Peluang (probabilitas)

Perbandingan banyaknya kejadian dan banyaknya anggota Ruang Sampel.

kejadian adalah sesuatu peristiwa yang diharapkan muncul/terjadi

Ruang Sampel adalah Alat/objek/ sesuatu yang dianggap objek.

Anggota Ruang sampel disebut juga Titik Sampel

Contoh :

Dua uang logam dilempar bersamaan. Tentukanlah banyaknya anggota ruang sampel ?

Tiga uang logam dilempar bersamaan . Tentukanlah titik titik sampel nya ?

Dua uang logam Kejadiannya : Melempar dua uang logam Ruang Sampelnya : dua uang logam Anggota ruang Sampel bisa diketahui

dengan cara 1.Dengan cara mendata/Tabulasi

A G

A

G

L1

L 2

A

A G

G

A

G

A

G

G

2. Dengan Cara Diagram pohon

AG

AG

AG

UANG LOGAM

AA

AG

GA

GG

3.Dengan cara Kotak Perkalian3.Dengan cara Kotak Perkalian

2 2L1 L2

Perkaliannya = 2 x 2 =

4

kesimpulannyakesimpulannya Titik Sampelnya = {AA, AG ,GA ,GG }Titik Sampelnya = {AA, AG ,GA ,GG } Banyaknya Titik Sampel = 4.Banyaknya Titik Sampel = 4.

Bagaimana titik sampel dan banyaknya Bagaimana titik sampel dan banyaknya titik sampel tiga uang logam yang titik sampel tiga uang logam yang dilempar bersamaan ?dilempar bersamaan ?

TIGA UANG LOGAM• Kejadiannya : Melempar tiga uang

logam• Ruang Sampelnya : tiga uang logam• Anggota ruang Sampel bisa diketahui

dengan cara• 1.Dengan cara mendata/Tabulasi•

A G

A

G

L1

L 2

A

A

A

G

G

A

G

G

L1 L 2L 3 A G

Titik Sampel = {AAA,AAG,AGA,AGG,GAA, GAG,GGA,GGG}

Banyaknya titik sampel = 8

AA

AG

GA

GG

AA

A

AA

G

AG

A

AG

G

GA

A

GA

G

GG

A

GG

G

2. Dengan cara Diagram pohon2. Dengan cara Diagram pohon

A

G

A

G

A

G

A

G

AG

A

A

G

G

AAA

AAG

AGAAGG

GAA

GAG

GGA

GGG

UANG

LOGAM

3. Dengan cara Kotak Perkalian

2 2 2

L1 L2 L3

2 x 2 x 2 = 8

Contoh Lainnya• 1. Susunlah bilangan-bilangan yang terdiri dari tiga angka yang berbeda

(tidak boleh berulang) dari angka-angka : 2,3,4,5. yang lebih kecil dari 300 ?• Jawab :

2 3 4 5

2 x 23 24 25

3 x x X x

4 x X x x

5 x x x x

2 3 4 5

23 x x 234 235

24 x 243 x 245

25 x 253 254 x

Bilangan-bilangan tsb ={ 234,235,243,245,253,254 }

Banyaknya bilangan yang tersusun = 6

atau dengan cara Kotak Perkalian

1 3 2 1 x 2 x 3 = 6

2

3

4

5

4

5

3

53

4

234

235

243

245

253

254

2. Kota A dan kota B dihubungkan dengan 3 jalur yang berbeda serta kota B dan kota C dihubungkan dengan 2 jalur yang berbeda . Berapakah jalur yang dapat dilalui si Amat yang akan berangkat dari kota A menuju kota C ?

• 3. Sebuah organisasi akan memilih satu Ketua, satu Sekretaris, dan satu Bendahara. Berapakah cara organisasi tersebut dapat memilih dari 6 anggotanya ?

Faktorial

• Definisi faktorial :• n ! = n.(n – 1).(n – 2).(n – 3) !• 0! = 1 dan 1 ! = 1

• Contoh : • 1. 4 ! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24

30561234

123456

!4

!6.2 === x

xxx

xxxxx

atau

3056!4

!456

!4

!6 === xxx

Permutasi

)!(

!

kn

nP

n

k −=

2045!3

!345

!3

!5

)!25(

!55

2====

−= x

xxP

Contoh:

Kombinasi

!)(

!5

2 kn

nC −

=

102

45

!312

!345

!3!.2

!5

)!25!.(2

!552 ====

−= x

xx

xxC

Cara Tabulasi

• Untuk Faktorial• Menghitung 4 ! , dimisalkan a,b,c,d

a b c d

a x ab ac ad

b ba x bc bd

c ca cb x cd

d da db dc x

a b c d

ab x x abc abd

ac x acb x acd

ad a adb adc x

ba x x bac bad

bc bca x x bcd

bd bda x bdc x

ca x cab x cad

cb cba x x cbd

cd cda cdb x x

da x dab dac x

db dba x dbc x

dc dca dcb x x

a b c d

abc x x x abcd

abd x x abdc x

acb x x x acbd

acd x acdb x x

adb x x adbc x

adc x adcb x x

bac x x x bacd

bad x x badc x

bca x x x bcad

bcd bcda x x x

bda x x bdac x

bdc bdca x x x

cab x x x cabd

cad x cadb x x

cba x x x cbad

cbd cbda x x x

cda x cdab x x

cbd cbda x x x

cda x cdab x x

cdb cdba x x x

dab x x dabc x

dac x dacb x x

dba x x dbac x

dbc dbca x x x

dca x dcab x x

dcb dcba x x x

abcdabdcacbdacdbadbcadcb

bacdbadc

bcad

bcdabdac

bdaccabdcadbcbadcbdacdabcbdacdabcdbadabcdacbdbacdbcadcabdcba

Cara Diagram pohon

a

b

c

d b

c dd cb dd bb cc

b

a

c

d a

d cab

c

b

ad

c

c d

c

a

b

d b

dd

a dd ab aa

bb

d

a

b

c a

c ba cc aa bb

cb

abcdabdc

acbdacdb

adbcadcb

badcbacd

bcadbdac

bcdabdac

cabdcadb

cbadcbda

cdabcbda

cdabcdba

dabcdacb

dbacdbca

dcabdcba

PERMUTASI

Misal : P5

2 dengan : a,b,c,d,e

a

b

c

d

e

bcd

eacd

eabd

e

a

bc

e

abc

d

abacadae

babcbdbe

cacbcdce

dadbdcde

eaebeced

Ada 20 susunan yang berbeda

KOMBINASI

Misal : c5

2 dengan : a,b,c,d,e

a

b

c

d

e

bcd

eacd

eabd

e

a

bc

e

abc

d

abacadae

babcbdbe

cacbcdce

dadbdcde

eaebeced

Maka susunan Kombinasi : ab,ac,ad,ae,bc,bd,be,cd,ce,de

PERMUTASI MELINGKARPermuatsi melingkar dipakai untuk kejadian penyusunan unsur atau objek dalam bentuk lingkaran, contoh : ada 4 orang duduk mengelilingi suatu meja bendar, maka permutasi melingkar dari keempat orang tersebut digambarkab sbb :

A

D

B

C A

C

B

D A

D

C

B

A

B

C

D A

B

D

C A

C

D

B

(4 – 1 ) !

= 3 !

= 6

Bentuk Permutasi melingkar diambil dari diagram pohon dengan satu objek pada satu posisi

B

C

D

A

C

D

D

C

B

D

D

BB

C

C

B

PERMUTASI DENGAN UNSUR YANG SEJENIS

CONTOH :

Susunlah huruf huruf yang berbeda dari kata “ A R A “ !

R

AA

A

R

A

AR

A

A

R

AA

A

R

ARA

AAR

RAA

RAA

ARA

AAR

Ada 3 susunan kata yang berbeda

dari rumus :

3!2

!23

!1!.2

!3 == x

PERMUTASI DENGAN PEMULIHANBiasanya permutasi disusun dengan urutan yang berbeda(tidak boleh berulang), disebut juga Permutasi tanpa pemulihan.adakalanya objek yang tersedia dapat digunakan lagi(boleh berulang) yang disebut Permutasi dengan pemulihan.

Contoh : Menyusun tiga bilangan yang terdiri dari dua angka (boleh berulang) dari angka – angka : 1, 2, dan 3 ?

Jawab:

1

1

2

3

2

1

2

3

3

1

2

3

11,12,13

21,22,23

31,32,33

Rumus : 32 = 9

PELUANG SUATU KEJADIAN

Peluang suatu kejadian K = SampelRuanganggotabanyaknya

Kkejadiananggotabanyaknya

Notasi/Lambang :

Kejadian K ditulis ; K(x)

Banyak anggota kejadian = n[(kx)]

Ruang Sampel ditulis R

Banyaknya anggota Ruang Sampel = n(R)

Contoh Soal :

)(

)]3([)3(3

Rn

KnPdadumatamunculPeluang ==

1. Sebuah dadu dilempar sekali. Tentukan: a. Peluang kejadian muncul mata dadu 3

b. Peluang Kejadian muncul mata dadu bilangan Prima

Jawab :

a. Ruang Sampel = R = {1 dadu } = {1,2,3,4,5,6}

Banyaknya anggota Ruang sampel : n( R ) = 6

Kejadian mata dadu 3 = K(3) = {3}

Banyaknya anggota Kejadian mata dadu 3 = n[K(3)] = 1

6

1)3( =P

b. n( R ) = 6 , K = { 2, 3, 5 } ,n[K(prima)] = 3

2

1

6

3

)(

)]([)( ===

Rn

primaKnprimaP

2. Dua uang logam setimbang dilempar bersamaan sekali.

Tentukan :

a. Peluang muncul angka dan gambar

b. Peluang muncul angka dan angka

Jawab :

a. R = {dua uang logam} = { AA, AG, GA, GG } ,n( R ) = 4

R = A G

A AA AG

G GA GG

L1L2

K = { AG, GA } , n[K(angka dan gambar)] = 2

4

2)( =gambardanangkaP

b. K = { AA } , n[ K( angka dan angka)] = 1

4

1)( =angkadanangkaP

3. Didalam keranjang terdapat 4 bola merah dan 6 bola hijau. Jika 3 bola diambil sekaligus . Tentukanlah :

a. Peluang terambil ketiganya adalah bola merah

b. Peluang terambil 2 merah dan 1 hijau

Jawab :

Dalam keranjang terdapat : 4 + 6 = 10 bola

Diambil 3 bola sekaligus :

Banyak cara mengambil 3 bola dari 10 bola yang tersedia adalah

120!7!.3

!10

!)310!.(3

!10103 ==

−=C n( R ) = 120

a. Banyak cara mengambil 3 bola merah dari 4 bola merah yang tersedia adalah

6!2!2

!4

!)24(!2

!442 ==

−=C

30

1

120

4

)(

)]3([)3( ===

Rn

merahbolaKnmerahbolaP

4!)34(!3

!443 =

−=C

N[ K ( 3 bola merah ) ] = 4

b. Banyak cara mengambil 2 bola merah dari 4 bola merah yang tersedia adalah

Banyak cara mengambil 1 bola hijau dari 6 bola hijau yang tersedia adalah

6!5!1

!6

!)16(!1

!661 ==

−=C

)(

)13([)13(

Rn

hijauboladanmerahbolaKnhijauboladanmerahbolaP =

10

3

120

36)12( ==hijauboladanmerahbolaP

N[K(3bola merah dan 1 bola hijau)] = 6 x 6 = 36

PELUANG DARI KEJADIAN SALING LEPAS DAN

KEJADIAN TAK SALING LEPAS

Jika kejadian A dan B saling lepas, maka peluang

kejadian A atau B terjadi adalah

P ( A υ B ) = P(A) + P(B)

atau

P ( A atau B ) = P(A) + P(B)

dengan syarat :

A ∩ B = Ǿ

Jika kejadian A dan B tidak saling lepas , maka

peluang kejadian A atau B terjadi adalah

P ( A υ B ) = P(A) + P(B) – P( A ∩ B)

Atau

P ( A atau B ) = P(A) + P(B) – P( A ∩ B)

Dengan syarat :

A ∩ B ≠ Ǿ

Pada pelemparan dua dadu setimbang secara bersamaan, Tentukan

peluang :

a. Munculnya jumlah mata dadu sama dengan 8 atau 10

b. Munculnya jumlah mata dadu bilangan prima atau bilangan genap

Jawab :

a. Ruang Sampel = { dua dadu }

+ 1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6 7

2 3 4 5 6 7 8

3 4 5 6 7 8 9

4 5 6 7 8 9 10

5 6 7 8 9 10 11

6 7 8 9 10 11 12

R = n( R ) = 36

a. K = {dua mata dadu jumlahnya delapan } , n( K ) = 5

L = { dua mata dadu jumlah sepuluh } , n( L ) = 3

Peluang dua mata dadu jumlahnya delapan ;

36

5

)(

)()( ==

Rn

KnKP

36

3

)(

)()( ==

Rn

LnLP

Peluang dua mata dadu jumlahnya sepuluh ;

Peluang muncul jumlah mata dadu jumlah sama dengan 8 atau 10

36

8

36

3

36

5)()()108( =+=+= LPKPatauP

M = kejadian mata dadu jumlahnya bilangan prima ,

M = { 2,3,5,7,11} } , n( M ) = 15

N = kejadian mata dadu jumlahnya bilangan genap

N = { 2, 4, 6, 8, 10, 12 } , ,n( N ) = 18

N ∩ M = { 2 } , n( N ∩ M ) = 1

P( M υ N ) = P ( M ) + P ( N ) – P ( N ∩ M )

9

8

36

32

36

1

36

18

36

15)( ==−+=∪ NMP

KEJADIAN SALING BEBAS

Dua kejadian saling bebas , jika kejadiann pertama tidak tergantung dengan kejadian yang kedua.

Jika dua kejadian saling bebas , maka peluang terjadinya kedua kejadian tersebut sama dengan hasil kali peluang kedua kejadian.

Misal peluang kejadian A = P(A) , dan peluang kejadian B = P(B) , jika kejadian A dan B saling bebas , maka peluang terjadinya kejadian A dan B adalah :

P( A ∩ B ) = P( A dan B) = P( A ) x P( B )

Contoh :

Pada pelemparan dua dadu setimbang bersamaan, Tentukan peluang :

a. Munculnya dadu pertama 3 dan mata dadu kedua 5

b. Munculnya mata dadu pertama kurang dari 3 dan mata dadu kedua kurang dari 5

Jawab :

a. R1 = dadu ke 1 , n(R1) = 6 , dan R2 = dadu ke 2 , n(R2) = 6

K1 = { 3 } , n{K1) = 1 dan K2 = { 5 } , n(K2 ) = 1

6

1)(

6

1)( 21 == KPKP

36

1

6

1

6

1)()( 2121 ===∩ xKdanKPKKP

b. K1 = { 1,2} , n(K1)= 2 ,

K2 = { 1, 2, 3, 4 } , n(K2) = 46

2)( 1 =KP

6

4)( 2 =KP

36

8

6

4

6

2)()( 2121 ===∩ xKdanKPKKP

CONTOH SOAL

Dalam sebuah kotak berisi 8 bola merah dan 10 bola hijau. Jika dua bola diambil secara acak satu persatu tanpa pengembalian. Tentukan peluang terambil kedua bola berwarna merah ?

Jawab :

Satu bola merah diambil dari kotak, maka peluang terambil bola merah adalah

18

8)( =merahP

Bola merah yang terambil tersebut tidak dikembalikan lagi dalam kotak , maka dalam kotak berisi 7 bola merah dan 10 bola hijau atau 17 bola ,

Jika pada pengambilan kedua adalah bolamerah lagi, maka peluang terambil bola merah =

16

7)( =merahP

Jadi Peluang terambil bola merah yang pertama dan bola merah yang kedua adalah

153

28

17

7

18

8)( == xkeduamerahdanpertamamerahP

PELUANG BERSYARAT

P( B l A ) , Dibaca : Peluang terjadinya kejadian B apabila kejadian A telah

terjadiPengertian :

Jika kejadian terjadi secara berurutan dan kedua kejadian tersebut tidak saling lepas , tetapi saling mempengaruhi maka kejadian tersebut adalah KEJADIAN BERSYARAT

Contoh soal :

Dua buah dadu setimbang dilempar secara bersamaan. Jika mata dadu pertama adalah bilangan genap , tentukan peluang bahwa jumlah mata dadu yang muncul bilangan Prima ?

Jawab :Kejadian muncul bilangan prima = {(1,1),(1,2),(1,4),(1,6),(2,1),(2,3),(2,5),(3,2),(3,4),(4,1),(4,3),(5,2),(5,6),(6,1),(6,5)}

Kejadian mucul bilangan genap = {(1,1),(1,3),(1,5),(2,2),(2,4),),(2,6),(3,1),(3,3),(3,5),(4,2),(4,4),(4,6),(5,1),(5,3),(5,5)

(6,2),(6,4),(6,6) }

P(bil.Genap) =36

1536

18

36

1

P(bil.Prima) =

P(bil.genap ∩ bil.Prima) =

peluang bahwa jumlah mata dadu yang muncul bilangan Prima jika jumlah

mata dadu pertama bilangan genap adalah 15

1

3615361

=