ỨNG DỤNG ĐIỀU KIỆN VỀ NGHIỆM CỦA TAM THỨC BẬC HAI ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

* Kiến Thức Cần Nhớ:

Cho tam thức bậc hai: f(x) = ax2 + bx + c, a # 0.

f(x) có nghiệm khi và chỉ khi ∆ = b2 – 4ac ≥ 0.

Nếu ∆<0 thì af(x) > 0 với mọi giá trị của x.

Nếu ∆ ≤ 0 thì af(x) ≥ 0 với mọi giá trị của x.

* Một Số Ví Dụ:

Ví Dụ 1: Cho (x; y; z) là nghiệm của hệ phương trình:

{ x2+ y2+z2=8xy+ yz+ zx=4

. Chứng minh rằng: −83

≤ x ; y ; z≤ 83

Giải

Ta có: { x2+ y2=8−z2(1)xy=4−z ( x+ y )(2)

Suy ra: 8 – z2 = (x + y)2 – 2xy = (x + y)2 – 8 + 2z(x + y)

Hay (x + y)2 + 2z(x + y) + z2 = 16 (x + y + z)2 = 16

Suy ra: x + y + z = ± 4.

- Nếu x + y + z = 4 thì x + y = 4 – z, từ (2) suy ra: xy = 4 – z(4 - z) = (z - 2)2.

Vậy x, y là nghiệm của phương trình: A2 – (4 - z)A + (z - 2)2 = 0.

Ta phải có: ∆ = (4 - z)2 – 4(z - 2)2 = z(8 – 3z) ≥ 0 hay 0 ≤ z≤ 83 (3)

- Nếu x + y + z = - 4 thì x + y = - 4 – z, từ (2) suy ra: xy = 4 + z(4 + z) = (z + 2)2.

Vậy x, y là nghiệm của phương trình: A2 + (4 + z)A + (z + 2)2 = 0.

Ta phải có: ∆ = (4 + z)2 – 4(z + 2)2 = - z(3z + 8) ≥ 0 hay −83

≤ z≤ 0 (4)

Từ (3) và (4) được: −83

≤ z≤ 83 .

Vì vai trò của x, y, z là như nhau nên có: −83

≤ x; y ; z≤ 83 (dpcm)

Ví Dụ 2: Chứng minh rằng nếu phương trình: 2x2 + (x + a)2 + (x + b)2 = c2

Có nghiệm thì 4c2 ≥ 3(a2 + b2) – 2ab.

Giải

Phương trình đã cho tương đương với:

4x2 + 2(a + b)x + a2 + b2 – c2 = 0

Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi ∆ ' ≥ 0 hay:

(a + b2) – 4(a2 + b2 – c2) ≥ 0 4c2 ≥ 3(a2 + b2) – 2ab (dpcm)

Ví Dụ 3: Tìm ba số thực x, y, z thỏa mãn: { x+ y+z=1(1)x2+2 y2+3 z2=4 (2)

Sao cho x đạt giá trị lớn nhất. (HSG TP. Hồ Chí Minh 2006 - 2007)

Giải

Từ (1) có: z = 1 – x – y. Thay vào (2) ta được:

x2 + 2y2 + 3(1 – x - y)2 = 4 5y2 + 6(x - 1)y + 4x2 – 6x – 1 = 0 (3)

Ta phải có: ∆ ' ≥ 0 hay:

9(x - 1)2 – 5(4x2 – 6x - 1) ≥ 0 -11x2 + 12x + 14 ≥ 0

Suy ra: 6−√19011

≤ x≤ 6+√19011

Vì x lớn nhất nên x = 6+√19011 khi đó y = 15−3√190

55; z=10−2√190

55

Ví Dụ 4: Cho 4 số thực a, b, c, d. Chứng minh bất đẳng thức:

(a + b + c + d)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2 + d2) + 6ab.

Giải

Bất đẳng thức đã cho tương đương với:

a2 + 2a(b + c + d) + (b + c + d)2 ≤ 3a2 + 3(b2 + c2 + d2) + 6ab

-2a2 + 2a(c + d – 2b) + (b + c + d)2 – 3(b2 + c2 + d2) ≤ 0

Xét f(a) = -2a2 + 2a(c + d – 2b) + (b + c + d)2 – 3(b2 + c2 + d2), ta có hệ số của a2 là -2 và biệt thức:

∆ ' = (c + d – 2b)2 + 2[(b + c + d)2 – 3(b2 + c2 + d2)]

= -3(c - d)2 ≤ 0

Nên -2f(a) ≥ 0 hay f (a)≤ 0 (dpcm).

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi c = d hoặc a = 12(c+d−2 b)