếu ROC: /z/ > /z/z/ > /zcici// )()()( nuzKnx nciii =⇒
Nếu ROC: Nếu ROC: /z/ < /z/z/ < /zcici// )1()()( −−−=⇒ nuzKnx nciii
Vậy:Vậy: ∑=
=N
ii nxnx
1
)()(
Xét:Xét:
Ví dụ 5.Ví dụ 5.: : Tìm x(n) biết:Tìm x(n) biết:65
52)( 2
2
+−−=zz
zzzX
GiảiGiải::
với các miền hội tụ: với các miền hội tụ: a)a) /z/>3, b) /z/<2, c) 2</z/<3/z/>3, b) /z/<2, c) 2</z/<3
)3)(2(
52
−−−=zz
z
)3()2(21
−+
−=
z
K
z
K
65
52)(2 +−
−=zz
z
z
zX
Với các hệ số được tính bởi:Với các hệ số được tính bởi:
21 )2(
)(
=
−=Z
zz
zXK 1
)3(
52
2
=−−=
=Zz
z
32 )3(
)(
=
−=Z
zz
zXK 1
)2(
52
3
=−−=
=Zz
z
)3(
1
)2(
1)(
−+
−=
zzz
zX)31(
1
)21(
1)( 11 −− −
+−
=⇒zz
zX
Với cácVới các miền hội tụ:miền hội tụ:
)31(
1
)21(
1)( 11 −− −
+−
=zz
zX
a)a) /z/ > 3 :/z/ > 3 : )(3)(2)( nununx nn +=
b)b) /z/ < 2 :/z/ < 2 : )1(3)1(2)( −−−−−−= nununx nn
c)c) 2</z/<3 :2</z/<3 : )1n(u3)n(u2)n(x nn −−−=
b) Xét X(z)/z có điểm cựcb) Xét X(z)/z có điểm cực ZZc1c1 bộibội rr và các điểm cực đơn: và các điểm cực đơn: ZZc(r+1)c(r+1), ,
…, Z…, ZcNcN,,
)(
)()(
zB
zA
z
zX =)()()(
)(
)1(1 cNrcr
cN zzzzzzb
zA
−−−=
+
Theo lý thuyết hàm hữu tỉ, Theo lý thuyết hàm hữu tỉ, X(z)/z X(z)/z phân tích thành:phân tích thành:
+−
++−
+−
= rc
r
cc zz
K
zz
K
zz
K
z
zX
)()()(
)(
12
1
2
1
1
∑∑+== −
+−
=N
rl cl
lr
ii
i
zz
K
zz
K
11 1 )()(
Với hệ sốVới hệ số KKii xác định bởi:xác định bởi:
1cZZ
r1c)ir(
)ir(
i )zz(z
)z(X
dz
d
)!ir(
1K
=−
−
−
−=
hayhay clZZcll zz
z
zXK
=
−= )()(
)()( )1(
1
cN
N
rc
r
zz
K
zz
K
−++
−+
+
+
Vậy ta có biểu thức biến đổi Z ngược là:Vậy ta có biểu thức biến đổi Z ngược là:
Với giả thiết ROC của X(z): Với giả thiết ROC của X(z): /z/ > max{ /z/z/ > max{ /zcici/ }: i=1/ }: i=1÷÷ N,N,
biến đổi Z ngược của thành phần biến đổi Z ngược của thành phần KKii/(z-z/(z-zcici))rr sẽ là:sẽ là:
( ) )()!1(
)2)...(1( 11
nui
ainnn
az
z inZ
i −+−− →←
−
+−−
)()()()!1(
)2)...(1()(
1
1
1
nuzKnui
ainnnKnx
N
rl
ncll
inr
ii ∑∑
+=
+−
=+
−+−−=
Ví dụ 6Ví dụ 6: : Tìm x(n) biết:Tìm x(n) biết:)1()2(
452)( 2
23
−−+−=zz
zzzzX 2: >zROC
GiảiGiải::
)1()2(
452)(2
2
−−+−=zz
zz
z
zX
)1()2()2(3
221
−+
−+
−=
z
K
z
K
z
K
Vậy Vậy X(z)/zX(z)/z có biểu thức là: có biểu thức là:
Với các hệ số được tính bởi:Với các hệ số được tính bởi:
)1(
1
)2(
2
)2(
1)(2 −
+−
+−
=zzzz
zX
1)1(
452
2
2
=
−
+−==Z
z
zz
dz
d
2
2)12(
)12(
1 )2()(
)!12(
1
=−
−
−
−=
Z
zz
zX
dz
dK
2)1(
452
2
2
=−
+−==Z
z
zz
2
2)22(
)22(
2 )2()(
)!22(
1
=−
−
−
−=
Z
zz
zX
dz
dK
13 )1(
)(
=
−=Z
zz
zXK 1
)2(
452
12
2
=−
+−==Zz
zz
)1(
1
)21(
2
)21(
1)( 121
1
1 −−
−
− −+
−+
−=⇒
zz
z
zzX 2: >zROC
)()(2)(2)( nununnunx nn ++=⇒
c) Xét X(z) có cặpc) Xét X(z) có cặp điểm cựcđiểm cực ZZc1 c1 vàvà Z*Z*c1c1 liên hợp phức, các điểm liên hợp phức, các điểm
cực còn lại đơn: cực còn lại đơn: ZZc3c3, …, Z, …, ZcNcN,,
)(
)()(
zB
zA
z
zX =)())()((
)(
3*11 cNcccN zzzzzzzzb
zA
−−−−=
X(z)/zX(z)/z được phân tích thành: được phân tích thành:
)()()()(
)(
3
3*1
2
1
1
cN
N
ccc zz
K
zz
K
zz
K
zz
K
z
zX
−++
−+
−+
−=
∑= −
+−
+−
=N
i ci
i
cc zz
K
zz
K
zz
K
z
zX
3*1
2
1
1
)()()(
)(
Với các hệ số Với các hệ số KK11, K, Ki i đượcđược tính giống điểm cực đơn:tính giống điểm cực đơn:
Ni:)zz(z
)z(XK
ciZZcii ÷=−=
=
1
Xét :Xét :
Do các hệ số Do các hệ số A(z), B(z)A(z), B(z) là thực, nên là thực, nên KK22=K=K11**
)(
*
)(
)(*1
1
1
11
cc zz
K
zz
K
z
zX
−+
−=
)1(
*
)1()( 1*
1
11
1
11 −− −
+−
=⇒zz
K
zz
KzX
cc
Nếu gọi:Nếu gọi:
βjeKK 11 =αj
cc ezz 11 =Và giả thiết ROC: Và giả thiết ROC: /z/>max/z/>max{/z{/zcici/}/}::
( ) )n(uzK)ncos(zK)n(xN
i
ncii
nc
++= ∑
=3112 βαVậy:Vậy:
2:)1)(22(
)( 2 >−+−
−= zzzz
zzXVí dụ 7Ví dụ 7: : Tìm x(n) biết:Tìm x(n) biết:
GiảiGiải::
)1)(22(
1)(2 −+−
−=zzzz
zX
[ ][ ] )1()1()1(
1
−−−+−−=
zjzjz
[ ] [ ] )1()1()1(3
*11
−+
−−+
+−=
z
K
jz
K
jz
K
[ ] 2
1
)1()1(
1
1
1 =−−−
−=+= jZ
zjzK 1
)22(
1
123 −=
+−−=
=ZzzK
[ ] [ ] )1(
1
)1(1
2/1
)1(1
2/1)( 111 −−− −
−+−−
++−
=⇒zzjzj
zX 2>z
BÀI 4 HÀM TRUYỀN ĐẠT CỦA HỆ THỐNG TTBBBÀI 4 HÀM TRUYỀN ĐẠT CỦA HỆ THỐNG TTBB
1. Định nghĩa hàm truyền đạt1. Định nghĩa hàm truyền đạt
h(n)x(n) y(n)=x(n)*h(n)Miền n:
Miền Z: H(z)X(z) Y(z)=X(z)H(z)Z
h(n) Z H(z): gọi là hàm truyền đạt H(z)=Y(z)/X(z)
2. Hàm truyền đạt được biểu diễn theo các hệ số PTSP2. Hàm truyền đạt được biểu diễn theo các hệ số PTSP
∑∑==
−=−M
rk
N
kk rnxbknya
00
)()( ∑∑=
−
=
− =M
r
rk
N
k
kk zbzXzazY
00
)()(Z
)(
)()(
zX
zYzH =⇒ ∑∑
=
−
=
−=N
k
kk
M
r
rr zazb
00
Ví dụ 1Ví dụ 1: : Tìm H(z) và h(n) của hệ thống nhân quả cho bởi:Tìm H(z) và h(n) của hệ thống nhân quả cho bởi:
GiảiGiải:: y(n) - 5y(n-1) + 6y(n-2) = 2x(n) - 5x(n-1)y(n) - 5y(n-1) + 6y(n-2) = 2x(n) - 5x(n-1)
21
1
651
52
)(
)()( −−
−
+−−==⇒
zz
z
zX
zYzH
)3()2(21
−+
−=
z
K
z
K
)31(
1
)21(
1)( 11 −− −
+−
=⇒zz
zH
Lấy biến đổi Z hai vế PTSP và áp dụng tính chất dịch theo t/g:Lấy biến đổi Z hai vế PTSP và áp dụng tính chất dịch theo t/g:
[ ] [ ]121 52)(651)( −−− −=+− zzXzzzY
65
522
2
+−−=zz
zz
)3)(2(
52)(
−−−=zz
z
z
zH
Do hệ thống nhân quả nên: h(n) = ( 2n + 3n ) u(n)
12)3(
521 =
=−−=
zz
zK 1
3)2(
522 =
=−−=
zz
zK
3. Hàm truyền đạt của các hệ thống ghép nối3. Hàm truyền đạt của các hệ thống ghép nối
a. Ghép nối tiếp
Miền Z:
h2(n)x(n) y(n)h1(n)
x(n) y(n)h(n)=h1(n)*h2(n)
≡
Miền n:
H2(z)X(z) Y(z)H1(z)
X(z) Y(z)H(z)=H1(z)H2(z)
≡Theo tính chất tích chập: h1(n)*h2(n) Z H1(z)H2(z)
3. Hàm truyền đạt của các hệ thống ghép nối (tiếp)3. Hàm truyền đạt của các hệ thống ghép nối (tiếp)
b. Ghép song song
Miền Z:
≡h2(n)x(n) y(n)
h1(n)+
x(n) y(n)h1(n)+h2(n)
Miền n:
≡H2(z)X(z) Y(z)
H1(z)+
X(z) Y(z)H1(z)+H2(z)
4. Tính nhân quả và ổn định của hệ TTBB rời rạc4. Tính nhân quả và ổn định của hệ TTBB rời rạc
a. Tính nhân quả
Hệ thống TTBB là nhân quả h(n) = 0 : n<0 Miền n:
Do h(n) là tín hiệu nhân quả, nên miền hội tụ H(z) sẽ là:
)())((
)()(
21 cNccN zzzzzzb
zAzH
−−−=
{ }cNccc zzzzz ,,,max 21max
=>
Hệ thống TTBB là nhân quả
Miền Z:
{ }cNccc zzzzz ,,,max 21max
=>ROC của H(z) là:
Re(z)
0
ROCROC
Im(z)
/zc/max
Hệ thống TTBB là ổn định
4. Tính nhân quả và ổn định của hệ TTBB rời rạc (tiếp)4. Tính nhân quả và ổn định của hệ TTBB rời rạc (tiếp)
b. Tính ổn định
Miền n: ∞<∑∞
−∞=nnh )(
Miền Z:
∑∞
−∞=
−=n
nznhzH )()( ∑∞
−∞=
−≤n
nznh )( n
n
znh −∞
−∞=∑= )(
∑∞
−∞=≤⇒n
nhzH )()( : khi 1=z
Hệ thống TTBB là ổn định
ROC của H(z) có chứa /z/=1
Theo đ/k ổn định (*), nhận thấy H(z) cũng sẽ hội tụ với /z/=1
(*)
Re(z)
0
ROCROC
Im(z)
/zc/max
c. Tính nhân quả và ổn địnhc. Tính nhân quả và ổn định
Hệ thống TTBB là nhân quả { }cNccc zzzzz ,,,max 21
max=>
ROC của H(z) là:
Hệ thống TTBB là ổn định ROC của H(z) có chứa /z/=1
Hệ thống TTBB là nhân quả và ổn định
và
ROC của H(z) là:max
czz > 1max <cz
/z/=1
Ví dụ: 1Ví dụ: 1: : Tìm h(n) của hệ thống, biết:Tìm h(n) của hệ thống, biết:
GiảiGiải::
)2()2/1(21
−+
−=
z
K
z
K
[ ] )21(
1
)2/1(1
1)( 11 −− −
+−
=⇒zz
zH
252
54)( 2
2
+−−=zz
zzzH
)2)(2/1(2
54)(
−−−=zz
z
z
zH
a. Hệ thống nhân quả (/z/>2): h(n)=[(1/2)n + 2n] u(n)
a. Để hệ thống là nhân quảa. Để hệ thống là nhân quả
b. Để hệ thống là ổn địnhb. Để hệ thống là ổn định
c. Để hệ thống là nhân quả và ổn địnhc. Để hệ thống là nhân quả và ổn định
)2(
1
)2/1(
1
−+
−=
zz
b. Hệ thống ổn định (1/2</z/<2): h(n)=(1/2)n u(n) - 2n u(-n-1)
c. Hệ thống nhân quả và ổn định: ROC: /z/>2 không thể chứa /z/=1 ⇒ không tồn tại h(n)
BÀI 5. GIẢI PTSP DÙNG BIẾN ĐỔI Z 1 PHÍABÀI 5. GIẢI PTSP DÙNG BIẾN ĐỔI Z 1 PHÍA
Tổng quát, biến đổi Z 1 phía của y(n-k):Tổng quát, biến đổi Z 1 phía của y(n-k):
)( kny − ∑=
−− −+k
r
krk zryzYz1
)()(ZZ
1 phía1 phía
)1( −ny zz
1 phía1 phía+++−=− −−−
∞
=∑ 21
0
)1()0()1()1( zyzyyzny n
n
[ ]+++−= −− 11 )1()0()1( zyyzy
)()1( 1 zYzy −+−=
)2( −ny zz
1 phía1 phía++−+−=− −−−
∞
=∑ 21
0
)0()1()2()2( zyzyyzny n
n
[ ]+++−+−= −−− 121 )1()0()1()2( zyyzzyy
)()1()2( 21 zYzzyy −− +−+−=
Ví dụ 1Ví dụ 1: : Hãy giải PTSP dùng biến đổi Z 1 phíaHãy giải PTSP dùng biến đổi Z 1 phía
y(n) – 3y(n–1) +2 y(n-2) = x(n) : ny(n) – 3y(n–1) +2 y(n-2) = x(n) : n≥≥00
biết: x(n)=3biết: x(n)=3n-2n-2u(n) và y(-1)=-1/3; y(-2)= -4/9u(n) và y(-1)=-1/3; y(-2)= -4/9
GiảiGiải::
Lấy biến đổi Z 1 phía hai vế PTSP:Lấy biến đổi Z 1 phía hai vế PTSP:
Y(z) - 3[y(-1)+zY(z) - 3[y(-1)+z-1-1Y(z)] + 2[y(-2)+y(-1)zY(z)] + 2[y(-2)+y(-1)z-1-1+z+z-2-2Y(z)] = X(z) (*)Y(z)] = X(z) (*)
Thay y(-1)=-1/3; y(-2)= -4/9 và X(z)=3Thay y(-1)=-1/3; y(-2)= -4/9 và X(z)=3 -2-2/(1-3z/(1-3z-1-1) vào (*), rút ra:) vào (*), rút ra:
)3(
1.
2
1
)1(
1.
2
1
)3)(1(
1)(
−+
−−=
−−=
zzzzz
zY
)31(
1.
2
1
)1(
1.
2
1)( 11 −− −
+−
−=⇒zz
zY
[ ] )(132
1)( nuny n −=⇒
