21
Pendahuluan Definisi Probabilitas Probabilitas pada Ruang Diskrit PROBABILITAS Definisi dan Beberapa Sifatnya Sheila Eka Putri, M.Si Februari, 2014 SheilaEka PROBABILITAS

Statistika Matematika - Pertemuan 1

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: Statistika Matematika - Pertemuan 1

Pendahuluan Definisi Probabilitas Probabilitas pada Ruang Diskrit

PROBABILITASDefinisi dan Beberapa Sifatnya

Sheila Eka Putri, M.Si

Februari, 2014

SheilaEka PROBABILITAS

Page 2: Statistika Matematika - Pertemuan 1

Pendahuluan Definisi Probabilitas Probabilitas pada Ruang Diskrit

Outline

1 Pendahuluan

2 Definisi Probabilitas

3 Probabilitas pada Ruang Diskrit

SheilaEka PROBABILITAS

Page 3: Statistika Matematika - Pertemuan 1

Pendahuluan Definisi Probabilitas Probabilitas pada Ruang Diskrit

Dalam beberapa studi sains diperlukan suatu model matematikayang memungkinkan kita untuk memprediksi suatu nilai yang diujiterhadap beberapa karakteristik tertentu dengan kondisi ideal.

Beberapa ilustrasi

Asumsikan jarak antar kota adalah 60 km pada waktu tempuh

t = 5 jam. Formula v =s

tmemberikan suatu model matema-

tika dalam menentukan besar kecepatan yang diperlukan.

Di bidang fisika, besar gaya yang diperlukan terhadap suatubenda dengan massa m memberikan model matematika dalammenentukan besar gaya yang diperlukan per detik, yaitu denganformula F = ma.

SheilaEka PROBABILITAS

Page 4: Statistika Matematika - Pertemuan 1

Pendahuluan Definisi Probabilitas Probabilitas pada Ruang Diskrit

Dalam beberapa studi sains diperlukan suatu model matematikayang memungkinkan kita untuk memprediksi suatu nilai yang diujiterhadap beberapa karakteristik tertentu dengan kondisi ideal.

Beberapa ilustrasi

Asumsikan jarak antar kota adalah 60 km pada waktu tempuh

t = 5 jam. Formula v =s

tmemberikan suatu model matema-

tika dalam menentukan besar kecepatan yang diperlukan.

Di bidang fisika, besar gaya yang diperlukan terhadap suatubenda dengan massa m memberikan model matematika dalammenentukan besar gaya yang diperlukan per detik, yaitu denganformula F = ma.

SheilaEka PROBABILITAS

Page 5: Statistika Matematika - Pertemuan 1

Pendahuluan Definisi Probabilitas Probabilitas pada Ruang Diskrit

Persoalan diatas merupakan persoalan yang melibatkan model de-terministik yang menunjukkan bahwa persoalan dapat diselesaikandengan suatu model yang memberikan solusi terhadap nilai yangdiuji pada percobaan yang dilakukan secara rekursif.

Di sisi lain, tidak semua persoalan mempunyai kondisi yang ideal.Proposisi seperti ”Apakah kejadian A yang diprediksi akan muncul?”atau ”Berapa besar kepastian kejadian A akan muncul?” mengaki-batkan adanya kondisi nondeterministik dimana besar nilai yang diujibervariasi dari beberapa percobaan berbeda yang dilakukan.

SheilaEka PROBABILITAS

Page 6: Statistika Matematika - Pertemuan 1

Pendahuluan Definisi Probabilitas Probabilitas pada Ruang Diskrit

Ini menjadi motivasi terhadap studi mengenai probabilitas denganobjektif adalah memperoleh suatu model matematika dalam menen-tukan prediksi suatu nilai yang diuji di masa yang akan datangyang tidak diketahui kepastiannya. Model ini disebut dengan modelprobabilitas.

Pengamatan merupakan suatu proses dalam memperoleh suatu ni-lai yang diuji pada beberapa karakteristik atau persoalan. Suatu ke-jadian tertentu dalam pengamatan merupakan percobaan dan nilaiyang diuji yang diperoleh adalah outcome atau keluaran. Penga-matan yang kita amati mempunyai prosedur yang (1) dapat beru-lang sampai suatu bilangan tak hingga; dan (2) mempunyai suatuhimpunan keluaran yang mungkin.

SheilaEka PROBABILITAS

Page 7: Statistika Matematika - Pertemuan 1

Pendahuluan Definisi Probabilitas Probabilitas pada Ruang Diskrit

Definisi 1

Masing-masing nilai outcome yang mungkin dari suatu pengamatanmerupakan outcome sampel, s, dimana himpunan dari seluruh out-come tesebut adalah ruang sampel (S) dan s ∈ S .

Suatu ruang sampel S adalah hingga jika memuat suatu bilanganhingga di outcome, yaitu S = {e1, e2, . . . , eN}, dan merupakan takhingga jika outcome korespondensi satu-satu ke suatu bilangan bu-lat, yaitu S = {e1, e2, . . . }.

SheilaEka PROBABILITAS

Page 8: Statistika Matematika - Pertemuan 1

Pendahuluan Definisi Probabilitas Probabilitas pada Ruang Diskrit

Definisi 2

Ruang sampel diskrit adalah suatu ruang sampel S hingga atautak hingga.

Suatu himpunan yang hingga atau tak hingga juga dikatakan sebagaihimpunan yang dapat dihitung. Jika terdapat suatu ruang sampelyang terdiri atas outcome yang dapat diasumsikan sebagai suatunilai dari beberapa interval suatu bilangan riil nonnegatif, maka per-soalan ini merupakan ruang sampel kontinu. Akibatnya, ruangsampel diskrit bukan merupakan model yang ideal untuk menyele-saikan persoalan tersebut.

SheilaEka PROBABILITAS

Page 9: Statistika Matematika - Pertemuan 1

Pendahuluan Definisi Probabilitas Probabilitas pada Ruang Diskrit

Contoh 1.

Suatu termograf merupakan mesin yang merekam suhu secara kon-tinu dan bekerja selama 24 jam. Hasil pengamatan menunjukkangraf pada suatu fungsi real-valued yang kontinu, f (t), pada intervalwaktu [0, 24] = {t|0 ≤ t ≤ 24} dan merupakan suatu ruang sampelyang sesuai untuk fungsi tersebut.

SheilaEka PROBABILITAS

Page 10: Statistika Matematika - Pertemuan 1

Pendahuluan Definisi Probabilitas Probabilitas pada Ruang Diskrit

Contoh 2.

Asumsikan sebuah lampu sedang diuji dengan X , jumlah cahayayang dihasilkan (dalam Lumens), dan Y , jumlah energi (dalamJoules). Suatu ruang sampel yang ideal dapat kita nyatakan kedalam suatu perkalian Cartesian himpunan seluruh bilangan riil non-negatif yaitu

S = [0,∞]× [0,∞] = {(x , y)|0 ≤ x < ∞ dan 0 ≤ y < ∞}

dimana tiap variabel dapat diasumsikan ke suatu nilai dalam bebe-rapa subinterval di [0,∞].

SheilaEka PROBABILITAS

Page 11: Statistika Matematika - Pertemuan 1

Pendahuluan Definisi Probabilitas Probabilitas pada Ruang Diskrit

Definisi 3

Suatu kejadian adalah subhimpunan dari ruang sampel S . Jika Aadalah suatu kejadian, maka A muncul jika memuat suatu outcomeyang muncul dari pengamatan yang dilakukan.

Pada umumnya, jika A1, . . . ,Ak adalah kumpulan hingga kejadian,

maka outcome dari intersection A1 ∩ · · · ∩ Ak (atauk⋂

i=1Ai ) di-

pasangkan ke suatu outcome dalam union dari kejadian, yaitu ”se-tiap Ai ; i = 1,. . . ,k.” Outcome yang muncul dari union A1∪· · ·∪Ak

(atau∞⋃i=1

Ai ), yaitu ”sedikitnya terdapat satu Ai ; i = 1, . . . , k.”

SheilaEka PROBABILITAS

Page 12: Statistika Matematika - Pertemuan 1

Pendahuluan Definisi Probabilitas Probabilitas pada Ruang Diskrit

Definisi 4

Dua kejadian A dan B adalah mutual eksklusif jika A ∩ B = ∅

Definisi 5

Kejadian A1,A2, . . . adalah mutual eksklusif jika saling berpasanganmutual eksklusif dengan Ai ∩ Aj = ∅ dimana i 6= j .

SheilaEka PROBABILITAS

Page 13: Statistika Matematika - Pertemuan 1

Pendahuluan Definisi Probabilitas Probabilitas pada Ruang Diskrit

Diberikan suatu pengamatan dengan ruang sampel S . Objektifutama dari pemodelan probabilitas adalah untuk menentukan penu-gasan tiap kejadian A ke suatu bilangan riil P(A), yaitu probabilitasA, yang akan memberikan suatu taksiran likelihood dimana A akanmuncul saat pengamatan dilakukan.

Secara matematis, P(A) dapat diasumsikan sebagai suatu fungsihimpunan. Dengan kata lain, P(A) merupakan suatu fungsi yangmempunyai daerah asal (domain) yaitu suatu kumpulan dari him-punan (kejadian) dan daerah hasil (range) yanng merupakan sub-himpunan dari bilangan riil. Kolmogorov menunjukkan definisi men-genai fungsi probabilitas seperti pada Definisi 6 berikut.

SheilaEka PROBABILITAS

Page 14: Statistika Matematika - Pertemuan 1

Pendahuluan Definisi Probabilitas Probabilitas pada Ruang Diskrit

Definisi 6

Untuk suatu pengamatan S dan A,A1,A2, . . . merepresentasikankejadian yang mungkin. Suatu fungsi himpunan yang dipasangkanke suatu nilai riil P(A) merupakan fungsi himpunan yang mungkindan P(A) adalah probabilitas kejadian A yang memenuhi sifat-sifatberikut.

0 ≤ P(A), untuk semua A (1)

P(S) = 1 (2)

P

( ∞⋃i=1

)=

∞∑i=1

P(Ai ) (3)

jika A1,A2, . . . , saling berpasangan mutual eksklusif.

SheilaEka PROBABILITAS

Page 15: Statistika Matematika - Pertemuan 1

Pendahuluan Definisi Probabilitas Probabilitas pada Ruang Diskrit

Salah satu akibat dari beberapa sifat diatas adalah kejadian null(himpunan kosong) yang mempunyai probabilitas nol, P(∅) = 0.Selanjutnya, jika A dan B adalah dua kejadian yang mutual eksklusif,maka

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) (4)

Dengan cara yang sama, jika A1,A2, . . . ,Ak adalah kumpulan hinggadari pasangan kumpulan mutual eksklusif, maka

P(A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ Ak) = P(A1) + P(A2) + · · ·+ P(Ak) (5)

SheilaEka PROBABILITAS

Page 16: Statistika Matematika - Pertemuan 1

Pendahuluan Definisi Probabilitas Probabilitas pada Ruang Diskrit

Teorema 1

P(AC ) = 1− P(A)

Bukti

Karena AC adalah komplemen dari A relatif ke S , S = A ∪ AC .Karena A∩AC = ∅, A dan AC adalah mutual ekslusif, sesuai denganPersamaan (1.2) dan (1.4) bahwa

1 = P(S) = P(A ∪ AC ) = P(A) + P(AC )

SheilaEka PROBABILITAS

Page 17: Statistika Matematika - Pertemuan 1

Pendahuluan Definisi Probabilitas Probabilitas pada Ruang Diskrit

Teorema 2

Untuk suatu kejadian A dan B, berlaku

P(A ∪ B) = P(A) + P(B)− P(A ∩ B) (6)

Bukti

Kita ketahui bahwa kejadian A∪B dan A adalah union dari kejadianmutual eksklusif. Dari sifat-sifat himpunan kita dapat tunjukkanbahwa

A ∪ B = (A ∩ BC ) ∪ B

danA = (A ∩ B) ∪ (A ∩ BC )

Ini juga menunjukkan bahwa kejadian A∩BC dan B adalah mutualeksklusif karena (A ∩ BC ) ∩ B = ∅, sehingga dari Persamaan (1.4)diperoleh

SheilaEka PROBABILITAS

Page 18: Statistika Matematika - Pertemuan 1

Pendahuluan Definisi Probabilitas Probabilitas pada Ruang Diskrit

P(A ∪ B) = P(A ∩ BC ) + P(B)

Dengan cara yang sama, A∩B dan A∩BC adalah mutual eksklusif,sehingga

P(A) = P(A ∩ B) + P(A ∩ BC )

Akibatnya, diperoleh

P(A ∪ B) = P(A ∩ BC ) + P(B)

= [P(A)− P(A ∩ B)] + P(B)

= P(A) + P(B)− P(A ∩ B)

SheilaEka PROBABILITAS

Page 19: Statistika Matematika - Pertemuan 1

Pendahuluan Definisi Probabilitas Probabilitas pada Ruang Diskrit

Teorema 3

Jika A ⊂ B, maka P(A) ≤ 1.

Bukti

Catat bahwa kejadian B dapat kita tuliskan dalam bentuk

B = A ∪ (B ∩ AC )

dimana A dan (B ∩ AC ) adalah mutual eksklusif. Akibatnya,

P(B) = P(A) + P(B ∩ AC )

dan diperoleh P(B) ≥ P(A) dimana P(B ∩ AC ) ≥ 0.

SheilaEka PROBABILITAS

Page 20: Statistika Matematika - Pertemuan 1

Pendahuluan Definisi Probabilitas Probabilitas pada Ruang Diskrit

Teorema 4

P(∅) = 0

Bukti

Karena ∅ = SC ,P(∅) = A(SC ) = 1− P(S) = 0.

SheilaEka PROBABILITAS

Page 21: Statistika Matematika - Pertemuan 1

Pendahuluan Definisi Probabilitas Probabilitas pada Ruang Diskrit

Teorema 5

Pertidaksamaan Boole Jika A1,A2, . . . ,Ak adalah barisan keja-dian, maka

P

( ∞⋃i=1

)≤

∞∑i=1

P(Ai ) (7)

Bukti

Ambil B1 = A1,B2 = A2 ∩ AC1 , dan pada umumnya Bi = Ai ∩(

i−1⋃j=1

Aj

). Sehingga

∞⋃i=1

Ai =∞⋃i=1

Bi dan B1,B2, . . . adalah mutual

eksklusif. Karena Bi ⊂ Ai , maka P(Bi ) ≤ P(Ai ) sehingga

P

( ∞⋃i=1

Ai

)= P

( ∞⋃i=1

Bi

)=

∞∑i=1

P(Bi ) ≤∞∑i=1

P(Ai )

SheilaEka PROBABILITAS