Ojm 2012 problemas y soluciones olimpiadas

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  • JOS H. NIETO SAID, RAFAEL SNCHEZ LAMONEDA Y LAURA VIELMA

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    OLIMPIADAJUVENIL DE

    MATEMTICA

    2012Problemas y Soluciones

  • Jos Heber Nieto Said. Venezolano de origen uruguayo, es egresado de la Facultad de Cienciasde la Universidad de Buenos Aires, M.Sc. en Matemtica y Dr. H.C. por la Universidad delZulia (LUZ). Es profesor titular emrito de LUZ, donde fue Director del Departamento deMatemtica y Computacin, profesor de casi todas las materias dictadas por ese Departamento,proyectista de la Licenciatura en Computacin y editor de revistas cientficas. Ha escritovarios libros y artculos sobre diversos aspectos de la matemtica. Es miembro de variasasociaciones acadmicas y profesionales (AMV, AVCM, MAA, AMS y CMS). En las olimpiadasmatemticas venezolanas ha participado desde hace ms de quince aos como entrenador,jefe o tutor de delegaciones, jurado y apoyo acadmico.

    Rafael Snchez Lamoneda. Venezolano. Profesor Titular de la Escuela de Matemticas de laFacultad de Ciencias de la UCV. Egresado del Instituto Pedaggico de Caracas, M.Sc. enMatemticas de la Universidad Simn Bolvar y PhD en Matemticas de Brandeis University,Massachusetts, USA. Ha escrito varios artculos sobre Algebra en revistas internacionales.Fue Jefe del Departamento de Matemticas del Ivic y miembro de la Comisin de postgrado deese Instituto y de la Escuela de Matemticas de la UCV. Premio Erds 2010, otorgado por laWorld Federation for National Mathematical Competitions. Premio al mejor trabajo en el reade Matemticas otorgado por el Conicit en el ao 1993. Ha trabajado en las OlimpiadasMatemticas en Venezuela desde 1978, ha sido jefe o tutor de delegaciones del pas enOlimpiadas de Matemticas Internacionales desde 1981. Asesor de la Organizacin de EstadosIbero-americanos para la Educacin la Ciencia y la Cultura, OEI, en el rea de Matemticas yOlimpiadas Matemticas. Asesor en el rea de Matemticas de la Academia Venezolana deCiencias Fsicas, Matemticas y Naturales. Pertenece a la directiva de la Asociacin MatemticaVenezolana desde hace ms de diez aos. En la actualidad es el Presidente de la AsociacinVenezolana de Competencias Matemticas, ACM.

    Laura Vielma Herrero. Profesor de Matemticas y de Ingls con menciones Magna CumLaude de la UPEL-IPC, Caracas, Venezuela. Magster en Ingeniera Industrial en el rea deInvestigacin de Operaciones y Estadstica de la Universidad de Los Andes, Bogot, Colombia.Trabaj como asistente graduado y profesor en la Universidad de los Andes, Bogot, Colombia.Profesor de la UPEL-IPC. Coordinador de proyectos y gerente de sector y territorio de unaconsultora internacional cuyas soluciones se enmarcan en el uso de modelos matemticospara soportar la toma de decisiones en procesos industriales. Actualmente realiza estudiosdel Doctorado de Matemticas de la Universidad Simn Bolvar Profesor y Jefe deDepartamento de Matemticas en la Academia Washington. Colabora activamente desde elao 2001 con el Programa de Olimpiadas Matemticas de la Asociacin Venezolana deCompetencias Matemticas, ACM. Ha desempeado el rol de entrenador, tutor y jefe dedelegaciones venezolanas en competencias internacionales y se encarga de la realizacin delCalendario Matemtico que publica la ACM.

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  • OLIMPIADAJUVENIL DE

    MATEMTICA(OJM, OMCC, 0IM, IMO)

    2012Problemas y Soluciones

    JOS H. NIETO SAID

    RAFAEL SNCHEZ LAMONEDA

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    LAURA VIELMA

  • OLIMPIADA DE MATEMTICA 2012

    COLECCIN ESTUDIOS

    Jos H. Nieto Said, Rafael Snchez Lamoneda, Laura Vielma

    Academia de Ciencias Fsicas, Matemticas y Naturales

    Asociacin Matemtica Venezolana

    Hecho el Depsito de Ley Deposito Legal: lf6592013510763 ISBN: 978-980-6195-29-5

    Diseo General: Antonio Machado-Allison

    Diseo Cartula: Claudia Nieto y Antonio Machado-Allison

    Todos los derechos reservados. Ninguna parte de esta publicacin puede ser reproducida por ningn medio, sin la aprobacin previa de los autores.

  • Olimpiadas Matemticas 2012

    (OJM, OM, OMCC, OIM, IMO)

    Problemas y Soluciones

    Jos Heber Nieto Said

    Rafael Snchez Lamoneda

    Laura Vielma Herrero

  • A la memoria de Jorge El pollo Salazar (19412012),incansable promotor de las olimpiadas matemticas en Venezuela.

  • ndice general

    Introduccin 1

    1. Prueba Preliminar 31.1. Prueba de Primer Ao y Segundo Ao . . . . . . . . . . . . . . . . 3

    1.1.1. Soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2. Prueba de Tercer Ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

    1.2.1. Soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.3. Prueba de Cuarto Ao y Quinto Ao . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

    1.3.1. Soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

    2. Prueba Regional 312.1. Prueba de Primer Ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

    2.1.1. Soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.2. Prueba de Segundo Ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

    2.2.1. Soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.3. Prueba de Tercer Ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

    2.3.1. Soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.4. Prueba de Cuarto Ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

    2.4.1. Soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.5. Prueba de Quinto Ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

    2.5.1. Soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

    3. Prueba Final 413.1. Prueba de Primer Ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

    3.1.1. Soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.2. Prueba de Segundo Ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

    3.2.1. Soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.3. Prueba de Tercer Ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

    3.3.1. Soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443.4. Prueba de Cuarto Ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

    3.4.1. Soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

  • 3.5. Prueba de Quinto Ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.5.1. Soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

    4. Olimpiada de Mayo 494.1. Problemas del Primer Nivel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494.2. Soluciones del Primer Nivel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504.3. Problemas del Segundo Nivel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534.4. Soluciones del Segundo Nivel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

    5. Olimpiada Matemtica de Centroamrica y el Caribe 595.1. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 595.2. Soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

    6. Olimpiada Iberoamericana de Matemtica 676.1. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 676.2. Soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

    7. Olimpiada Internacional de Matemtica 737.1. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 737.2. Soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

    Glosario 85

    Estudiantes Premiados en la Final Nacional de la OJM 2012 88

  • Introduccin

    Las Olimpiadas Matemticas son competencias dirigidas principalmente a j-venes de escuela elemental y secundaria. Actualmente esta actividad se ha

    extendido por todo el mundo debido a su gran efectividad en la popularizacin delas matemticas y en la deteccin de jvenes con talento para el estudio de estaciencia.

    El presente libro rene todos los problemas propuestos en la Olimpiada Juvenilde Matemticas, OJM 2012, as como aquellos de los eventos internacionales enlos cuales participamos desde hace varios aos, estos son la 53a Olimpiada Inter-nacional de Matemticas, IMO, celebrada en Mar del Plata, Argentina, del 4 al 16de Julio, la XIV Olimpiada Matemtica de Centroamrica y del Caribe, OMCC,celebrada en San Salvador y La Herradura, El Salvador, del 15 al 23 de Junio yla XXVII Olimpiada Iberoamericana de Matemticas, OIM, celebrada en Cocha-bamba, Bolivia, del 29 de septiembre, al 6 de octubre. Las tres competencias sonde carcter presencial. Cada una de ellas consta de dos exmenes, presentados endas consecutivos. Cada prueba tiene 3 problemas y los participantes disponen decuatro horas y media para resolverlos. El valor de cada pregunta es de 7 puntos,para un mximo posible de 42 puntos en la competencia. Los ganadores recibenmedallas de oro, plata o bronce y mencin honorfica, segn sea su desempeo.En la IMO el joven Diego Pea del colegio Los Hipocampitos de los Altos Miran-dinos, gan Mencin Honorfica. Tambin incluimos en este libro los problemasde la Olimpiada Matemtica de Mayo, competencia por correspondencia que seplantea a dos niveles para alumnos no mayores de 13 y 15 aos y de carcteriberoamericano. Agradecemos a la Fundacin Olimpiada Matemtica Argentina,organizadores de esta competencia, por permitirnos publicar aqu los problemasy sus soluciones. Al final del libro aparece la lista de alumnos ganadores en estacompetencia y los premios que obtuvieron. Hay que indicar aqu que este ao nopudimos enviar un