STATISTIKA DASAR

Pertemuan ke-9

http://slideshare.net/QuKumeng

Tugas Kelompok :• Buatlah kelompok yang terdiri dari 4 orang

• Masing-masing kelompok menentukan ketuadari anggota tersebut

• Buatlah makalah lengkap mengenai :

a. Peluang beserta aturan-aturannya

b. Distribusi peluang diskrit beserta aturan-aturannya

c. Contoh-contoh dari peluang dan distribusipeluang diskrit

d. Carilah Tabel-Tabel distribusi peluang Kontinu

DISTRIBUSI PELUANG (PROBABILITAS)

• Bahasan pada distribusi probabilitas adalahpenyusunan distribusi frekuensi yangberdasarkan teori peluang. Oleh karena itu,disebut distribusi frekuensi teoritis ataudistribusi peluang atau distribsi probabilitas.

• Karena distribusi frekuensi probabilitasdisusun berdasarkan teori peluang makapengetahuan tentang distribusi teoritismenjadi sangat penting untuk membuatestimasi atau meramalkan variasi-variasi yangmungkin dapat timbul pada suatu keadaanyang tidak pasti.

• Distribusi peluang didefinisikan dengan suatufungsi peluang, dinotasikan dengan p(x) atauf(x), yang menunjukkan peluang untuk setiapnilai variabel acak.

VARIABEL ACAK DISKRIT

Suatu variabel disebut variabel acak apabila variabel tersebutmenghasilkan nilai yang selalu berbeda pada setiap peristiwa (trial)dan perubahan tersebut tidak dapat diperkirakan.

Misalnya seorang petugas poliklinik disuatu rumahsakit dengancara apapun tidak dapat mengetahui secara pasti banyaknyakunjungan pada esok hari. Maka jumlah kunjungan pada esok haridisebut variabel acak. Namun, petugas tersebut dapat menentukanprobabilitas menggunakan catatan medik yang ada. Bila diamengetahui bahwa jumlah kunjungan per hari berkisar antara 40dan 55 orang maka dia dapat menyusunnya menjadi distribusifrekuensi dan membuat prakiraan atau probabilitas kunjungan.

Karena variasi jumlah kunjungan berkisar antara 40 dan 55 orangyaitu bersifat variable (0, 1, 2, …) dan memiliki harga-harga absolut,maka variabel acak tersebut disebut variabel acak diskrit.

Ditribusi Peluang DiskritDistribusi peluang diskrit, yaitu apabila variabel acak yangdigunakan adalah variabel acak diskrit. Syarat distribusipeluang untuk variable acak X adalah:𝑝(𝑥) ≥ 0 , nilai peluang selalu lebih besar atau samadengan 0, dan

𝑃 𝑋 = 𝑥𝑖 =

𝑖=1

𝑛

𝑝 𝑥𝑖 = 1

Yaitu jumlah total peluang pada sebuah kejadian samadengan 1, dengan 𝑝(𝑥) disebut fungsi peluang untukvariable acak 𝑋 pada harga 𝑋 = 𝑥.Distribusi peluang diskrit dapat digambarkan dalam bentuktabel, grafik, maupun persamaan.

Sumber : Google

Jumlah kunjungan Frekuensi40 1

41 2

42 3

43 5

44 6

45 7

46 9

47 10

48 11

49 12

50 9

51 8

52 6

53 5

54 4

55 2

Jumlah 100

Tabel 1. jumlah kunjungan poliklinik 100 hari

Data tentang jumlah kunjunganpada poliklinik dapat diubahmenjadi distribusi frekuensi.Misalnya, jika petugas tersebutmengambil sebanyak 100 harikerja maka akan diperoleh tabeldistribusi frekuensi sebagaiberikut.

Sumber : Google

Tabel 2. Distribusi kunjungan poliklinik tiap hari

Dari frekuensi distribusitersebut dapat diketahuiprobabilitas jumlah kunjungansetiap hari dengan membagikunjungan setiap hari denganjumlah hari buka yangdigunakan, yaitu 100 hinggadapat disusun distribusi jumlahkunjungan dengan probabilitasnya dan dari distribusi tersebutdapat dibuat grafik untukmemudahkan penilaian.

Jumlah kunjungan Probabilitas40 0,01

41 0,02

42 0,03

43 0,05

44 0,06

45 0,07

46 0,09

47 0,10

48 0,11

49 0,12

50 0,09

51 0,08

52 0,06

53 0,05

54 0,04

55 0,02

Jumlah 1,00

Nilai Expektasi Variabel acak Diskrit

Nilai ekspektasi banyak digunakan dalam keadaan yang tidakpasti atau data yang diperoleh tidak lengkap atau bahkanmungkin tidak ada data sama sekali. Untuk menghitungbesarnya nilai ekspektasi dari variabel acak yang deskrit tidaksulit karena nilai tersebut merupakan perkalian antaravariabel acak dengan probabilitasnya. Untuk sebuah variableacak kita dapat menentukan ekspektasinya, yaitu :

𝐸 𝑋 = 𝑥𝑖 . 𝑝(𝑥𝑖)

Dimana 𝐸 𝑋 = ekspektasi untuk variable acak 𝑋 danpenjumlahan dilakukan untuk semua harga 𝑋 yang mungkin.

Variabel acak kontinu

Variabel acak yang tidak diskrit atau Bila variasisedemikian banyaknya hingga nilai dalam satu rentang(range) tertentu dapat disisipkan nilai sedemikianbanyaknya hingga berhimpitan disebut variable acakkontinu.

Beberapa diantaranya, misalnya untuk menyatakanwaktu dan hasil pengukuran. Variabel ini dapatmempunyai setiap harga. Jadi, jika 𝑋 = variable acakkontinu, maka harga 𝑋 = 𝑥 dibatasi oleh −∞ < 𝑥 < ∞.

Ditribusi Peluang Kontinu

Distribusi peluang kontinu, yaitu apabila variabel acak yang digunakanadalah variabel kontinu. Jika 𝑋 sebuah variable kontinu, maka kitamemiliki fungsi densitas 𝑓 𝑥 , Syaratnya adalah:

1. 𝑓(𝑥) ≥ 0, nilai peluang selalu lebih besar atau sama dengan 0,dan

2. −∞∞𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 1

3. Peluang dihitung untuk nilai dalam suatu interval tertentu

4. Peluang di suatu titik = 0

5. Peluang untuk random variabel kontinu (nilai-nilainya dalam suatuinterval), misalkan antara 𝑥1 dan 𝑥2 , didefinisikan sebagai luasdaerah di bawah kurva (grafik) fungsi peluang antara 𝑥1 dan 𝑥2 .

Distribusi peluang kontinu dapat digambarkan dalam bentuk tabel,grafik, maupun persamaan.

Ditribusi Peluang Kontinu dan Expektasinya

Untuk menentukan peluang bahwa harga 𝑋 = 𝑥antara a dan b, maka digunakan rumus :

𝑃 𝑎 < 𝑋 < 𝑏 = 𝑎

𝑏

𝑓 𝑥 𝑑𝑥

Untuk sebuah variable acak kita dapat menentukanekspektasinya, yaitu :

𝐸 𝑋 = −∞

∞

𝑥. 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥

DISTRIBUSI PELUANG (PROBABILITAS)

Distribusi Peluang untukVariabel acak Diskret

Distribusi Peluang untukVariabel acak Kontinu

Distribusi Binom

Distribusi Multinom

Distribusi Hipergeometrik

Distribusi Poison

Distribusi Normal (z)

Distribusi Student (t)

Distribusi Chi Kuadrat (χ2 )

Distribusi F

Distribusi normal adalah distribusi yang paling pentingdiantara distribusi yang lain. Nama lainnya: distribusiGauss (Gaussian distribution). Kurva dari distribusinormal mempunyai bentuk setangkup seperti lonceng :

Fungsi padat peluang (pdf) daripeubah acak normal X denganrataan μ dan variansi 𝜎2 yangmemiliki distribusi normaladalah:

𝑛 𝑥; 𝜇, 𝜎 =1

𝜎 2𝜋𝑒−1/2

𝑥−𝜇𝜎

2

, −∞ < 𝑥 < ∞

yang dalam hal ini π = 3.14159... dan e = 2.71828...

DISTRIBUSI NORMAL

• Rata-ratanya (mean) μ dan standard deviasinya = σ

• Grafiknya selalu ada di atas sumbu datar x

• Bentuknya simetrik terhadap 𝑥 = 𝜇

• Mode (maximum) terjadi di 𝑥 = 𝜇

• Titik belok tepat di 𝑥 = 𝜇 ± 𝜎

• Memiliki satu modus, jadi kurva unimodal, tercapai pada

𝑥 = 𝜇 sebesar0,3989

𝜎

• Grafiknya mendekati sumbu datar x dimulai dari 𝑥 = 𝜇 +3𝜎 ke kanan 𝑥 = 𝜇 − 3𝜎 ke kiri

• Luas daerah grafik selalu sama dengan satu unit persegi

Sifat-Sifat Distribusi Normal:

DISTRIBUSI NORMAL

Untuk tiap pasang 𝜇 dan 𝜎, sifat-sifat di atas selaludipenuhi, hanya bentuk kurvanya saja yang berlainan.

DISTRIBUSI NORMAL

Kurva normal dengan 𝜇1 < 𝜇2 dan 𝜎1 = 𝜎2 :

DISTRIBUSI NORMAL

Kurva normal dengan 𝜇1 < 𝜇2 dan 𝜎1 < 𝜎2 :

DISTRIBUSI NORMAL

Kurva normal dengan 𝜇1 = 𝜇2 dan 𝜎1 < 𝜎2 :

DISTRIBUSI NORMAL

DISTRIBUSI NORMAL STANDAR