____

EKUACIONET, INEKUACIONET

Nënçeshtjet:

Ekuacionet e njëvlershme

Ekuacioni i fuqisë së parë me një ndryshore

Ekuacioni i fuqisë së dytë me një ndryshore, formulat e Vietës

Ekuacioni në formë prodhimi dhe ekuacionet thyesore

Sisteme ekuacoinesh të fuqisë parë me dy ndryshore

Inekuacionet e njëvlershme

Inekuacionet me një ndryshore

Inekuacionet e fuqisw së parw me njëndryshore

#M

esueseA

ure

la

Barazimi me një ndryshore quhet ekuacion nëse kërkohen vlerat e ndryshores që e kthejnë atë në barazimnumerik të vërtetë.

Çdo vlerë e tillë e ndryshores quhet rrënjë e ekuacionit.

Dy ekuacione me të njëjtën ndryshore quhen të njëvlershme në bashkësinë E nëse ata kanë të njëjtën bashkësi zgjidhjesh në E.

#M

esueseA

ure

la

Për të kaluar nga një ekuacion në një tjetër, të njëvlershëm me të në R, përdorim këto teorema:

TEOREMË 1: Nëse në njërën anë të ekuacionit me një ndryshore kryejmë shndërrime identike në R, marrim një ekuacion të njëvlershëm me të.

TEOREMË 2: Nëse kalojmë një kufizë nga njëra anë e ekuacioni në tjetrën, duke i ndryshuar shenjën në të kundërt, marrim ekuacion të njëvlershëm me të parin në R.

TEOREMË 3: Nëse të dyja anët e një inekuacioni shumëzohen me të njëjtin numër, të ndryshëm nga 0, merret një ekuacion i një ekuacion i njëvlershëm me të parin në R.

#M

esueseA

ure

la

SHEMBULL: 5 x + 7 = x – 2 ; 4 x + 9 = 0. A ja në të njëvlershme këto ekuacione?

ZGJDHJE: Zbatojmë teoremën 2. 5 x + 7 – x + 2 = 0

Reduktojmë kufizat e ngjashme 5 x –x = 4 x ; 7 + 2 = 9 kështu marrim ekuacionin 4 x + 9 = 0 dhe themi që këto dy ekuacione janë të njëvlershme.

#M

esueseA

ure

la

Një ekuacion quhet i fuqisë së parë me një ndryshore nëse trajta kanonike e itij është

ax + b = 0. Për të zgjidhur ekuaconin e fuqisë. së parë ax + b = 0 do të kryejmë shndërrime të njëvlershme Ekuacioni i fuqisë së parë ax + b = 0 mund të ketë rrënjë:

1) për a ≠ 0 ka një rrënjë të vetme 2) për a = 0, b ≠ 0 ekuacioni nuk ka

rrënjë 3) për a = b = 0 ekuacioni ka një

pafundësi rrënjësh.

#M

esueseA

ure

la

SHEMBULL: Të zgjidhet ekuacioni 4x –

12 = 0

ZGJIDHJE: 4x – 12 = 0 4x = 12 x =

3

PËRGJIGJE: Bashkësia e zgjidjeve të

ekuacionit është: A = { 3 }.

#M

esueseA

ure

la

SHEMBULL: Të zgjidhet ekuacioni – 2x2

+ 5x – 2 = 0.

ZGJIDHJE: Duke shumëzuar të dyja e

ekuacionit me ( - 1 ) e sjellim në

ekuacionin

2x2 – 5x + 2 = 0. Kemi a = 2; b = - 5; c

= 2

D = ( - 5 )2 -4 • 2• 2 = 9; 9 > 0 D = 3

Ekuacioni ka dy rrënjë reale:

1) x1= = = x2 = = 2

2) x2 = = =

#M

esueseA

ure

la

Ekuacioni i trajtës ax2 + bx + c = 0, ku x

është ndryshorja, kursë a, b, c janë numra

realë dhe a ≠ 0, quhet ekuacion i fuqisë

së dytë me një ndryshore. Dallor të

ekuacioni ax2 + bx + c = 0 kemi quajtur b2

– 4ac, që e kemi shënuar me shkronjën

D. D = b2 – 4ac.

Nqs. D > 0 ekuacioni ka dy rrënjë reale

x1= x2 =

Nqs. D = 0 ekuacioni ka një rrënjë reale,

numrin

Nëse D < 0 nuk ka rrënjë.

#M

esueseA

ure

la

Formulat e Vietës na lejojnë të gjejmë

shumën dhe prodhimin e rrënjëve reale

të ekuacionit të fuqisë së dytë.

Këto formula janë:

x1 + x2 = –

x1 * x2 =

Teoremë: Nëse numrat m, n e kanë

shumën S dhe prodjimin P, atëherë këta

numra janë rrënjë të ekuacionit x2 – Sx +

P = 0.

SHEMBULL: Të shkruhet ekuacioni i

fuqisë së dytë, që ka për rrënjë numrët

5 dhe 7.

ZGJIDHJE: S = x1 + x2 = 5 + 7 = 12;

P = x1 * x2 = 5 * 7 = 35.

Ekuacioni që kërkohet është: x2 – 12x

+ 35 = 0.

#M

es

ue

se

Au

rela

Ekuacione në trajtë prodhimi

Ekuacioni me trajtë kanonike f(x) * g(x) = 0, quhet ekuacion në trajtë prodhimi.Bashkësia e rrënjëve të këtijekuacioni është bashkimi i bashkësivetë rrënjëe të ekuacioneve f(x) = 0 dhe g(x) = 0.

Çdo rrënjë e ekuacionit f(x) * g(x) = 0, është rrënjë e ekuacionit f(x) = 0 ose e ekuacionit

g(x) = 0. Çdo rrënjë e ekuacionit f(x) = 0, që nuk

është vlerë e palejuar për g(x), është edhe rrënjë e ekuacionit f(x) * g(x) = 0.#

Me

sueseA

ure

la

Shënim: Kushti që rrënja e f(x) = 0, për të qënë rrënjë e ekuacionit f(x) *g(x) = 0, duhet të mos jetë vlerë e palejuar e g(x) është thelbësor. Cënimi i tij bën që rrënja e f(x) = 0 të mos jetë rrënjë e ekuacionit f(x) * g(x) = 0.

Nëse A është bashkësia e rrënjëve të ekuacionit f(x) = 0, për të cilat ka kuptim g(x) dhe B është bashkësia e rrënjëve të ekuacinit g(x) = 0, për të cilat ka kuptim f(x), atëherë bashkësia e rrënjëve të ekuacionit f(x) * g(x) = 0 është AB.#

MesueseA

ure

la

SHEMBULL: Të zgjidhet ekuacioni: ( x2 + 7x – 8 )( x2 – 6x -7 ) = 0

ZGJIDHJE: Zgjidhim secilin nga Ekuacionet: x2 + 7x – 8 = 0 ; a = 1; b = 7; c = -8

D = 72 – 4 * 1* ( - 8 ) = 81 81 = 9; x1 = 1; x2 = -8

x2 – 6x – 7 = 0 ; a = 1; b =-6; c = -7

D = (-6)2 - 4 * 1* ( -7 ) = 64 x1 = 7 ; x2 = -1

PËRGJIGJE: Bashkësia e rrënjëve të ekuacionit është bashkësia: A = { -8, -1, 1, 7 }.

#M

esueseA

ure

la

Nëse e panjohura është në thyesën e një ekuacioni, ky ekuacion quhet thyesor.

Para se të zgjidhet një ekuacion thyesor duhet:

1. Të gjendet emëruesi i përbashkët

2. Të gjenden bashkësia e vlerave të lejuara të ndryshores

SHEMBULL: Të zgjidhet ekuacioni = 5

ZGJIDHJE: Emëruesi i përbashkët është x- i. Ky emërues duhet të jetë i ndryshëm nga zero. Shumëzojmë të dyja anët e ekuacionit me x.

X * = x * 5 ; 6x – 3 = 5x ; 6x – 5x = 3 ; x = 3

Meqenëse 3 ≠ 0, atëherë x = 3 është rrënjë e ekuacionit.

#M

esu

ese

Aure

la

quhen sistem ekuacionesh të fuqisë së parë me dy të panjohura.

Zgjidhje të sistemit quhen të gjitha çiftet ( x, y ), që po të zëvëndësohen kthehen në barazime numerike të vërteta.

Të zghjidhësh një sistem do të thotë të gjesh të gjitha zgjidhjet e sistemit. Për të zgjidhur një sistem përdorim tre metoda që janë:

A) metoda e zëvëndësimit

#M

esueseA

ure

la

SHEMBULL: Të zgjidhet sistemi:

1. Nga ekuacioni parë nxjerrim x = 6 – 2y

2. Në ekuacionin e dytë zëvëndësojmë x me 6 – 2y dhe marrim 3( 6 – 2y ) + y = 8

3. Kemi 18 – 6y + y = 8 → - 5y = - 10 → y = 2

4. x = 6 – 2 * 2 = 2 → x = 2

5. Zgjidhja e sistemit është çifti ( 2; 2 )

B) metoda e mbledhjes

SHEMBULL: Të zgjidhet sistemi:

1. Shumëzojmë të dyja anët e ekuacionit të parë me 3 dhe dy anët e ekuacionit të dytë

me – 2. Kështu përftojmë sistemin

2. Kemi: ( 6x + 9y ) + ( - 6x +8y ) = 21 – 4

3. Mbasi kryejmë veprimet marrim 17 y = 17, nga ku y = 1

4. Duke zëvëndësuar y me 1 në ekuacioni fillestar, gjejmë x

2x+3 * 1= 7; x = 2

5. Zgjidhja e sistemit është ( 2; 1 ).

#M

esueseA

ure

la

Inekuacionet me një

ndryshore Zgjidhje e ekuacionit me një ndryshore

quhet çdo vlerë e ndryshores që e

kthen inekuacionin në mosbarazim

numerik të vërtetë me të njëjtim kah.

Dy inekuacione me të njëjtën

ndryshore quhen të njëvlershme në

bashkësinë E, nëse kanë të njëjtën

bashkësi zgjidhjesh në E. Në këtë rast

lidhen me shenjën <=>.

#M

esueseA

ure

la

TEOREMË 1: Nëse marrim në njërën anë të inekuacionit f(x) > g(x) kryejmë shndërrime identike në R, atëherë marrim një inekuacion të njëvlershëm me të në R.

TEOREMË 2: Nëse kalojmë kufizën nga njëra anë e ekuacionit në anën tjetër, duke ndërruar shenjën e saj, marrim një inekuacion të njëvlershëm me të parin në R.

TEOREMË 3 : Nëse të dyja anët e një inekuacioni i shumëzojmë me të njëjtin numër pozitiv, atëherë marrim një inekuacion të njëvlershëm me të parin në R.

TEOREMË 4: Nëse të dyja anët e një inekuacioni i shumëzojmë me të njëjtin numër negativ dhe ndryshojmë kahun, atëherë marrim një inekuacion të njëvlershëm me të parin në R.

#M

esueseA

ure

la

Inekuacionet më të thjeshta me një ndryshore janë inekuacionet e trajtave të mëposhtme ku

c – ja është numër real i dhënë.

x > c. Bashkësia e zgjidhjeve në R është ] c, + ∞ [.

x< c. Bashkësia e zgjidhjeve në R është ] -∞, c [.

x c. Bashkësia e zgjidhjeve në R është [ c,+ ∞ [.

x c. Bashkësia e zgjidhjeve në R është ]-∞, c ].#

MesueseA

ure

la

Çdo inekuacion me një ndryshore që sillet me shndërrime të njëvlershme në një nga këto trajta: ax + b > 0; ax + b < 0, a dhe b janë numra realë dhe a ≠ 0 quhet inekuacion i fuqisë së parë me një ndryshore.

SHEMBULL: Të zgjidhet në R inekuacioni –≥

ZGJIDHJE: Emëruesi i përbashkët është 12 dhe shumëzojmë të dyja anët ( teorema 4 ). 12 ( – ) ≥ 12

4 ( 2x – 1 ) –6x ≥ 3x – 3; 8x – 4 – 6x – 3x + 3 ≥ 0; -x – 1 ≥ 0; - x ≥ 1; x ≤ - 1

PËRGJIGJE: Bashkësia e zgjidhjeve të inekuacionit në R është ]- ∞, - 1 ].

#M

esueseA

ure

la