Enteros, reales

Álgebra Superior

El conjunto de los enterosEl conjunto de los enteros esta constituido por los números enteros negativos, los enteros positivos y el cero. Generalmente se representa mediante la letra Z.

Z = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}

La recta numérica sirve para representar gráficamente conjuntos de números.

0 1 2 3 4 5 6 7 8-1-2-3-4-5-6-7

El anillo de los enteros

Los enteros forman lo que se conoce como un anillo.

Un anillo es un conjunto dotado de las propiedades que se más adelante.

En los enteros se definen dos operaciones la suma y la multiplicación.

Las propiedades de estas operaciones se listan a continuación.

Valor absoluto de un enteroDefinimos el valor absoluto como sigue.

El valor absoluto de a se denota por |a| = a si a > 0 y |a| = –a si a < 0. Símbolicamente: a > 0 |a| = a a < 0 |a| = –a

Es decir, el valor absoluto de un entero es el número que resulta al eliminar el signo que lo precede.

|4| = 4

|–33| = 33

|+45| = 45

Propiedades

Axioma 1. Propiedad conmutativa de la suma. Si a y b Z, entonces

a + b = b + aAxioma 2. Propiedad asociativa de la suma. Si a, b y c Z, entonces

(a + b) + c = a + (b + c)

Axioma 3. Elemento neutro de la suma. Si a Z, entoncesa + 0 = 0 + a = a

Axioma 4. Inverso aditivo. Si a Z, entoncesa + (–a) = (–a) + a = 0

Propiedades (cont.)Axioma 5. Propiedad conmutativa de la multiplicación. Si a y b Z, entonces

ab = baAxioma 6. Propiedad asociativa de la multiplicación. Si a, b y c Z, entonces

(ab)c = a(bc)Axioma 7. Elemento neutro de la multiplicación. Si a Z, entonces

a1 = 1 a = aAxioma 8. Propiedad distributiva de la multiplicación y la suma. Si a, b y c Z, entonces

a(b + c) = ac + ab(a + b)c = ac + bc

Propiedades del anillo de los enteros

Ley de cancelaciónSe cumple la siguiente proposición: si a, b y c Z y a + b = a + c, entonces b = c.

Demostración. Suponemos a + b = a + c. Sumamos a cada miembro de la igualdad el inverso aditivo de a.

(–a) + (a + b) = (–a) + (a + c)Por la propiedad asociativa.

((–a) + a) + b = ((–a) + a) + cPor el axioma de elemento inverso de la suma.

0 + b = 0 + cDado que 0 es el elemento neutro de la suma.

b = c

Propiedades del anillo de los enteros (cont.)

Si a y b Z y a + b = a, entonces b = 0.

Para todo entero a0 = 0a = 0.

Se cumple que –(–a) = a.

Se cumple la siguiente regla de signos para el producto de dos enteros.

(–a)b = –ab(–a) (–b) = ab

Diferencia de enteros

Definimos la diferencia de dos enteros de la siguiente manera.

Si a y b Z, a – b es la diferencia de a y b y se calcula como.

a – b = a + (–b)

Se cumple la siguiente ley distributiva.

Si a y b Z, a(b – c) = ab – ac

Ley de cancelación para la multiplicación

Si a, b y c Z, y a 0, entonces ab = ac implica b = c.

Demostración. Ya ab = ac que tenemos que ab – ac = 0, de donde a(b – c) = 0 y como a 0, entonces b – c = 0, o b = c.

Orden en los enteros El conjunto de los enteros es un conjunto ordenado. Dados dos números enteros el mayor de ellos es el que se encuentra más a la derecha en la recta numérica y el menor es el que está a la izquierda. Así, 3 > 2, 5 < 7,–3 < –2, 0 > –5.

Definimos el conjunto de los naturales N como el conjunto formado por los enteros positivos, es decir N = {1, 2, 3, 4, …}.

Con este conjunto podemos precisar el orden en los enteros.

Propiedades de los naturales

Se cumplen las siguientes propiedades.

La suma de dos números naturales es un número natural.

El producto de dos números naturales es un número natural.

Si a es un número entero, solo se cumple una de las siguientes:

1. a es un número natural.2. a = 0.3. –a es número natural.

Operador >Si a y b Z, se dice que a es mayor que b si a – b es un número natural. Es decir, la diferencia de a y b es positiva.

Ejemplo:

5 > 4 ya que 5 – 4 = 1 N

– 3 > – 5 ya que – 3 –(– 5) = – 3 + 5 = 2 N

6 > – 6 ya que 6 –(– 6) = – 6 + 6 = 12 N

Propiedades de >Se cumple la siguiente propiedad transitiva.

Si a > b y b > c, entonces a > c.

También se cumple que

Si a, b y c Z, y a > b, entonces a + c > b + c.

Si a > b, entonces –a < – b.

Si a > b y c > 0, entonces ac > bc.

Si a > b y c < 0, entonces ac < bc.

Inducción

Un conjunto es inductivo si, para cada a A, entonces a + 1 también pertenece a A. El conjunto de los números naturales que incluye al 0 es un conjunto inductivo.

Los siguientes pasos se siguen para hacer demostraciones inductivas.

1. Probar que la proposición se cumple para 0.

2. Suponer que la proposición se cumple para n y probar que esto implica que se cumpla para n + 1.

3. Deducir que la proposición se cumple para todos los elementos de N.

Ejemplo 1Sea Hn = 0 si n = 0 y Hn+1 = 1 + 2Hn. Demostrar Hn = 2n – 1

BI: H0 = 20 – 1 = 1 – 1 = 0

HI: se cumple Hn = 2n – 1

Hn+1 = 1 + 2Hn = 1 + 2(2n – 1) = 1 + 2n+1 – 2 = 2n+1 – 1

Conclusión:

n: Hn = 2n – 1

Ejemplo 2Para todo n: 2(n + 2) (n + 2)2.

BI: 2(0 + 2) (0 + 2)2 o 4 = 4

HI: 2(n + 2) (n + 2)2.

2(n + 1 + 2) (n +1+ 2)2.

2(n + 3) (n + 3)2.

2(n + 2) + 2 (n + 3)2. = n2 + 6n + 9 = n2 + 4n +4+2n+5

2(n + 2) + 2 (n + 2)2 + 2n+5

Por la hipótesis inductiva eliminamos 2(n + 2) (n + 2)2.

2 2n+5

Ya que esta se cumple para toda n, se cumple la hipótesis inductiva.

Ejemplo 3Para todo n3 + 2n es divisible por 3.

BI: 03 + 2·0 = 0 + 0 = 0 es divisible por 3.

HI: n3 + 2n = 3k

(n+1)3+2(n+1) = n3+3n2+3n+1+2n+2

= n3+2n+3n2+3n+3

= 3k+3(n2+n+1)

Este número es divisible por 3, por lo tanto se cumple la hipótesis inductiva.

Modificación de la base inductiva

La base inductiva no debe ser siempre con n = 0.

Podemos comenzar en cualquier n0, tomando P(n0) como base de inducción.

P(n0)n(P(n n0) P(n+1)) n P(n n0)

Ejemplo 4Para todo 2n < n! para n 4.

BI: 24 < 4! o 16 < 24

HI: 2n < n!

2·2n = 2n+1 < 2·n! < (n+1)·n! = (n+1)!

Ejemplo 5Para todo 1+23+33+43+…+n3 = (n(n+1)/2)2 .

BI: 1 = (1(1+1)/2)2 = 12 = 1

HI: 1+23+33+43+…+n3 = (n(n+1)/2)2

1+23+33+43+…+n3 + (n+1)3= (n(n+1)/2)2 + (n+1)3

= (n2(n+1)2/4) + (n+1)3

= (n+1)2(n2 + 4(n+1))/4 = (n+1)2 (n+2)2/4 =

= ((n+1) (n+2) / 2) 2

Ejemplo 6Para todo 32n+1+2n+2es divisible por 7.

BI: 31+21 = 7

HI: 32n+1+2n+2 = 7m

32(n+1)+1+2(n+1+2) = 32n+3+2n+3 = 3232n+1 + 212n+2=

= 9x32n+1 + 2x2n+2

= 7x32n+1 + 2x32n+1 + 2x2n+2

= 7x32n+1 + 2(32n+1 + 2n+2)

= 7x 32n+1 + 2 (7m)

= 7(32n+1 + 2)

Conclusión: 32n+1+2n+2es divisible por 7.

Divisibilidad

Un entero a es divisible por un entero b si existe un entero c tal que:

a = b·c

Se dice que a es un múltiplo de b.

Un número que tiene solo dos divisores, 1 y el mismo, se llaman número primo.

Los números que no son primos se les llama compuestos.

Se suele expresar de la forma a|b, que se lee a divide a b, o a es divisor de b.

Propiedades de la divisibilidadSean a, b, y c Z. Tenemos las siguientes propiedades básicas:a|a (Propiedad Reflexiva). Si a|b y b|c, entonces a|c (Propiedad Transitiva). Si a|b, entonces |a| |b|. Si a|b y b|a , entonces |a| = |b|.Si a|b y a 0, entonces b/a|b . Si a|b y a|c entonces a|(b+c). Si a|b y c es un entero, entonces a|bc. Si c|a y c|b , entonces c|ar+bs, para r y s arbitrarios.

Ejemplos:5|5 es cierto 5| 30 y 30|150, 5|1505| 20, 20/5=4|20 3|18 y 3|21, 3|397|49, entonces 7|49*2=98 6|12 y 6|18, 6|(3*12+2*18)=72

Combinación linealUna combinación lineal de dos enteros a, b es una expresión de la forma

ar + bs

Donde r y s son enteros.

Un entero c divide a los enteros a y b si y solo si c divide a cualquier combinación lineal de a y b.

Ejemplo: sea a = 12, b = 18 y c = 6, entonces

6 = 12r + 18s donde r = –1 y s = 1

Una condición necesaria para que un número g sea combinación lineal de a y b es que g sea divisible entre todo divisor común de a y b.

EjemplosProbar que 52 no es combinación lineal de 20 y 15.

Divisores de 20 y 15 es 5

5 | 52 por lo tanto no existe una combinación lineal

Encuentre una combinación lineal de 12 en términos de 98, 102.

102 – 98 = 4, 12 = 3*4, entonces 3*102 – 3*98 = 12

Pruebe que si c = 30n+6, entonces c no es combinación lineal de 1020 y 210.

Divisores de 1020 y 210 son: 2, 3, 5, 10, 15 y 30.

Divisores de 30n+6 son: 2, 3, 6, etc. No tiene como divisor a 5, por lo tanto no es posible obtener una combinación lineal.

Algoritmo de la división .Sean a Z y ∈ b N. Entonces existen ∈ q, r Z con 0∈ < r <|b| tales que a = bq + r. Además, q y r son únicos.

Demostración. Sea a>0 y b>0. Considere los enteros de la forma a – bs. Sea r = a – bq >= 0 el menor de estos enteros. De aquí

a = bq + rSi rb, ya que r = a – bq, obtenemos r – b = a – bq – b = a – b(q + 1), puesto que r b, resulta que

a – b(q + 1) >= 0Contradice el echo que r es el menor entero no negativo de la forma a – bs, ya que a – b(q+1) = r – b < r = a – bq. Por lo cual queda demostrado que r <b.Si a > 0 y a < b, a = b·0 + a y a< b, lo cual demuestra el teorema en este caso.

Supongamos que existen q’ y r’ además de q y r, tales que

a = bq +r r<b

a = bq’ + r’ r’<b

De las anteriores obtenemos

b(q – q’) = r’ – r

De donde

|b||q – q’| = |r’ – r|

Pero |r’ – r| < b, lo anterior implica que

|b||q – q’| = 0 y |r’ – r| = 0

Como |b| 0, se tiene que

q = q’ y r = r’

Omitiremos los casos de a o b o ambos negativos.

Sea a = 436 y b = 17

436 = 17·25 + 11

q = 25 y r =11

Sea a = –436 y b = – 17

– 436 = – 17·25 – 11

Pero – 11 no sirve como residuo ya que es negativo, por tanto

– 436 = – 17·26 + 6

q = 26 y r = 6 y 0 < r = 6 < |–17| = 17

Sea a = –436 y b = 17

–436 = 17·(–25) – 11 = 17·(–25) + 17 (–1) + 17– 11=

–436 = 17·(–26) + 6

q = –26 y r = 6 y 0 < r = 6 < |–17| = 17

Sea a = 436 y b = – 17

436 = (–17)·(–25) + 11

q = –25 y r =11

Máximo común divisor

Dados dos enteros a y b distintos de 0, decimos que el entero d>1 es un máximo común divisor (denotado por (a, b) o mcd(a, b)), de a y b si d|a, d|b y para cualquier otro c Z tal que ∈ c|a y c|b, entonces c|d.

Algunas propiedades del máximo común divisor

mcd(a, b) = mcd(|a|, |b|) mcd (ka, kb) = |k| mcd(a, b) Si a|b.c y mcd(a, b) =1, entonces a|c mcd(a, b) = d ⇔ d|a, d|b y mcd(a/d, b/d)=1

PropiedadesSi a y b son enteros positivos y d = as + bt es su combinación lineal positiva mínima, entonces todo divisor de d es divisor también de a y b.

Demostración. Tenemos que a = dq + r con 0 r <|d|, sustituyendo d = as + bt, se tiene

a = (as + bt)q + r

O r = a(1 – sq) – btq r es combinación lineal de a y b

Pero como 0 r < d y d es la combinación positiva mínima de a y b, resulta que r = 0, es decir, a = dq y por tanto d|a

De igual forma se demuestra que d|b.

Corolario: el mcd(a, b) es la combinación mínima positiva de a y b.

Primos relativosDos números a y b son primos entre si (primos relativos) si su máximo común divisor es 1. Es decir, a y b son primos entre si, si y solo si,

1 = as + bt

Proposición: Si a|bc y mcd(a, b) =1, entonces a|c.

Demostración.

1 = as + bt, entonces c = asc + btc

Ahora bien, a|a y a|bc, a divide a la combinación lineal a(sc) + (bt)t = c, por lo tanto a|c.

Mínimo común múltiplo

El Mínimo Común Múltiplo (denotado [a, b] o mcm(a, b)) de dos números a y b es el entero más pequeño que es divisible por ambos números a y b.

Ejemplo: a = 6 y b = 10

Los múltiplos de a son {6, 12, 18, 24, 30, 36, …}

Los múltiplos de b son {10, 20, 30, …}

La intersección de estos dos conjuntos es el conjunto {30, 60, 90, …} el más pequeño de estos valores es el mcm(6, 10) =30

Mcd * mcmProposición: Si a y b son enteros positivos, entonces el producto de a y b es igual al producto de su mcd y mcm. Es decir ab = mcd(a,b)·mcm(a,b) = (a, b)[a, b].

Demostración:

Sea m = mcm(a,b), m|ab y sea d tal que md = ab.

Como m es múltiplo de a y b, m = ar = bs, entonces

md = ard = bsd = ab, por lo que rd = b y sd = a por tanto d|a y d|b. (1)

Por otro lado d’ un divisor de a y b, d’|a d’|b. Sean a’ y b’ tales que a = d’a’ y b = d’b’

Sea m’ un múltiplo común de a y b dado por m’ = a’b’d’ = ab’ = a’b. m’ es un múltiplo de m, es decir m’ = mt.

mtd’ = m’d’ = a’b’d’d’ = ab = md, entonces td’ = d o d’|d.(2)

Las condiciones (1) y (2) significan que d es divisor de a y b y que d es dividido por cualquier divisor de a y b, por lo tanto d es el mcd lo que implica que ab = mcd(a,b)·mcm(a,b)

El algoritmo de EuclidesPara calcular el mcd de dos enteros a y b (ambos >0, suponemos a > b) se definen qi y ri recursivamente mediante las ecuaciones:

a = bq1 + r1  (0<r1<b) b = r1 q2 + r2  (0<r2<r1) r1 = r2 q3 + r3  (0<r3<r2) .... rk-3 = rk-2 qk-1 + rk-1  (0<rk-1<rk-2) rk-2 = rk-1 qk  (rk= 0)

El máximo común divisor es el último residuo diferente de 0.

Ejemplo de algoritmo de Euclides

a = 246, b = 118

a/b = 246/118 = 2 + 10/118, q1 = 2, r1 = 10

b/r1 = 118/10 = 11 + 8/10, q2 = 11, r2 = 8

r1/r2 = 10/8 = 1 + 2/8, q3 = 1, r3 = 2

r2/r3 = 8/2 = 4, q4 = 2, r4 = 0,

mcd(246, 118) = 2

Mcd como combinación linealEl mcd de a y b se puede expresar como la combinación positiva mínima lineal de a y b.

Ejemplo:

a = 348 y b = 228 12 = 120 – 108

348 = 1x228 + 120 = 120 – (228 – 120)

228 = 1x120 +108 = 2x120 – 228

120 = 1x108 + 12 = 2x(348 – 228) – 228

108 = 9x12 = 2x348 – 3x228

mcd = 12 mcd(a, b) = 2a – 3b

= 696 – 684 = 12

ActividadEncuentre el mcd y mcm de las siguientes parejas utilizando el algoritmo de Euclides:

2604 y 1344

405 y 510

Exprese el mcd como combinación lineal de 120 y 184

Ejemplos

Calcule (84, 30): Utilizando el algoritmo de Euclides tenemos: 84 = 2(30) + 2430 = 1(24) + 624 = 4(6) + 0

Entonces (84, 30) = 6. Además, de las ecuaciones anteriores obtenemos

6 = 30 – 24 = 30 – (2(30) + 84) = 3(30) + (–1)84

y hemos escrito a 6como la mínima combinación lineal positiva entre 84 y 30.

Calcule (–35,–48): Utilizando el algoritmo de Euclides tenemos: –35 = 1(–48) + 13–48 = –4(13) + 413 = 3(4) + 14 = 4(1) + 0

Entonces (–35,–48) = 1. Además, de las ecuaciones anteriores obtenemos

1 = 13 – 3(4) = 13– 3(–48+4(13))= –3(–48)–11(13) = – 3(–48)–11(–35–1(–48)) = 8(–48)–11(–35)

y hemos escrito a como la mínima combinación lineal positiva entre –35y –48.

Factorización únicaTeorema de factorización única (teorema fundamental de la aritmética). Todo número entero distinto de 1 se puede expresar de la forma

a = p1 p2 p3 …ph (1)

donde p1 p2 p3 …ph son números primos positivos.

DemostraciónDemostración. Suponga que existe un conjunto M de números que no pueden expresarse como en (1). Demostraremos que M = .

Suponga que a es el menor elemento de M, si a es primo, a = p1, lo

cual contradice la suposición de M.

Ahora suponga que a es compuesto y entonces a = bc, con 1< b < a y 1 < c < a. Como a es el mínimo elemento de M, b y c se pueden expresar de la forma (1).

b = p1 p2 p3 …pn y c = q1 q2 q3 …qr

Entonces a = p1 p2 p3 …pn q1 q2 q3 …qr

Pero esta es una expresión de la forma (1), lo que contradice la existencia de M.

Demostración (cont.)Ahora demostraremos que la factorización es única. Suponga que existen dos factorizaciones para a

a = p1 p2 p3 …pn

a = q1 q2 q3 …qr

Igualando

p1 p2 p3 …pn = q1 q2 q3 …qr

como p1 divide al producto de la izquierda, debe dividir al

producto de la derecha, digamos que divide a q1. Nos queda

p2 p3 …pn = q2 q3 …qr

Análogamente, se puede decir para p2 = q2, p3 = q3, hasta llegar a

tener 1 = qh qh+1 …qr si h < t, lo cual es imposible, similarmente si

t < h, de ahi que h = t, con lo que queda demostrado.

Mcd, mcm y factorizaciónSe puede demostrar que para dos números a y b con factorizaciones en primos dadas por

el mcd y el mcm se pueden expresar como

Donde ri = min{mi, si} y ti = max{mi, si}

n

n

sn

sss

mn

mmm

ppppb

ppppa

321

321

321

321

n

n

tn

ttt

rn

rrr

ppppbamcm

ppppbamcd

321

321

321

321

),(

),(

ejemploFactorice en potencias de primos y encuentre mcm y mcd:

194040 546000

Números racionales

Consideremos el producto cartesiano de Z (Z – {0}) dado por Q = {(a, b) | a Z y b (Z – {0}) }

Definimos la relación ~:

(a, b) ~ (a’, b’) si ab’ = ba’

Ejemplo:

(3, 4) ~ (12, 16) ya que 3·16 = 48 = 4·12

PropiedadesLa relación ~ es una relación de equivalencia.

a) ~ es reflexiva ya que (a, b) ~ (a, b) o ab = ba.

b) ~ es simétrica ya que (a, b) ~ (a’, b’) (a’, b’) ~ (a, b).

ab’ = ba’ a’b = b’a o (a’, b’) ~ (a, b)

c) ~ es transitiva, si (a, b) ~ (a’, b’) (a’, b’) ~ (a’’, b’’) (a, b) ~ (a’’, b’’).

Si ab’ = ba’ (1) y a’b’’ = b’a’’ (2), multiplicando (1) por b’’ y (2) por b, obtenemos

ab’b’’ = ba’b’’ a’b’’b = b’a’’b.

De estas dos obtenemos ab’b’’ = b’a’’b. Eliminando b’ llegamos a ab’’ = b’’a o (a, b) ~ (a’’, b’’).

Notación fraccionariaSe utiliza la siguiente notación:

a/b = {(x, y) | (a, b) ~ (x, y)}

Proposición: a/b = a’/b’ ab’ = ba’.

Demostración. Suponga que se cumple a/b = a’/b’ , esto quiere decir que si (a’, b’) a’/b’ (a’, b’) a/b, es decir (a, b) ~ (a’, b’), lo cual a/b = a’/b’ ab’ = ba’.

Suponga ahora que ab’ = ba’, esto significa que (a, b) ~ (a’, b’).

Sea (x, y) a/b (a, b) ~ (x, y) y por tanto por transitividad (a’, b’) ~ (x, y) a/b a’/b’ .

Similarmente, suponga (a’, b’) ~ (a, b), sea (x, y) a’/b’ (a’, b’) ~ (x, y) y por tanto por transitividad (a, b) ~ (x, y) a’/b’ a/b. Por lo tanto ab’ = ba’ a/b = a’/b’.

Operaciones con racionalesLema 1:

(a/b = a’/b’ y c/d = c’/d’ ) (ad+bc)/bd = (a’d’+b’c’)/b’d’.

Demostración.

ab’ = ba’ (1) y cd’ = dc’ (2), multiplicando (1) por dd’ y (2) por bb’ obtenemos

ab’dd’ = ba’dd’ y cd’bb’ = dc’bb’

Sumando lados izquierdos y derechos.

ab’dd’ + cd’bb’ = ba’dd’ + dc’bb’

(ad + cb)b’d’ = (a’d’ + c’b’)bd

(ad+bc)/bd = (a’d’+b’c’)/b’d’.

Operaciones con racionales (cont.)Lema 2:

(a/b = a’/b’ y c/d = c’/d’ ) ac/bd = a’c’/b’d’.

Demostración.

ab’ = ba’ (1) y cd’ = dc’ (2), multiplicando (1) por (2) obtenemos

ab’cd’ = ba’dc’

acb’d’ = bda’c’

ac/bd = a’c’/b’d’.

Suma y producto de racionales

Definimos la suma de los racionales a/b y c/d como

Definimos el producto de los racionales a/b y c/d como

bdbcad

dc

ba

bdac

dc

ba

Propiedades

1) La suma es conmutativa. a/b + c/d = c/d + a/b

2) La suma es asociativa. (a/b + c/d) + e/f = a/b + (c/d + e/f )

3) 0/1 es el idéntico aditivo

m/n + 0/1 = m/n

4) Todo racional tiene un inverso aditivo, el inverso aditivo de m/n es –m/n .

5) El producto es conmutativo. (a/b)(c/d ) = (c/d )(a/b)

6) El producto es asociativo.

((a/b)(c/d))(e/f ) = (a/b)((c/d))(e/f ))

Propiedades (cont.)

7) 1/1 es el idéntico multiplicativo(m/n)(1/1) = m/n

8) Todo racional diferente de 0/1 tiene un inverso multiplicativo, el inverso multiplicativo de m/n es n/m o (m/n)–1.

9) El producto distribuye a la suma

bfae

bdac

fe

dc

ba

ActividadRealizar las siguientes operaciones con racionales:

(3/4) + (2/7)

(8/31)–(7/2)

(21/51)(153/7)

(17/360)(51/64)–1

Encuentre el inverso aditivo de (9/7)((2/5)+(7/8))

Encuentre el inverso multiplicativo de (6/5)((3/7)+(17/14))

Racionales positivos

Definimos el conjunto de los racionales positivos como

Q+ = {a/b | a/b Q, ab Z+}

Donde Z+ es el conjunto de los enteros positivos.

Para cada a/b Q es verdadera una y solo una de las afirmaciones siguientes:

a) a/b Q+;

b) a/b = 0/1;

c) –a/b Q+.

Orden en Q

Definimos el orden en Q de la siguiente manera.

a/b > c/d si a/b +(–c/d) Q+

Dados a/b y c/d en Q se cumple una y solo una de las afirmaciones siguientes:

a) a/b > c/d

b) a/b = c/d

c) c/d > a/b

Se cumplen las siguientes proposiciones:

(a/b > c/d) (c/d > e/f ) (a/b > e/f ) transitividad

(a/b > a’/b’) (c/d > c’/d’ ) (a/b + c/d > a’/b’ + c’/d’ )

(a/b > a’/b’) (a/b + c/d > a’/b’ + c/d )

(a/b >a’/b’ 0/1) (c/d >c’/d’ 0/1) (a/b)(c/d)> (a’/b’)(c’/d’)

(a/b >a’/b’) (c/d > 0/1) (a/b)(c/d)> (a’/b’)(c/d)

a/b > c/d –c/d > –a/b

Enteros como racionalesLa siguiente función mapea de un entero a un racional.

i: Z Q

Definida como

i(a) = a/1

Esta función es inyectiva, es decir, dados a y b enteros si i(a) = i(b), entonces a = b ya que a/1 = b/1.

Podemos escribir a por a/1.

Se cumple: i(a) + i(b) = i(a + b)

i(a) · i(b) = i(ab)

El subconjunto D de Q

El subconjunto D (racionales decimales) de Q está formado por los racionales de la forma:

a/10n

Se utiliza la notación de punto decimal para representar a estos racionales.

Ejemplo:

231/1000 = 0.231

3/100 = 0.03

27822/1000 = 27.822

Las sumas y productos de elementos de D pertenecen a D.

Definimos:

D+ = D Q+

D– = D Q–

Los elementos de D+ son de la forma

A.a1a2…an,

Donde A es un entero no negativo y ai {0, 1, 2, …, 9}

Los elementos de D– son de la forma

–A.a1a2…an,

Donde A es un entero no negativo y ai {0, 1, 2, …, 9}

Orden en DSe cumple lo siguiente:

i) 0 > x x D-.

ii) x > y siempre que x D+ y y D-

iii) x > 0 x D+.

iv) Dados los elementos cualquiera de D+,

x = A.a1a2…an,

y = B.b1b2…bn,

x > y en cualquiera de los dos casos siguientes:

a) A > B

b) Si A = B existe un entero mn tal que ai =bi para i < n y am > bm

Orden en D (cont.)v) Dados x D+ y y D+,

–x > – y si y > x

Regla de los signos:

Se cumple la regla de los signos.

(–A.a1a2…an)B.b1b2…bn = –(A.a1a2…anB.b1b2…bn)

A.a1a2…an (– B.b1b2…bn) = –(A.a1a2…anB.b1b2…bn)

(–A.a1a2…an) (– B.b1b2…bn) = A.a1a2…anB.b1b2…bn

Regla de los signos

Se cumple la regla de los signos:

(–A.a1a2…an)B.b1b2…bn = –(A.a1a2…anB.b1b2…bn)

A.a1a2…an (– B.b1b2…bn) = –(A.a1a2…anB.b1b2…bn)

(–A.a1a2…an) (– B.b1b2…bn) = A.a1a2…anB.b1b2…bn

ActividadEstablezca cual de los dos racionales es el mayor y cual el menor.

23/34 y 65/96

7/4 y 25/32

Establezca cual de los dos elementos de D es el mayor y cual el menor.

-17.4527628 y -17.4527728

46.87600277 y 46.87600367

Ordene de mayor a menor los siguientes números racionales

3/4, 5/6, 4/7, 6/13, 7/9, 15/19, 4/5

Números realesEl conjunto de los reales positivos denotados como R+, está formado por números de la forma

A.a1a2a3…,

Donde los puntos suspensivos indican que hay una infinidad de aes.

El conjunto de los reales negativos R– son de la forma

–A.a1a2a3…,

Si agregamos el 0.0000… tendremos el conjunto de los reales como

R = R+ R– {0.000…}

Excluimos números en los que ai = 9, para i>n.

Subconjuntos de RSe cumple lo siguiente:

Z D Q R

Z+ = D+ Z

Z– = D– Z

D+ = R+ D

D– = R– D

Q+ = R+ Q

Q– = R– Q

Z

R

Q D

Orden en RSe cumple lo siguiente:

i) 0 > x x R-.

ii) x > y siempre que x R+ y y R-

iii) x > 0 x R+.

iv) Dados los elementos cualquiera de D+,

x = A.a1a2…,

y = B.b1b2…,

x > y en cualquiera de los dos casos siguientes:

a) A > B

b) Si A = B existe un entero mn tal que ai =bi para i < n y am > bm

Orden en R (cont.)v) Dados x R+ y y R+,

–x > – y si y > x

Ejemplo:

0 > -0.00001

0.0002… > -3.4674…

4.556… > 0.0

3.1415926535…> 3.1415925678…

-4.567585…> -4.567698…

4.567585…< 4.567698…

Reales y RacionalesProposición. Entre cada y R hay un elemento de D.

Ejemplo

= 3.4584734…

= 4.3479437…

sea c = 3.5, entonces < c < .

= 3.76458846…

= 3.76458900…

c = 3.7645885,

sea c = 3. 7645885, entonces < c < .

Reales y RacionalesProposición. Para cada R y cada entero positivo n existe a D tal que a < < a + 10–n.

Ejemplo. D

= 2.36478364…

Tomamos a = 2.36 y n = 2, entonces

2.36 < 2.36478364… < 2.36 + 10–2 = 2.37

D

= 2.364783,

Tomamos n = 6, a = 2.364783 – 10–6 = 2.364782

2.364782 < 2.364783 < 2.364782 + 10–6 = 2.364784

Cotas y fronterasSea S R. Decimos que R es una cota superior (inferior) de S si x ( x) para todo x S.

S R. Decimos que S está acotado superiormente (inferiormente) si existe R que es una cota superior (inferior) de S.

Sea S R. Decimos que es una frontera superior (inferior) de S si:

1) es cota superior (inferior) de S.

2) Si x es cualquier otra cota superior (inferior) de S, entonces x > (x < ).

S conjunto de reales en círculos azules, conjunto de cotas superiores de S en círculos rojos, frontera de S rombo rojo

SupremoEl supremo (ínfimo) de S (o frontera superior (inferior)), si existe, es el mínimo (máximo) elemento de las cotas que es mayor (menor) o igual a cada elemento de S.

En otras palabras, es la mínima (máxima) de las cotas superiores (inferiores) de S.

El supremo de un conjunto S comúnmente se denota sup S (inf S).

Ejemplos:

sup {1, 2, 3} = 3 inf {1, 2, 3} = 1

sup ({x R | 0 < x < 1} = 1 inf {x R | 0 < x < 1} = 0

sup {x R | x2 < 2} = √2 inf {x R | x2 < 2} no existe

sup(-, ) no existe inf (-, 5) no existe

Máximo y mínimo

El máximo (mínimo) de un intervalo S de números reales es el elemento que es frontera superior (inferior) y que pertenece a S.

Ejemplo:

(1;3] : el máximo es 3, el mínimo no existe.

[5; 8] : el máximo es 8, el mínimo es 5.

[-1; ) : el no existe, el mínimo es -1.

Teoremas

Enunciaremos el siguientes teoremas sin demostración.

Teorema 1. Todo conjunto no vacío de R acotado superiormente (inferiormente) tiene frontera superior (inferior).

Teorema 2. Todo conjunto no vacío de R acotado superiormente (inferiormente) tiene una sola frontera superior (inferior).

Suma de realesDados R R, sean

A = {x | x D, x }

B = {x | x D, x }

C = {x + y | x A, y B}

Definimos + = sup C.

Ejemplo: sea = 2.373873… y = 6.637863…, existen a y b tales que < a y < b. Por ejemplo a = 2.373874, y b = 6.637864 Entonces

+ < a + b

O sea que + = 2.373874+6.637864 = 9.011738

Producto de realesDados R R, sean

A = {x | x D, x }

B = {x | x D, x }

C = {xy | x A, y B}

Definimos = sup C.

Ejemplo: sea = 2.373873… y = 6.637863…, existen a y b tales que < a y < b. Por ejemplo a = 2.373874, y b = 6.637864 Entonces

< ab

O sea que = 2.3738746.637864 = 15.757452765136

Propiedades

1) La suma en R es conmutativa. a + b = b + a

2) La suma en R es asociativa. (a + b) + c = a + (b + c )

3) 0 es el idéntico aditivo en R

a + 0 = a

4) Todo real tiene un inverso aditivo, el inverso aditivo de a es –a.

5) El producto en R es conmutativo. ab = ba

6) El producto en R es asociativo.

a(bc) = (ab)c

Propiedades (cont.)

7) 1 es el idéntico multiplicativo en Ra1 = a

8) Todo real diferente de 0 tiene un inverso multiplicativo, el inverso multiplicativo de a o a–1.

9) El producto distribuye a la suma

a(b +c) = ab + ac

Se cumplen las siguientes proposiciones en los reales:

(a > b) (b > c) (a > c) transitividad

(a > b) (c > d) a + c > b + d

a > b a+ c > b+ c

(a > b 0) (c > d 0) (ac)> (bd)

(a > b) (c > 0) (ac)> (bc)

a > b –b > –a

Propiedades de orden en R

Racionales y realesLa siguiente función mapea de un racional a un real.

j: Q RDefinida como

j(a/b) = ab–1

Esta función es inyectiva, es decir, dados a/b y c/d racionales

j(a/b) = j(c/d) ab–1 = cd–1 ad = bc a/b = c/d

Se dice que Q es denso en R, es decir, entre dos reales hay un racional.

Representación decimal de racionales

Para obtener la representación de un racional dividimos numerador entre denominador. El número obtenido es siempre un decimal periódico.

Ejemplo

0.42857142

373020

6040

50103020

3

7= 0.428571

8

3

= 0.2.6

5561

4950= 1.1234

ActividadEncontrar el supremo y el infimo si existen en cada caso.

{1, 1/2, 1/3, 1/4,1/5, …}

{x R | x3 < 2}

(5, 7]

[-6, )

Encuentre la representación de los siguientes racionales como decimales periódicos

45/7

23/43

Raíces de realesPara cada R+ y cada n Z existe un número único R+ tal que n = . Este real se denota por

= sup {x | x R, xn < }

Ejemplo

1.24573093… =

Ya que:

1.245730935 = 2.99999988422< 3

n α

5 3

Reglas de los exponentesPara cada R – {0} y n Z definimos

n = ··· n factores

–n = (n)–1.

0 = 1

m·n = m+n

(m)n = mn

Ejemplos:

34 = 3·3·3·3 = 81 4–3 = (43)–1 = (64)–1 = 0.015625

52·53 = 25*125 =55 = 3125

(72)3 = (49)3 = 49·49·49 = 117649 = 76

Reglas de los exponentes (cont.)Para cada R – {0} y n, m Z definimos

Ejemplos:

n mmn

mnm n

nnn

αα

αα

αββα

46488

2256α

981273

33 223

84 2

222

Reglas de los exponentes (cont.)

Para cada R+ y m/n, r/s Q y n, s Z+ definimos

m/nm/n = ()m/n

m/nr/s = m/n+r/s

m/nr/s = m/n·r/s

Ejemplos:52/362/3 = 2.924017738 · 3.301927249 = 302/3 = 9.65489384683/483/2 = 4.75682846 · 22.627417 = 83/4+3/2 = 89/4 = 107.6347412(64/5)3/2 = (4.192962713)3/2 = 8.58581448766/5 = 8.585814487

Valor absoluto de un realDefinimos el valor absoluto como sigue.

El valor absoluto de se denota por | | = si > 0 y || = – si < 0. Símbolicamente: > 0 || = < 0 || = –

Es decir, el valor absoluto de un entero es el número que resulta al eliminar el signo que lo precede.

Se tienen las siguientes propiedades:

a) | | 0, | | = 0 solo si = 0.

b) | | = | | | |

c) | | | | + | |

Como consecuencia | –| || | – | ||

Ejemplos|(-5)(2)| = |-5||2| = 5·2 = 10

| 4 + 7| = |4| +|7| = 11

| (–6) + (–4)| = |–10| = 10

| (–6) + (4)| = |–2| = 2 < | (–6)| + |(4)| = 6+4 =10

| (6) + (–4)| = |2| = 2 < | (6)| + |(–4)| = 6+4 =10

| 6 – 4| = | 2 | = 2 = | |6| – |4|| = |6 – 4|

| 6 – (– 4)| = | 10 | = 10 > | |6| – | – 4|| = |6 – 4| = 2

| (– 6) –4| = | 2 | = 2 = | | – 6| – | 4|| = |6 – 4| = 2

Actividad

Efectúe las operaciones con exponentes:

(3a3)3 (–4a2y)2 (2x5)3(3xy2) (x2y)2

(3x2)3/(2x4)2 (24/2–3)–1

5 201032 yx 23 63 kyx

(8a3x– 6)–1/3 (81a–16b12)–1/4

Calcule los siguientes valores absolutos

|5 + (- 8)|

| (-8)(-2) + (-9) |