Chuong 2-1 Tín hiệu và hệ thống

CHƯƠNG 2:PHÂN TÍCH HỆ THỐNG LTI TRONG MIỀN THỜI GIAN

2.1 Hệ thống liên tục

• Phương trình vi phân của hệ thống LTI liên tục

• Biểu diễn hệ thống bằng đáp ứng xung

• Mô hình biến trạng thái

Phương trình vi phân của hệ thống LTI

• Phương trình vi phân là loại mô hình toán học được sử dụng phổ biến nhất để biểu diễn các hệ thống trong nhiều lĩnh vực khác nhau• Đối với các hệ thống vật lý, phương trình vi phân biểu diễn hệ thống được thiết lập từ các phương trình của các định luật vật lý mà hoạt động của hệ thống tuân theo• Các hệ thống LTI được biểu diễn bởi các phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng


• Dạng tổng quát của các phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng biểu diễn các hệ thống tuyến tính bất biến:

với x(t) là tín hiệu lối vào, y(t) là tín hiệu lối ra của hệ thống

• Giải phương trình vi phân tuyến tính nói trên cho phép xác định tín hiệu ra y(t) theo tín hiệu vào x(t)

0 0

( ) ( )i jN M

i ji ji j

d y t d x ta b

dt dt= =

=å å


• Nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính hệ sốhằng có dạng như sau:

y0(t): háp ứng khởi đầu, còn gọi là áp ứng khi không có kích thích, là nghiệm của phương trình thuần nhất

(1)

ys(t): háp ứng ở trạng thái không, là nghiệm đặc biệt của phương trình đối với tín hiệu vào x(t)

0( ) ( ) ( )sy t y t y t= +

0

( )0

iN

i ii

d y ta

dt=

=å


• y0(t) là háp ứng của hệ thống đối với điều kiện của hệ thống tại thời điểm khởi đầu (t=0), không xét tới tín hiệu vào x(t)

• Phương trình thuần nhất (1) có nghiệm dạng est với s là biến phức, thay vào phương trình ta có:

→ s là nghiệm của phương trình đại số tuyến tính bậc N sau:

0

0N

i sti

i

a s e=

=å

0

0N

ii

i

a s=

=å (2)


• Phương trình (2) được gọi là phương trình đặc trưng của hệ thống• Gọi các nghiệm của (2) là {sk|k=1…N}, nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất (1) sẽ có dạng như sau nếu các nghiệm {sk} đều là nghiệm đơn:

Giá trị của các hệ số {ck} được xác định từ các điều kiện khởi đầu

01

( ) k

Ns t

kk

y t c e=

= å


• Trường hợp phương trình (2) có nghiệm bội thìnghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất (1) sẽcó dạng như sau:

trong đó pk là bội của nghiệm sk

1

00

( ) ( )k

k

ps t i

kk i

y t c e t-

=

= å å


• ys(t) là háp ứng của hệ thống đối với tín hiệu vào x(t) khi các điều kiện khởi đầu đều bằng 0

• ys(t) còn được gọi là nghiệm đặc biệt của phương trình vi phân tuyến tính biểu diễn hệ thống

• Để xác định ys(t), thông thường giả thiết ys(t) códạng tương tự tín hiệu vào x(t) với một vài hệ số chưa biết, sau đó thay vào phương trình để xác định các hệsố.


• Chú ý khi giả thiết dạng của ys(t): ys(t) phải độc lập với tất cả các thành phần của y0(t)• Ví dụ: nếu x(t)=eαt, ta có thể gặp một số trường hợp như sau:

• Nếu eαt không phải là một thành phần của y0(t), ta có thểgiả thiết ys(t) có dạng ceαt

• Nếu α là một nghiệm đơn của phương trình đặc trưng (2) → eαt là một thành phần của y0(t)→ys(t) phải có dạng cteαt

• Nếu α là một nghiệm bội bậc p của phương trình đặc trưng (2) → eαt, → teαt,…, → tp-1eαt là các thành phần của y0(t)→ys(t) phải có dạng ctpeαt

Biểu diễn hệ thống bằng đáp ứng xung

• Định nghĩa tích chập của hai tín hiệu: f(t) và g(t), ký hiệu là f(t)*g(t), được định nghĩa như sau:

( )* ( ) ( ) ( )f t g t f g t dt t t¥

-¥

= -ò


• Các tính chất của tích chập:

• Tính giao hoán:f(t)*g(t)=g(t)*f(t)

• Tính kết hợp:[f(t)*g(t)]*h(t)=f(t)*[g(t)*h(t)]

• Tính phân phối:[f(t)+g(t)]*h(t)=f(t)*h(t)+g(t)*h(t)


• Tính dịch thời gian: nếu x(t)=f(t)*g(t) thìx(t-t0) = f(t-t0)*g(t) = f(t)*g(t-t0)

• Tính nhân chập với tín hiệu xung đơn vịf(t)*δ(t)=f(t)

• Tính nhân quả: nếu f(t) và g(t) là các tín hiệu nhân quả thìf(t)*g(t) cũng là tín hiệu nhân quả


• Đáp ứng xung của hệ LTI:• Cho một hệ thống LTI được biểu diễn bằng mối quan hệy(t) = T[x(t)]. Ta có thể biến đổi biễu diễn đó như sau:

trong đó h(t) = T[δ(t)] được gọi là áp ứng xung của hệ LTI biểu diễn bởi T• Một hệ thống LTI là xác định khi đáp ứng xung của hệthống đó xác định

( ) [x(t)* (t)]= ( ) ( )

( ) [ ( )] ( )* ( )

y t x t d

x t d x t h t

d t d t t

t d t t

¥

-¥

¥

-¥

é ù= -ê ú

ë û

= - =

ò

ò

Τ T

T

Biểu diễn hệ thống bằng đáp ứng xung• Thủ tục tính tích chập:

( ) ( )* ( ) ( ) ( ) , ( ) ( ) ( )y t x t h t x h t d x h tt t t w t t t¥

-¥

= = - = -ò• Vẽ x(τ) và h(t-τ) là hàm của biến độc lập τ. Trong đó h(t-τ) thu được bằng cách ánh xạ h(τ) qua gốc thu được h(-τ), sau đó dịch h(-τ) đi t.

• Bắt đầu với t lớn và âm, dịch h(-τ) từ xa phía trái

• Viết biểu diễn toán học của ω(τ)

• Tăng độ dịch t, nghĩa là di chuyển h(t-τ) thẳng về phía bên phải cho tận tới khi biểu diễn toán học của ω(τ) thay đổi. Giá trị t tại đó ω(τ) thay đổi được xem làgiá trị kết thúc của tập hợp dịch hiện tại. Bắt đầu với tập hợp dịch mới.

• Đặt t trong một tập mới. Lặp lại hai bước ở trên cho mến khi tất cả các tập dịch của t tương ứng với biểu diễn ω(τ) được xác định.

• Với mỗi tập hợp dịch của t, ( ) ( )y t dw t t¥

-¥

= ò

Biểu diễn hệ thống bằng đáp ứng xung• Ví dụ tính tích chập: xác định y(t) của hệ thống có:

- Vẽ x(τ) và h(t-τ)

- Bắt đầu với t lớn và âm:

• t <1: ω(τ) = 0 → khoảng dịch thứ 1 là t<1


• t =1: cạnh phải của h(t-τ) trùng với cạnh trái của x(τ), khi tăng tiếp t >1 thì:

1 1( )

0 ác

t

kh

tw t

< <ì= íî

Biểu thức trên không đổi cho đến tận khi t>3 → khoảng dịch thứ 2 là 1≤t<3.

• Tiếp tục tăng cho tới khi t>3, khi đó t-2>1 sẽnằm trong x(τ) và

1 2 3( )

0 ác

t

kh

tw t

- < <ì= íî

Biểu thức trên không đổi cho đến tận khi t-2=3, nghĩa là t=5 → khoảng dịch thứ 3 là 3≤t<5.• Tại t≥5 thì ω(τ) = 0 → khoảng dịch thứ 4 là t≥5


• Lấy tích phân cho 4 khoảng dịch, ta được:


• Phân tích đáp ứng xung của hệ LTI:• Hệ thống tĩnh: háp ứng xung chỉ có giá trị khác không tại t = 0

• Hệ thống nhân quả: h(τ)=0 khi τ<0

• Hệ thống ổn định: khi và chỉ khi niều kiện sau đây đối với đáp ứng xung được thỏa mãn:

| ( ) |h t dt¥

-¥

< ¥ò


• Đáp ứng xung của các hệ thống ghép nối• Ghép nối tiếp hai hệ thống

Đáp ứng xung tổng hợp: h(t) = h1(t)*h2(t)• Ghép song song hai hệ thống

Đáp ứng xung tổng hợp: h(t) = h1(t) + h2(t)

Biến trạng thái của hệ thống

• Trạng thái của một hệ thống được mô tả bằng một tập hợp các biến trạng thái• Mô hình biến trạng thái của một hệ thống tuyến tính bất biến là tập hợp các phương trình vi phân của các biến trạng thái, cho phép xác định trạng thái trong tương lai của hệ thống khi biết trạng thái hiện thời vàtín hiệu vào, do đó hệ thống hoàn toàn xác định khi trạng thái khởi đầu của hệ thống là xác định• Mô hình biến trạng thái rất thuận tiện để biểu diễn hệthống đa biến


• Gọi {u1(t), u2(t),…,} là các tín hiệu vào, {y1(t), y2(t),…,} là các biến ra và {q1(t), q2(t),…,} là các biến trạng thái của hệ LTI.• Phương trình trạng thái của hệ thống là các phương trình vi phân tuyến tính bậc nhất:

• Các tín hiệu ra được xác định từ biến trạng thái vàcác tín hiệu vào như sau:

ij ik

( )( ) ( ) ( 1,2...)ij k

j k

dq ta q t k u t i

dt= + =å å

ij ik( ) ( ) ( ) ( 1,2...)i j kj k

y t c q t d u t i= + =å å


• Mô hình trạng thái của một hệ thống tuyến tính bất biến thường được biểu diễn dưới dạng ma trận như sau:

trong đó: u(t), y(t), q(t) là vecto cột với các phần tửlần lượt là các tín hiệu vào, tín hiệu ra và các biến trạng thái của hệ thống. A,B,C,D là các ma trận hệ số

( )( ) ( )

( ) ( ) ( )

d tt t

dtt t t

= +

= +

qAq Bu

y Cq Du


• Thiết lập phương trình trạng thái từ phương trình vi phân biểu diễn hệ thống LTI sau đây:

• Đặt uj(t) = djx(t)/dtj (j=0…M) là các tín hiệu vào của hệ thống và viết lại phương trình trên dưới dạng:

0 0

( ) ( )i jN M

i ji ji j

d y t d x ta b

dt dt= =

=å å

0 0

( )( )

iN M

i j jii j

d y ta b u t

dt= =

=å å


• Chọn các biến trạng thái như sau:

• Các phương trình trạng thái

1

1 2 1

( ) ( )( ) ( ), ( ) ,..., ( )

N

N N

dy t d y tq t y t q t q t

dt dt

-

-= = =

1 2 12 3

1

10 0

( ) ( ) ( )( ), ( ),..., ( )

( ) 1( ) ( )

NN

N MN

i i j ji jN

dq t dq t dq tq t q t q t

dt dt dt

dq taq t b u t

dt a

-

-

+= =

= = =

é ù= - +ê ú

ë ûå å

Documents

Chuong 2-1 Tín hiệu và hệ thống