Ingeniería en Sistemas

Método de Newton•Pablo Aguilar•Cristina Carrillo•Vanessa Medina•Nataly Ochoa•Rodrigo Castro

•Nadia Proaño•Yenny Imacaña•Jimmy Jaramillo •Lenin Gordillo

Octavo “B”

Ing. Luis Chamba

El método de Newton fue descrito por Isaac Newton en De la realización del análisis por terminorum Infinitas numero aequationes (escrita en 1669 , publicado en 1711 por William Jones ) y en De fluxionum metodis et infinitarum serierum (escrita en 1671 , traducido y publicado como Método de las fluxiones en 1736 por John Colson ). Sin embargo, su descripción difiere sustancialmente de la descripción moderna dada arriba: Newton aplica el único método para polinomios.

El método de Newton se publicó por primera vez en 1685 en un tratado de álgebra, tanto histórica y práctica por John Wallis . En 1690 , Joseph Raphson publicó una descripción simplificada en universalis aequationum Análisis. Raphson más vistos del

método de Newton exclusivamente como un método algebraico y restringido su uso a los polinomios, pero él se describe el método en cuanto a las aproximaciones sucesivas x n en lugar de la secuencia más complicada de los polinomios utilizados por Newton.

El Método numérico de Newton es una aplicación del cálculo diferencial que se utiliza para hallar los ceros de una función derivable de enésimo grado con la precisión deseada ya que es una extensión directa del método del mismo nombre para buscar ceros de funciones de una variable.

El método de Newton asume que la función f sea continuamente derivable y que se conoce la derivada de la función. Este método puede no converger si se comienza con un valor muy alejado de la raíz. Sin embargo, si converge, lo hace mucho más rápido que el método de bisección (usualmente, de manera cuadrática), por eso el número de dígitos correctos se duplica en cada iteración. El método de Newton también es útil porque se generaliza para problemas de dimensiones más altas.

Truncando la serie a primer orden e igualando f (x) = 0 se tiene.

Este Método es similar al de la Secante, la diferencia esencial radica en que en la Secante se utiliza el Método de diferencias divididas para aproximar f `(x) . Este método es muy similar al método babilónico y se basa en una repetición, ó sea, se divide y saca promedio, se divide y saca promedio, etc. En este método la primera aproximación no es muy precisa. El Método de Newton-Raphson asume que la función f (x) es derivable sobre un intervalo cerrado [a,b]. Entonces f (x) tiene una pendiente definida y una única línea tangente en cada punto dentro del intervalo [a,b].

La tangente en (x0, f (x0)) es una aproximación a la curva de f (x) cerca del punto (x0, f (x0)) .En consecuencia, el cero de la línea tangente es una aproximación del cero de f (x) odenominada raíz de f(x).

Usando algunos conceptos básicos de cálculo, se tienen maneras de evaluar raíces de funciones complicadas numéricamente. Normalmente, se usa el método de Newton Raphson. Este proceso iterativo sigue una pauta fija para aproximar una raíz, considerado la función, su derivada, y un valor x inicial.Usted puede recordar del álgebra que una raíz de una función es un cero de la función. Esto significa que la raíz de una función, se calcula cuando la función se iguala a cero. Se puede encontrar las raíces de una función simple como f (x) = x2 − 4 simplemente colocando la función igual a cero, y resolviendo:f (x) = x2 − 4 = 0 , de aquí se tiene que f (x) = (x + 2)(x − 2) = 0 , para concluir que la igualdad se cumple solo si x = 2 ó x = -2, que son consideradas como raíces de la ecuación.

En general, la convergencia es cuadrática: el error es esencialmente cuadrado en cada paso (es decir, el número de dígitos exactos se duplica en cada paso). En primer lugar, el método de Newton requiere que la derivada se calcula directamente. (Si la derivada es aproximada por la pendiente de una recta que pasa por dos puntos de la función, el método de la secante resultados, lo que puede ser más eficiente en función de cómo se mide el esfuerzo computacional.) En segundo lugar, si el valor inicial es demasiado lejos de la verdad cero, el método de Newton puede dejar de converger. Debido a esto, las implementaciones más práctica del método de Newton poner límite al número de iteraciones y tal vez del tamaño de las iteraciones. En tercer lugar, si la raíz que se busca tiene multiplicidad mayor que uno, la velocidad de convergencia es meramente lineal (menor número de errores por un factor constante en cada etapa) a menos que se tomen medidas especiales.

El método de Newton-Raphson no siempre trabaja. Se encuentra con problemas en varias partes.

- Cuando se escoge un valor x inicial donde se tendría una "división por cero" lo cual es un error, y no podría proceder.

- Cuando usando un valor X inicial de los valores X convergen y Hace el delta-x la disminución hacia el cero (0).

- Dependiendo de las condiciones bajo las que esté intentando resolver la ecuación, algunas de las variables pueden estar

cambiando. Así que, puede ser necesario usar derivadas parciales.

Aunque el método de Newton-Raphson en general es muy eficiente, hay situaciones en que presenta dificultades:

1.Un caso especial es en el de las raíces múltiples.2. En algunos casos es posible que para raíces simples se presenten dificultades por su lenta convergencia.

El método de newton es eficiente en la solución de sistemas de ecuaciones no lineales, converge muy rápidamente y proporciona una muy buena precisión en los resultados. El método se emplea en la solución de problemas académicos y en problemas propios del mundo real.