ESPAD III * TC 1

NUMEROS NATURALES Y NÚMEROS ENTEROS

Tipos de números

• NATURALES (N)

• ENTEROS ( Z)

• NEGATIVOS

• RACIONALES ( Q )

• FRACCIONARIOS REALES ( R )

• IRRACIONALES

• IMAGINARIOS

CO

MP

LE

JOS

( C

)

Función y utilidad de los números.

•• Los números permiten:

• CONTAR Números cardinales• ORDENAR Números ordinales• IDENTIFICAR

• Y además....

• EXPRESAR MEDIDAS Medir• CALCULAR Aritmética

LOS NÚMEROS NATURALES• Origen de los números naturales• Los números naturales surgen por la necesidad de contar.• Tal y como se conocen hoy en día, los números naturales son: • 0, 1, 2, 3, 4... • Se representan con la letra N.

• El sistema de numeración decimal• Es un sistema que sirve para expresar cualquier número. • En él se utilizan diez cifras: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9• A estas cifras se les llama cifras arábigas, porque fueron introducidas por

los árabes. • Cada cifra fue elegida según el número de ángulos que tenía su grafo

original:

CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD

CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD POR:

2 Todos los números terminados en 0 o en cifra par 312

3 Todo número cuya suma de sus cifras sea múltiplo de 3 321

4 Todo número cuyas dos últimas cifras formen un múltiplo de 4 2512

5 Todo número que termine en 0 o en 5 315

6 Todo número múltiplo de 2 y de 3 a la vez 312

7 Todo número que al suprimir la cifra de las unidades y restar del número que queda el doble de la cifra suprimida, se obtenga un múltiplo de 7

476(35)

8 Todo número cuyas tres últimas cifras formen un múltiplo de 8 13.720

9 Todo número cuya suma de sus cifras sea múltiplo de 9 7.578

10 Todo número que termine en 0. 12.780

11 Todo número en el cual el valor absoluto de la diferencia de la suma de las cifras de lugar par e impar sea múltiplo de 11

8.195

NÚMEROS ENTEROS

• Un número entero a es menor que otro b, si para pasar del número a al número b hay que añadirle una o más unidades.

• Se escribe a < b

• Ejemplo 1

• 2 < 5 Al 2 hay que añadirle 3 unidades para llegar al 5.

• Ejemplo 2

• - 2 < 3 Al - 2 hay que añadirle 5 unidades para llegar al 3.

• Un número entero a es mayor que otro b, si para pasar del número a al número b hay que quitarle una o más unidades.

• Se escribe a > b

• Ejemplo 1

• 5 > 2 Al 5 hay que quitarle 3 unidades para llegar al 2.

• Ejemplo 2

• 2 > - 3 Al 2 hay que quitarle 5 unidades para llegar al - 3.

• Ejemplo 3

• - 2 > - 5 Al - 2 hay que quitarle 3 unidades para llegar al - 5.

USO DE NÚMEROS ENTEROS

• USOS

• Hay situaciones que se pueden expresar matemáticamente utilizando sólo los números naturales.

• Ejemplos: Edad de una persona, número de hijos de una familia, número de viviendas en un barrio, etc.

• Pero hay otras situaciones en que aparecen cantidades que necesitan un sentido, y que se representan con los números positivos y negativos.

• Ejemplos:• Ganar o perder dinero, tener o deber.• Temperatura por encima o por debajo de 0ºC.• Tiempo después de Cristo o antes de Cristo.• Alturas de una vivienda o sótanos.• El conjunto de números positivos (N, naturales) y números negativos son

los números enteros (Z).

LOS NÚMEROS NEGATIVOS

• Se expresan con un – delante• Ejemplo: – 5

• Los + están por encima de cero, y los – por debajo de cero.• Ejemplo: – 5 < 0 ; + 7 > 0

• El cero no es ni + ni –• Ejemplo: 0 ; + 0 Mal ; – 0 Mal

• Cuando se opera con – deberán ir entre paréntesis• Ejemplo: 5 + (– 3)

• Cuando el nº es + no se pone signo.• Ejemplo: – 5 = – 5 ; + 9 = 9 ; + 13 = 13

• Sea la expresión: A = 2 + (-3) + 4 + (-5) + (-6) + 7 + 8• • Los paréntesis que hay en ella no son tales. Es una manera de indicar que

son números enteros negativos.• No se pueden poner dos signos seguidos: 2 + - 3

• Resolvemos:

• Se escriben todos los números aplicando la regla de los signos:

• A = 2 – 3 + 4 – 5 – 6 + 7 + 8

• Y finalmente se opera de izquierda a derecha; o se suman por un lado todos los positivos y por otro lado todos los negativos, restándose ambas sumas:

• A = (2 + 4 + 7 + 8 ) – ( 5 + 6) = 21 – 11 = 10

Sumas y diferencias SIN PARÉNTESIS

• Otro ejemplo:

• Sea la expresión: B = 3 - (-2) + 7 - (-5) + (- 4) + 1 + 8• • Resolvemos:

• Se escriben todos los números aplicando la regla de los signos:

• B = 3 + 2 + 7 + 5 – 4 + 1 + 8

• B = (3 + 2 + 7 + 5 + 1 + 8 ) – ( 4) = 26 – 4 = 22

• Sea la expresión:

• A = 2 + ( 3 – 4 ) + 1 – ( - 5 + 6 – 7 )• • Resolvemos:

• Se realizan las operaciones que hay dentro de los paréntesis:

• A = 2 + (– 1) + 1 – (– 6)

• Y finalmente se opera ya sin paréntesis:

• A = 2 - 1 + 1 + 6 = 9 – 1 = 8

Sumas y diferencias CON PARÉNTESIS

• Otro ejemplo:

• Sea la expresión:

• B = - 5 + (– 3 + 4 ) + 2 – ( - 7 + 6 – 8 )• • Resolvemos:

• Se realizan las operaciones que hay dentro de los paréntesis:

• A = - 5 + (1) + 2 – (– 9)

• Y finalmente se opera ya sin paréntesis:

• A = - 5 + 1 + 2 + 9 = 12 – 5 = 7

• Para hallar el producto de dos números enteros:

• 1.- Se multiplican sus valores absolutos.• 2.- El resultado es un número positivo si los dos números tienen el

mismo signo.• 3.- El resultado es un número negativo si los dos números tienen el

signo diferente.• • Regla de los signos de la multiplicación:

• (+) x (+) = (+)• (+) x (-) = (-)• (-) x (+) = (-)• (-) x (-) = (+)

• Ejemplos: 4 x (-9) = - 36 ; (-3) x (- 7) = 21

MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS

• En una división exacta se cumple siempre:• Dividendo = divisor x cociente

• Dividir dos números entre sí es encontrar un tercer número cuyo producto por el divisor nos de el dividendo.

• • Regla de los signos de la multiplicación:

• (+) : (+) = (+)• (+) : (-) = (-)• (-) : (+) = (-)• (-) : (-) = (+)

• Ejemplos: 36 : (-9) = - 4 ; (-21) : (- 3) = 7

DIVISIÓN DE NÚMEROS ENTEROS

• DIVISIÓN EXACTA: D =d.c

• Si un número (D=dividendo) se divide entre otro (d=divisor), se obtiene el cociente (c ).

• Si el resto es 0 entonces la división es exacta.

• DIVISIÓN ENTERA: D=d.c+r

• Si hay resto distinto de 0, entonces la división es entera.

• EJEMPLO DE DIVISIÓN EXACTA:

• Dividendo = divisor x cociente

• 12 : 6 = 2 D =d.c 12 = 6.2

• Pues D=12, d=6 y c=2

• EJEMPLO DE DIVISIÓN ENTERA:

• Dividendo = divisor x cociente + resto

• 13 : 5 = 2 y de resto 3 D=d.c+r 13 = 5.2 + 3

• SACAR FACTOR COMÚN

• Si tenemos 12 + 15 , a veces nos interesa sacar factor común.• 12 = 3.4• 15 = 3.5

• El 12 y el 15 tienen un factor común, que es el 3.

• Lo extraemos: 12 + 15 = 3.4 + 3.5 = 3.(4+5)

• Vemos si es verdad:

• 12 + 15 = 3.(4+5) , 27 = 3.9 , 27 = 27

• La operación de sacar factor común es la inversa de aplicar la propiedad distributiva.

JERARQUÍA EN LAS OPERACIONES

•• Cuando hay mezcla de sumas, productos, paréntesis, etc…

• Primero se realizan los PARÉNTESIS, si les hay.• Si hay paréntesis anidados ( uno dentro de otro) se opera de dentro

hacia fuera.

• Segundo las POTENCIAS y RAÍCES, si las hay.

• Tercero los PRODUCTOS y DIVISIONES, si los hay.

• Cuarto las SUMAS y RESTAS, si las hay

• Si hay una igualdad en el orden o jerarquía en las operaciones, se opera de IZQUIERDA a DERECHA.

• Ejemplo 1

• 5 + 4 – 7 – 2 + 6 =

• Todas son sumas o restas, presentan el mismo orden jeraquico.

• Operamos de izquierda a derecha:• = 5 + 4 – 7 – 2 + 6 =• = 9 – 7 – 2 + 6 =• = 2 – 2 + 6 =• = 0 + 6 =• = 6

• Ejemplo 2

• 8 : 4 . 7 : 2 : 7 =

• Todas son productos o divisiones, presentan el mismo orden jerárquico.

• Operamos de izquierda a derecha:

• = 8 : 4 . 7 : 2 : 7 = • = 2. 7 : 2 : 7 = • = 14 : 2 : 7 = • = 7 : 7 = • = 1

• Ejemplo 3

• 5 + 4.3 – 7.9 + 40:5 =• Hay sumas, restas, productos y divisiones.• Primero efectuamos los productos y divisiones de

izquierda a derecha:• = 5 + 4.3 – 7.9 + 40:5 =• = 5 + 12 – 7.9 + 40:5 =• = 5 + 12 – 63 + 40:5 =• = 5 + 12 – 63 + 8 =• Y después las sumas y restas de izquierda a derecha:• = 5 + 12 – 63 + 8 =• = 17 – 63 + 8 =• = – 46 + 8 =• = - 38

• Ejemplo 4:

• 5 + 4.(3 – 7).9 + 40:5 =

• Vemos que hay un paréntesis. Será lo primero que efectuemos:• = 5 + 4.(-4).9 + 40:5 =

• Luego productos y divisiones, de izquierda a derecha:• = 5 + (-16).9 + 40:5 =• = 5 + (-144) + 40:5 =• = 5 + (-144) + 8 =

• Y después las sumas y restas de izquierda a derecha:• = 5 - 144 + 8 =• = – 139 + 8 =• = - 131

• Ejemplo 5:

• 5 + 4.[3 – 7.(9 – 2)] : 4. 5 + 2 =

• Vemos que hay un paréntesis anidado.• 5 + 4.[3 – 7.(9 – 2)] : 4. 5 + 2 =

• Queda:• 5 + 4.[3 – 7.7] : 4. 5 + 2 =

• En el paréntesis que queda hay restas y productos.

• Queda:• 5 + 4.[3 – 49] : 4. 5 + 2 =• 5 + 4.[ – 46] : 4. 5 + 2 =

• Vemos que hay sumas, productos y divisiones.

• 5 + 4.[ – 46] : 4. 5 + 2 =• Vemos que hay sumas, productos y divisiones.

• Productos y divisiones de izquierdas a derecha, quedando:• 5 + [ – 184] : 4. 5 + 2 =• 5 + [ – 46] . 5 + 2 =

• Finalmente las sumas y restas de de izquierdas a derecha, quedando:

• 5 + [ – 230] + 2 =• - 225 + 2 =• - 223