Presentaciones Enteros

Números enterosNúmeros enteros

12 de abril de 2023

1 NÚMEROS ENTEROS

1. De los números naturales a los enteros

2. Representación de los números enteros

3. Valor absoluto y ordenación de números enteros

4. Suma de números enteros

5. Opuesto de un número entero

6. Resta de números enteros

7. Operaciones con paréntesis

8. Multiplicación de números enteros

9. División exacta de números enteros

10. Propiedades de las operaciones de números enteros

11. Operaciones combinadas

12. Resolución de problemas

AMPLIACIÓN

Index


12 de abril de 2023

2 NÚMEROS ENTEROS(Ampliación)

SUMA Y RESTA DE NÚMEROS ENTEROS

OPERACIONES CON PARÉNTESIS

RESUMEN – EJERCICIOS RESUELTOS

MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE ENTEROS

OPERACIONES COMBINADAS

POTENCIAS DE NÚMEROS ENTEROS

RADICACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS

OPERACIONES COMBINADAS (2)


12 de abril de 2023

3

Buena temperatura: + 20 ºC

+20

+5000

+7

– 7– 5000

– 20

0

Mucho frío: – 20 ºCSoy rico: tengo +5000 euros

Debo dinero: “tengo” -5000 euros

Los números naturales se consideranenteros positivos.

Por cada entero positivo hay un entero negativo. Van precedidos por un signo menos (–)

De los números naturales a los enteros

Los números enteros están formados por:enteros positivos,enteros negativos

y el cero

Los juegos olímpicos empezaron en el año 776 antes de Cristo

– 776

– 250

El submarino navega a 250 m bajo el nivel del mar


12 de abril de 2023

4

1º. Se traza una recta y se elige un punto para representar el 0.

2º. A la derecha del 0 se representa el +1.

3º. La distancia entre 0 y +1 será la que exista entre cada dos enteros consecutivos.

4º. A la derecha del 0 se colocan los enteros positivos.

4º. A la izquierda del 0 se colocan los enteros negativos.

PositivosNegativos

Es útil representar los números enteros en la recta. Se siguen los pasos:

+1 +2 +3 +4 +5 +6–1 0–2–3–4–5

Representación de los números enteros


12 de abril de 2023

5

Se llama valor absoluto de un número entero al número natural que sigue al signo. Se indica escribiéndolo entre barras

Es evidente que +2 y –2 están asociados al número natural 2. Por eso:

22 2

4 4 4

Los números +2 y –2 están a la misma distancia del cero:

+1 +2 +3 +4 +5 +6–1 0–2–3–4–5 –2 +2

El número natural 2 se llama valor absoluto de + 2 y –2.

Se indica así:

Otro ejemplo:

Valor absoluto de un número entero


12 de abril de 2023

6

Ordenación:

Valor absoluto de un número entero es el número natural que sigue al signo

Se indica escribiéndolo entre barras. Así:

Gráficamente, un número entero es mayor que otro cuando en la recta numérica está a la derecha.

,7 7 7 7

0 +1 +3+2 +4 +6–5 +5–4 –3 –2 –1

Más grandesMás pequeños

Cualquier número entero positivo es mayor que cualquier entero negativo.

El cero es mayor que cualquier negativo y menor que cualquier positivo.

Dados dos números enteros positivos es mayor el que tiene mayor valor absoluto.

13 7 pues , 137 Luego Dados dos números enteros negativos es mayor el que tiene menor valor absoluto.

13 7 pues ,137 Así,

Valor absoluto y ordenación de los números enteros


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7

0 +1 +3+2 +4 +6+5–2 –1

(+2) + (+3) = +5

Para sumar dos números enteros del mismo signo:

1.º Se suman sus valores absolutos.

(–2) + (–3) = –5

2.º Al resultado se añade el signo que tienen.

+2 +3

–4 –3 –1–2 0 +2+1–6 –5

–2–3

(+6) + (+12) = +18(+4) + (+21) = +25

(–4) + (–11) = –15(–17) + (–31) = –48

Suma de enteros del mismo signo


12 de abril de 2023

8

(+12) + (–9) = +3

Para sumar dos números enteros de distinto signo:1.º Se restan sus valores absolutos, el menor del mayor.

(+18) + (–19) = –1

2.º Al resultado se le pone el signo del sumando de mayor valor absoluto.

Teresa y Miguel hacen cuentas ... Nos han dado12 euros

Y hemos gastado9 eurosLes quedan 3 euros

Carola y Pablo también hacen sus cuentas ...

Nos han dado18 euros Y hemos gastado

19 euros

Deben 1 euro

¿Les queda o deben dinero?

(Observa que el resultado es negativo, como el número de mayor valor absoluto).

Suma de números enteros de distinto signo


12 de abril de 2023

9

Para sumar varios números enteros:1.º Se suman separadamente los positivos y los negativos.2.º Se suman el número positivo y el negativo obtenido.

Otros ejemplos:

(+5) + (–4) + (+11) + (–7) = (+5) + (+11) + (–4) + (–7) = (+16) +(–11) = +5

(+15) + (–8) + (–31) + (+7) = (+15) + (+7) + (–8) + (–31) = (+22) +(–39) = –17

Observa que sumamos por separado los positivos y los negativos.

(+100) + (–40) + (–70) + (+50) =

= (+150) + (–110) = +40

Veamos un ejemplo:

(+100) + (+50) + (–40) + (–70) =

Suma de varios números enteros


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10

4 y –4 son dos números enteros simétricos respecto de 0. Tiene el mismo valor absoluto, pero distinto signo.

4 = op.(–4) –4 = op. (+4)

El opuesto del opuesto de un número es igual al mismo número

8 6–2 –8 –6–6

–7 –12 7 12

+1 +2 +3 +4 +5 +6–1 0–2–3–4–5–6

Se llaman opuestos.

Opuesto del opuesto: op.(–5) = 5

op.(5) = –5

Observa que el opuesto de la suma es la suma de los opuestos.

2

–5 5 12

a b a + b op. (a) op. (b) op. (a+b) op. (a) + op. (b)

Opuesto de un número entero


12 de abril de 2023

11

Para restar dos números enteros se suma al primero el opuesto del segundo.

1º. Como signo de la operación resta: 9 – 5

(+9) – (+5) = 9 – 5 = 4

2º. Como indicador de número negativo: –3

(+8) +(–8) = (–8) + (+8) = 0. (Observa que un número más su opuesto vale 0).

(–7) + (–8) – (–17) + (–10) = –7 – 8 + 17 – 10 = – 25 + 17 = –8

(–9) – (+5) = –9 – 5 = –14 (–9) – (–5) = –9 + 5 = –4

(+9) – (–5) = 9 + 5 = 14

Algunos ejemplos:

–7 – 12 + 32 – 19 + 49 = –7 – 12 – 19 + 32 + 49 = – 38 + 81 = 43

El signo – tiene dos significados:

Resta de números enteros


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12

Cuando un paréntesis tiene delante el signo menos (–) se puede operar de dos maneras:1º. Haciendo las operaciones del paréntesis.2º. Suprimiendo el paréntesis cambiando el signo a los números que contiene.

9 – (12 + 3) = 9 – 15 = –6

9 – (12 + 3)

Vamos a calcular:

1º. Haciendo antes las operaciones del paréntesis:

9 – (12 + 3) = 9 + op. (12 + 3) = 9 + op. (12) + op. (3) = 9 – 12 – 3 = 9 – 15 = –6

2º. También se puede hacer así:

12 – (10 – 6) = 12 – 4 = 8

12 – (10 – 6)

Calculamos ahora:

1º. Operando antes el paréntesis:

Como ves, sale el mismo resultado.

12 – (10 – 6) = 12 + op. (10 – 6) = 12 + op. (10) + op. (–6) = 12 – 10 + 6 = 8

2º. También se puede hacer así:

Son iguales

El uso del paréntesis


12 de abril de 2023

13

(a) 15 + (17 – 38) – (–14 + 17) = 15 – 21 – 3 = – 9 (operando dentro de los paréntesis).

Otros ejemplos:

Un signo – delante de un paréntesis cambia el signo de todos los números de dentro.

8 + (4 – 14) = 8 – 10 = – 2

(c) 8 – (–7 + 14 – 19) = 8 + 7 – 14 + 19 = 34 – 14 = 20 (quitando el paréntesis).

8 + (4 – 14)

La expresión: se puede calcular de dos maneras:

1º. Haciendo antes las operaciones del paréntesis:

8 + (4 – 14) = 8 + 4 – 14 = 12 – 14 = – 22º. Quitando el paréntesis:

15 – (12 – 2) = 15 – 10 = 5

15 – (12 – 2)

Análogamente: se puede calcular de dos maneras:

1º. Operando antes el paréntesis:

2º. Quitando el paréntesis: 15 – (12 – 2) = 15 – 12 + 2 = 3 + 2 = 5

Un signo + delante de un paréntesis no cambia el signo de ningún número de él.

Operar con paréntesis


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14

Cada vez que va al cine gasta 6 euros

(a) (–7) ·(+ 9) = – 63

El producto de dos números enteros de distinto signo es un número entero negativo, cuyo valor absoluto es el producto de los valores absolutos de los factores.

Ejemplo:

(– 6) · (+ 3) = – 18

Otros ejemplos:

– 6

(c) (– 13) · (+4)= –52(b) (+12) · (–12) = –144

Beatriz gasta 6 euros cada vez que va al cine. ¿Cuánto dinero ha gastado después de haber ido tres veces?

Va tres veces + 3

Gasta: 3 · 6 euros = 18 euros – 18

Gráficamente:

0 +6 +12–24 –18 –12 –6

–6–6 –6

Multiplicación de enteros de distinto signo


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15

(a) (+5) · (– 1) = –55

(+7) · (+ 9) = +(7·9) = +63

Otros ejemplos:

Hay cuatro posibilidades:

Para multiplicar números enteros hay que tener en cuenta el signo que lleven.

(+7) · (– 9) = –(7·9) = –63

(–7) · (+ 9) = –(7·9) = –63

(–7) · (– 9) = +(7·9) = +63

Regla de los signos:

+ · + = +

+ · – = –

– · + = –

– · – = +

(b) (–5) ·(+7) = –35 (c) (–3) · (–9) = 27

1º. Se halla el producto de sus valores absolutos.Observa:

2º. El resultado es positivo(+) si los factores son del mismo signo. El resultado es negativo (–) si tienen distinto signo.

Multiplicación de números enteros


12 de abril de 2023

16

Para multiplicar varios números enteros se agrupan de dos en dos en elorden que se prefiera y se realizan las multiplicaciones por parejas.

Calculamos – 4 · 8 · (–3)

Observa: –4 · 8 · (–3) = –32 · (–3) = 96

–4 · 8 · (–3) = –4 · (–24) = 96

Luego:

Otros ejemplos:

–5 · 7 · (–3) = –35 · (–3) = 105

–5 · 7 · (–3) = –5 · (–21) = 105

Se obtiene el mismoresultado

1º. El producto –5 · 7 · (–3) puede hacerse:

2º. 5 · 8 · (–4) · 3 5 · 8 · (–4) · 3 = 40 · (–12) = –440

Producto de varios enteros


12 de abril de 2023

17

(a) 15 : (– 5) = – (15 : 5) = –3 (b) (–54) : (+6) = –(54 : 6) = –9

(+21) : (+ 7) = +(21 : 7) = 3

Otros ejemplos:

Pueden darse cuatro casos:

Para dividir números enteros hay que tener en cuenta el signo que lleven.

(+32) : (– 4) = –(32 : 4) = –8

(–63) : (+ 9) = –(63 : 9) = –7

(–48) : (– 8) = +(48 : 8) = 6

Regla de los signos:

+ : + = +

+ : – = –

– : + = –

– : – = +

(c) –35 : 7 = –5 (d) – 72 : (–9) = 8

Es la mismaque para la

multiplicación

Observación: El paréntesis es necesario cuando se divide por un número negativo. En cualquier otro caso es optativo.

División exacta de números enteros


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18

7 +(– 12) = – 5

Otros ejemplos:

De la suma

La suma de dos números enteros no varía cuando se cambia el orden de los sumandos.

Observa:

(– 12) + 7 = – 57 +(– 12) = (–12) + 7

Del producto 4 · (– 5) = – 20Observa:

(– 5) · 4 = – 204 · (– 5) = (– 5) · 4

El producto de dos números enteros no varía cuando se cambia el orden de los factores.

Suma(–5) + 7 = 7 +(–5) = 2

2 + (–13) = (–13) + 2 = –11

Producto(– 3) · (–9) = (– 9) · (–3) = 27(+6) · (–8) = (–8) · (+6) = –48

Propiedad conmutativa


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19

La suma de tres números enteros no varía cuando se asocian los términos de modos distintos

La suma 10 + (–5) + (–2) puede hacerse de dos maneras:

1º. Sumando los dos primeros números al tercero:

[10 + (–5)] + (–2) = 5 + (–2) = 3

2º. Sumando el primer número a los otros dos:

10 + [(–5) + (–2)] = 10 + (–7) = 3

Luego: [10 + (– 5)] + (– 2) = 10 + [(– 5) + (– 2)] Propiedadasociativade la suma

Otro ejemplo: [(–5) + 17] + (–8) = 12 + (–8) = 4

(–5) + [17 + (–8)] = –5 + 9 = 4

Propiedad asociativa de la suma


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20

El producto de tres números enteros no varía cuando se asocian los términos de modos distintos

El producto (–12) · 8 · (–5) puede hacerse agrupando los factores de dos formas distintas:

1º. (los dos primeros) · (el tercero):

[(–12) · 8] · (–5) = (–96) · (–5) = 480

2º. (el primero) · (el producto de los otros dos):

(–12) · [8 · (–5)] = (–12) · (–40) = 480

Luego: [(–12) · 8] · (–5) = (–12) · [8 · (–5)]

Propiedadasociativa

del producto

Otro ejemplo: [(–5) · 7] · (–3) = –35 · (–3) = 105

(–5) · [7 · (–3)] = –5· (–21) = 105

Propiedad asociativa del producto


12 de abril de 2023

21

El producto de un número entero por una suma es igual a la sumade los productos del número entero por cada uno de los sumandos.

El valor de la expresión –5 · (–3 + 7) puede calcularse de dos formas distintas:

Hacemos primero la suma y a continuación la multiplicación.

Multiplicamos el factor por cada sumando y después sumamos.

Luego: –5 · (–3 + 7) = –5 · (–3) + (–5) · 7

Una forma:

–5 · (–3 + 7) = –5 · 4 = –20

Otra forma:

–5 · (–3 + 7) = –5 · (–3) +(–5) · 7= +15 + (–35) = –20

El resultado es el mismo

Esta es la propiedaddistributiva de la multiplicación

respecto a la suma

Otro ejemplo:

15 · [–10 + 8 + (–17)] = 15 · (–19) = –285

15 · [–10 + 8 + (–17)] = 15 · (–10) + 15 · 8 + 15 · (–17) = –150 + 120 + (–255) = –285

15 · [–10 + 8 + (–17)]

Sumando antes:

Multiplicando por cada sumando:

Propiedad distributiva


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22

En la suma –3 · 7 + (–3) · (–2) los sumandos son productos. En ambos se repite el factor –3.

Decimos que –3 es factor común.

Aplicando la propiedad distributiva, leyéndola de derecha a izquierda.

Podemos escribir: –3 · 7 + (–3) · (–2) = –3 · [7 + (–2)]

Hemos sacadofactor común.

Otros ejemplos:

(c) –9 · 7 + (–9) · (–15) + 27 · 12

(a) 5 · (–10) + 5 · (–17) 5 · [–10 + (–17)] = 5 · (–27) = –135

(b) –6 · (–12) + (–6) · 17 + (–6) · (–9)

–6 · [(–12) +17 + (–9)] = –6 · (–4) = –24

El factor común es –6.

Aparentemente no hay factor común. Pero como 27 = –9 · (–3), se tiene:

–9 · 7 + (–9) · (–15) + (–9 )· (–3) · 12 = –9 · [ 7 + (–15) + (–3 )· 12] = –9 · (–44) = 396

Factor común


12 de abril de 2023

23

Ejemplos:

–5 · 6 + (–4) · 8 +30

Otros ejemplos:

2º. 8 ·(– 6) – 3 · (12 –17) –48 – 3 · (–5) = –48 + 15 = –33

1º –6 · (–4) + (–12) · 4 + (–5) · (–9) = 24 – 48 + 45 = 21

(a) La operación debe realizarse en el siguiente orden:

–30 + (–32) + 30 = –32 Primero hemos hecho losproductos y después las sumas

–30 : 6 + (–3) · 4 + 14 (b) Para hallar hay que seguir el siguiente orden:

–5 + (–12) + 14= –3Primero divisiones y productos,

después las sumas

Operando en el paréntesis

Aplicando la propiedad distributiva 8 · (– 6) – 3 · 12 –3 · (–17) = –48 – 36 + 51 = –33

1º Multiplicaciones y divisiones.2º Sumas y restas.

El orden de las operaciones es:

Operaciones combinadas. Sin paréntesis


12 de abril de 2023

24

Ejemplo:

–12 + [8 + (–14) : 2] + [–7 + (–9) · 5]

Otros ejemplos:

1º –6 ·[ (–4) + (–12) ] + [4 + (–5)] · (–9) = –6 · (–16) + (–1) · (–9) = 96 + 9 = 105

La operación

Se hace así: –12 + [8 + (–7)] + [–7 + (–45)]

= –63

2º El mismo ejemplo aplicando la propiedad distributiva

1º Operar dentro de los paréntesis.2º Hacer las multiplicaciones y divisiones.3º Hacer las sumas y restas.

El orden a seguir es:

–12 + 1 + (–52)

–6 ·[ (–4) + (–12) ] + [4 + (–5)] · (–9) = –6 · (–4) + (–6) · (–12) ] + 4 · (–9) + (–5) · (–9)= 24 + 72 – 36 + 45 = 105

3º [15 : (–5) + (–2) ] + [ (–8) · (–3) + 10] + (–5) = [(–3) + (–2) ] + [24 + 10] + (–5)= –5 + 34 – 5 = 24

Operaciones combinadas. Con paréntesis


12 de abril de 2023

25

Resumimos con los siguientes casos:

–12 + (–3) · (+4) + (–9)

[–12 + (–3)] · (+4) + (–9)

–12 + (–3) · [(+4) + (–9)]

[–12 + (–3)] · [(+4) + (–9)]

Caso 1:

Caso 2:

Caso 3:

Caso 4:

Observa que en todos los casoshay los mismos números y operaciones.

Cambia la situación de los paréntesis

= –12 + (–12) + (–9) = –33

= (–15) · (+4) + (–9) = –60 + (–9) = –69

= –12 + (–3) · (–5) = –12 + 15 = 3

= –15 · (–5) = 75

Operaciones combinadas. Resumen


12 de abril de 2023

26

Problema: Laura, Pedro y María se reúnen para organizar sus cuentas. Entre Laura y Pedro tienen 37 euros. Ente Pedro y María tienen 58 euros. Entre Laura y María deben 69 euros. ¿Cuánto dinero tiene o debe cada uno?

Observando los datos vemos que Laura, Pedro y María, aparecen dos veces cada uno.

Pensar un problema más fácilPrimero:

Comprobación.Segundo:

Por tanto, entre los tres tienen 13 euros (la mitad de 26).

Laura y Pedro: + 37Pedro y María: + 58Laura y María: – 69

Luego el doble de lo que tienen es la suma total: 37 + 58 – 69 = 26

Laura tendrá 13 – 58 (lo que tienen Pedro y María): 13 – 58 = – 45

Laura y Pedro: –45 + 82 = 37. Pedro y María: 82 – 24 = 58.

Laura y María: –45 + (–24) = – 69

Como entre Laura y María “tienen” –69, María tendrá: –69 –(–45) = –24

Como entre Pedro y María tienen 58, Pedro tendrá: 58 – (–24) = 82

Y entre los tres: 37 + 58 + (–24) = 13.

Organizados los datos y hechos los tanteos:

Resolución de problemas (I)


12 de abril de 2023

27

Tantear para comprender mejorPrimero:

Problema 1: La suma de dos números enteros es igual a –19 y su producto es igual a 60. ¿Cuáles son esos números?

Hacer una tablaSegundo:

Comprobación.Tercero:

La suma es: –4 + (–15) = –19.

Que son las condiciones requeridas.

No puede ser, pues su producto debe ser 60.

¿Por qué no valdrían dos números positivos?

Entonces, su producto sería: –29 · 10 = –290.Si los números suman – 19, uno podría ser –29 y el otro 10.

¿Has advertido quepara que el producto sea

60, los dos números debenser negativos?

Negativos que sumen 19 1, 18 2, 17 3, 16 4, 15 5, 14 6, 13

Negativos de producto 60 1, 60 2, 30 3, 20 4, 15 5, 12

Luego, los números buscados son –4 y –15.

Su producto vale: (–4) · (–15) = 60

Resolución de problemas (II)


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800 + 25 · 15 – (30 · 15) = 800 + 375 – 450 = 725

Leer el enunciado y resumirlo.Primero:

Problema 2: En un depósito hay 800 litros de agua. Por la parte superior un tubo vierte en el depósito 25 litros por minuto, y por la parte inferior, por otro tubo, salen 30 litros por minuto. ¿Cuántos litros de agua habrá en el depósito después de 15 minutos de funcionamiento?

Hay 800 l, entran 25 y salen 30. ¿En 15 min.?

Hacer un dibujo explicativo.Segundo:+25 durante 15 min.

-30Hacer los cálculos.Tercero:

Comprobación.Cuarto:Por cada minuto que pasa, el depósito pierde 5 litros: (25 – 30 = –5)En 15 minutos: 15 · (– 5) = –75.Quedan entonces: 800 – 75 = 725.

Hay 800 l

Resolución de problemas (III)


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PROBLEMA La suma de los valores absolutos de dos números enteros es igual a 84 y la suma de los números es igual a 36. ¿Cuáles son los números?

TANTEA

No puede ser, los resultados no coinciden. Suma de los números: 4 + (–7) = –3.

Si los números fueran 4 y –7, tendríamos que:

Suma de valores absolutos: 117474

ELIGE UNA ESTRATEGIA

Por ser su suma igual a 36, el número de mayor valor absoluto es positivo

Representamos la situación sobre la recta numérica:

0

– +Un número negativo Sumando positivo

Suma de valores absolutos: 8436 Suman 36

36

Luego 84 – 36 es igual al doble del valor absoluto del sumando negativo.

RESUELVE EL PROBLEMA 84 – 36 = 48; la mitad es 24.

24 será el valor absoluto del sumando negativo. Por tanto será – 24. Y el otro número, 24 + 36 = 60

COMPRUEBA

– 24 + 60 = 36846024 60 42

Correcto.

Técnicas y estrategias


12 de abril de 2023

30 SUMA Y RESTA DE NÚMEROS ENTEROS:

1) Cuando los números enteros tienen el MISMO SIGNO

SE SUMAN y el resultado queda con elMISMO SIGNO que tienen los números que sumé.

EJEMPLO:

1 + 3 + 5 + 8 = 17 POSITIVOS POSITIVO

-1 - 3 - 5 - 8 = - 17 NEGATIVOS NEGATIVO

2) Cuando los números tienen DISTINTO SIGNO

resto al mayor (en valor absoluto) el menor ( en valor absoluto) y el resultado me da con el signo del mayor (en valor absoluto).

EJEMPLO:

5 + 3 = -2 ME DA NEGATIVO PORQUE EL MAYOR TIENE ESE SIGNO

5 - 3 = 2 ME DA POSITIVO PORQUE EL MAYOR TIENE ESE SIGNO


12 de abril de 2023

31 OPERACIONES CON PARÉNTESIS

3) Si delante de un paréntesis, corchete o llave NO HAY NADA entonces hay un signo positivo que no se escribe.

EJEMPLO:

HAY UN SIGNO POSITIVO

4) Cuando delante de un paréntesis, corchete o llave hay : a) un SIGNO NEGATIVO, se saca el paréntesis, corchete o llave y SE CAMBIAN todos los signos de los números que están adentro.

EJEMPLO: - ( 4 - 3 ) = - 4 + 3 SE CAMBIAN LOS SIGNOS

b) un SIGNO POSITIVO, se saca el paréntesis, corchete o llave y se NO SE CAMBIAN los signos de los números que están adentro.

EJEMPLO: ( 4 - 3 ) = 4 - 3 NO SE CAMBIAN LOS SIGNOS


12 de abril de 2023

32 RESUMIENDO:

1) Si tengo varios números a sumar algunos positivos, otros negativos:

-7 + 4 - 2 + 8 - 3 - 5 + 1

1er PASO: Sumo los positivos ( 4 + 8 + 1 ) = 13

2º PASO: Sumo los negativos anteponiendo el signo menos al paréntesis - ( 7 + 2 + 3 + 5 ) = - 17

3er PASO: Me queda ( 4 + 8 + 1 ) - ( 7 + 2 + 3 + 5 ) 13 - 17

Busco la diferencia entre los dos y pongo el signo del mayor

13 - 17 = - 4

La diferencia entre 17 y 13 es de 4 ycomo el mayor, que es el 17, tiene signo negativo, el resultado me da negativo.


12 de abril de 2023

33 EJERCICIO RESUELTO 1

a) Eliminando paréntesis, corchetes y llaves:

853514952757

Eliminar paréntesis: Si delante del paréntesis hay un signo negativo: saco el paréntesis y cambio los signos de todos los números de adentro, si es positivo los dejo igual.

853514952757

Eliminar corchetes: procedo igual que con los paréntesis:

853514952757

Eliminar llaves: proceso igual que con paréntesis

853514952757

Sumo los positivos por un lado y los negativos por otro anteponiendo el signo negativo a éstos últimos

4327814275753595

Hallo la diferencia entre ambos y pongo al resultado el signo del mayor

164327


12 de abril de 2023


b) Resolviendo lo que hay dentro de los paréntesis corchetes y llaves:

853514952757

Resuelvo lo que está dentro de los paréntesis: 853995957

Eliminar los paréntesis: Si delante del paréntesis hay un signo negativo saco el paréntesis y cambio los signos de todos los números de adentro, si es positivo los dejo igual. 853995957

Eliminar corchetes: procedo igual que con los paréntesis 8535147

Eliminar llaves: Procedo igual que con paréntesis

Resuelvo lo que está dentro de las llaves

Resuelvo lo que está dentro de los corchetes 8535147

88521

88521

Sumo los positivos por un lado y los negativos por otro anteponiendo el signo negativos a éstos últimos 291382185

Hallo la diferencia entre ambos y pongo al resultado el signo del mayor162913


12 de abril de 2023

35 MULTIPLICACIONES Y DIVISIONES DE ENTEROS

1) Si multiplico o divido números enteros tengo que atenerme a la siguiente regla de signos:

a) + . + = + EJEMPLO: 8 . 2 = 16 + : + = + 8 : 2 = 4

b) - . - = + EJEMPLO: - 8 . (- 2) = 16 - : - = + - 8 : (- 2) = 4

c) + . - = - EJEMPLO: 8 . (- 2) = - 16

+ : - = - 8 : (- 2) = - 4

d) - . + = - EJEMPLO: - 8 . 2 = - 16

- : + = - - 8 : 2 = - 4

2) Si detrás de un número hay un número negativo entre paréntesis, quiere decir que entre los dos hay un signo de multiplicación que puede no escribirse.

EJEMPLO:

HAY UN SIGNO DE MULTIPLICACION

3) Cuando dos paréntesis, corchetes o llaves están juntos uno cerrado y el otro abierto y no hay ningún signo entre ellos , hay un signo de multiplicación que puede no escribirse.

EJEMPLO: HAY UN SIGNO DE MULTIPLICACION




12 de abril de 2023

36 OPERACIONES COMBINADAS

Para resolver ejercicios combinados con suma o resta y multiplicación o división, debo primero separar en términos.

Los signos que separan términos son los de suma o resta y se resuelve primero lo que está en cada término. Por ejemplo:

Si el ejercicio combinado tiene paréntesis, corchetes y/o llaves, se procede así:

Separo en términos lo que está dentro de los paréntesis y lo resuelvo:

952:4474

31252:4474

2

3:9

1

2652:4474

termterm

Separo los términos que están dentro de los corchetes y resuelvo:

43474

452474

2

)95

1

2:4474

termterm

Separo los términos que están dentro de las llaves y resuelvo

14417228

17228

2

434

1

74

termterm


12 de abril de 2023

37 POTENCIACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS (I)

Cuando un número (base) está elevado a otro número (exponente) significa que hay que multiplicar la base tantas veces como indique el exponente.

1) Propiedad de potencias de igual base:

a) Cuando se MULTIPLICAN potencias de igual baseMULTIPLICAN potencias de igual base se SUMAN los exponentes.

b) Cuando se DIVIDEN potencias de igual baseDIVIDEN potencias de igual base se RESTAN los exponentes.

EJEMPLOS:

2) Si una potencia está elevada a otro número, se MULTIPLICAN los exponentes.

EJEMPLO:


12 de abril de 2023

38 POTENCIACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS (II)

4) Las potencias con exponente impar tienen como resultado un número cuyo

signo es igual al de la base.

EJEMPLO:

5) Propiedades:

a) La potencia es DISTRIBUTIVA con respecto a la MULTIPLICACIÓN y a la DIVISIÓN

EJEMPLO:

3636

946

32322

222

b) La potencia NO ES DISTRIBUTIVA con respecto a la SUMA y a la RESTA.

EJEMPLO:


12 de abril de 2023

39 RADICACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS (I)

Para sacar la raíz de un cierto número (radicando), buscamos el número que elevado al índice me de por resultado el radicando.

PROPIEDADES DE LA RADICACION:

1. Es DISTRIBUTIVA con respecto a la MULTIPLICACIÓN y a la DIVISIÓN.

EJEMPLOS:

En la multiplicación En la división

2. NO ES DISTRIBUTIVA con respecto a la SUMA y a la RESTA.

EJEMPLOS:

En la suma En la resta


12 de abril de 2023

40 RADICACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS (II)

3.Si el índice es PAR entonces el radicado TIENE que ser POSITIVO y la raíz tiene dos resultados, uno positivo y otro negativo, para este nivel usamos el resultado positivo.

EJEMPLO:

4. Si el índice es IMPAR entonces la raíz va a tener el mismo signo que el radicando.

EJEMPLO:

5. Si tengo una raíz de raíz se multiplican los índices.

EJEMPLO:


12 de abril de 2023


Ejercicio combinado (suma-resta, multiplicación-división y potencia–raíz)

Separo en términos los que está dentro de los paréntesis:

Resuelvo primero raíces y potencias dentro de los paréntesis:

2

9:3

1

2853:81974

223222

termterm

2

3:27

1

4253:81974 222

termterm

Resuelvo multiplicaciones y divisiones dentro de los paréntesis:

9853:81974 222

Resuelvo sumas y restas dentro de los paréntesis: 1753:81974 222

Separo en términos lo que está dentro de los corchetes y lo resuelvo en el mismo orden que con los paréntesis:

424974

4251974

17259:9974

2

2

2

Separo en términos lo que está dentro de las llaves y lo resuelvo:

1370127298

4243492

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