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Área 1Superficie (matemática) 7Integración 10Suma de Riemann 31Teorema fundamental del cálculo 32

ReferenciasFuentes y contribuyentes del artículo 36Fuentes de imagen, Licencias y contribuyentes 37

Licencias de artículosLicencia 38

Área 1

ÁreaEl área es una medida de la extensión de una superficie, expresada en unidades de medida denominadassuperficiales. Para superficies planas el concepto es más intuitivo. Cualquier superficie plana de lados rectos puedetriangularse y se puede calcular su área como suma de las áreas de dichos triángulos. Ocasionalmente se usa eltérmino "área" como sinónimo de superficie, cuando no existe confusión entre el concepto geométrico en sí mismo(superficie) y la magnitud métrica asociada al concepto geométrico (área).Sin embargo, para calcular el área de superficies curvas se requiere introducir métodos de geometría diferencial.Para poder definir el área de una superficie en general –que es un concepto métrico–, se tiene que haber definido untensor métrico sobre la superficie en cuestión: cuando la superficie está dentro de un espacio euclídeo, la superficiehereda una estructura métrica natural inducida por la métrica euclídea.

HistoriaLa idea de que el área es la medida que proporciona el tamaño de la región encerrada en una figura geométricaproviene de la antigüedad. En el Antiguo Egipto, tras la crecida anual de río Nilo inundando los campos, surgenecesidad de calcular el área de cada parcela agrícola para restablecer sus límites; para solventar eso, los egipciosinventaron la geometría, según Heródoto.[1]

El modo de calcular el área de un polígono como la suma de las áreas de los triángulos, es un método que fuepropuesto por primera vez por el sabio griego Antifón hacia el año 430 a. C. Hallar el área de una figura curvaentraña más dificultad. El método de agotamiento consiste en inscribir y cincunscribir polígonos en la figurageométrica, aumentar el número de lados de dichos polígonos y hallar el área buscada. Con este sistema, que seconoce como método de exhausción de Eudoxo, consiguió hallar la fórmula para calcular el área de un círculo.Dicho sistema fue empleado tiempo después por Arquímedes para resolver otros problemas similares,[2] así como elcálculo aproximado del número π.

Área de figuras planas

Área de un triángulo

Áreas.

• El área de un triángulo es igual al semiproducto entre lalongitud de una base y la altura relativa a esta:[3]

Área 2

donde b es la base del triángulo y h es la altura correspondiente a la base. (se puede considerar cualquier ladocomo base)

• Si el triángulo es rectángulo, la altura coincide con uno de los catetos, con lo cual el área es igual al semiproductode los catetos:

donde a y b son los catetos.• Si se conoce la longitud de sus lados, se puede aplica la fórmula de Herón.

donde a, b, c son los valores de las longitudes de sus lados, s = ½ (a + b + c) es el semiperimetro deltriángulo.

• Si el triángulo es equilátero, el área es igual a un cuarto del cuadrado de un lado por la raíz cuadrada de 3:

donde a es un lado del triángulo.

Área de un cuadrilátero

Trapezoide.

• El área del trapezoide o de cualquier cuadrilátero es igual alsemiproducto de sus diagonales por el seno del angulo queforman.

El área también se puede obtener mediante triangulación:

Siendo:el ángulo comprendido entre los lados y .el ángulo comprendido entre los lados y .

• El rectángulo es un paralelogramo cuyos ángulos son todos de 90º, y el área es igual al producto de dos de suslados contiguos a y b:[3]

Área 3

• El rombo es un paralelogramo, cuyos 4 lados son iguales, y tiene su área dada por el semiproducto de sus dosdiagonales:

• El cuadrado es el polígono regular de cuatro lados; es a la vez un rectángulo y un rombo, por lo que su área puedeser calculada de la misma manera que la de estos dos. En particular, dado que sus lados son iguales, se usa lafórmula:[3]

• El romboide tiene su área dada por el producto de uno de sus lados y su altura respectiva:[3]

• El trapecio, el cual tiene dos lados opuestos paralelos entre sí y dos lados no paralelos, tiene un área que vienedada por la media aritmética de sus lados paralelos multiplicado por la distancia entre ellos (altura):[3]

Área del círculo y la elipseEl área de un círculo, o la delimitada por una circunferencia, se calcula mediante la siguiente expresiónmatemática:[4]

El área delimitada entre la gráfica de dos curvas puedecalcularse mediante la diferencia entre las integrales de

ambas funciones.

El área delimitada por una elipse es similar y se obtiene como producto del semieje mayor por el semieje menormultiplicados por π:[5]

Área 4

Área delimitada entre dos funcionesUna forma para hallar el área delimitada entre dos funciones, es utilizando el cálculo integral:

El resultado de esta integral es el área comprendida entre las curvas: y en el intervalo .Ejemplo

Si se quiere hallar el área delimitada entre el eje x y la función en el intervalo , se utilizala ecuación anterior, en este caso: entonces evaluando la integral, se obtiene:

Por lo que se concluye que el área delimitada es .

El volumen encerrado entre dos funciones también puede ser reducido al cálculo de una integral, similar.

Área de superficies curvasEl área de una superficie curva es más complejo y en general supone realizar algún tipo de idealización o límite paramedirlo.• Cuando la superficie es desarrollable, como sucede con el área lateral de un cilindro o de un cono el área de la

superficie puede calcularse a partir del área desarrollada que siempre es una figura plana. Una condiciónmatemática necesaria para que una superficie sea desarrollable es que su curvatura gaussiana sea nula.

• Cuando la superficie no es desarrollable, el cálculo de la superficie o la fórmula analítica para encontrar dichovalor es más trabajoso. Un ejemplo de superficie no desarrollable es la esfera ya que su curvatura gaussianacoincide con el inverso de su radio al cuadrado, y por tanto no es cero. Sin embargo la esfera es una superficie derevolución.

Superficie de revolución

Una superficie de revolución generada por una tramode la curva y=2+cos x rotada alrededor del eje x.

Área 5

Cuando una superficie curva puede ser generada haciendo girar un curva plana o generatriz alrededor de un ejedirectriz, la superficie resultante se llama superficie de revolución y su área puede ser calculada fácilmente a partirde la longitud de la curva generatriz que al girar conforma la superficie. Si y=f(x) es la ecuación que define un tramode curva, al girar esta curva alrededor del eje X se genera una superficie de revolución cuya área lateral vale:

Ejemplos particulares de superficies de revolución son:• El área de esfera de radio R que viene dada por

• El área de un cono de radio R y de altura h viene dada por • El área lateral de un cilindro de radio R y altura h es simplemente

Cálculo general de áreasMediante la geometría diferencial de superficies o más generalmente la geometría riemanniana puede calcularse elárea de cualquier superficie curva finita. Si la superficie viene dada por la función explícita z = f(x, y) entonces, dadauna región Ω contenida en una superficie su área resultar ser:

De manera un poco más general si conocemos la ecuación paramétrica de la superficie en función de doscoordenadas cualesquiera u y v entonces el área anterior puede escribirse como:

Donde E, F y G son las componentes del tensor métrico o primera forma fundamental de la superificie en lascoordenadas paramétricas u y v.

Unidades de medida de superficies

Sistema InternacionalMúltiplos:

• Kilómetro cuadrado: 106 metros cuadrados• Hectómetro cuadrado o Hectárea: 104 metros cuadrados• Decámetro cuadrado o Área: 102 metros cuadradosUnidad básica:

• metro cuadrado: unidad derivada del SISubmúltiplos:

• Decímetro cuadrado: 10-2 metros cuadrados• Centímetro cuadrado: 10−4 metros cuadrados• Milímetro cuadrado: 10−6 metros cuadrados• barn: 10−28 metros cuadrados

Área 6

Sistema anglosajón de unidadesLas unidades más usadas del sistema anglosajón son:• pulgada cuadrada• pie cuadrado• yarda cuadrada• acre

Véase también• Unidad de medida• Metrología

Referencias[1] Heródoto Historias, Libro II.[2] El problema del área: fca.unl.edu.ar[3] Spiegel y Abellanas, 1992, p.9[4] Spiegel y Abellanas, 1992, p. 10[5] Spiegel y Abellanas, 1992, p. 11

Bibliografía• Spiegel, Murray R.; Abellanas, Lorenzo. McGraw-Hill. ed. Fórmulas y tablas de matemática aplicada. Aravaca

(Madrid). ISBN 84-7615-197-7.

Enlaces externos• Weisstein, Eric W., « Area (http:/ / mathworld. wolfram. com/ Area. html)» (en inglés), MathWorld, Wolfram

Research.• El problema del área, en fca.unl.edu.ar (http:/ / www. fca. unl. edu. ar/ Intdef/ Probarea. htm)• El valor del área representada gráficamente, en fca.unl.edu.ar (http:/ / www. fca. unl. edu. ar/ Intdef/

problemadelarea. htm)

Superficie (matemática) 7

Superficie (matemática)

Ilustración de una superficie curvada, inmersa en , orientable ycon borde; sobre la que se ha dibujado un conjunto de líneas

coordenadas ortoganles.

Una superficie es de hecho un conjunto de puntos deun espacio euclídeo que forma un espacio topológicobidimensional que localmente, es decir, visto de cercase parece al espacio euclídeo bidimensional. Asíalrededor de cada punto de una superficie esta seaproxima bien por el plano tangente a la superficie endicho punto.

Una definición tradicional de superficie que alude atérminos intuitivos pero con la que resulta fácil trabajardesde un punto de vista matemático fue la dada porEuclides:Una superficie es aquello que sólo tiene longitud yanchura.

Euclides, Los Elementos, Libro I, definición 5ª.

Definiciones formales

Una superficie es una variedad bidimensional, es decir, un objeto topológico que localmente "se parece" al planoeuclídeo (tecnicamente localmente homeomorfo al plano). Eso significa que si tomamos una porción muypequeña de la superficie es parecida a al plano euclídeo, al igual que en medio de una llanura la superficie local de latierra nos parece plana.Más formalmente el homeomorfismo local entre una superficie y el plano euclídeo implica que para cada punto deuna superficie hay una vecindad de P (una pequeña región que la rodea) que es homeomorfa a un disco abierto de

. Esta propiedad de ser homeomorfa con el plano permite construir un sistema de coordenadas localbidimensional en torno a cualquier punto en la superficie. Se puede llamar al homeomorfismo local que va de lasuperficie a como carta y al inverso (de este homeomorfismo) parametrización. No siempre es posibleparametrizar una superficie con un único homeomorfismo local.Una superficie (topológica) con frontera es un espacio topológico de tipo Hausdorff en que cada punto tiene unavecindad abierta V para la que existe un homeomorfismo φ con un conjunto abierto del semiplano superior del planoeuclídeo . El par ordenado (V, φ) se llama carta (local) de coordenadas del punto [esta carta no es única porquepara cada punto existen de hecho muchas posibles elecciones de coordenadas].

Propiedades y tipos de superficiesLas superficies usuales son versiones curvadas del plano, de hecho son localmente homeomorfas a él. No es extrañopor tanto que varios tipos de superficies interesantes en las aplicaciones, se definan a partir de propiedades decurvatura respecto al plano euclídeo o en términos de isometrías. Además otros conceptos topológicos interesantescomo la orientabilidad permiten expresar formalmente ciertas propiedades de las superficies.Véanse también: Variedad diferenciable, Variedad algebraica y Variedad topológica

Superficie (matemática) 8

Superficies cerradas

Un ejemplo de una superficie cerrada ymúltiplemente conexa es el triple toro.

Intuitivamente una superfice cerrada en el espacio tridimensionales cualquier superfice que encierra un volumen, dividiendo a dichoespacio en una región "acotada" y una región "no acotada". En 4 omás dimensiones también existen superficies cerradas pero lanoción intuitiva anterior no es válida, ya que las superficiescerradas en más dimensiones no dividen al espacio de esta forma.Por esa razón para definir que es una superificie cerrada se recurrea definición más formal que usa el concepto de "fronteratopológica":

Una superficie cerrada es una superficie que no tienefrontera.

• Puede comprobarse que en tres dimensiones una superficie sin frontera encierra un volumen, como por ejemplo laesfera y el toro o "donut", estas superficies son además superficies orientables. De hecho todas las superficiescerradas inmersas en el espacio tridimensional son orientables, a diferencia de lo que ocurre en más dimensiones.

• Otras superficies cerradas más exóticas son el plano proyectivo y la botella de Klein (definible en 4 dimensiones).• Un disco (en ), un cilindro y la banda de Möbius son ejemplos de superficies con frontera. Como la imagen

de la derecha.

Superficies desarrollables, regladas y alabeadasAlgunas superficies tienen propiedades interesantes que son expresables en términos de su curvatura, estos tipos sonlas superficies desarrollables, regladas y alabeadas:• Intuitivamente una superficie es desarrollable si puede fabricarse a partir de un plano euclídeo mediante

"doblado". El cono y el cilindro son desarrollables, lo cual se manifiesta en que se pueden construir modelosapropiados a partir de una hoja de papel o cartulina plana. Formalmente dada una superficie desarrollable existeuna isometría entre la superficie y el plano euclídeo. Una condición necesaria y suficiente para que una superficiese desarrollable, se desprende del theorema egregium de Gauss, es que la curvatura gaussiana de dicha superficiesea idénticamente nula.

• Una superfice reglada cuando el plano tangente para cada punto de la misma contiene una línea rectacompletamente contenida sobre la superficie. Una condición necesaria es que la segunda forma fundamental seaen ese punto una forma cuadrática indefinida y por tanto la curvatura gaussiana es negativa.

• Una superficie alabeada es una superficie reglada y no-desarrollable.

Superficie (matemática) 9

Superficies orientables

La banda de Möbius es una superficie no-orientablecon una frontera (su frontera es una curva cerrada

simple).

Una última propiedad menos intutiva es la de orientabilidad, quepermite distintguir entre superficies orientables y no-orientables.Una superficie orientable puede definirse simplemente como unavariedad orientable de dimensión dos, donde toda curva cerradasimple contenida, tiene una vecindad regular homeomorfa a uncilindro abierto. Cualquier variedad de dimensión dos que no esorientable es una superficie no-orientable. Esto es, existe almenos una curva cerrada simple contenida, que tiene una vecindadregular homeomorfa a una banda de Möbius.

Las superficies orientables cerradas tienen la propiedad dedividir el espacio tridimensional (donde siempre pueden serencajadas) en dos regiones diferentes y disjuntas: una acotada pordicha superficie que es de volumen finito y otra no acotadaexterior a dicho volumen.

Este término se utiliza para distinguirlas de las superficies que no encierran nada en su interior, como un planoinfinito en referencia al espacio tridimensional. Es imposible hablar de que las superficies no orientables dividan alespacio tridimensional pues estas superficies no pueden ser encajas en él.

Teorema de clasificación de superficies cerradasUn importante resultado matemático es el teorema de clasificación de superficies cerradas, el cual afirma que todasuperficie cerrada (es decir, compacta y sin frontera o borde) es homeomorfa a algún miembro de las siguientes tresfamilias de superficies:1. la esfera;2. la suma conexa de -toros, siendo ;3. la suma conexa de k planos proyectivos reales, siendo .Dicho de otra manera, las superficies anteriores son todas las superficies cerradas que existen (salvohomeomorfismo). La superficies de las dos primeras familias son orientables. Es conveniente combinar las dosprimeras familias, considerando la esfera como la suma conexa de cero toros. El número g de toros involucrados enla construcción se denomina género de la superficie. Puesto que la esfera y el toro tienen características de Euler 2 y0, respectivamente, se deduce que la característica de Euler de la suma conexa de g toros es precisamente .

Deformando una 2-variedad con frontera.

Las superficies de la tercera familia son no-orientables. Lacaracterística de Euler del plano proyectivo real es 1, así la sumaconexa de k de ellos es is .

De todo esto se sigue, que una superficie cerrada está determinada-salvo homeomorfismo- por dos propiedades: el valor numérico desu característica de Euler (o su género) y si es o no-orientable.Es posible clasificar también las superficies que no son cerradas(es decir, con frontera). Esto se obtiene como el esquema anterior,añadiendo el número de fronteras que tiene la superficie.

Superficie (matemática) 10

Véase también• Variedad diferenciable• Variedad algebraica• Variedad topológica• Geometría diferencial de superficies• Área

Enlaces externos• Wikimedia Commons alberga contenido multimedia sobre Superficie (matemática). Commons• Surface [1] en la Enciclopedia en-línea de la Springer-Verlag• Clasificación de las superficies, en webdelprofesor.ula.ve [2]

Referencias[1] http:/ / eom. springer. de/ S/ s091330. htm[2] http:/ / webdelprofesor. ula. ve/ nucleotrujillo/ alperez/ teoria/ cap_01a-conceptos_geometricos/ 05-superficie. htm

Integración

La integral definida de una función representa elárea limitada por la gráfica de la función, consigno positivo cuando la función toma valores

positivos y negativo cuando toma valoresnegativos.

La integración es un concepto fundamental de las matemáticasavanzadas, especialmente en los campos del cálculo y del análisismatemático. Básicamente, una integral es una suma de infinitossumandos, infinitamente pequeños.

El cálculo integral, encuadrado en el cálculo infinitesimal, es unarama de las matemáticas en el proceso de integración o antiderivación,es muy común en la ingeniería y en la matemática en general y seutiliza principalmente para el cálculo de áreas y volúmenes de regionesy sólidos de revolución.

Fue usado por primera vez por científicos como Arquímedes, RenéDescartes, Isaac Newton, Gottfried Leibniz e Isaac Barrow. Lostrabajos de este último y los aportes de Newton generaron el teoremafundamental del cálculo integral, que propone que la derivación y laintegración son procesos inversos.

Integración 11

Principales objetivos del cálculo integralSus principales objetivos a estudiar son:• Área de una región plana• Cambio de variable• Integrales indefinidas• Integrales definidas• Integrales impropias• Integrales múltiples (dobles o triples)• Integrales trigonométricas, logarítmicas y exponenciales• Métodos de integración• Teorema fundamental del cálculo• Volumen de un sólido de revolución

TeoríaDada una función f(x) de una variable real x y un intervalo [a,b] de la recta real, la integral

es igual al área de la región del plano xy limitada entre la gráfica de f, el eje x, y las líneas verticales x = a y x = b,donde son negativas las áreas por debajo del eje x.La palabra "integral" también puede hacer referencia a la noción de primitiva: una función F, cuya derivada es lafunción dada f. En este caso se denomina integral indefinida, mientras que las integrales tratadas en este artículoson las integrales definidas. Algunos autores mantienen una distinción entre integrales primitivas e indefinidas.Newton y Leibniz a finales del siglo XVII. A través del teorema fundamental del cálculo, que desarrollaron los dosde forma independiente, la integración se conecta con la derivación, y la integral definida de una función se puedecalcular fácilmente una vez se conoce una antiderivada. Las integrales y las derivadas pasaron a ser herramientasbásicas del cálculo, con numerosas aplicaciones en ciencia e ingeniería.Bernhard Riemann dio una definición rigurosa de la integral. Se basa en un límite que aproxima el área de una regióncurvilínea a base de partirla en pequeños trozos verticales. A comienzos del siglo XIX, empezaron a aparecernociones más sofisticadas de la integral, donde se han generalizado los tipos de las funciones y los dominios sobrelos cuales se hace la integración. La integral curvilínea se define para funciones de dos o tres variables, y el intervalode integración [a,b] se sustituye por una cierta curva que conecta dos puntos del plano o del espacio. En una integralde superficie, la curva se sustituye por un trozo de una superficie en el espacio tridimensional.Las integrales de las formas diferenciales desempeñan un papel fundamental en la geometría diferencial moderna.Estas generalizaciones de la integral surgieron primero a partir de las necesidades de la física, y tienen un papelimportante en la formulación de muchas leyes físicas cómo, por ejemplo, las del electromagnetismo. Los conceptosmodernos de integración se basan en la teoría matemática abstracta conocida como integral de Lebesgue, que fuedesarrollada por Henri Lebesgue.

Integración 12

Historia

Integración antes del cálculoLa integración se puede trazar en el pasado hasta el antiguo Egipto, circa 1800 a. C., con el papiro de Moscú, dondese demuestra que ya se conocía una fórmula para calcular el volumen de un tronco piramidal. La primera técnicasistemática documentada capaz de determinar integrales es el método de exhausción de Eudoxo (circa 370 a. C.),que trataba de encontrar áreas y volúmenes a base de partirlos en un número infinito de formas para las cuales seconocieran el área o el volumen. Este método fue desarrollado y usado más adelante por Arquímedes, que lo empleópara calcular áreas de parábolas y una aproximación al área del círculo. Métodos similares fueron desarrollados deforma independiente en China alrededor del siglo III por Liu Hui, que los usó para encontrar el área del círculo. Mástarde, Zu Chongzhi usó este método para encontrar el volumen de una esfera. En el Siddhanta Shiromani, un libro deastronomía del siglo XII del matemático indio Bhaskara II, se encuentran algunas ideas de cálculo integral.Hasta el siglo XVI no empezaron a aparecer adelantos significativos sobre el método de exhausción. En esta época,por un lado, con el trabajo de Cavalieri con su método de los indivisibles y, por otro lado, con los trabajos de Fermat,se empezó a desarrollar los fundamentos del cálculo moderno. A comienzos del siglo XVII, se produjeron nuevosadelantos con las aportaciones de Barrow y Torricelli, que presentaron los primeros indicios de una conexión entre laintegración y la derivación.

Newton y LeibnizLos principales adelantos en integración vinieron en el siglo XVII con la formulación del teorema fundamental delcálculo, realizado de manera independiente por Newton y Leibniz. El teorema demuestra una conexión entre laintegración y la derivación. Esta conexión, combinada con la facilidad, comparativamente hablando, del cálculo dederivadas, se puede usar para calcular integrales. En particular, el teorema fundamental del cálculo permite resolveruna clase más amplia de problemas. También cabe destacar todo el marco estructural alrededor de las matemáticasque desarrollaron también Newton y Leibniz. El llamado cálculo infinitesimal permitió analizar, de forma precisa,funciones con dominios continuos. Posteriormente, este marco ha evolucionado hacia el cálculo moderno, cuyanotación para las integrales procede directamente del trabajo de Leibniz.

Formalización de las integralesAunque Newton y Leibniz suministraron un enfoque sistemático a la integración, su trabajo carecía de un ciertonivel de rigor. Es memorable el ataque del obispo Berkeley calificando los infinitesimales como los "fantasmas delas cantidades que se desvanecen". El cálculo adquirió una posición más firme con el desarrollo de los límites y, enla primera mitad del siglo XIX, recibió una fundamentación adecuada por parte de Cauchy. La integración fuerigurosamente formalizada por primera vez por Riemann, empleando límites. A pesar de que todas las funcionescontinuas fragmentadas y acotadas son integrables en un intervalo acotado, más tarde se consideraron funciones másgenerales para las cuales no se aplica la definición de Riemann, y Lebesgue formuló una definición diferente de laintegral[1] basada en la teoría de la medida. También se propusieron otras definiciones de integral, que amplían lasdefiniciones de Riemann y Lebesgue.

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NotaciónIsaac Newton usaba una pequeña barra vertical encima de una variable para indicar integración, o ponía la variabledentro de una caja. La barra vertical se confundía fácilmente con o , que Newton usaba para indicar laderivación, y además la notación "caja" era difícil de reproducir por los impresores; por ello, estas notaciones nofueron ampliamente adoptadas.La notación moderna de las integrales indefinidas fue presentada por Gottfried Leibniz en 1675.[2] [3] Para indicarsumma (en latín, "suma" o "total"), adaptó el símbolo integral, "∫", a partir de una letra S alargada. La notaciónmoderna de la integral definida, con los límites arriba y abajo del signo integral, la usó por primera vez JosephFourier en Mémoires de la Academia Francesa, alrededor de 1819–20, reimpresa en su libro de 1822.[4] [5] En lanotación matemática en árabe moderno, que se escribe de derecha a izquierda, se usa un signo integral invertido .[6]

Terminología y notación

En los chelos también puedeobservarse el símbolo de la integral.

Si una función tiene una integral, se dice que es integrable. De la función de lacual se calcula la integral se dice que es el integrando. Se denomina dominiode integración a la región sobre la cual se integra la función. Si la integral notiene un dominio de integración, se considera indefinida (la que tiene dominiose considera definida). En general, el integrando puede ser una función de másde una variable, y el dominio de integración puede ser un área, un volumen, unaregión de dimensión superior, o incluso un espacio abstracto que no tieneestructura geométrica en ningún sentido usual.

El caso más sencillo, la integral de una función real f de una variable real xsobre el intervalo [a, b], se escribe

El signo ∫, una "S" alargada, representa la integración; a y b son el límite inferior y el límite superior de laintegración y definen el dominio de integración; f es el integrando, que se tiene que evaluar al variar x sobre elintervalo [a,b]; y dx puede tener diferentes interpretaciones dependiendo de la teoría que se emplee. Por ejemplo,puede verse simplemente como una indicación de que x es la variable de integración, como una representación de lospasos en la suma de Riemann, una medida (en la integración de Lebesgue y sus extensiones), un infinitesimal (enanálisis no estándar) o como una cantidad matemática independiente: una forma diferencial. Los casos máscomplicados pueden variar la notación ligeramente.

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Conceptos y aplicaciones

Este artículo o sección tiene un estilo difícil de entender para los lectores interesados en el tema.Si puedes, por favor edítalo [7] y contribuye a hacerlo más accesible para el público general, sin eliminar los detalles técnicos queinteresan a los especialistas.

Las integrales aparecen en muchas situaciones prácticas. Consideremos una piscina. Si es rectangular, entonces, apartir de su longitud, anchura y profundidad, se puede determinar fácilmente el volumen de agua que puede contener(para llenarla), el área de la superficie (para cubrirla), y la longitud de su borde (para atarla). Pero si es ovalada conun fondo redondeado, todas estas cantidades piden integrales. Al comienzo puede ser suficiente con aproximacionesprácticas, pero al final harán falta respuestas exactas y rigurosas a este tipo de problemas.

Aproximaciones a la integral de √x entre 0 y 1,con ■ 5 muestras por la izquierda (arriba) y ■ 12

muestras por la derecha (abajo).

Para empezar, se considerará la curva y = f(x) entre x = 0 y x = 1,suponiendo que f(x) = √x. La pregunta es:

¿Cuál es el área bajo la función f, al intervalo desde 0 hasta 1?Esta área (todavía desconocida) será la integral de f. La notación paraesta integral será

.

Como primera aproximación, se mira al cuadrado unidad dado por los lados x=0 hasta x=1 y y=f(0)=0 y y=f(1)=1. Suárea es exactamente 1. Tal como se puede ver, el verdadero valor de la integral tiene que ser de alguna forma máspequeño. Reduciendo el ancho de los rectángulos empleados para hacer la aproximación se obtendrá un mejorresultado; así, se parte el intervalo en cinco pasos, empleando para la aproximación los puntos 0, 1⁄5, 2⁄5, así hasta 1.Se ajusta una caja cada paso empleando la altura del lado derecho de cada pedazo de la curva, así √1⁄5, √2⁄5, y asíhasta √1 = 1. Sumando las áreas de estos rectángulos, se obtiene una mejor aproximación de la integral que se estábuscando,

Nótese que se está sumando una cantidad finita de valores de la función f, multiplicados por la diferencia entre dospuntos de aproximación sucesivos. Se puede ver fácilmente que la aproximación continúa dando un valor másgrande que el de la integral. Empleando más pasos se obtiene una aproximación más ajustada, pero no será nuncaexacta: si en vez de 5 subintervalos se toman doce y se coge el valor de la izquierda, tal como se muestra en eldibujo, se obtiene un valor aproximado para el área, de 0,6203, que en este caso es demasiado pequeño. La ideaclave es la transición desde la suma de una cantidad finita de diferencias de puntos de aproximación multiplicadospor los respectivos valores de la función, hasta usar pasos infinitamente finos, o infinitesimales. La notación

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concibe la integral como una suma ponderada (denotada por la "S" alargada), de los valores de la función (como lasalzadas, y = f(x)) multiplicados por pasos de anchura infinitesimal, los llamados diferenciales (indicados por dx).Con respecto al cálculo real de integrales, el teorema fundamental del cálculo, debido a Newton y Leibniz, es elvínculo fundamental entre las operaciones de derivación e integración. Aplicándolo a la curva raíz cuadrada, se tieneque mirar la función relacionada F(x) = 2⁄3x3/2 y simplemente coger F(1)−F(0), donde 0 y 1 son las fronteras delintervalo [0,1]. (Éste es un ejemplo de una regla general, que dice que para f(x) = xq, con q ≠ −1, la funciónrelacionada, la llamada primitiva es F(x) = (xq+1)/(q+1).) De modo que el valor exacto del área bajo la curva secalcula formalmente como

Históricamente, después de que los primeros esfuerzos de definir rigurosamente los infinitesimales no fructificasen,Riemann definió formalmente las integrales como el límite de sumas ponderadas, de forma que el dx sugiere el límitede una diferencia (la anchura del intervalo). La dependencia de la definición de Riemann de los intervalos y lacontinuidad motivó la aparición de nuevas definiciones, especialmente la integral de Lebesgue, que se basa en lahabilidad de extender la idea de "medida" de maneras mucho más flexibles. Así, la notación

hace referencia a una suma ponderada de valores en que se divide la función, donde μ mide el peso que se tiene queasignar a cada valor. (Aquí A indica la región de integración.) La geometría diferencial, con su "cálculo devariedades", proporciona otra interpretación a esta notación familiar. Ahora f(x) y dx pasan a ser una formadiferencial, ω = f(x)dx, aparece un nuevo operador diferencial d, conocido como la derivada exterior, y el teoremafundamental pasa a ser el (más general) teorema de Stokes,

a partir del cual se deriva el teorema de Green, el teorema de la divergencia, y el teorema fundamental del cálculo.Recientemente, los infinitesimales han reaparecido con rigor, a través de innovaciones modernas como el análisis noestándar. Estos métodos no sólo reivindican la intuición de los pioneros, también llevan hacia las nuevasmatemáticas, y hacen más intuitivo y comprensible el trabajo con cálculo infinitesimal.A pesar de que hay diferencias entre todas estas concepciones de la integral, hay un solapamiento considerable. Así,el área de la piscina oval se puede hallar como una elipse geométrica, como una suma de infinitesimales, como unaintegral de Riemann, como una integral de Lebesgue, o como una variedad con una forma diferencial. El resultadoobtenido con el cálculo será el mismo en todos los casos.

Integración 16

Integral de Riemann

Integral con el planteamiento de Riemann haceuna suma basada en una partición etiquetada, conposiciones de muestreo y anchuras irregulares (elmáximo en rojo). El verdadero valor es 3,76; la

estimación obtenida es 3,648.

La integral de Riemann se define en términos de sumas de Riemann defunciones respecto de particiones etiquetadas de un intervalo. Sea [a,b]un intervalo cerrado de la recta real; entonces una partición etiquetadade [a,b] es una secuencia finita

Convergencia de sumatorios de Riemann a medida en que se partenlos intervalos, cuando se muestrea a ■ la derecha, ■ el mínimo, ■ el

máximo, o ■ la izquierda.

Esto divide al intervalo [a,b] en n subintervalos [xi−1,xi], cada uno de los cuales es "etiquetado" con un puntoespecificado ti de; [xi−1, xi]. Sea Δi = xi−xi−1 la anchuradel subintervalo i; el paso de esta partición etiquetadaes el ancho del subintervalo más grande obtenido por lapartición, maxi=1…n Δi. Un sumatorio de Riemann deuna función f respecto de esta partición etiquetada sedefine como

Así cada término del sumatorio es el área del rectángulo con altura igual al valor de la función en el puntoespecificado del subintervalo dado, y de la misma anchura que la anchura del subintervalo. La integral de Riemannde una función f sobre el intervalo [a,b] es igual a S si:

Para todo ε > 0 existex δ > 0 tal que, para cualquier partición etiquetada [a,b] con paso más pequeño que δ, setiene

Integración 17

Cuando las etiquetas escogidas dan el máximo (o mínimo) valor de cada intervalo, el sumatorio de Riemann pasa aser un sumatorio de Darboux superior (o inferior), lo que sugiere la estrecha conexión que hay entre la integral deRiemann y la integral de Darboux.

Integral de LebesgueLa integral de Riemann no está definida para un ancho abanico de funciones y situaciones de importancia práctica (yde interés teórico). Por ejemplo, la integral de Riemann puede integrar fácilmente la densidad para de obtener lamasa de una viga de acero, pero no se puede adaptar a una bola de acero que se apoya encima. Esto motiva lacreación de otras definiciones, bajo las cuales se puede integrar un surtido más amplio de funciones.[8] La integral deLebesgue, en particular, logra una gran flexibilidad a base de centrar la atención en los pesos de la suma ponderada.Así, la definición de la integral de Lebesgue empieza con una medida, μ. En el caso más sencillo, la medida deLebesgue μ(A) de un intervalo A = [a, b] es su ancho, b − a, así la integral de Lebesgue coincide con la integral deRiemann cuando existen ambas. En casos más complicados, los conjuntos a medir pueden estar altamentefragmentados, sin continuidad y sin ningún parecido a intervalos.Para explotar esta flexibilidad, la integral de Lebesgue invierte el enfoque de la suma ponderada. Como expresaFolland:[9] "Para calcular la integral de Riemann de f, se particiona el dominio [a, b] en subintervalos", mientras queen la integral de Lebesgue, "de hecho lo que se está partiendo es el recorrido de f".Un enfoque habitual define primero la integral de la función característica de un conjunto medible A por:

.

Esto se extiende por linealidad a las funciones escalonadas simples, que sólo tienen un número finito n, de valoresdiferentes no negativos:

(donde la imagen de Ai al aplicarle la función escalonada s es el valor constante ai). Así, si E es un conjunto medible,se define

Entonces, para cualquier función medible no negativa f se define

Es decir, se establece que la integral de f es el supremo de todas las integrales de funciones escalonadas que son máspequeñas o iguales que f. Una función medible cualquiera f, se separa entre sus valores positivos y negativos a basede definir

Integración 18

Finalmente, f es Lebesgue integrable si

y entonces se define la integral por

Cuando el espacio métrico en el que están definidas las funciones es también un espacio topológico localmentecompacto (como es el caso de los números reales R), las medidas compatibles con la topología en un sentidoadecuado (medidas de Radon, de las cuales es un ejemplo la medida de Lebesgue) una integral respecto de ellas sepuede definir de otra manera, se empieza a partir de las integrales de las funciones continuas con soporte compacto.De forma más precisa, las funciones compactamente soportadas forman un espacio vectorial que comporta unatopología natural, y se puede definir una medida (Radon) como cualquier funcional lineal continuo de este espacio;entonces el valor de una medida en una función compactamente soportada, es también, por definición, la integral dela función. Entonces se continúa expandiendo la medida (la integral) a funciones más generales por continuidad, y sedefine la medida de un conjunto como la integral de su función característica. Este es el enfoque que tomaBourbaki[10] y cierto número de otros autores. Para más detalles, véase medidas de Radon.

Otras integralesA pesar de que las integrales de Riemann y Lebesgue son las definiciones más importantes de integral, hay unascuántas más, por ejemplo:• La integral de Riemann-Stieltjes, una extensión de la integral de Riemann.• La integral de Lebesgue-Stieltjes, desarrollada por Johann Radon, que generaliza las integrales de

Riemann-Stieltjes y de Lebesgue.• La integral de Daniell, que incluye la integral de Lebesgue y la integral de Lebesgue-Stieltjes sin tener que

depender de ninguna medida.• La integral de Henstock-Kurzweil, definida de forma variada por Arnaud Denjoy, Oskar Perron, y Jaroslav

Kurzweil, y desarrollada por Ralph Henstock.• La integral de Darboux, que es equivalente a la integral de Riemann.• La integral de Haar, que es la integral de Lebesgue con la medida de Haar.• La integral de McShane.• La integral de Buchner.

Integración 19

Propiedades de la integración

Linealidad• El conjunto de las funciones Riemann integrables en un intervalo cerrado [a, b] forman un espacio vectorial con

las operaciones de suma (la función suma de otras dos es la función que a cada punto le hace corresponder lasuma de las imágenes de este punto por cada una de las otras dos) y la multiplicación por un escalar. La operaciónintegración

es un funcional lineal de este espacio vectorial. Así, en primer lugar, el conjunto de funciones integrables escerrado con la combinación lineal, y en segundo lugar, la integral de una combinación lineal es la combinaciónlineal de las integrales,

• De forma parecida, el conjunto de las funciones reales Lebesgue integrables en un espacio métrico E dado, con lamedida μ es cerrado respecto de las combinaciones lineales y por lo tanto forman un espacio vectorial, y laintegral de Lebesgue

es un funcional lineal de este espacio vectorial, de forma que

• De forma más general, si se toma el espacio vectorial de todas las funciones medibles sobre un espacio métrico(E,μ), que toman valores en un espacio vectorial topológico completo localmente compacto V sobre un campotopológico localmente compacto K, f : E → V. Entonces se puede definir una aplicación integración abstracta quea cada función f le asigna un elemento de V o el símbolo ∞,

que es compatible con las combinaciones lineales. En esta situación, la linealidad se sostiene para elsubespacio de las funciones, cuya integral es un elemento de V (es decir, las integrales "finitas"). Los casosmás importantes surgen cuando K es R, C, o una extensión finita del campo Qp de números p-ádicos, y V esun espacio vectorial de dimensión finita sobre K, y cuando K=C y V es un espacio de Hilbert complejo.

La linealidad, junto con algunas propiedad naturales de continuidad y la normalización para ciertas clases defunciones "simples", se pueden usar para dar una definición alternativa de integral. Este es el enfoque de Daniell parael caso de funciones reales en un conjunto X, generalizado por Bourbaki a funciones que toman valores en unespacio vectorial topológicamente compacto. Véase Hildebrandt (1953)[11] para una caracterización axiomática de laintegral.

Desigualdades con integralesSe verifican varias desigualdades generales para funciones Riemann integrables definidas en un intervalo cerrado yacotado [a, b] y se pueden generalizar a otras nociones de integral (Lebesgue y Daniell).• Cotas superiores e inferiores. Una función f integrable en [a, b], es necesariamente acotada en el intervalo. Por lo

tanto hay dos números reales m y M tales que m ≤ f (x) ≤ M para todo x de [a, b]. Dado que los sumatoriossuperior e inferior de f sobre [a, b] son también acotados para m(b − a) y M(b − a) respectivamente, de aquíresulta que

Integración 20

• Desigualdades entre funciones. Si f(x) ≤ g(x) para todo x de [a, b] entonces cada uno de los sumatorios superior einferior de f son acotados inferior y superiormente por los sumatorios superior e inferior de g respectivamente. Así

Esto es una generalización de las desigualdades anteriores, dado que M '(b − a) es la integral de la funciónconstante con valor M en el intervalo [a, b].

• Subintervalos. Si [c, d] es un subintervalo de [a, b] y f(x) es no negativa para todo x, entonces

• Productos y valores absolutos de funciones. Si f y g son dos funciones, entonces podemos emplear su producto,potencias y valores absolutos:

Si f es Riemann integrable en [a, b] entonces lo mismo se cumple para |f|, y

Es más, si f y g son ambas Riemann integrables entonces f 2, g 2, y fg son también Riemann integrables, y

Esta desigualdad se conoce como desigualdad de Cauchy-Schwarz, y desempeña un papel fundamental en lateoría de los espacios de Hilbert, donde el lado de la derecha se interpreta como el producto escalar de dosfunciones integrables f y g en el intervalo [a, b].

• Desigualdad de Hölder. Si p y q son dos números reales, 1 ≤ p, q ≤ ∞ con 1/p + 1/q = 1, y f y g son dos funcionesRiemann integrables. Entonces las funciones |f|p y |g|q también son integrables y se cumple la desigualdad deHölder:

Para el caso de p = q = 2, la desigualdad de Hölder pasa a ser la desigualdad de Cauchy–Schwarz.• Desigualdad de Minkowski. Si p ≥ 1 es un número real y f y g son funciones Riemann integrables. Entonces |f|p,

|g|p y |f + g|p son también Riemann integrables y se cumple la desigualdad de Minkowski:

Una desigualdad análoga a ésta para la integral de Lebesgue se usa en la construcción de los espacios Lp.

ConvencionesEn esta sección f es una función real Riemann integrable. La integral

sobre un intervalo [a, b] está definida si a < b. Esto significa que los sumatorios superiores e inferiores de la función f se evalúan sobre una partición a = x0 ≤ x1 ≤ . . . ≤ xn = b cuyos valores xi son crecientes. Geométricamente significa que la integración tiene lugar "de izquierda a derecha", evaluando f dentro de intervalos [x i , x i +1] donde el intervalo con un índice más grande queda a la derecha del intervalo con un índice más pequeño. Los valores a y b, los puntos extremos del intervalo, se denominan límites de integración de f. Las integrales también se pueden definir

Integración 21

si a > b:• Inversión de los límites de integración. si a > b entonces se define

Ello, con a = b, implica:• Integrales sobre intervalos de longitud cero. si a es un número real entonces

La primera convención es necesaria al calcular integrales sobre subintervalos de [a, b]; la segunda dice que unaintegral sobre un intervalo degenerado, o un punto, tiene que ser cero. Un motivo para la primera convención es quela integrabilidad de f sobre un intervalo [a, b] implica que f es integrable sobre cualquier subintervalo [c, d], pero enparticular las integrales tienen la propiedad de que:• Aditividad de la integración sobre intervalos. si c es cualquier elemento de [a, b], entonces

Con la primera convención la relación resultante

queda bien definida para cualquier permutación cíclica de a, b, y c.En lugar de ver lo anterior como convenciones, también se puede adoptar el punto de vista de que la integración sehace sólo sobre variedades orientadas. Si M es una tal forma m-dimensional orientada, y M' es la misma forma conorientación opuesta y ω es una m-forma, entonces se tiene (véase más abajo la integración de formas diferenciales):

Teorema fundamental del cálculoEl teorema fundamental del cálculo es la afirmación de que la derivación y la integración son operaciones inversas:si una función continua primero se integra y luego se deriva, se recupera la función original. Una consecuenciaimportante, en ocasiones denominada el segundo teorema fundamental del cálculo, permite calcular integrales a basede emplear una primitiva de la función a integrar.

Enunciado de los teoremas• Teorema fundamental del cálculo. Sea f una función real integrable definida en un intervalo cerrado [a, b]. Si se

define F para cada x de [a, b] por

entonces F es continua en [a, b]. Si f es continua en x de [a, b], entonces F es derivable en x, y F ′(x) = f(x).• Segundo teorema fundamental del cálculo. Sea f una función real, integrable definida en un intervalo cerrado [a,

b]. Si F es una función tal que F ′(x) = f(x) para todo x de [a, b] (es decir, F es una primitiva de f), entonces

• Corolario. Si f es una función continua en [a, b], entonces f es integrable en [a, b], y F, definida por

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es una primitiva de f en [a, b]. Además,

Extensiones

Integrales impropias

La integral impropia

tiene intervalos no acotados tanto en el dominiocomo en el recorrido.

Una integral de Riemann "propia" supone que el integrando estádefinido y es finito en un intervalo cerrado y acotado, cuyos extremosson los límites de integración. Una integral impropia aparece cuandouna o más de estas condiciones no se satisface. En algunos casos, estasintegrales se pueden definir tomando el límite de una sucesión deintegrales de Riemann propias sobre intervalos sucesivamente máslargos.

Si el intervalo no es acotado, por ejemplo en su extremo superior,entonces la integral impropia es el límite cuando el punto final tiende ainfinito.

Si el integrando sólo está definido en un intervalo finito semiabierto, por ejemplo (a,b], entonces, otra vez el límitepuede suministrar un resultado finito.

Esto es, la integral impropia es el límite de integrales propias cuando uno de los puntos extremos del intervalo deintegración se aproxima, ya sea a un número real especificado, o ∞, o −∞. En casos más complicados, hacen faltalímites en los dos puntos extremos o en puntos interiores.

Por ejemplo, la función integrada desde 0 a ∞ (imagen de la derecha). En el extremo inferior, a medida que

x se acerca a 0 la función tiende a ∞, y el extremo superior es él mismo ∞, a pesar de que la función tiende a 0. Así,esta es una integral doblemente impropia. Integrada, por ejemplo, desde 1 hasta 3, con un sumatorio de Riemann essuficiente para obtener un resultado de . Para integrar desde 1 hasta ∞, un sumatorio de Riemann no es posible.Ahora bien, cualquier límite superior finito, por ejemplo t (con t > 1), da un resultado bien definido,

. Este resultado tiene un límite finito cuando t tiende a infinito, que es . De forma parecida, la

integral desde 1⁄3 hasta a 1 admite también un sumatorio de Riemann, que por casualidad da de nuevo .Sustituyendo 1⁄3 por un valor positivo arbitrario s (con s < 1) resulta igualmente un resultado definido y da

. Éste, también tiene un límite finito cuando s tiende a cero, que es . Combinando los límites

de los dos fragmentos, el resultado de esta integral impropia es

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Este proceso no tiene el éxito garantizado; un límite puede no existir, o puede ser infinito. Por ejemplo, sobre elintervalo cerrado de 0 a 1 la integral de no converge; y sobre el intervalo abierto del 1 a ∞ la integral de no

converge.

La integral impropia

no está acotada internamente, pero ambos límites(por la derecha y por la izquierda) existen.

También puede pasar que un integrando no esté acotado en un puntointerior, en este caso la integral se ha de partir en este punto, y el límitede las integrales de los dos lados han de existir y han de ser acotados.Así

A la integral similar

no se le puede asignar un valor de esta forma, dado que las integrales por encima y por debajo de cero no convergenindependientemente (en cambio, véase valor principal de Cauchy.)

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Integración múltiple

Integral doble como el volumen limitado por unasuperficie.

Las integrales se pueden calcular sobre regiones diferentes de losintervalos. En general, una integral sobre un conjunto E de una funciónf se escribe:

Aquí x no hace falta que sea necesariamente un número real, sino que puede ser cualquier otra cantidad apropiada,por ejemplo, un vector de R3. El teorema de Fubini demuestra que estas integrales pueden reescribirse como unaintegral iterada. En otras palabras, la integral se puede calcular a base de integrar las coordenadas una por una.De la misma manera que la integral definida de una función positiva representa el área de la región encerrada entre lagráfica de la función y el eje x, la integral doble de una función positiva de dos variables representa el volumen dela región comprendida entre la superficie definida por la función y el plano que contiene su dominio. (El mismovolumen puede obtenerse a través de una integral triple — la integral de la función de tres variables — de lafunción constante f(x, y, z) = 1 sobre la región mencionada antes entre la superficie y el plano, lo mismo se puedehacer con una integral doble para calcular una superficie.) Si el número de variables es mayor, entonces la integralrepresenta un hipervolumen, el volumen de un sólido de más de tres dimensiones que no se puede representargráficamente.Por ejemplo, el volumen del paralelepípedo de caras 4 × 6 × 5 se puede obtener de dos maneras:• Con la integral doble

de la función f(x, y) = 5 calculada en la región D del plano xy que es la base del paralelepípedo.• Con la integral triple

de la función constante 1 calculada sobre el mismo paralelepípedo (a pesar de que este segundo métodotambién se puede interpretar como el hipervolumen de un hiperparalelepípedo de cuatro dimensiones que tienecomo base el paralelepípedo en cuestión y una altura constante de 1, como la altura es 1 el volumen coincidecon el área de la base).

Puesto que es imposible calcular la antiderivada de una función de más de una variable, no existen las integralesmúltiples indefinidas: tales integrales son todas definidas.

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Integrales de línea

Una integral de línea acumula elementos a lolargo de una curva.

El concepto de integral se puede extender a dominios de integraciónmás generales, tales como las líneas curvas y las superficies. Estasintegrales se conocen como integrales de línea e integrales desuperficie respectivamente. Tienen importantes aplicaciones en lafísica cuando se trata con campos vectoriales.

Una integral de línea es una integral donde la función a integrar esevaluada a lo largo de una curva. Se utilizan varias integralescurvilíneas diferentes. En el caso de una curva cerrada también se ladenomina integral de contorno.

La función a integrar puede ser un campo escalar o un campo vectorial.El valor de la integral curvilínea es la suma de los valores del campoen los puntos de la línea, ponderados por alguna función escalar de lacurva (habitualmente la longitud del arco o, en el caso de un campovectorial, el producto escalar del campo vectorial por un vector diferencial de la curva). Esta ponderación distinguelas integrales curvilíneas de las integrales más sencillas definidas sobre intervalos.

Muchas fórmulas sencillas de la física tienen de forma natural análogas continuas en términos de integrales de línea;por ejemplo, el hecho de que el trabajo sea igual a la fuerza multiplicada por la distancia se puede expresar (entérminos de cantidades vectoriales) como:

que tiene su paralelismo en la integral de línea

que acumula los componentes vectoriales a lo largo de un camino continuo, y así calcula el trabajo realizado por unobjeto al moverse a través de un campo, como por ejemplo un campo eléctrico o un campo gravitatorio.

Integrales de superficie

La definición de las integrales de superficiedescansa en la división de la superficie en

pequeños elementos de superficie.

Una integral de superficie es una integral definida calculada sobreuna superficie (que puede ser un conjunto curvado en el espacio; sepuede entender como la integral doble análoga a la integral de línea. Lafunción a integrar puede ser un campo escalar o un campo vectorial. Elvalor de la integral de superficie es la suma ponderada de los valoresdel campo en todos los puntos de la superficie. Esto se puede conseguira base de dividir la superficie en elementos de superficie, los cualesproporcionan la partición para los sumatorios de Riemann.

Como ejemplo de las aplicaciones de las integrales de superficie, sepuede considerar un campo vectorial v sobre una superficie S; es decir,para cada punto x de S, v(x) es un vector. Imagínese que se tiene unfluido fluyendo a través de S, de forma que v(x) determina la velocidad del fluido en el punto x. El caudal se definecomo la cantidad de fluido que fluye a través de S en la unidad de tiempo. Para hallar el caudal, hay que calcular elproducto escalar de v por el vector unitario normal a la superficie S en cada punto, lo que nos dará un campo escalar,que integramos sobre la superficie:

.

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El caudal de fluido de este ejemplo puede ser de un fluido físico como el agua o el aire, o de un flujo eléctrico omagnético. Así, las integrales de superficie tienen aplicaciones en la física, en particular en la teoría clásica delelectromagnetismo.

Integrales de formas diferencialesUna forma diferencial es un concepto matemático en los campos del cálculo multivariable, topología diferencial ytensores. La notación moderna de las formas diferenciales, así como la idea de las formas diferenciales como elproducto exterior de derivadas exteriores formando un álgebra exterior, fue presentada por Élie Cartan.Se empieza trabajando en un conjunto abierto de Rn. Una 0-forma se define como una función infinitamentederivable f. Cuando se integra una función f sobre un subespacio de m-dimensional S de Rn, se escribe como

(Los superíndices no son exponentes.) Se puede considerar que dx1 hasta dxn son objetos formales ellos mismos, másque etiquetas añadidas para hacer que la integral se asemeje a los sumatorios de Riemann. De forma alternativa sepueden ver como covectores, y por lo tanto como una medida de la "densidad" (integrable en un sentido general). Adx1, …,dxn se las denomina 1-formas básicas.Se define el conjunto de todos estos productos como las 2-formas básicas, y de forma similar se define el conjuntode los productos de la forma dxa∧dxb∧dxc como las 3-formas básicas. Una k-forma general es por lo tanto una sumaponderada de k-formas básicas, donde los pesos son las funciones infinitamente derivables f. Todas juntas forman unespacio vectorial, siendo las k-formas básicas los vectores base, y las 0-formas (funciones infinitamente derivables)el campo de escalares. El producto exterior se extiende a las k-formas de la forma natural. Sobre Rn como máximo ncovectores pueden ser linealmente independientes, y así una k-forma con k > n será siempre cero por la propiedadalternante.Además del producto exterior, también existe el operador derivada exterior d. Este operador hace corresponder a lask-formas (k+1)-formas. Para una k-forma ω = f dxa sobre Rn, se define la acción de d por:

con extensión a las k-formas generales que se dan linealmente.Este planteamiento más general permite un enfoque de la integración sobre variedades libre de coordenadas.También permite una generalización natural del teorema fundamental del cálculo, denominada teorema de Stokes,que se puede establecer como

donde ω es una k-forma general, y ∂Ω indica la frontera de la región Ω. Así en el supuesto de que ω sea una 0-formay Ω sea un intervalo cerrado de la recta real, el teorema de Stokes se reduce al teorema fundamental del cálculo. Enel caso de que ω sea una 1-forma y Ω sea una región de dimensión 2 en el plano, el teorema se reduce al teorema deGreen. De manera similar, empleando 2-formas, 3-formas y la dualidad de Hodge, se puede llegar al teorema deStokes y al teorema de la divergencia. De esta forma puede verse que las formas diferenciales suministran unapotente visión unificadora de la integración.

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Métodos y aplicaciones

Cálculo de integralesLa técnica más básica para calcular integrales de una variable real se basa en el teorema fundamental del cálculo. Seprocede de la siguiente forma:1. Se escoge una función f(x) y un intervalo [a, b].2. Se halla una primitiva de f, es decir, una función F tal que F' = f.3. Se emplea el teorema fundamental del cálculo, suponiendo que ni el integrando ni la integral tienen

singularidades en el camino de integración,

4. Por tanto, el valor de la integral es F(b) − F(a).Nótese que la integral no es realmente la primitiva, sino que el teorema fundamental permite emplear las primitivaspara evaluar las integrales definidas.A menudo, el paso difícil de este proceso es el de encontrar una primitiva de f. En raras ocasiones es posible echar unvistazo a una función y escribir directamente su primitiva. Muy a menudo, es necesario emplear una de las muchastécnicas que se han desarrollado para evaluar integrales. La mayoría de ellas transforman una integral en otra que seespera que sea más manejable. Entre estas técnicas destacan:• Integración por cambio de variable• Integración por partes• Integración por sustitución trigonométrica• Integración de fracciones parcialesIncluso si estas técnicas fallan, aún puede ser posible evaluar una integral dada. La siguiente técnica más común es elcálculo del residuo, mientras que la serie de Taylor a veces se puede usar para hallar la primitiva de las integrales noelementales en lo que se conoce como el método de integración por series. También hay muchas formas menoshabituales para calcular integrales definidas; por ejemplo, se puede emplear la identidad de Parseval para transformaruna integral sobre una región rectangular en una suma infinita. En algunas ocasiones, se puede evaluar una integralempleando un truco; un ejemplo de este tipo se puede ver en la integral de Gauss.Los cálculos de volúmenes de sólidos de revolución se pueden hacer normalmente con la integración por discos o laintegración por capas.Los resultados específicos que se han encontrado empleando las diferentes técnicas se recogen en la tabla deintegrales.

Algoritmos simbólicosEn muchos problemas de matemáticas, física, e ingeniería en los que participa la integración es deseable tener unafórmula explícita para la integral. Con esta finalidad, a lo largo de los años se han ido publicando extensas tablas deintegrales. Con el desarrollo de los ordenadores, muchos profesionales, educadores y estudiantes han recurrido a lossistemas de cálculo algebraico por ordenador, que han sido diseñados específicamente para desarrollar tareastediosas o difíciles, entre las cuales se encuentra la integración. La integración simbólica presenta un reto especial enel desarrollo de este tipo de sistemas.Una dificultad matemática importante de la integración simbólica es que, en muchos casos, no existe ninguna fórmula cerrada para la primitiva de una función aparentemente inocente. Por ejemplo, se sabe que las primitivas de las funciones exp (x2), xx y sen x /x no se pueden expresar con una fórmula cerrada en las que participen sólo funciones racionales, exponenciales, logarítmicas, trigonométricas, inversas de las funciones trigonométricas, y las operaciones de suma, multiplicación y composición. En otras palabras, ninguna de estas tres funciones dadas es

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integrable con funciones elementales. La teoría de Galois diferencial proporciona criterios generales para determinarcuándo la primitiva de una función elemental es a su vez elemental. Por desgracia, resulta que las funciones conexpresiones cerradas para sus primitivas son la excepción en vez de ser la regla. En consecuencia, los sistemas decálculo algebraico por ordenador, no pueden tener la seguridad de poder encontrar una primitiva para una funciónelemental cualquiera construida de forma aleatoria. En el lado positivo, si se fijan de antemano los "bloquesconstructivos" de las primitivas, aún es posible decidir si se puede expresar la primitiva de una función dadaempleando estos bloques y las operaciones de multiplicación y composición, y hallar la respuesta simbólica en elcaso de que exista. El algoritmo de Risch, implementado en Mathematica y en otros sistemas de cálculo algebraicopor ordenador, hacen precisamente esto para funciones y primitivas construidas a partir de fracciones racionales,radicales, logaritmos y funciones exponenciales.Algunos integrandos aparecen con la suficiente frecuencia como para merecer un estudio especial. En particular,puede ser útil tener, en el conjunto de las primitivas, las funciones especiales de la física (como las funciones deLegendre, la función hipergeométrica, la función gamma, etcétera). Es posible extender el algoritmo deRisch-Norman de forma que abarque estas funciones, pero se trata de todo un reto.La mayoría de los humanos no son capaces de integrar estas fórmulas generales, por lo que en cierto sentido losordenadores son más hábiles integrando fórmulas muy complicadas. Es poco probable que las fórmulas muycomplejas tengan primitivas de forma cerrada, de modo que hasta qué punto esto es una ventaja es una cuestiónfilosófica abierta a debate.

Cuadratura numérica

Métodos numéricos de cuadratura: ■ Rectángulo,■ Trapezoide, ■ Romberg, ■ Gauss.

Las integrales que se encuentran en los cursos básicos de cálculo hansido elegidas deliberadamente por su simplicidad, pero las que seencuentran en las aplicaciones reales no siempre son tan asequibles.Algunas integrales no se pueden hallar con exactitud, otras necesitande funciones especiales que son muy complicadas de calcular, y otrasson tan complejas que encontrar la respuesta exacta es demasiadolento. Esto motiva el estudio y la aplicación de métodos numéricospara aproximar integrales. Hoy en día se usan en la aritmética de comaflotante, en ordenadores electrónicos. Para los cálculos a manosurgieron muchas ideas mucho antes; pero la velocidad de losordenadores de uso general como el ENIAC crearon la necesidad demejoras.

Los objetivos de la integración numérica son la exactitud, la fiabilidad,la eficiencia y la generalidad. Por ejemplo, la integral

que tiene el valor aproximado de 6.826 (en la práctica ordinaria no se conoce de antemano la respuesta, por lo queuna tarea importante — que no se explora aquí — es decidir en qué momento una aproximación ya es bastantebuena.) Un enfoque de "libro de cálculo" divide el intervalo de integración en, por ejemplo, 16 trozos iguales, ycalcula los valores de la función.

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Valores de la función en los puntos

x −2,00 −1,50 −1,00 −0,50 0,00 0,50 1,00 1,50 2,00

f(x) 2,22800 2,45663 2,67200 2,32475 0,64400 −0,92575 −0,94000 −0,16963 0,83600

x −1.75 −1,25 −0,75 −0,25 0,25 0,75 1,25 1.75

f(x) 2,33041 2,58562 2,62934 1,64019 −0,32444 −1,09159 −0,60387 0,31734

Referencias y notas[1] En el caso de las funciones a las que se aplica la definición de Riemann, los resultados coinciden.[2] Burton, David M. (2005). The History of Mathematics: An Introduction (6ª ed.), McGraw-Hill, p. 359, ISBN 978-0-07-305189-5[3] Leibniz, Gottfried Wilhelm (1899) (Gerhardt, Karl Immanuel, ed.). Der Briefwechsel von Gottfried Wilhelm Leibniz mit Mathematikern.

Erster Band, Berlin: Mayer & Müller, p. 154[4] Cajori, Florian (1929). A History Of Mathematical Notations, Vol. II, Open Court Publishing, pp. 247–252, ISBN 978-0-486-67766-8[5] Fourier, Jean Baptiste Joseph (1822). Théorie analytique de la chaleur, Chez Firmin Didot, père et fils, p. §231, (http:/ / books. google. com/

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978-0-07-100276-9[9] Folland, Gerald B. (1984). Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications (1ª ed.), John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-80958-6[10] Bourbaki, Nicolas (2004). Integration I, Springer Verlag, ISBN 3-540-41129-1. En particular, los capítulos III y IV.[11] Hildebrandt, T. H. (1953). "Integration in abstract spaces", Bulletin of the American Mathematical Society 59(2): 111–139, ISSN 0273-0979

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Véase también• Tabla de integrales• Integración numérica• Derivada• Signo de Integral

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Integración 31

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Suma de Riemann

Cuatro de los métodos de suma de Riemann para aproximar el área bajo las curvas.Los métodos derecha e izquierda hacen la aproximación usando, respectivamente,

los puntos finales derechos e izquierdos de cada subintervalo. Los métodosmáximo y mínimo hacen la aproximación usando, respectivamente, los valores

más grandes y más pequeños del punto final de cada subintervalo. Los valores delas sumas convergen a medida que los subintervalos parten desde arriba a la

izquierda hasta abajo a la derecha.

En matemáticas, la suma de Riemann es unmétodo para aproximar el área total bajo lagráfica de una curva. Estas sumas toman sunombre del matemático alemán BernhardRiemann.

Definición

Consideremos lo siguiente:

• una función donde D es un subconjunto de los números reales

• I = [a, b] un intervalo cerrado contenido en D.• Un conjunto finito de puntos {x0, x1, x2, ... xn} tales que a = x0 < x1 < x2 ... < xn = b

crean una partición de IP = {[x0, x1), [x1, x2), ... [xn-1, xn]}

Si P es una partición con n elementos de I, entonces la suma de Riemann de f sobre I con la partición P se definecomo

donde xi-1 ≤ yi ≤ xi. La elección de yi en este intervalo es arbitraria.Si yi = xi-1 para todo i, entonces denominamos S como la suma de Riemann por la izquierda.

Suma de Riemann 32

Si yi = xi, entonces denominamos S como la suma de Riemann por la derecha.Promediando las sumas izquierda y derecha de Riemann obtenemos la llamada suma trapezoidal.

Véase tambiénIntegración de Riemann

Teorema fundamental del cálculoEl teorema fundamental del cálculo consiste (intuitivamente) en la afirmación de que la derivación e integraciónde una función son operaciones inversas. Esto significa que toda función continua integrable verifica que la derivadade su integral es igual a ella misma. Este teorema es central en la rama de las matemáticas denominada análisismatemático o cálculo.El teorema es fundamental porque hasta entonces el cálculo aproximado de áreas -integrales- en el que se veníatrabajando desde Arquímedes, era una rama de las matemáticas que se seguía por separado al cálculo diferencial quese venía desarrollando por Isaac Newton, Isaac Barrow y Gottfried Leibniz en el siglo XVIII y dio lugar a conceptoscomo el de las derivadas. Las integrales eran investigadas como formas de estudiar áreas y volúmenes, hasta que eneste punto de la historia ambas ramas convergen, al demostrarse que el estudio del "área bajo una función" estabaíntimamente vinculado al cálculo diferencial, resultando la integración, la operación inversa a la derivación.Una consecuencia directa de este teorema es la regla de Barrow, denominada en ocasiones segundo teoremafundamental del cálculo, y que permite calcular la integral de una función utilizando la integral indefinida de lafunción al ser integrada.

Intuición geométrica

El área rayada en rojo puede ser calculada como h × f(x), o si se conociera la funciónA(X), como A(x+h) − A(x). Estos valores son aproximadamente iguales para valores

pequeños de h.

Supóngase que se tiene una funcióncontinua y = f(x) y que surepresentación gráfica es una curva.Entonces, para cada valor de x tienesentido de manera intuitiva pensar queexiste una función A(x) que representael área bajo la curva entre 0 y x aún sinconocer su expresión.

Supóngase ahora que se quiere calcularel área bajo la curva entre x y x+h. Sepodría hacer hallando el área entre 0 yx+h y luego restando el área entre 0 yx. En resumen, el área de esta especiede "loncha" sería A(x+h) − A(x).

Otra manera de estimar esta mismaárea es multiplicar h por f(x) para hallar el área de un rectángulo que coincide aproximadamente con la "loncha".Nótese que la aproximación al área buscada es más precisa cuanto más pequeño sea el valor de h.

Por lo tanto, se puede decir que A(x+h) − A(x) es aproximadamente igual a f(x) · h, y que la precisión de estaaproximación mejora al disminuir el valor de h. En otras palabras, ƒ(x)·h ≈ A(x+h) − A(x), convirtiéndose estaaproximación en igualdad cuando h tiende a 0 como límite.

Teorema fundamental del cálculo 33

Dividiendo los dos lados de la ecuación por h se obtiene

Cuando h tiende a 0, se observa que el miembro derecho de la ecuación es sencillamente la derivada A’(x) de lafunción A(x) y que el miembro izquierdo se queda en ƒ(x) al ya no estar h presente.Se muestra entonces de manera informal que ƒ(x) = A’(x), es decir, que la derivada de la función de área A(x) es enrealidad la función ƒ(x). Dicho de otra forma, la función de área A(x) es la antiderivada de la función original.Lo que se ha mostrado es que, intuitivamente, calcular la derivada de una función y "hallar el área" bajo su curva sonoperaciones "inversas", es decir el objetivo del teorema fundamental del cálculo integral.

Primer teorema fundamental del cálculo

Dada una función f integrable sobre el intervalo , definimos F sobre por . Si f es continua en

, entonces F es derivable en y F'(c) = f(c).

Consecuencia directa del primer teorema fundamental del cálculo infinitesimal es:

Siendo f(t) una función integrable sobre el intervalo [a(x),b(x)] con a(x) y b(x) derivables

Demostración

Lema

Sea '''''' integrable sobre y

Entonces

Demostración

Por definición se tiene que .

Sea h>0. Entonces .

Se define y como:

,

Aplicando el 'lema' se observa que

.

Por lo tanto,

Sea . Sean

Teorema fundamental del cálculo 34

,.

Aplicando el 'lema' se observa que

.

Como

,

entonces,

.Puesto que , se tiene que

.

Y como es continua en c se tiene que

,y esto lleva a que

.

Ejemplos

Segundo teorema fundamental del cálculoTambién se le llama regla de Barrow, en honor a Isaac Barrow o regla de Newton-Leibniz.

Dada una función f continua en el intervalo y sea g cualquier función primitiva de , es decir g'(x)=f(x) para todo ,entonces:

Este teorema se usa frecuentemente para evaluar integrales definidas.

Teorema fundamental del cálculo 35

DemostraciónSea

.

Tenemos por el primer teorema fundamental del cálculo que:

.Por lo tanto,

tal que .Observamos que

y de eso se sigue que ; por lo tanto,.

Y en particular si tenemos que:

Ejemplos

Como se puede integrar inmediatamente.

Véase también• Regla de Barrow o Segundo Teorema Fundamental del Cálculo Integral.• Métodos de integración• Regla de Leibniz• Integral de Riemann

Enlaces externos• El descubrimiento del cálculo integral (Universidad Autónoma de Madrid) [1]

• Interpretación gráfica del Teorema Fundamental del Cálculo (Manuel Sada Allo) [2]

Referencias[1] http:/ / www. uam. es/ personal_pdi/ ciencias/ barcelo/ histmatem/ calculo/ calculo. html[2] http:/ / recursos. pnte. cfnavarra. es/ ~msadaall/ geogebra/ figuras/ d7teorema. html

Fuentes y contribuyentes del artículo 36

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Fuentes de imagen, Licencias y contribuyentes 37

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Licencia 38

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