GIÁO TRÌNH XỬ LÝ SỐ TÍN HIỆU - tinhgiac.com · học, tín hiệu ñược biểu diễn bằng một hàm của một hay nhiều biến ñộc lập. Ví dụ 1.1. - Tín

TRƯỜNG ðẠI HỌC QUY NHƠN

KHOA KỸ THUẬT & CÔNG NGHỆ

GIÁO TRÌNH

XỬ LÝ SỐ TÍN HIỆU

Người biên soạn: Phạm Hồng Thịnh

Quy Nhơn 2009

1

MỤC LỤC

CHƯƠNG 1. BIỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG RỜI RẠC

TRONG MIỀN THỜI GIAN RỜI RẠC n............................. 5

1.1. NHẬP MÔN............................................................................................. 5

1.1.1. ðịnh nghĩa tín hiệu .......................................................................... 5

1.1.2. Phân loại tín hiệu ............................................................................ 5

1.1.3. Hệ thống xử lý tín hiệu ................................................................... 7

1.2. TÍN HIỆU RỜI RẠC ............................................................................... 8

1.2.1. Các dạng biểu diễn của dãy số ....................................................8

1.2.2. Các tín hiệu rời rạc cơ bản.................................................... 9

1.2.3. Các phép toán cơ bản của dãy ....................................................... 12

1.3. HỆ THỐNG RỜI RẠC .......................................................................... 13

1.3.1. Khái niệm....................................................................................... 13

1.3.2. Phân loại hệ thống rời rạc.............................................................. 15

1.3.2.1. Hệ thống không nhớ (Memoryless systems) ........................... 15

1.3.2.2. Hệ thống tuyến tính (Linear systems) .................................... 15

1.3.2.3. Hệ thống bất biến theo thời gian (Time-Invariant systems)... 16

1.3.2.4. Hệ thống nhân quả (Causal systems) ..................................... 16

1.3.2.5. Hệ thống ổn ñịnh (Stable systems) ......................................... 17

1.3.3. Hệ thống tuyến tính bất biến theo thời gian .................................. 17

1.3.3.1. Khái niệm............................................................................... 17

1.3.3.2. Tích chập................................................................................ 18

1.3.3.3. Các tính chất của hệ thống tuyến tính bất biến...................... 21

1.4. PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH HỆ SỐ HẰNG.............. 25

1.4.1. Khái niệm....................................................................................... 25

1.4.2. Nghiệm của PTSP-TT-HSH ........................................................... 25

1.5. HỆ THỐNG RỜI RẠC ðỆ QUY (RECURSIVE) VÀ KHÔNG

ðỆ QUY (NONRECURSIVE) ............................................................ 31

1.5.1. Hệ thống không ñệ quy FIR........................................................... 31

1.5.2. Hệ thống ñệ quy IIR ...................................................................... 31

1.5.3. Thực hiện hệ FIR và IIR............................................................... 34

1.6. HÀM TƯƠNG QUAN VÀ HÀM TỰ TƯƠNG QUAN .......................... 35

2

1.6.1. Hàm tương quan ............................................................................ 35

1.6.2. Hàm tự tương quan........................................................................ 37

Chương 2. BIỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG RỜI RẠC

TRONG MIỀN Z .................................................. 39

2.1. BIẾN ðỔI Z........................................................................................... 39

2.1.1 Biến ñổi Z thuận.............................................................................. 39

2.1.1.1. Biến ñổi Z hai phía ................................................................. 39

2.1.1.2. Biến ñổi Z một phía................................................................ 40

2.1.2. Miền hội tụ của biến ñổi Z ............................................................. 41

2.1.3. Các tính chât của biến ñổi z ........................................................... 45

2.1.4. Biến ñổi z hữu tỷ ............................................................................ 47

2.2. BIẾN ðỔI Z NGƯỢC............................................................................ 49

2.2.1. ðịnh lí Cauchy ............................................................................... 49

2.2.2. Biến ñổi z ngược............................................................................ 49

2.2.3. Các phương pháp tìm biến ñổi z ngược ......................................... 50

2.2.3.1. Phương pháp thặng dư.......................................................... 50

2.2.3.2. Phương pháp khai triển X(z) thành chuỗi lũy thừa............... 51

2.2.3.3. Phương pháp phân tích X(z) thành tổng các phân thức tối giản

53

2.3. PHÂN TÍCH HỆ THỐNG RỜI RẠC TRÊN MIỀN Z........................... 60

2.3.1. Hàm truyền ñạt của hệ thống TT-BB ............................................ 60

2.3.2. Hàm truyền ñạt của hệ ñược mô tả bởi PT – SP – TT –HSH ........ 60

2.3.3. Giải phương trình sai phân TT – HSH sử dụng biến ñổi z ............ 61

2.3.4. Phân tích hệ thống TT – BB trên miền z........................................ 64


TRONG MIỀN TẦN SỐ LIÊN TỤC ω...................................... 76

3.1. BIẾN ðỔI FOURIER....................................................................................... 77

3.1.1 Biến ñổi Fourier thuận.................................................................... 77

3.1.1.1. ðịnh nghĩa.............................................................................. 78

3.1.1.2. Sự tồn tại của biến ñổi Fourier............................................... 78

3.1.1.3. Các dạng biểu diễn của hàm X(ejωωωω) ........................................ 79

3.1.1.4 Quan hệ giữa biến ñổi Fourier và biến ñổi Z........................... 81

3

3.1.2. Biến ñổi Fourier ngược .................................................................. 82

3.1.3. Các tính chất của biến ñổi Fourier................................................. 83

3.2. PHỔ CỦA TÍN HIỆU SỐ ...................................................................... 88

3.2.1. Các ñặc trưng phổ của tín hiệu số.................................................. 88

3.2.2. Phổ của tín hiệu liên tục x(t) và tín hiệu lấy mẫu x(n.T) ................ 90

3.3. ðẶC TÍNH TẦN SỐ VÀ HÀM TRUYỀN ðẠT PHỨC CỦA HỆ XỬ

LÝ SỐ TUYẾN TÍNH BẤT BIẾN NHÂN QUẢ .......................... 93

3.3.1 ðặc tính tần số và hàm truyền ñạt phức H(ejωωωω)............................... 93

3.3.2. Phân tích hệ xử lý số theo hàm truyền ñạt phức H(ejωωωω) ................. 96

3.4. CÁC BỘ LỌC SỐ LÝ TƯỞNG ............................................................ 98

3.4.1. Bộ lọc thông thấp lý tưởng............................................................. 98

3.4.2. Bộ lọc thông cao lý tưởng............................................................. 100

3.4.3. Bộ lọc dải thông lý tưởng ............................................................. 102

3.4.4. Bộ lọc dải chặn lý tưởng............................................................... 104

3.4.5. Bộ lọc số thực tế ........................................................................... 107


TRONG MIỀN TẦN SỐ RỜI RẠC (MIỀN K) ................... 108

4.1. BIẾN ðỔI FOURIER RỜI RẠC CỦA DÃY TUẦN HOÀN ................ 108

4.2. BIẾN ðỔI FOURIER RỜI RẠC CỦA DÃY KHÔNG TUẦN

HOÀN CÓ ðỘ DÀI HỮU HẠN (DFT) .................................. 110

4.2.1. Biến ñổi Fourier rời rạc (DFT) .................................................... 110

4.2.2. Quan hệ giữa DFT với FT và ZT ................................................. 114

4.3. PHÉP DỊCH VÒNG, TÍCH CHẬP VÒNG VÀ CÁC TÍNH CHẤT

CỦA DFT...................................................... 116

4.3.1. Phép dịch vòng và tích chập vòng của DFT ................................. 116

4.3.1.1. Phép dịch vòng ..................................................................... 116

4.3.1.1. Phép dịch vòng ..................................................................... 119

4.3.2. Các tính chất của DFT................................................................. 122

4.4. TÍNH TRỰC TIẾP DFT VÀ IDFT...................................................... 126

4.4.1. Số lượng phép toán khi tính trực tiếp DFT và IDFT ................... 126

4.4.2. Tính DFT và IDFT của dãy x(n)N thực, ñối xứng, N lẻ ................ 127

4.4.3. Tính DFT và IDFT của dãy x(n)N thực, ñối xứng, N chẵn ........... 132

4

4.4.4. Tính DFT và IDFT của dãy x(n)N thực, phản ñối xứng, N lẻ ....... 134

4.4.5. Tính DFT và IDFT của dãy x(n)N thực, phản ñối xứng, N chẵn .. 137

Chương 5. TỔNG HỢP BỘ LỌC SỐ CÓ ðÁP ỨNG XUNG CHIỀU

DÀI HỮU HẠN............................................ 141

5.1. PHÂN TÍCH BỘ LỌC SỐ FIR PHA TUYẾN TÍNH........................... 141

5.1.1. ðặc tính xung h(n) của các bộ lọc số FIR pha tuyến tính ............ 141

5.1.2. ðặc tính tần số của bộ lọc số FIR pha tuyến tính ........................ 145

5.1.2.1. ðặc tính tần số của bộ lọc FIR pha tuyến tính loại 1 ........... 146




5.2. CÁC PHƯƠNG PHÁP TỔNG HỢP BỘ LỌC SỐ FIR PHA TUYẾN

TÍNH............................................................. 152

5.2.1. Phương pháp cửa sổ..................................................................... 152

5.2.1.1. Các bước chính thiết kế bộ lọc số bằng phương pháp cửa sổ

150

5.2.1.2. Một số hàm cửa sổ thường dùng .......................................... 153

5.2.2. Phương pháp lấy mẫu tần số........................................................ 160

5.2.2.1. Cơ sở của phương pháp lấy mẫy tần số ............................... 160

5.2.2.2. Các bước tổng hợp bộ lọc số theo phương pháp lấy mẫu

tần số ................................................... 163

CHƯƠNG 6. THIẾT KẾ BỘ LỌC SỐ CÓ ðÁP ỨNG XUNG

CÓ CHIỀU DÀI VÔ HẠN IIR................................................. 165

6.1. CƠ SỞ TỔNG HỢP BỘ LỌC SỐ IIR........................................................... 165

6.2. PHƯƠNG PHÁP BẤT BIẾN XUNG............................................................ 166

6.3. PHƯƠNG PHÁP BIẾN ðỔI SONG TUYẾN............................................... 170

6.4. PHƯƠNG PHÁP TƯƠNG ðƯƠNG VI PHÂN............................................ 175

6.5. BỘ LỌC TƯƠNG TỰ BUTTERWORTH .......................................................175

6.6. BỘ LỌC TƯƠNG TỰ CHEBYSHEP........................................................... 176

6.7. BỘ LỌC TƯƠNG TỰ ELIP (CAUER).............................................................178

5

Chương 1

BIỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG RỜI RẠC TRONG MIỀN THỜI

GIAN RỜI RẠC n

1.1. Nhập môn

1.1.1. ðịnh nghĩa tín hiệu

Tín hiệu là một ñại lượng vật lý chứa thông tin (information). Về mặt toán học, tín hiệu ñược biểu diễn bằng một hàm của một hay nhiều biến ñộc lập.

Ví dụ 1.1. - Tín hiệu âm thanh là dao ñộng cơ học lan truyền trong không khí, mang thông tin truyền ñến tai. Khi biến thành tín hiệu ñiện (ñiện áp hay dòng ñiện)

thì giá trị của nó là một hàm theo thời gian.

- Tín hiệu hình ảnh tĩnh hai chiều ñược ñặc trưng bởi một hàm cường ñộ

sáng của hai biến không gian. Khi biến thành tín hiệu ñiện, nó là hàm một biến thời gian.

ðể thuận tiện, ta qui ước (không vì thế mà làm mất tính tổng quát) tín hiệu là một hàm của một biến ñộc lập và biến này là thời gian (mặc dù có khi không phải

như vậy, chẳng hạn như sự biến ñổi của áp suất theo ñộ cao).

Giá trị của hàm tương ứng với một giá trị của biến ñược gọi là biên ñộ

(amplitude) của tín hiệu. Ta thấy rằng, thuật ngữ biên ñộ ở ñây không phải là giá trị cực ñại mà tín hiệu có thể ñạt ñược.

1.1.2. Phân loại tín hiệu

Tín hiệu ñược phân loại dựa vào nhiều cơ sở khác nhau và tương ứng có các

cách phân loại khác nhau. Ở ñây, ta dựa vào sự liên tục hay rời rạc của thời gian và biên ñộ ñể phân loại. Có 4 loại tín hiệu như sau:

- Tín hiệu tương tự (Analog signal): thời gian liên tục và biên ñộ cũng liên tục.

- Tín hiệu lượng tử hóa (Quantified signal): thời gian liên tục và biên ñộ rời rạc. ðây là tín hiệu tương tự có biên ñộ ñã ñược rời rạc hóa.

- Tín hiệu rời rạc (Discrete signal): Là tín hiệu ñược biểu diễn bởi hàm của các

biến rời rạc.

+ Tín hiệu lấy mẫu: Hàm của tín hiệu rời rạc là liên tục (không ñược lượng tử hoá)

+ Tín hiệu số: Hàm của tín hiệu rời rạc là rời rạc. Tín hiệu số là tín hiệu ñược rời

rạc cả biên ñộ và biến số

Các loại tín hiệu trên ñược minh họa trong Hình 1.1.

6

Trên Hình 1.2 mô tả quá trình số hóa các tín hiệu tương tự và tín hiệu xung

thành tín hiệu số 4 bít. Khi số hóa tín hiệu tương tự sẽ gây ra sai số lượng tử (xem Hình 1.2a), nhưng khi số hóa tín hiệu xung thì ngoài sai số lượng tử còn có sai số

về pha (xem Hình 1.2b).

a. Số hóa tín hiệu tương tự. b. Số hóa tín hiệu xung.

Hình 1.2: Quá trình số hóa tín hiệu liên tục.

t

n

nT

nT

nT

nT

nT

Bít 3

Bít 2

Bít 1

Bít 0

2

4

0

2

4

0

2

4

0 t

nT

nT

nT

nT

nT

nT

x(t)

x(nT)

x(nT)

Bít 3

Bít 2

Bít 1

Bít 0

2

4

0

2

4

0

2

4

0

x(t)

x(nT)

x(nT)

0

1

0

0 0

1

1

1

7

Nhận xét: Do tín hiệu số là một trường hợp ñặc biệt của tín hiệu rời rạc nên các phương pháp xử lí tín hiệu rời rạc ñều hoàn toàn ñược áp dụng cho xử lí tín

hiệu số. Trong chương trình chúng ta sẽ tìm hiểu các phương pháp xử lí tín hiệu rời rạc.

1.1.3. Hệ thống xử lý tín hiệu

a) Hệ thống tương tự

b) Hệ thống số

c) Hệ thống xử lý tín hiệu tổng quát

Tín hiệu x(t) ở ñầu vào ñược chuyển thành tín hiệu số nhờ ADC, qua DSP ñưa vào DAC ta có y(t).

Hold Quantizer DSP DAC

ADC

Sample Signal

x(t) y(t)

Digital Signal

xa(t) ya(t) HT

xd(nTs) yd(nTs) HT

8

1.2. Tín hiệu rời rạc

1.2.1. Các dạng biểu diễn của dãy số

Một tín hiệu rời rạc có thể ñược biểu diễn bằng một dãy các giá trị (thực hoặc phức). Phần tử thứ n của dãy (n là một số nguyên) ñược ký hiệu là x(n) và một dãy

ñược ký hiệu như sau:

x = x(n) với - ∞ < n < ∞. (1.1.a)

x(n) ñược gọi là mẫu thứ n của tín hiệu x.

Dãy số có thể ñược biểu diễn dưới các dạng hàm số, bảng số liệu, ñồ thị, hoặc dãy số liệu. Dưới dạng hàm số, dãy số x(n) chỉ xác ñịnh với ñối số là các số nguyên n, dãy số không xác ñịnh ở ngoài các giá trị nguyên n của ñối số. Ví dụ 1.2. Dãy số x(n) ñược biểu diễn bằng hàm số :

[ ][ ]

∉∈

=.,

,)(

30,0

30,1

n

nnx

- Biểu diễn dãy số x(n) dưới dạng bảng số liệu ở Bảng 1.1.

Bảng 1.1

ðồ thị dãy x(n)

n -∞ ... -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 ... ∞ x(n) 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0

- Biểu diễn ñồ thị của dãy x(n) trên Hình 1.6, - Biểu diễn dãy x(n) dưới dạng dãy số liệu : ...,0,0,1,1,1,1,0,...)(

↑=nx , trong ñó ký

hiệu ↑ ñể chỉ số liệu ứng với ñiểm gốc n = 0.

Ta cũng có thể biểu diển theo kiểu liệt kê. Ví dụ:

x = ..., 0, 2, -1, 3, 25, -18, 1, 5, -7, 0,.... (1.1.b)

Trong ñó, phần tử ñược chỉ bởi mũi tên là phần tử tương ứng với n = 0, các phần tử tương ứng với n > 0 ñược xếp lần lượt về phía phải và ngược lại.

Nếu x = x(t) là một tín hiệu liên tục theo thời gian t và tín hiệu này ñược lấy mẫu cách ñều nhau một khoảng thời gian là Ts, biên ñộ của mẫu thứ n là x(nTs).

Ta thấy, x(n) là cách viết ñơn giản hóa của x(nTs), ngầm hiểu rằng ta ñã chuẩn hoá trục thời gian theo Ts.

Ts gọi là chu kỳ lấy mẫu (Sampling period).

Fs = 1/Ts ñược gọi là tần số lấy mẫu (Sampling frequency).

Ghi chú:

31 2

1

40-1

x(n)

n

9

- Từ ñây về sau, trục thời gian sẽ ñược chuẩn hóa theo Ts, khi cần trở về thời gian

thực, ta thay biến n bằng nTs. - Tín hiệu rời rạc chỉ có giá trị xác ñịnh ở các thời ñiểm nguyên n. Ngoài các thời

ñiểm ñó ra tín hiệu không có giá trị xác ñịnh, không ñược hiểu chúng có giá trị bằng 0.

- ðể ñơn giản, sau này, thay vì ký hiệu ñầy ñủ, ta chỉ cần viết x(n) và hiểu ñây là dãy x = x(n).

1.2.2. Các tín hiệu rời rạc cơ bản

a/. Tín hiệu xung ñơn vị (Unit inpulse sequence)

ðây là một dãy cơ bản nhất, ký hiệu là δ(n), ñược ñịnh nghĩa như sau:

≠=

=,0,0

0,1)(

n

nnδ

hay

...,0,...,0,1,0...,0,...)(↑

=nδ .

Dãy )(nδ ñược biểu diễn bằng ñồ thị như hình 1.3(a)

b/. Dãy chữ nhật Dãy chữ nhật ñược kí hiệu là rectN(n) và ñược ñịnh nghĩa như sau:

≥−≤≤

=.,0

10,1)(

Nn

NnnrectN

c/. Tín hiệu nhẩy bậc ñơn vị (Unit step sequence)

Dãy này thường ñược ký hiệu là u(n) và ñược ñịnh nghĩa như sau:

<≥

=.0,0

0,1)(

n

nnu

Dãy u(n) ñược biểu diễn bằng ñồ thị Hình 1.3 (c).

Mối quan hệ giữa tín hiệu nhẩy bậc ñơn vị với tín hiệu xung ñơn vị:

)1()()()()( −−=⇔= ∑−∞=

nununnnun

k

δδ ,

với u(n-1) là tín hiệu u(n) ñược dịch phải một mẫu.

(1. 5)

(1.4)

(1.2)

(1.3)

(1. 6)

10

Hình 1.3: Các dãy cơ bản a) Dãy xung ñơn vị

b) Dãy chữ nhật c) Dãy nhảy bậc ñơn vị

d) Dãy hàm mũ e) Dãy tuần hoàn có chu kỳ N=8

f) Dãy hình sin có chu kỳ N=5

d/. Tín hiệu hàm mũ (Exponential sequence)

x(n) = A αn. (1.7)

Nếu A và α là số thực thì ñây là dãy thực. Với một dãy thực, nếu 0 < α < 1 và

A>0 thì dãy có các giá trị dương và giảm khi n tăng, Hình 1.3(d). Nếu –1< α < 0 thì các giá trị của dãy sẽ lần lược ñổi dấu và có ñộ lớn giảm khi n tăng. Nếu | α |>1 thì

ñộ lớn của dãy sẽ tăng khi n tăng.

e/. Tín hiệu tuần hoàn (Periodic sequence)

11

Một tín hiệu x(n) ñược gọi là tuần hoàn với chu kỳ N khi: x(n+N) = x(n), với

mọi n. Một tín hiệu tuần hoàn có chu kỳ N=8 ñược biểu diễn bằng ñồ thị Hình 1.3(e). Dĩ nhiên, một tín hiệu hình sin cũng là một tín hiệu tuần hoàn.

Ví dụ: là một tín hiệu tuần hoàn có chu kỳ là N=5, xem Hình1.3(f)

f/. Dãy có chiều dài hữu hạn

Dãy ñược xác ñịnh với số mẫu N hữu hạn (N ñiểm trên trục hoành) gọi là dãy

có chiều dài hữu hạn. N ñược gọi là chiều dài của dãy, kí hiệu là:

L[x(n) ] = N.

Ví dụ 1.3. L[rectN(n) ]=N.

g/. Năng lượng và công xuất của dãy

• Năng lượng của một dãy ñược ñịnh nghĩa như sau:

,)(2∑

∞

−∞=

=n

x nxE

trong ñó )(nx là modul của x(n).

Ví dụ 1.4. .1)(1

0

22

)( NnxEN

nnnrectN

=== ∑∑−

=

∞

−∞=

• Công xuất trung bình của dãy:

.)(12

1lim

2∑−=

∞→ +=

N

NnN

x nxN

P

• Năng lượng của dãy x(n) trong khoảng NnN ≤≤− :

.)(2∑

−=

=N

NnxN nxE

Vậy, ,lim+∞→

=N

xNx EE

.12

1xNx E

NP

+=

• Dãy năng lượng: nếu năng lượng của dãy x(n) là hữu hạn thì x(n) ñược gọi là

dãy năng lượng.

• Dãy công xuất: nếu công xuất trung bình của x(n) là hữu hạn thì x(n) ñược gọi là dãy công xuất.

12

1.2.3. Các phép toán cơ bản của dãy

Cho 2 dãy x1 = x1(n) và x2 = x2(n) các phép toán cơ bản trên hai dãy ñược ñịnh nghĩa như sau:

1/. Phép nhân 2 dãy: y = x1 . x2 = x1(n).x2(n) (1.8) 2/. Phép nhân 1 dãy với 1 hệ số: y = a.x1 = a.x1(n) (1.9)

3/. Phép cộng 2 dãy: y = x1 + x2 = x1(n) + x2(n) (1.10) 4/. Phép dịch một dãy (Shifting sequence):

- Dịch phải: Gọi y là dãy kết quả trong phép dịch phải n0 mẫu một dãy x ta có:

y(n) = x(n-n0), với n0 > 0 . (1.11)

- Dịch trái: Gọi z là dãy kết quả trong phép dịch trái n0 mẫu dãy x ta có:

z(n) = x(n+n0), với n0 > 0. (1.12)

Phép dịch phải còn gọi là phép làm trễ (delay). Phép làm trễ một mẫu thường ñược ký hiệu bằng chữ D hoặc Z-1 . Các phép dịch trái và dịch phải ñược minh họa

trong các Hình 1.4.

Hình 1.4: (a) Dãy x(n)

(b) Phép dịch phải 4 mẫu trên tín hiệu x(n)

(c) Phép dịch trái 5 mẫu trên tín hiệu x(n)

Nhận xét: Ta thấy, một tín hiệu x(n) bất kỳ có thể biểu diễn bởi tín hiệu xung ñơn

vị như sau:

∑+∞

−∞=

−=n

knkxnx ).()()( δ

Cách biểu diễn này sẽ dẫn ñến một kết quả quan trọng trong phần sau.

Ghi chú:

Các phép tính thực hiện trên các tín hiệu rời rạc chỉ có ý nghĩa khi tần số lấy

mẫu của các tín hiệu này bằng nhau.

13

1.3. Hệ thống rời rạc

1.3.1. Khái niệm

a. Hệ thống thời gian rời rạc (gọi tắt là hệ thống rời rạc):

Hệ thống thời gian rời rạc là một thiết bị (device) hay là một thuật toán

(algorithm) mà nó tác ñộng lên một tín hiệu vào (dãy vào) ñể cung cấp một tín hiệu ra (dãy ra) theo một qui luật hay một thủ tục (procedure) tính toán nào ñó. ðịnh

nghĩa theo toán học, ñó là một phép biến ñổi hay một toán tử (operator) mà nó biến một dãy vào x(n) thành dãy ra y(n).

Ký hiệu: y(n) = Tx(n). (1.14)

Tín hiệu vào ñược gọi là tác ñộng hay kích thích (excitation), tín hiệu ra ñược

gọi là ñáp ứng (response). Biểu thức biểu diễn mối quan hệ giữa kích thích và ñáp ứng ñược gọi là quan hệ vào ra của hệ thống.

Quan hệ vào ra của một hệ thống rời rạc còn ñược biểu diễn như Hình 1.5.

Ví dụ 1.5. Hệ thống làm trễ lý tưởng ñược ñịnh nghĩa bởi phương trình:

y(n) = x(n – nd) , với -∞ < n < ∞ (1.15)

nd là một số nguyên dương không ñổi gọi là ñộ trễ của hệ thống.

Ví dụ 1.6. Hệ thống trung bình ñộng (Moving average system) ñược ñịnh nghĩa bởi phương trình:

với M1 và M2 là các số nguyên dương.

Hệ thống này tính mẫu thứ n của dãy ra là trung bình của (M1 + M2 + 1) mẫu của dãy vào xung quanh mẫu thứ n, từ mẫu thứ n-M2 ñến mẫu thứ n+M1 .

b. ðáp ứng xung (impulse response) của một hệ thống rời rạc

ðáp ứng xung h(n) của một hệ thống rời rạc là ñáp ứng của hệ thống khi kích

thích là tín hiệu xung ñơn vị δ(n), ta có:

14

Trong các phần sau, ta sẽ thấy, trong các ñiều kiện xác ñịnh ñáp ứng xung của

một hệ thống có thể mô tả một cách ñầy ñủ hệ thống ñó.

Ví dụ 1.7. ðáp ứng xung của hệ thống trung bình cộng là

c. Biểu diễn hệ thống bằng sơ ñồ khối

ðể có thể biểu diễn một hệ thống bằng sơ ñồ khối, ta cần ñịnh nghĩa các phần

tử cơ bản. Một hệ thống phức tạp sẽ là sự liên kết của các phần tử cơ bản này.

c1/. Phần tử nhân dãy với dãy (signal multiplier), tương ứng với phép nhân hai dãy,

có sơ ñồ khối như sau:

a. y(n) = x1(n) . x2(n) b. ∏=

=M

ii nxny

1

)()(

c2/. Phần tử nhân một dãy với một hằng số (Constant multiplier), tương ứng với phép nhân một hệ số với một dãy

c3/. Phần tử cộng (Adder), tương ứng với phép cộng hai dãy, có sơ ñồ khối như sau:

a. y(n) = x1(n) + x2(n) b. ∑=

=M

ii nxny

1

)()(

c4/. Phần tử làm trễ một mẫu (Unit Delay Element), tương ứng với phép làm trễ một mẫu, có sơ ñồ khối như sau:

X X y(n y(nx1(n)

x2(n)

x1(n)

x2(n)

xi(n)

xM(n)

+ + y(n y(nx1(n)

x2(n)

x1(n)

x2(n)

xi(n)

xM(n)

x(n) y(n) = a.x(n) a

x(n) y(n) = x(n - 1) D

15

Trong các phần sau, ta sẽ thành lập một hệ thống phức tạp bằng sự liên kết

các phần tử cơ bản này.

1.3.2. Phân loại hệ thống rời rạc

Các hệ thống rời rạc ñược phân loại dựa vào các thuộc tính của nó, cụ thể là các thuộc tính của toán tử biểu diễn hệ thống (T).

1.3.2.1. Hệ thống không nhớ (Memoryless systems)

Hệ thống không nhớ còn ñược gọi là hệ thống tĩnh (Static systems) là một hệ

thống mà ñáp ứng y(n) ở mỗi thời ñiểm n chỉ phụ thuộc vào giá trị của tác ñộng x(n) ở cùng thời ñiểm n ñó.

Một hệ thống không thỏa mãn ñịnh nghĩa trên ñược gọi là hệ thống có nhớ hay hệ thống ñộng (Dynamic systems).

Ví dụ 1.8. - Hệ thống ñược mô tả bởi quan hệ vào ra như sau: y(n) = [x(n)]2, với

mọi giá trị của n, là một hệ thống không nhớ. - Hệ thống làm trễ trong Ví dụ 1.5, nói chung là một hệ thống có nhớ khi nd>0.

- Hệ thống trung bình ñộng trong Ví dụ 1.6 là hệ thống có nhớ, trừ khi M1=M2=0.

1.3.2.2. Hệ thống tuyến tính (Linear systems)

Một hệ thống ñược gọi là tuyến tính nếu nó thỏa mãn nguyên lý chồng chất (Principle of superposition). Gọi y1(n) và y2(n) lần lượt là ñáp ứng của hệ thống

tương ứng với các tác ñộng x1(n) và x2(n), hệ thống là tuyến tính nếu và chỉ nếu:

với a, b là 2 hằng số bất kỳ và với mọi n.

Ta thấy, ñối với một hệ thống tuyến tính, thì ñáp ứng của một tổng các tác

ñộng bằng tổng ñáp ứng của hệ ứng với từng tác ñộng riêng lẻ.

Một hệ thống không thỏa mãn ñịnh nghĩa trên ñược gọi là hệ thống phi tuyến

(Nonliear systems).

Ví dụ 1.9. Ta có thể chứng minh ñược hệ thống tích lũy (accumulator) ñược ñịnh

nghĩa bởi quan hệ:

∑+∞

−∞=

=n

kxny )()( (1.20)

là một hệ thống tuyến tính. Hệ thống này ñược gọi là hệ thống tích lũy vì mẫu thứ n

của ñáp ứng bằng tổng tích lũy tất cã các giá trị của tín hiệu vào trước ñó ñến thời

ñiểm thứ n.

16

= a.y1(n) + b.y2(n) với a và b là các hằng số bất kỳ.

Vậy hệ thống này là một hệ thống tuyến tính.

1.3.2.3. Hệ thống bất biến theo thời gian (Time-Invariant systems)

Một hệ thống là bất biến theo thời gian nếu và chỉ nếu tín hiệu vào bị dịch nd mẫu thì ñáp ứng cũng dịch nd mẫu, ta có:

Nếu y(n) =Tx(n) và x1(n) = x(n-nd) thì y1(n) = Tx1(n) = x(n-nd) = y(n - nd). (1.21)

Ta có thể kiểm chứng rằng các hệ thống trong các ví dụ trước ñều là hệ thống bất biến theo thời gian.

Ví dụ 1.10. Hệ thống nén (compressor) ñược ñịnh nghĩa bởi quan hệ:

y(n) = x(M.n) (1.22)

với -∞ < n < ∞ và M là một số nguyên dương.

Hệ thống này ñược gọi là hệ thống nén bởi vì nó loại bỏ (M-1) mẫu trong M mẫu (nó sinh ra một dãy mới bằng cách lấy một mẫu trong M mẫu). Ta sẽ chứng

minh rằng hệ thống này không phải là một hệ thống bất biến.

Chứng minh: Gọi y1(n) là ñáp ứng của tác ñộng x1(n), với x1(n) = x(n – nd), thì

y1(n) = x1(Mn) = x(Mn – nd),

nhưng

y(n-nd) = x[M(n-nd)] y1(n).

Ta thấy x1(n) bằng x(n) ñược dịch nd mẫu, nhưng y1(n) không bằng với y(n)

trong cùng phép dịch ñó. Vậy hệ thống này không là hệ thống bất biến, trừ khi M = 1.

1.3.2.4. Hệ thống nhân quả (Causal systems)

Một hệ thống là nhân quả nếu với mỗi giá trị n0 của n, ñáp ứng tại thời ñiểm

n=n0 chỉ phụ thuộc vào các giá trị của kích thích ở các thời ñiểm n ≤ n0. Ta thấy, ñáp ứng của hệ chỉ phụ thuộc vào tác ñộng ở quá khứ và hiện tại mà không phụ

thuộc vào tác ñộng ở tương lai. Ta có

17

y(n) = Tx(n) = Fx(n), x(n-1), x(n-2),...

với F là một hàm nào ñó.

Hệ thống trong ví dụ 1 là nhân quả khi nd ≥ 0 và không nhân quả khi nd < 0.

Ví dụ 1.11. Hệ thống sai phân tới (Forward difference systems) ñược ñịnh nghĩa bởi quan hệ

y(n) = x(n+1) - x(n) . (1.23)

Rõ ràng y(n) phụ thuộc vào x(n+1), vì vậy hệ thống này không có tính nhân

quả.

Ngược lại, hệ thống sai phân lùi (Backward difference systems) ñược ñịnh

nghĩa bởi quan hệ: y(n) = x(n) – x(n-1). (1.24)

là một hệ thống nhân quả.

1.3.2.5. Hệ thống ổn ñịnh (Stable systems)

Một hệ thống ổn ñịnh còn ñược gọi là hệ thống BIBO (Bounded-Input

Bounded-Output) nếu và chỉ nếu với mỗi tín hiệu vào bị giới hạn sẽ cung cấp dãy ra giới hạn.

Một dãy vào x(n) bị giới hạn nếu tồn tại một số dương hữu hạn Bx sao cho:

|x(n)| ≤ Bx < +∞, với mọi n. (1.25)

Một hệ thống ổn ñịnh ñòi hỏi rằng, ứng với mỗi dãy vào hữu hạn, tồn tại một số dương By hữu hạn sao cho:

|y(n)| ≤ By < +∞ , với mọi n. (1.26)

Ghi chú: Các thuộc tính ñể phân loại hệ thống ở trên là các thuộc tính của hệ

thống chứ không phải là các thuộc tính của tín hiệu vào. Các thuộc tính này phải thỏa mãn vời mọi tín hiệu vào.

1.3.3. Hệ thống tuyến tính bất biến theo thời gian

(LTI: Linear Time-Invariant System)

1.3.3.1. Khái niệm

Hệ thống tuyến tính bất biến theo thời gian là hệ thống thỏa mãn ñồng thời hai tính chất tuyến tính và bất biến.

Gọi T là một hệ thống LTI, sử dụng cách biểu diễn ở (1.13) và (1.14), ta có thể viết:

với k là số nguyên.

18

Áp dụng tính chất tuyến tính, pt(1.27) có thể ñược viết lại:

ðáp ứng xung của hệ thống là: h(n) = Tδ(n), vì hệ thống có tính bất biến,

nên:

h(n - k) = Tδ(n - k) (1.29)

Thay pt(1.29) vào pt(1.28) ta có

Từ pt(1.30), ta thấy một hệ thống LTI hoàn toàn có thể ñược ñặc tả bởi ñáp

ứng xung của nó và ta có thể dùng pt(1.30) ñể tính ñáp ứng của hệ thống ứng với một kích thích bất kỳ. Hệ thống LTI rất thuận lợi trong cách biểu diễn cũng như

tính toán, ñây là một hệ thống có nhiều ứng dụng quan trọng trong xử lý tín hiệu.

1.3.3.2. Tích chập

* ðịnh nghĩa: Tích chập của hai dãy x1(n) và x2(n) bất kỳ, ký hiệu: *, ñược ñịnh

nghĩa bởi biểu thức sau:

(1.30) ñược viết lại: y(n) = x(n)*h(n). (1.32)

Vậy, ñáp ứng của một hệ thống bằng tích chập tín hiệu vào với ñáp ứng xung

của nó.

Như vậy, với mỗi một giá trị của n ta phải tính 1 tổng theo k của tích x(k).h(n-

k) như sau:

Ví dụ 1.12. …..

∑∞

−∞=

−−=−→−=k

khkxyn )1()()1(1

∑∞

−∞=

−=→=k

khkxyn )()()0(0

∑∞

−∞=

−=→=k

khkxyn )1()()1(1

∑∞

−∞=

−=→=k

khkxyn )2()()2(2

19

∑∞

−∞=

−=→=k

khkxyn )3()()3(3

…..

Tập hợp các giá trị của y(n) ta sẽ có y.

* Phương pháp tính tích chập bằng ñồ thị

Tích chập của hai dãy bất kỳ có thể ñược tính một cách nhanh chóng với sự

trợ giúp của các chương trình trên máy vi tính. Ở ñây, phương pháp tính tích chập bằng ñồ thị ñược trình bày với mục ñích minh họa. Trước tiên, ñể dễ dàng tìm dãy

x2(n-k), ta có thể viết lại:

x2 (n-k) = x2 [-(k - n)]. (1.33)

Từ pt(1.33), ta thấy, nếu n>0, ñể có x2(n-k) ta dịch x2(-k) sang phải n mẫu, ngược lại, nếu n<0 ta dịch x2(-k) sang trái |n| mẫu. Từ nhận xét này, Ta có thể ñề ra

một qui trình tính tích chập của hai dãy, với từng giá trị của n, bằng ñồ thị như sau:

Bước 1: Chọn giá trị của n.

Bước 2: Lấy ñối xứng x2(k) qua gốc tọa ñộ ta ñược x2(-k).

Bước 3: Dịch x2(-k) sang trái |n| mẫu nếu n<0 và sang phải n mẫu nếu n>0, ta ñược

dãy x2(n-k).

Bước 4: Thực hiện các phép nhân x1(k).x2(n-k), với -∞ < k < ∞.

Bước 5: Tính y(n) bằng cách cộng tất cả các kết quả ñược tính ở bước 4.

Chọn giá trị mới của n và lặp lại từ bước 3.

Ví dụ 1.13. Cho một hệ thống LTI có ñáp ứng xung là

tín hiệu vào là: x(n) = an u(n). Tính ñáp ứng y(n) của hệ thống, với N> 0 và |a| <1.

Giải:

Ta có

@ Với n < 0: Hình 1.5(a). trình bày hai dãy x(k) và h(n-k) trong trường hợp n < 0

(với N = 4 và n = -3). Ta thấy trong trường hợp này, các thành phần khác 0 của x(k) và h(n-k) không trùng nhau, vì vậy

y(n) = 0, với mọi n < 0. (1.35)

.)()()(0

∑∞

=

−=k

kk nxhny

20

@ Với 0 ≤ n < N-1: Hình 1.5(b). trình bày hai dãy x(k) và h(n-k), trong trường

này, ta thấy x(k).h(n-k) = ak nên

.)(0

∑∞

=

=n

kany (1.36)

Ta thấy, y(n) chính là tổng (n+1) số hạng của một chuỗi hình học có công bội là a, áp dụng công thức tính tổng hữu hạn của chuỗi hình học, ñó là:

Hình 1.5: Các dãy xuất hiện trong quá trình tổng chập. (a);(b);(c)Các dãy x(k) và h(n-k) như là một hàm của k với các giá trị khác nhau của n (chỉ các mẫu khác 0

mới ñược trình bày ); (d) Tổng chập y(n) = x(n) * h(n).

@ Với (N-1) < n: Hình 1.5(b). trình bày hai dãy x(k) và h(n-k), tương tự như trên ta có: x(k).h(n-k) = ak.

Ví dụ này tính tích chập trong trường hợp ñơn giản. Các trường hợp phức tạp

hơn, tích chập cũng có thể tính bằng phương pháp ñồ thị, nhưng với ñiều kiện là 2 dãy phải có một số hữu hạn các mẫu khác 0.

21

Chú ý: Việc thực hiện phép chập 2 chuỗi có chiều dài hữu hạn: L[x1(n) ]=L1,

L[x2(n) ]=L2 thì:

+ L = L [y(n) ] = L1+L2 –1

+ Nếu các mẫu của x nằm trong khoảng [Mx, Nx], nếu các mẫu của h nằm trong khoảng [Mh, Nh] thì các mẫu của y nằm trong khoảng [Mx+Mh, Nx+Nh].

1.3.3.3. Các tính chất của hệ thống tuyến tính bất biến

Vì tất cả các hệ thống LTI ñều có thể biểu diễn bằng tích chập, nên các tính chất

của tổng chập cũng chính là các tính chất của hệ thống LTI.

Các tính chất của tích chập

a) Tính giao hoán (Commutative): cho 2 dãy x(n) và h(n) bất kỳ, ta có

y(n) = x(n)*h(n) = h(n)*x(n). (1.41)

Chứng minh: Thay biến m=n-k vào pt (1.33), ta ñược:

Hình 1.6: Minh họa tính chất giao hoán

b) Tính phối hợp (Associative): Cho 3 dãy x(n), h1 (n) và h2(n), ta có

y(n) = [x(n)*h1(n)]*h2 (n) = x(n)*[h1(n)*h2(n)]. (1.44)

với

với

với

x(n) y(nh(n)

h(n) x(n) y(n

22

Hình 1.7: Minh họa tính chất phối hợp

Tính chất này có thể chứng minh một cách dễ dàng bằng cách dựa vào biểu thức ñịnh nghĩa của tổng chập.

Hệ quả 1: Xét hai hệ thống LTI có ñáp ứng xung lần lược là h1(n) và h2(n) mắc liên tiếp (cascade), nghĩa là ñáp ứng của hệ thống thứ 1 trở thành kích thích của hệ

thống thứ 2 (Hình 1.6(a)). Áp dụng tính chất phối hợp ta ñược:

y(n) = x(n)*h(n) = [x(n)*h1(n)]*h2(n) = x(n)*[h1(n)*h2(n)]

hay h(n) = h1(n)*h2(n) = h2(n)*h1(n) (tính giao hoán). (1.45)

c) Tính chất phân bố với phép cộng (Distributes over addition): tính chất này

ñược biểu diễn bởi biểu thức sau:

y(n) = x(n)*[h1(n) + h2(n)] = x(n)*h1(n) + x(n)*h2(n). (1.46)

Hình 1.8: Minh họa tính chất phân bố

Hệ quả 2: Xét hai hệ thống LTI có ñáp ứng xung lần lượt là h1(n) và h2(n) mắc

song song (parallel), áp dụng tính chất phân bố ta ñược ñáp ứng xung của hệ

thống tương ñương là

h(n) = h1(n) + h2(n). (1.47)

Các tính chất khác

a./ Hệ thống LTI ổn ñịnh:

ðịnh lý: Một hệ thống LTI có tính ổn ñịnh nếu và chỉ nếu

(1.48)

với h(n) là ñáp ứng xung của hệ thống.

h(n) = h1(n) + h2(n) x(n y(n

h1(n) x(n y(n

h2(n)

+

h(n) = h1(n) * h2(n) y(nx(n

h1(n) h2(n) x(n y(n

23

Chứng minh:

ðiều kiện ñủ: Xét một tín hiệu vào hữu hạn, nghĩa là

Vậy |y(n)| hữu hạn khi ñiều kiện ở pt(1.48) thỏa mãn, hay pt(1.48) là ñiều kiện ñủ ñể hệ thống ổn ñịnh.

ðiều kiện cần: ðể chứng minh ñiều kiện cần ta dùng phương pháp phản chứng. Trước tiên ta giả sử rằng hệ thống có tính ổn ñịnh, nếu ta tìm ñược một tín hiệu vào

nào ñó thỏa mãn ñiều kiện hữu hạn và nếu tổng S phân kỳ (S →∞) thì hệ thống sẽ

không ổn ñịnh, mâu thuẩn với giả thiết.

Thật vậy, ta xét một dãy vào ñược nghĩa như sau:

ở ñây, h*(n) là liên hợp phức của h(n), rõ ràng |x(n)| bị giới hạn bởi 1, tuy nhiên,

nếu s →∞, ta xét ñáp ứng tại n = 0:

Ta thấy, kết quả này mâu thuẩn với giả thuyết ban ñầu (hệ thống ổn ñịnh).

Vậy, s phải hữu hạn.

b./ Hệ thống LTI nhân quả

ðịnh lý: Một hệ thống LTI có tính nhân quả nếu và chỉ nếu ñáp ứng xung h(n) của nó thỏa mãn ñiều kiện:

h(n) = 0, với mọi n < 0. (1.49)

Chứng minh:

ðiều kiện ñủ: Từ ∑∞

−∞=

−=k

knhkxny )()()( , kết hợp với (1.49) ta có

∑−∞=

−=n

k

knhkxny )()()( . (1.50)

với

với

24

Từ pt(1.50), ta thấy giới hạn trên của tổng là n, nghĩa là y(n) chỉ phụ thuộc

vào x(k) với k <= n, nên hệ thống có tính nhân quả.

ðiều kiện cần: Ta sẽ chứng minh bằng phương pháp phản chứng. Giả sử rằng,

h(m) ≠ 0 với m < 0. Từ pt(1.42):

ta thấy y(n) phụ thuộc vào x(n-m) với m < 0 hay n-m > n, suy ra hệ thống không có tính nhân quả. Vì vậy, ñiều kiện cần và ñủ ñể hệ thống có tính nhân quả phải là:

h(n)=0 khi n < 0.

Ví dụ 1.14. Hệ thống tích luỹ ñược ñịnh nghĩa bởi

Từ (1.51) ta thấy h(n) của hệ thống này không thỏa ñiều kiện (1.48) nên

không ổn ñịnh và h(n) thỏa ñiều kiện (1.49) nên nó là một hệ thống nhân quả.

• Dãy nhân quả: Dãy x ñược gọi là nhân quả nếu

x(n) = 0 với n<0. (1.52)

• Như vậy với hệ thống tuyến tính bất biến nhân quả có kích thích là dãy nhân quả thì ñáp ứng ra của nó ñược viết lại như sau:

(1.53)

Ví dụ 1.15. Xét một hệ thống có ñáp ứng xung là h(n) = an u(n), ta có

(1.54)

Nếu |a| < 1, thì S hội tụ và S = 1/(1-|a|) vì vậy hệ thống có tính ổn ñịnh.

Nếu |a| ≥ 1, thì S → ∞ và hệ thống không ổn ñịnh.

.)()()(0

∑=

−=n

k

knhkxny

25

1.4. Phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng

(LCCDE: Linear Constant-Coefficient Difference Equations)

1.4.1. Khái niệm

Một hệ thống LTI mà quan hệ giữa tác ñộng x(n) và ñáp ứng y(n) của nó thỏa

mãn phương trình sai phân truyến tính hệ số hằng bậc N dưới dạng:

ñược gọi là hệ thống có phương trình sai phân truyến tính hệ số hằng (LCCDE).

Trong ñó, các hệ số ak và br là các thông số ñặc trưng cho hệ thống.

Hệ thống LTI có LCCDE là một lớp con quan trọng của hệ thống LTI trong

xử lý tín hiệu số. Ta có thể so sánh nó với mạch R_L_C trong lý thuyết mạch tương tự (ñược ñặc trưng bằng phân trình vi tích phân tuyến tính hệ số hằng).

Ví dụ 1.16. Xét hệ thống tích lũy y(n) - y(n-1) = x(n). (1.56)

Phương trình (1.56) chính là LCCDE của một hệ thống tích lũy, với N=1, a0 =1, a1=-1, M=0 và b0 =1. Ta viết lại y(n) = y(n-1) + x(n) . (1.57)

Từ (1.57), ta thấy, với mỗi giá trị của n, phải cộng thêm vào x(n) một tổng ñược tích lũy trước ñó y(n-1). Hệ thống tích lũy ñược biểu diễn bằng sơ ñồ khối Hình 1.9

và (1.57) là một cách biểu diễn ñệ quy của hệ t.hống.

1.4.2. Nghiệm của PTSP-TT-HSH

Phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng là một dạng quan hệ vào ra mô tả hệ thống LTI. Trong phần này, ta sẽ tìm biểu thức tường minh của ñáp ứng y(n)

bằng phương pháp trực tiếp. Còn một phương pháp khác ñể tìm nghiệm của phương trình này là dựa trên biến ñổi z sẽ ñược trình bày trong chương sau, ta gọi

là phương pháp gián tiếp.

Tương tự như phương trình vi tích phân tuyến tính hệ số hằng của hệ thống

liên tục theo thời gian. Trước tiên, ta tìm nghiệm của phương trình sai phân thuần nhất (homogeneous diference equation), ñó là phương trình (1.55) với vế phải bằng

0. ðây chính là ñáp ứng của hệ thống với tín hiệu vào x(n) = 0. Sau ñó, ta tìm một nghiệm riêng (particular solution) của (1.55) với x(n). Cuối cùng, nghiệm tổng quát

26

(total solution) của LCCDE (1.55) là tổng nghiệm của phương trình sai phân thuần

nhất với nghiệm riêng của nó. Thủ tục tìm nghiệm như sau:

a./ Bước 1 Tìm nghiệm của phương trình sai phân thuần nhất (ðáp ứng của hệ

thống khi tín hiệu vào bằng 0)

Phương trình sai phân thuần nhất có dạng:

(Bằng cách chia 2 vế cho a0 ñể có dạng (1.58) với a0 = 1).

Ta ñã biết rằng, nghiệm của phương trình vi phân thường có dạng hàm mũ, vì

vậy, ta giả sử nghiệm của phương trình sai phân thuần nhất có dạng:

y0(n) = αn. (1.59)

Chỉ số y0(n) ñược dùng ñể chỉ rằng ñó là nghiệm của phương trình thuần nhất.

Thay vào (1.58) ta thu ñược một phương trình ña thức:

hay: αn –N (αN + a1αN-1 + a2α

N-2 + … + aN-1α + aN) = 0. (1.60)

ða thức trong dấu ngoặc ñơn ñược gọi là ña thức ñặc trưng (characteristic polynomial) của hệ thống.

Nói chung, ña thức này có N nghiệm, ký hiệu là α1, α2,…, αN, có giá trị thực

hoặc phức. Nếu các hệ số a1, a2,…, aN có giá trị thực, thường gặp trong thực tế, các

nghiệm phức nếu có sẽ là các cặp liên hợp phức. Trong N nghiệm cũng có thể có một số nghiệm kép (mutiple-order roots).

a.1/ Trường hợp, tất cả các nghiệm là phân biệt, không có nghiệm kép, thì nghiệm tổng quát của phương trình sai phân thuần nhất là:

y0(n) = A1α n1 + A2α n2 + …+ ANα nN =∑=

N

k

nkkA

1

α (1.61)

Ở ñây, A1 , A2 ,…, A N là các hằng số tuỳ ñịnh. Các hằng số này ñược xác

ñịnh dựa vào các ñiều kiện ñầu của hệ thống.

a.2/ Trường hợp có nghiệm bội, giả sử ña thức ñặc trưng có nghiệm bội bậc m

tại αααα2 thì ta có:

y0(n) = A1α n1 + (A20 + A21n + A22n2 + … +A2(m-1)n

m-1)α n2 + …+ ANα nN

Ví dụ 1.17. Xác ñịnh ñáp ứng với tín hiệu vào x(n) = 0 của một hệ thống ñược mô

tả bởi pt bậc 2 như sau:

y(n) - 3y(n-1) - 4y(n-2) = 0. (1.62)

Giải:

Ta biết nghiệm của (1.62) có dạng: y0n) = αn, thay vào (1.62), ta thu ñược:

(1.58)

27

αn - 3αn-1 - 4αn-2 = 0 hay αn -2 (α2 - 3α - 4) = 0

và phương trình ñặc tính là: (α2 - 3α - 4) = 0.

Ta có 2 nghiệm α1 = -1 và α2 = 4, nghiệm của phương trình thuần nhất có

dạng tổng quát là:

y0(n) = A1αn1 + A2α

n2 = A1(-1)n + A2(4)n. (1.63)

ðáp của hệ thống với tín hiệu vào bằng 0 có thể thu ñược bằng cách tính giá

trị các hằng số C1 và C2 dựa vào các ñiều kiện ñầu. Các ñiều kiện ñầu ñược cho thường là giá trị của ñáp ứng ở các thời ñiểm n=-1; n = -2;...; n = -N. Ở ñây, ta có

N=2, và các ñiều kiện ñầu ñược cho là y(- 1) và y(-2). Từ (1.62) ta thu ñược:

y(0) = 3y(-1) + 4y(-2)

y(1) = 3y(0) - 4y(-1) = 13y(-1) + 12y(-2).

Mặt khác, từ pt(1.63) ta có:

y(0) = A1 + A 2

y(1) = - A 1 + 4 A 2.

Suy ra A 1 + A 2 = 3y(-1) + 4y(-2)

- A 1 + 4 A 2 = 13y(-1) + 12y(-2).

Giải hệ 2 phương trình trên ta ñược:

A 1 = (-1/5)y(-1) + (4/5)y(-2)

A 2 = (16/5)y(-1) + (16/5)y(-2).

Vậy ñáp ứng của hệ thống khi tín hiệu vào bằng 0 là

y0(n) = [(-1/5)y(-1) + (4/5)y(-2)](-1)n + [(16/5)y(-1) + (16/5)y(-2)](4)n

(1.64)

Giả sử, y(-2)=0 và y(-1)=5, thì A1=-1 và A2 =16. Ta ñược

y0(n) = (-1)n+1 + (4)n+2, với n ≥ 0.

b./ Bước 2: Nghiệm riêng của phương trình sai phân Tương tự như cách tìm nghiệm của phương trình thuần nhất, ñể tìm nghiệm

riêng của phương trình sai phân khi tín hiệu vào x(n)≠0, ta ñoán rằng nghiệm của

phương trình có một dạng nào ñó, và thế vào PT-SP-TT-HSH ñã cho ñể tìm một

nghiệm riêng, ký hiệu yp(n). Ta thấy cách làm này có vẽ mò mẫm!. Nếu tín hiệu

vào x(n) ñược cho bắt ñầu từ thời ñiểm n ≥ 0 (nghĩa là x(n)=0 khi n<0), thì dạng

của nghiệm riêng thường ñược chọn là: yp(n) có dạng của x(n) từ ñiều kiện ñầu

Ví dụ 1.18. Tìm ñáp ứng y(n), với n ≥ 0, của hệ thống ñược mô tả bởi pt bậc hai

như sau:

28

y(n) - 3y(n-1) - 4y(n-2) = x(n) + 2x(n-1). (1.67)

tín hiệu vào là: x(n) = 4nu(n). Hãy xác ñịnh nghiệm riêng của (1.67).

Giải:

Trong Ví dụ 1.17, ta ñã xác ñịnh nghiệm của phương trình sai phân thuần nhất cho hệ thống này, ñó là (1.63), ta viết lại:

y0(n) = A1(-1)n + A 2(4)n. (1.68)

Nghiệm riêng của (1.63) ñược giả thiết có dạng hàm mũ: yp(n) = K(4)nu(n) .

Tuy nhiên chúng ta thấy dạng nghiệm này ñã ñược chứa trong nghiệm thuần nhất (1.68). Vì vậy, nghiệm riêng này là thừa (thế vào (1.67) ta không xác ñịnh ñược K).

Ta chọn một dạng nghiệm riêng khác ñộc lập tuyến tính với các số hạng chứa trong nghiệm thuần nhất. Trong trường hợp này, ta xử lý giống như trường hợp có

nghiệm kép trong phương trình ñặc tính. Nghĩa là ta phải giả thiết nghiệm riêng có dạng: yp(n) = Kn(4)nu(n). Thế vào (1.67):

Kn(4)nu(n) - 3K(n-1)(4)n-1u(n-1) - 4 K(n-2)(4)n-2u(n-2) = (4)nu(n) + 2(4)n-1u(n-1). ðể xác ñịnh K, ta ước lượng phương trình này với mọi n ≥ 2, nghĩa là với

những giá trị của n sao cho hàm nhãy bậc ñơn vị trong phương trình trên không bị triệt tiêu. ðể ñơn giản về mặt toán học, ta chọn n = 2 và tính ñược K = 6/5. Vậy:

yp(n) = (6/5)n(4)nu(n) . (1.69)

c./ Bước 3: Nghiệm tổng quát của phương trình sai phân:

Tính chất tuyến tính của LCCDE cho phép ta cộng nghiệm thuần nhất và nghiệm riêng ñể thu ñược nghiệm tổng quát. Ta có nghiệm tổng quát là:

y(n) = y0 (n) + yp (n). (1.70)

Vì nghiệm thuần nhất y0(n) chứa một tập các hằng số bất ñịnh Ai, nên

nghiệm tổng quát cũng chứa các hằng số bất ñịnh này, ñể xác ñịnh các hằng số này,

ta phải có một tập các ñiều kiện ñầu tương ứng của hệ thống. Chú ý rằng y0(n) và

yp(n) phải là ñộc lập tuyến tính với nhau.

Ví dụ 1.19. Giải phương trình sai phân )()()( 12 −+= nynxny , với tác ñộng

)()( nunx = và ñiều kiện ban ñầu 01)( =−y .

Giải : - Bước 1: Tìm nghiệm y0(n) của phương trình thuần nhất : 012 )()( =−− nyny

Thế nAny α.)(0 = vào phương trình thuần nhất:

2020.2 )(.. 11 ==−=− ⇒⇒ −− ααααα nnn AAA

Theo (1.7-13) nhận ñược nghiệm tự do: )(..)( 20 nuAny n=

- Bước 2: Tìm nghiệm cưỡng bức dưới dạng )(.)(.)( nunxny BBp == . Thế yp(n)

vào phương trình sai phân ñã cho nhận ñược:

29

)()()(. 1.2 nununu BB =−−

Phương trình trên ñúng với mọi 1≥n , ñể xác ñịnh B chọn n = 1 và có:

)()()(. 10.21 uuu BB =− 11)2( −=⇒=−⇒ BBB .

Vậy nghiệm cưỡng bức là: )()( nuny p −= .

- Bước 3: Nghiệm tổng quát của phương trình sai phân ñã cho là

)()(..)()()( 20 nunuAnynyny np −=+=

- Bước 4: Xác ñịnh hằng số sai phân từ ñiều kiện ban ñầu. Theo phương trình

sai phân và ñiều kiện ban ñầu ở ñầu bài xác ñịnh ñược:

10.211200 )()()( =−=−+= yuy .

Do ñó nghiệm tổng quát có giá trị y(0) là: 10020 )()(..)( 0 =−= uuAy .

Vậy 211 ==− ⇒ AA . Nghiệm tổng quát của phương trình sai phân:

)()(..)( 22 nununy n −= , hay )(].1[)( )1(2 nuny n −= +

Ví dụ 1.20. Tìm phản ứng y(n) của hệ xử lý số có phương trình sai phân

)()()()()( 122312 −+=−−−+ nxnxnynyny , với tác ñộng )()( nunx = và ñiều kiện ban

ñầu y(-1) = y(-2) = 0. Cho biết tính ổn ñịnh của hệ ñã cho.

Giải : - Bước 1: Tìm nghiệm y0(n) của phương trình thuần nhất :

02312 )()()( =−−−+ nynyny .

Thế nAny α.)(0 = vào phương trình thuần nhất :

0320.3.2 )(... 2221 =−+=−+ −−− ⇒ αααααα nnnn AAAA .

Giải phương trình ñặc trưng 032 )( 2 =−+ αα nhận ñược các nghiệm:

11 =α và 32 −=α

Theo (1.7-13) nghiệm tự do là: )(].)([)( 3210 nuAAny n−+= .

- Bước 2: Tìm nghiệm cưỡng bức dưới dạng )(..)(..)( nunnxnny BBp == . Thế yp(n)

vào phương trình sai phân ñã cho nhận ñược :

)()()()()()()(. 1.222.311.2. −+=−−−−−+ nunununnunnu BBnB .

Phương trình trên ñúng với mọi 2≥n , ñể xác ñịnh B chọn n = 2 và có:

)()()()(. 1221.222 uuuu BB +=+ 4

3)21)22 (( =⇒+=+⇒ BBB .

Vậy nghiệm cưỡng bức là )(.)( .4

3nunny p = .

- Bước 3: Nghiệm tổng quát của phương trình sai phân ñã cho là

)(..)(..()(.)()()(4

3)3210 nunnuAnuAnynyny n

p ++=+= − .

- Bước 4: Xác ñịnh hai hằng số sai phân từ ñiều kiện ban ñầu. Theo phương trình sai phân và ñiều kiện ban ñầu ở ñầu bài, xác ñịnh ñược

)()()()()( 12023120 −+=−−−+ uuyyy 100.210.30.20 )()( =+=−+ ⇒ yy

và )()()()()( 02113021 uuyyy +=−−+

30

111.210.31.21 )()( =+=−+ ⇒ yy

Theo nghiệm tổng quát xác ñịnh ñược ở bước 3 có hệ phương trình

=++=

=++=

−

−

1114

31)311

1004

30)300

)(..)(..()(.)(

)(..)(..()(.)(

121

021

uuAuAy

uuAuAy

=+−

=+⇒

14

33

1

21

21

AA

AA.

Giải hệ phương trình trên tìm ñược: 16

131 =A và

16

32 =A .

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình sai phân ñã cho là

)(..)(..()(.)(4

3)3

16

3

16

13nunnununy n ++= − .

Hay )(...()(4

3)3

16

3

16

13nunny n

++= − .

Trong ñó thành phần dao ñộng tự do là nghiệm của phương trình sai phân

thuần nhất : )(..()( )316

3

16

130 nuny n

+= − .

Hệ sử lý số ñã cho có dao ñộng tự do y0(n) → - ∞ khi n → ∞ , nên theo ñịnh

lý ổn ñịnh 1, hệ không thỏa mãn ñiều kiện ổn ñịnh.

Các ví dụ trên cho thấy rằng, giải phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng bằng phương pháp tìm nghiệm tổng quát là khá phức tạp, khi phương trình sai

phân có bậc N > 2 sẽ càng phức tạp hơn vì phải giải phương trình bậc cao. Như vậy, cả hai phương pháp giải phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng

ñã ñược trình bầy ở trên ñều phức tạp, vì thế người ta sẽ tìm phương pháp khác ñể giải phương trình sai phân dễ dàng hơn, vấn ñề ñó sẽ ñược nghiên cứu ở chương

hai.

31

1.5. Hệ thống rời rạc ñệ quy (recursive) và không ñệ quy (nonrecursive)

1.5.1. Hệ thống không ñệ qui (Hệ có ñáp ứng xung có chiều dài hữu hạn FIR)

Một hệ thống mà ñáp ứng y(n) chỉ phụ thuộc vào kích thích ở thời ñiểm hiện

hành và ở các thời quá khứ là một hệ thống không ñệ qui.

Ta thấy một hệ thống không ñệ qui ñược biểu diễn bởi một PT-SP-TT-HSH có bậc

N = 0, ñó là

(Hệ số a0 ñã ñược ñưa vào các hệ số br, bằng cách chia 2 vế cho a0 ).

ðáp ứng xung của hệ thống là

Ta thấy ñây là một hệ thống LTI có ñáp ứng xung dài hữu hạn (Finite duration Impulse Response system -FIR) và nhân quả.

Hệ thống FIR (Hệ thống với ñáp ứng xung có chiều dài hữu hạn) là một hệ thống mà ñáp ứng xung của nó tồn tại một số hữu hạn các mẫu khác 0.

Ta thấy, hệ thống FIR luôn luôn ổn ñịnh nếu tất cả các mẫu trong ñáp ứng

xung của nó có ñộ lớn hữu hạn. Ví dụ 1.21. Tìm ñáp ứng xung của hệ ñược mô tả bởi pt sau:

y(n) = x(n) + 4x(n-1) + 5x(n-2) – x(n-3) từ phương trình ta thấy: b0= 1, b1=4, b2=5, b3=-1.

Suy ra h(n)=δ(n) + 4δ(n-1) + 5δ(n-2) –δ(n-3) và hệ thống này luôn ổn ñịnh.

1.5.2. Hệ thống ñệ qui (Hệ có ñáp ứng xung có chiều dài vô hạn IIR)

Hệ thống ñược biểu diễn bởi phương trình SP-TT-HSH bậc N>0 ñược gọi là hệ ñệ qui. ðáp ứng của hệ thống phụ thuộc vào kích thích ở thời ñiểm hiện tại và

quá khứ và cả ñáp ứng ở thời ñỉêm quá khứ.

0)()()( 01 00 0

≠−−−= ∑∑==

avoiknya

arnx

a

bny

N

k

kM

r

r

hay 1)()()( 010

=−−−= ∑∑==

avoiknyarnxbnyN

kk

M

rr .

Nhận xét:

- Do ak, br là các hệ số do ñó hệ thống ñệ qui phụ thuộc vào cả ak, lẫn br.

(1.71)

(1.72)

32

- Với x(n)= δ(n) thì y(n) = h(n) Là ñáp ứng xung của hệ ñệ qui. Ta thấy rằng

h(n) của hệ ñệ qui có chiều dài vô hạn. Vậy hệ thống ñệ qui là hệ thống có ñáp ứng xung có chiều dài vô hạn (Infinite duration Impulse Response system IIR)

Ví dụ 1.22. Tìm ñáp ứng xung và xét sự ổn ñịnh của hệ thống sau:

y(n) - ay(n-1) = x(n); y(n)=0 với n<0.

với tín hiệu vào là x(n) =δ (n), với a là hằng số

Giải:

Ta tính h(n) với n ≥ 0, bắt ñầu với n = 0:

h(0) = a.h(-1) + δ (0) = 1

h(1) = a.h(0) + δ (1) = a

h(2) = a.h(1) + δ (2) = a2

h(3) = a.h(2) + δ (3) = a3

: :

: :

Từ các kết quả trên ta có thể tổng quát hóa thành công thức tính h(n)

h(n) = anu(n).

Xét sự ổn ñịnh của hệ:

∑∑∞

=

∞

−∞=

==0

)(n

n

n

anhS .

- Nếu [a]<1 thì S hội tụ: S= 1/(1-[a]) hệ ổn ñịnh.

- Nếu [a]>1 S phân kỳ hệ này không ổn ñịnh

Chú ý: - Với hệ FIR thì ta có thể tìm ngay ñáp ứng xung dựa vào các hệ số br, còn ñối với hệ IIR ta không làm ñược như vậy.

- Với hệ IIR nhân quả ta có thể tìm ñáp ứng xung bằng cách ñệ qui như ví dụ trên hoặc tìm nghiệm tổng quát của PT-SP-TT-HSH của nó.Ta biết y(n) = y0(n) +

yp(n) với yp(n) ñược xác ñịnh từ ñiều kiện ñầu vào ñã cho.

Khi x(n)= δ (n) nghĩa là kích thích chỉ là một xung tại n=0 còn với n>0 thì

x(n)=0 do vậy yp(n) = 0 với n>0 vậy:

Khi x(n)= δ (n) th ì y(n)=y0(n) = h(n):

Vì vậy ta có: h(n)=y0(n) =∑=

N

k

nkkA

1

α trong ñó αk là các nghiệm ñơn của phương trình

.0

0∑=

− =N

k

kNkka α

33

Còn các hệ số Ak ñược xác ñịnh từ các ñiều kiện ñầu.

Sự ổn ñịnh của hệ IIR nhân qủa

∑ ∑∞

−∞=

∞

=

==n n

nhnhS0

)()(

∑∑∑ ∑∞

= =

∞

= =

≤=0 10 1 n

N

k

nkk

n

N

k

nkk AAS αα

Suy ra ∑∑ ∑∑∞

=

∞

= ==

=≤00 11 n

n

kn

N

kk

nk

N

kk AAS αα do ∑

=

N

kkA

1

là hằng số nên nếu 1<kα thì

∑∞

=

∞<0n

n

kα và S<∞. Vậy với 1<kα với mọi k thì hệ IIR sẽ ổn ñịnh.

Từ ñây ta có thể phát biểu ñiều kiện ổn ñịnh của hệ IIR như sau: ðiều kiện cần và ñủ cho hệ thống IIR nhân quả ñược bểu diễn bởi pt sai phân TT-HSH ổn

ñịnh là giá trị tuyệt ñối của tất cả các nghiệm của phương trình ñặc trưng αk phải nhỏ h ơn một.

Ví dụ 1.23. Tìm h(n) và xét sự ổn ñịnh của hệ thống ñược cho bỡi phương trình sau:

y(n) – 3y(n-1) + 2y(n-2) = x(n) + 2x(n-1)

với ñiều kiện ñầu: y(n) = 0 với n<0.

Giải:

Ta có phương trình ñặc trưng:

.2;1

023

21

2

===+−

αααα

Vậy ta có y0(n)= A1.1n + A2.2

n = h(n).

Sử dụng ñiều kiện ñầu y(n)=0, n<0 và x(n)= δ(n) ta có

n = 0 thì : y(0) = 1

n = 1 th ì y(1) = 5.

Mặt khác ta có y(0) = A1 + A2 =1

y(1) = A1 + 2A2 = 5.

Giải ra ta ñược: A1=-3; A2 = 4

Vậy ta có h(n) = -3 + 4.2n = 2n+2 – 3 với n ≥0 hay ta có thể viết:

h(n) = (2n+2 – 3)u(n).

34

Xét sự ổn ñịnh của hệ:

. |3)u(n) -(2|)( 2n ∞=== +∞

−∞=

∞

−∞=∑∑nn

nhS

Vậy hệ này không ổn ñịnh

1.5.3. Thực hiện hệ FIR và IIR

Hệ FIR:

ðối với hệ thống không ñệ qui FIR, với phương trình sai phân biểu diễn hệ thống là:

Ta có sơ ñồ như sau:

Trong thực tế, ñối với các mạch ñệ qui, ít khi người ta thực hiện cả một sơ ñồ có bậc N > 2, vì khi ñó mạch dễ mất tính ổn ñịnh do sai số. Mặt khác, thiết kế các

khâu bậc 2 có phần thuận lợi hơn. Vì vậy, người ta chia hệ thống ra thành nhiều mạch con có bậc lớn nhất là 2 mắc liên tiếp hoặc song song với nhau.

Hệ IIR

Phương trình của hệ IIR ñược viết lại dưới dạng công thức truy hồi

(1.73)

Hình 1.10: Hệ thống khôngñệ quy FIR

(1.74)

35

Sơ ñồ khối

1.6. Hàm tương quan và hàm tự tương quan

1.6.1. Hàm tương quan

Khi xử lý tín hiệu số, trong nhiều trường hợp, cần so sánh hai tín hiệu số hoặc hai dãy số liệu. ðể so sánh hai tín hiệu số hoặc hai dãy số, người ta sử dụng hàm

tương quan )(mrxy , với biến m là khoảng cách giữa các mẫu của hai tín hiệu số hoặc

hai dãy số ñược so sánh.

ðịnh nghĩa: Hàm tương quan )(mrxy của dãy y(n) ñối với dãy x(n) là dãy

)(mrxy ñược xác ñịnh bằng biểu thức

∑∞

−∞=

−=n

xy mnynxmr )().()( (1.75)

hoặc ∑∞

−∞=

+=n

xy nymnxmr )().()( (1.76)

ở ñây chỉ số dưới xy xác ñịnh hướng tương quan, với x(n) là dãy gốc còn y(n) là dãy ñược so sánh. Biến m là khoảng cách giữa hai dãy tính bằng số mẫu. Các

biểu thức (1.75) và (1.76) là như nhau vì sự dịch chậm m mẫu của dãy y(n) so với

dãy x(n) hoàn toàn tương ñương với sự dịch nhanh m mẫu của dãy x(n) so với dãy

y(n).

Hình 1.11: Hệ thống ñệ quy IR

36

ðể so sánh dãy x(n) với dãy y(n) ta dùng hàm tương quan )(mryx

∑∞

−∞=

−=n

yx mnxnymr )().()( (1.77)

hoặc: ∑∞

−∞=

+=n

yx nxmnymr )().()( . (1.78)

Nếu thay m = - m vào (1.77) sẽ nhận ñược (1.78), và tương tự, nếu thay m = -

m vào (1.76) sẽ nhận ñược (1.77), do ñó có

)()( mrmr yxxy −= . (1.79)

Như vậy, )(mryx là ñối xứng của )(mrxy qua trục tung và chúng ñều mang thông

tin như nhau về sự tương quan giữa hai dãy x(n) và y(n).

Biểu thức hàm tương quan )(mrxy có dạng gần giống với biểu thức tích chập và

rõ ràng có liên quan với biểu thức tích chập. Thật vậy, biến ñổi biểu thức (1.76) sẽ thấy ñược sự liên quan ñó

∑∑∞

−∞=

∞

−∞=

−=−−=+=nn

xy mxmynmxnynymnxmr )(*)()]([).()().()(

Vậy )(*)()(*)()( mymxmxmymrxy −=−= (1.80)

Tương tự )(*)()(*)()( mxmymymxmryx −=−= . (1.81)

Vì thế, mọi thuật toán và chương trình dùng ñể tính tích chập )(*)( nynx ñều có

thể sử dụng ñể tính hàm tương quan )(mrxy , chỉ cần thay các dãy vào x(n) và y(n)

bằng các dãy vào x(-m) và y(m).

ðể tìm hàm tương quan )(mrxy của các dãy có ñộ dài hữu hạn với N nhỏ, có thể

tính từng mẫu của )(mrxy tương tự như tính tích chập.

Ví dụ 1.24. Hãy xác ñịnh hàm tương quan )(mrxy của hai dãy hữu hạn:

=↑

− 2,1,2,1)(nx và .)( 2,1,3,2,1↑

−=ny

Giải : Dùng công thức (1.75) ñể lần lượt tính các giá trị của )(mrxy :

01231221100 ..).().()().()(1

2

=++−+−=−= ∑−=n

xy nynxr .

ðể tính )(mrxy với m < 0, lần lượt dịch trái dãy y(n) so với dãy x(n)

132211322111 ...)).(()().()(1

2

=+++−−=+= ∑−=

−n

xy nynxr

10221123122 ...).()().()(1

2

=+++−=+= ∑−=

−n

xy nynxr

30201221133 ...).()().()(1

2

=+++−=+= ∑−=

−n

xy nynxr

37

20201022144 ...).()().()(1

2

−− =+++−=+= ∑−=n

xy nynxr

.00201020155 ...).()().()(1

2

=+++−=+= ∑−=

−n

xy nynxr

Tính tiếp sẽ ñược 0)( =mrxy với mọi m ≤ -5.

ðể tính )(mrxy với m > 0 , lần lượt dịch phải dãy y(n) so với dãy x(n)

63221120111 .).(.).()().()(1

2

=+−++−=−= ∑−=n

xy nynxr

32211020122 )(...).()().()(1

2

−=−+++−=−= ∑−=n

xy nynxr

21201020133 ...).()().()(1

2

=+++−=−= ∑−=n

xy nynxr

.00201020144 ...).()().()(1

2

=+++−=−= ∑−=n

xy nynxr

Tính tiếp sẽ ñược 0)( =mrxy với mọi m ≥ 4

Từ các kết quả tính toán trên, nhận ñược dãy tương quan )(mrxy là

= −−

↑2,3,6,0,13,1,3,2)(mrxy

Ví dụ 1.25. Hãy xác ñịnh hàm tương quan )(mrxy của hai dãy

4)()( nrectnx = và )()( 2 nuny n= .

Giải : Có ∑∑=

−∞

−∞=

− −=−=3

0

)()(4 )()(.)()( 22

n

mn

n

mnxy mnumnunrectmr .

Có thể thấy ngay rằng khi n∈[ 0 , 3 ] thì )( mnu − = 1 với mọi m ≤ 0 nên :

mm

n

mnxy mr −−

=

− =−−

== ∑ 21521

2122 .)(

43

0

)( với mọi m ≤ 0

712121202121 ....)()( 21013

0

)1( =+++=−= −

=

−∑n

nxy nur

312120202222 ....)()( 10123

0

)2( =+++=−= −−

=

−∑n

nxy nur

112020202323 ....)()( 01233

0

)3( =+++=−= −−−

=

−∑n

nxy nur .

Tính tiếp sẽ ñược 0)( =mrxy với mọi m ≥ 4

1.6.2. Hàm tự tương quan Hàm tự tương quan )(mrx dùng ñể xác ñịnh quan hệ tại các thời ñiểm khác

nhau của dãy x(n).

ðịnh nghĩa: Hàm tự tương quan )(mrx của dãy x(n) là dãy ñược xác ñịnh

bằng biểu thức sau:

38

∑∞

−∞=

−=−=n

x nxnxmnxnxmr )(*)()().()( . (1.82)

ðối chiếu các biểu thức (1.82) và (1.75), thì hàm tự tương quan )(mrx là

trường hợp riêng của hàm tương quan )(mrxy khi y(n) = x(n), tức là khi so sánh dãy

x(n) với chính nó tại hai thời ñiểm cách nhau m mẫu.

Hàm tự tương quan )(mrx ñạt giá trị cực ñại tại m = 0 vì )(0xr là giá trị tương

quan của x(n) tại cùng một thời ñiểm và có :

.)().()(0 ∑∞

−∞=

==n

xx Enxnxr (1.83)

Vậy )(0xr chính là năng lượng của tín hiệu x(n).

Ví dụ 1.26. Hãy xác ñịnh hàm tự tương quan )(mrx của dãy:

).()( 42 nrectnx n−=

Giải: Theo công thức (1.82) có

∑∑=

−−∞

−∞=

−−− −=−=3

04

244 )()().()( 2222

n

nm

n

mnnx mnrectmnrectnrectmr

64

8522222220 6420

3

0

23

04

20 )()( =−−−

=

−

=

− +++=== ∑∑n

n

n

nx nrectr

8

210212121221221 ).....()()( 6420

3

04

21 =−−−

=

− +++=+= ∑−n

nx nrectr

5.....()()( )0202121222222 642023

04

22 =−−−

=

− +++=+= ∑−n

nx nrectr

8.....()()( )0202021223223 642033

04

23 =−−−

=

− +++=+= ∑−n

nx nrectr .

Tính tiếp sẽ ñược 0)( =mrxy với mọi m ≤ -4

128

691212120221221 )( .....)()( 64201

3

04

21 =−−−−

=

−− +++=−= ∑n

nx nrectr

256

51212020222222 ).....()()( 64202

3

04

22 =−−−−

=

−− +++=−= ∑n

nx nrectr

512

11202020223223 ).....()()( 64203

3

04

23 =−−−−

=

−− +++=−= ∑n

nx nrectr .

Tính tiếp sẽ ñược 0)( =mrxy với mọi m ≥ 4.

39

Chương 2

BIỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG RỜI RẠC TRONG MIỀN Z

Chương 1 ñã trình bày cách tính ñáp ứng của một hệ thống trực tiếp từ ñáp ứng xung của nó, bằng cách tính tổng chập của kích thích với ñáp ứng xung. Cách

tính tổng chập trực tiếp dựa vào công thức ñịnh nghĩa như ñã làm tốn rất nhiều thời gian và công sức. Hơn nữa, trong thực tế số mẫu khác không của kích thích và ñáp

ứng xung là rất nhiều nên ta không thể “tính bằng tay”. Tuy nhiên, phương pháp tính tổng chập bằng ñồ thị như ñã trình bày cho ta một thuật toán của chương trình

tính tổng chập bằng máy tính. Việc giải phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng bằng phương pháp ñệ qui cũng chỉ có ý nghĩa khi sử dụng máy tính.

Kỹ thuật biến ñổi là một công cụ hữu hiệu ñể phân tích hệ thống LTI. Biến ñổi Z ñối với tín hiệu rời rạc có vai trò tương tự như biến ñổi Laplace ñối với tín

hiệu liên tục, và chúng có quan hệ giống nhau với biến ñổi Fourier. Tổng chập của hai dãy trong miền thời gian sẽ biến thành tích của hai biến ñổi Z tương ứng trong

miền biến phức z. Tính chất này sẽ làm ñơn giản hóa việc tính ñáp ứng của hệ thống với các tín hiệu vào khác nhau. Phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng

cũng ñược giải một cách dễ dàng hơn khi dùng công cụ biến ñổi Z.

Như ta sẽ thấy trong các chương sau, biến ñổi Fourier giữa vai trò chìa khóa

trong trong việc biểu diễn và phân tích các hệ thống rời rạc. Tuy nhiên, trong một số trường hợp cần phải sử dụng dạng tổng quát hóa của biến ñổi Fourier, ñó là biến

ñổi Z.

2.1. Biến ñổi z 2.1.1. Biến ñổi Z thuận 2.1.1.1. Biến ñổi Z hai phía

ðịnh nghĩa: Biến ñổi Z hai phía của dãy x(n) là chuỗi lũy thừa của biến số

phức z : ∑∞

−∞=

−=n

nznxzX ).()( .

(2.1)

Miền xác ñịnh của hàm X(z) là các giá trị của z ñể chuỗi (2.1) hội tụ.

Dãy x(n) ñược gọi là hàm gốc, còn X(z) ñược gọi là hàm ảnh Z. Biến ñổi Z hai phía thường ñược gọi vắn tắt là biến ñổi Z. Chuỗi (2.1) là biểu thức biến ñổi Z

thuận và ñược ký hiệu như sau:

)()]([ znxZT X= .

Hay: )()( znx XZT→

( ZT là chữ viết tắt của thuật ngữ tiếng Anh : Z - Transform).

40

Ví dụ 2.1. Hãy xác ñịnh biến ñổi Z hai phía của các dãy sau:

a. )(nδ b. )( kn −δ c. )( kn +δ d. )( 1,5,2,3 −↑

=nx

e. )(nu f. )( 3−nu g. )( 3+nu h. )( nu −

Giải: a. .).()]([ 1∑∞

−∞=

− ==n

nznnZT δδ

Chuỗi hội tụ với mọi z, nên )]([ nZT δ xác ñịnh với mọi z.

b. k

n

n zznnZT kk −∞

−∞=

− =−=− ∑ ).()]([ δδ .

Chuỗi hội tụ với mọi z > 0, nên )]([ knZT −δ xác ñịnh với mọi z > 0.

c. k

n

n zznnZT kk =+=+ ∑∞

−∞=

−).()]([ δδ .

Chuỗi hội tụ với mọi z < ∞, nên )]([ knZT +δ xác ñịnh với mọi z < ∞.

d. 2112

1

..).().()( 523 −−

−=

−∞

−∞=

− +−+=== ∑∑ zzzznxznxzn

n

n

nX .

Hàm X(z) xác ñịnh trong miền 0 < z < ∞.

e. )()(

).()]([11

11

0 −====

−

∞

=

−∞

−∞=

−

−∑∑ z

z

zzznunuZT

n

n

n

n .

Dãy nhân quả vô hạn )(nu có biến ñổi Z bằng ∞ tại z = 1.

f. )()(

).()]([1

1

133

23

0

)3(

3 −=

−===−=− −

∞

=

+−∞

=

−∞

−∞=

− ∑∑∑zzz

zzzzznunuZT

m

m

n

n

n

n .

Ta ñã ñổi biến, ñặt ⇒=− mn )( 3 )( 3+= mn và khi 3=n thì .0=m

Dãy nhân quả vô hạn )( 3−nu có biến ñổi Z bằng ∞ tại z = 1 và z = 0 .

g.)()(

).()]([11

334

3

0

)3(

3 −=

−===+=+ ∑∑∑

∞

=

−−∞

−=

−∞

−∞=

−

z

z

z

zzzzznunuZT

m

m

n

n

n

n .

Ta ñã ñổi biến, ñặt ⇒=+ mn )( 3 )( 3−= mn và khi 3−=n thì .0=m

Dãy không nhân quả )3( +nu có biến ñổi Z bằng ∞ tại z = 1 và z = ∞.

h. )(

).().().()]([1

1

00

0

zzzmuznuznunuZT

m

m

m

m

n

n

n

n

−===−=−=− ∑∑∑∑

∞

=

∞

=−∞=

−∞

−∞=

− .

Ta ñã ñổi biến, ñặt ⇒=− mn khi ∞−=n thì ∞=m .

Dãy phản nhân quả vô hạn )( nu − có biến ñổi Z bằng ∞ tại z = 1.

2.1.1.2. Biến ñổi Z một phía ðịnh nghĩa: Biến ñổi Z một phía của dãy x(n) là chuỗi lũy thừa của biến số

phức z: ∑∞

=

−=0

1 ).()(n

nznxzX . (2.2)

Miền xác ñịnh của hàm )(1 zX là các giá trị của z ñể chuỗi (2.2) hội tụ.

41

Biến ñổi Z một phía ñược lấy theo tổng với n biến thiên từ 0 ñến ∞. Chuỗi

(2.2) là biểu thức của biến ñổi Z một phía thuận và ñược ký hiệu như sau:

)()]([ 11 znxZT X= .

Hay: )()( 11

znx XZT→

Ví dụ 2.2. Hãy xác ñịnh biến ñổi Z một phía của các dãy ở ví dụ 2.1 và so sánh kết quả với biến ñổi Z hai phía tương ứng.

a. )(nδ b. )( kn −δ c. )( kn +δ d. )( 1,5,2,3 −↑

=nx

e. )(nu f. )( 3−nu g. )( 3+nu h. )( nu − .

Giải : a. ∑∞

=

− ==0

1 1).()]([n

nznnZT δδ .

Dãy nhân quả )(nδ có biến ñổi Z một phía giống biến ñổi Z hai phía.

b. .).()]([0

1 k

n

n zznnZT kk −∞

=

− =−=− ∑δδ

Dãy nhân quả )( kn −δ có biến ñổi Z một phía giống biến ñổi Z hai phía.

c. 0000

1 .).()]([ ==+=+ ∑∑∞

=

−∞

=

−

n

n

n

n zznnZT kk δδ .

Dãy phản nhân quả )( kn +δ có biến ñổi Z một phía luôn bằng 0.

d. 212

00

1 .).().()( 52 −−

=

−∞

=

− +−=== ∑∑ zzznxznxzn

n

n

nX .

Dãy không nhân quả )(nx có biến ñổi Z một phía khác biến ñổi Z hai phía.

e. 11

11

00

1 ).()]([−

====−

∞

=

−∞

=

−

−∑∑ z

z

zzznunuZT

n

n

n

n .

Dãy nhân quả )(nu có biến ñổi Z một phía giống biến ñổi Z hai phía.

f. )1

1

133

().()]([

23

0

3

30

1

−=

−===−=− −

∞

=

−−∞

=

−∞

=

− ∑∑∑zzz

zzzzznunuZT

m

m

n

n

n

n .

Dãy nhân quả )( 3−nu có biến ñổi Z một phía giống biến ñổi Z hai phía.

g. 1

3300

1 ).()]([−

==+=+ ∑∑∞

=

−∞

=

−

z

zzznunuZT

n

n

n

n .

Dãy không nhân quả )( 3+nu có biến ñổi Z một phía khác hai phía.

h. 0000

1 .).()]([ ==−=− ∑∑∞

=

−∞

=

−

n

n

n

n zznunuZT .

Dãy phản nhân quả vô hạn )( nu − có biến ñổi Z một phía luôn bằng 0.

Như vậy, các dãy nhân quả có biến ñổi Z một phía và hai phía giống nhau, các dãy không nhân quả có biến ñổi Z một phía và hai phía khác nhau, các dãy phản

nhân quả có biến ñổi Z một phía bằng không.

2.1.2. Miền hội tụ của biến ñổi Z

42

ðịnh nghĩa: Tập hợp tất cả các giá trị của biến số phức z mà tại ñó các

chuỗi (2.1) và (2.2) hội tụ ñược gọi là miền hội tụ của biến ñổi Z. Miền hội tụ của biến ñổi Z ñược ký hiệu là: RC[X(z)] hoặc RC.

(RC là chữ viết tắt của thuật ngữ tiếng Anh: Region of Convergence). Có thể thấy ngay rằng các dãy x(n) hữu hạn có biến ñổi Z là chuỗi hữu hạn

nên sẽ hội tụ trên toàn bộ mặt phẳng z, trừ hai ñiểm |z|= ∞ và z = 0 là phải xét cụ

thể : ])([)( NnxZTzX = có ∞<< ||:)]( 0[ zzXRC .

Xét trường hợp x(n) là dãy không nhân quả vô hạn xác ñịnh trong khoảng (-

∞ , ∞), biến ñổi Z hai phía của x(n) theo (2.1) là

∑∞

−∞=

−=n

nznxzX ).()( . (2.3)

ðể tìm miền hội tụ của chuỗi (2.3), cần sử dụng tiêu chuẩn hội tụ của Cauchy ñược phát biểu như sau :

Tiêu chuẩn hội tụ Cauchy: Xét chuỗi số vô hạn

∑∞

=0

)(n

nx . (2.4)

Nếu lnx n

n=

∞→

1

)(lim , thì chuỗi (2.4) hội tụ khi l < 1, phân kỳ khi l > 1.

ðể sử dụng tiêu chuẩn hội tụ Cauchy xác ñịnh miền hội tụ của chuỗi (2.3),

phải tách )(zX thành hai chuỗi như sau :

)()().().()( 210

1

zzznxznxz XXXn

n

n

n +=+= ∑∑∞

=

−−

−∞=

− .

Trong ñó )().().()( 001

1 xznxznxzn

n

n

nX −== ∑∑−∞=

−−

−∞=

− (2.5)

và ∑∞

=

−=0

2 ).()(n

nznxzX .

Theo tiêu chuẩn Cauchy, chuỗi )(2 zX sẽ hội tụ nếu thỏa mãn ñiều kiện:

1|)(|lim.||1.)(lim1

11

<⇒<∞→

−−

∞→

n

n

nn

nnxzznx .

Nếu tồn tại số −xR hữu hạn ñể

∞<= −∞→

xn

nRnx

1

)(lim . (2.6)

thì 1|| 1 <−− zxR .

Khi ñó chuỗi )(2 zX sẽ hội tụ với mọi z thoả mãn ñiều kiện:

−> xRz || . (2.7)

ðể tìm miền hội tụ của )(1 zX , ñổi biến ñặt nm −= thì chuỗi (2.5) ñược ñưa

về dạng : )().()( 00

1 xzmxzm

mX −−=∑∞

=

.

43

Nếu x(0) hữu hạn thì chuỗi )(1 zX sẽ hội tụ nếu thỏa mãn ñiều kiện

1|)(|lim.||1.)(lim11

<−⇒<−∞→∞→

m

m

mm

m

mxzzmx .

Nếu tồn tại số +xR hữu hạn ñể ∞<=−+∞→ x

m

m Rmx

11

)(lim

thì 1||1

<+

zxR

, trong ñó: m

m

x

mx

R1

)(lim

1

−

=

∞→

+ .

Hay trở về biến n

n

nx nxR

1

)(lim∞−→

+ = . (2.8)

Khi ñó chuỗi )(1 zX sẽ hội tụ với mọi z thoả mãn ñiều kiện

+< xRz || . (2.9)

)]([ zRC X là giao các miền hội tụ của )(1 zX theo (2.9) và )(2 zX theo (2.7):

Nếu +− < xx RR thì +− << xx RRX zzRC ||)]([ : .

Như vậy, dãy không nhân quả vô hạn x(n) có )]([)( nxZTzX = với miền hội tụ

là hình vành tròn trên mặt phẳng phức, có tâm là gốc tọa ñộ, bán kính trong −xR ,

bán kính ngoài +xR như ở Hình 2.1a. Các bán kính hội tụ −xR và +xR ñược xác ñịnh

theo (2.6) và (2.8) tương ứng. Nếu −xR không hữu hạn hoặc +− ≥ xx RR thì )(zX không

xác ñịnh với mọi z, nên trong trường hợp ñó dãy không nhân quả x(n) không có biến ñổi Z.

a. Dãy không nhân quả. b. Dãy nhân quả. c. Dãy phản nhân quả. Hình 2.1: Miền hội tụ của biến ñổi Z.

Khi x(n) là dãy nhân quả thì biến ñổi Z của nó có thành phần 0)(1 =zX , nên

)()( 2 zz XX = , do ñó miền hội tụ của )(zX là miền hội tụ của )(2 zX theo (2.7), nên

−> xRXRC zz ||:)]([ , ñó là miền nằm ngoài vòng tròn tâm ở gốc tọa ñộ, ñường kính

−xR như ở Hình 2.1b. Bán kính hội tụ −xR ñược xác ñịnh theo (2.6). Nếu ∞=−xR thì

44

)(zX không xác ñịnh với mọi z, nên trong trường hợp ñó dãy nhân quả x(n) không

có biến ñổi Z.

Khi x(n) là dãy phản nhân quả thì biến ñổi Z của nó có 0)(2 =zX ,

nên )()( 1 zz XX = , do ñó miền hội tụ của )(zX là miền hội tụ của )(1 zX theo (2.9),

nên +< xRXRC zz ||:)]([ , ñó là miền nằm trong vòng tròn tâm ở gốc tọa ñộ, ñường

kính +xR như ở Hình 2.1c . Bán kính hội tụ +xR ñược xác ñịnh theo (2.8). Nếu 0=+xR

thì )(zX không xác ñịnh với mọi z, nên trong trường hợp ñó dãy phản nhân quả x(n)

không có biến ñổi Z.

Biến ñổi Z một phía có dạng giống với biến ñổi Z hai phía của các dãy nhân

quả, do ñó miền hội tụ của biến ñổi Z một phía là:

−> xRXRC zz ||:])( 1[ .

ðó là miền nằm ngoài vòng tròn tâm là gốc tọa ñộ, ñường kính −xR . Bán

kính hội tụ −xR ñược xác ñịnh theo (2.6).

Ví dụ 2.3. Hãy xác ñịnh )(ziX và )]([ ziXRC của các dãy )(nxi sau:

a. )()( 31 nrectnx = e. )()(5 nuanx n −=

b. )()( 32 nrectnx −= f. )()( 26 += nuanx n

c. )()( 133 += nrectnx g. )()( 27 +−= nuanx n

d. )()(4 nuanx n= h. nanx =)(8 .

Giải: a. 2

212

0

031

111).()(

zzzzzzznrectz

n

n

n

nX ++=++=== −−

=

−∞

−∞=

− ∑∑ .

Dãy nhân quả hữu hạn )(3 nrect có ZT với 0[ ||:)](1 >zzXRC .

b. 12010

2

232 ).()( ++=++==−= ∑∑

−=

−∞

−∞=

− zzzzzzznrectzn

n

n

nX .

Dãy phản nhân quả hữu hạn )(3 nrect − có ZT với ∞<||:)](2[ zzXRC .

c. z

zzzzzznrectzn

n

n

nX1

11 101

1

133 ).()( ++=++==+= −

−=

−∞

−∞=

− ∑∑ .

Dãy không nhân quả hữu hạn )( 13 +nrect có ZT với ∞<< ||:)]( 0[ 3 zzXRC .

d. )().(

).().()(1

0

1

04

1

1

az

z

zazazaznuaz

n

n

n

nn

n

nnX−

=−

====−

∞

=

−∞

=

−∞

−∞=

− ∑∑∑ .

Vậy: )().(

)]([11

1

az

z

zanuaZT n

−=

−=

−. (2.10)

Theo (2.6), bán kính hội tụ ||||lim1

aa nn

nxR ==

∞→− , vậy dãy nhân quả vô hạn

)(nuan có ZT với .||:)]( ||4[ az zXRC >

e. .).()(0

5 ∑∑−∞=

−∞

−∞=

− =−=n

nn

n

nn zaznuazX

45

ðổi biến, ñặt n = - m ⇒ - n = m và khi n = - ∞ thì m = ∞ nhận ñược:

)()()()(

10

1

05

1

1

za

a

zazazaz

m

m

m

mmX−

=−

===−

∞

=

−∞

=

− ∑∑ .

Theo (2.8) , bán kính hội tụ ||||lim1

aa nn

nxR ==

∞−→+ , vậy dãy phản nhân quả vô

hạn )( nua n − có ZT với .||:)]( ||5[ az zXRC <

f. ∑∑∑∞

=

−−−∞

−=

−∞

−∞=

− ++==+=0

122

26 ).()( 2

n

nn

n

nn

n

nn zazazazaznuazX

)()()()(

2

3

2

2

4122

6aza

z

az

z

a

z

a

zzzazaz XX

−=

−++=++= −− .

Theo (2.6) và (2.8), xác ñịnh ñược dãy không nhân quả vô hạn )( 2+nua n với

),[ 2 ∞−∈n có ZT với .||:)]( ||6[ ∞<< zazXRC

h. )()()( 450

000

8 1 zzzazazazaz XXXn

nn

n

nn

n

nn ++−=++−== ∑∑∑∞

=

−

−∞=

−−∞

−∞=

− .

Sử dụng kết quả của các câu d và e, dãy không nhân quả vô hạn nanx =)(8 có

ZT với || axx RR == −+ , nên nó không có biến ñổi Z.

• Mặt phẳng z Do z là biến phức nên: z = Re[z] + j Im[z], mặt phẳng z ñược tạo bởi trục tung

Im[z] và trục hoành Re[z].

Chú ý: z là biến phức nên ta có thể biểu diễn như sau:

z = rejθ

∑∞

−∞=

−−=n

njnj ernxreX θθ ).()( , Nếu r =1 thì ∑∞

−∞=

−=n

njj enxeX θθ ).()( có nghĩa là phép

biến ñổi z lấy trên vòng tròn ñơn vị sẽ trở thành biến ñổi Fourier trên miền tần số.

2.1.3. Các tính chât của biến ñổi z a. Tính chất tuyến tính

Im[z]

Re[z]

r

46

Nếu

X1(z) = ZT[x1(n)], RC[X1(z)] X2(z) = ZT[x2(n)], RC[X2(z)]

x3(n) = ax1(n) + bx2(n) trong ñó a, b là các hằng số thì ZT[x3(n)] = X3(z) = a.X1(z) + b.X2(z),

RC[X3(z)] = RC[X1(z)] ∩ RC[X2(z)]. Chẳng hạn, x1(n) = 2nu(n), x2(n) = 3nu(n).

b. Tính chất dịch thời gian Nếu

X(z) = ZT[x(n)], RC[X(z)] thì ZT [x(n-k)] = z-kX(z)

Miền hội tụ: + Nếu k >0 thì RC: là RC[X(z)]/0

+ Nếu k<0 thì RC là RC[X(z)]/∞. c. ðịnh lí giá trị ñầu

Biến ñổi z của dãy nhân quả x(n) ñược ñịnh nghĩa như sau

....).(...)1()0().()( 1

0

++++== −−∞

=

−∑ n

n

n znxzxxznxzX

Khi z→∞ thì lim X(z) → x(0). Ví dụ 2.4. Hãy các ñịnh giá trị ñầu của dãy sau

3

)(−

=z

zzX , RC : 3>z .

x(0) = 13

lim =−

∞→zz

z.

d. Tích chập trên miền z.

Nếu X1(z) = ZT[x1(n)], RC[X1(z)]

X2(z) = ZT[x2(n)], RC[X2(z)]

x3(n) = x1(n) * x2(n)

thì ZT[x3(n)] = X3(z) = X1(z).X2(z), RC[X3(z)]=RC[X1(z)]∩ RC[X2(z)]. Miền hội tụ của X3(z) có thể rộng hơn miền hội tụ của X1(z) và X2(z).

Chẳng hạn, x1(n) = 2nu(n), x2(n) = 3nu(n). e. Nhân với hàm mũ

Giả sử có dãy x(n) có ZT[x(n)] =X(z), RC : 21 RzR << thì dãy

y(n) = anx(n) có ZT[y(n)] = Y(z) = ∑∑∞

−∞=

−∞

−∞=

−

==

n

n

n

nn

a

zX

a

znxznxa ))(()( .

RC: 21 RazRa << .

Chẳng hạn, cho dãy x(n) = 2nu(n) xác ñịnh X(z), RC.

Trước tiên ta tìm biến ñổi z của dãy u(n):

47

1

0

1

1

1)()()( −

∞

=

−∞

−∞=

−

−=== ∑∑

zzznuzU

n

n

n

n với RC: 11 <−Z hay 1>Z

Vậy 11 21

1

21

1

2)(

−− −=

−

=

=

zz

zUzX với RC: 22.1 =>Z .

2.1.4. Biến ñổi z hữu tỷ

Giả sử X(z) là hàm hữu tỷ

∑

∑

=

−

=

−

==N

k

kk

M

or

rr

za

zb

zD

zNzX

0

)(

)()( .

a. Các khái niệm cực và không.

+ ðiểm cực của X(z) là các giá trị z tại ñó X(z) = ∞, kí hiệu là zpk Khi ñó D(zpk) = 0.

+ ðiểm không của X(z) là các ñiểm tại ñó X(z) = 0, kí hiệu là zor Khi ñó N(zor) = 0.

b. Biểu diễn X(z) dưới dạng cực và không

Giả sử N(z) là ña thức bậc M của z khi ñó:

N(z) = bM(z- zo1) (z- zo2) (z- zo3).... (z- zoM)= ∏=

−M

rorM zzb

1

)( .

Giả sử D(z) là ña thức bậc N của z khi ñó:

D(z) = aN(z- zp1) (z- zp2) (z- zp3).... (z- zpN)= ∏=

−N

kpkN zza

1

)( .

Khi ñó X(z) ñược viết lại như sau:

∏

∏

=

=

−

−=

N

kpk

M

ror

N

M

zz

zz

a

bzX

0

1

)(

)()( hay ta có thể viết dưới dảng hàm của z-1 như sau:

∏

∏

∏

∏

=

−

=

−

−

=

−

=

−

−

−=

−

−=

N

kpk

M

ror

NM

N

kpk

M

ror

N

M

zz

zzcz

zz

zz

z

zczX

1

1

1

1

)(

0

1

1

1

)1(

)1(

)1(

)1()( .

Với c = bM/aN X(z) có M ñiểm không và N ñiểm cực. ðể biểu diễn trên ñồ thị

các ñiểm cực ñược ñánh dấu bằng (x) và các ñiểm không ñược ñánh dấu bằng (o).

48

Hình 2.2: Không và cực của X(z).

49

2.2. Biến ñổi z ngược

2.2.1. ðịnh lí Cauchy

ðịnh lí Cauchy là một ñịnh lí quan trọng trong lí thuyết biến số phức, nó là cơ

sở ñể chúng ta xây dựng công thức của biến ñổi z ngược.

ðịnh lí Cauchy ñược phát biểu như sau:

∫

≠=

=−−

C

kn

nk

nkdzz

j .0

1

2

1 1

π

Trong ñó C ñược lấy theo chiều dương trên ñường cong khép kín bao quanh gốc

tọa ñộ và nằm trong miền hội tụ của biến ñổi Z.

2.2.2. Biến ñổi z ngược

Từ biểu thức ∑∞

−∞=

−=n

nznxzX ).()( ta có

∑∞

−∞=

−−− =n

nkk znxzzX 11 ).()( lấy tích phân trên miền hội tụ ROC của nó ta có:

∑ ∑ ∫∫∫∞

−∞=

∞

−∞=

−−−−− ==n n RC

knnk

RC

k

RC

dzznxdzznxdzzzX 111 )().()( .

Áp dụng ñịnh lí Cauchy ta có:

∑∫∞

−∞=

− =n

k

RC

nxdzzzXj

)()(2

1 1

π với k = n.

Hay )()()(2

1 1 kxkxdzzzXj n

k

RC

== ∑∫∞

−∞=

−

π.

vậy: dzzzXj

kx k

RC

1)(2

1)( −∫=

π hoặc ta có thể viết:

dzzzXj

kx k

RC

1)(2

1)( −∫=

π

Hay ∫ −=C

n dzzzj

nx X )1()(1

)(2π

. (2.11)

Biểu thức (2.11) ñược gọi là biểu thức của biến ñổi Z ngược ( IZT - Invert Z

Transform ). Tính trực tiếp tích phân (2.11) là khá phức tạp, vì thế thường sử dụng các

phương pháp gián tiếp ñể tìm biến ñổi Z ngược. Khi ứng dụng biến ñổi Z ñể giải các bài toán phân tích và tổng hợp hệ xử lý số,

cần sử dụng biến ñổi Z thuận ñể chuyển dãy x(n) sang miền biến số Z. Sau khi thực hiện những biến ñổi cần thiết trong miền Z, cần sử dụng biến ñổi Z ngược ñể nhận

ñược kết quả trong miền thời gian.

50

2.2.3. Các phương pháp tìm biến ñổi z ngược Tìm biến ñổi Z ngược ñể xác ñịnh dãy x(n) bằng cách tính trực tiếp tích phân

(2.11) thường rất phức tạp, vì thế người ta xây dựng các phương pháp gián tiếp sau

ñể tìm biến ñổi Z ngược: - Phương pháp thặng dư.

- Phương pháp khai triển X(z) thành chuỗi lũy thừa. - Phương pháp phân tích X(z) thành tổng các phân thức ñơn giản.

2.2.3.1. Phương pháp thặng dư Trong lý thuyết hàm biến số phức, phương pháp thặng dư dùng ñể tính tích

phân: ∫C

dzzj

Q )(1

2π. (2.12)

Tích phân (2.12) ñược lấy theo chiều dương trên ñường cong khép kín C bao

quanh gốc tọa ñộ và nằm trong miền hội tụ của hàm Q(z).

Nếu Q(z) có một cực bội bậc q tại pzz = thì có thể phân tích Q(z) thành:

q

pzz

zz

NQ

)(

)()(

−= .

Trong ñó, các nghiệm của phương trình 0)( =zN phải khác cực bội pz .

Khi ñó tích phân (2.12) sẽ có dạng

p

Cq

pC

sdzzz

z

jdzz

j

NQ Re

)(

)(1)(

1

22=

−= ∫∫ ππ

.

Với psRe ñược gọi là thặng dư của hàm Q(z) và ñược tính theo biểu thức :

.)()()(

))(22 1

1

12

1

12

3(

−−

−=

−=

−

zzzz

z zH (2.13)

Trong trường hợp riêng, nếu pz là nghiệm ñơn thì 1=k nên:

)()(Re ppp zzzzs NN === (2.14)

ðể tìm biến ñổi Z ngược theo tích phân (2.11), áp dụng phương pháp thặng

dư cho hàm )1().()( −= nzzz XQ . Giả sử Q(z) có m cực bội bậc iq thì có thể phân tích

Q(z) thành tổng:

∑=

−

−==

m

iq

pi

in

izz

zzzz

NXQ

1

)1(

)(

)().()( .

Khi ñó, biểu thức biến ñổi Z ngược (2.11) ñược ñưa về dạng:

∫∑∫=

−

−==

C

m

iq

pi

i

C

n dzzz

z

jdzzz

jnx

i

NX

1

)1(

)(

)(1)(

1)(

22 ππ. (2.15)

Vì ñường cong khép kín C nằm trong miền hội tụ của hàm )1().( −nzzX nên tích

phân ở vế phải của (2.15) có thể lấy trên từng số hạng của chuỗi, vì thế có thể ñổi vị trí của dấu tổng và dấu tích phân:

51

∑∑ ∫∫==

− =−

==m

ipi

m

i Cq

pi

i

C

n sdzzz

z

jdzzz

jnx

i

NX

11

)1( Re)(

)()()(

2

1

2

1

ππ

Vậy: ∑∫=

− ==m

ipi

C

n sdzzzj

nx X1

)1( Re)(1

)(2π

(2.16)

Các thặng dư pisRe ứng với các cực piz của )1().( −nzzX . pisRe của cực ñơn tính

theo (2.14), pisRe của cực bội bậc q tính theo (2.13).

Ví dụ 2.5. Hãy tìm

−

==)(

)]([)(az

zzIZTnx X với ||||:)]([ azzXRC > .

Giải: Có )()(

.).(

)1()1(

az

z

az

zzzz

nnnX

−=

−=

−− .

Với 0≥n , hàm )(

).( )1(

az

zzz

nnX

−=− có một cực ñơn az p = và nzzN =)( . Từ

biểu thức thặng dư (2.14), với 0≥n tìm ñược: np aas N == )(Re .

Theo (2.16) thì: 0Re)( ≥== nkhiasnx np .

Vì ||||:)]([ azzXRC > nên )(nx là dãy nhân quả, do ñó kết quả là

)()(

)( nuaaz

zIZTnx n=

−

= .

2.2.3.2. Phương pháp khai triển X(z) thành chuỗi lũy thừa

Vì X(z) là hàm giải tích của z, nên trong miền hội tụ của nó, có thể khai triển

X(z) thành chuỗi lũy thừa của nz − theo dạng:

∑∞

−∞=

−=n

nn zazX .)( . (2.17)

Mặt khác, theo ñịnh nghĩa của biến ñổi Z có:

∑∞

−∞=

−=n

nznxzX ).()( . (2.18)

Trong miền hội tụ của X(z), cả hai chuỗi trên ñều hội tụ nên khi ñồng nhất

các hệ số của hai chuỗi (2.17) và (2.18), tìm ñược dãy:

nanx =)( . (2.19)

Vậy khi khai triển X(z) thành chuỗi luỹ thừa (2.17), sẽ tìm ñược dãy x(n)

theo các hệ số của chuỗi.

Ví dụ 2.6. Hãy tìm dãy x(n) của hàm ảnh )(

)(az

zzX

+= .

a. Với ||||:)]([ azzXRC > b. Với ||||:)]([ azzXRC < .

52

Giải: a. Chia cả tử số và mẫu số cho z nhận ñược:

).()()(

11

1−+

=+

=zaaz

zzX .

Vì ||||:)]([ azzXRC > nên )(nx là dãy nhân quả, do ñó hàm ảnh phải là chuỗi lũy

thừa của nz − . ðể khai triển X(z) thành chuỗi lũy thừa của nz − , chia tử số cho ña

thức mẫu số (1 + az-1) :

1 | 1 + az-1 _

1 + az-1 1 - az-1 + a2z-2 - a3z-3 + a4z-4 - ......

- az-1

- az-1 - a2z-2

+ a2z-2

+ a2z-2 + a3z-3

- a3z-3

- a3z-3 - a4z-4

+ a4z-4

...................

Một cách tổng quát nhận ñược n

n

n zazX −∞

=∑ −=

0

)()( .

Theo (2.19) nhận ñược : )()()( nuanx n−= với ||||:)]([ azzXRC > .

b. Với ||||:)]([ azzXRC < thì x(n) là dãy phản nhân quả, nên hàm ảnh phải là

chuỗi luỹ thừa của nz . ðể khai triển X(z) thành chuỗi luỹ thừa của nz , chia tử số

cho ña thức mẫu số (az-1 + 1) :

1 | az-1 + 1 _

1 + a-1z a-1z - a-2z2 + a-3z3 - a-4z4 + ......

- a-1z

- a-1z - a-2z2

+ a-2z2

+ a-2z2 + a-3z3

- a-3z3

- a-3z3 - a-4z4

+ a-4z4

53

...................

Một cách tổng quát nhận ñược : m

m

m zazX ∑∞

=

−−−=1

)()( .

ðể ñưa chuỗi về dạng (2.17), ñổi biến ñặt n = (- m + 1) ⇒ m = (- n + 1),

khi m = 1 thì n = 0 và khi m = ∞ thì n = - ∞:

n

n

nn

n

n zazzazX −−∞

=

−+−−∞

=

− ∑∑ −−=−−=0

)1()1(

0

)1( )(.)()( .

Theo (2.19) và tính chất trễ của biến ñổi Z nhận ñược:

)()()( 1)1( +−−−= − nuanx n với ||||:)]([ azzXRC < .

2.2.3.3. Phương pháp phân tích X(z) thành tổng các phân thức tối giản

ðây là phương pháp sử dụng bảng biến ñổi Z cơ bản (Bảng 2.3). ðể tìm dãy x(n) của các hàm X(z) phức tạp, chỉ cần phân tích X(z) thành tổng của các hàm ảnh

có trong bảng biến ñổi Z, và áp dụng tính chất tuyến tính tìm ñược hàm gốc bằng tổng của các hàm gốc thành phần.

Trong ña số trường hợp, có thể ñưa hàm X(z) về dạng phân thức hữu tỷ:

)...(

)...(

)(

)()(

11

1

11

10)(.

.NN

NN

MN

MM

MM

azazaz

zbzbzbzb

z

zz

A

D

BAX

++++++++

==−

−

−−

−

. (2.20)

Trong ñó A là hằng số và ña thức ở mẫu số D(z) có a0 = 1 ñược gọi là ña

thức ñặc trưng của hàm X(z). Phương trình ñặc trưng D(z) = 0 có N nghiệm zpk, chúng là các cực ñiểm của hàm X(z).

Nếu hàm X(z) (2.20) có bậc của ña thức ở mẫu D(z) lớn hơn bậc của ña thức ở tử B(z), tức là N > M thì nó ñược gọi là hàm X(z) dạng chính tắc. Trong trường

hợp hàm X(z) (2.20) có N ≤ M thì nó là hàm dạng không chính tắc. Khi ñó, bằng

cách chia ña thức ở tử cho ña thức ở mẫu hoặc bằng biến ñổi toán học, sẽ nhận ñược hàm X(z) dạng:

)()(0

.)(

)()(. zzcz XA

zD

zNzCAX

NM

r

rr ′+ +=

= ∑

−

=

− .

Trong ñó X’(z) là hàm dạng chính tắc. Vì C(z) là ña thức lũy thừa của z, nên

có thể dễ dàng tìm ñược biến ñổi Z ngược của nó:

∑−

=

−==NM

rr rnczIZTnc ACA

0

)()]([)( .. δ .

Vì vậy, trong mọi trường hợp chỉ cần nghiên cứu phương pháp tìm biến ñổi

Z ngược của hàm X(z) (2.20) dạng chính tắc. Có thể biểu diễn hàm X(z) chính tắc (2.20) qua các cực ñiểm zpk :

))....()((

)....(

)(

)()(

21

22

110

)(..

N

MNM

M

ppp zzzzzz

zbzbzbzb

z

zz

A

D

BAX

−−−++++

==−

. (2.21)

54

Các cực ñiểm zpk của hàm X(z) (2.20) và (2.21) có thể là các cực ñơn (cực có

giá trị khác nhau), hoặc các cực bội bậc q (q cực có giá trị giống nhau), hơn nữa zpk có thể là các số thực hoặc số phức. Trước hết chúng ta nghiên cứu trường hợp X(z)

có nghiệm ñơn giản. 2.2.3.3a Trường hợp hàm X(z) chỉ có các cực ñơn là số thực

Khi X(z) là hàm (2.20) hoặc (2.21) dạng chính tắc và có N cực ñơn zpk là số thực (N cực thực ñơn), thì có thể phân tích X(z) thành tổng của các phân thức ñơn

giản dạng:

)(

...)()()()(

)()(

2

2

1

1

1

.N

NN

pppk pk

k

zzzzzzzzz

zz

BBBB

D

BAX

−++

−+

−=

−== ∑

=

(2.22)

ðể xác ñịnh hệ số kB , nhân cả hai vế của (2.3-12) với (z - zpk ):

)(

)(......

)(

)(

)(

)())((

2

2

1

1

N

N

p

pkk

p

pk

p

pkpk zz

zz

zz

zz

zz

zzzzz

BB

BBX

−

−++++

−

−+

−

−=− .

Tại z = zpk thì trừ kB , còn tất cả các số hạng khác ở vế phải của biểu thức

trên ñều bằng không, do ñó có:

[ ]pkpkk zzzzzXB =−= ))(( . (2.23)

Lấy biến ñổi Z ngược hàm X(z) (2.3-13) , tìm ñược dãy x(n) :

−=

−== −

==∑∑ )(

.)(

)]([)( 1

11 pkkk

k pk

k

zz

zzIZT

zzIZTzIZTnx

NN

BB

X .

Theo tính chất trễ và, với ]max[||:)]([ pkzzzXRC > , nhận ñược

.)( 01 <−=zzD (2.24)

Dãy (2.24) có dạng trễ, ñể nhận ñược các dãy x(n) không ở dạng trễ như trên,

chia cả hai vế của (2.20) cho z và phân tích hàm :

∑= −

==N

k pk

k

zzzz

z

z

z B

D

BA

X

0 )()(

)()(

.. . (2.25)

Chỉ số k chạy từ 0, do z.D(z) = 0 có thêm một nghiệm zp0 = 0 (hoặc B(z) = 0 giảm một nghiệm tại z01 = 0 ). Từ (2.25) nhận ñược:

∑= −

=N

k pkk zz

zz BX

0 )()( . (2.26)

Trong ñó, các hệ số kB ñược xác ñịnh theo biểu thức :

pkpkk zzzz

z

zXB =

−= )(

)( . (2.27)

Lấy biến ñổi Z ngược hàm X(z) (2.26), tìm ñược dãy x(n)

−== ∑

=

N

k pkk zz

zIZTzIZTnx BX

0 )()]([)( .

Theo (2.28) hoặc Bảng 2.3, với ]max[||:)]([ pkzzzXRC > , nhận ñược

55

∑=

==N

k

npkk nuzzIZTnx BX

0

)(..)]([)( . (2.28)

Ví dụ 2.8. Hãy tìm hàm gốc nhân quả của )(

)()(

682

52 +−

+=

zz

zzX .

Giải: Hàm X(z) là phân thức dạng chính tắc. Vì ña thức ñặc trưng có 120 ≠=a nên

phải nhóm thừa số 2 ra ngoài. ðể nhận ñược hàm gốc x(n) dạng không trễ, phân tích hàm:

)()())((

)(

)(

)()(

31312

5

342

5 2102 −

+−

+=−−

+=

+−+

=zzzzzz

z

zzz

z

z

z BBBX .

Theo (2.27) xác ñịnh ñược các hệ số 0B , 1B , và 2B :

6

5

312

50312

5

))(())((

)(00 =

−−=⇒=

−−

+= BB zzzz

zz .

2

3

4

6

311.2

511312

15

).(

)(

))((

))((11 −=

−=

−+

=⇒=

−−−+

= BB zzzz

zz .

3

2

12

8

133.2

533312

35

).(

)(

))((

))((22 ==

−+

=⇒=

−−

−+= BB zzzz

zz .

Vậy: )()(

)(

3

1

3

2

1

1

2

31

6

5

−+

−−=

zzzz

zX .

Suy ra )()(

)(33

2

12

3

6

5

−+

−−=

z

z

z

zzX .

Vì dãy x(n) là nhân quả nên 3[ ||:)]( >zzXRC , theo (2.28) nhận ñược:

)()()()]([)( 33

2

2

3

6

5nununzIZTnx nX +−== δ .

2.2.3.3b Trường hợp hàm X(z) có nhiều cực dạng phức tạp

ðể ñơn giản và dễ hiểu mà không làm mất ñi tính tổng quát, giả sử X(z) là

hàm (2.20) hoặc (2.21) dạng chính tắc và có r cực thực ñơn zpk , một cực thực bội

zpq bậc q, một cặp cực phức liên hợp pez và *pez , khi ñó có thể phân tích X(z) thành

tổng của các phân thức dạng:

∑∑== −

+−

+−

+−

=q

ii

pq

ir

k pk

k

pepe zzzzzzzzz

z CBEEX

10* )()()(

*

)(

)(oo

. (2.29)

Trong ñó thành phần ứng với r cực thực ñơn zpk là:

∑= −

=r

k pk

kb

zzz

z BX

0 )(

)(. (2.30)

Thành phần ứng với cực thực bội zpq bậc q là

56

∑= −

=q

ii

pq

ic

zzz

z CX

1 )(

)( . (2.31)

Thành phần ứng với cặp cực phức liên hợp pez và *pez là

)(

*

)(

)(*pepe

e

zzzzz

z EEX

−+

−=

oo

. (2.32)

Tương tự trường hợp hàm X(z) chỉ có các nghiệm thực ñơn, các hệ số kB của

(2.30) ñược xác ñịnh theo (2.27). Với pkb zzzXRC max||:)]([ > , từ hàm Xb(z), theo

(2.28) nhận ñược thành phần xb(n)

∑=

==N

k

npkkbb nuzzIZTnx BX

0

)(..)]([)( . (2.33)

Các hệ số iC của (2.31) ứng với cực thực bội zpq , ñược xác ñịnh như sau:

.)()(

)!( )(

)(1pq

qpqiq

iq

i zzzzz

z

dz

d

iq

XC =

−

−= −

−

(2.34)

Với ||||:)]([ pqc zzzXRC > , từ hàm Xc(z) nhận ñược thành phần xc(n)

( )∑=

−

−−−−

==q

i

inpqicc nuz

i

innnz CXIZTnx

1

)( )(..)!(

))....((.)](

1

11[)( . (2.35)

Các hệ số phức o

E và *o

E ứng với cặp cực phức liên hợp pez và *pez . Ta chỉ cần

xác ñịnh o

E theo biểu thức:

ej

pepe ezzz

zE

XE zz

ϕ.)(

)(=

−= =

o

. (2.36)

vì theo lý thuyết hàm biến số phức thì )(*)( * zz ff = , nên có:

ej

pepe ezz

z

zEE

Xzz

ϕ−==

− = .*)(

)(*

*o

.

Do ñó có: )()(

)(*

..

pe

j

pe

je

zz

e

zz

e

z

z ee EEX

−+

−=

− ϕϕ

.

Vậy: )()(

)(*

..pe

j

pe

je

zz

ze

zz

zez ee EEX

−+

−= − ϕϕ .

với ||||:)]([ pee zzzXRC > , từ hàm Xe(z) nhận ñược hàm gốc xe(n) :

)()()()()]([)( *.. nuzenuzezIZTnx npe

jnpe

jee

ee EEXϕϕ −+==

)().|(|)().|(|)( .. nuezenuezenx nj

pejnj

pej

epepe EE

ϕϕϕϕ −−+=

)..()(||)( .. zeze jnjjnjnpee eeeenuznx E ϕϕϕϕ −−+= .

57

+=

+−+

2.2

)()(

)(||)(epep njnj

npee

eenuznx E

ϕϕϕϕ

.

Vậy: )cos().(||)]([)( .2 epn

peee nnuzzIZTnx EX ϕϕ +== . (2.37)

Trong ñó hệ số phức ejeEE ϕ.=o

ñược xác ñịnh theo biểu thức (2.35).

Từ ñó, theo tính chất tuyến tính của biến ñổi Z nhận ñược:

)()()()]([)( nxnxnxzIZTnx cbeX ++== . (2.38)

Trong ñó, xb(n) ñược xác ñịnh theo (2.33), xc(n) ñược xác ñịnh theo (2.35), và xe(n) ñược xác ñịnh theo (2.37).

Ví dụ 2.9. Cho 22 ba < , hãy tìm hàm gốc x(n) của hàm ảnh:

).()(

22 2 bzaz

zzX

++= với ||||:)]([ bzzXRC > .

Giải: Ở ñây sẽ phân tích X(z) thành tổng của các ña thức ñơn giản. ðể nhận ñược

dãy x(n) dạng không trễ, phân tích hàm:

).(

)(22 2

1

bzazz

zX

++= .

Vì 22 ba < , nên phương trình ñặc trưng 02 22 . =++ bzaz có hai nghiệm là cặp

số phức liên hợp: pjpp ezabjaz

ϕ.||)( 22 =−+−= .

và pjpp ezabjaz

ϕ−=−−−= .||)( 22* .

Với babaz p =−+= )(|| 222 .

và

−−=

a

abarctgp

)( 22

ϕ . (2.39)

ðể sử dụng công thức (2.37), theo biểu thức (2.36) tìm ñược

)())((

)(**

1

ppp

pp

p

zzzz

zzzz

zzEE

−=⇒=

−−

−=

oo

)()()( 222222 2

1 2

ab

e

abjaabja

j

E−

=

−−−−

−+−

=− π

o

.

Vậy: )(

||222

1

abEE

−==

o

và 2

][πϕ −== eEArg

o

.

Theo (2.37) nhận ñược dãy x(n)

−−

−=

2.

2

12 .cos).(

)()(

22

πϕ pn nnu

abnx b .

58

Biến ñổi lượng giác và xác ñịnh pϕ theo (2.39), nhận ñược kết quả

Với 22 ba < và ||||[ bzRC > thì

−−

−=

++ a

abarctgn

ab

nub

bzaz

zIZT

n )(.sin.

)(

)(

).(

22

2222 2. (2.40)

Các công thức (2.37) và (2.40) thường ñược sử dụng như một cặp biến ñổi Z thông dụng ñể tìm biến ñổi Z ngược của các hàm X(z) có hai nghiệm ñơn là cặp số

phức liên hợp.

Ví dụ 2.10. Hãy tìm dãy x(n) của hàm ảnh:

))((

)()(

1441

3222

2

+−+−+

=zzz

zzzX với 1[ ||:)]( >zzXRC .

Giải : Vì ña thức ở mẫu có 140 ≠=a nên phải nhóm thừa số 4 ra ngoài. ðể nhận

ñược hàm gốc x(n) dạng không trễ, phân tích hàm :

2

2

22

2

)5,04

32

25,014

32

)()((

)(

))((

)()(

−+−−+

=+−+

−+=

zjzjzz

zz

zzzz

zz

z

zX . (2.41)

Phương trình ñặc trưng 0)5,0 2)()(( =−+− zjzjzz có:

- Một nghiệm ñơn tại 00 =pz ,

- Một nghiệm bội bậc 2 tại 5,01 =pz ,

- Hai nghiệm phức liên hợp tại jz p =2 và jz p −=*2

1|| 2 =⇒ pz và 2

2πϕ =p .

Theo các cực ñiểm trên, có thể phân tích hàm (2.41) thành dạng:

)(

*

)()()(

)(2

21

5,05,0 jzjzzzzz

z EECCBX

++

−+

−+

−+=

oo

. (2.42)

Trong ñó các hệ số ñược xác ñịnh như sau:

35,014

305,014

320 222

2

).(.))((

)()(−=

−−

==

−+−+

==

= zzz

zzzz

z

zXB

5,014

325,0

5,0)(

)()(

)(2

22

1 =

+−+

==

−= zzz

zz

dz

dzz

z

z

dz

d XC

44,35,014

3213141222

222

1)(

))(())((==+

−++−++= zzz

zzzzzzC

8,05,014

325,0

5,0)(

)()(

)(2

22

2 −==

+−+

==

−= zzz

zzzz

z

zXC

59

1,12

2

.5,05,04

32

))((

)()(

)( jejzzjzz

zzjzjz

z

zXE −≈=

−+−+

==

−=

o

.

Thay giá trị các hệ số vào (2.3-33), nhận ñược:

)()()()(

)( 1,11,1

2

.5,0.5,0

5,0

8,0

5,0

44,33

jz

e

jz

e

zzzz

z jjX

++

−+

−−

−+=

−− ,

1,11,12

5,05,05,0

5,0

5,0

8,0

5,044,33

)()()()()( jj e

jz

ze

jzz

z

z

zz

zX

++

−+

−−

−+= −− .

Theo Bảng 3.2 và công thức (2.37), với 1[ ||:)]( >zzXRC , nhận ñược

−+−+= − 1,1

21.5,0.25,0.6,15,0.44,3)(3 .cos)(||)().()()()( nnununnunx nnnn

πδ .

Hay )(31,12

.6,144,32 .cos)()).(()( nnnunnunx n δπ

−

−+−= − .

2.3. Phân tích hệ thống rời rạc trên miền z Chúng ta ñã biết trên miền n một HT-TT-BB ñược ñặc trưng bởi ñáp ứng

xung hoặc phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng. Nhưng việc phân tích hệ

thống nhiều khi gặp phải sự khó khăn của việc tính tích chập, giải PT-SP.... Trong phần trước chúng ta ñã biểu diễn tín hiệu sang miền biến số z, bây giờ ta sẽ phân

tích hệ TT-BB trên miền z, trước tiên ta tìm hiểu khái niệm hàm truyền ñạt của hệ thống.

2.3.1. Hàm truyền ñạt của hệ thống TT-BB

Miền n Miền z y(n) = x(n)*h(n)

= ∑∞

−∞=

−k

knhnx )().(

h(n) = IZT[H(z)]

X(z) = ZT[x(n)], Y(z) = ZT[y(n)]

H(z) = ZT[h(n)]

)(

)()(

zX

zYzH =

Như vậy hàm truyền ñạt của hệ thống TT-BB chính là biến ñổi z cuả ñáp ứng xung của nó. Hàm truyền ñạt ñược kí hiệu là H(z) và nó cũng ñặc trưng hoàn toàn

cho hệ thống trên miền z.

2.3.2. Hàm truyền ñạt của hệ ñược mô tả bởi PT - SP - TT - HSH Quan hệ giữa ñầu vào và ñầu ra của một HT - TT - BB ñược mô tả bởi PT

sau:

∑ ∑= =

−=−N

k

M

rrk rnxbknya

0 0

)()( ; lấy biến ñổi Z 2 vế ta có:

[ ] [ ] nN

k

M

rr

n

nk

n

zrnxbzknya −

= =

∞

−∞=

−∞

−∞=∑ ∑∑∑ −=−

0 0

)()( .

60

Áp dụng tính chất trễ và tuyến tính ta có

rrn

n n

M

rr

kknN

kk zzrnxbzzknya −−−

∞

−∞=

∞

−∞==

−−−

=∑ ∑∑∑ −=− )(

0

)(

0

)()( .

Suy ra )(

0

)(

0

)()( rn

n n

M

r

rr

knN

k

kk zrnxzbzknyza −−

∞

−∞=

∞

−∞==

−−−

=

− ∑ ∑∑∑ −=−

.)(

)()(

)(.)(.

0

0

00

∑

∑

∑∑

=

−

=

−

=

−

=

−

==⇒

=

N

k

kk

M

r

rr

M

r

rr

N

k

kk

za

zb

zX

zYzH

zXzbzYza

Nếu a0 = 1 thì ta có:

.1

)(

1

0

∑

∑

=

−

=

−

+=⇒

N

k

kk

M

r

rr

za

zbzH

Chú ý: Ta cũng có thể biểu diễn H(z) dưới dạng hàm của z-1, hoặc các cực và không của nó.

2.3.3. Giải phương trình sai phân TT – HSH sử dụng biến ñổi z 2.3.3.1. Tìm hàm truyền ñạt hệ thống H(z) từ phương trình sai phân Ví dụ 2.11. Cho hệ xử lý số TTBBNQ có phương trình sai phân

)()()()()( 1322142 −−=−+−− nxnxnynyny .

Hãy xác ñịnh hàm truyền ñạt hệ thống H(z) và ñặc tính xung h(n) của hệ.

Giải: Lấy biến ñổi Z một phía cả hai vế của phương trình sai phân trên, ta ñược:

)()()()()( 121 3242 zzzzzzzz XXYYY −−− −=+− .

Hay: ))(())(( 121 31242 −−− −=+− zzzzz XY

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)()(

122

3

122

3

242

31222

1

21

1

+−−

=+−

−=

+−==

−

−

−−

−−

zz

zz

zzz

zz

zz

z

z

zz

X

YH .

Vậy hàm hệ thống là: 22 )(

)(

)(

)(

)(

)()(

12

3

122

3

−−

=+−

−==

z

zz

zz

zz

z

zz

X

YH .

Lấy biến ñổi Z ngược hàm hệ thống H(z), tìm ñược ñặc tính xung h(n):

−−

==2)(

)()]([)(

12

3

z

zzIZTzIZTnh H với 1[ ||:)]( >zzHRC .

ðể tìm h(n), phân tích hàm: 2

212 )()()(

)()(

1112

3

−+

−=

−=

−

zzz

z

z

z CCH .

Trong ñó 12

31112

1322

2

2)(

))((−=

−=⇒=−

−−= CC zz

zz

61

2

1112

1312

2

1)(

))((=⇒=

−−−

= CC zz

zz

dz

d .

Vậy 22 )()()(

)()(

1

1

12

1

12

3

−−

−=

−=

−

zzz

z

z

zH

2)()(

)(112

1

−−

−=⇒

z

z

z

zzH .

Với 1[ ||:)]( >zzHRC , theo Bảng 2.3 tìm ñược ñặc tính xung h(n):

)(.)()( 5,0 nunnunh −= ,

hay: )().()( 5,0 nunnh −= .

2.3.3.2. Tìm phản ứng y(n) của hệ xử lý số qua biến ñổi Z

Khi biết ñặc tính xung h(n) của hệ xử lý số TTBBNQ và tác ñộng x(n), có

thể tìm ñược phản ứng y(n) của hệ xử lý số theo tích chập:

h(n)*x(n)ny =)( .

Các phương pháp tính trực tiếp tích chập ñã ñược trình bầy ở chương một ñều

khá phức tạp, và trong nhiều trường hợp không thể tìm ñược biểu thức của phản ứng y(n). Có thể tìm phản ứng y(n) của hệ xử lý số TTBBNQ dễ dàng hơn bằng

cách tính tích chập qua biến ñổi Z, các bước thực hiện như sau:

1- Tìm các biến ñổi Z thuận: )]([)( nxZTzX = và )]([)( nhZTzH =

2- Từ ñó xác ñịnh ñược: )().()( zzz HXY =

3- Tìm biến ñổi Z ngược: )]().([)]([)( zzIZTzIZTny HXY == .

Trong ña số các trường hợp, hàm hệ thống H(z) và tác ñộng X(z) có dạng phân

thức hữu tỷ:

)(

)()(

z

zz

A

BH = và

)(

)()(

z

zz

Q

PX = .

Do ñó phản ứng Y(z) của hệ xử lý số TTBBNQ là

)().(

)().()().()(

zz

zzzzz

QA

PBHXY == .

Trước hết xét trường hợp hàm hệ thống H(z) có N cực ñiểm ñơn zpk là

nghiệm của phương trình ñặc trưng 0)( =zA , còn tác ñộng X(z) có m cực ñiểm ñơn

zpi là nghiệm của phương trình ñặc trưng 0)( =zQ , trong ñó các cực zpk ≠ zpi với mọi

k và i. ðồng thời, các cực ñiểm của hàm hệ thống H(z) không bị loại trừ bởi các

không ñiểm của tác ñộng X(z) và ngược lại. ðể tìm phản ứng y(n) của hệ xử lý số TTBBNQ, phân tích hàm:

∑∑== −

+−

=m

i pi

kn

k pk

k

zzzzz

z QAY

10 )()(

)( .

62

Phản ứng y(n) của hệ xử lý số TTBBNQ là dãy nhân quả, nên với

],max[||:)]([ pipk zzzzYRC > , nhận ñược y(n) là tổng của hai thành phần:

)()(..)( 010

nynyzzny p

m

i

npik

n

k

npkk QA +=+= ∑∑

==

. (2.43)

Trong ñó dao ñộng tự do ∑=

=n

k

npkk zny A

00 .)( . (2.44)

Thành phần dao ñộng tự do y0(n) của y(n) phụ thuộc vào các cực của hàm hệ

thống H(z), tức là phụ thuộc vào cấu trúc của hệ xử lý số.

Còn dao ñộng cưỡng bức ∑=

=m

k

npikp zny Q

1

.)( . (2.45)

Thành phần dao ñộng cưỡng bức yp(n) của y(n) phụ thuộc vào các cực của tác ñộng X(z), tức là phụ thuộc vào dạng của tác ñộng x(n).

Giá trị của các hệ số Ak và Qk ñược xác ñịnh theo (2.27), chúng phụ thuộc vào cả hàm hệ thống H(z) lẫn tác ñộng X(z).

Trong trường hợp hàm hệ thống H(z) hoặc tác ñộng X(z) có các cực bội thì phải phân tích Y(z) theo biểu thức (2.31), với các hệ số ñược xác ñịnh theo (2.34).

Tương tự như trên, phản ứng y(n) cũng là tổng của hai thành phần dao ñộng tự do và dao ñộng cưỡng bức:

)()()( 0 nynyny p+= . (2.46)

Nếu một số cực ñiểm của hàm hệ thống H(z) bị loại trừ bởi các không ñiểm của tác ñộng X(z) (hoặc ngược lại), thì thành phần dao ñộng tự do (hoặc dao ñộng

cưỡng bức) sẽ mất bớt các số hạng tương ứng.

Ví dụ 2.12. Cho hệ xử lý số có ñặc tính xung )()( 13 −= nrectnh và tác ñộng

)(.)( 2 nunx n= , tìm phản ứng y(n) và xác ñịnh tính ổn ñịnh của hệ.

Giải: Theo Bảng 2.3 tìm ñược các biến ñổi Z thuận:

)()](.[)]([)(

22

−===

z

znuZTnxZTz nX

3

2

3

3 )(

)()]([)(

1

1

1

z

zz

zz

znhZTzH

++=

−−

== .

Phản ứng: )(

)()(.

)()().()(

2

11

2 2

2

3

2

−++

=++

−==

zz

zz

z

zz

z

zzzz HXY .

Không ñiểm z01 = 0 của tác ñộng X(z) ñã hạ bậc cực bội zp1 = 0 của hàm hệ

thống H(z), do ñó dao ñộng tự do y0(n) sẽ bớt ñi một số hạng.

63

Phản ứng của hệ là:

−++

==)(

)()]([)(

2

12

2

zz

zzIZTzIZTny Y .

ðể tìm y(n), phân tích Y(z) thành tổng của các phân thức

)()(

)()(

22

133

221

3

2

−+++=

−++

=zzzzzz

zz

z

z BCCCY . (2.47)

Trong ñó, các hệ số C1 , C2 , C3 phụ thuộc vào cực bội bậc 3 của hàm hệ

thống H(z) tại zp1 = 0 , hệ số B phụ thuộc vào cực ñơn của tác ñộng X(z) tại zp2 = 2 . Tính các hệ số của (2.47):

8

7

2

12222

)213

2

3

2 )(

)(

)((=

++=⇒=−

−++= BB zzz

zzz

2

1

2

102

1

)()(

)(33

32

3 −=−

=⇒=−++

= CC zzz

zzz

02

102

1

)(

)(

)(

)( 2

23

32

2 =

−++

=⇒=

−++

= zz

zz

dz

dzzz

zzz

dz

dCC

02

11222

2

2)

)))

(

(((=

−

−+++−

= zz

zzzzC

02

12422

22

2)

)

(

(=

−

−−−−−+

= zz

zzzzzC

4

3

2

302

34222

2

2)()(

)(−=

−=⇒=−

−−=

−CC zz

zz

02

34002

12

22

2

2

2

1)

)

)

)

(

(

(

(===

−

−−==

−

++= zzz z

zz

dz

d

dz

d

z

zz

dz

d CC

02

34224224

22

1)(

))(()()(=−

−−−−−−= zz

zzzzzC

4

7

16

12

2

32.242 16

)(

)).(().()(14

2

1 −=−−

=⇒−

−−−−−= CC .

Thay giá trị của các hệ số trên vào (2.47) nhận ñược:

)(

)(

2

1

8

71

2

11

4

31

4

732 −

+−−−=zzzzz

zY .

Vậy: )(

)(28

71

2

11

4

3

4

72 −

+−−−=z

z

zzzY .

Vì hệ xử lý số là TTBBNQ nên phản ứng y(n) là dãy nhân quả, với

2[ ||:)]( >zzYRC , theo Bảng 2.3 nhận ñược:

)()(()()()()( 028

72

2

11

4

3

4

7nynynunnnny p

n +=+−−−−−= δδδ .

Trong ñó dao ñộng tự do: )()()()( 22

11

4

3

4

70 −−−−−= nnnny δδδ .

64

Và dao ñộng cưỡng bức: )()( 28

7nuny n

p = .

Vì 0)(0 =ny khi 2>n , nên hệ ñã cho ổn ñịnh.

2.3.4. Phân tích hệ thống TT – BB trên miền z 2.3.4.1. Sơ ñồ cấu trúc của hệ xử lý số trong miền Z

a. Phần tử cộng Phần tử cộng trong miền Z ñược sử dụng ñể cộng hai hay nhiều hàm ảnh

Xi(z) và ñược ký hiệu

a. Y(z) = X1(z) + X2(z) b. ∑=

=M

ii zz XY

1

)()( .

b Phần tử trễ ñơn vị

Theo tính chất trễ của biến ñổi Z thì : )()]([)( 11 zznxZTz XY −=−= .

do ñó phần tử trễ ñơn vị trong miền z có hàm hệ thống 1)( −= zzH và nó ñược ký

hiệu

)()( 1 zzz XY −= .

c. Phần tử nhân với hằng số Phần tử nhân với hằng số dùng ñể nhân hàm ảnh X(z) với hằng số a, nó ñược

ký hiệu

)(.)( zaz XY = .

Ví dụ 2.13. Hãy xây dựng sơ ñồ cấu trúc trong miền Z của hệ sử lý số có quan hệ

vào ra )()()()( 15,0132 −−−+= nynxnxny .

Giải: Lấy biến ñổi Z cả hai vế của phương trình trên nhận ñược:

)()()()( 11 5,032 zzzzzz YXXY −− −+= .

Từ ñó xây dựng ñược sơ ñồ cấu trúc trong miền Z của hệ trên nh ư sau:

+ + X1(z) Y(z)) X2(z)

Xi(z)

Y(z))

X2(z) XM(z)

X1(z)

X(z) Y(z) 1−z

X(z) Y(z)

3

2

- 0,5 1−z

1−z

+

X(z) Y(z) a

65

2.3.4.2. Tìm hàm hệ thống H(z) theo sơ ñồ cấu trúc và sơ ñồ khối

Một hệ xử lý số phức tạp có thể ñược mô tả bằng sơ ñồ cấu trúc hoặc sơ ñồ

khối gồm nhiều khối liên kết với nhau, trong ñó mỗi khối ñược ñặc trưng bằng hàm hệ thống Hi(z). Khi ñã biết sơ ñồ cấu trúc hoặc sơ ñồ khối và các hàm hệ thống

Hi(z) thành phần, có thể xác ñịnh ñược hàm hệ thống H(z) của cả hệ.

a. Hàm hệ thống H(z) của các khối liên kết nối tiếp

Sơ ñồ các khối Hi(z) liên kết nối tiếp.

Phản ứng của hệ sẽ ñược xác ñịnh theo biểu thức:

)().()()......().().()( 21 zzzzzzz HXHHHXY m == .

Từ ñó suy ra: ∏=

=m

ii zz HH

1

)()( .

Hàm hệ thống H(z) của các khối liên kết nối tiếp bằng tích các hàm hệ thống Hi(z) thành phần.

b. Hàm hệ thống H(z) của các khối liên kết song song Xét hệ xử lý số gồm m khối liên kết song song

Khi ñó phản ứng của hệ sẽ ñược xác ñịnh theo biểu thức

)().(...)().()().()( 21 zzzzzzz mHXHXHXY +++= .

Hay: [ ] )().()(...)()().()( 21 zzzzHzzz HXHHXY m =+++= .

Từ ñó suy ra ∑=

=m

ii zz HH

1

)()( .

X(z) Y(z) H1(z)

H2(z)

Hm(z)

X(z) Y(z) H1(z)

+

H2(z)

+

Hm(z)

66

Hàm hệ thống H(z) của các khối liên kết song song bằng tổng các hàm hệ

thống Hi(z) thành phần.

c. Hàm hệ thống H(z) của vòng phản hồi Xét hệ xử lý số có vòng phản hồi

Theo sơ ñồ khối có: )().()( 22 zzz HYX =

và )().()()()()( 221 zzzzzz HYXXXX +=+=

[ ] )(.)().()()().()( 1211 zzzzzzz HHYXHXY +==

)().().()().()( 211 zzzzzz HHYHXY +=

[ ] )().()().()( 1211 zzzzz HXHHY =−

Từ ñó suy ra )().(

)(

)(

)()(

21

1

1 zz

z

z

zz

HH

H

X

YH

−== .

d. Chuyển khâu cộng từ phía trước ra phía sau một khối Sơ ñồ khối có khâu cộng ở phía trước khối:

Ta có

[ ] )().()().()(.)()()( 2121 zzzzzzzz HXHXHXXY +=+= .

Sơ ñồ khối chuyển khâu cộng ra sau khối

e. Chuyển khâu cộng từ phía sau ra phía trước một khối Sơ ñồ khối có khâu cộng ở phía sau khối

Y(z) H(z)

X2(z)

+ X1(z)

H(z)

Y(z) H(z)

X2(z)

+ X1(z)

Y(z) H(z)

X2(z)

X1(z) +

X(z) Y(z)

H2(z)

X2(z)

X1(z) + H1(z)

67

Ta có )(.)(

)()()()().()(1

2121 zz

zzzzzz HH

XXXHXY

+=+=

Sơ ñồ khối chuyển khâu cộng ra trước khối

Ví dụ 2.14. Tìm hàm hệ thống H(z) của hệ xử lý số TTBBNQ có sơ ñồ cấu trúc:

Giải: ðể tìm hàm hệ thống H(z) của hệ xử lý số ñã cho, có thể thực hiện theo thứ tự : ðầu tiên tìm hàm hệ thống của các khối liên kết nối tiếp, song song và hàm hệ

thống của các vòng phản hồi chỉ bao một khối, từ ñó rút gọn dần sơ ñồ khối của hệ về còn một khối, hàm hệ thống của khối ñó chính là hàm hệ thống H(z) cần tìm.

Tuy nhiên, có thể tìm ñược hàm hệ thống H(z) của hệ ñã cho nhanh hơn bằng cách chuyển tất cả các vòng phản hồi về chung một nút cộng như trên Hình 2.3, sau

ñó mới thực hiện các bước rút gọn.

Sau khi xác ñịnh hàm hệ thống của các khối liên kết nối tiếp và song song

trong sơ ñồ khối Hình 2.3, rút gọn sơ ñồ về dạng Hình 2.4, với H2(z) là hàm hệ thống của các khối phản hồi liên kết song song:

211112 95335 .)( −−−−− −+=−+= zzzzzzzzH

Y(z) H(z)

X2(z)

+ X1(z)

[H(z)]-1

X(z)

1−z

2

1−z

+ + 1−z

+ 1−z

1−z

1−z

Y(z)

-3

5

Y(z) X(z) 13 −z + 1−z

1−z

13 −− z

z

13 −z

15 −z

68

Hình 2.3: Sau khi ñưa các vòng phản hồi về một khâu cộng.

Hình 2.4: Sau khi tính hàm hệ thống các khối nối tiếp và song song.

Tìm tiếp hàm hệ thống của vòng phản hồi trên sơ ñồ Hình 2.4:

959511 34

2

212

2

32

2

3zz

z

)(z

z

)(z

z)(

+−−=

−+−=

−= −−−

−

−

−

zzzzzz

HH .

Rút gọn ñược sơ ñồ khối về dạng như trên Hình 2.5. Tính hàm hệ thống của

hai khối liên kết nối tiếp, nhận ñược hàm hệ thống H(z) của hệ xử lý số ñã cho:

95

33

3431

zz)()(

+−−== −

z

zzzz HH .

Hình 2.5: Sau khi tính hàm hệ thống khâu phản hồi và hai khối liên kết nối tiếp, nhận ñược H(z).

Sau khi tìm ñược hàm hệ thống H(z) của hệ xử lý số, có thể xác ñịnh tính ổn

ñịnh của hệ ñã cho bằng tiêu chuẩn ổn ñịnh Jury, và nếu biết tác ñộng x(n), có thể tìm ñược phản ứng y(n) của hệ.

2.3.4.3. Xét tính ổn ñịnh của hệ xử lý số TTBBNQ theo hàm hệ thống H(z)

a. ðiều kiện ổn ñịnh của hệ xử lý số TTBBNQ theo H(z)

ðối với một hệ thống tuyến tính bất biến, nếu tín hiệu ở ñầu vào không có nhưng ở ñầu ra của hệ thống vẫn xuất hiện tín hiệu thì hệ thống ñó là hệ thống

không ổn ñịnh. Trong chương trước chúng ta ñã xét ñộ ổn ñịnh của hệ thống TT-BB nó ñược

ñặc trưng bởi các tính chất của ñáp ứng xung h(n) của nó, cụ thể: Một hệ thống TT

–BB là ổn ñịnh nếu ñiều kiện sau ñây thoả mãn:

∑∞

−∞=

∞<=n

nhS )( .

Trong miền z thì ta có

X(z) 13 −z + Y(z)

H2(z)

2−z

X(z) 13 −z Y(z) H3(z) X(z) Y(z) H(z)

69

∑∞

−∞=

−=n

nznhzH )()( với miền hội tụ của nó: +− << hh RzR .

So sánh với ñiều kiện hội tụ trên miền n thì ta thấy ñể ñiều kiện ổn ñịnh trên

miền n thoả mãn thì H(z) phải hội tụ với 1=z nghĩa là nó hội tụ trên vòng tròn ñơn

vị của mặt phẳng z, vì thế miền hội tụ của H(z) phải chứa vòng tròn ñơn vị. Vậy ta có thể phát biểu ñiều kiện ổn ñịnh của một HT – TT –BB trên miền z

như sau: Một hệ thống TT –BB là ổn ñịnh khi và chỉ khi vòng tròn ñơn vị của mặt phẳng z nằm trong miền hội tụ của hàm truyền ñạt của hệ thống.

Sự ổn ñịnh của hệ thống nhân quả: Trong thực tế chúng ta chỉ gặp các hệ thống nhân quả ổn ñịnh, vì vậy ta sẽ

xét sự ổn ñịnh của các hệ thống này. Do hàm truyền ñạt của hệ thống nhân quả ñược viết như sau:

−∞

=

− >= ∑ hon

n RznhzH z:RC)()( trong ñó ∞→

− =n

h nhR )(lim (T/c Cauchy).

Từ ñây ta có một số nhận xét sau: - Một hệ thống là nhân quả nếu miền hội tụ của hàm truyền ñạt nằm ngoài

vòng tròn ñường kính R-h.

- ðối với HT –TT –BB ñiều kiện nhân quả và ổn ñịnh là ñọc lập với nhau.

Nghĩa là hệ thống ổn ñịnh chưa chắc ñã nhân quả và ngược lại. - Trong thực tế chúng ta chỉ xét các hệ thống thực hiện ñược về mặt vật lý ñó

là các hệ thống ổn ñịnh và nhân quả. - Vậy ñiều kiện ñể HT –TT –BB nhân quả và ổn ñịnh là : Miền hội tụ của

hàm truyền ñạt H(z) của nó phải thoả mãn:

.1<

>−

−

h

h

R

Rz

Rõ ràng miền hội tụ của H(z) không chứa bất cứ ñiểm cực zpk nào do ñó ta có thể nói: Một hệ thống TT –BB nhân quả và ổn ñịnh khi và chỉ khi tất cả các ñiểm

cực của hàm truyền ñạt nằm trong vòng tròn ñơn vị.

Ví dụ 2.16. Cho HT – TT – BB với PTSP như sau:

y(n) = a.y(n-1) + x(n).

- Tìm H(z), h(n) - Xét sự ổn ñịnh của hệ nhân quả Giải:

- Lấy biến ñổi z hai vế của PTSP ta có: Y(z) = a.z-1Y(z) + X(z).

Suy ra 11

1

)(

)()( −−

==azzX

zYzH .

H(z) có 1 ñiểm cực là zc =a.

70

Nếu H(z) là hàm truyền ñạt của hệ nhân quả thì ta có ROC: az > thì ta có:

h(n) = IZT[H(z)] = anu(n).

Nếu H(z) là hàm truyền ñạt của hệ phản nhân quả thì ta có ROC : az < thì

ta có:

h(n) = IZT[H(z)] = -anu(-n-1). - Sự ổn ñịnh của hệ nhân quả: Theo ñiều kiện của hệ nhân quả ổn ñịnh thì ta

phái có a< 1 thì hệ nhân quả trên sẽ ổn ñịnh.

Ví dụ 2.17. Xét sự ổn ñịnh của HT nhân quả có hàm truyền ñạt sau:

.

2

112

)(2

2

+−

+−=

zz

zzzH

Tìm các zpk, hệ có zp1=1/2 + j1/2, zp2=1/2- j1/2.

ðây là 2 ñiểm cực nằm trong vòng tròn ñơn vị vậy HT nhân quả ñã cho là ổn ñịnh. b. Tiêu chuẩn ổn ñịnh Jury

Tiêu chuẩn Jury cho phép xác ñịnh tính ổn ñịnh của hệ xử lý số TTBBNQ

theo các hệ số của phương trình ñặc trưng D(z) = 0. Xét phương trình D(z) = 0 dưới

dạng lũy thừa của nz − :

01 )1(1

22

11 ......)( =+++++= −−−

−−− N

NN

N zazazazazD . (2.48)

Hay dưới dạng lũy thừa của nz

012

21

1 ......)( =+++++= −−−

NNNNN azazazazzD (2.49)

Các phương trình (2.48) và (2.49) có bậc N và hệ số a0 = 1.

Sử dụng các hệ số a0 ÷ aN của phương trình (2.48) hoặc (2.49), lập ñược

bảng Jury gồm (N – 1) hàng như sau:

Bảng Jury

Hàng Các phần tử tính theo hệ số của ña thức ñặc trưng D(z)

1 1 a1 a2 … aN-2 aN-1 aN

2 c0 c1 c2 … cN-2 cN-1

3 d0 d1 d2 … dN-2

… … … … …

N -1 r0 r1 r2

Trong ñó các phần tử ci , di trên các hàng 2, 3 của bảng Jury ñược tính theo

ñịnh thức của các ma trận như sau

).(

1ii

i

ii NN

N

N aaaaa

ac −

− −== với i = 0 , 1 , 2 , … , (N-1)

71

)..( 110

1

10ii

i

ii NN

N

N cccccc

ccd −−−

−

−− −== với i = 0 , 1 , 2 , … , (N-1).

..................................... Mỗi hàng tiếp theo của bảng Jury sẽ có số phần tử giảm ñi 1 và ñược tính

tương tự cho ñến hàng thứ (N – 1) chỉ còn 3 phần tử r0 , r1 , r2.

Tiêu chuẩn ổn ñịnh Jury ñược phát biểu như sau Phương trình D(z) = 0 dạng (2.4-18) hoặc (2.4-19) sẽ có tất cả các nghiệm nằm trong vòng tròn ñơn vị |z| = 1 nếu thỏa mãn tất cả các ñiều kiện sau:

1. Giá trị ña thức 01)( >=zzD

2. Giá trị ña thức 01)( >= −zzD

Nếu N chẵn.

hoặc 01)( <= −zzD

Nếu N lẻ. 3. Các phần tử ở ñầu và cuối mỗi hàng của bảng Jury thỏa mãn:

10|| =< aaN

|||| 01 ccN <−

|||| 02 dd N <− …....................

|||| 02 rr < . Hệ xử lý số TTBBNQ có phương trình ñặc trưng không thỏa mãn tiêu chuẩn

ổn ñịnh Jury thì không thỏa mãn ñiều kiện ổn ñịnh zpk<1. Ví dụ 2.18. Xét tính ổn ñịnh của hệ xử lý số TTBBNQ có hàm hệ thống:

.)(

)(5,142 2 +

=− zz

zzH

Giải : ðể sử dụng tiêu chuẩn Jury, xét phương trình ñặc trưng theo dạng

(2.48) (với a0 = 1): .075,022)( =+= − zzzD

Vì D(z) có bậc N = 2 là số chẵn, nên bảng Jury chỉ có một hàng theo các hệ số của D(z). Xét các ñiều kiện của tiêu chuẩn ổn ñịnh Jury:

1. ,)( 025,075,0211 <=+= −−=zzD không thỏa mãn.

2. ,)( 05,375,0211 >=+= +=−zzD thỏa mãn.

3. ,|| 175,02 <=a thoả mãn.

Hệ xử lý số ñã cho không thỏa mãn tiêu chuẩn ổn ñịnh Jury, nên không thỏa

mãn ñiều kiện ổn ñịnh zpk<1. Ví dụ 2.19. Xét tính ổn ñịnh của hệ xử lý số TTBBNQ có hàm hệ thống

.)(4321

1

234

25−−−−

−

+++++

=zzzz

zzH

72

Giải: ðể sử dụng tiêu chuẩn Jury, xét phương trình ñặc trưng theo dạng (2.48), với

a0 = 1 : .04

1

4

1

2

1

4

31 4321)( =++++= −−−− zzzzzD

Vì D(z) có bậc N = 4 là số chẵn, nên bảng Jury có ba hàng với các phần tử là

ai , ci , di , trong ñó các phần tử ai là hệ số của D(z).

,10 =a 4

31 =a ,

2

12 =a ,1−z .

4

14 =a

Tính các phần tử của hàng thứ hai c0 , c1 , c2 , c3:

16

15

4

1

4

111 .. 440 =−=−= aac

16

11

4

1

4

1

4

3.. 3411 =−=−= aaac

16

6

2

1

4

1

2

1.. 2422 =−=−= aaac

.16

1

4

3

4

1

4

1.. 1433 =−=−= aaac

Tính các phần tử của hàng thứ ba d0, d1 , d2:

.256

224

16

1

16

1

16

15

16

15... 33000 =−=−= ccccd

256

159

16

6

16

1

16

11

16

15... 23101 =−=−= ccccd

.256

79

16

11

16

1

16

6

16

15... 13202 =−=−= ccccd

Xét các ñiều kiện của tiêu chuẩn ổn ñịnh Jury:

1. 0

4

11

4

1

4

1

2

1

4

311)( >=++++==zzD

thỏa mãn.

2. ,04

3

4

1

4

1

2

1

4

311)( >=+−+−=−=zzD thỏa mãn.

3. ,|| 14

14 <=a thỏa mãn.

,16

15

16

1|||| 03 =<= cc thỏa mãn.

,256

224

256

79|||| 02 =<= dd thoả mãn.

Hệ xử lý số TTBBNQ ñã cho thỏa mãn tiêu chuẩn Jury nên ổn ñịnh.

73

Các bảng tóm tắt của chương II

Bảng 2.1: Miền hội tụ của biến ñổi Z

Dãy hữu hạn Dãy vô hạn

Loại dãy x(n)N RC[X(z)]

x(n) RC[X(z)]

Nhân quả n∈[n1, n2] , n1≥ 0 |z|> 0 n∈[n1, ∞] , n1≥ 0 |z|> Rx-

Phản nhân quả n∈[n1, n2] , n2≤ 0 |z|< ∞ n∈[-∞, n2] , n2≤ 0

|z|< Rx+

n∈[-∞, ∞] Rx- <|z|< Rx+

n∈[n1, ∞] , n1< 0 Rx- <|z|< ∞

Không nhân

n∈[n1, n2] , n1≤0 , n2≥ 0

0<|z|<∞ n∈[-∞, n2] , n2>

0 0 <|z|< Rx+

Bảng 2.2: Tóm tắt các tính chất của biến ñổi Z hai phía

Hàm gốc Hàm ảnh Miền hội tụ (RC)

)(nx )(zX +− << xx RR z ||

)(ny )(zY +− << yy RR z ||

)(.)(. nybnxa + )()( .. zbz YXa + ],min[||],max[ ++−− << yxyx RRRR z

)( knx − )(zz Xk− +− << xx RR z ||

)(nxa n )( 1zaX − +− << xx RazRa ||||||

)( nx − )( 1−zX −+

<<xx RR

z11

||

)(. nxn dz

zdz

X )(.− +− << xx RR z ||

)(*)( nynx )().( zzX Y ],min[||],max[ ++−− << yxyx RRRR z

)().( nynx ∫ −

C

dz

jYX υυυ

υπ1)(.

2

1 ],min[||],max[ ++−− << yxyx RRRR z

)(* nx )( ** zX +− << xx RR z ||

)(mrxy )().()( 1−= zzz YXRxy ],min[||],max[ ++−− << yxyx RRRR z

74

Bảng 2.3: Biến ñổi Z của các dãy nhân quả thường gặp

Dãy hàm gốc Hàm ảnh Z Miền hội tụ

)(nδ 1 Toàn bộ mặt phẳng z

)( kn −δ kz − 0|| >z (với k > 0)

)(nu )()( 11

1

1 −−=

− zz

z 1|| >z

)( knu − )()( 1)1( 11

1−

−

− −=

− z

z

zz

k

k 1|| >z

)(nrectN )()( 1)1( 1

1

1

1−

−

− −−

=−

−z

z

zz

z N

N

N

1|| >z

)(nua n ).()( 11

1−−

=− zaaz

z |||| az >

)(. nun 21

1

2 )()( 11 −

−

−=

− z

z

z

z 1|| >z

)(. nuan n 21

1

2 ).(

.

)(

.

1 −

−

−=

− za

za

az

za |||| az >

)cos().( 0nnu ω )cos(

)cos(

12 02

0

+−

−

ωω

zz

zz 1|| >z

)sin().( 0nnu ω )cos(

sin

12 02

0

+− ωω

zz

z 1|| >z

)cos().( 0nnua n ω )cos.(

)cos(2

02

0

2 azaz

azz

+−

−

ωω

|||| az >

)sin().( 0nnua n ω )cos.(

sin.2

02

0

2 azaz

za

+− ωω

|||| az >

).( 22 2 bzaz

z

++

với 22 ba <

( )pn

nab

nub ϕ.sin.)(

)(22 −

−−=

a

abarctgp

)( 22

ϕ

|||| bz >

Khi )(zX có cặp cực phức liên hợp pez và *pez .

Thì ứng với cặp cực phức liên hợp có thành phần biến ñổi Z ngược

)cos().(||)]([)( .2 epn

pee nnuzzIZTnx EX ϕϕ +== .

Trong ñó pjpepe ezz

ϕ.= , pj

pepe ezzϕ−= .*

75

và ej

pepe ezzzzz

zE

XE ϕ.)(

)(==

−=

o

.

Bảng 2.4: Biến ñổi Z của một số dãy phản nhân quả

Dãy hàm gốc Hàm ảnh Z Miền hội tụ

)( kn +δ kz ∞<|| z (với k > 0)

)( nu − )()( 1

1

11

1

zz

z

−=

−−

−

1|| <z

)( nua n −− ).()( 1

11

1

zaaz

z

−=

−−

−

||

||1

az <

)( nuan − )().(

.

11

1

za

a

za

za

−=

−−

−

|||| az <

)(. nun −− 221

1

)()( 11 z

z

z

z

−=

−−

−

1|| <z

)(. nuan n −− − 221

1

).(

.

)(

.

1 za

za

az

za

−=

−−

−

|||| az <

)cos().( 0nnu ω− )cos(

)cos(

12

1

02

0

+−

−

ωω

zz

z 1|| <z

)sin().( 0nnu ω− )cos(

sin

12 02

0

+−

−

ωω

zz

z 1|| <z

)cos().( 0nnua n ω−− )cos.(

)cos.(2

02

0

2

1

azaz

za

+−

−

ωω

|||| az <

)sin().( 0nnua n ω−− )cos.(

sin.2

02

0

2 azaz

za

+−

−

ωω

|||| az <

76

Chương 3

BIỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG RỜI RẠC TRONG MIỀN TẦN SỐ

LIÊN TỤC ω

Bên cạnh biến ñổi z, một công cụ toán học khác cũng rất quan trọng và hữu hiệu thường ñược dùng trong việc phân tích và tổng hợp các hệ thống tuyến tính bất

biến, ñó là chuỗi và biến ñổi Fourier. Ở ñây, tín hiệu ñược phân giải thành các thành phần hình sin (hoặc mũ phức). Do ñó, ta nói tín hiệu ñược biểu diễn trong miền tần số.

Biểu diễn toán học cơ bản của tín hiệu tuần hoàn là chuỗi Fourier, là tổng

trọng số tuyến tính của các hài hình sin hoặc mũ phức. Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830), một nhà toán học người Pháp, ñã dùng khai triển chuỗi lượng giác như thế

ñể mô tả hiện tượng dẫn nhiệt và sự phân bố nhiệt ñộ của vật thể. Mặc dù công trình của ông chỉ là giải quyết bài toán dẫn nhiệt, nhưng phương pháp toán học ñược xây

dựng vào nửa ñầu thế kỷ thứ 19 này ñến bây giờ vẫn ñược áp dụng trong nhiều lĩnh vực

khác nhau như: quang, dao ñộng cơ học, lý thuyết hệ thống và ñiện từ trường và ñặc biệt

trong xử lý tín hiệu. Tương tự như việc phân tích phổ ánh sáng, trong việc phân tích tín hiệu ở miền tần số, thay cho ánh sáng, dạng tín hiệu của ta là các hàm theo thời gian.

Vai trò của thấu kính chính là công cụ phân tích Fourier như chuỗi và biến ñổi Fourier. Việc tổ hợp các thành phần hình sin ñể phục hồi tín hiệu ban ñầu là bài toán tổng hợp

Fourier. Giống như ánh sáng bức xạ của các nguyên tố hoá học, mỗi tín hiệu sẽ có phổ khác nhau. Như vậy phổ là sở cứ ñể nhận dạng tín hiệu.

Cũng như trong vật lý, từ “phổ” ñược dùng khi muốn nói về nội dung tần số tín hiệu. Quá trình vận dụng công cụ toán học ñể có ñược phổ của tín hiệu ñã cho trong

chương này ñược gọi là phân tích tần số hay phân tích phổ. Ngược lại, quá trình xác ñịnh phổ của tín hiệu trong thực tế dựa trên các phép ño tín hiệu ñược gọi là ñánh giá

phổ. Sự phân biệt này là rất quan trọng. Trong bài toán thực tế, tín hiệu cần phân tích tự nó không ñược mô tả bằng một hàm toán học chính xác mà nó luôn luôn là dạng thể hiện

một thông tin nào ñấy mà từ ñó ta tách ra tin tức thích hợp.

Kết quả phân tích tín hiệu tuần hoàn ñược gọi là chuỗi Fourier. Sự phân giải

ñối với tín hiệu có năng lượng hữu hạn ñược gọi là biến ñổi Fourier. Việc phân giải này ñóng vai trò quan trọng trong phân tích hệ thống tuyến tính bất biến vì ñáp ứng của

hệ này ñối với tín hiệu hình sin cũng có dạng hình sin cùng tần số nhưng khác biên ñộ và pha. Hơn nữa, tính tuyến tính của hệ tuyến tính bất biến nói lên rằng tổng tuyến

tính của các thành phần hình sin ở ñầu vào sẽ sinh ra một tổng tuyến tính tương tự của các thành phần hình sin trên ñầu ra, chỉ khác về biên ñộ và pha so với tín hiệu vào. Mặc

dù có nhiều phương pháp phân tích khác nhau, nhưng chỉ có tín hiệu hình sin (hay mũ phức) là thoả mãn tính chất này khi ñi qua một hệ tuyến tính bất biến.

77

Nội dung chương này ñược bắt ñầu từ việc biểu diễn các tín hiệu tuần hoàn và không tuần hoàn liên tục theo thời gian dưới dạng chuỗi và biến ñổi Fourier tương ứng. Kết quả của chương này là nền tảng cho việc nghiên cứu biến ñổi Fourier rời rạc (DFT)

của một dãy hữu hạn, một biếnñổi có vai trò rất quan trọng trong nhiều ứng dụng khác nhau, ñặc biệt là lĩnh vực xử lý tín hiệu số.

Sau ñây ta sẽ quan sát các hình ảnh tương quan giữa các miền ñã học: miền thời gian rời rạc n, miền z với miền tần số ω như hình vẽ dưới ñây:

Việc ánh xạ tín hiệu từ miền thời gian rời rạc sang miền tần số ω ñược thực hiện

nhờ biến ñổi Fourier và ngược lại, việc ánh xạ tín hiệu từ miền tần số ω sang miền thời gian rời rạc ñược thực hiện nhờ biến ñổi Fourier ngược.

Ký hiệu:

FT: Fourier Transform

IFT: Inverse Fourier Transform

Trong chương này chúng ta cũng thấy sự liên quan giữa biến ñổi Z và biến ñổi

Fourier và việc chuyển ñổi giữa chúng.

3.1. Biến ñổi fourier

3.1.1. Biến ñổi Fourier thuận 3.1.1.1. ðịnh nghĩa

Nếu dãy x(n) thoả mãn ñiều kiện

∞<∑∞

−∞=n

nx )( (3.1)

thì sẽ tồn tại phép biến ñổi Fourier như sau

nj

n

j enxeX .)()( ωω −∞

−∞=∑= . (3.2)

Biến ñổi Fourier ñã chuyển dãy số x(n) thành hàm phức X(ejω), (3.2) là biểu

thức biến ñổi Fourier thuận và ñược ký hiệu như sau

)()]([ ∞= jenxFT X (3.3)

78

hay )()( ∞→ jFT enx X . (3.4)

(FT là chữ viết tắt của thuật ngữ tiếng Anh Fourier Transform).

Ký hiệu X(ejω) ñể phân biệt phép biến ñổi Fourier của dãy số x(n)

)()]([ ∞= jenxFT X với phép biến ñổi Fourier của hàm liên tục x(t) :

∫∞

∞−

−•

== dtetxtxFT tjX ωω ).()()]([ .

Biểu thức biến ñổi Fourier của dãy số x(n) (3.2) là suất phát từ biểu thức

biến ñổi Fourier của hàm liên tục x(t), vì khi hàm dưới dấu tích phân là dãy rời rạc thì phải thay dấu tích phân bằng dấu tổng.

Do tính chất tuần hoàn của hàm mũ ejω, nên X(ejω) là hàm tuần hoàn của biến

ω với chu kỳ 2π:

)()()()( .).2.()2.( ωωωω ππ jnj

n

nkj

n

kj eenxenxe XX === −∞

−∞=

+−∞

−∞=

+ ∑∑ .

ðiều ñó có nghĩa là chỉ cần nghiên cứu hàm tần số X(ejω) của các dãy rời rạc

x(n) với ω ∈ (-π , π ) hoặc ω ∈ (0, 2π ). Sử dụng biến ñổi Fourier cho phép nghiên cứu phổ của tín hiệu số và ñặc

tính tần số của hệ xử lý số. Nếu x(n) là tín hiệu số thì )()]([ ∞= jenxFT X là phổ của

tín hiệu x(n), còn với h(n) là ñặc tính xung của hệ xử lý số thì )()]([ ∞= jenhFT H là

ñặc tính tần số của hệ xử lý số. 3.1.1.2. Sự tồn tại của biến ñổi Fourier

Theo ñịnh nghĩa, biến ñổi Fourier thuận (3.2) chỉ tồn tại nếu dãy x(n) thoả mãn ñiều kiện khả tổng tuyệt ñối (3.1). ðiều ñó có nghĩa là, nếu dãy x(n) thoả mãn

ñiều kiện (3.1) thì chuỗi (3.2) sẽ hội tụ về hàm X(ejω), nên x(n) tồn tại biến ñổi

Fourier. Ngược lại, nếu dãy x(n) không thoả mãn ñiều kiện (3.1) thì chuỗi (3.2) sẽ

phân kỳ, vì thế hàm X(ejω) không tồn tại và x(n) không có biến ñổi Fourier.

Các tín hiệu số x(n) có năng lượng hữu hạn:

∞<= ∑∞

−∞=nx nxE

2)( (3.5)

luôn thỏa mãn ñiều kiện [3.1] , do ñó luôn tồn tại biến ñổi Fourier.

Ví dụ 3.1. Hãy xét sự tồn tại và tìm biến ñổi Fourier của các dãy sau

a. )(nu b. )(2 nun c. )(2 nun−

d. )(nδ e. )( kn −δ f. )(nrectN .

Giải: a. ∞== ∑∑∞

=

∞

−∞= 0

1)(nn

nu .

Hàm u(n) không thoả mãn [3.1] nên không tồn tại biến ñổi Fourier.

b. ∞== ∑∑∞

=

∞

−∞= 0

22 )(n

n

n

n nu .

Hàm 2nu(n) không thoả mãn (3.1) nên không tồn tại biến ñổi Fourier.

79

c. 221

122

10

)( =−

==−

∞

−=

−∞

−∞=

− ∑∑n

n

n

n nu .

Hàm 2-nu(n) thoả mãn (3.1) nên tồn tại biến ñổi Fourier:

( )∑∑∑∞

=

−−∞

=

−−∞

−∞=

−−− ===0

1

0

.. ..).()]( 2222[n

nj

n

njn

n

njnn eeenunuFT ωωω

Vậy: ωω jj

n

eenuFT

−−−−

−=

−=

5,01

1

21

12[

.)](

1. (3.6)

d. 1)( =∑∞

−∞=n

nδ .

Hàm δ(n) thoả mãn (3.1) nên tồn tại biến ñổi Fourier:

1.1 0.).()]([ === −∞

−∞=

−∑ ωωδδ j

n

nj eennFT . (3.7)

e) Chuỗi (3.1) ñối với δ(n - k) hội tụ nên nó có biến ñổi Fourier:

ωωδδ jk

n

nj eennFT kk −∞

−∞=

− =−=− ∑ ).()]([ . (3.8)

f. ∞<== ∑∑−

=

∞

−∞=

NN

N

nn

nrect1

0

1)( .

Hàm rect N(n) thoả mãn [3.1] nên tồn tại biến ñổi Fourier,

( )ω

ωωω

j

j

n

nj

n

nj

e

eeenrectnrectFT

NN

NN −

−−

=

−∞

−∞=

−

−−

=== ∑∑1

11

0

).()]([ . (3.9)

Có thể thấy rằng, các dãy có ñộ dài hữu hạn luôn tồn tại biến ñổi Fourier,

còn các dãy có ñộ dài vô hạn sẽ tồn tại biến ñổi Fourier nếu chuỗi (3.1) của nó hội tụ.

3.1.1.3. Các dạng biểu diễn của hàm X(ejω)

Vì X(ejω) là hàm phức, nên có thể biểu diễn nó dưới các dạng, phần thực và

phần ảo, mô ñun và argumen, ñộ lớn và pha.

1. Dạng phần thực và phần ảo

)()()( ωωωIR

j XXX je += . (3.10)

Theo công thức Euler có:

[ ]).sin().cos()()()( . njnnxenxen

nj

n

jX ωωωω −== ∑∑∞

−∞=

−∞

−∞=

. (3.11)

Hàm phần thực: ∑∞

−∞=

==n

jR nnxeXX ).cos().()](Re[)( ωω ω . (3.12)

Hàm phần ảo: .).sin().()](Im[)( ∑∞

−∞=

−==n

jI nnxeXX ωω ω (3.13)

2. Dạng mô ñun và argumen

80

..)()( )(ωϕωω jjj eee XX = (3.14)

Mô ñun: .)()()( 22 ωωωIR

j XXX e += (3.15)

Argumen: [ ]

==

)(

)()()(

ωω

ωϕ ω

R

Ij

X

XX arctgeArg . (3.16)

X(ejω) ñược gọi là hàm biên ñộ tần số, nó là hàm chẵn và ñối xứng qua

trục tung: X(ejω)=X(e- jω).

ϕ(ω) ñược gọi là hàm pha tần số, nó là hàm lẻ và phản ñối xứng qua gốc toạ

ñộ: ϕ(ω) = - ϕ(-ω).

3. Dạng ñộ lớn và pha

..)().()( )()( ωϕωωθωω jjjjj eeeee AAX == (3.17)

Hàm ñộ lớn A(ejω) có thể nhận các giá trị dương hoặc âm, và

)()( ωω jj ee XA = . (3.18)

Còn: .)()()]([ ωϕωθω =+jeArg A (3.19)

Hàm pha: )].([)()( ωωϕωθ jeArg A−= (3.20)

Với )]([ ωjeArg A phụ thuộc vào dấu của hàm )( ωjeA như sau:

<

≥=

.0

0,0

)(,

)()]([

ω

ωω

π j

jj

eKhi

eKhieArg

A

AA

Một cách tổng quát, có thể viết

=

= −− )()(

)(1

21

2)]([ ω

ω

ω ππω jeASignjeA

jeAjeArg A .

Theo (3.20), có thể biểu diễn hàm pha θ(ω) dưới dạng như sau

−−=)(

)()()( 1

2 ω

ωωϕωθ

πjeA

jeA . (3.21)

Ví dụ 3.2. Hãy xác ñịnh các hàm phần thực và phần ảo, mô ñun và argumen, ñộ

lớn và pha của hàm tần số .)]([)( nxFTe jX =ω

Giải: Theo (3.11) có )sin().cos()cos().cos()( 22 ωωωωω je jX −= .

Hàm phần thực: )cos().cos()( 2 ωωω =RX .

81

Hàm phần ảo: )sin().cos()( 2 ωωω −=IX .

Mô ñun: )cos()(cos).(cos)(cos).(cos)( 222 2222 ωωωωωω =+=jeX .

Argumen: ωωωωω

ωϕ −=

−=

)cos().cos(

)sin().cos()(

2

2arctg .

Hàm ñộ lớn: .)(

)()(

ω

ωω

j

j

j

e

ee

X

YH =

Hàm pha: .)cos(

)cos()(

2

21

2

−−−=

ωωωωθ

π .

3.1.1.4. Quan hệ giữa biến ñổi Fourier và biến ñổi Z Theo biểu thức ñịnh nghĩa (2.1) của biến ñổi Z có:

∑∞

−∞=

−==n

nznxznxZT X )()()]([( , với +− << xx RRX zzRC ||:)]([ .

Biểu diễn số phức z theo tọa ñộ cực: z = r.ejω với |z|= r và arg [z] = ω.

Vậy: ∑∑∞

−∞=

−−∞

−∞=

− ===n

njn

n

njj ernxernxerz XX ..).().).(().()( ωωω .

Khi |z|= r = 1 thì z = ejω , nên nhận ñược:

∑∞

−∞=

−===n

njjj enxeezz XX .).()()( ωωω . (3.22)

Theo (3.22) thì biến ñổi Fourier chính là biến ñổi Z khi z nằm trên vòng tròn

ñơn vị | z | = 1, nghĩa là biến ñổi Fourier là một trường hợp riêng của biến ñổi Z.

a. 1|| =<− zxR , tồn tại FT b. 1|| =≥− zxR , không tồn tại FT

Hình 3.1: Quan hệ giữa biến ñổi Fourier và biến ñổi Z

Từ Hình 3.1a thấy rằng, nếu hàm X(z) hội tụ trên vòng tròn ñơn vị | z | = 1 thì

chắc chắn dãy x(n) tồn tại biến ñổi Fourier, và ngược lại. Từ Hình 3.1b, nếu hàm

82

X(z) không hội tụ trên vòng tròn ñơn vị |z| = 1, thì dãy x(n) sẽ không tồn tại biến ñổi

Fourier, và ngược lại.

Hàm bậc thang ñơn vị u(n) là một ví dụ : Hàm )()]([( znuZT U= có

1||:)]([ >zzRC U , do U(z) không hội tụ trên vòng tròn ñơn vị | z | = 1 nên u(n) không

có biến ñổi Fourier, câu a ví dụ 3.1 ñã chứng minh ñiều ñó.

3.1.2. Biến ñổi Fourier ngược

Biến ñổi Fourier ngược cho phép tìm dãy x(n) từ hàm ảnh X(ejω). ðể tìm

biểu thức của phép biến ñổi Fourier ngược, xuất phát từ biểu thức Fourier thuận

(3.2):

nj

n

j enxeX .)()( ωω −∞

−∞=∑= . (3.23)

Nhân cả hai vế của (3.23) với ejω.m rồi lấy tích phân trong khoảng (-π , π ), nhận ñược:

∫ ∫ ∫∑∑− − −

−∞

−∞=

∞

−∞=

− ==π

π

π

π

π

π

ωωωωω ωωω denxdeenxdee nmj

nn

mjnjmjjX ).(... .)(.).().( .

Vì

≠=

=∫−

−

nmkhi

nmkhide nmj

0

2)( πω

π

π

ω

nên )(.).( 2 nxdee njjX ππ

π

ωω ω =∫−

.

Từ ñó suy ra biểu thức của phép biến ñổi Fourier ngược

∫−

=π

π

ωω ωπ

deenx njjX .).()(2

1 . (3.24)

Phép biến ñổi Fourier ngược ñược ký hiệu như sau:

)()]([ nxe jXIFT =ω (3.25)

Hay )()( nxe IFTjX →ω (3.26)

(IFT là chữ viết tắt của thuật ngữ tiếng Anh Inverse Fourier Transform). Biểu thức biến ñổi Fourier thuận (3.23) và biểu thức biến ñổi Fourier ngược

(3.24) hợp thành cặp biến ñổi Fourier của dãy số x(n).

Ví dụ 3.3. Hãy tìm tín hiệu số x(n) có hàm phổ là ωω ω 2).cos()( jj eeX −= .

Giải: Theo (3.24) có: ∫−

−=π

π

ωω ωωπ

deenx njj .2 .).cos()(2

1

[ ]∫ ∫− −

−−−−

+=+

=π

π

π

π

ωωωωωω

ωπ

ωπ

deedeeee

nx njnjnjjjj

)3()1(.2

4

1

22

1..

)()(

−

+−

=−

−

−

−π

π

ωπ

π

ω

π|

)(

1|

)(

1)( )3()1(

314

1 njnj enj

enj

nx

83

−

−+

−−

=−−−−−−

)()()(

314

1 )3()3()1()1(

nj

ee

nj

eenx

njnjnjnj ππππ

π

232

1

212

1 ][.

)(

][.

)()(

)3()3()1()1(

j

ee

nj

ee

nnx

njnjnjnj ππππ

ππ

−−−−−− −−

+−

−=

ππ

ππ

)(

])sin[(

)(

])sin[()(

3

3

2

1

1

1

2

1

−−

+−−

=n

n

n

nnx .

Vì )()(

])sin[(

)(

])sin[(

0

1k

k

k

k

k

k

kn

n

n

nkhi

nkhi

n

n−=

−−

⇒

≠=

=−− δ

ππ

ππ ,

nên )()()( 32

11

2

1−+−= nnnx δδ .

Vì ωω

jj

ezze XX == )()( , nên ñể lập bảng biến ñổi Fourier chỉ cần sử dụng

bảng biến ñổi z khi thay z = ejω , và ñể tìm biến ñổi Fourier ngược, ngoài cách tính

trực tiếp tích phân (3.24), cũng có thể sử dụng các phương pháp giống như tìm biến

ñổi Z ngược.

3.1.3. Các tính chất của biến ñổi Fourier Do biến ñổi Fourier là một trường hợp riêng của biến ñổi Z nên, biến ñổi Fourier cũng có các tính chất giống như biến ñổi Z. Dưới ñây trình bầy các tính

chất thường ñược sử dụng khi phân tích phổ tín hiệu số và ñặc tính tần số của hệ xử lý số.

3.1.3a. Tính chất tuyến tính Hàm tần số của tổ hợp tuyến tính các dãy bằng tổ hợp tuyến tính các hàm

tần số thành phần.

Nếu )()]([ ωjii enxFT X=

thì )(.)(.)()( ωω ji

ii

iii

j eAnxAnyFTe XY ∑∑ =

== . (3.27)

Trong ñó các hệ số Ai là các hằng số. Chứng minh: Theo biểu thức biến ñổi Fourier thuận (3.2) có:

∑∑∑ ∑∑∞

−∞=

−∞

−∞=

− ==

=

n

nji

ii

n i

njii

iii

j enxAenxAnxAFTeY .. ).().(.)(.)( ωωω .

Vì )()]([).( . ωω jii

n

nji enxFTenx X==∑

∞

−∞=

− , nên nhận ñược (3.27).

Ví dụ 3.4. Hãy tìm hàm phổ của tín hiệu số )()()( 32

11

2

1−+−= nnnx δδ .

Giải : Theo tính chất tuyến tính của biến ñổi Fourier có:

ωωωωω δδ 3..

2

1

2

13

2

11

2

1).().()( jj

n

nj

n

njj eeeneneX −−∞

−∞=

−∞

−∞=

− +=−+−= ∑∑

ωωωω

ω ω 22 ).cos(.)(

)(2

jjjj

j eeee

eX −−−

=+

= .

Các ví dụ 3 và 4 là hai bài toán ngược nhau, với kết quả là ñồng nhất.

84

3.1.3b. Tính chất trễ

Khi dịch trễ dãy x(n) ñi k mẫu thì hàm biên ñộ tần sốX(ejω) không thay

ñổi, chỉ có hàm pha tần số ϕ(ω) bị dịch ñi lượng kω. Nếu )(.)()()]([ ωϕωω jjj eeenxFT XX ==

thì [ ] ])([.)()()( ωωϕωωω kjjjjk eeeenxFT XXk −− ==− (3.28)

Nếu k > 0 là x(n) bị giữ trễ k mẫu, nếu k < 0 là x(n) ñược ñẩy sớm k mẫu. Chứng minh: Theo biểu thức biến ñổi Fourier thuận (3.2) có

[ ] )().().()( .).(.. ωωωωω jkj

n

knjkj

n

nj eeeknxeeknxknxFT X−∞

−∞=

−−−∞

−∞=

− =−=−=− ∑∑ .

Ví dụ 3.5. Hãy tìm )]([)( 2 nrectFTe NnjX −=ω .

Giải: Có )()()( 222 Nnununrect nnnN −−= −−− ,

nên )](.[)]([)( )(222 NX nuFTnuFTe NN nnj −−= −−−−ω .

Theo biểu thức (3.6) và tính chất dịch của biến ñổi Fourier nhận ñược

NN jjj

j eee

eX .25,01

1

5,01

1.)( ω

ωωω −−

−− −−

−= .

Vậy: ω

ωω

j

jnj

e

enrectFTe

N

NX−

−−

−−

==5,01

.5,012

)()]([)( . (3.29)

3.1.3c. Tính chất trễ của hàm tần số

Khi nhân dãy x(n) với nje 0ω , trong ñó ω0 là hằng số, thì hàm tần số X(ejω)

không bị biến dạng mà chỉ tịnh tiến trên trục tần số một khoảng bằng ω0 , theo

chiều ngược với dấu của ω0.

Nếu )()]([ ωjenxFT X=

thì [ ] )( )( 00 )( ωωω −= jnj enxeFT X . (3.30)

Chứng minh: Theo biểu thức biến ñổi Fourier thuận (3.2) có:

[ ] )( )().(. 0000 ).(.).()( ωωωωωωω −∞

−∞=

−−∞

−∞=

− ∑∑ === j

n

nj

n

njnjnj eenxeenxnxeFT X .

Ví dụ 3.6. Tín hiệu số x(n) có phổ tần số là )]([)( nxFTe jX =ω , hãy tìm phổ tần số

của tín hiệu ñiều biên )cos().()( 0nnxny ω= .

Giải: Có 2

00

)cos( 0

njnj een

ωω

ω−+

= .

Do ñó

+

= − njnj enxFTenxFTnnxFT 00 ).().()]cos().([

2

1

2

10

ωωω .

Theo tính chất dịch của hàm tần số nhận ñược:

)()( )()(0

00

2

1

2

1)]cos().([ ωωωωω +− += jj eennxFT XX . (3.31)

Biểu thức (3.31) chính là nội dung của ñịnh lý ñiều biên.

3.1.3d. Tính chất biến ñảo

85

Biến ñổi Fourier của các dãy thực có biến ñảo x(n) và x(-n) là hai hàm liên

hợp phức.

Nếu )(.)()()]([ ωϕωω jjj eeenxFT XX ==

thì [ ] )(* .)()()()( ωϕωωω jjjj eeeenxFT XXX −− ===− . (3.32)


[ ] )()).((. ).().()( ωωω j

n

nj

n

nj eenxenxnxFT X −∞

−∞=

−−−∞

−∞=

− ∑∑ =−=−=− .

Vì x(-n) là dãy thực nên )()( * ωω jj ee XX =− , do ñó nhận ñược (3.32).

Như vậy, các dãy thực nhân quả và phản nhân quả tương ứng có hàm biên ñộ tần số giống nhau, còn hàm pha tần số ngược dấu.

Ví dụ 3.7. Hãy tìm )]()( 2[ nue nj FTX −=ω .

Giải: Theo biểu thức (3.6)và tính chất biến ñảo có

ωj

n

enuFT

.)](

5,01

12[

−=− .

3.1.3e. Hàm tần số của tích chập hai dãy Hàm tần số của tích chập hai dãy bằng tích của hai hàm tần số thành phần.

Nếu )()]([ 11ωjenxFT X= và )()]([ 22

ωjenxFT X=

thì [ ] )().()(*)()( 2121ωωω jjj eenxnxFTe XXY == (3.33)


[ ] nj

n k

j eknxkxnxnxFTeY .2121 .)().()(*)()( ωω −

∞

−∞=

∞

−∞=∑ ∑

−==

∑ ∑∞

−∞=

−∞

−∞=

−−=n

kjkj

k

njj eeeknxkxeY ...21 ..)().()( ωωωω .

Hay )().()().()( 21).(

2.

1ωωωωω jj

k n

knjkjj eeeknxekxe XXY =−= ∑ ∑∞

−∞=

∞

−∞=

−−− .

Ví dụ 3.8. Hãy tìm )](*)()( 12[ −−= nnue nj FTX δω .

Giải: Sử dụng các biểu thức (3.6), (3.8)với k = 1, và (3.33), tìm ñược

ωj

n

enuFT

−−

−=

5,01

12[ )]( và ωδ jenFT −=− )]( 1[ .

Vậy: ω

ωω

ωω

j

jj

jj

e

ee

eeX

−

−−

− −=

−=

5,015,01

1.)( .

3.1.3f. Hàm tần số của tích hai dãy

Hàm tần số của tích hai dãy bằng tích chập của hai hàm tần số thành phần

chia cho 2π. Nếu )()]([ 11

ωjenxFT X= và )()]([ 22ωjenxFT X=

thì [ ] ∫−

′−′ ′=π

π

ωωωω

πdeenxnxFT jj XX )().()().( )(

21212

1 . (3.34)

86

Hay [ ] )(*)()().( 21212

1 ωω

πjj eenxnxFT XX= . (3.35)


[ ] [ ]∑∞

−∞=

−=n

njenxnxnxnxFT .2121 .)().()().( ω .

Khi thay x1(n) bằng biểu thức biến ñổi Fourier ngược của nó

∫−

′′ ′=π

π

ωω ωπ

deenx njjX .11 ).()(

2

1 .

thì [ ] ∑ ∫∞

−∞=

−

−

=

n

njnjj enxdeenxnxFT X .2

'.'121 ).(.').()().(

2

1 ωπ

π

ωω ωπ

(3.36)

[ ] [ ]∫ ∑−

∞

−∞=

−−=π

π

ωωω ωπ

'.).().()().( ).'(2

'121

2

1denxenxnxFT

n

njjX .

[ ] )(*)().().()().( 21)(

21212

1

2

1 ωωωωω

ππ

π

π

ω jjjj eedeenxnxFT XXXX ==′= ∫−

′−′ .

3.1.3g. Công thức Parseval tính năng lượng của tín hiệu theo hàm phổ.

∫∑−

∞

−∞=

==π

π

ω ωπ

denxE j

nx X

22)()(

2

1 . (3.37)

Chứng minh: Viết lại biểu thức (3.1-36) dưới dạng:

∑ ∫∑∞

−∞=

−

−

∞

−∞=

−

=

n

njnjj

n

nj edeenxenxnx X .'.'21

.21 .').().().().(

2

1 ωπ

π

ωωω ωπ

Chia cả hai vế của biểu thức trên cho nje .ω− , nhận ñược:

[ ]∫ ∑∑−

∞

−∞=

∞

−∞=

=π

π

ωω ωπ

').(.).()().( '2

'.121

2

1deenxnxnx j

n

nj

n

X ,

hay

∫∑−

−∞

−∞=

=π

π

ωω ωπ

').().()().( '2

'121

2

1deenxnx jj

n

XX .

Khi cho x1(n) = x2(n) = x(n) thì theo (1.5), vế trái của biểu thức trên chính là năng

lượng xE của tín hiệu số x(n):

∫∫∑−−

−∞

−∞=

===π

π

ωπ

π

ωω ωωππ

dedeenxE jjj

nx XXX

22)().().()(

2

1

2

1 ,

hay

∫∑−

∞

−∞=

==π

π

ωωπ

dnxE xn

x S ).()(2

12 , (3.38)

trong ñó 2

)()( ωω jx eXS = . (3.39)

87

)(ωxS ñược gọi là hàm mật ñộ phổ năng lượng của tín hiệu số x(n), nó là hàm

chẵn và ñối xứng qua trục tung. Về bản chất vật lý, hàm mật ñộ phổ năng lượng

)(ωxS chính là hàm phân bố năng lượng của tín hiệu trên trục tần số.

Ví dụ 3.9. Hãy xác ñịnh năng lượng của tín hiệu số )()( 2 nunx n−= theo cả hàm thời

gian và hàm phổ, so sánh hai kết quả nhận ñược. Giải: Theo hàm thời gian có:

∑∑∑∞

=−

−∞

=

−∞

−∞=

− =−

====0

12

0

2

3

4

41

142(2

)())(

n

n

n

n

n

nx nuE .

ðể xác ñịnh năng lượng theo hàm phổ, trước hết tìm

ωωωωω

sin.cos).()(

5,05,01

1

5,01

12

jeenue

jn

njnjX+−

=−

==−

∞

−∞=

−−∑ .

Vậy: ωωω

ω

cos)sin()cos()(

25,1

1

5,05,01

1

22 −−=

+=jeX .

Tính năng lượng của x(n) bằng công thức Parseval (3.38)

π

πππ

ωπ

π

ωω −

+=

−=

−−∫−

|125,1

125,1

125,1

2

2

1

25,1

1

2

1

2

2

2

)().(..

cos

tgarctgdEx .

3

4

75,00

75,0

1

22.3

75,0

1)( ===

−−=

ππ

πππ

πarctgtgtgarctgEx .

Kết quả tính năng lượng theo hai cách là giống nhau. [Ở ñây, nếu lấy

00)( =artg thì 0=xE , nên phải lấy π=)(0artg ].

3.1.3h. ðạo hàm của hàm tần số


thì [ ]ω

ω

d

edjnxnFT

jX )()(. = (3.40)


[ ] ∑∑∞

−∞=

−∞

−∞=

− −=⇒==n

njj

n

njj enxnjd

edenxnxFTe

XX .. ).(..

)().()()( ω

ωωω

ω.

Nhân cả hai vế của biểu thức trên với j, nhận ñược biểu thức (3.40).

Ví dụ 3.10. Hãy tìm biến ñổi Fourier của dãy )(.)( 2 nunnx n−= .

Giải: a. Có ωj

n

enuFT

−−

−=

5,01

12[ )]( .

Theo (3.40) có: 25,01

5,0

5,01

12

.)](.[

−

=−

=−

−

−

−

ω

ω

ω

ωω j

j

j

n

e

e

ed

djnunFT .

3.1.3i. Phổ tần số của hàm tương quan rxy(m)

Nếu )()]([ ωjenxFT X= và )()]([ ωjenyFT Y=

88

thì [ ] )().()()( ωωω jjxy

jxy eemrFTe YXR −== . (3.41)

Chứng minh: Hàm tương quan )(mrxy ñược xác ñịnh ở chương một:

∑∞

−∞=

−=n

xy mnynxmr )().()( .

Theo biểu thức biến ñổi Fourier thuận (3.2) có

[ ] ∑ ∑∑∞

−∞=

−∞

−∞=

∞

−∞=

−

−==

m

mj

nm

mjxyxy emnynxemrmrFT .. .)().().()( ωω

[ ] ∑ ∑∞

−∞=

−−∞

−∞=

−=

m

njnjmj

nxy eeemnynxmrFT ... ...)().()( ωωω

[ ] )().().().()( )).((. ωωωω jj

m

mnj

n

njxy eeemnyenxmrFT YX −

∞

−∞=

−−−∞

−∞=

− =−= ∑∑ .

Ví dụ 3.11. Cho các tín hiệu số )()( 2 nunx n−= và )()( 1−= nny δ , hãy tìm hàm phổ

[ ])()( mrFTe xyj

xyR =ω .

Giải: Sử dụng (3.6), (3.8) với k = 1, và (3.41), tìm ñược

ω

ωω

ωωωω

j

jj

jjjj

xye

ee

eeee YXR

−−−

−=

−==

5,015,01

1.)().()( .

3.1.3k. Phổ tần số của hàm tự tương quan rx(m)

Phổ tần số )( ωjx eR của hàm tự tương quan )(mrx chính là hàm mật ñộ phổ

năng lượng )(ωxS của tín hiệu số )(nx .


thì [ ] )().()()( ωωω jjx

jx eemrFTe XXR −== . (3.42)

Hay [ ] )()()()(2

ωωωx

jx

jx SXR emrFTe === . (3.43)

ðó chính là nội dung của ñịnh lý Wiener - Khintchine.

Chứng minh: Trong biểu thức của hàm tương quan, khi thay )()( nxny = nhận ñược

hàm tự tương quan )(mrx , vì thế theo (3.41) có:

[ ] )()()().()()(2

ωωωωωx

jjjx

jx SXXXR eeemrFTe ==== − .

Ví dụ 3.12. Hãy tìm hàm phổ )( ωjx eR của tín hiệu số )()( 2 nunx n−= .

Giải: Sử dụng (3.6) và (3.42) tìm ñược:

ωωωω

cos)(.

)()(

25,1

1

5,01

1

5,01

1

−=

−−=

− jjj

xee

eR .

3.2. Phổ của tín hiệu số

3.2.1. Các ñặc trưng phổ của tín hiệu số

Biến ñổi Fourier của tín hiệu số x(n) là hàm phổ X(ejω) của nó:

89

)()(.)(.)()( )(. ωωωϕωωωIR

jjnj

n

j XXXX jeeenxe +=== −∞

−∞=∑ .

Từ ñó xác ñịnh ñược:

- Phổ biên ñộ X(ejω)ñược tính theo (3.15)

)()()( 22 ωωωIR

j XXX e += .

- Phổ pha ϕ(ω) = Arg[ X(ejω)] ñược tính theo (3.16)

[ ]

==

)(

)()()(

ωω

ωϕ ω

R

Ij

X

XX arctgeArg .

- Năng lượng xE ñược tính theo công thức Parseval (3.37)

∫∫−−

==π

π

π

π

ω ωωωππ

ddeE xj

x SX )()(2

1

2

1 2.

- Mật ñộ phổ năng lượng )(ωxS ñược tính theo (3.39)

2

)()( ωω jx eXS = .

Hàm phổ X(ejω), phổ biên ñộ X(ejω), phổ pha ϕ(ω), và hàm mật ñộ phổ năng

lượng )(ωxS là các ñặc trưng phổ của tín hiệu số x(n).

Ví dụ 3.13. Cho tín hiệu số )()( 22 −−= nunx n , hãy xác ñịnh các ñặc trưng phổ của tín

hiệu.

Giải: )](.)]()( 222[22[ )2(2 −− −−−− == nunue nnj FTFTX ω

Theo (3.6) và tính chất trễ của biến ñổi Fourier có:

)(

)]()(5,01

1222[ 22

ωωω

jjnj

eenue FTX

−−−−

−=−= .

Hàm phổ: )sincos()(

)(5,05,01

.25,0

5,014

22

ωω

ω

ω

ωω

j

e

e

ee

j

j

jjX

+−=

−=

−

−

−

.

Hàm phổ biên ñộ: ωωω

ω

cos)sin()cos()(

25,1

25,0

5,05,01

25,0

22 −−=

+=jeX .

Hàm phổ pha:

−

−−=)cos(

sin)(

5,01

5,02

ωωωωϕ arctg .

Hàm mật ñộ phổ năng lượng: )cos(

)()(25,1

0625,02

ωω ω

−== j

x eXS .

Về ý nghĩa vật lý, ñồ thị của hàm phổ biên ñộ X(ejω) và hàm mật phổ năng

lượng )(ωxS chính là bức tranh cho biết sự phân bố năng lượng của tín hiệu số x(n)

trên trục tần số. ðồ thị phổ pha ϕ(ω) cho biết quan hệ về pha giữa các thành phần

tần số của phổ tín hiệu. Phương pháp phân tích tín hiệu số x(n) dựa trên các ñặc trưng phổ của nó

ñược gọi là phương pháp tần số, hay phương pháp phân tích phổ, nó thường ñược

sử dụng ñể xử lý số tín hiệu âm thanh.

90

3.2.2. Phổ của tín hiệu liên tục x(t) và tín hiệu lấy mẫu x(n.T) 3.2.2a. ðịnh lý lấy mẫu

ðịnh lý lấy mẫu là cơ sở ñể rời rạc hóa tín hiệu liên tục mà không làm mất

thông tin của nó, và vì thế có thể khôi phục tín hiệu liên tục từ tín hiệu lấy mẫu.

Giáo trình lý thuyết mạch ñã trình bầy và chứng minh ñịnh lý lẫy mẫu,

do ñó ở ñây chỉ nhắc lại nội dung của ñịnh lý.

ðịnh lý lấy mẫu: Mọi tín hiệu liên tục x(t) có phổ hữu hạn f ≤≤≤≤ fc ñều hoàn toàn ñược xác ñịnh bởi các giá trị tức thời rời rạc của nó tại các thời ñiểm cách ñều nhau một khoảng thời gian

cfT 21≤ (tương ứng cT ωπ≤ ).

ðịnh lý lấy mẫu nêu lên hai ñiều kiện bắt buộc phải ñược ñảm bảo ñể việc lấy mẫu không làm mất thông tin của tín hiệu liên tục:

1. Tín hiệu liên tục x(t) phải có phổ hữu hạn f ≤≤≤≤ fc

2. Chu kỳ lấy mẫu T phải thỏa mãn ñiều kiện .21cfT ≤

3.2.2b. Phổ của tín hiệu liên tục x(t) và phổ của tín hiệu lấy mẫu x(n.T)

ðể thấy ñược bản chất vật lý của ñịnh lý lấy mẫu, chúng ta sẽ xác ñịnh quan

hệ giữa hàm phổ )(ω•X của tín hiệu liên tục x(t) và hàm phổ X(ejω) của tín hiệu lấy

mẫu x(n.T) tương ứng.

Xét tín hiệu liên tục x(t) có phổ hữu hạn f < fc (hay ω < ωc ), quan hệ giữa

x(t) và phổ của nó là cặp tích phân Fourier:

Biến ñổi Fourier thuận: ∫∞

∞−

−•

= dtetx tjX .).()( ωω . (3.44)

Biến ñổi Fourier ngược: ∫−

•=

c

c

detx tjX

ω

ω

ω ωωπ

.).()(2

1 . (3.45)

Khi rời rạc hóa tín hiệu liên tục x(t) với chu kỳ lấy mẫu T, nhận ñược tín

hiệu lấy mẫu x(n.T). Quan hệ giữa x(n.T) và hàm phổ X(ejω) của nó là cặp biến ñổi

Fourier của tín hiệu số (3.23) và (3.24), khi thay biến n bằng biến n.T:

Biến ñổi Fourier thuận: Tnj

n

j enxe TX .)()( ωω −∞

−∞=∑= . (3.46)

Biến ñổi Fourier ngược: ∫−

=T

T

deenx TnjjXT

T

π

π

ωωω

π.).()(

2. (3.47)

Khi thực hiện rời rạc hóa tín kiệu liên tục x(t) theo ñịnh lý lấy mẫu thì

TT nttxnx == )().( , nên có thể viết lại (3.45) dưới dạng:

∫−

•=

c

c

denx TnjXT

ω

ω

ω ωωπ

.).().(2

1 . (3.48)

91

Khi ñó, giá trị của x(n.T) tại thời ñiểm n = k ñược xác ñịnh là:

∫∫−

•+

−

•+===

T

T

T

T

dedenx TT nj

k

k

njk k

TXXnT

π

π

π

π

ωωωω ωω πππ

.

)12(

)12(

. ).().().(2

2

1

2

1

Biểu thức trên nhận ñược do tính chất tuần hoàn của hàm mũ ejωnT.

Khi cho k biến thiên từ -∞ ñến +∞ nhận ñược:

∑∞

−∞=

=k

kTT xnx )().( .

Hay

.).().( .2

2

1∑ ∫∞

−∞= −

•

+=k

njT

T

denx TkT

XT

π

π

ωπωπ

ω (3.49)

Nhân và chia (3.49) cho chu kỳ lấy mẫu T, ñồng thời ñổi thứ tự của dấu tổng

và dấu tích phân, nhận ñược biểu thức :

∫ ∑−

∞

−∞=

•+=

t

T

deTnx Tnj

k

kT

XT

Tπ

π

ωω ωππ

.)().(21

2. (3.50)

So sánh biểu thức dưới dấu tích phân của (3.50) và (3.47) nhận ñược:

∑∞

−∞=

•+=

k

j kT

XT

X e )()(21 πωω . (3.51)

Biểu thức (3.51) cho thấy, hàm phổ X(ejω) của tín hiệu lấy mẫu x(n.T) là hàm

tuần hoàn của biến tần số góc ω với chu kỳ ωT = 2π/T , và là tổng vô số các hàm

phổ )(ω•X của tín hiệu liên tục x(t).

Trường hợp tín hiệu liên tục x(t) có phổ hữu hạn và chu kỳ lấy mẫu T thỏa

mãn ñiều kiện của ñịnh lý lấy mẫu: T ≤ π/ωc , thì phổ X(ejω) của tín hiệu lấy mẫu

x(n.T) có chu kỳ ωT ≥ 2ωc . Khi ñó, phổ X(ejω) là tổng của các phổ )(ω•X hữu hạn

tách biệt nhau như trên các ñồ thị Hình 3.4 và Hình 3.5, nên ứng với mỗi giá trị của k , phổ của tín hiệu lấy mẫu x(n.T) có dạng ñúng với phổ của tín hiệu liên tục x(t)

nhưng biên ñộ bị giảm T lần: )()(1 ωω

•= X

TX je . Vì thế, khi cho tín hiệu lấy mẫu

x(n.T) ñi qua bộ lọc thông thấp ñể lấy thành phần phổ của X(ejω) ứng với k = 0, sẽ

nhận ñược ñúng phổ )(ω•X , do ñó khôi phục ñược tín hiệu liên tục x(t).

Trường hợp tín hiệu liên tục x(t) có phổ hữu hạn, nhưng chu kỳ lấy mẫu

không thoả mãn ñiều kiện của ñịnh lý lấy mẫu: T > π/ωc , thì phổ X(ejω) của tín hiệu

lấy mẫu x(n.T) sẽ có chu kỳ ωT < 2ωc . Khi ñó phổ X(ejω) là tổng của các phổ

)(ω•X hữu hạn có các biên tần trùm lên nhau như trên Hình 3.5. Sự trùm phổ làm cho

X(ejω) bị méo dạng so với phổ )(ω•X của tín hiệu liên tục x(t), vì thế không thể khôi

phục ñược tín hiệu liên tục x(t) từ tín hiệu lấy mẫu x(n.T).

92

Trường hợp tín hiệu liên tục x(t) có phổ không hữu hạn như trên Hình 3.6 ,

thì chắc chắn xẩy ra hiện tượng trùm phổ, nên phổ của tín hiệu lấy mẫu x(n.T) sẽ không thể có dạng giống với phổ của tín hiệu liên tục x(t), do ñó không thể khôi

phục ñược tín hiệu liên tục x(t) từ tín hiệu lấy mẫu x(n.T). Như vậy, bản chất vật lý của việc rời rạc hóa tín hiệu liên tục x(t) mà không

làm mất thông tin trong nó là ở chỗ, khi ñảm bảo các ñiều kiện của ñịnh lý lấy mẫu

thì tín hiệu lấy mẫu x(n.T) có phổ X(ejω) tuần hoàn, và mỗi chu kỳ của phổ X(ejω)

hoàn toàn giống với phổ )(ω•X của tín hiệu liên tục x(t), do ñó thông tin của tín hiệu

liên tục x(t) ñược bảo toàn trong tín hiệu lấy mẫu x(n.T).

Như vậy, khi ñược rời rạc hóa theo ñúng ñiều kiện của ñịnh lý lấy mẫu, thì

ñộ rộng phổ của một chu kỳ phổ tín hiệu số ñúng bằng ñộ rộng phổ của tín hiệu liên

tục. Do ñó, ñể không gây méo tín hiệu số thì dải thông của hệ xử lý số phải ≥ ñộ

rộng phổ của tín hiệu liên tục tương ứng.

Hình 3.2: Tín hiệu liên tục x(t), có phổ )(ω•X hữu hạn : |ω | < ωc.

Hình 3.3: Phổ X(ejω) của tín hiệu lấy mẫu, khi T = π/ωc thì ωT = 2ωc.

Hình 3.4 : Phổ X(ejω) của tín hiệu lấy mẫu, khi T < π/ωc thì ωT > 2ωc.

Hình 3.5: Phổ X(ejω) của tín hiệu lấy mẫu, khi T > π/ωc thì ωT < 2ωc.

)(ω•X

ω -ω c ω c

ω -ω c ω c

X(ejω)

ω

X(ejω)

-ω c ω c

X(ejω)

ω ω c -ω c

X(ejω)

93

Hình 3.6: Tín hiệu liên tục x(t), có phổ )(ω•X vô hạn.

3.3. ðặc tính tần số và hàm truyền ñạt phức của hệ xử lý số tuyến tính bất biến

nhân quả

3.3.1. ðặc tính tần số và hàm truyền ñạt phức H(ejωωωω) 3.3.1.1. ðịnh nghĩa

ðặc tính tần số H(ejω) của hệ xử lý số TTBBNQ là biến ñổi Fourier của ñặc

tính xung h(n)

nj

n

j enhnhFTeH .).()]([)( ωω −∞

−∞=∑== . (3.52)

ðặc tính tần số H(ejω) cho biết tính chất tần số của hệ xử lý số TTBBNQ.

Xét hệ xử lý số có ñặc tính xung h(n), tác ñộng x(n), phản ứng y(n).

ðặc tính tần số của hệ: )]([)( nhFTe jH =ω .

Phổ của tác ñộng: )]([)( nxFTe jX =ω .

Phổ của phản ứng: )](*)([)]([)( nhnxFTnyFTe jY ==ω .

Theo tính chất tích chập của biến ñổi Fourier nhận ñược:

)().()( ωωω jjj eee HXY = . (3.53)

Suy ra

)(

)()( ω

ωω

j

jj

e

ee

X

YH = . (3.54)

Như vậy, ñặc tính tần số H(ejω) của hệ xử lý số TTBBNQ bằng tỷ số giữa

hàm phổ của phản ứng Y(ejω) và hàm phổ của tác ñộng X(ejω), vì thế H(ejω) cũng

chính là hàm truyền ñạt phức của hệ xử lý số TTBBNQ.

Có thể tìm ñược ñặc tính xung h(n) của hệ xử lý số từ ñặc tính tần số H(ejω)

bằng biến ñổi Fourier ngược:

∫−

==π

π

ωωω ωπ

deeeIFTnh njjj HH .).()]([)(2

1 . (3.55)

3.3.1.2. ðặc tính biên ñộ tần số và ñặc tính pha tần số

Từ (3.54) có )(

)()(

ω

ωω

j

j

j

e

ee

X

YH = (3.56)

và

=

− )()()( ωωω jjj eee XArgYArgHArg . (3.57)

Vậy, mô ñun hàm truyền ñạt phức H(ejω) của hệ xử lý số bằng tỷ số giữa

phổ biên ñộ của phản ứng và phổ biên ñộ của tác ñộng, còn argumen của hàm

ω

)(ω•X

94

truyền ñạt phức Arg[H(ejω)] bằng hiệu phổ pha của phản ứng và phổ pha của tác

ñộng.

Về ý nghĩa vật lý, mô ñun hàm truyền ñạt phức H(ejω) ñặc trưng cho tính

chất chọn lọc tín hiệu theo tần số của hệ xử lý số TTBBNQ, vì thế H(ejω) còn

ñược gọi là ñặc tính biên ñộ tần số.

Còn argumen của hàm truyền ñạt phức ϕ(ω) cho biết sự dịch pha của các

thành phần tần số tín hiệu khác nhau khi truyền qua hệ xử lý số TTBBNQ, vì thế

ϕ(ω) = Arg[H(ejω)] còn ñược gọi là ñặc tính pha tần số.

ðể tín hiệu số không bị méo phổ khi truyền qua hệ xử lý số TTBBNQ thì ñặc

tính biên ñộ tần số của hệ xử lý số phải ñảm bảo cho qua tất cả các thành phần tần số của tín hiệu với hệ số truyền ñạt như nhau. Tức là, về lý tưởng hệ xử lý số phải

có ñặc tính biên ñộ tần số dạng hình chữ nhật như ở Hình 3.7a. Tuy nhiên, các hệ xử lý số thực tế có ñặc tính biên ñộ tần số với sự nhấp nhô và hai sườn dốc, ví dụ

như ở Hình 3.7b.

a. Hệ xử lý số lý tưởng. b. Hệ xử lý số thực tế.

Hình 3.7: ðặc tính biên ñộ tần số H(ejω) của hệ xử lý số.

Khái niệm về dải thông và dải chặn: Dải thông là dải tần số mà hệ xử lý số

cho tín hiệu số ñi qua, dải chặn là dải tần số mà hệ xử lý số không cho tín hiệu số ñi qua.

- ðối với hệ xử lý số lý tưởng: Do hai biên tần có dạng dốc ñứng nên dải

thông 2∆ω là vùng tần số mà ñặc tính biên ñộ tần số H(ejω)= 1, còn dải chặn là

vùng tần số mà ñặc tính biên ñộ tần số H(ejω)= 0. Tần số giới hạn giữa dải thông

và dải chặn gọi là tần số cắt và thường ñược ký hiệu là ωc. (Hình 3.7a)

- ðối với hệ xử lý số thực tế: Do hai biên tần có dạng sườn dốc, nên người ta

quy ước tần số giới hạn của dải thông là ωc , tần số giới hạn của dải chặn là ωp,

giữa dải thông và dải chặn tồn tại dải quá ñộ ∆ωp = |ωp - ωc| (Hình 3.7b). Nếu ñộ

rộng dải quá ñộ ∆ωp càng nhỏ thì ñộ dốc hai biên tần của ñặc tính biên ñộ tần số

H(ejω) càng lớn, làm cho khả năng chọn lọc tín hiệu theo tần số của hệ xử lý số

càng tốt.

Các tín hiệu số có phổ nằm trọn trong dải thông của ñặc tính biên ñộ tần số

sẽ ñi qua ñược hệ xử lý số và không bị méo dạng phổ. Các tín hiệu số có bề rộng phổ lớn hơn dải thông sẽ bị mất các thành phần phổ nằm ngoài dải thông. Các tín

ω

H(ejω)

2∆ω ωc -ωc

95

hiệu số có phổ nằm ngoài dải thông của hệ xử lý số sẽ hầu như bị suy giảm hoàn

toàn khi ñi qua hệ xử lý số. Từ các hiệu ứng ñó, người ta xây dựng các hệ xử lý số có tính chất chọn lọc tín hiệu số theo tần số, ñó là các bộ lọc số.

Ví dụ 3.14. Hệ xử lý số có phản ứng )()()( 1212.6 −−−= − nnuny n δ ứng với tác ñộng

)()( 2 nunx n−= . Hãy xác ñịnh hàm truyền ñạt phức H(ejω), ñặc tính xung h(n), ñặc

tính biên ñộ tần số H(ejω) và ñặc tính pha tần số ϕ(ω) của hệ.

Giải: Có: )(

)]()(5,01

12[

ωω

jnj

enue FTX

−−

−==

Vì )()()()()( 12122.61212.6 )1(1 −−−=−−−= −−−− nnunnuny nn δδ ,

nên ωω

ωω δ j

j

jnj e

e

ennue FTY −

−

−−−− −

−−−− == 2

5,01

.312122.6[

)()]()()( )1(1

)()()(

5,015,01

2.3 22

ω

ωω

ω

ωωωω

j

jj

j

jjjj

e

ee

e

eeeeY

−

−−

−

−−−

−+

−+−

== .

Theo (3.54) có

)(

))((

)(

)()(

5,01

5,012

ω

ωωω

ω

ωω

j

jjj

j

jj

e

eee

e

ee

X

YH −

−−−

−−+

= = .

Hàm truyền ñạt phức: ωωω 2)( jjj eeeH −− += .

ðặc tính xung: .)()()(][)( 121 2)( −=−+−= = nrectnnIFTnh jeH δδω

ðể tìm ñặc tính biên ñộ tần số và pha tần số, biến ñổi H(ejω) như sau :

)()( 5,.05,05,12 ωωωωωω jjjjjj eeeeeeH −−−− ++ ==

Vậy hàm truyền ñạt phức là: ωω ω 5,1)cos()( 5,0.2 jj eeH −= .

ðặc tính biên ñộ tần số: )cos()( 5,0.2 ωω =jeH .

ðặc tính pha tần số: ωωϕ 5,1)( −= .

Ví dụ 3.15. Cho hệ xử lý số có ñặc tính xung )()( 12 −= nrectnh và tác ñộng

)()( 2 nunx n−= , hãy tìm hàm phổ Y(ejω) và phản ứng y(n).

Giải :

Hàm truyền ñạt phức: ∑∞

−∞=

−−==n

njj enrectnhFTeH ωω )()]([)( 12 .

Hay: ωωωω 22

1

)( jj

n

njj eeeeH −−

=

− +== ∑ .

Phổ của tác ñộng: )(

)]([)(5,01

12 ω

ωj

nj

enuFTeX

−−

−= = .

Theo biểu thức (3-53) tìm ñược phổ của phản ứng:

).()(

)().()( 2

5,01

1 ωωω

ωωω jjj

jjj eee

eee HXY −−−

+−

= =

)()()(

5,01

1

5,01

1 2ω

ωω

ωωj

jj

jj

ee

eeeY

−−

−−

−+

−= .

96

Phản ứng: )()()]([)( 25,015,0 )2()1( −+−= −−= nunueIFTny nnjY ω

)]()([)()( 112212.2 2 −−−+−= −− nnununy nn δ

)()()()( 12.412.412.2 −−−+−= −−− nnununy nnn δ

)()()( 12.412.6 −−−= −− nnuny nn δ .

Vì )( 1−nδ chỉ có 1 mẫu tại n = 1, nên )()( 1212.4 −=−− nnn δδ , do ñó kết quả là

)()()( 1212.6 −−−= − nnuny n δ .

Kết quả nhận ñược phù hợp với phản ứng y(n) cho ở ví dụ 1.

3.3.1.3. Tìm hàm truyền ñạt phức H(ejω) theo phương trình sai phân

Có thể tìm ñược hàm truyền ñạt phức của hệ xử lý số TTBBNQ khi biết phương trình sai phân của nó. Xét hệ xử lý số TTBBNQ ñược mô tả bằng phương

trình sai phân bậc N:

∑∑==

−=−MN

rr

kk rnxbknya

00

)()( .

Lấy biến ñổi Fourier cả hai vế của phương trình trên nhận ñược:

∑∑=

−

=

− =MN

r

rjr

j

k

kjk

j ebeeae XY00

)()( ωωωω .

suy ra:

∑

∑

=

−

=

−

==N

k

kjk

M

r

rjr

j

jj

ea

eb

e

ee

X

YH

0

0

)(

)()(

ω

ω

ω

ωω (3.58)

Ví dụ 3.16. Hãy xác ñịnh hàm truyền ñạt phức và các ñặc tính tần số của hệ xử lý

số có phương trình sai phân )()()()( 21 −+−+= nynxnxny .

Giải: Lấy biến ñổi Fourier cả hai vế của phương trình trên nhận ñược

)()()()( 2 ωωωωωω jjjjjj eeeeee YXXY −− ++= .

hay: )).(()).(( 11 2 ωωωω jjjj eeee XY −− +− =

)(

1

)(

1

)(

)(

)(

)()(

5,05,05,02 11

1ωωωωω

ω

ω

ωω

jjjjj

j

j

jj

eeeee

e

e

ee

X

YH −−−−

−

−=

−=

−+

== .

Vậy hàm truyền ñạt phức là: )sin(

)(5,02

5,0

ω

ωω

jj e

eH = .

ðặc tính biên ñộ tần số: )sin(

1)(

5,02 ωω =jeH .

ðặc tính pha tần số: [ ] .)( 5,0 ωω =jeArg H

3.3.2. Phân tích hệ xử lý số theo hàm truyền ñạt phức H(ejωωωω) 3.3.2.1. Sơ ñồ khối, sơ ñồ cấu trúc trong miền tần số của hệ xử lý số

Theo quan hệ vào ra (3.53)

)().()( ωωω jjj eee HXY = .

97

có thể mô tả hệ xử lý số TTBB bằng sơ ñồ khối theo hàm truyền ñạt phức như trên

Hình 3.8.

Hình 3.8: Sơ ñồ khối trong miền tần số của hệ xử lý số.

Các hệ xử lý số phức tạp có thể ñược mô tả bằng sơ ñồ khối gồm nhiều khối,

mỗi khối có hàm truyền ñạt phức Hi(ejω). Khi ñó, hàm truyền ñạt phức H(ejω) của

hệ xử lý số ñó cũng có thể ñược xác ñịnh theo các hàm truyền ñạt phức Hi(ejω) của

các khối thành phần.

Vì ωω

jj

ezze HH == )()( , nên từ các phần tử cấu trúc và sơ ñồ khối theo hàm

hệ thống H(z), ... có thể nhận ñược các phần tử cấu trúc và sơ ñồ khối theo hàm

truyền ñạt phức H(ejω) khi thay ωjez = . Do ñó, các nguyên tắc xác ñịnh hàm truyền

ñạt phức H(ejω) theo sơ ñồ khối cũng tương tự như cách xác ñịnh hàm hệ thống

H(z).

Sơ ñồ khối và sơ ñồ cấu trúc trong miền tần số của hệ xử lý số thường ñược sử dụng khi phân tích và tổng hợp các bộ lọc số.

Ví dụ 3.17. Hãy xây dựng sơ ñồ khối và sơ ñồ cấu trúc trong miền tần số của hệ xử

lý số cho ở Ví dụ 3.15: )()()()( 21 −+−+= nynxnxny .

Giải: Theo kết quả tìm hàm truyền ñạt phức H(ejω) ñã ñược thực hiện ở Ví dụ

3.15, có sơ ñồ khối của hệ ñã cho như trên Hình 3.9.

Hình 3.9: Sơ ñồ khối trong miền tần số của hệ xử lý số ở Ví dụ 3.15.

Lấy biến ñổi Fourier cả hai vế của phương trình sai phân ñã cho, nhận ñược

quan hệ vào ra :

)()()()( 2 ωωωωωω jjjjjj eeeeee YXXY −− ++= .

Theo quan hệ vào ra trên, xây dựng ñược sơ ñồ cấu trúc của hệ xử

lý số ñã cho như trên Hình 3.10.

H(ejω) X(ejω) Y(ejω)

X(ejω) Y(ejω) +

e-jω

+

e-jω

e-jω

)sin( 5,02

5,0

ω

ωje X(ejω) Y(ejω)

98

Hình 3.10: Sơ ñồ cấu trúc trong miền tần số của hệ xử lý số ở ví dụ 3

3.3.2.2. Xét tính ổn ñịnh của hệ xử lý số theo H(ejω)

Theo ñịnh nghĩa của biến ñổi Fourier, chỉ có các hệ xử lý số có ñặc tính

xung h(n) thỏa mãn ñiều kiện (3.1): ∞<∑∞

−∞=n

nh )( thì mới tồn tại hàm truyền ñạt

phức

nj

n

j enheH .)()( ωω −∞

−∞=∑= .

ðiều kiện tồn tại biến ñổi Fourier (3.1) cũng chính là ñiều kiện ổn ñịnh của

hệ xử lý số. Do ñó, hệ xử lý số tồn tại hàm truyền ñạt phức H(ejω) thì ổn ñịnh,

ngược lại hệ xử lý số không tồn tại hàm truyền ñạt phức H(ejω) thì không thỏa mãn

ñiều kiện ổn ñịnh.

3.4. Các bộ lọc số lý tưởng Bộ lọc số lý tưởng có ñặc tính biên ñộ tần số dạng chữ nhật:

=∈

∈

._

_

,0

,1)(

chandai ω

thongdai ωjeHKhi

Khiω (3.59)

Trên thực tế không thể xây dựng ñược bộ lọc số có ñặc tính biên ñộ tần số

H(ejω) như vậy, tuy nhiên các bộ lọc số lý tưởng là cơ sở ñể phân tích và tổng

hợp các bộ lọc số thực tế.

Ở 3.3 chúng ta ñã biết rằng, ñặc tính tần số H(ejω) của hệ xử lý số là hàm

tuần hoàn của biến ω với chu kỳ 2π, hơn nữa ñặc tính biên ñộ tần số H(ejω) là

hàm chẵn và ñối xứng qua trục tung. Vì thế, chỉ cần nghiên cứu ñặc tính tần số của

các bộ lọc số lý tưởng trong một chu kỳ tần số ω ∈ [ -π , π ], hoặc trong nửa chu kỳ

ω ∈ [ 0 , π ]. Dưới ñây sẽ trình bày về ñặc tính tần số và ñặc tính xung của các bộ

lọc số lý tưởng thuộc các loại thông thấp, thông cao, dải thông và dải chặn.

3.4.1. Bộ lọc thông thấp lý tưởng 3.4.1a. ðịnh nghĩa

Bộ lọc thông thấp lý tưởng có ñặc tính biên ñộ tần số khi ω ∈ [-π , π ] như

sau:

.]],0

],1)(

[[

[

−=

∈−∈

−∈

ππω

,,

,e

cc

ccjlp

ωωωωKhi

ωωωKhiH

va (3.60)

)( πωπ ≤≤−

)( ωjlp eH

ω

-π -ωc 0 ωc π

1

99

3.4.1b. Các tham số thực của bộ lọc thông thấp lý tưởng - Tần số cắt : fc

- Dải thông : f ∈ [ 0 , fc ]

- Dải chặn : f ∈ [fc , ∞ ] Bộ lọc thông thấp lý tưởng cho tín hiệu số có phổ nằm trong dải tần f < fc ñi

qua, chặn không cho tín hiệu số trong dải tần f > fc ñi qua. 3.4.1c. ðặc tính xung hlp(n) của bộ lọc thông thấp lý tưởng

Xét bộ lọc thông thấp lý tưởng pha tuyến tính αωωθ −=)( , ñặc tính tần số

của nó có dạng:

.]]

],)(

[[

[

,0

−=

∈−∈

−∈−

ππ

αωω

,,

,ee

cc

ccj

jlp

ωωωωKhi

ωωωKhiH

va (3.61)

ðặc tính xung hlp(n) của bộ lọc trên ñược xác ñịnh bằng IFT:

[ ] ∫−

==π

π

ωωω ωπ

deeeIFTnh njjlp

jlplp HH )()()(

2

1

c

c

c

c

njnjjlp e

njdeenh

ω

ω

αωω

ω

ωαω

αω

ππ −

−

−

−

−== ∫ )(

)()(

1

2

1

2

1

)(

)](sin[

)(

)](sin[)(

αωαωω

ααω

ππ −−

=−−

=n

n

n

nnh

c

ccclp . (3.62)

Theo (3.62), bộ lọc thông thấp lý tưởng pha tuyến tính có ñặc tính xung

hlp(n) dạng hàm sin giảm dần về 0 khi n → ± ∞. Tại n = 0 có:

ππω

αωαωω c

c

cc

nlp

nlp n

nLimnhLimh =

−−

==→→ )(

)](sin[)()(

000 .

ðặc tính xung hlp(n) ñạt cực ñại tại n = 0, và 0)( =nhlp tại các ñiểm

ckn ωπ= , với k là số nguyên.

Ví dụ 3.17. Hãy xác ñịnh và vẽ ñồ thị ñặc tính xung hlp(n) của bộ lọc số thông thấp

lý tưởng pha không [ 0)( =ωθ ], có tần số cắt 3πω =c .

Giải: ðặc tính xung của bộ lọc thông thấp pha không lý tưởng:

ππ.

)sin()(

3

n

nnhlp = .

Theo công thức trên lập ñược Bảng 3.1:

Bảng 3.1

n 0 ± 1 ± 2 ± 3 ± 4 ± 5 ± 6 ± 7 ± 8

hlp(n) 0,33 0,28 0,14 0 -

0,07 -

0,05 0 0,04

0,03

Theo các số liệu trên, xây dựng ñược ñồ thị ñặc tính xung hlp(n) của bộ lọc

thông thấp lý tưởng pha không với 3πω =c trên Hình 3.11.

100

Hình 3.11: hlp(n) của bộ lọc thông thấp lý tưởng pha không với 3πω =c .

Nhận xét: ðặc tính xung hlp(n) của bộ lọc thông thấp lý tưởng là dãy chẵn,

ñối xứng qua trục tung, có ñộ dài vô hạn và không nhân quả, nên không thể thực hiện ñược trên thực tế.

3.4.2. Bộ lọc thông cao lý tưởng 3.4.2a. ðịnh nghĩa

Bộ lọc thông cao lý tưởng có ñặc tính biên ñộ tần số khi ω ∈ [-π, π] như sau

.],0

]],1)(

[

[[

−

=−∈

∈−∈

cc

ccjhp

ωωωKhi

ωωωKhi

,

,,eH

ππωω va (3.63)

)( πωπ ≤≤−

ω

-π -ωc 0 ωc π 3.4.2b. Các tham số thực của bộ lọc thông cao lý tưởng

- Tần số cắt: fc

- Dải thông: f ∈ [fc , ∞ ] - Dải chặn: f ∈ [ 0 , fc ]

Bộ lọc thông cao lý tưởng cho tín hiệu số có phổ nằm trong dải tần f > fc ñi qua, chặn không cho tín hiệu trong dải tần f < fc ñi qua.

3.4.2c. ðặc tính xung hhp(n) của bộ lọc thông cao lý tưởng

Xét bộ lọc thông cao lý tưởng pha tuyến tính αωωθ −=)( , ñặc tính tần số của

nó có dạng:

−

=−∈

∈−∈−

]0

]])(

[

[[

cc

ccj

jhp

ωωωKhi

ωωωωKhi

,

,,eeH

ππαωω va

(3.64)

Vì dải thông và dải chặn của bộ lọc thông cao ngược với bộ lọc thông thấp,

nên có thể biểu diễn Hhp(ejω) qua Hlp(e

jω) như sau:

)()( 1 ωω jlp

jhp ee HH −= (3.65)

1

)( ωjhp eH

... ...

0,33

hlp(n)

0,28 0,28

0,14

-0,07

0,14

-0,07

0,04 0,04 n

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

101

Theo (3.65) có thể tìm ñược ñặc tính tần số của bộ lọc thông cao từ ñặc tính

tần số của bộ lọc thông thấp có cùng tần số cắt. ðặc tính xung hhp(n) của bộ lọc trên ñược xác ñịnh bằng IFT:

[ ] [ ]∫−

−==π

π

ωωω ωπ

deeeIFTnh njjlp

jhphp HH .)()()( 1

2

1

∫ ∫− −

−−=π

π

ω

ω

ωαωω ωωππ

c

c

deedenh njjnjhp

2

1

2

1)(

c

c

njnjhp e

nje

jnnh

ω

ω

αωπ

π

ω

αππ −

−

− −−= )(

)()(

1

2

11

2

1

)(

)](sin[).sin()(

. ααω

πππ

−−

−=n

n

n

nnh c

hp .

Hay

)(

)](sin[).sin()(

. αωαωω

πππ

−−

−=n

n

n

nnh

c

cchp (3.66)

Vì )(.

).sin(

,.

).sin(

00

0,1n

n

n

nKhi

nKhi

n

n δππ

ππ

=⇒

≠=

= .

Nên có thể viết lại (3.66) dưới dạng:

)(

)](sin[)(

)sin()()(

. αωαωω

δω

δππ −

−−=−=

n

nn

n

nnnh

c

ccchp . (3.67)

So sánh (3.67) với (3.65), có thể biểu diễn ñặc tính xung hhp(n) của bộ lọc

thông cao qua ñặc tính xung hlp(n) của bộ lọc thông thấp:

).()()( nhnnh lphp −= δ (3.68)

Theo (3.68) có thể tìm ñược ñặc tính xung hhp(n) của bộ lọc thông cao từ ñặc

tính xung hlp(n) của bộ lọc thông thấp có cùng tần số cắt ωc.

ðặc tính xung hhp(n) của bộ lọc thông cao lý tưởng là dãy chẵn, ñối xứng qua

trục tung và ñạt cực ñại tại n = 0. Khi tần số cắt Nc πω = thì ñặc tính xung hhp

(kN) = 0 tại các ñiểm n = kN, với k là số nguyên. Ví dụ 3.18. Hãy xác ñịnh và vẽ ñặc tính xung hhp(n) của bộ lọc số thông cao lý

tưởng pha không có tần số cắt 3πω =c .

Giải: Có ñặc tính xung của bộ lọc thông cao pha không lý tưởng

ππ

δδ.

)sin()()()()(

3

n

nnnhnnh lphp −=−= .

Theo công thức trên và kết quả của ví dụ 1 lập ñược Bảng 3.2:

102

Bảng3.2

n 0 ± 1 ± 2 ± 3 ± 4 ± 5 ± 6 ± 7 ± 8

hlp(n) 0,33 0,28 0,14 0 -

0,07

-

0,05 0 0,04

0,03

hhp(n) 0,77 -

0,28 -

0,14 0 0,07 0,05 0

-0,04

-0,03

Theo các số liệu trên, xây dựng ñược ñồ thị ñặc tính xung của bộ lọc thông

cao lý tưởng pha không với 3πω =c trên Hình 5.4.

Hình 3.12: ðặc tính xung của bộ lọc thông cao lý tưởng với 3πω =c .

Nhận xét: Theo (3.67), bộ lọc thông cao lý tưởng là hệ xử lý số IIR không nhân quả, vì thế không thể thực hiện ñược trên thực tế.

3.4.3. Bộ lọc dải thông lý tưởng 3.4.3a. ðịnh nghĩa

Bộ lọc dải thông lý tưởng có ñặc tính biên ñộ tần số khi ω ∈ [-π, π] như sau

.,0

]],1)( 2121 [[

−

=∈−∈

lai. con

va

ωKhi

ωωωωωωKhi ccccjbp

,,eH ω (3.69)

)( πωπ ≤≤−

hhp(n)

0,77

-0,28

-0,14 -0,14

-0,28

0,07 0,07 0,05 0,05

n ... ...

-0,04 -0,04 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

103

)( ωjbp eH

ω

-π -ωc2 -ωc1 0 ωc1 ωc2 π

3.4.3b. Các tham số thực của bộ lọc dải thông lý tưởng

- Tần số cắt: fc1 , fc2

- Dải thông: f ∈ [fc1 , fc2 ]

- Dải chặn: f ∈ [ 0 , fc1 ] và [fc2 , ∞ ] Bộ lọc dải thông lý tưởng cho tín hiệu số có phổ nằm trong dải tần fc1 < f >

fc2 ñi qua, chặn không cho tín hiệu ngoài dải tần ñó ñi qua. 3.4.3c. ðặc tính xung hbp(n) của bộ lọc dải thông

Xét bộ lọc dải thông lý tưởng có pha tuyến tính αωωθ −=)( , ñặc tính tần số

của nó có dạng

−

=∈−∈−

lai. conωKhi

ωωωωωωKhi ccccj

jbp

,va,eeH

0

]])( 2121 [[αω

ω (3.70)

Có thể biểu diễn Hbp(ejω) qua ñặc tính tần số Hlp1(e

jω) và Hlp2(ejω) của các bộ

lọc thông thấp lý tưởng có tần số cắt ωc1 và ωc2 tương ứng:

)()()( 12ωωω j

lpj

lpj

bp eee HHH −= . (3.71)

Theo (3.71) có thể tìm ñược ñặc tính tần số của bộ lọc dải thông có tần số cắt

ωc1 và ωc2, từ ñặc tính tần số của hai bộ lọc thông thấp có tần số cắt ωc1 và ωc2

tương ứng.

ðặc tính xung hbp(n) của bộ lọc trên ñược xác ñịnh bằng IFT:

[ ] [ ]∫−

−==π

π

ωωωω ωπ

deeeeIFTnh njjlp

jlp

jbpbp HHH .)()()()( 12

2

1

∫∫−

−

−

− −=1

1

2

22

1

2

1)(

c

c

c

c

deedeenh njjnjjbp

ω

ω

ωαωω

ω

ωαω ωωππ

)(

)](sin[

)(

)](sin[)(

..12

ααω

ααω

ππ −−

−−

−=

n

n

n

nnh cc

bp (3.72)

)(

)](sin[

)(

)](sin[)(

1

11

2

22

αωαωω

αωαωω

ππ −−

−−−

=n

n

n

nnh

c

cc

c

ccbp . (3.73)

Hay : )()()( 12 nhnhnh lplpbp −= (3.74)

Theo (3.74) có thể tìm ñược ñặc tính xung hbp(n) của bộ lọc dải thông theo

ñặc tính xung hlp1(n) và hlp2(n) của các bộ lọc thông thấp có tần số cắt ωc1 và ωc2

tương ứng.

1

104

Ví dụ 3.19. Hãy xác ñịnh và vẽ ñặc tính xung hbp(n) của bộ lọc số dải thông lý

tưởng pha không có các tần số cắt 31 πω =c và 22 πω =c .

Giải: Có ñặc tính xung của bộ lọc dải thông pha không lý tưởng

ππ

ππ

.

)sin(

.

)sin()()()(

3212 n

n

n

nnhnhnh lplpbp −=−= .


Bảng 3.3

n 0 ± 1 ± 2 ± 3 ± 4 ± 5 ± 6 ± 7 ± 8

hlp2(n) 0,50 0,32 0 -

0,11 0 0,06 0

-0,04

0

hlp1(n) 0,33 0,28 0,14 0 -

0,07 -

0,05 0 0,04

0,03

hbp(n) 0,17 0,04 -

0,14

-

0,11 0,07 0,01 0

-

0,08

-

0.03

Theo các số liệu trên, xây dựng ñược ñồ thị ñặc tính xung của bộ lọc dải

thông lý tưởng với 31 πω =c và 22 πω =c trên Hình 3.13.

Hình 3.13: ðặc tính xung của bộ lọc dải thông lý tưởng.

Nhận xét: Bộ lọc dải thông lý tưởng là hệ xử lý số IIR không nhân quả, vì thế

nó không thể thực hiện ñược trên thực tế.

3.4.4. Bộ lọc dải chặn lý tưởng 3.4.4a. ðịnh nghĩa

Bộ lọc dải chặn lý tưởng có ñặc tính biên ñộ tần số khi ω ∈ [-π ,π] như sau

.]]

)(,1

,0 2121 [[

−

=∈−∈

lai con

va

ωKhi

ωωωωωωKhi ccccjbs

,,eH ω (3.75)

)( πωπ ≤≤−

3.4.4b. Các tham số thực của bộ lọc dải chặn lý tưởng

- Tần số cắt: fc1 , fc2

- Dải thông: f ∈ [ 0 , fc1 ] và [fc2 , ∞ ] - Dải chặn: f ∈ [fc1 , fc2 ]

-0,14 -0,14

hbp(n) 0,17

0,04 0,04 0,07 0,07

-0,11 -0,11 -0,08 -0,08

-0,03 -0,03

n ... ...

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

105

Bộ lọc dải chặn lý tưởng chặn không cho tín hiệu số có phổ nằm trong dải

tần fc1 < f > fc2 ñi qua, cho tín hiệu số ngoài dải tần ñó ñi qua.

)( ωjbp eH

ω

-π -ωc2 -ωc1 0 ωc1 ωc2 π

3.4.4c. ðặc tính xung hbs(n) của bộ lọc dải chặn lý tưởng

Xét bộ lọc dải chặn lý tưởng pha tuyến tính αωωθ −=)( , ñặc tính tần số của

nó có dạng:

−

=−

∈−∈

lai con

va

ωKhi

ωωωωωωKhij

ccccjbs

e

,,eH

αωω ]])(

2121 [[0 (3.76)

Có thể biểu diễn Hbs(ejω) qua ñặc tính tần số Hlp1(e

jω) và Hlp2(ejω) của các bộ

lọc thông thấp lý tưởng có tần số cắt ωc1 và ωc2 như sau:

).()()( 121 ωωω jlp

jlp

jbs eee HHH +−= (3.77)

Theo (3.77) có thể tìm ñược ñặc tính tần số của bộ lọc dải chặn có các tần số

cắt ωc1 và ωc2 từ ñặc tính tần số của hai bộ lọc thông thấp có tần số cắt ωc1 và ωc2

tương ứng.

Biểu diễn Hbs(ejω) qua ñặc tính tần số Hbp(e

jω) của bộ lọc dải thông:

)()( 1 ωω jbp

jbs ee HH −= . (3.78)

Theo (3.78) có thể tìm ñược ñặc tính tần số của bộ lọc dải chặn có các tần số

cắt ωc1 và ωc2 , từ ñặc tính tần số của bộ lọc dải thông có tần số cắt tương ứng.

ðặc tính xung hbs(n) của bộ lọc trên ñược xác ñịnh bằng IFT

[ ] [ ]∫−

+−==π

π

ωωωω ωπ

deeeeIFTnh njjlp

jlp

jbsbs HHH .)()()()( 121

2

1

∫∫∫−

−

−

−

−

+−=1

1

2

22

1

2

1

2

1)(

c

c

c

c

deedeedenh njjnjjnjbs

ω

ω

ωαωω

ω

ωαωπ

π

ω ωωωπππ

1

1

2

2

)()(

)()()(

1

2

11

2

11

2

1 c

c

c

c

njnjnjbs e

nje

nje

jnnh

ω

ω

αωω

ω

αωπ

π

ω

αα πππ −

−

−

−

− −+

−−=

)(

)](sin[

)(

)](sin[)sin()( 12

..

ααω

ααω

ππππ

−−

+−

−−=

n

n

n

n

n

nnh cc

bs

)]([

)](sin[

)(

)](sin[

.

)sin()(

1

11

2

22.αωαωω

αωαωω

ππππ

−−

+−−

−=n

n

n

n

n

nnh

c

cc

c

ccbs . (3.79)

Hay )()()()( 12 nhnhnnh lplpbs +−= δ . (3.80)

Hoặc )()()( nhnnh bpbs −= δ . (3.81)

Theo (3.80) có thể tìm ñược ñặc tính xung hbp(n) của bộ lọc dải chặn khi biết

ñặc tính xung hlp1(n) và hlp1(n) của các bộ lọc thông thấp tương ứng. Theo (3.81) có

1

106

thể tìm ñược ñặc tính xung hbs(n) của bộ lọc dải chặn khi biết ñặc tính xung hbp(n)

của bộ lọc dải thông tương ứng. Ví dụ 3.20. Hãy xác ñịnh và vẽ ñặc tính xung hbs(n) của bộ lọc số dải chặn lý tưởng

pha không có các tần số cắt 31 πω =c và 22 πω =c .

Giải: Có ñặc tính xung của bộ lọc dải chặn pha không lý tưởng:

ππ

ππ

ππ

δ.

)sin(

.

)sin(

.

)sin()()()(

32.n

n

n

n

n

nnhnnh bpbs +−=−= .


Bảng 3.4

n 0 ± 1 ± 2 ± 3 ± 4 ± 5 ± 6 ± 7 ± 8

hbp(n) 0,17 0,04 -

0,14 -

0,11 0,07 0,01 0

-0,08

-0.03

hbs(n) 0,83 -

0,04 0,14 0,11

-0,07

-0,01

0 0,08 0.03

Theo các số liệu trên, xây dựng ñược ñồ thị ñặc tính xung của bộ lọc dải

chặn lý tưởng với 31 πω =c và 22 πω =c trên Hình 3.14.

Hình 3.14: ðặc tính xung của bộ lọc dải chặn lý tưởng.

Nhận xét: Bộ lọc dải chặn lý tưởng là hệ xử lý số IIR không nhân quả, vì thế nó không thể thực hiện ñược trên thực tế.

3.4.5. Bộ lọc số thực tế Tất cả các bộ lọc số lý tưởng có ñặc tính biên ñộ tần số dạng chữ nhật, nên

ñặc tính xung của chúng ñều là dãy không nhân quả có ñộ dài vô hạn, vì thế không thể thực hiện ñược các bộ lọc số lý tưởng.

hp(n)

0,83

0,14

-0,07 -0,07

0,14 0,11

0,08 0,11

0,08

n ... ...

-0,04 -0,04 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

107

ðặc tính biên ñộ tần số của bộ lọc số thực tế thường có ñộ nhấp nhô trong

dải thông và dải chặn, với hai biên là sườn dốc (xem Hình 3.15).

Hình 3.15: ðặc tính biên ñộ tần số của một bộ lọc thông thấp thực tế.

ðể ñặc trưng cho bộ lọc thực tế, người ta sử dụng các tham số sau:

1. Loại bộ lọc: Thông thấp, thông cao, dải thông, dải chặn.

2. Tần số giới hạn dải thông ωc (hay fc ).

3. Tần số giới hạn dải chặn ωp (hay fp ).

4. ðộ rộng dải quá ñộ ∆ω p = |ωp - ωc|(hay ∆fp ). 5. ðộ nhấp nhô trong dải thông δ1. Trong dải thông, ñặc tính biên ñộ tần số

H(ejω) phải thỏa mãn ñiều kiện:

(1 - δ1) ≤ H(ejω) ≤ (1 + δ1)

6. ðộ nhấp nhô trong dải chặn δ2. Trong dải chặn, ñặc tính biên ñộ tần số

H(ejω) phải thỏa mãn ñiều kiện:

H(ejω) ≤ δ2.

Bộ lọc số thực tế có ∆ωp , δ1 và δ2 càng nhỏ thì ñặc tính biên ñộ tần số càng gần giống dạng chữ nhật, nên ñộ chọn lọc tín hiệu càng tốt.

108

Chương 4 BIỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG RỜI RẠC TRONG MIỀN TẦN SỐ

RỜI RẠC (MIỀN K)

Phép biến ñổi Fourier ñược nghiên cứu ở chương ba cho phép phân tích tín

hiệu số và hệ xử lý số có ñộ dài vô hạn, theo hàm tần số với ω liên tục. Tuy nhiên,

các hệ xử lý số thực tế chỉ có thể xử lý các tín hiệu số có ñộ dài hữu hạn, theo hàm

tần số với ω rời rạc. Do ñó người ta xây dựng phép biến ñổi Fourier cho các dãy có

ñộ dài hữu hạn, với biến tần số góc ω rời rạc, và gọi là phép biến ñổi Fourier rời

rạc, nó ñược viết tắt theo tiếng Anh là DFT (Discrete Fourier Transform). Chương

bốn trình bày phương pháp xây dựng DFT, cách tính DFT, và các tính chất, các ứng dụng của DFT.

4.1. Biến ñổi Fourier rời rạc của dãy tuần hoàn ðể xây dựng biến ñổi Fourier rời rạc của dãy tuần hoàn, xuất phát từ chuỗi

Fourier của hàm liên tục tuần hoàn xp(t).

Xét hàm liên tục tuần hoàn xp(t), có chu kỳ 02 ωπ=oT . Nếu xp(t) thỏa mãn

các ñiều kiện Dirichlet, thì có thể khai triển xp(t) thành chuỗi Fourier:

∑∞

−∞=

•=

k

tjkkp etx C 0)( ω . (4.1)

Với các hệ số dtetx

T

T

tjkpk

TC ∫

−

−•

=2

2

0)(0

1 ω . (4.2)

Nếu hàm liên tục tuần hoàn xp(t) có phổ hữu hạn f < fmax , thì có thể rời rạc hóa xp(t) với chu kỳ T sao cho N.T = To , và T thỏa mãn ñiều kiện của ñịnh lý lấy

mẫu max21 fT ≤ . Theo ñịnh lý lấy mẫu, hàm tuần hoàn xp(t) xác ñịnh tại các giá trị

rời rạc t = nT và tạo thành dãy rời rạc tuần hoàn xp(nT), do ñó có thể viết lại (4.1)

dưới dạng:

∑∞

−∞=

•=

k

nTjkkp enx CT 0)( ω .

Vì NNTT 00 2 ωπ== nên

∑∑∞

−∞=

•∞

−∞=

•==

k

njk

kk

njk

kpNN eenx CCTππ

ωω 22

00

)( .

Khi thực hiện chuẩn hóa chu kỳ lấy mẫu T = 1, thì xp(nT) = xp(n) và chu kỳ của dãy tuần hoàn xp(t) là To = N, nên có:

∑∞

−∞=

•=

k

njk

kpNenx Cπ2

.)( . (4.3)

Hay

109

∑∞

−∞=

=k

njkpp ex kX

Nn 1)(

1)( ω . (4.4)

Trong ñó kp CXN

k•

=)(1 . (4.5)

Ở ñây, Xp(k) là biên ñộ của các dao ñộng ñiều hòa ứng với tần số góc

1ωω kk = , nó là dãy phức. Còn ω1 là tần số góc rời rạc cơ bản ứng với chu kỳ N của

dãy tuần hoàn xp(t): N

πω 21 = . (4.6)

Do dãy xp(t) và hàm njke 1ω ñều tuần hoàn với chu kỳ N nên có thể viết lại (4.4) cho một chu kỳ N:

∑−

=

=1

0

1)(1

)(N

k

njkpp enx kX

Nω . (4.7)

Biểu thức (4.7) chính là chuỗi Fourier rời rạc của dãy tuần hoàn xp(n), hay

còn gọi là biến ñổi Fourier rời rạc ngược. ðể tìm biểu thức của biến ñổi Fourier rời rạc thuận, nhân cả hai vế của (4.7)

với thừa số njme 1ω− , sau ñó lấy tổng theo n = 0 ÷ (N - 1):

∑∑∑−

=

−

=

−−

=

− =1

0

1

0

1

0

111 )(1

)(N NN

n k

njmnjkp

n

njmp eekenx X

Nωωω .

Hay ∑∑∑−

=

−−

=

−

=

− =1

0

)(1

0

1

0

111

)()(NNN

k

nmkj

np

n

njmp eenx

NkX ωω . (4.8)

Theo tính chất của hàm trực chuẩn có

≠=

=∑−

=

−

mKhi

mKhie

k

k

N

N

n

nmkj

0

11

0

)( 11 ω

nên từ (4.8) nhận ñược

∑−

=

−=1

0

1)()(N

n

njkpp enxkX ω . (4.9)

Biểu thức (4.9) chính là biến ñổi Fourier rời rạc thuận của dãy tuần hoàn

xp(n). Kết hợp cả hai biểu thức (4.7) và (4.9) nhận ñược cặp biến ñổi Fourier rời

rạc của dãy tuần hoàn xp(n), trong ñó Xp(k) là dãy phức của biến tần số góc rời rạc

1ωω kk = , với 1ω ñược xác ñịnh theo (4.6).

)()( )()()( kjp

kjpp ee kAkXkX θϕ == .

Mô ñun )(kX p là dãy biên ñộ tần số rời rạc.

Argumen )(kϕ là dãy pha tần số rời rạc.

Ap(k) là dãy ñộ lớn, còn )(kθ là dãy pha.

Ví dụ 4.1. Xác ñịnh Xp(k) của dãy tuần hoàn xp(n) = n với chu kỳ N = 4.

Giải: Theo công thức biến ñổi Fourier rời rạc thuận (4.9) có:

110

∑∑∑=

−

=

−−

=

− ===3

0

3

0

1

0

242

1 ..)()(n

njk

n

njk

n

njkpp enenenx

N

kXππω .

Tại k = 0: 03

0

06632100 2.)( j

n

njp eenX ==+++== ∑

=

π

Tại k = 1: ∑=

−−−− +++==3

0

23

22 3201 ..)(n

jjjnjp eeeenX

πππ π

78,0.322321)( jp ejjjX −≈+−=+−−=

Tại k = 2: ∑=

−−−− +++==3

0

32. 3202 ..)(n

jjjnjp eeeenX ππππ

πjp eX −=−=−+−= .223212)(

Tại k = 3: ∑=

−−−− +++==3

0

3.2

92

32

3

3203 ..)(n

jjjnjp eeeenX

πππ π

78,0.322323)( jp ejjjX ≈−−=−−= .

Trên Hình 4.1 là ñồ thị của dãy xp(n) = n có chu kỳ N = 4, và ñồ thị của các

dãy biên ñộ tần số Xp(k), pha tần số )(kϕ .

Hình 4.1: ðồ thị các dãy xp(n), Xp(k), )(kϕ ở ví dụ 1.

4.2. Biến ñổi fourier rời rạc của dãy không tuần hoàn có ñộ dài hữu hạn (DFT)

4.2.1. Biến ñổi Fourier rời rạc (DFT) Xét dãy không tuần hoàn x(n)L có ñộ dài hữu hạn L. Một cách gần ñúng, có

thể coi dãy x(n)L là một chu kỳ của dãy tuần hoàn xp(n) với chu kỳ bằng N, khi ñó với a là hằng số có:

LNanxnx p )()( += (4.10)

32-1-2 0

321

321

321

321

1 765-3-4-5-6-7-8 98

8-8 -5 -3 6310-2-7 52

2

-4 97-1-6

3 3

6

23 3

6

23 3

6

23 3

6

8-8 -5 3-2 52-4 97-1-6

-0,78

0,78

3,14

-0,78

0,78

3,14

-0,78

0,78

3,14

-0,78

0,78

3,14

n

x(n)

n

n

)(kϕ

Xp(k)

111

x(n)L

Hình 4.2: ðồ thị của dãy x(n)L có ñộ dài L = 4.

xp(n)

Hình 4.3: ðồ thị của dãy tuần hoàn xp(n) có chu kỳ N < L.

xp(n)

Hình 4.4: ðồ thị của dãy tuần hoàn xp(n) có chu kỳ N = L.

xp(n)

Hình 4.5: ðồ thị của dãy tuần hoàn xp(n) có chu kỳ N > L.

ðồ thị của dãy x(n)L trên Hình 4.2 và dãy xp(n) trên Hình 4.3 cho thấy rằng,

nếu chu kỳ N của xp(n) nhỏ hơn ñộ dài L của x(n)L (N< L) thì dãy x(n)L sẽ bị biến dạng do sự trùm thời gian. ðể không xảy ra hiện tượng trùm thời gian và dãy x(n)L

không bị biến dạng thì dãy tuần hoàn xp(n) phải có chu kỳ thỏa mãn ñiều kiện:

N ≥ L. (4.11)

Hơn nữa, nếu N > L thì dãy tuần hoàn xp(n) phải có các mẫu với giá trị bằng

0 trong ñoạn L ≤ n ≤ (N - 1), như ñồ thị trên Hình 4.5.

Trong ñoạn 0 ≤ n ≤ (N - 1) biểu thức (4.10) có dạng:

Lnxnx p )()( = (4.12)

-5 4 61-3

1

9-1-6 -4 32-2 5 80 7

0,5

n

0

0,51

-1 1 2 43 865 7 9-4 -3 -2-5-6

10,5

10,5

10,5

10,5

n

0

0,5

1

-1 1 2 43 865 7 9-4 -3 -2-5-6

0,5

11

0,5n

3

n

4 6

1 1

5

0,5

20-2 7 8-6 -3 1

0,5

-4

1

-5 -1 9

0,5

112

Từ ñó, có thể trực tiếp suy ra cặp biến ñổi Fourier rời rạc của dãy không

tuần hoàn có ñộ dài hữu hạn x(n)L từ cặp biến ñổi Fourier rời rạc (4.9) và (4.7) của

dãy tuần hoàn xp(n). Với N ≥ L có:

Biến ñổi thuận: ∑−

=

−=1

0

1.)()(N

LN

n

njkenxkX ω . (4.13)

Biến ñổi ngược: ∑−

=

=1

0

1)(1

)(N

NL

k

njkenx kXN

ω . (4.14)

Trong ñó Nπω 21 = và thừa số njke 1ω± ñược gọi là hệ số pha. Trong nhiều tài

liệu, hệ số pha njke 1ω± ñược ký hiệu là knNW ± .

Biến ñổi Fourier rời rạc thuận (4.13) của dãy có ñộ dài hữu hạn x(n)N ñược

viết tắt là DFT và ký hiệu như sau :

])([)( NN nxDFTkX = (4.15)

Hay NN kXDFTnx )()( → . (4.16)

Biến ñổi Fourier rời rạc ngược (4.14) của dãy có ñộ dài hữu hạn x(n)N ñược viết tắt là IDFT và ký hiệu như sau:

])([)( NN kXIDFTnx = (4.17)

Hay NN nxIDFTkX )()( → . (4.18)

Trong các biểu thức DFT (4.13) và IDFT (4.14), quan hệ giữa ñộ dài L của

dãy x(n)L và ñộ dài N của dãy X(k)N phải theo ñiều kiện (4.11), tức là N ≥ L. Khi

tính DFT với N > L, coi như thêm vào dãy x(n)L các mẫu có giá trị bằng 0 ở các

thời ñiểm L ≤ n ≤ (N - 1) . Vì X(k)N là dãy phức nên có thể biểu diễn nó dưới các dạng:

Dạng phần thực và phần ảo: NNN kXkXkX IR j )()()( += . (4.19)

Dãy phần thực: ∑−

=

=1

01 )cos(.)()(

N

NN

nR nnx kkX ω . (4.20)

Dãy phần ảo: ∑−

=

−=1

01 )sin(.)()(

N

NN

nI nnx kkX ω . (4.21)

Dạng ñộ lớn và pha: )()()( kjeA NN kkX θ= . (4.22)

Dãy ñộ lớn có thể nhận giá trị dương hoặc âm và: NN kXkA )()( =

Dạng mô ñun và argumen: )()()( kjeNN kXkX ϕ= . (4.23)

Dãy mô ñun: NNN kXkXkX IR )()()( 22 += . (4.24)

NkX )( còn ñược gọi là dãy biên ñộ tần số, hay dãy phổ biên ñộ rời rạc.

Dãy argumen:

=

N

N

kX

kXk

R

Iarctg)(

)()(ϕ . (4.25)

Dãy )(kϕ còn ñược gọi là dãy pha tần số, hay dãy phổ pha rời rạc.

113

Theo lý thuyết hàm phức, NkX )( là dãy chẵn và ñối xứng qua trục tung, còn

)(kϕ là dãy lẻ và phản ñối xứng qua gốc tọa ñộ.

Ví dụ 4.2. Hãy tìm ])([ NnDFT δ , vẽ ñồ thị tín hiệu Nn)(δ và phổ của nó.

Giải: Có thể xem δ(n)N là dãy

≤<=

=− )(

)(100

01

Nnkhi

nkhin Nδ .

Theo biểu thức DFT thuận (4.13) có hàm phổ rời rạc:

∉∈

==−

−∑

−

=

−

)](,[

)](,[.)(])([

100

1011

0

1

Nk

Nk

khi

khiennDFT

N

NN

n

njkωδδ .

Vậy: )(])([ kNN rectnDFT =δ . (4.26)

ðồ thị tín hiệu δ(n)N và phổ rời rạc

của nó là rectN(k) ở Hình 4.6. Khi thay ñổi ñộ

dài N của δ(n)N, thì tín hiệu δ(n)N không có

gì thay ñổi, nhưng số vạch của phổ rời rạc

rectN(k) thay ñổi tương ứng, khi tăng N thì bề rộng phổ tăng.

Ví dụ 4.3. Tìm ])([ NL nrectDFT , với N ≥ L . Giải: Theo biểu thức DFT (4.13) có hàm phổ rời rạc:

Hình 4.6: δ(n)N và phổ của nó.

1

1

11

1

1][

1

0

1

0

).()( ω

ωωω

jk

jk

n

njk

n

njk

e

eeenrectnrect

LLN

LNLDFT−

−−

=

−−

=

−

−−

==∑∑=

)(

)()( 2

2

1

1][

NNN

LN

LN

LN

N

LN

NL jkjkjk

jkjkjk

jk

jk

eee

eee

e

enrectDFT πππ

πππ

π

π

−−

−−

−

−

−

−=

−

−= .

Hay ( )( )

N

L

NL

kj

enrectNk

NLkDFT

)1(

sin

sin)( ][

−−

=π

ππ . (4.27)

Xét trường hợp ñặc biệt N = L: Trong khoảng )( 10 −≤< Nk thì 0)sin( =πk , còn

( ) 0sin ≠Nkπ với mọi k.

Tại k = 0 có ( ) ( ) ( ) NNkN

k

Nk

k

k

kj

kLimeLim N

L

==→

−

→

−

ππ ππππ π

cos.

)cos(

sin

)sin(0

)1(

0.

Do ñó

−≤<=

=)(

)(100

0][

Nk

kNDFT

khi

khinrect NN .

Tức là NNN kNDFT nrect )(.)( ][ δ= . (4.28)

Biểu thức (4.28) cho thấy rằng, trong trường hợp N = L, khi thay ñổi ñộ dài

N của dãy chữ nhật )(nrect N , thì ])([ NN nrectDFT vẫn chỉ có một vạch tại k = 0,

1

1 20

0

. . .

32

. . .

1

3 (N-1)

(N-1)

1

n

k

rectN(k)

δ(n)N

114

nhưng biên ñộ của nó luôn bằng N. Kết hợp (4.27) và (4.28) nhận ñược:

( )( )

=

>=

−−

LNkN

LNNk

NLk

DFT

Khi

Khienrect

N

N

L

NL

kj

)(.

sin

sin)(

)1(

][

δ

π

ππ

.

4.2.2. Quan hệ giữa DFT với FT và ZT 4.2.2.1. Quan hệ giữa DFT với FT và ZT, khái niệm về lấy mẫu tần số

Xét các biểu thức biến ñổi thuận DFT, FT, và ZT của dãy x(n)N .

DFT thuận: [ ] ∑−

=

−==1

0

1)()()(N

NNN

n

njkenxnxDFTkX ω .

FT thuận: [ ] nj

n

nj

n

j enxenxnxFTeN

NNNX .1

0

. )()()()( ωωω −−

=

−∞

−∞=∑∑ === .

ZT thuận: [ ] ∑∑−

=

−∞

−∞=

− ===1

0

.)(.)()()(N

NNN

n

n

n

n znxznxnxFTzX .

Suy ra: 1

1

1

01

1

0

.1

0

)()()( ωωω

ωω jkn

n

n

nj

n

njk

ezznxenxenxN

N

N

N

N

N k ==== ∑∑∑−

=

−−

=

−−

=

− .

Tức là giữa DFT, FT, và ZT có quan hệ:

[ ] [ ] [ ]1

)()()(1

ωωω jkeznxZTnxFTnxDFT NNN k ==== . (4.29)

Biểu thức (4.29) cho thấy, DFT chính là FT của các dãy có ñộ dài hữu hạn

tại các tần số rời rạc Nkk πωω 2.1 == , và nó cũng chính là ZT của dãy có ñộ dài

hữu hạn trên vòng tròn ñơn vị 1|| =z tại các tần số rời rạc 1ωω k= . Có thể viết lại

(4.29) dưới dạng:

1

)()()(1

ωω

ωω jkj

ezze NNN XkXkX ==== . (4.30)

Theo (4.30), X(k)N chính là X(ejω) của dãy có ñộ dài hữu hạn x(n)N khi rời

rạc hóa biến tần số góc liên tục ω thành biến rời rạc kω1. Quá trình rời rạc hóa biến

tần số liên tục ñược gọi là lấy mẫu tần số.

Nếu x(n)N là tín hiệu số thì dãy X(k)N là phổ rời rạc, nó nhận ñược bằng cách

lấy mẫu tần số phổ liên tục X(ejω). Nếu h(n) là ñặc tính xung của hệ xử lý số, thì

H(k)N là ñặc tính tần số rời rạc của hệ xử lý số, nó nhận ñược bằng cách lấy mẫu tần

số ñặc tính tần số liên tục H(ejω).

Như vậy, DFT chính là lấy mẫu tần số, và ñể việc lấy mẫu tần số không làm

biến dạng dãy gốc trong miền thời gian, thì phải không ñể xảy ra hiện tượng trùm

thời gian (xem Hình 4.3), do ñó ñiều kiện ñể có thể khôi phục ñược hàm tần số liên

tục X(ejω) từ hàm tần số rời rạc X(k)N là: Dãy gốc phải có ñộ dài L hữu hạn và ñộ

dài N tính DFT phải không nhỏ hơn ñộ dài của dãy gốc theo ñiều kiện (4.11): N ≥ L .

115

ðiều kiện lấy mẫu tần số trên cũng có ý nghĩa vật lý tương tự như ñịnh lý lấy

mẫu theo thời gian. Tuy nhiên, khi ñộ dài N tính DFT bằng ñộ dài của dãy gốc x(n) , thì sai khác

giữa dãy tần số rời rạc X(k)N và hàm tần số liên tục X(ejω) còn rất lớn, khi ñộ dài N

tính DFT càng lớn thì sự sai khác giữa X(k)N và X(ejω) càng giảm, và khi N → ∞

thì X(k)N → X(ejω). Có thể thấy rõ ñiều ñó khi xem lại các biểu thức (4.27), (4.28) ở

ví dụ 3:

Với L = N thì NNNN kNDFTkX nrect )(.)()( ][ δ== .

Với L > N thì ( )( )

N

L

NLN

kj

enrectNk

NLkDFTkX

)1(

sin

sin)()( ][

−−

==π

ππ

( )( )

2

)1(

2

2

1

1

sin

sin)]([)(

−−

−

−

=−

−==

LL

L

kj

j

jj e

e

enrectFTe

LX

π

ω

ωω

ωω

.

ðồ thị các hàm biên ñộ tần số trên Hình 4.7 minh họa cho ñiều ñó.

a. ðồ thị X(ejω) với L = 10. b. ðồ thị X(k)10.

c. ðồ thị X(k)50. d. ðồ thị X(k)100.

Hình 4.7: X(ejω)với L = 10 và X(k)N với N bằng 10 , 50 , 100.

4.2.2.2. Nội suy hàm X(z) từ N mẫu của dãyDFT X(k)N

Theo (2.1), biến ñổi z của dãy có ñộ dài hữu hạn x(n)N là

∑−

=

−=1

0

.)()(N

N

n

nznxzX . (.31)

Do x(n)N là dãy hữu hạn nên X(z) luôn tồn tại, và miền hội tụ của X(z) là toàn

bộ mặt phẳng z trừ hai ñiểm z = 0 và |z|= ∞ phải xét cho từng dãy x(n)N cụ thể.

ðể tìm X(z) từ X(k)N, trước hết cần tìm ])([)( NN kXIDFTnx = , sau ñó lấy biến

ñổi Z thuận ])([)( NnxZTzX = .

116

Ta có ∑−

=

==1

0

1)(1

])([)(N

NNN

k

njkeIDFTnx kXN

kX ω .

Theo (4.31) ∑ ∑−

=

−−

=

==

1

0

1

0

.)(1

])([)( 1

N N

NN

n

n

k

njk zenxZTz kXN

X ω

∑ ∑−

=

−

=

−==1

0

1

0

.)(1

])([)( 1

N N

NN

k n

nnjk zenxZTz kXN

X ω

∑−

=−

−

−−

==1

01 )1(

)1()(

1])([)(

1

1N NN

NN

kjk

jk

ze

zenxZTz kX

NX ω

ω

.

Trong ñó, vì 122

1 === ππ

ω kjjk

jk eeeN

NN với mọi k, nên nhận ñược

∑−

=−

−

−−

==1

01 )1(

)()1(])([)(

1

NN

N

N

kjk ze

znxZTz

kX

NX ω . (4.32)

Biểu thức (4.32) là công thức nội suy ñể tìm dạng gần ñúng của X(z) từ N mẫu

của [ ]NN nxDFTkX )()( = . Khi cho N → ∞, sẽ nhận ñược hàm X(z) chính xác của dãy

x(n). 4.2.2.3. Nội suy X(ejω) từ N mẫu của dãy DFT X(k)N

Vì x(n)N là dãy hữu hạn nên X(ejω) luôn tồn tại, và có thể nhận ñược X(ejω) từ

biểu thức của X(z) khi thay z = ejω. Do ñó từ (4.32) có

∑−

=−−

−

−−

==1

0)( ]1[

)1()(

1])([)(

1

N N

NN

kkj

jj

e

enxFTe kX

NX ωω

ωω . (4.33)

Sử dụng công thức 2

21 sin)( 2222 xjeeeee

xj

xj

xj

xj

jx−−−− =

−=− ñể biến ñổi cả ña thức ở tử

và mẫu của (4.33), nhận ñược

+−

−−

=∑

−

== 22

)1(1

0 1

1

.

sin

sin

)(1

])([)(

22

2ωω

ω

ωω

ωkj

k

j

NN

NN enxFTe

k

N

kXN

X . (4.34)

Khi thay Nπω 21 = vào (4.34), nhận ñược

+

−−−

=∑

−

== N

NN

NN

kj

k

j enxFTe

N

k

N

kXN

X

πωω

πω

ω

2

)1(1

0

.

sin

sin

)(1

])([)(

2

2 . (4.35)

Các biểu thức (4.34) và (4.35) là công thức nội suy ñể tìm dạng gần ñúng

của X(ejω) từ N mẫu của [ ]NN nxDFTkX )()( = . Khi cho N → ∞, sẽ nhận ñược hàm tần

số X(ejω) chính xác của dãy x(n).

4.3. Phép dịch vòng, tích chập vòng và các tính chất của DFT 4.3.1. Phép dịch vòng và tích chập vòng của DFT 4.3.1.1. Phép dịch vòng

117

Chương I ñã ñịnh nghĩa y(n) = x(n - n0) là phép dịch tuyến tính dãy x(n) ñi n0

mẫu, và gọi vắn tắt là phép dịch. ðồ thị Hình 4.8a cho thấy, khi quan sát trên một cửa sổ sự dịch trễ tuyến tính

dãy x(n) ñi n0 mẫu, sẽ thấy n0 mẫu bên mép phải bị ñẩy ra khỏi cửa sổ, còn n0 mẫu ở bên ngoài ñược ñẩy vào mép trái cửa sổ.

a. ðối với dãy x(n)5 b. ðối với dãy tuần hoàn xp(n)

Hình 4.8: Quan sát sự dịch trễ tuyến tính các dãy x(n)5 và xp(n). ðồ thị Hình 4.8b cho thấy, khi quan sát trên một cửa sổ sự dịch trễ tuyến

tính dãy tuần hoàn xp(n) ñi n0 mẫu, sẽ thấy như là n0 mẫu bên mép phải bị ñẩy ra khỏi cửa sổ lại ñược ñẩy trở vào mép trái cửa sổ.

Vì DFT ñược xây dựng trên cơ sở coi dãy không tuần hoàn x(n)N là một chu kỳ của dãy tuần hoàn xp(n) có chu kỳ N, vì thế phép dịch tuyến tính dãy x(n)N sẽ

phải tương tự như phép dịch dãy tuần hoàn xp(n). Từ ñó, ñối với DFT, có khái niệm

phép dịch vòng.

ðịnh nghĩa phép dịch vòng: Dãy hữu hạn y(n)N = x(n - n0)N là dịch vòng n0 mẫu của dãy x(n)N , khi n0 mẫu bị ñẩy ra khỏi ñoạn [0 , (N - 1)] sẽ quay vòng trở lại ñầu

kia.

Các dãy y(n)N và x(n)N xác ñịnh trong ñoạn [0 , (N - 1)]. Khi n0 > 0 là dịch

trễ (dịch vòng phải). Khi n0 < 0 là dịch sớm (dịch vòng trái).

Chú ý: ðể phân biệt phép dịch vòng với phép dịch tuyến tính, người ta ký

hiệu chỉ số ñộ dài N của dãy dịch vòng ở phía sau tên dãy.

Như vậy, về bản chất phép dịch vòng dãy hữu hạn x(n - n0)N chính là sự quan

sát trên cửa sổ cố ñịnh rectN(n) phép dịch tuyến tính dãy hữu hạn x(n)N khi coi nó là một chu kỳ của dãy tuần hoàn xp(n) có chu kỳ N.

Khi dịch vòng N lần dãy hữu hạn x(n)N sang trái hoặc sang phải thì sẽ nhận ñược ñúng dãy x(n)N , do ñó

NN nxnx N )()( =− . (4.36)

32-1-2 0 1 765-3-4

20 5-1 7-3 -2-4 631

20 5-1 7631

2 71

3

650-1 3

n

n

n

n

34

1134

34

32

1 12 2 2

34

12

34

12

34

1

34

12

x(n)5

x(n-2)5

xp(n)

xP(n-2)

118

Vì dãy hữu hạn x(n)N chỉ xác ñịnh trong ñoạn [0 , (N-1)], nên khi dịch vòng,

mẫu x(N)N chính là mẫu x(0)N :

NN xx N )()( 0= . (4.37)

Các mẫu của dãy dịch vòng NN nnxny )()( 0−= ñược tìm theo nguyên tắc:

NNN nxnxy N )()()( 0000 −=−=

NNN nxnxy N )()()( 00 111 −+=−=

...........

NNNN NN xnnxnnxny )()()()( 1111 00000 −=−−+=−−=−

NNNNN xxnnxnnxny NN )()()()()( 000000 ==−+=−=

NNN xnnxny )()()( 111 000 =−+=+

..........

NN nxy NN )()( 011 −−=− .

Ví dụ, ñối với trường hợp 55 )()( 2−= nxny thì n0 = 2 và N = 5, nhận ñược

5555 )()()()( 325200 xxxy =−=−=

5555 )()()()( 4215211 xxxy =−+=−=

55555 )()()()()( 05225222 xxxxy ==−+=−=

555 )()()( 1233 xxy =−=

555 )()()( 2244 xxy =−= .

Dãy biến ñảo Nnx )(− của phép dich vòng là dãy Nnx )(0 − , do ñó có biểu thức

NN nxnx N )()( −=− . (4.38)

Ví dụ 4.4. Hãy xác ñịnh dãy 55 )()( nxny −= của dãy )()( 55 2 nrectnx n= .

Giải: Ta có 12000 0555 )()()( ===−= xxy N

1624151 4555 )()()( ===−= xxy

823252 3555 )()()( ===−= xxy

422353 2555 )()()( ===−= xxy

221454 1555 )()()( ===−= xxy .

Như vậy, dãy biến ñảo y(n)N = x(-n)N có mẫu y(0)N = x(0)N , còn các mẫu từ y(1)N ñến y(N - 1)N là ñảo của các mẫu từ x(1)N ñến x(N - 1)N , tức là có:

y(1)N= x(N - 1)N ; y(2)N = x(N - 2)N ; ..... ; y(N - 1)N = x(1)N .

Ví dụ 4.5. Cho dãy )()()( 5.25,01 nrectnnx −= . Hãy biểu diễn dưới dạng mảng và ñồ thị

dãy 5)(nx , và các dãy dịch vòng 5)( 2−nx , 5)( 1+nx .

119

Giải : Theo nguyên tắc dịch vòng ñã nêu trên, có biểu diễn dạng mảng và ñồ thị của

các dãy 5)(nx , và 5)( 2−nx , 5)( 1+nx như trên Hình 4.9.

=−↑

5,0,75,0,1,0,25,05)2(nx

=+↑

1,0,25,0,5,0,75,05)1(nx

Hình 4.9: Biểu diễn dạng mảng và ñồ thị dịch vòng dãy 5)(nx

4.3.1.2. Tích chập vòng

Trên cơ sở phép dịch vòng, có ñịnh nghĩa tích chập vòng của hai dãy có ñộ dài hữu hạn.

ðịnh nghĩa tích chập vòng: Tích chập vòng của hai dãy hữu hạn Lnx )(1 và

Mnx )(2 là dãy hữu hạn Nny )( ñược tính theo biểu thức:

∑−

=

−=1

021 )(.)()(

N

NNN

m

mnxmxny . (4.39)

Với ],max[ MLN ≥ . Các dãy Nmx )(1 và Nnx )(2 là Lmx )(1 và Mnx )(2 ñược thêm vào các

mẫu có giá trị bằng 0 ñể có ñộ dài N. Dãy Nmnx )(2 − là dịch vòng trễ m mẫu của

Nnx )(2 .

Tích chập vòng (4.39) ñược ký hiệu như sau

MLN nxnxny )(*)()( 21= . (4.40)

Chú ý: ðể phân biệt tích chập vòng với tích chập tuyến tính (vẫn ñược gọi vắn tắt là tích chập), người ta ký hiệu chỉ số ñộ dài của dãy tích chập vòng ở phía sau tên

dãy.

Tích chập vòng có các tính chất giao hoán, kết hợp và phân phối. ðể tính

trực tiếp tích chập vòng, cũng phải tính từng giá trị của Nny )( như khi tính tích chập.

Theo biểu thức tích chập vòng (4.39) có:

∑−

=

−=1

021 )(.)()(0

N

NNN

m

mxmxy

0,25

1-1

2

4

1

32

0,5

4

1

0

4

0

1

-1 2

0

0,5

1

3

3-1

1

n

n

n

0,25

0,25

075

075

075

0,5

x(n)5

x(n-2)5

x(n+1)5

120

∑−

=

−=1

021 )(.)()( 11

N

NNN

m

mxmxy

...........

∑−

=

−−=−1

021 )(.)()( 11

N

NNN

m

mNN xmxy .

Trong ñó, Nmx )(2 − là dãy ñảo của Nmx )(2 , còn Nmx )(12 − là dãy dịch vòng trễ 1

mẫu của Nmx )(2 − , ... , và Nmx N )( 12 −− là dịch vòng trễ (N - 1) mẫu của Nmx )(2 − .

Ví dụ 4.6. Hãy tính tích chập vòng )(*)()( 35 nnrectny δ= .

Giải: ðể thuận tiện tính toán, biểu diễn các dãy ở Bảng 4.1: Bảng 4.1

m 0 1 2 3 4

53 )(nrect 1 1 1 0 0

5)(mδ 1 0 0 0 0

5)( m−δ 1 0 0 0 0

5)(1 m−δ 0 1 0 0 0

5)(2 m−δ 0 0 1 0 0

5)(3 m−δ 0 0 0 1 0

5)(4 m−δ 0 0 0 0 1

Dựa vào bảng trên, tính ñược

10.00.00.10.11.104

052515 )(.)()( =++++=−= ∑

=m

mxmxy

10.00.00.11.10.1114

052515 )(.)()( =++++=−= ∑

=m

mxmxy

10.00.01.10.10.1224

052515 )(.)()( =++++=−= ∑

=m

mxmxy

034 55 )()( == yy .

Vậy )()(*)()( 335 nrectnnrectny == δ . (4.41)

Biểu thức (4.41) là một ví dụ cho thấy, tích chập vòng của dãy bất kỳ với

dãy xung ñơn vị δ(n) cũng bằng chính dãy ñó.

Khi sử dụng các hệ xử lý số có bộ vi xử lý hoặc máy tính, bài toán tính tích

chập vòng trên chỉ là một chương trình con khá ñơn giản. Chương một ñã chứng minh, tích chập tuyến tính của hai dãy hữu hạn có ñộ

dài L và M là dãy hữu hạn có ñộ dài )( 1−+= MLN . Dưới ñây sẽ xét quan hệ giữa

tích chập tuyến tính và tích chập vòng của hai dãy hữu hạn có ñộ dài L và M qua

một ví dụ cụ thể.

121

Ví dụ 4.7. Cho hai dãy )()( 21 2 nrectnx n= và )()( 32 nrectnx = . Hãy tính tích chập

)(*)()( 21 nxnxny = và tích chập vòng )(*)()( 214 nxnxny = .

Giải: ðể ý rằng ở ñây, )(1 nx có ñộ dài 2=L , )(2 nx có ñộ dài 3=M , còn ñộ dài tính

tích chập vòng là 11324 −+=−+== MLN , tức là dãy tích chập tuyến tính )(ny và

dãy tích chập vòng 4)(ny có ñộ dài bằng nhau. ðể tiện tính toán, biểu diễn các dãy

ở Bảng 4.2:

Bảng 4.2

Dịch tuyến tính Dịch vòng

m -2

-1

0 1 2 3 4 m

0 1 2 3

)(1 mx 0 0 1 2 0 0 0 41 )(mx 1 2 0 0

)(2 mx 0 0 1 1 1 0 0 42 )(mx 1 1 1 0

)(2 mx − 1 1 1 0 0 0 0 42 )( mx − 1 0 1 1

)(12 mx − 0 1 1 1 0 0 0 42 )(1 mx − 1 1 0 1

)(22 mx − 0 0 1 1 1 0 0 42 )(2 mx − 1 1 1 0

)(32 mx − 0 0 0 1 1 1 0 42 )(3 mx − 0 1 1 1

Dựa vào bảng trên, tính ñược tích chập tuyến tính:

10.00.21.101

021 )().()( =++=−= ∑

=m

mxmxy

30.01.21.1111

021 )().()( =++=−= ∑

=m

mxmxy

31.01.21.1221

021 )().()( =++=−= ∑

=m

mxmxy

21.01.20.1331

021 )().()( =++=−= ∑

=m

mxmxy

0)( =ny với mọi 4≥n .

Tính tích chập vòng:

11.01.00.21.103

042414 )(.)()( =+++=−= ∑

=m

mxmxy

31.00.01.21.1113

042414 )(.)()( =+++=−= ∑

=m

mxmxy

30.01.01.21.1223

042414 )(.)()( =+++=−= ∑

=m

mxmxy

21.01.01.20.1333

042414 )(.)()( =+++=−= ∑

=m

mxmxy .

122

Như vậy, tích chập vòng và tích chập tuyến tính của hai dãy ñã cho là bằng

nhau. Ví dụ trên là một minh chứng cho ñịnh lý sau:

ðịnh lý: Trong ñoạn )]([ 1,0 −N , tích chập vòng MLN nxnxny )(*)()( 21= với

)( 1−+= MLN ñúng bằng tích chập tuyến tính MN nxnxny )(*)()( 21= .

ðịnh lý trên ñược sử dụng ñể tính tích chập tuyến tính thông qua tích chập vòng.

4.3.2. Các tính chất của DFT 4.3.2a. Tính chất tuần hoàn

Dãy ảnh X(k)N của DFT là dãy tuần hoàn với chu kỳ N. Với a là hằng số

nguyên có:

Nếu ])([)( NN nxDFTkX =

thì NN kXNkX a )()( =+ . (4.42)

Chứng minh: Vì hàm mũ có tính tuần hoàn: njknakj ee N 11)( ωω −+− = .

Nên theo biểu thức DFT thuận (4.13) có:

N

N

N

NN

NN kXNkXn

njk

n

nakj enxenxa )(.)(.)()(1

0

1

0

)( 11 ===+ ∑∑−

=

−−

=

+− ωω .

Ví dụ 4.8. Hãy vẽ ñồ thị của dãy ][ 33 )()( nrectDFTkX = .

Giải: Theo (4.26) với N = 3, có 3333 )(.)()( 3][ kDFTkX nrect δ== . Sử dụng tính

chất tuần hoàn của DFT, vẽ ñược ñồ thị )(kX như Hình 4.10.

)(kX

Hình 4.10: ðồ thị dãy 3333 )(.)()( 3][ kDFTkX nrect δ== .

4.3.2b. Tính chất tuyến tính

DFT của tổ hợp tuyến tính các dãy hữu hạn Nnxi )( bằng tổ hợp tuyến tính

các DFT thành phần.

Nếu ])([)( NN nxDFT ii kX =

thì NNNN kXkY ii

ii

ii AnxAnyDFT )(.)(.)()( ∑∑ =

== . (4.43)

Nếu các dãy Nnxi )( có ñộ dài Ni khác nhau thì phải tính DFT với ñộ dài

N ≥ max[Ni ], bằng cách thêm các mẫu 0 vào các dãy có ñộ dài ngắn hơn N.

Chứng minh: Theo biểu thức DFT thuận (4.13) có

4-5 6

. . .

-3-4 1 2 3 5

3

-6 -2 -1 0

. . .n

123

∑∑∑−

=

−=

=

1

0

1.)(.)(.)(N

NNN

n i

njkii

iii enxAnxADFTkY ω

N

N

NNN kXkY ii

in

njki

ii

iii AenxAnxADFT )(..)()(.)(

1

0

1 ∑∑∑∑ ==

=

−

=

− ω .

Ví dụ 4.9. Cho các dãy )()( 21 nrectnx = và )()(2 nnx δ= .

Hãy tìm : ])()([)( 222 .2 nnrectDFTkY δ+= .

Giải: Theo tính chất tuyến tính có: ])([)]([)( 222 .2 nDFTnrectDFTkY δ+= .

Sử dụng (4.28) và (4.26) với N = 2, nhận ñược

)()()( 222 .22 kkkY rect+= δ .

4.3.2c. DFT của dãy dịch vòng

Khi dịch vòng dãy x(n)N ñi n0 mẫu thì dãy biên ñộ tần số X(k)N không

thay ñổi, chỉ có dãy pha tần số ϕ(k) bị dịch ñi một lượng kω1n0 tương ứng.

Nếu )(.)()(])([ kjenxDFT kXkX NNNϕ==

thì [ ] ])([0

0101 .)()()( nkkjnjk eennxDFT NNN kXkX ωϕω −− ==− (4.44)

Chứng minh: Theo biểu thức DFT thuận (4.2-3) có :

[ ] ∑∑−

=

−−−

=

− −=−=−1

00

1

000

010111 )()()(N

N

N

NN

n

njknjknjk

n

njk eeennxennxnnxDFT ωωωω

[ ] 010101 )()()(1

0

)(00

njk

n

nnjknjk eennxennxDFT N

N

NN kX ωωω −−

=

−−− =−=− ∑ .

Ví dụ 4.10. Hãy tìm )]([)( 0nnrectDFT NNkY −= .

Giải: Sử dụng biểu thức (4.28) và tính chất dịch vòng có:

01)()]([)( .0njkennrectDFT NNN kNkY ωδ −=−= .

4.3.2d. Dịch vòng tần số

Khi nhân dãy x(n)N với hàm mũ njke 10ω , với k0 là hằng số, thì DFT của nó bị dịch vòng k0 mẫu tương ứng.


thì [ ] NN kkXnjkenxDFT )()( 010 −=ω (4.45)


[ ] ∑∑−

=

−−−

=

− ==1

0

)(1

0

0111010 )()()(N

N

N

NN

n

nkkj

n

njknjknjk enxeenxenxDFT ωωωω .

Hay: [ ] NN kkXnjkenxDFT )()( 010 −=ω .

Ví dụ 4.11. Hãy tìm ])([)( 13 njenrectDFT NNkY ω= .

Giải: Sử dụng biểu thức (4.28) và tính chất dịch vòng tần số có

NNN kNkY njenrectDFT )(])([)( 3.13 −== δω .

Dịch vòng trong miền tần số k cũng giống như dịch vòng trong miền thời

gian n.

NN kXNkX )()( =− (4.46)

124

NN XNX )()( 0= (4.47)

NN kNXkX )()( −=− . (4.48)

Nếu x(n)N là dãy thực thì theo biểu thức DFT thuận (4.13) có

N

N

N

N

NN kXkXn

njk

n

nkj enxenx )(.)(.)()( *1

0

1

0

)( 11 ===− ∑∑−

=

−

=

−− ωω .

Do ñó nếu x(n)N là dãy thực thì: NN kXkX )()( *=− . (4.49)

4.3.2e. DFT của tích chập vòng hai dãy DFT của tích chập vòng hai dãy bằng tích các DFT của hai dãy thành phần.

Nếu NN kXnxDFT )(])([ 11 = và NN kXnxDFT )(])([ 22 =

thì [ ] NNNNN kXkXnxnxnyDFT )(.)()(*)()( 2121 == . (4.50)

Chứng minh: Theo biểu thức DFT thuận (4.13) có:

[ ] ∑∑−

=

−

=

−−=1

0

1

021

1)(.)()(N N

NNN

n m

njkemnxmxnyDFT ω

[ ] mjkmjk

n m

njk eeemnxmxnyDFTN N

NNN111 ..)(.)()(

1

0

1

021

ωωω −−

=

−

=

−∑∑ −=

[ ] ∑∑−

=

−−

=

− −=1

0

)(2

1

01

11 .)(.)()(N

N

N

NN

n

mnjk

m

mjk emnxemxnyDFT ωω .

Hay [ ] NNNNN kXkXnxnxnyDFT )(.)()(*)()( 2121 == .

Tính chất trên ñược sử dụng ñể tính tích chập vòng thông qua DFT. Các

bước tính MN nxnxny L )(*)()( 21= như sau:

- Tìm các DFT thuận: NN kXnxDFT )(])([ 11 = và NN kXnxDFT )(])([ 22 =

- Từ ñó có: NNN kXkXkY )()()( 2.1=

- Tìm DFT ngược: ])()([)( 2.1 NNN kXkXIDFTny = .

Ví dụ 4.12. Hãy tính tích chập vòng )(*)()( 33 nnrectny δ= .

Giải: Sử dụng các biểu thức (4.28) và (4.26) với N = 3 ñược:

3331 )(.)]([)( 3 kkX nrectDFT δ==

)(])([)( 3332 kkX rectnDFT == δ

33332.313 )(.)()(.)()()( 33 kkkkXkXkY rect δδ ===

)(])(.[])()([)( 3332.313 3 nrectIDFTIDFTny kkXkX === δ .

ðúng với kết quả tính trực tiếp tích chập vòng này ở ví dụ 5. 4.3.2f. DFT của tích hai dãy

DFT của tích hai dãy bằng tích chập vòng các DFT của hai dãy thành phần chia cho N.

Nếu NN kXnxDFT )(])([ 11 = và NN kXnxDFT )(])([ 22 =

125

thì [ ] ∑−

=

−==1

02121 )()(

1)(.)()(

N

NNNNN

l

llnxnxnyDFT kXXN

. (4.51)

Hay: [ ] NNNNN kXkXN

nxnxnyDFT )(*)(1

)(.)()( 2121 == . (4.52)


[ ] ∑−

=

−=1

021

1)(.)()(N

NNN

n

njkenxnxnyDFT ω .

Khi thay x1(n) bằng biểu thức DFT ngược (4.14) của nó:

∑−

=

=1

011

1)(1

)(N

NN

l

njlelnx XN

ω .

Nhận ñược: [ ] ∑ ∑−

=

−−

=

=

1

02

1

01

11 )(.)(1

)(N

N

N

NN

n

njk

l

njl enxelnyDFT XN

ωω

[ ] ∑ ∑−

=

−

=

−−=1

0

1

0

)(21

1)()(1

)(N N

NNN

l n

nlkjenxlnyDFT XN

ω

[ ] NN

N

NNN kXkXN

kXXN l

llnyDFT )(*)(1

)()(1

)( 21

1

021 =−= ∑

−

=

.

4.3.2g. Quan hệ Parseval

Năng lượng của tín hiệu số có thể ñược tính qua phổ rời rạc DFT theo công thức Parseval:

∑∑−

=

−

=

==1

0

21

0

2)(

1)(

N

N

N

N

nnx kX

NE nx . (4.53)

Chứng minh: Dùng (4.51) với NNN nxnxnx )()()( 21 == nhận ñược (4.53).

4.3.2h. DFT của dãy ñảo dấu DFT của dãy thực x(n)N và dãy thực ñảo dấu x(-n)N là cặp dãy liên hợp phức.


thì [ ] )(* .)()()()( kjenxDFT kXkXkX NNNϕ−==−=− . (4.54)

Chứng minh: Theo biểu thức DFT thuận (4.13) có:

[ ] N

N

N

N

NN kXn

nkj

n

njk enxenxnxDFT )()()()(1

0

)()(1

0

11 −=−=−=− ∑∑−

=

−−−−

=

− ωω .

Vì x(n)N là dãy thực nên theo (4.49) thì NN kXkX )()( *=− , do ñó có (4.54).

Như vậy, các dãy thực nhân quả và phản nhân quả tương ứng có dãy biên ñộ tần số giống nhau, còn dãy pha tần số ngược dấu.

4.3.2i. Tính ñối xứng của DFT Nếu x(n)N là dãy phức và

NN kXnxDFT )(])([ =

thì [ ] NNN kNXkXnxDFT )()()( *** −=−= . (4.55)

126

Các dãy NkNX )(* − và NkNX )( − là liên hợp phức, và NkNX )( − là dãy ñối xứng

vòng của NkX )( .


[ ] [ ] ∑∑−

=

−−

=

− ==1

0

***1

0

** 11 )()()(N

N

N

NN

n

njk

n

njk enxenxnxDFT ωω .

Hay

[ ] N

N

N

N

NN kXn

nkj

n

njk enxenxnxDFT )()()()( *1

0

*)(1

0

** 11 −=== ∑∑−

=

−−−

=

ωω .

4.3.2k. Tính ñối ngẫu của DFT

DFT có tính ñối ngẫu, nghĩa là các tính chất và các dãy trong miền thời gian rời rạc n và miền tần số rời rạc k của DFT là hoán vị cho nhau.

Có thể thấy rất rõ ñiều ñó ở các tính chất dịch vòng thời gian và dịch vòng tần số, tích chập trong miền thời gian là tích thường trong miền tần số và ngược lại.

Biểu thức )(])([ kNN rectnDFT =δ và biểu thức NNN kNDFT nrect )(.)( ][ δ= cũng là thể hiện

tính ñối ngẫu của DFT ñối với các dãy trong miền thời gian và miền tần số.

4.4. Tính trực tiếp DFT và IDFT DFT ñược sử dụng rất nhiều trong thực tế, ñặc biệt là ñể phân tích phổ tín

hiệu khi xử lý tiếng nói, xử lý ảnh, và tổng hợp mạch lọc số.

4.4.1. Số lượng phép toán khi tính trực tiếp DFT và IDFT 4.4.1a. Số lượng phép toán của DFT

Nếu x(n)N là dãy số thực, có thể tính trực tiếp DFT theo (4.13):

NN

N

NN kXkXkX IRn

njk jenx )()()()(1

0

1 +== ∑−

=

− ω .

Hay [ ] )()( .)()()()( kjkj eeAnxDFT NNNN kXkkX ϕθ === . (4.56)

Trong ñó N

πω 21 = . (4.57)

Nên ∑−

=

−

=

1

0

.sin)(.cos)()(.. 22N

NNN

n

kN

kN

kXn

njxn

nxππ . (4.58)

Dãy phần thực ∑−

=

=

1

0

.cos.)()(.2N

NN

nR k

NkX

nnx

π . (4.59)

Dãy phần ảo ∑−

=

−=

1

0

.sin.)()(.2N

NN

nI k

NkX

nnx

π . (4.60)

Dãy mô ñun NNN kXkXkX IR )()()( 22 += . (4.61)

Dãy Argumen

=

N

N

kX

kXk

R

Iarctg)(

)()(ϕ . (4.62)

127

Như vậy, ñể tìm X(k)N , cần phải tính các dãy phần thực và phần ảo, ñể từ ñó

tính ñược mô ñun và argumen của X(k)N, hoặc ñộ lớn A(k)N và pha θ(k). Tại mỗi

mẫu của X(k)N cần phải tính N lần cos(kω1n) và sin(kω1n), 2N phép nhân số thực,

2(N - 1) phép cộng số thực, 2 phép bình phương, 1 phép khai căn, 1 phép chia, và 1 phép tính artg. ðể nhận ñược N mẫu của X(k)N phải thực hiện gấp N lần số phép toán trên. Tức là, ñể tính trực tiếp DFT ñộ dài N cần:

- 2N2 phép tính hàm số lượng giác. - 2 N2 phép nhân số thực.

- 2 N(N - 1) phép cộng số thực. - Ngoài ra còn, 2N phép bình phương, N phép khai căn, N phép chia, và N

phép tính artg.

Trong trường hợp x(n)N là dãy phức: NNN njxnxnx )()()( 21 += , thì số lượng các

phép toán trên phải tăng gấp ñôi. Như vậy, số lượng các phép toán ñể tính DFT là

rất lớn, nên khi N lớn thì tính DFT bằng máy tính cũng tốn rất nhiều thời gian. 4.4.1b. Số lượng các phép toán khi tính trực tiếp IDFT

Tính trực tiếp IDFT thực hiện theo biểu thức (4.14):

[ ] ∑−

=

==1

0

1)()()(1 N

NNN

n

njkeIDFTnx kXN

kX ω .

Hay ∑−

=

+

=

1

0

.sin)(.cos)()(.. 221 N

NNN

n

kN

kXkN

kXN

nj

nnx

ππ . (4.63)

So sánh các biểu thức (4.58) và (4.63) thấy rằng, biểu thức tính DFT và IDFT chỉ khác nhau dấu của phần ảo và hệ số chia N. Do ñó, số lượng các phép

tính và thuật toán ñể tính DFT và IDFT về cơ bản là giống nhau. Sau ñây sẽ xét một số trường hợp thực tế thường gặp.

4.4.2. Tính DFT và IDFT của dãy x(n)N thực, ñối xứng, N lẻ 4.4.2a. Tính DFT

Dãy x(n)N thực, ñối xứng có:

NN nxnx N )()( 1 =−− .

Do N lẻ, nên trục ñối xứng

ở mẫu n = (N - 1)/2. Ví dụ, dãy ñối xứng x(n)5 trên Hình 4.11 có

N = 5, nên trục ñối xứng ở mẫu n = 2.

Theo biểu thức DFT (4.13) có:

Hình 4.11: Dãy x(n)5 ñối xứng.

∑−

=

−==1

0

1)(])([)(N

NNN

n

njkenxnxDFTkX ω .

Vì N lẻ nên khai triển biểu thức trên thành tổng của ba thành phần:

128

( )

+

+

= ∑∑

−

+−

=

−−−

−

=

−−− 1

12

1

12

1

0

12

111 )()()(

2

1 N

NN

N

N

NN

n

njkjk

n

njk enxexenxNN

kX ωωω .

ðổi biến thành phần thứ ba, ñặt m = (N - 1 - n) => n = (N - 1 - m),

khi

+=

−1

2

1Nn thì

−

−= 1

2

1Nm , khi )( 1−= Nn thì 0=m

∑∑−

−=

−−−−

+−

=

− −−=0

12

1

)1(1

12

1

11 )()( 1N

NN

N

NN

m

mjk

n

njk emxenx N ωω .

ðổi lại biến m về n và ñảo cận của tổng trên, nhận ñược X(k)N có dạng:

( )

+

=

−−−

−

=

− −∑ 2

111

2

11

2

1

0

)()(N

jk

n

njk exenxN

N

NN

NkX

ωω

−+ ∑

−−

=

−−−−1

21

0

)1(1)( 1

N

NN

n

njkenx N ω .

Vì dãy x(n)N ñối xứng có )()( 1 nxnx N −= − nên nhận ñược

( ) [ ]∑−−

=

−−−−− ++

=

−−1

21

0

)1(112

11 )()(

2

1N

NN

N

N

n

njknjkjkeenxex

NNkX ωωω . (4.64)

Trong ñó [ ]

+=+

−

−−

−

−

−

−−−−−

njknjkjknjknjk

NNN

N eeeee 2

1

2

1

2

1

)1( 11111

ωωωωω ,

hay [ ]

−

−=+

−

−−−−− neee

Nk

N

Njk

njknjk

2

1.2 1

2

1

)1( cos1

11 ωω

ωω .

Do ñó (4.64) ñược ñưa về dạng

( )

−

−−−

=

− ∑

−

−+

=

−− 2

1121

01

12

11 .cos)()(

2

1.2

2

1NN

N

N

N

jk

n

jkennxex

Nk

NkX

N ωω ω .

ðổi biến, ñặt

−=

−nm

N

2

1 =>

−=

−mn

N

2

1 , khi 0=n thì

−

=2

1Nm , khi

= −

−1

2

1Nn thì 1=m , ñồng thời thay

N

πω 21 =

−

−

−=

−

−+

= ∑− 2

121

21

.cos)(2

2

1.2

2

1N

N

N NN

N

jk

m

emmxxN

kNNkX

ππ .

ðổi biến m trở về n và ñảo cận của dấu tổng, nhận ñược:

kj

n

N

NN

NN

N en

nxx kN

NNkX

.)1(2

1

1

..cos)(.2

2

1.2

2

1ππ −

−−

=

−

−+

= ∑− . (4.65)

Dãy ñộ lớn ∑−

=

−

−+

=

− 21

1

.cos)(.2

2

1.2

2

1N

NN

N

n

kN

NNk

nnxxA

π (4.66)

Dãy pha kN

Nk .

)()(

1 πθ −−= . (4.67)

129

Theo (4.67), X(k)N có pha θ(k) tuyến tính. Theo (4.66), số phép toán ñể tính

A(k)N tại mỗi ñiểm giảm gần một nửa. Hơn nữa, A(k)N là dãy ñối xứng trong khoảng

1 ≤ k ≤ (N - 1), nên ñể nhận ñược A(k)N, chỉ cần tính A(0)N và A(1)N ñến A[(N-

1)/2]N rồi lấy ñối xứng. Vậy khi x(n)N là dãy thực ñối xứng, N lẻ thì số phép toán tính DFT giảm còn khoảng 1/4. Ví dụ 4.13. Tính DFT của dãy x(n)5 thực, ñối xứng, với N lẻ ở Hình 4.11 .

Giải: ðể tiện tính toán, theo giá trị của x(n)5 ở Hình 4.11, lập Bảng 4.3: Bảng 4.3: Các giá trị của dãy x(n)5 ñối xứng.

n 0 1 2 3 4

x(n)5 0,25 0,50 1,00 0,50 0,25

Với N = 5 thì 22

15

2

1 )()(=

−=

−N , theo (4.67) có kk5

4)(

πθ −= .

Theo (4.66) có ( )∑=

−+=

2

1555 .cos)()(

5

22.22

.

n

kkn

nxxAπ .

Vậy

+

+= kkk xxxA

5

40.2

5

21.22 cos)(cos)()()( 5555

ππ .

Theo Bảng 4.3 có

+

+= kkkA

5

45,0

5

21 coscos)( 5

ππ .

Vậy 5,25,01105

45,00

5

210 coscos)( 5 =++=

+

+=

ππA

9,08,0.5,03,015

45,0

5

211 )(coscos)( 5 =−++=

+

+=

ππA

35,03,0.5,08,0125

45,02

5

212 )(coscos)( 5 =+−+=

+

+=

ππA

35,03,0.5,08,0135

45,03

5

213 )(coscos)( 5 =+−+=

+

+=

ππA

9,08,0.5,03,0145

45,04

5

214 )(coscos)( 5 =−++=

+

+=

ππA .

Do tính ñối xứng của A(k)5 trong khoảng 1 ≤ k ≤ (N - 1), nên có thể suy ra

ngay: 35,023 55 )()( == AA ; 9,014 55 )()( == AA .

Theo các giá trị ñã tính ñược của A(k)5, lập Bảng 4.4 .

Bảng 4.4: Các giá trị A(k)5 và θ(k) của ví dụ 4.13 k 0 1 2 3 4

A(k)5 2,5 0,9 0,35 0,35 0,9

θ(k) 0,0 -2,5 -5,0 -7,5 -10

Theo Bảng 4.4, xây dựng ñược ñồ thị của A(k)5 và θ(k) trên Hình 4.12 .

130

A(k)5 θ(k)

Hình 4.12: ðồ thị DFT của dãy x(n)5 thực, ñối xứng, N lẻ

4.4.2b. Tính IDFT khi x(n)N là dãy thực, ñối xứng, N lẻ

Mục 4.4.2a ở trên cho thấy, khi X(k)N có N lẻ, θ(k) tuyến tính theo (4.67) và

A(k)N ñối xứng trong khoảng 1 ≤ k ≤ (N - 1), thì x(n)N là dãy thực ñối xứng. Theo

biểu thức IDFT (4.14) có:

∑∑−

=

−

=

==1

0

)(1

0

11 .)(1

)(1

)(N

N

N

NN

k

njkkj

k

njk eeAenx kN

kXN

ωθω .

Theo (4.67) có )21(

2..

)1(.)(

.1

nkj

kjnkjkj

njkkj NN

N

NN

N

eeeeee+−

−

−==

ππππωθ .

Vậy ∑−

=

+−=1

0

)12(.)(

1)(

N

NNN

k

nkj

jk eeAnx kN

ππ .

Khai triển biểu thức trên thành tổng của ba thành phần:

++= ∑−

=

+−2

1

1

)12(.)(

)()(

10N

NN

NN

k

nkj

jk eeAA

nx kNN

ππ

∑−

+−

=

+−+1

12

1

)12(.)(

1 N

N

NN

k

nkj

jk eeA kN

ππ . (4.68)

ðổi biến thành phần thứ ba, ñặt m = (N - k) ⇒ k = (N - m). Khi

12

1+

−=

Nk thì

2

1−=

Nm , còn khi k = (N - 1) thì m = 1, do ñó có:

∑∑−

=

+−

−−−

+−

=

+− −=1

2

1

)12()

)1

12

1

)12((

(.)(1

.)(1

N

N

N

NN

N

N

NN

m

nm

jmj

k

nkj

jk eemAeeA NN

kN

ππ

ππ .

Trong ñó, vì N lẻ và (2n + 1) lẻ nên

)12()12()12()12()

) )()( 11.(

(+−+−+−+

−−− −−==

nmj

jmn

mjnj

jmjn

mj

mj NNN

N

NN

N

N eeeeeeeeπ

πππ

πππ

π .

ðổi biến m trở về k và ñổi cận của dấu tổng, nhận ñược

∑∑−

=

+−−

+−

=

+− −=2

1

1

)12(1

12

1

)12(.)(

1.)(

1N

NN

N

N

NN

k

nkj

jk

k

nkj

jk eeAeeA kNN

kN

ππ

ππ .

Do ñó biểu thức (4.4-13) của x(n)N có dạng

∑∑−

=

+−

−

=

+− −++=2

1

1

)12(2

1

1

)12(.)(

1.)(

1)()(

0N

NN

N

NN

NN

k

nkj

jk

k

nkj

jk eeAeeAA

nx kNN

kNN

ππ

ππ .

41 30 2-1

k

0,9

2,5

0,9

0,35

5-10

-5,0

k

-7,5

-2,5

3 521 40

131

∑∑−

=

+−

−

=

+−−+−+=

2

1

1

)12(2

1

1

)12().()(

1).()(

1)()( 11

0N

NN

N

NN

NN

k

nkj

k

k

nkj

k eAeAA

nx kNN

kNN

ππ

. Vì A(k)N ñối

xứng trong khoảng 1 ≤ k ≤ (N - 1) , nên A(k)N = A(N- k)N:

∑−

=

+−+

+−+=

2

1

1

)12()12(.)()(

)()( 1

10N

NNN

NN

k

nkjn

kj

k eeAA

nx kNN

ππ

.

Vậy: ∑−

=

+−+=

2

1

1

)(cos.)()()(

)( 12120

N

NN

N

k

k nAA

nxN

kk

NN

π . (4.69)

Theo (4.69), số phép toán ñể tính x(n)N tại mỗi ñiểm giảm gần một nửa, hơn nữa x(n)N là dãy ñối xứng, nên ñể nhận ñược x(n)N , chỉ cần tính x(0)N ñến x[(N -

1)/2]N rồi lấy ñối xứng. Vậy khi X(k)N có N lẻ, pha θ(k) tuyến tính và A(k)N ñối

xứng trong khoảng 1 ≤ k ≤ (N - 1), thì số phép toán của IDFT giảm còn khoảng ¼.

Ví dụ 4.14. Tính IDFT của dãy X(k)5 có pha θ(k) tuyến tính theo (4.67) và A(k)5 ñối

xứng cho ở Bảng 4.5 (xem Hình 4.12).

Bảng 4.5: Các giá trị A(k)5 và θ(k) của ví dụ 14 k 0 1 2 3 4

A(k)5 2,5 0,9 0,35 0,35 0,9

θ(k) 0,0 -2,5 -5,0 -7,5 -10

Giải: Theo (4.69) và số liệu ở Bảng 4.5 tính ñược

∑=

+−+=

2

15

55 )(cos.)()(

)()( 12

51

5

2

5

0

k

k nAA

nxk

kπ

++

+−= )(cos.)()(cos.)()( 12

5

224,012

514,05,0 555 nAnAnx

ππ

25,031,0.14,081,0.36,05,05

235,0.4,0

59,0.4,05,00 cos.cos.)( 5 =+−=

+

−=

ππx

5,081,0.14,031,0.36,05,05

614,0

5

336,05,01 )()(coscos)( 5 =−+−−=

+

= −

ππx

11.14,01.36,05,05

1014,0

5

536,05,02 )(coscos)( 5 =+−−=

+

= −

ππx

5,081,0.14,031,0.36,05,05

1414,0

5

736,05,03 )()(coscos)( 5 =−+−−=

+

= −

ππx

25,031,0.14,081,0.36,05,05

1814,0

5

936,05,04 coscos)( 5 =+−=

+

= −

ππx .

Theo các số liệu trên, lập ñược Bảng 4.6:

Bảng 4.6: Các giá trị x(n)5 của ví dụ 4.14

n 0 1 2 3 4

x(n)5 0,25 0,50 1,00 0,50 0,25

132

Ví dụ 14 là bài toán ngược của ví dụ 13, so sánh các Bảng 4.6 và 4.3, kết quả

hai ví dụ là ñồng nhất. ðồ thị của x(n)5 trên Hình 4.11.

4.4.3. Tính DFT và IDFT của dãy x(n)N thực, ñối xứng, N chẵn 4.4.3a. Tính DFT

Vì N chẵn, nên trục ñối xứng

ở giữa hai mẫu [(N/2) - 1] và (N/2). Ví dụ, dãy ñối xứng x(n)6

trên Hình 4.13 có N = 6 , nên trục ñối ở giữa hai mẫu n = 2 và n = 3 .

Theo biểu thức DFT (4.13) có:

x(n)6


∑−

=

−==1

0

1)(])([)(N

NNN

n

njkenxnxDFTkX ω .

Vì N chẵn nên khai triển biểu thức trên thành tổng của hai thành phần

∑∑−

=

−−

=

− +=1

2

12

0

11 )()()(N

NN

N

NN

n

njk

n

njk enxenxkX ωω .

ðổi biến tổng thứ hai và biến ñổi tương tự ở mục 4.4.2a, nhận ñược

∑=

−−

−

−=

2

1

.)1(

..)(

cos)(12

2.2

.N

N

N

N

N

n

kje

nnx k

N

NkX

ππ . (4.70)

Dãy ñộ lớn ∑=

−

−=

2

1

.)(

cos)(12

2.2

.N

N

N

n

kN

Nk

nnxA

π . (4.71)

Dãy pha kN

Nk .

)()(

1 πθ −−= . (4.72)


mỗi ñiểm của A(k)N giảm còn một nửa. Hơn nữa, vì A(k)N phản ñối xứng trong

khoảng 1 ≤ k ≤ (N - 1), nên ñể nhận ñược A(k)N, chỉ cần tính A(0)N ñến A(N/2)N rồi

lấy phản ñối xứng. Vậy khi x(n)N là dãy thực ñối xứng, N chẵn thì số phép toán của

DFT giảm còn khoảng 1/4. Ví dụ 4.15. Tính DFT của dãy x(n)6 thực, ñối xứng, N chẵn, ở Hình 4.13.

Giải: ðể tiện tính toán, theo giá trị của x(n)6 ở Hình 4.13, lập Bảng 4.7: Bảng 4.7: Các giá trị của dãy x(n)6 ñối xứng.

n 0 1 2 3 4 5

x(n)6 0,25 0,50 1,0 1,0 0,50 0,25

Với N = 6 thì 32

6

2==

N , theo (4.4-17) có kk6

5)(

πθ −= .

Theo (4.71) có ( )∑=

−

−=3

166 .

)(cos)(

6

123.2

.

n

kkn

nxAπ .

51 30 2-1 4

n

1 1

0,50,250,25

0,5

133

Vậy

+

+

= kkkk xxxA

6

50.2

6

31.2

62.2 cos)(cos)(cos)()( 6666

πππ .

Theo Bảng 4.7 có

+

+

= kkkkA

6

55,0

6

3

62 coscoscos)( 6

πππ .

Tính A(k)6 và θ(k) theo các biểu thức trên, lập ñược Bảng 4.8

Bảng 4.8: Các giá trị A(k)6 và θ(k) của ví dụ 15 k 0 1 2 3 4 5

A(k)6 3,5 1,3 0,25 0,0 -0,25 -1,3

θ(k) 0,0 -2,6 -5,2 -7,9 -10,5 -13,1

Theo Bảng 4.8, xây dựng ñược ñồ thị của A(k)6 và θ(k) trên Hình 4.14.

Hình 4.14: ðồ thị DFT của dãy x(n)6 thực, ñối xứng, N chẵn

4.4.3b. Tính IDFT khi x(n)N là dãy thực, ñối xứng, N chẵn

Mục 4.4.3a ở trên cho thấy, khi X(k)N có N chẵn, θ(k) tuyến tính theo (4.71) và

A(k)N phản ñối xứng trong khoảng 1 ≤ k ≤ (N - 1), thì x(n)N là dãy thực ñối xứng.

Thực hiện tương tự như ở mục 4.4.2b, nhận ñược

∑−

=

+−+=

12

1

)(cos.)()()(

)( 12120

N

NN

N

k

k nAA

nxN

kk

NN

π . (4.73)

Theo (4.73), số phép toán ñể tính x(n)N tại mỗi ñiểm giảm gần một nửa, hơn nữa x(n)N là dãy ñối xứng, nên ñể nhận ñược x(n)N, chỉ cần tính x(0)N ñến x(N/2)N

rồi lấy ñối xứng. Do ñó trong trường hợp này, số phép toán của IDFT giảm còn khoảng 1/4.

Ví dụ 4.16. Tính IDFT của dãy X(k)6 có pha θ(k) tuyến tính theo (4.72) và A(k)6

ñối xứng cho ở Bảng 4.9.

Bảng 4.9: Các giá trị A(k)6 và θ(k) của ví dụ 16

k 0 1 2 3 4 5

A(k)6 3,5 1,3 0,25 0,0 -0,25 -1,3

θ(k) 0,0 -2,6 -5,2 -7,9 -10,5 -13,1

30 4

-7,9

2

-5,2

5

-2,6

1 k

-10,5-13,1

θ(k)

10 2-1

k

1,3

3,5

0,25

3

-0,25

-1,3

A(k)6

134

Giải : Theo (4.73) và số liệu ở Bảng 4.9 tính ñược:

∑=

+−+=

2

16

66 )(cos.)()(

)()( 12

61

6

2

6

0

k

k nAA

nxk

kπ

++

+−= )(cos..)(cos..)( 12

6

225,0

6

212

63,1

6

2

6

5,36 nnnx

ππ

++

+−= )(cos.)(cos.)( 12

6

208,012

643,058,06 nnnx

ππ .

Theo biểu thức trên, tính x(n)6 và lập ñược Bảng 4.10: Bảng 4.10: Các giá trị x(n)6 của ví dụ 16

n 0 1 2 3 4 5

x(n)6 0,25 0,50 1,0 1,0 0,50 0,25

Ví dụ 16 là bài toán ngược của Ví dụ 15, so sánh các Bảng 4.10 và 4.7, kết quả

hai ví dụ là ñồng nhất. ðồ thị của x(n)6 trên Hình 4.13 .

4.4.4. Tính DFT và IDFT của dãy x(n)N thực, phản ñối xứng, N lẻ 4.4.4a. Tính DFT

Dãy x(n)N thực, phản ñối xứng có:

)()( 1 nxnx N −−= − .

Vì N lẻ, nên tâm phản ñối xứng ở mẫu n=(N - 1)/2, và tại ñiểm ñó x(n)N= 0.

Ví dụ, dãy phản ñối xứng x(n)5 ở Hình 4.15 có ñộ dài N = 5, nên tâm phản

ñối xứng là mẫu n = 2.

x(n)5

Hình 4.15: x(n)5 phản ñối xứng.

Theo biểu thức DFT (4.13) có: ∑−

=

−==1

0

1)(])([)(N

NNN

n

njkenxnxDFTkX ω .


( )

+

+

= ∑∑

−

+−

=

−−−

−

=

−−− 1

12

1

12

1

0

12

111 )()()(

2

1 N

NN

N

N

NN

n

njkjk

n

njk enxexenxNN

kX ωωω .

Do x(n)N = 0 tại tâm phản ñối xứng ở mẫu (N- 1)/2, nên có

∑∑−

+−

=

−−

−

=

− +=1

12

1

12

1

0

11 )()()(N

NN

N

NN

n

njk

n

njk enxenxkX ωω .

ðổi biến tổng thứ hai, và biến ñổi tương tự ở mục 4.4.2a, nhận ñược

∑∑−

−

=

−−−−

−

=

− −+= −1

2

1

0

)1(

12

1

0

11 )()()( 1

N

NN

N

NN

n

njk

n

njk enxenx NkX ωω .

Do x(n)N phản ñối xứng có )()( 1 nxnx N −−= − , nên từ biểu thức trên có

0,5

1

0

n

-0,5

1 2

-1

5

135

[ ]∑−−

=

−−−− −=1

21

0

)1(11)()(

N

NNN

n

njknjk eenxkX ωω .

Biến ñổi tiếp nhận ñược

−

−−

=∑

−

−=

kj

n

N

NN

N

N en

nx kN

NkX

πππ

)1(

221

1

.sin)(.2

2

1.2 . (4.74)

Dãy ñộ lớn ∑−

=

−

−=

21

1

.2

2

1.2 sin)(

N

N

N

n

kN

Nk

nnxA

π . (4.75)

Dãy pha kN

Nk .

)()(

1

2

ππθ −−= . (4.76)


A(k)N tại mỗi ñiểm giảm gần một nửa, hơn nữa A(0)N = 0 và A(k)N phản ñối xứng

trong khoảng 1 ≤ k ≤ (N - 1), nên ñể nhận ñược A(k)N , chỉ cần tính A(1)N ñến A[(N -

1)/2]N rồi lấy phản ñối xứng. Vậy khi x(n)N là dãy thực phản ñối xứng, N lẻ thì số

phép toán của DFT còn khoảng ¼. Ví dụ 4.17. Tính DFT của dãy x(n)5 thực, phản ñối xứng, N lẻ ở Hình 4.15.

Giải: ðể tiện tính toán, theo giá trị của x(n)5 ở Hình 4.15, lập Bảng 4.11: Bảng 4.1: Giá trị của dãy phản x(n)5 ñối xứng.

n 0 1 2 3 4

x(n)5 0,25 0,50 0,00 -0,50 -0,25

Với N = 5 thì 22

15

2

1 )()(=

−=

−N , theo (4.76) có kk5

4

2)(

ππθ −= .

Theo (4.75) có ( )∑=

−=

2

155

5

22.2

.sin)(

n

kkn

nxAπ .

Vậy:

+

= kkk xxA

5

40.2

5

21.2 sin)(sin)()( 555

ππ .

Theo Bảng 4.11 có

+

= kkkA

5

45,0

5

2sinsin)( 5

ππ .

Tính A(k)5 và θ(k) theo các biểu thức trên, lập ñược Bảng 4.12 .

Bảng 4.12: Các giá trị A(k)5 và θ(k) của Ví dụ 4.17

k 0 1 2 3 4

A(k)5 0,0 1,25 0,11 -0,11 -1,25

θ(k) 1,57 -0,94 -3,45 -5,97 -8,48


136

Hình 4.16: ðồ thị DFT của dãy x(n)5 thực, phản ñối xứng, N lẻ

4.4.4b. Tính IDFT khi x(n)N là dãy thực, phản ñối xứng, N lẻ

Mục 4.4.4a ở trên cho thấy, khi X(k)N có N lẻ, θ(k) tuyến tính theo (4.75),

A(0)N = 0 và A(k)N phản ñối xứng khi 1 ≤ k ≤ (N - 1), thì x(n)N là dãy thực phản ñối

xứng. Từ biểu thức IDFT (4.14) có

∑∑−

=

−

=

==1

0

)(1

0

11 .)(1

)(1

)(N

N

N

NN

k

njkkj

k

njk eeAenx kN

kXN

ωθω .

Theo (4.75) có )21(

2

2.

)1(

2.)(

.

1n

kj

kjnkjkj

njkkj NN

N

NN

N

eeeeee+

−

−

−==

ππππππωθ .

Vậy ..)(1

)(1

0

)12(2∑

−

=

+

−

=N

NNN

k

nkjkj

eenx kN

Aπππ

Vì A(0)N = 0, nên khai triển biểu thức trên thành hai tổng

∑∑−

+−

=

+

−

−

=

+

−

+=1

12

1

)12(2

2

1

1

)12(2 .)(.)()(

11 N

N

NN

N

NNN

k

nkjkj

k

nkjkj

eeAeeAnx kN

kN

ππππππ

.

ðổi biến tổng thứ hai, và biến ñổi tương tự ở mục 4.4.2b, nhận ñược

∑∑−

=

+−

−

=

+−−+−=

2

1

1

)12(2

1

1

)12()(.)(

1)(.)(

1)( 11

N

NN

N

NNN

k

nkj

k

k

nkj

k ejAejAnx kNN

kN

ππ

.

Vì A(k)N phản ñối xứng khi 1 ≤ k ≤ (N - 1) , nên A(k)N = - A(N- k)N:

∑−

=

+−+

−−=

2

1

1

)12()12()(.)()( 1

1

N

NNNN

k

nkjn

kj

k eejAnx kN

ππ

.

Vậy ∑−

=

+

+−=

2

1

1

)1( )(sin.)()()( 1212

N

NN

k

k nAnxN

kk

N

π . (4.77)

Theo (4.77), số phép toán ñể tính x(n)N tại mỗi ñiểm giảm còn một nửa, hơn nữa x(n)N là dãy phản ñối xứng, nên ñể nhận ñược x(n)N, chỉ cần tính x(0)N ñến x[(N

1 21,57

3 4 5

-0,94

-3,45

-5,97

-8,48

0

k

θ(k)

0

k

1 2 5

0,11

1,25

-0,11

-1,25

A(k)5

137

- 1)/2]N rồi lấy ñối xứng. Vậy khi X(k)N có N lẻ, θ(k) tuyến tính, A(0)N = 0 và A(k)N

ñối xứng trong khoảng 1 ≤ k ≤ (N - 1), thì số phép toán của IDFT giảm còn khoảng

1/4.

Ví dụ 4.18. Tính IDFT của dãy X(k)5 có θ(k) và A(k)5 cho ở Bảng 4.13 .

Bảng 4.13: Các giá trị của A(k)5 và θ(k)

k 0 1 2 3 4

A(k)5 0,0 1,25 0,12 -0,12 -1,25

θ(k) 1,57 -0,94 -3,45 -5,97 -8,48

Giải: Theo (4.77) và số liệu ở Bảng 4.13 tính ñược

∑=

+

+−=

2

15

)1(5 )(sin.)()()( 12

51

5

2

k

k nAnxk

kπ

.)(sin.)(sin.)( 125

205,012

55,05

+−

+= nnnx

ππ

Tính x(n)5 theo biểu thức trên, lập ñược Bảng 4.14

Bảng 4.14: Các giá trị của x(n)5

n 0 1 2 3 4

x(n)5 0,25 0,50 1,00 0,50 0,25

Ví dụ 18 là bài toán ngược của ví dụ 17, so sánh các Bảng 4.14 và 4.11, kết

quả hai ví dụ là ñồng nhất. ðồ thị của x(n)5 trên Hình 4.15.

4.4.5. Tính DFT và IDFT của dãy x(n)N thực, phản ñối xứng, N chẵn 4.4.5a. Tính DFT

Vì N chẵn, nên tâm phản ñối xứng ở giữa mẫu [(N/2) - 1] và mẫu (N/2).

Ví dụ, dãy phản ñối xứng x(n)6 trên Hình 4.17 có ñộ dài N = 6, nên tâm phản

ñối xứng ở giữa hai mẫu n = 2 và n = 3 . Theo biểu thức DFT (4.13) có:

∑−

=

−=1

0

1)()(N

NN

n

njkenxkX ω


Vì N chẵn nên khai triển biểu thức trên thành tổng của hai thành phần:

∑∑−

=

−−

=

− +=1

2

12

0

11 )()()(N

NN

N

NN

n

njk

n

njk enxenxkX ωω .

Biến ñổi tương tự như ở mục 4.4.2a, nhận ñược

n

60 2

-0,5

1

0,5

1

-1

0,25

-0,25

x(n)6

138

∑=

−

−

−

−=

2

1

)1(

2..)(

sin)(12

2.2

.N

N

N

N

N

n

kj

en

nx kN

NkX

πππ . (4.78)

Dãy ñộ lớn ∑=

−

−=

2

1

.)(

sin)(12

2.2

.N

N

N

n

kN

Nk

nnxA

π . (4.79)

Dãy pha kN

Nk .

)()(

1

2

ππθ −−= . (4.80)


mỗi ñiểm của A(k)N giảm còn một nửa, hơn nữa vì A(k)N ñối xứng trong khoảng 1 ≤

k ≤ (N - 1), nên ñể nhận ñược A(k)N, chỉ cần tính A(0)N ñến A(N/2)N rồi lấy ñối

xứng. Vậy khi x(n)N là dãy thực, phản ñối xứng, N chẵn thì số phép toán của DFT

giảm còn khoảng 1/4. Ví dụ 4.19. Tính DFT của dãy x(n)6 thực, ñối xứng, ở Hình 4.17.

Giải: ðể tiện tính toán, theo giá trị của x(n)6 ở Hình 4.17, lập Bảng 4.15: Bảng 4.15: Các giá trị của x(n)6 phản ñối xứng

n 0 1 2 3 4 5

x(n)6 0,25 0,50 1,00 -1,00 -0,50 -0,25

Với N = 6 thì 32

6

2==

N , theo (4.4-25) có kk6

5

2)(

ππθ −= .

Theo (4.79) có: ( )∑=

−

−=3

166 .

)(sin)(

6

123.2

.

n

kkn

nxAπ .

Vậy

+

+

= kkkk xxxA

6

50.2

6

31.2

62.2 sin)(sin)(sin)()( 6666

πππ .

Theo Bảng 4.9 có

+

+

= kkkkA

6

55,0

6

3

62 sinsinsin)( 6

πππ .

Theo các biểu thức trên, tính ñược giá trị của A(k)6 và θ(k) ở Bảng 4.16

Bảng 4.16: Các giá trị A(k)6 và θ(k) của ví dụ 4.19

k 0 1 2 3 4 5

A(k)6 0,00 2,25 1,30 1,50 1,30 2,25

θ(k) 1,57 -1,05 -3,66 -6,28 -8,90 -11,5


139

A(k)6

Hình 4.18: ðồ thị DFT của dãy x(n)6 phản ñối xứng, N chẵn

4.4.5b. Tính IDFT khi x(n)N là dãy thực, phản ñối xứng, N chẵn

Mục 4.4.5a ở trên cho thấy, khi X(k)N có N chẵn, θ(k) tuyến tính theo (4.79),

A(0)N = 0 và A(k)N ñối xứng trong khoảng 1 ≤ k ≤ (N - 1), thì x(n)N là dãy thực phản

ñối xứng. Tương tự mục 4.4.4b, nhận ñược:

∑−

=

+

−

=1

0

)12(2 ..)(

1)(

NN

NN

k

nkjkj

eenx kN

Aπππ

Vì A(0)N = 0, nên khai triển biểu thức trên thành ba thành phần:

+

+

=+

−

−

=

+

−

∑)12(.

222

12

1

)12(2 ..)()(

2

11 njj

k

nkjkj

N

NN

N

N

NNN eeAeeAnx

N

Nk

N

ππππππ

+ ∑−

+=

+

−1

12

)12(2.)(

1 N

N

NN

k

nkjkj

eeA kN

πππ

.

Trong ñó, vì N chẵn nên hệ số pha của thành phần thứ hai bằng:

nnjjnjjjnjj

NN

N

NN

eeeeeee )().(. 1122

2222

)12(.222 −=

−==−−−+

− ππππππππ

.

ðổi biến thành phần thứ ba, biến ñổi tương tự mục 4.4.2b, nhận ñược

∑−

=

+−+

−

=1

2

1

)12()(.)(

1)()( 1

2

1

N

NN

N

N

k

nkj

kn

ejAAnx kN

N

N

π

∑−

=

+−−−−

12

1

)12()(.)(

11

N

NN

k

nkj

k ejA kNN

π

.

Vì A(k)N ñối xứng khi 1 ≤ k ≤ (N - 1) , nên A(k)N = A(N- k)N

∑−

=

+−+

−−+

−

=1

2

1

)12()12()(.)(

)()( 1

1

2

1

N

NNN

N

N

k

nkjn

kj

kn

eejAAnx kN

N

N

ππ

.

3-1 54

k

0 1 2

1,3

1,5

1,3

2,252,25

6

θ(k

1 21,57

3 4 6

-1,05

-3,66

-6,28

-8,90

0

k5

-11,5

140

Vậy ∑−

=

+−−

−

=1

2

1

)(sin.)()()(

)( 1212

2

1

N

N

N

N

k

kn

nAAnxN

kk

N

N

N

π . (4.81)

Theo (4.81), số phép toán ñể tính x(n)N tại mỗi ñiểm giảm còn một nửa, hơn

nữa x(n)N là dãy phản ñối xứng, nên ñể nhận ñược x(n)N, chỉ cần tính x(0)N ñến

x(N/2)N rồi lấy phản ñối xứng. Vậy khi X(k)N có N chẵn, pha θ(k) tuyến tính, A(0)N

= 0 và A(k)N ñối xứng khi 1 ≤ k ≤ (N - 1), thì số phép toán của IDFT giảm còn

khoảng 1/4.

Ví dụ 4.20. Tính IDFT của dãy X(k)6 có θ(k) và A(k)6 cho ở Bảng 4.17 .

Bảng 4.17: Các giá trị A(k)6 và θ(k) của ví dụ 20

k 0 1 2 3 4 5

A(k)6 0,00 2,25 1,30 1,50 1,30 2,25

θ(k) 1,57 -1,05 -3,66 -6,28 -8,90 -11,5

Giải: Theo (4.81) và số liệu ở Bảng 4.17 tính ñược:

( ) ∑=

+−−

−=

2

1666 )(sin.)()(

)()( 12

61

6

23

6

1

k

kn

nAAnxk

kπ

++

++

−= )(sin..)(sin..

)()( 12

6

23,1

6

212

625,2

6

25,1

6

16 nnnx

n ππ

+−

++−= )(sin)(sin)()( 12

343,012

675,01.25,06 nnnx n ππ .

Tính x(n)6 theo biểu thức trên, lập ñược Bảng 4.18:

Bảng 4.18: Các giá trị của x(n)6

n 0 1 2 3 4 5

x(n)6 0,25 0,50 1,00 -1,00 -0,50 -0,25

Ví dụ 4.20 là bài toán ngược của Ví dụ 4.19, so sánh các Bảng 4.18 và 4.15, kết quả hai ví dụ là ñồng nhất. ðồ thị của x(n)6 trên Hình 4.17 .

141

Chương 5 TỔNG HỢP BỘ LỌC SỐ CÓ ðÁP ỨNG XUNG CHIỀU DÀI HỮU HẠN

Giống như các bộ lọc tín hiệu tương tự, bộ lọc số là mạch thực hiện chức

năng chọn lọc tín hiệu theo tần số. Các mạch lọc số cho tín hiệu số có phổ nằm trong một dải tần số nhất ñịnh ñi qua và không cho các tín hiệu có phổ nằm ngoài

dải tần số ñó ñi qua. Dải tần số mà mạch lọc cho tín hiệu ñi qua ñược gọi là dải thông, còn dải tần

số mà mạch lọc không cho tín hiệu ñi qua ñược gọi là dải chặn. Tần số phân cách

giữa dải thông và dải chặn là tần số cắt và ñược ký hiệu là ωc. Theo dạng của ñặc

tính biên ñộ tần số H(ejω), người ta chia các bộ lọc số thành các loại:

- Bộ lọc thông thấp, có dải thông ),( 0 cωω ∈ .

- Bộ lọc thông cao, có dải thông ),( ∞∈ cωω .

- Bộ lọc dải thông, có dải thông ),( 21 cc ωωω ∈ .

- Bộ lọc dải chặn, có dải thông ),( 10 cωω ∈ và ),( 2 ∞∈ cωω . Theo dạng của ñặc tính xung h(n), người ta phân biệt các bộ lọc số:

- Bộ lọc số có ñặc tính xung hữu hạn (bộ lọc số FIR)

- Bộ lọc số có ñặc tính xung vô hạn (bộ lọc số IIR)

Chương này trình bày các phương pháp phân tích và tổng hợp các bộ lọc số có ñặc tính xung hữu hạn, pha tuyến tính (gọi vắn tắt là bộ lọc số FIR pha tuyến

tính).

5.1. Phân tích bộ lọc số FIR pha tuyến tính

5.1.1. ðặc tính xung h(n) của các bộ lọc số FIR pha tuyến tính Các bộ lọc số FIR có ñặc tính xung h(n) hữu hạn, nên hàm hệ thống là:

.)()(1

0∑

−

=

−=N

n

nznhzH

Vì ñặc tính xung h(n) hữu hạn, nên bộ lọc FIR luôn ổn ñịnh, có nghĩa là tất

cả các ñiểm cực của hàm hệ thống H(z) nằm trong ñường tròn ñơn vị |z| = 1. ðặc tính tần số của bộ lọc số FIR:

)(1

0

).().()( ωθωωω jj

n

njj eeAenheN

H −−

=

− ==∑ .

Trong chương này chỉ nghiên cứu các bộ lọc số FIR có pha tuyến tính:

αωωθ β −=)( . (5.1)

Trong ñó α và β là các hằng số, và α là thời gian truyền lan của tín hiệu qua

bộ lọc: ωωθ

αd

d )(−= . (5.2)

Theo (5.2) tất cả các thành phần tần số của tín hiệu ñi qua bộ lọc số FIR pha tuyến tính ñều bị giữ trễ như nhau, vì thế tín hiệu không bị méo dạng phổ.

142

Vì H(ejω) tuần hoàn với chu kỳ 2π nên chỉ cần nghiên cứu ñặc tính biên ñộ

tần số H(ejω) và pha θ(ω) khi (-π ≤ ω ≤ π) hoặc (0 ≤ ω ≤ 2π). Mặt khác, nếu bộ lọc số có ñặc tính xung h(n) là dãy thực thì theo tính chất

của biến ñổi Fourier có

)()( ωω jj ee HH −=

và

)()( ωθωθ −−= .

Như vậy, H(ejω) là hàm chẵn và ñối xứng, còn θ(ω) là hàm lẻ và phản ñối

xứng. Vì thế, khi ñặc tính xung h(n) là dãy thực thì chỉ cần nghiên cứu bộ lọc số

trong khoảng (0 ≤ ω ≤ π). Theo (5.1), có hai trường hợp bộ lọc FIR pha tuyến tính:

1. β = 0 ⇒ θ(ω) = - αω 2. β ≠ 0 ⇒ θ(ω) = β - αω.

5.1.1.1. Trường hợp β = 0 , θ(ω) = - αω

Khai triển công thức Euler, biểu diễn ñặc tính tần số dưới dạng

[ ]).sin().cos().().()( ωαωαωαωωω jeAeeAe jjjjH +== −

).sin().().cos().()( ωαωα ωωω jjj ejAeAeH += . (5.3)

Mặt khác có [ ]∑∑−

=

−

=

− +==1

0

1

0

).sin().cos().().()(NN

nn

njj njnnhenheH ωωωω .

∑∑−

=

−

=

+=1

0

1

0

).sin().().cos().()(NN

nn

j nnhjnnheH ωωω . (5.4)

Từ (5.3) và (5.4) có ∑−

=

=1

0

).cos().().cos().(N

n

j nnheA ωωαω

∑−

=

=1

0

).sin().().sin().(N

n

j nnheA ωωαω .

Suy ra

∑

∑−

=

−

==1

0

1

0

).cos().(

).sin().(

).(N

N

n

n

nnh

nnh

tg

ω

ωωα .

Vì sin0 = 0 và cos0 = 1 nên có thể viết lại biểu thức trên dưới dạng:

∑

∑−

=

−

=

+=

1

1

1

1

).cos().()(

).sin().(

).(

0N

N

n

n

nnhh

nnh

tg

ω

ωωα .

Từ ñây có 2 trường hợp, α = 0 là bộ lọc pha không, và α ≠ 0.

143

Trường hợp α = 0: 0

0

00

01

1

1

1

).cos().()(

).sin().().sin()(

).( =+

+=

∑

∑−

=

−

=N

N

n

n

nnhh

nnhh

tg

ω

ωωω .

Tức là h(n) ≠ 0 khi n = 0, và h(n) = 0 với mọi n ≠ 0. Bộ lọc như vậy không

có ý nghĩ thực tế và không thể thực hiện ñược, vì tín hiệu truyền qua bộ lọc luôn bị giữ trễ, cho dù thời gian giữ trễ là rất nhỏ.

Trường hợp α ≠ 0 01

0

1

0

).cos().(

).sin().(

).cos(

).sin().( ≠==

∑

∑−

=

−

=N

N

n

n

nnh

nnh

tg

ω

ω

ωαωαωα .

Hay ∑∑−

=

−

=

=1

0

1

0

).sin().().cos().cos().().sin(NN

nn

nnhnnh ωωαωωα .

Vậy 01

0

1

0

).sin().().cos().cos().().sin( =− ∑∑−

=

−

=

NN

nn

nnhnnh ωωαωωα .

Tiếp tục biến ñổi lượng giác sẽ nhận ñược phương trình

01

0

)(sin).( =−∑−

=

N

n

nnh αω . (5.5)

Phương trình dạng chuỗi Fourier trên có một nghiệm duy nhất tại

2

1−=

Nα (5.6)

và )()( 1 nhnh N −−= với ),( 10 −∈ Nn . (5.7)

Theo (5.7), ñặc tính xung h(n) của bộ lọc số FIR pha tuyến tính khi β = 0 là

dãy ñối xứng.

- Khi β = 0 và N lẻ, gọi là bộ lọc số FIR pha tuyến tính loại 1.

- Khi β = 0 và N chẵn, gọi là bộ lọc số FIR pha tuyến tính loại 2.

Ví dụ 5.1.Bộ lọc FIR pha tuyến tính có θ(ω) = -α.ω , với N = 5 và h(0) = -1 h(1) =

1, h(2) = 2. Tìm α và vẽ ñặc tính xung h(n) của bộ lọc.

Giải: Vì β = 0 và N lẻ nên ñây là bộ lọc số FIR

pha tuyến tính loại 1.

Theo (5.6) có 22

15

2

1=

−=

−=

Nα

Theo (5.7) có )()()( 415 nhnhnh −=−−=

Vậy: 104 )()( −== hh

113 )()( == hh

22)( =h

ðặc tính xung h(n) có trục ñối xứng tại n =

α = 2, ñồ thị h(n) ở Hình 5.1.

Hình 5.1: h(n) của bộ lọc

FIR pha tuyến tính loại 1.

h(n)

10 3

-1-1

n

5

1

2

2

1

144

Ví dụ 5.2. Bộ lọc FIR pha tuyến tính có θ(ω) = -α.ω , với N = 4 và h(0) = -1 h(1)

= 1. Tìm α và vẽ ñặc tính xung h(n) của bộ lọc.

Giải: Vì β = 0 và N chẵn nên ñây là bộ lọc FIR


Theo (5.-6) có

5,12

14

2

1=

−=

−=

Nα .

Theo (5.7) có

)()()( 314 nhnhnh −=−−= .

Vậy 103 )()( −== hh

112 )()( == hh .

ðặc tính xung h(n) có trục ñối xứng tại n =

α = 1,5, ñồ thị h(n) ở Hình 5.2.

Hình 5.2: h(n) của bộ lọc FIR pha tuyến tính loại 2.

Nhận xét: - Bộ lọc số FIR pha tuyến tính loại 1 và loại 2 có ñặc tính xung h(n) ñối xứng giống như các bộ lọc số lý tưởng.

- Tâm ñối xứng của h(n) tại ñiểm n = α. Nếu N lẻ thì α là số nguyên và

trục ñối xứng của h(n) trùng với mẫu tại n = (N - 1)/2. Còn nếu N chẵn thì α là số

thập phân và trục ñối xứng nằm giữa hai mẫu tại n = [(N/2) - 1] và n = (N/2).

5.1.1.2. Trường hợp β ≠ 0 , ϕ(ω) = β - αω Bằng cách biến ñổi tương tự như trường hợp trên, nhận ñược:

[ ] 01

0

)(sin)( =−+∑−

=

N

n

nh ωαπβ . (5.8)

Phương trình dạng chuỗi Fourier trên có một nghiệm duy nhất tại

2

1−=

Nα ;

2

πβ ±= . (5.9)

và )()( 1 nhnh N −−−= với ),( 10 −∈ Nn . (5.10)

Theo (5.10), ñặc tính xung h(n) của bộ lọc số FIR pha tuyến tính trong

trường hợp β ≠ 0 là dãy phản ñối xứng.

- Khi β ≠ 0 và N lẻ gọi là bộ lọc số FIR pha tuyến tính loại 3.

- Khi β ≠ 0 và N chẵn gọi là bộ lọc số FIR pha tuyến tính loại 4.

Ví dụ 5.3. Cho bộ lọc FIR pha tuyến tính có θ(ω) = β - αω, với N = 7 và h(0) = -1,

h(1) = -0,5, h(2) = 1,5. Tìm α và vẽ ñặc tính xung của bộ lọc.

1

0 1 2 4

n

h(n)

-1 -1

1

145

Giải: Vì β ≠ 0 và N lẻ nên ñây là bộ lọc FIR


Theo (5.9) có 32

17

2

1=

−=

−=

Nα .

Theo (5.10) có )6()()( 17 nhnhnh −−=−−−=

Vậy: 10)()6( =−= hh

5,01)()5( =−= hh

5,12)()4( −=−= hh

0)3( =h .

ðặc tính xung h(n) có tâm phản ñối xứng

tại n = α = 3 , ñồ thị h(n) trên Hình 5.3.

Hình 5.3: h(n) của bộ lọc

FIR pha tuyến tính loại 3.

Ví dụ 5.4. Cho bộ lọc FIR pha tuyến tính có θ(ω) = β -α.ω, với N = 4 và h(0) = -1,

h(1) = 1. Tìm α và vẽ ñặc tính xung h(n) của bộ lọc.

Giải: Vì β ≠ 0 và N chẵn nên ñây là bộ lọc FIR pha

tuyến tính loại 4.

Theo (5.9) có

5,12

14

2

1=

−=

−=

Nα .

Theo (5.10) có )()()( 314 nhnhnh −−=−−−=

Vậy 10)()3( =−= hh

11)()2( −=−= hh .

ðặc tính xung h(n) có tâm phản ñối xứng tại n = 1,5, ñồ thị h(n) ở Hình 5.4.

Hình 5.4: h(n) của bộ lọc FIR pha tuyến tính loại 4.

Nhận xét: - Bộ lọc số FIR pha tuyến tính loại 3 và loại 4 có ñặc tính xung h(n) phản

ñối xứng.

- Tâm phản ñối xứng của h(n) tại ñiểm n = α . Nếu N lẻ thì α là số

nguyên và tâm phản ñối xứng của h(n) trùng với mẫu tại n = (N - 1)/2 và tại ñó h(n)

= 0. Còn nếu N chẵn thì α là số thập phân và tâm phản ñối xứng nằm giữa hai mẫu

tại n = [(N/2) - 1] và n = (N/2).

Như vậy. có bốn loại bộ lọc số FIR pha tuyến tính θ(ω) = β -αω:

- Bộ lọc loại 1: β = 0 , N lẻ, ñặc tính xung h(n) ñối xứng.

- Bộ lọc loại 2: β = 0 , N chẵn, ñặc tính xung h(n) ñối xứng.

- Bộ lọc loại 3: β = ± π/2 , N lẻ, ñặc tính xung h(n) phản ñối xứng.

- Bộ lọc loại 4: β = ± π/2 , N chẵn, ñặc tính xung h(n) phản ñối xứng.

5.1.2. ðặc tính tần số của bộ lọc số FIR pha tuyến tính

Khi h(n) là dãy thực thì chỉ cần khảo sát ñặc tính tần số H(ejω) của bộ lọc số

FIR pha tuyến tính trong ñoạn ω ∈ [ 0 ÷ π ].

2 3

n

h(n)

-1,5

5

1,5

-0,5

6 7

0,5

-1

1

0

h(n)

2

n

0

-1 -1

1 1

4

146

5.1.2.1. ðặc tính tần số của bộ lọc FIR pha tuyến tính loại 1

Bộ lọc FIR pha tuyến tính loại 1 có θ(ω) = -αω và N lẻ, ñặc tính tần số là:

αωωωω jj

n

njj eeAenheN

H −−

=

− ==∑ ).()()(1

0

.


+

+

= ∑∑

−

+−=

−−

−−−

=

− − 1

121

2

112

1

0

)()()(2

1 N

N

NN

n

njj

n

njj enhehenheN

H ωωωω .

ðổi biến thành phần thứ 3, ñặt )( 1 nm N −−= => )( 1 mn N −−= ,

khi

+=

−1

2

1Nn thì

−

−= 1

2

1Nm , khi )( 1−= Nn thì 0=m :

.

ðảo chiều chỉ số và ñổi lại biến của thành phần thứ 3 theo n:

−+

+

= ∑∑

−−

=

−−−−

−−−

=

− −−

12

1

0

)1(2

112

1

0

)()()( 12

1N

N

NN

n

njj

n

njj enhehenhe NN

H ωωωω .

Vì bộ lọc FIR pha tuyến tính loại 1 có )()( 1 nhnh N −= − , nên

[ ]∑−−

=

−−−−−

−++

=

−1

21

0

)1(2

1

)()(2

1N

N

N

n

njnjj

j eenheheN

H ωωωω . (5.11)

Trong ñó [ ]

+=+

−

−−

−

−

−

−−−−−

njnjjnjnj

NNN

N eeeee 2

1

2

1

2

1

)1(ωωω

ωω .

Hay [ ]

−

−=+

−

−−−−− neee

NN

Nj

njnj

2

1.2 cos2

1

)1( ωω

ωω .

Do ñó (5.11) ñược ñưa về dạng:

−

−−−

=

−−

∑

−

−+

=

− 2

112

1

0

2

1

.cos)()(2

1.2

2

1NN

N j

n

jj ennhehe

NNH

ωωω ω .

Hay

−

−−−

=

−

−+

= ∑− 2

112

1

0 2

1.2

2

1cos)()(

NNj

n

j ennhheNN

Hω

ω ω .

ðổi biến, ñặt

−=

−nm

N

2

1 =>

−=

−mn

N

2

1 ,

khi 0=n thì

−

=2

1Nm , khi

= −

−1

2

1Nn thì 1=m , nhận ñược

( )

−

−

−=

−

−+

= ∑− 2

11

21

..cos)(2

1.2

2

1N

N

j

m

j emmhheNN

Hω

ω ω .

−+

+

= ∑∑

−−=

−−−−

−−−

=

− −− 0

121

)1(2

112

1

0

)()()( 12

1

N

N

NN

m

mjj

n

njj emhehenhe NN

H ωωωω

147

ðổi biến m trở về n, ñảo cận của tổng và thêm cos(ω.0) = 1 vào số hạng ñầu

( ) ( )

−

−−

=

−

−+

= ∑− 2

121

1

..cos.cos)(2

1.20

2

1NN

j

n

j ennhheNN

Hω

ω ωω ,

hay αωωω

ω ω jj

Nj

n

j eeAennae

N

H −

−

−

−

=

=

= ∑ ).(.).cos()()( 2

12

1

0

. (5.12)

Với các hệ số của chuỗi

−

=2

10)(

Nha và

−

−= nhna

N

2

1.2)( khi 1≥n . (5.13)

Từ (5.12), ñặc tính biên ñộ tần số của bộ lọc FIR pha tuyến tính loại 1:

∑−

=

=2

1

0

).cos()()(

N

n

j nnaeH ωω . (5.14)

Với các hệ số a(n) phụ thuộc vào ñặc tính xung h(n) theo (5.13).

ðặc tính pha: 2

1

2

1)(

−=⇒

−

−=−=NN αωαωωθ . (5.15)

Nhận xét: Vì cos(0) = 1 nên bộ lọc FIR pha tuyến tính loại 1 không thể dùng ñể

làm bộ lọc có H(ejω) = 0 tại ω = 0 , ñó là các bộ lọc thông cao và dải thông [trừ

khi bộ lọc có ñặc tính xung với 002/1 )()( ==− ah N ].

Ví dụ 5.5. Hãy xác ñịnh các ñặc tính tần số θ(ω) và H(ejω) của bộ lọc số FIR pha

tuyến tính loại 1 ở ví dụ 1. ðồ thị ñặc tính xung h(n) của bộ lọc cho trên Hình 5.5.

Vẽ ñặc tính biên ñộ tần số H(ejω) của bộ lọc ñã cho.

Giải : ðặc tính pha theo (5.15):

22

15

2

1=

−=

−=

Nα ⇒ ωωθ .)( 2−= .

Theo (5.14) có ñặc tính biên ñộ tần số: ∑=

=2

0

).cos()()(n

j nnaeH ωω .

Tính các hệ số a(n) theo (5.13): 222

10 )()( ==

−

= hhaN ;

21.212

1.21 )()( ==

−

−= hha

N ; ( ) 20.222.22 )()( −==−= hha .

Theo giá trị các hệ số nhận ñược: )cos()cos()( 2222 ωωω −+=jeH .

h(n)

10 3

-1-1

n

5

1

2

2

1

148

Hình 5.5: ðặc tính xung h(n) và ñặc tính biên ñộ tần số H(ejω) của bộ lọc thông thấp FIR pha tuyến tính loại 1 ở ví dụ 5.

Trên Hình 5.5 là ñặc tính biên ñộ tần số H(ejω)của bộ lọc số FIR pha

tuyến tính loại 1 ñã cho, ñây là bộ lọc thông thấp. 5.1.2.2. ðặc tính tần số của bộ lọc FIR pha tuyến tính loại 2

Bộ lọc FIR pha tuyến tính loại 2 có θ(ω) = -αω và N chẵn, ñặc tính tần số là

αωωωω jj

n

njj eeAenheN

H −−

=

− ==∑ ).()()(1

0

.


∑∑−

=

−−

=

− +=1

2

12

0

)()()(N

N

N

n

nj

n

njj enhenheH ωωω .

ðổi biến tổng thứ hai, và biến ñổi tương tự ở mục 5.1.2a , nhận ñược:

−

−

=

−= ∑ 2

12

1

.)(cos)()( 122

NN

j

n

j ennbeHω

ω ω . (5.16)

Với các hệ số:

−= nhnbN

2.2)( . (5.17)

Từ ñó có ñặc tính biên ñộ tần số của bộ lọc FIR pha tuyến tính loại 2:

∑=

−=

2

1

)(cos)()( 122

N

n

j nnbeHωω . (5.18)

Với các hệ số b(n) phụ thuộc vào ñặc tính xung h(n) theo (5.17).

ðặc tính pha: 2

1

2

1)(

−=⇒

−

−=−=NN αωαωωθ . (5.19)

Nhận xét : Khi ω = ± π thì 0122

122

)(cos)(cos =

−±

=

− nnπω với mọi n nên

H(ejω) = 0 khi ω = ± π. Như vậy, bộ lọc FIR pha tuyến tính loại 2 không thể

dùng ñể xây dựng bộ lọc có ñặc tính biên ñộ tần số khác 0 tại ω = ± π , ñó là bộ

lọc thông cao và bộ lọc dải chặn.

Ví dụ 5.6. Hãy xác ñịnh các ñặc tính tần số θ(ω) vàH(ejω)của bộ lọc số FIR pha

tuyến tính loại 2 ở ví dụ 5.6. ðồ thị ñặc tính xung h(n) của bộ lọc cho trên Hình

5.6. Vẽ ñặc tính biên ñộ tần sốH(ejω)của bộ lọc ñã cho.

Giải: Theo (5.19) có ñặc tính pha:

5,12

14

2

1=

−=

−=

Nα ⇒ ωωθ .)( 5,1−= .


−=

2

1

)(cos)()( 122n

j nnbeHωω .

149

Với các hệ số b(n) ñược xác ñịnh theo (5.17):

21.212.212

.21 )()()( ==−=

−= hhhbN ; 20.222.22 )()()( −==−= hhb .

Vậy )cos()cos()( 5,125,02 ωωω −=jeH .

Hình 5.6: ðặc tính xung h(n) và ñặc tính biên ñộ tần số H(ejω) của bộ lọc dải thông FIR pha tuyến tính loại 2 ở ví dụ 6.

Trên Hình 5.6 là ñặc tính biên ñộ tần số H(ejω)của bộ lọc số FIR pha

tuyến tính loại 2 ñã cho, ñây là bộ lọc dải thông.


Bộ lọc FIR pha tuyến tính loại 3 có θ(ω) = β -αω và N lẻ, ñặc tính tần số là:

αωωωω jj

n

njj eeAenheN

H −−

=

− ==∑ ).()()(1

0

.


+

+

= ∑∑

−

+−=

−−

−−−

=

− − 1

121

2

112

1

0

)()()(2

1 N

N

NN

n

njj

n

njj enhehenheN

H ωωωω .

Vì bộ lọc FIR pha tuyến tính loại 3 có ñặc tính xung h(n) phản ñối xứng nên tại n = (N - 1)/2 thì h(n) = 0. Do ñó biểu thức trên có dạng:

∑∑−

+−=

−−−

=

− +=1

12

1

12

1

0

)()()(N

N

N

n

nj

n


ðổi biến tổng thứ hai, ñặt m = (N - 1 - n) => n = (N - 1 - m), nhận ñược:

∑∑−−=

−−−−−

=

− −−+=0

12

1

)1(

12

1

0

)()()( 1N

N

N

m

mj

n

njj emhenhe NH ωωω .

ðổi lại biến m thành n và ñảo chiều chỉ số của tổng thứ hai:

∑∑−−

=

−−−−−

=

− −−+=1

21

0

)1(1

21

0

)()()( 1

N

N

N

n

nj

n

njj enhenhe NHωωω .

Vì bộ lọc FIR pha tuyến tính loại 3 có )()( 1 nhnh N −−= − , nên

[ ]∑−−

=

−−−− −=1

21

0

)1()()(

N

N

n

njnjj eenheH ωωω .

Tiếp tục biến ñổi tương tự ở mục 5.1.2a, nhận ñược

1

0 1 2 4

n

h(n)

-1 -1

1

150

−

−

−

=

= ∑ω

ωπ

ω 2

1

22

1

1

.).sin()()(N

N

j

n

j ennceH . (5.20)

Với các hệ số ( )nhnhncN

−=

−

−= α.2

2

1.2)( . (5.21)

Từ ñó có ñặc tính biên ñộ tần số của bộ lọc FIR pha tuyến tính loại 3

∑−

=

=2

1

1

).sin()()(

N

n

j nnceH ωω . (5.22)

Với các hệ số c(n) phụ thuộc vào ñặc tính xung h(n) theo (5.21).

ðặc tính pha: ωαωωθ πβ .)(

2

1

2

−

−=−=N .

Suy ra: 2

1−=

Nα và 2

πβ = . (5.23)

Nhận xét: Với ω = 0 và ω = ± π thì 0)0sin( = và 0)sin( =±π với mọi n, nên

khi ñó H(ejω) = 0. Bộ lọc FIR pha tuyến tính loại 3 không thể dùng ñể xây dựng

bộ lọc có ñặc tính biên ñộ tần số khác 0 tại ω = 0 và ω = ± π ñó là các bộ lọc

thông thấp, thông cao và bộ lọc dải chặn. Như vậy, bộ lọc FIR pha tuyến tính loại 3

chỉ xây dựng ñược bộ lọc dải thông.




Giải: Theo (5.23) có ñặc tính pha tần số:

32

17

2

1=

−=

−=

Nα ⇒ ωωθ π

.)( 32

−= .


=2

1

).sin()()(n

j nnceH ωω .

Với các hệ số c(n) ñược xác ñịnh theo (5.21) ( ) 35,1.22.213.21.21 )()()( ===−=−= hhhc α

15,0.21.22 )()( −=−== hc ; 21.20.23 )()( −=−== hc .

Vậy: )sin()sin()sin()( 3223 ωωωω −−=jeH .

Hình 5.7: ðặc tính xung h(n) và ñặc tính biên ñộ tần số H(ejω) của bộ lọc dải thông FIR pha tuyến tính loại 3 ở ví dụ 5.7.

2 3

n

h(n)

-1,5

5

1,5

-0,5

6 7

0,5

-1

1

0

151

Trên Hình 5.7 là ñặc tính biên ñộ tần số H(ejω) của bộ lọc FIR pha tuyến

tính loại 3 ñã cho, ñây là bộ lọc dải thông.


Bộ lọc FIR pha tuyến tính loại 4 có θ(ω) = β -αω và N chẵn, ñặc tính tần số

là: αωωωω jj

n

njj eeAenheN

H −−

=

− ==∑ ).()()(1

0

.


∑∑−

=

−−

=

− +=1

2

12

0

)()()(N

N

N

n

nj

n


ðổi biến tổng thứ hai, và biến ñổi tương tự ở mục 5.1.2.3, nhận ñược

−

−

=∑

−=

ωω

πω 2

1

22

1

.)(sin)()( 122

NN

j

n

j enndeH . (5.24)

Với các hệ số:

−= nhndN

2.2)( . (5.25)

Từ ñó có ñặc tính biên ñộ tần số của bộ lọc FIR pha tuyến tính loại 4:

∑=

−=

2

1

)(sin)()( 122

N

n

j nndeHωω . (5.26)

Với các hệ số d(n) phụ thuộc vào ñặc tính xung h(n) theo (5.25).

ðặc tính pha: ωαωωθ πβ .)(

2

1

2

−

−=−=N .

Suy ra: 2

1−=

Nα và 2

πβ = . (5.27)

Nhận xét: Với ω = 0 thì 00)sin( = , khi ñó H(ejω) = 0. Vì thế, bộ lọc FIR pha

tuyến tính loại 4 không thể dùng ñể xây dựng bộ lọc có ñặc tính biên ñộ tần số

khác 0 tại ω = 0 , ñó là các bộ lọc thông thấp và dải chặn.




Giải: Theo (5.27) có ñặc tính pha

5,12

14

2

1=

−=

−=

Nα ⇒ ωωθ π

.)( 5,12

−= .

Theo (5.24) có ñặc tính biên ñộ tần số:

∑=

−=

2

1

)(sin)()( 122n

j nndeHωω .

Với các hệ số c(n) ñược xác ñịnh theo (5.25):

152

21212

.21 )(.)( −==

−= hhdN ; 20.222.22 )()()( ==−= hhd .

Vậy: )sin()sin()( 5,125,02 ωωω +−=jeH .

Hình 5.8: ðặc tính xung h(n) và ñặc tính biên ñộ tần số H(ejω) của bộ lọc thông cao FIR pha tuyến tính loại 4 ở ví dụ 8.

Trên Hình 5.8 là ñặc tính biên ñộ tần số H(ejω) của bộ lọc số FIR pha

tuyến tính loại 4 ñã cho, ñây là bộ lọc thông cao.

Theo dạng ñặc tính biên ñộ tần số H(ejω) của các bộ lọc số FIR pha tuyến

tính ñã phân tích ở trên, rút ra kết luận như sau: - Bộ lọc loại 1 chỉ làm ñược các bộ lọc thông thấp và dải chặn.

- Bộ lọc loại 2 chỉ làm ñược các bộ lọc thông thấp và dải thông. - Bộ lọc loại 3 chỉ làm ñược bộ lọc dải thông.

- Bộ lọc loại 4 chỉ làm ñược các bộ lọc thông cao và dải thông.

5.2. Các phương pháp tổng hợp bộ lọc số FIR pha tuyến tính Việc nghiên cứu các phương pháp tổng hợp bộ lọc FIR ở phần này chúng ta

chỉ dừng lại ở việc tính toán các hệ số của h(n). Các hệ số của h(n) ñược tính toán sao cho toả mãn các chỉ tiêu kĩ thuật ñã cho. Bộ lọc FIR có ưu ñiểm hơn bộ lọc IIR

là nó luôn ổn ñịnh, chúng ta sẽ xét các bộ lọc FIR có pha tuyến tính (ðáp ứng xung h(n) ñối xứng hoặc phản ñối xứng). Các hệ thống thực hiện ñược về mặt vật lý là

các hệ thống nhân quả, ổn ñịnh. Có 3 phương pháp chính ñể tổng hợp bộ lọc số FIR là:

Phương pháp cửa sổ. Phương pháp lấy mẫu tần số.

Phương pháp lặp. (Tài liệu tham khảo)

5.2.1. Phương pháp cửa sổ Ta ñã biết ñáp ứng tần số của bộ lọc FIR nhân quả bậc N là

,).()(1

0∑

−

=

−=N

n

njj enheH ωω ..).(2

1)( ∫

−

=π

π

ωω ωπ

deeHnh njj

+ Gọi h(n) là ñáp ứng xung của bộ lọc số lí tưởng, vì vậy h(n) có chiều dài

vô hạn nên không thể thực hiện ñược. L[h(n) ] = [-∞; +∞].

h(n)

2

n

0

-1 -1

1 1

4

153

+ h(n) không nhân quả, vì thế không thể thực hiện ñược.

+ ðể cho ñáp ứng xung của bộ lọc số lí tưởng trở thành ñáp ứng xung của bộ lọc FIR thì ta phải làm cho h(n) nhân quả và hạn chế chiều dài của nó.

+ ðể hạn chế chiều dài của h(n) ta sẽ sử dụng hàm cửa sổ, hay ñược gọi là

cửa sổ Nnw )( là cửa sổ nhân quả có chiều dài là N.

=

−≤≤≠=

.0

100)(

laiconn

Nnnw N

5.2.1.1. Các bước chính thiết kế bộ lọc số bằng phương pháp cửa sổ

Bước 1: Chọn 4 chỉ tiêu kĩ thuật của bộ lọc số thực tế mà ta cần thiết kế: ωp,

ωs, δ1, δ2.

Bước 2: Chọn dạng cửa sổ Nnw )( và chiều dài cửa sổ N, trong miền N cửa sổ

có tâm ñối xứng tại

2

1−=N

n

có pha tuyến tính là

.2

1)( ωωθ −

−=N

Bước 3: Chọn loại bộ lọc số lí tưởng có ñáp ứng xung là h(n), h(n) có tâm ñối xứng tại

2

1−=N

n

có pha tuyến tính là

.2

1)( ωωθ −

−=N

Bước 4: Nhân cửa sổ Nnw )( với h(n) thu ñược ñáp ứng xung thực tế của bộ lọc FIR loại 1.

hd(n) = Nnw )( .h(n)

L[ Nnw )( ] = N

L[hd(n)] =∞

L[hd(n)]= N.

Bước 5: Sau khi có hd(n) thử lại trong miền tần số xem ñã ñạt chỉ tiêu kĩ thuật chưa, nếu chưa ñạt làm lại với N lớn hơn.

Chú ý: Nếu cho trước N thì bỏ qua bước 1 và bước 5.

5.2.1.2. Một số hàm cửa sổ thường dùng

5.2.1.2a. Cửa sổ chữ nhật wR(n)N = rectN(n)

−+∉

−+∈=−=−

)](,[

)](,[)()(

10

11

00

0000

N

N

nnnKhi

nnnKhinnrectnnw NNR . (5.28)

Theo FT, ñặc tính tần số của cửa sổ chữ nhật wR(n)N có dạng:

154

( )( )

2

).1(

2

2

1

1

sin

sin)]([)(

ω

ω

ωω

ωω −

−

−

−

=−

−==

NN

NR

j

j

jj e

e

enrectFTe

NW . (5.29)

Các tham số của ñặc tính tần số các hàm cửa sổ là bề rộng ñỉnh trung tâm

∆Ω và tỷ số giữa biên ñộ ñỉnh trung tâm và ñỉnh thứ cấp ñầu tiên. ðối với cửa sổ

chữ nhật có:

- Bề rộng ñỉnh trung tâm N

R

π4=∆Ω . (5.30)

- Tỷ số giữa biên ñộ ñỉnh trung tâm và ñỉnh thứ cấp ñầu tiên:

==

2

3

3

.sin

sin.

)(

)(

3

0

N

N

NN

W

W

NR

R

Rj

j

e

e

π

π

πη . (5.31)

Với N = 6 , η ≈ 4,285; Với N = 50 , η ≈ 4,705;

Với N = 9 , η ≈ 4,5; Với N = 100 , η ≈ 4,711.

Khi N → ∞ thì 712,42

3==

πη .

Như vậy, khi N tăng lớn, η thay ñổi không nhiều và giới hạn của η khi N →

∞ là ηmax = 4,712.

Trên thực tế người ta thường tính tham số này theo dexiben (dB) và ký hiệu

là λ : dBR 13712,4

120

120 1010 loglog −===

ηλ . (5.32)

Khi N lớn cửa sổ chữ nhật có các tham số:

- ∆ωR = 4π/N

- λR = -13 dB.

ðồ thị cửa sổ chữ nhật wR(n)10 và ñặc tính biên ñộ tần số WR(ejω)tương

ứng trên Hình 5.9.

wR(n)10

Hình 5.9: ðồ thị cửa sổ wR(n)10 và hàm WR(ejω) tương ứng .

Khi xấp xỉ hàm tần số bằng cửa sổ chữ nhật, ñộ chính xác ở búp sóng chính cao, nhưng ñộ gợn sóng của ở cả búp sóng chính và các búp sóng phụ ñều lớn.

5.2.1.2b. Cửa sổ tam giác wT(n)N

9n

0 1 2-1 3 4 5 6 7 8

1

155

<−=−

−−

kh¸c. mäi Víi

Khi

n

nnnn

N

N

nn

w NT

0

2

||21 ||

)( 00

0 (5.33)

Cửa sổ tam giác wT(n)N là dãy ñối xứng. Có thể chứng minh ñược, cửa sổ

tam giác wT(n)N là tích chập của hai cửa sổ chữ nhật

2222

)(*)()(*)()( 12

12

NNNN nwnwnrectnrectnw RRNTNN

−=−= .

Từ ñó tìm ñược ñặc tính tần số của cửa sổ tam giác

( )( ) .

sin

sin).().()(

4

4.

2.

22

2ωωωωω

ωω jNjjjj eeeee

N

NWW

NW RRT

−− == (5.34)

ðồ thị của cửa sổ tam giác wT(n - 5)10 với n0 = 5 , N = 10, và ñồ thị ñặc tính

biên ñộ tần số WT(ejω) tương ứng trên Hình 5.10 .

wT(n - 5)10

Hình 5.10: ðồ thị cửa sổ wT(n - 5)10 và hàm WT(ejω).

Khi N lớn, cửa sổ tam giác có các tham số:

- ∆ωT = 8π/N - λT = -26 dB.

So sánh hàm biên ñộ tần số của cửa sổ tam giác và cửa sổ chữ nhật:

- Vì ∆ωT = 2∆ωR nên XT(ejω) có ñỉnh trung tâm rộng hơn, với hai sườn ít

dốc hơn XR(ejω) . Hàm tần số ñược xấp xỉ bằng cửa sổ tam giác có sai số ở búp

chính lớn hơn dùng cửa sổ chữ nhật .

- Vì λT = 0,5λR nên XT(ejω)có ñộ gợn sóng ở búp chính và các búp phụ

thấp hơn XR(ejω). Hàm tần số ñược xấp xỉ bằng cửa sổ tam giác có ñộ gợn sóng

nhỏ hơn dùng cửa sổ chữ nhật. 5.2.1.2c. Cửa sổ cosin wC(n)N

≤−

=−

−

kh¸c. mäi Víi

Khi

N0

2||cos

)( 00

0

)( N

Nnn

nn

nn

w NC

π

(5.35)

0,80,6

0,4

n0,2

0,80,6

0,40,2

0 1 2 43 865 7 9 10 11-1

1

156

Cửa sổ cosin wC(n)N là dãy ñối xứng. Khi biểu diễn dãy wC(n)N dưới dạng:

2

.cos)(

nnNN een

nwNNC

ππ

π −−=

= .

Theo ñó tìm ñược ñặc tính tần số của cửa sổ cosin

−

−

+

+

+

−

−

= 2

1

.sin2

sin

sin2

sin)(

22

22

22

22N

C

jj ee

N

N

N

N

Wπ

π

π

π

ω

ω

ω

ωω . (5.36)

WC(ejω) là xếp chồng của hai cửa sổ chữ nhật WR(e

jω) ngược pha nhau.

ðồ thị của cửa sổ cosin wC(n - 5)10 với n0 = 5, N = 10, và hàm biên ñộ tần số

WC(ejω) tương ứng trên Hình 5.11.

wC(N - 5)10

Hình 5.11: ðồ thị cửa sổ wC(n - 5)10 và hàm WC(ejω) tương ứng.

Khi N lớn, cửa sổ cosin có các tham số:

- ∆ωC = 3π/N

- λ C = -24 dB.

So sánh cửa sổ cosin với cửa sổ tam giác và cửa sổ chữ nhật:

- ∆ωC < ∆ωR < ∆ωT, xấp xỉ hàm tần số dùng cửa sổ cosin có sai số ở búp

chính lớn hơn dùng cửa sổ chữ nhật, nhưng nhỏ hơn dùng cửa sổ tam giác.

- Vì λT < λC < λR nên ñộ gợn sóng của hàm tần số xấp xỉ bằng cửa sổ cosin

thấp hơn dùng cửa sổ chữ nhật, lớn hơn dùng cửa sổ tam giác. 5.2.1.2d. Các cửa sổ Hanning wHn(n)N và Hamming wHm(n)N

- Hàm cửa sổ Hanning và Hamming tổng quát có dạng :

−≤≤

−+

=kh¸c.nmäiVíi

Khi

0

102

1 )(..

cos)()(

NN

nn

nw NH

παα (5.37)

- Khi α = 1 chính là cửa sổ dạng chữ nhật wR(n)N.

ðặc tính biên ñộ tần số của cửa sổ Hanning và Hamming tổng quát :

0,81

6 10

0,95

5 9

0,59

3

0,31

7

n

0,81

0,59

4

0,31

8

1

2

0,95

0 1

157

+

+

−+

−

−

−+

=

N

N

N

NN

W jeH

22

22

22

22

2

2

sin4

sin

2

)1(

sin4

sin

2

)1(

sin

sin

)(π

π

π

π

ω

ωα

ω

ωα

ω

ωαω .

ðặc tính pha tần số của cửa sổ Hanning và Hamming tổng quát

−

−= 2

1

)(N

H

j

eω

ωϕ .

1. Cửa sổ Hanning wHn(n)N

Theo (5.37) khi α = 0,5 có cửa sổ Hanning

−≤≤

+

=kh¸c.nmäiVíi

Khi

0

102

5,05,0 )(..

cos)(

NN

nn

nW NHn

π (5.38)

ðặc tính tần số của cửa sổ Hanning:

−

−

+

+

+

−

−

+

= 2

1

.

sin4

sin

sin4

sin

sin2

sin

)(

22

22

22

22

2

2N

H

jj

n ee

N

N

N

NN

Wω

ω

π

π

π

π

ω

ω

ω

ω

ω

ω

. (5.39)

ðồ thị cửa sổ Hanning wHn(n)10 và hàm biên ñộ tần số XHn(ejω) tương ứng

trên Hình 5.12. wHn(n)10

Hình 5.12: ðồ thị cửa sổ wHn(n)10 và hàm XHn(ejω).

Khi N lớn, cửa sổ Hanning có các tham số :

- ∆ωHn = 2,3π/N

- λ Hn = -32 dB.

So sánh cửa sổ Hanning với cửa sổ tam giác và cửa sổ chữ nhật:

- Vì ∆ωR < ∆ωHn < ∆ωT nên búp chính của cửa sổ Hanning lớn hơn cửa sổ

chữ nhật và nhỏ hơn cửa sổ tam giác.

- Vì λHn > λC > λR nên ñộ gợn sóng ở cả búp chính và các búp phụ của cửa

sổ Hanning thấp hơn các cửa sổ chữ nhật, tam giác, và cosin.

2. Cửa sổ Hamming wHm(n)N

Theo [5.37] khi α = 0,54 có hàm cửa sổ Hammin

−≤≤

+

=kh¸c.nmäiVíi

Khi

0

102

46,054,0 )(..

cos)(

NN

nn

nW NHm

π (5.40)

0,90

4

0,65

n1

0,10

0,35

0,90

1

5 106

0,10

0,35

0,65

730 2 98

158

ðặc tính tần số của cửa sổ Hamming

−

−

+

+

+

−

−

+

= 2

1

.

sin

sin

sin

sin

sin

sin.

)(

22

22.23,0

22

22.23,0

2

254,0 N

H

jj

n ee

N

N

N

NN

Wω

ω

π

π

π

π

ω

ω

ω

ω

ω

ω

.

ðồ thị của cửa sổ Hamming wHm(n)10 và hàm biên ñộ tần số XHm(ejω)tương

ứng trên Hình 5.13.

wHm(n)10

Hình 5.13: ðồ thị cửa sổ wHm(n)10 và hàm XHm(e

jω). Khi N lớn, cửa sổ Hamming có các tham số:

- ∆ωHn = 2,3π/N

- λHn = -43 dB.

So sánh cửa sổ Hamming với cửa sổ tam giác và cửa sổ chữ nhật:

- Vì ∆ωR < ∆ωHm < ∆ωT nên búp chính của cửa sổ Hamming lớn hơn cửa sổ

chữ nhật và nhỏ hơn cửa sổ tam giác.

- Vì λHm > λHn > λR nên ñộ gợn sóng ở cả búp chính và các búp phụ của hàm

tần số ñược xấp xỉ bằng cửa sổ Hamming là thấp nhất trong dạng các cửa sổ trên.

Như vậy, cửa sổ chữ nhật cho hàm tần số XN(ejω) gần giống X(ejω) ở búp

sóng chính, nhưng gây sai số lớn ở các vùng biên vì có sóng phụ lớn. Cửa sổ tam

giác cho hàm tần số XN(ejω) có sai số ở búp sóng chính lớn hơn và sai số ở các búp

sóng phụ nhỏ hơn so với dùng cửa sổ chữ nhật. Các cửa sổ Cosin, và Hamming,

Hanning ñạt ñược ñộ chính xác trung hòa của hai cửa sổ chữ nhật và tam giác ở cả vùng búp sóng chính và các búp sóng phụ. ðộ gợn sóng của cửa sổ Hamming là

nhỏ nhất. Ngoài ra còn cửa sổ Blackman và cửa sổ Kaiser (SGK)

Ví dụ 5.9. Thiết kế bộ lọc thông thấp với các chỉ tiêu kỹ thuật, ωc = π/2, N = 9

dùng cửa sổ Hanning. Vẽ sơ ñồ bộ lọc số.

Giải: Cửa sổ Hanning wHan(n)N có N = 9 là cửa sổ nhân quả có tâm ñối xứng tại

.42

1=

−N

Chọn bộ lọc số lí tưởng thông thấp cũng có tâm ñối xứng tại

4

n

1

8 10

0,40

7

0,17

5

0,91

3

0,40

210 9

0,68

0,17

0,91

0,68

6

159

42

1=

−N

và tần số cắt ωc =π/2.

Vậy ta có

)4(

2

)4(2

sin

2

1

)2

1(

)2

1(sin

)(−

−=

−−

−−

=n

n

Nn

Nn

nh

c

cc

π

π

ω

ω

πω

.

Do ñó ñáp ứng xung của bộ lọc số thực tế là

.)().()( 9nwnhnh Hand =

Minh hoạ bằng ñồ thị ta có

Vậy ta có

).7(05.0

)5(85.0

)4(2

1)3(

85.0)1(

05.0)( −−−+−+−+−−= nnnnnnh δ

πδ

πδδ

πδ

π

Từ ñây ta có sơ ñồ mạch như sau

0 4 8 n

1/2

h(n)

-1/3π

….. ….. 1/π

4 8 n

1/2

hd(n)

-0.15/3π

0.85/π

0 4 9 n

1

WHan(n)9

0.5

0.85

0.15

160

5.2.2. Phương pháp lấy mẫu tần số 5.2.2.1. Cơ sở của phương pháp lấy mẫy tần số

Phương pháp lấy mẫu tần số sử dụng phép biến ñổi Fourier rời rạc (DFT).

Cơ sở của phương pháp lấy mẫu tần số là xấp xỉ ñặc tính biên ñộ tần số HN(ejω)

của bộ lọc số cần tổng hợp theo ñặc tính biên ñộ tần số H(ejω) của bộ lọc số lý

tưởng cùng loại.

Việc xấp xỉ ñược thực hiện bằng cách lấy mẫu tần số qua DFT, tức là làm

cho các mẫu của HN(ejω) và H(ejω) bằng nhau tại các tần số rời rạc ωk = kω1 =

(k.2π/N):

11

)()( ωωω

ωωω

kj

kj ee HH N == =

hay )()( 11 ωω jkjk ee HH N = . (5.41)

Bằng cách như vậy, tại các ñiểm tần số rời rạc ωk = kω1 , sai số xấp xỉ giữa

HN(ejω) và H(ejω) bằng 0, còn tại các tần số ở giữa khoảng kω1 và (k + 1)ω1

thì sai số xấp xỉ là hữu hạn. Sai số xấp xỉ sẽ giảm nhỏ nếu giảm tần số lấy mẫu cơ

bản ω1 = (2π/N), ñiều ñó tương ứng với tăng ñộ dài N của ñặc tính xung h(n)N của

bộ lọc số ñược tổng hợp.

D

D

D

D

D

D

D

+

+

+

+

+

y(n) x(n)

π85.0

π05.0

−

2

1

π85.0

π05.0

−

161

Trong miền k của DFT, biểu thức (5.41) có dạng:

)()( kHkH N = .

Hay: )()( )()( kjkj eAeA kk Nθθ = ⇔ )()( kk AA N = ⇔ )()( kHkH N =

Trong ñó, H(k)N ñược lấy mẫu tần số từ ñặc tính biên ñộ tần số H(ejω)

của bộ lọc số lý tưởng cùng loại, tức là :

∈∈

==. Khi

Khi

chandai

thongdaikHkH N _

,_)()(

0

1

ωω

Hình 5.14 mô tả cách lấy mẫu ñặc

tính biên ñộ tần sốH(ejω)của bộ lọc

dải thông lý tưởng có các tần số cắt :

ωc1 = 3π/10 = 0,94

ωc2 = 8π/10 = 2,51

Việc lấy mẫu tần số ñược thực

hiện trong một chu kỳ 0 ≤ ω < 2π , ứng

với 0 ≤ k ≤ 9 và N = 10.

Hình 5.14: Lấy mẫu H(ejω) ⇒

H(k)10.

ðặc tính biên ñộ tần số ñược lấy mẫu H(k)10trên Hình 5.14 có dạng ñối

xứng khi k ∈ [1, 9]. Trong dải thông của bộ lọc lý tưởng, H(k)10có sáu mẫu giá

trị 1, năm mẫu ở ngoài dải thông giá trị 0:

0111011100 ,,,,,,,,,)( 10↑

=kH .

Sau khi xác ñịnh ñược NN kkH A )()( = , ta có

)()()( kjeA NN kkH θ= . (5.42)

Từ các mẫu DFT H(k)N có thể tìm ñược ñặc tính tần số HN(ejω) của bộ lọc số

cần tổng hợp theo công thức nội suy [tl]

+

−−−

=∑

−

= N

NN

NN

kj

k

j ee

N

k

N

kHN

H

πωω

πω

ω

2

)1(1

0

.

sin

sin

)(1

)(

2

2 . (5.43)

Từ (5.43), ñối với bộ lọc số số FIR pha tuyến tính loại 1 và loại 2 có

ωω

ππ

πω

ω.

2

11

0

1

..

sin

sin

)(1

)(

2

2

−

−−−

=

−

−

∑

−

=N

N

NN

N

NN

jkj

k

jkj eeeAe

N

k

N

kN

H .

3 82 97 101 4 60 5

2,51 5,34 6,28

k

0,94

1

1

3,770

H(ejω)

H(k)10

ω

162

Trong ñó kjkkj

kjjkk

jjk

eeeeee NNN

N

NN

N

)(.. 1

1

−=== −−

−−

−

−π

πππππ.

Do ñó có ñặc tính tần số của bộ lọc FIR pha tuyến tính loại 1 và loại 2:

ω

ω

πωω .

2

11

0

.

sin

)()1(

)sin()(

2

5,0

−

−−

=∑

−

−=NN

NN

j

k

kj eA

e

N

k

k

N

NH . (5.44)

Tương tự, ñặc tính tần số của bộ lọc FIR pha tuyến tính loại 3 và loại 4

−

−−

=∑

−

−=ω

ωπ

πωω .

2

1

21

0

.

sin

)()1(

)sin()(

2

5,0N

NN

N

j

k

kj eA

e

N

k

k

N

NH . (5.45)

Từ (5.44) và (5.45) có biểu thức xác ñịnh ñặc tính biên ñộ tần số của cả bốn loại bộ lọc số FIR pha tuyến tính cần tổng hợp:

∑−

=

−

−=1

0

2

5,0

sin

)()1(

)sin()(

NN

N

k

kj

N

k

k

N

NH

Ae

πωωω . (5.46)

ðặc tính pha θ(ω) của bộ lọc FIR pha tuyến tính loại 1 và loại 2

αωωωϕ −=

−

−= .)(2

1NN ; với ωα .

2

1

−

=N . (5.47)

ðặc tính pha θ(ω) của bộ lọc FIR pha tuyến tính loại 3 và loại 4

αωωω βπϕ −=

−

−= .)(2

1

2

NN ; với

2

πβ = và ..

2

1 ωα

=

−N (5.48)

Khi ñặc tính tần số HN(ejω) của bộ lọc cần tổng hợp thỏa mãn các chỉ tiêu kỹ

thuật ñã cho, thì bước tiếp theo có thể xác ñịnh ñặc tính xung h(n)N của các bộ lọc số cần tổng hợp theo IDFT

[ ]NN kHIDFTnh )()( = . (5.49)

Các bộ lọc số FIR pha tuyến tính loại 1 và loại 2 có ñặc tính xung h(n)N ñối

xứng khi 0 ≤ n ≤ (N - 1), và θ(k) có dạng

kN

Nk .

)()(

1 πθ −−= . (5.50)

Hơn nữa, bộ lọc số FIR pha tuyến tính loại 1 có N lẻ thì A(k)N ñối xứng trong

khoảng 1 ≤ k ≤ (N - 1) và ñặc tính xung h(n)N của bộ lọc số cần tổng hợp ñược xác

ñịnh

∑−

=

+−+=

2

1

11 )(cos.)()(

)()( 121

20N

NN

N

k

k nAA

nhN

kk

NN

π . (5.51)

163

Còn bộ lọc số FIR pha tuyến tính loại 2 có N chẵn thì A(k)N phản ñối xứng

trong khoảng 1 ≤ k ≤ (N - 1) và ñặc tính xung h(n)N của bộ lọc số cần tổng hợp

ñược xác ñịnh:

∑−

=

+−+=

12

12 )(cos.)()(

)()( 121

20N

NN

N

k

k nAA

nhN

kk

NN

π . (5.52)

Các bộ lọc số FIR pha tuyến tính loại 3 và loại 4 có ñặc tính xung h(n)N phản

ñối xứng khi 0 ≤ n ≤ (N - 1), θ(k) có dạng

kN

Nk .

)()(

1

2

ππθ −−= . (5.53)

Hơn nữa, bộ lọc số FIR pha tuyến tính loại 3 có N lẻ thì A(k)N phản ñối xứng

trong khoảng 1 ≤ k ≤ (N - 1) và ñặc tính xung h(n)N của bộ lọc cần tổng hợp ñược

xác ñịnh

∑−

=

+

+−=

2

1

1

)1(3 )(sin.)()()( 121

2

N

NN

k

k nAnhN

kk

N

π . (5.54)

Còn bộ lọc số FIR pha tuyến tính loại 4 có N chẵn thì A(k)N ñối xứng trong

khoảng 1 ≤ k ≤ (N - 1) và ñặc tính xung h(n)N của bộ lọc số cần tổng hợp ñược xác

ñịnh

∑−

=

+−−

−

=1

2

14 )(sin.)()(

)()( 121

2

2

1

N

N

N

N

k

kn

nAAnhN

kk

N

N

N

π . (5.55)

5.2.2.2. Các bước tổng hợp bộ lọc số theo phương pháp lấy mẫu tần số Các bước tổng hợp ñặc tính xung h(n)N của bộ lọc số FIR pha tuyến tính theo

phương pháp lấy mẫu tần số như sau. Bước 1: Chọn số ñiểm lấy mẫu N [chính là ñộ dài của ñặc tính xung h(n)N ].

Thực hiện lấy mẫu ñặc tính biên ñộ tần số H(ejω) của bộ lọc lý tưởng cùng loại

trong một chu kỳ 0 ≤ ω < 2π ñể nhận ñược ñặc tính biên ñộ tần số rời rạc H(k)N

của bộ lọc số FIR pha tuyến tính cần tổng hợp.

Bước 2: Xác ñịnh ñặc tính biên ñộ tần số HN(ejω) của bộ lọc số FIR pha tuyến

tính cần tổng hợp bằng biểu thức nội suy (5.46).

ðể tìm HN(ejω) theo [5.64] , trước hết cần xác ñịnh A(k)N:

- Bộ lọc loại 1 có A(k)N ñối xứng trong khoảng 1 ≤ k ≤ (N - 1).

- Bộ lọc loại 2 có A(k)N phản ñối xứng trong khoảng 1 ≤ k ≤ (N - 1).

- Bộ lọc loại 3 : A(k)N phản ñối xứng trong khoảng 1 ≤ k ≤ (N - 1), A(0)N = 0.

- Bộ lọc loại 4 có A(k)N ñối xứng trong khoảng 1 ≤ k ≤ (N - 1), và A(0)N = 0.

Bước 3: Kiểm tra ñặc tính biên ñộ tần số HN(ejω) có ñạt các chỉ tiêu kỹ thuật

ñã cho δ1 , δ2 , ωc , ∆ω hay không?

164

Nếu ñạt tất cả các chỉ tiêu kỹ thuật ñã cho thì giảm số ñiểm lấy mẫu N và

thực hiện lại các bước trên cho ñến khi chọn ñược Nmin ñảm bảo ñạt tất cả các chỉ tiêu kỹ thuật ñã cho.

Nếu không ñạt thì tăng số ñiểm lấy mẫu N và thực hiện lại các bước trên cho

ñến khi chọn ñược Nmin ñể HN(ejω) của bộ lọc cần tổng hợp ñạt ñược tất cả các

chỉ tiêu kỹ thuật ñã cho. Bước 4: Xác ñịnh ñặc tính xung h(n)N của bộ lọc số FIR pha tuyến tính cần tổng

hợp : ])([)( NN kHIDFTnh = . (5.56)

- ðối với bộ lọc loại 1, ñể tìm h(n)N có thể tính IDFT theo (5.51).

- ðối với bộ lọc loại 2, ñể tìm h(n)N có thể tính IDFT theo (5.52). - ðối với bộ lọc loại 3, ñể tìm h(n)N có thể tính IDFT theo (5.54).

- ðối với bộ lọc loại 4, ñể tìm h(n)N có thể tính IDFT theo (5.55).

Nếu N lớn, thì có thể sử dụng các thuật toán FFT ñể tính IDFT (5.56).

165

Chương 6 THIẾT KẾ BỘ LỌC SỐ CÓ ðÁP ỨNG XUNG CHIỀU DÀI VÔ HẠN IIR

Cũng giống như bộ lọc FIR, người ta thường dùng một số phương pháp tổng hợp bộ

lọc IIR có ñáp ứng xung có chiều dài vô hạn (IIR: Infinite Impulse Response). Phương pháp sẽ ñược trình bày ở chương này là biến ñổi từ bộ lọc tương tự sang bộ lọc số theo

các phép ánh xạ. Việc tổng hợp bộ lọc tương tự coi như ñã biết trong các kiến thức về Cơ sở kỹ thuật ðiện - ðiện tử, khi tổng hợp bộ lọc số IIR ta sẽ bắt ñầu việc tổng hợp bộ

lọc trong miền tương tự tức là xác ñịnh hàm truyền ñạt Ha(s) và sau ñó biến ñổi sang

miền số.

Có 3 phương pháp chính ñể chuyển từ bộ lọc tương tự sang bộ lọc số tương ñương

- Phương pháp bất biến xung

- Phương pháp biển ñổi song tuyến

- Phương pháp tương ñương vi phân Với ñiều kiện ñã tổng hợp ñược Ha(s).

ðể tìm ñược hàm truyền ñạt tương tự Ha(s), người ta có 3 phương pháp tổng hợp là - Butterworth

- Chebyshev - Elip hay Cauer.

Sau ñây chúng ta sẽ lần lượt nghiên cứu các nội dung chính trên.

6.1. Cơ sở tổng hợp bộ lọc số IIR Ta có thể mô tả bộ lọc tương tự bằng hàm hệ thống của nó:

ở ñây αk và βk là các hệ số lọc, hoặc bằng ñáp ứng xung liên quan với Ha

(s) thông qua biến ñổi Laplace:

Bộ lọc tương tự có hàm hệ thống hữu tỷ Ha (s) cũng có thể ñược mô tả bằng phương

trình vi phân tuyến tính hệ số hằng:

(6.1)

(6.2)

166

Một trong ba ñặc trưng tương ñương của bộ lọc tương tự sẽ tạo ra phương pháp biến ñổi bộ lọc sang miền số khác nhau như sẽ ñược xét dưới ñây. Ta biết rằng, hệ

thống tuyến tính bất biến tương tự với hàm hệ thống Ha(s) là ổn ñịnh, nếu tất cả các ñiểm cực phân bố toàn bộ bên trái của mặt phẳng s (s: là biến số phức, s=σ+ jΩ).

Do ñó, nếu phép biến ñổi là có kết quả, nó sẽ có các tính chất sau:

1. Trục Ωj trong mặt phẳng s sẽ ánh xạ lên ñường tròn ñơn vị trong mặt

phẳng z. Như vậy sẽ có quan hệ trực tiếp giữa hai biến tần số trong hai miền.

2. Nửa trái của mặt phẳng s sẽ ánh xạ vào phía trong ñường tròn ñơn vị

thuộc mặt phẳng z. Như vậy một bộ lọc tương tự ổn ñịnh sẽ ñược biến ñổi

thành bộ lọc số ổn ñịnh.

Ta lưu ý rằng thể hiện vật lý bộ lọc IIR ổn ñịnh không thể có pha tuyến tính vì nếu hàm hệ thống của bộ lọc pha tuyến tính phải thoả mãn ñiều kiện sau:

ở ñây −Nz biểu diễn ñộ trễ N ñơn vị thời gian, bộ lọc sẽ có ñiểm cực ánh xạ

gương ngoài ñường tròn ñơn vị ứng với mỗi ñiểm cực trong ñường tròn này. Vì thế bộ lọc sẽ là không ổn ñịnh.

Do ñó, một bộ lọc IIR nhân quả và ổn ñịnh không thể có pha tuyến tính. ðặc ñiểm của bộ lọc IIR là chiều dài ñáp ứng xung.

6.2. Phương pháp bất biến xung Trong phương pháp bất biến xung, mục ñích của ta là tổng hợp bộ lọc IIR có ñáp

ứng xung ñơn vị h(n) là phiên bản ñược lấy mẫu của ñáp ứng xung bộ lọc tương tự.

Nghĩa là

h(n)=h(nT) n=0 , 1, 2 , ........

ðược biểu diễn trong phạm vi của việc lấy mẫu ñáp ứng xung một bộ lọc tương tự với ñáp ứng tần số Ha(F), bộ lọc số với ñáp ứng xung ñơn vị h( n) = ha (nT) có ñáp ứng

ần số

Hoặc

(6.5)

(6.3)

(6.6)

(6.4)

(6.7)

167

Rõ ràng, bộ lọc số với ñáp ứng tần số sẽ có ñặc tuyến ñáp ứng tần số của bộ lọc

tương tự tương ứng nếu khoảng lấy mẫu (hiện tượng alias). T ñược chọn ñủ nhỏ ñể tránh hoàn toàn hoặc tối thiểu hoá ảnh hưởng của lẫn mẫu. ðiều rõ ràng là

phương pháp bất biến xung không phù hợp ñối với bộ lọc thông cao vì sự lẫn phổ khi xử lý lấy mẫu.

Muốn tìm hiểu sự ánh xạ giữa mặt phẳng z và mặt phẳng s ñược biểu thị bởi

quá trình lấy mẫu, ta dựa vào công thức tổng quát hoá (6.7) ñể có mối liên hệ giữa biến

ñổi z của h( n) và biến ñổi Laplace của ha(t). Mối quan hệ này là

Ở ñây

Chú ý rằng, khi s = jΩ, (6.8) trở thành (6.7), ở ñây thừa số j trong Ha (ω) ñã bị bỏ

ñi trong ký hiệu của ta. ðặc tính chung của ánh xạ

z = esT có thể ñạt ñược bằng cách thay s = σ + j Ω và biểu diễn biến phức z theo toạ

ñộ cực z= rejω . Với sự thay thế này (6.10) trở thành

Rõ ràng, ta phải có

Do ñó, σ<0 nói lên rằng 0<r<1 và σ >0 nói lên rằng r>1. Khi σ = 0, ta có r=1.

Như vậy nửa trái mặt phẳng s ñược ánh xạ vào trong ñường tròn ñơn vị thuộc z và nửa phải mặt phẳng s ñược ánh xạ thành các ñiểm ngoài ñường tròn ñơn vị thuộc z.

ðây là một trong các tính chất có lợi của ánh xạ ñang xét.

Như ñã chỉ ở trên, trục Ωj cũng ñược ánh xạ lên ñường tròn ñơn vị trong z . Tuy

(6.8)

(6.9)

(6.10)

(6.11)

168

nhiên, sự ánh xạ này là không một-một. Vì ω là duy nhất trên khoảng (−π,π), nên sự

ánh xạ ω = ΩT hàm ý rằng khoảng − πT≤ Ω≤πT ánh xạ lên các giá trị tương ứng của −π≤ω≤π. Ngoài ra, khoảng tần số πT≤Ω≤3πT cũng ánh xạ vào khoảng −π≤ω≤π và nói

chung, khoảng ( 2k−1 )πT≤ Ω ≤ (2k+1)πT ñều thế, khi k là số nguyên. Như vậy việc ánh xạ từ tần số tương tự Ω vào biến tần số ω trong miền tần số là nhiều lên một,

nó là sự phản ánh ảnh hưởng sự chồng phổ khi lấy mẫu. Hình 6.1 mô tả sự ánh xạ từ mặt phẳng s lên mặt phẳng z.

Hình 6.1: Sự ánh x ạ z=esTcủa khoảng 2πT (với σ<0) trong mặt phẳng s

lên các ñiểm trong ñường tròn ñơn vị thuộc mặt phẳng z

ðể tìm hiểu tiếp ảnh hưởng của phương pháp bất biến xung ñến ñặc tuyến bộ lọc thu ñược, ta hãy biểu diễn hàm hệ thống của bộ lọc tương tự dưới dạng phân thức tối giản.

Với giả thiết rằng các cực của bộ lọc tương tự là phân biệt, ta có thể viết:

ở ñây Spk là các cực của bộ lọc tương tự và Aklà các hệ số của khai triển phân

thức.

Bởi vậy

Nếu lấy mẫu ha (t) một cách tuần hoàn tại t=nT , ta có

Thay (6.14) vào, hàm hệ thống bộ lọc số IIR sẽ là

Z = esT jΩ

σ

Mặt phẳng Z Mặt phẳng s

π/T

-π /T

Vòng tròn ñơn vị

(6.12)

(6.13)

(6.14)

169

Tổng phía trong của (6.15) là hội tụ, vì s pk < 0 và có

Do ñó, hàm hệ thống bộ lọc số là

Ta nhận thấy rằng bộ lọc số có các cực trị

Với hàm hệ thống H(z) này, bộ lọc số IIR dễ ñược thực hiện nhờ một dãy các

bộ lọc ñơn cực song song.

Ví dụ 6.1. Cho mạch ñiện tương tự như sau:

Hãy chuyển sang mạch ñiện số bằng phương pháp bất biến xung?

Giải:

(6.15)

(6.16)

(6.17)

(6.18)

170

ðiểm cực:

Biến ñổi:

Thay vào ta ñược:

Hay

Ta có sơ ñồ sau

6.3. Phương pháp biến ñổi song tuyến

Trong mục này ta sẽ trình bày sự ánh xạ mặt phẳng s vào mặt phẳng z, ñợc gọi là biến ñổi song tuyến tính. Biến ñổi song tuyến tính là phép ánh xạ biến ñổi trục Ωj

thành ñường tròn ñơn vị trong mặt phẳng z chỉ một lần, như vậy tránh ñược sự lẫn mẫu của các thành phần tần số. Hơn nữa, tất cả các ñiểm trong nửa trái mặt phẳng s, ñược

ánh xạ vào phía trong ñường tròn ñơn vị và tất cả các ñiểm cực ở nửa phải mặt s ñược ánh xạ vào các ñiểm tương ứng ngoài ñường tròn ñơn vị thuộc mặt phẳng z.

Biến ñổi song tuyến tính có thể liên kết với công thức hình thang ñể lấy tích phân

bằng số. Ví dụ, ta hãy xét bộ lọc tương tự tuyến tính với hàm hệ thống:

(6.19)

171

Hệ thống này cũng ñược ñặc trưng bởi phương trình vi phân.

Tránh sự thay thế phép ñạo hàm bằng phép sai phân hữu hạn, giả sử rằng ta tích phân ñạo hàm và lấy gần ñúng nó bằng công thức hình thang. Như vậy.

ở ñây y' (t) là ký hiệu của ñạo hàm y (t) . Việc lấy gần ñúng tích phân (6.21)

bằng công thức hình thang tại t= nT và t0 = nT − T

ðánh giá phương trình vi phân (6.20) tại t=nT sẽ có:

y'(nT) = −ay(nT) + bx(nT).

Ta dùng (6.23) ñể thay cho ñạo hàm trong (8.2.40) và sẽ có ñược phương trình sai

phân của hệ thống rời rạc tương ñương. Với y (n ) ≡ y ( nT ) và x (n) ≡ x ( nT ) , ta có kết

quả:

Biến ñổi z của phương trình sai phân này là

Do ñó, hàm hệ thống của bộ lọc số tương ñương là:

hoặc tương ñương:

(6.20)

[ ] ).()(')('(2

)( TnTyTnTynTyT

nTy −+−+=

(6.21)

(6.22)

(6.23)

(6.24)

==)(

)()(

ZX

ZYZH

(6.25)

172

Rõ ràng, ánh xạ từ mặt phẳng s vào mặt phẳng z là

ðây ñược gọi là biến ñổi song tuyến tính.

Ví dụ 6.2.

Cho mạch ñiện tương tự:

Hãy chuyển mạch ñiện này thành mạch số bằng phương pháp biến ñổi song tuyến?

Giải:

Ta có sơ ñồ mạch ñiện:

(6.26)

(6.27)

173

6.4. Phương pháp tương ñương vi phân

Một trong những phương pháp ñơn giản nhất ñể biến ñổi bộ lọc tương tự sang bộ lọc số là lấy gần ñúng phương trình vi phân bằng một phương trình sai phân tương

ñương. Phép gần ñúng này thường ñược dùng ñể giải phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng nhờ máy tính.

ðối với ñạo hàm dy(t)/dt tại t=nT ta thay bằng phép sai phân lùi [ y ( nT ) − y ( nT − 1 ) ]T .

Như vậy:

Ở ñây T là khoảng lấy mẫu và y(n)= y(nT). Bộ vi phân tương tự với tín hiệu ra dy(t)/dt có hàm hệ thống H (s)= s, trong khi ñó hệ thống số tạo ra tín hiệu ra [ y( n)−y(n−1) ư] /T lại có hàm hệ thống là H (z) = ( 1 − z-1 )T . Do ñó:

Do ñó, hàm hệ thống của bộ lọc số IIR ñạt ñược nhờ lấy gần ñúng phép ñạo hàm bằng phép sai phân hữu hạn là:

Ha(s)là hàm hệ thống của bộ lọc tương tự.

Ta hãy khảo sát phép nội suy của ánh xạ từ mặt phẳng s vào mặt phẳng z với

Nếu thay s= jΩ trong (6.30), ta tìm thấy:

Khi Ω biến thiên từ −∞ ñến ∞, quỹ tích tương ứng của các ñiểm trong mặt

(6.28)

(6.29)

(6.30)

(6.31)

(6.32)

174

phẳng z là một ñường tròn bán kính 1/2 và có tâm tại z=1/2 , như minh hoạ ở Hình

6.2.

Ví dụ 6.3.

Cho mạch ñiện tương tự:

Hãy chuyển sang mạch số bằng phương pháp tương ñương vi phân?

Giải:

Sơ ñồ hệ thống giống như ví dụ 6.1.

Sau ñây chúng ta sẽ tổng hợp các bộ lọc tương tự theo các phương pháp sau. Mục

=+

−= −

11

1)(

1

Tz

RC

ZH

175

ñích là ñể xác ñịnh ñược hàm truyền ñạt tương tự Ha(s), người ta có 3 phương pháp tổng

hợp là: - Butterworth

- Chebyshev

- Elip hay Cauer.

6.5. Bộ lọc tương tự Butterworth

ðịnh nghĩa bộ lọc Butterworth: Bộ lọc thông thấp Butterworth là loại toàn cực ñược ñặc trưng bởi ñáp ứng bình phương biên ñộ tần số.

ở ñây N là cấp bộ lọc và Ωc là tần số ứng với mức -3dB của nó (thường gọi là tần số cắt).

Vì H (s)H(−s) ước lượng tại s = jΩ là ñúng bằng H(Ω)2, nên

Các cực của H(s)H(s) xuất hiện trên ñường tròn bán kính Ωc tại các ñiểm cách ñều. Từ (6.33), ta tìm ñược

và từ ñó:

ðặc tuyến ñáp ứng biên ñộ tần số của một lớp bộ lọc Butterworth ñược trình

bày ở Hình 6.3với một vài giá trị N . Ta lưu ý rằng H(Ω)2 là ñơn ñiệu trong cả băng thông và băng chắn. Cấp bộ lọc, cần ñể ñạt suy giảm δ2 tại tần số ñã ñịnh Ωs,

ñược xác ñịnh một cách dễ dàng nhờ (6.35). Như vậy, tại Ω = Ωs ta có

và vì thế

(6.33)

(6.34)

=ks(6.35)

(6.36)

176

Như vậy các tham số N, δ2 và tỷ số Ωs/Ωc là ñặc trưng ñầy ñủ cho bộ lọc

Butterworth.

6.6. Bộ lọc tương tự Chebyshep

Có hai loại bộ lọc Chebyshev. Loại I là bộ lọc toàn cực, nó biểu lộ ñộ gợn

sóng ñồng ñều trong băng thông và có ñặc tuyến ñơn ñiệu trong băng chắn. Ngược lại, bộ lọc Chebyshev loại II gồm cả cực không, thể hiện tính ñơn ñiệu trong băng thông và

ñộ gợn sóng ñều nhau trong băng chắn. Các ñiểm không của loại bộ lọc này nằm trên trục ảo thuộc mặt phẳng s.

Bình phương ñặc tuyến ñáp ứng biên ñộ tần số của bộ lọc Chebyshev loại I là:

ở ñây ∈ là một tham số của bộ lọc, có liên quan ñến gợn sóng trong băng thông;

TN(x) là ña thức Chebyshev bậc N và ñược ñịnh nghĩa như sau:

(6.37)

177

Có thể tổng quát hoá ña thức Chebyshev bằng phương trình ñệ quy.

ở ñây T 0(x) = 1 và T1(x) = x. Ta có T2 (x) = 2x2 − 1, T3(x) = 4x3 − 3x.

Các ña thức này có một số tính chất sau:

1. TN (x) ≤ 1 với mọi x ≤1. 2. TN(1) =1 với mọi N

3. Tất cả các nghiệm của ña thức TN(x) xuất hiện trong khoảng −1 ≤ x ≤ 1.

Tham số lọc ∈ liên quan tới ñộ gợn sóng trong băng thông

Bộ lọc Chebyshev loại II gồm cả các ñiểm không và các ñiểm cực. ðáp ứng

bình phương biên ñộ tần số của bộ lọc Chebyshev loại II là:

ở ñây TN(x) cũng là ña thức Chebyshev bậc N và Ωs là tần số băng chắn.

6.7. Bộ lọc tương tự Elip (Cauer)

Bộ lọc elíp (hay Cauer) có gợn sóng ñồng ñều trong cả dải thông và dải chắn ñối với

cả N lẻ và chẵn. Loại bộ lọc này bao gồm cả ñiểm cực, ñiểm không và ñược ñặc trưng bởi bình phương ñáp ứng biên ñộ tần số như sau:

ở ñây UN(x) là hàm elíp Jacobian bậc N, nó ñã ñược Zverev tính theo phương

pháp lập bảng năm 1967 và là tham số liên quan tới ñộ gợn sóng dải thông. Các

ñiểm không nằm trên trục Ωj.

Như ñã biết khi thảo luận về bộ lọc FIR, việc tổng hợp có hiệu quả nhất xuất hiện nếu ta trải ñều sai số gần ñúng suốt băng thông và băng chắn. Bộ lọc elíp thực hiện

ñược mục tiêu này và chính vì thế là hiệu quả nhất theo quan ñiểm lấy bộ lọc cấp nhỏ nhất của tập chỉ tiêu ñã cho. Nói khác ñi, với một cấp và một tập chỉ tiêu ñã cho, bộ lọc

elíp có ñộ rộng băng chuyển tiếp nhỏ nhất.

(6.38)

[ ].)/(/)/(1

1|)(|

2222

ΩΩΩΩ+=Ω

SNCSN TTH

ε

(6.39)

(6.40)

(6.41)

178

Lưu ý: Vì biến ñổi tần số có thể ñược thực hiện trong miền tương tự hoặc trong

miền số, nên khi tổng hợp bộ lọc số IIR ta phải chọn phương án hợp lý và cân nhắc ñến loại bộ lọc cần tổng hợp. Cụ thể, phương pháp bất biến xung và ánh xạ ñạo

hàm là không thích hợp trong việc tổng hợp bộ lọc thông cao và nhiều bộ lọc thông dải, vì vấn ñề lẫn mẫu. Thay vào ñó, cần phải thực hiện ánh xạ từ bộ lọc tương tự vào

bộ lọc số thông thấp bằng một trong hai phép ánh xạ này và sau ñó thực hiện biến ñổi tần số trong miền số. Làm như thế sẽ tránh ñược sự lẫn mẫu. Khi dùng biến ñổi song

tuyến tính, việc lẫn mẫu là không thành vấn ñề và do ñó việc thực hiện phép biến ñổi tần số trong miền tương tự hay miền số là không quan trọng.

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1. Nguyễn Quốc Trung, Xử lý tín hiệu và lọc số-Tập 1, tập 2, Nhà xuất bản Khoa học và Kỹ thuật, Hà nội, 2001.

2. Nguyễn Lâm ðông, Nhập môn xử lý tín hiệu số, Nhà xuất bản Khoa học và Kỹ thuật, Hà nội, 2004.

3. Jonh G.Proakis and Dimitris G. Manolakis, Introduction to Digital Signal Processing, Maxwell Macmillan International Editions, New York 1989.

4. Jonh G.Proakis and Dimitris G. Manolakis, Digital Signal Processin: Principles Algorithms, and Applications, Macmillan Publishing Company, printed the republic of Singapore, 1992.

5. Leland B.Jackson, Signal, Systems and Transforms, Addision-Wesley Publishing Company, printed in the US of America 1991.

Documents

GIÁO TRÌNH XỬ LÝ SỐ TÍN HIỆU - tinhgiac.com · học, tín hiệu ñược biểu diễn bằng một hàm của một hay nhiều biến ñộc lập. Ví dụ 1.1. - Tín