Ojm 2014 problemas y soluciones

  • View
    164

  • Download
    42

Embed Size (px)

Text of Ojm 2014 problemas y soluciones

  • JOS HEBER NIETO SAID y RAFAEL SNCHEZ LAMONEDA

    AC

    AD

    EM

    IA D

    E C

    IEN

    CIA

    S F

    SIC

    AS

    ,M

    AT

    EM

    T

    ICA

    S

    Y Y

    NA

    TU

    RA

    LES

    CO

    LE

    CC

    IN

    ES

    TU

    DIO

    SD

    IVU

    LGA

    CI

    N C

    IEN

    TF

    ICA

    Y T

    EC

    NO

    LG

    ICA

    OLIMPIADAJUVENIL DE

    MATEMTICA

    2014Problemas y Soluciones

  • Jos Heber Nieto Said. Venezolano de origen uruguayo, es egresado de la Facultad deCiencias de la Universidad de Buenos Aires, M.Sc. en Matemtica y Dr. H.C. por laUniversidad del Zulia (LUZ). Es profesor titular emrito de LUZ, donde fue Director delDepartamento de Matemtica y Computacin, profesor de casi todas las materias dictadaspor ese Departamento, proyectista de la Licenciatura en Computacin y editor de revistascientficas. Ha escrito varios libros y artculos sobre diversos aspectos de la matemtica. Esmiembro de varias asociaciones acadmicas y profesionales (AMV, AVCM, MAA, AMS yCMS). En las olimpiadas matemticas venezolanas ha participado desde hace ms de quinceaos como entrenador, jefe o tutor de delegaciones, jurado y apoyo acadmico.

    Rafael Snchez Lamoneda. Venezolano. Profesor Titular de la Escuela de Matemticas de laFacultad de Ciencias de la UCV. Egresado del Instituto Pedaggico de Caracas, M.Sc. enMatemticas de la Universidad Simn Bolvar y PhD en Matemticas de Brandeis University,Massachusetts, USA. Ha escrito varios artculos sobre Algebra en revistas internacionales.Fue Jefe del Departamento de Matemticas del Ivic y miembro de la Comisin de postgradode ese Instituto y de la Escuela de Matemticas de la UCV. Premio Erds 2010, otorgado porla World Federation for National Mathematical Competitions. Premio al mejor trabajo en elrea de Matemticas otorgado por el Conicit en el ao 1993. Ha trabajado en las OlimpiadasMatemticas en Venezuela desde 1978, ha sido jefe o tutor de delegaciones del pas enOlimpiadas de Matemticas Internacionales desde 1981. Asesor de la Organizacin de EstadosIbero-americanos para la Educacin la Ciencia y la Cultura, OEI, en el rea de Matemticas yOlimpiadas Matemticas. Asesor en el rea de Matemticas de la Academia Venezolana deCiencias Fsicas, Matemticas y Naturales. Pertenece a la directiva de la Asociacin MatemticaVenezolana desde hace ms de diez aos. En la actualidad es el Presidente de la AsociacinVenezolana de Competencias Matemticas, ACM.

  • OLIMPIADAJUVENIL DE

    MATEMTICA(OJM, OMCC, OIM, IMO)

    2014Problemas y Soluciones

    JOS HEBER NIETO SAID

    Y

    RAFAEL SNCHEZ LAMONEDA

  • OLIMPIADA DE MATEMTICA 2014

    COLECCIN ESTUDIOS

    Jos H. Nieto Said y Rafael Snchez Lamoneda

    Academia de Ciencias Fsicas, Matemticas y Naturales

    Asociacin Matemtica Venezolana

    Hecho el Depsito de Ley Deposito Legal: lfi65920155103138 ISBN: 978-980-6195-45-5

    Diseo General: Antonio Machado-Allison

    Diseo Cartula: Claudia Nieto y Antonio Machado-Allison

    Todos los derechos reservados. Ninguna parte de esta publicacin puede ser reproducida por ningn medio, sin la aprobacin previa de los autores.

  • ndice general

    Introduccin 1

    1. Prueba Canguro 31.1. Prueba de Primer Ao y Segundo Ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

    1.1.1. Soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2. Prueba de Tercer Ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

    1.2.1. Soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.3. Prueba de Cuarto Ao y Quinto Ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

    1.3.1. Soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

    2. Prueba Regional 292.1. Prueba de Primer Ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

    2.1.1. Soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.2. Prueba de Segundo Ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

    2.2.1. Soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.3. Prueba de Tercer Ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

    2.3.1. Soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.4. Prueba de Cuarto Ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

    2.4.1. Soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.5. Prueba de Quinto Ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

    2.5.1. Soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

    3. Prueba Final 353.1. Prueba de Primer Ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

    3.1.1. Soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.2. Prueba de Segundo Ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

    3.2.1. Soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.3. Prueba de Tercer Ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

    3.3.1. Soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.4. Prueba de Cuarto Ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

    3.4.1. Soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

  • 3.5. Prueba de Quinto Ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.5.1. Soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

    4. Olimpiada de Mayo 434.1. Problemas del Primer Nivel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.2. Soluciones del Primer Nivel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444.3. Problemas del Segundo Nivel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464.4. Soluciones del Segundo Nivel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

    5. Olimpiada Matemtica de Centroamrica y el Caribe 515.1. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515.2. Soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

    6. Olimpiada Iberoamericana de Matemtica 576.1. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 576.2. Soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

    7. Olimpiada Internacional de Matemtica 657.1. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 657.2. Soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

    Glosario 74

    Estudiantes Premiados durante el ao 2014 79

  • Introduccin

    Las Olimpiadas Matemticas son competencias dirigidas principalmente a jvenes deescuela elemental y secundaria. Actualmente esta actividad se ha extendido por

    todo el mundo debido a su gran efectividad en la popularizacin de las matemticas yen la deteccin de jvenes con talento para el estudio de esta ciencia.

    El presente libro rene todos los problemas propuestos en la Olimpiada Juvenil deMatemticas 2014, as como aquellos de los eventos internacionales en los cuales participa-mos desde hace varios aos. Estos fueron: la 55a Olimpiada Internacional de Matemticas(IMO) celebrada en Ciudad del Cabo , Sudfrica, del 3 al 13 de julio; la XVI OlimpiadaMatemtica de Centroamrica y del Caribe (OMCC) celebrada en San Jos, Costa Rica,del 6 al 14 de junio y la XXIX Olimpiada Iberoamericana de Matemticas, OIM, cele-brada en San Pedro Sula, Honduras, del 19 al 27 de septiembre. Las tres competenciasson de carcter presencial. Cada una de ellas consta de dos exmenes, presentados endas consecutivos. Cada prueba tiene 3 problemas y los participantes disponen de cua-tro horas y media para resolverlos. El valor de cada pregunta es de 7 puntos, para unmximo posible de 42 puntos en la competencia. Los ganadores reciben medallas de oro,plata o bronce y mencin honorfica, segn haya sido su desempeo. Tambin incluimosen este libro los problemas de la Olimpiada Matemtica de Mayo, competencia por co-rrespondencia que se plantea a dos niveles para alumnos no mayores de 13 y 15 aosy de carcter iberoamericano. Agradecemos a la Fundacin Olimpiada Matemtica Ar-gentina, organizadores de esta competencia, por permitirnos publicar aqu los problemasy sus soluciones. Todos los estudiantes que participaron en los eventos internacionalesmencionados ganaron algn premio, bien sea medallas o menciones honorficas. Al finaldel libro aparece la lista de alumnos ganadores en estas competencias y los premios queobtuvieron.

    La OJM consta de tres etapas o pruebas. La primera de ellas es el Canguro Matem-tico, un examen de treinta problemas de seleccin simple, que fue presentado por 56898estudiantes provenientes de 21 regiones del pas. La segunda etapa de la competencia esla Prueba Final Regional. La misma consta de un examen de cinco problemas de desa-rrollo y compiten los alumnos que quedaron ubicados en el nueve por ciento superioren el Canguro Matemtico. Esta prueba se organiza en cada estado que participa en laOJM y los ganadores reciben medallas de oro, plata y bronce. La tercera y ltima fase es

  • la Prueba Final Nacional, la misma consta de un examen de cuatro problemas de desa-rrollo y en ella participan los alumnos ganadores de medalla de oro en la Prueba FinalRegional. En la primera fase de la competencia los alumnos presentan la prueba en suscolegios. La Prueba Regional la presentan juntos todos los estudiantes de cada estado,en una sede previamente seleccionada por el coordinador local. Para la Final Nacionalse elige cada ao una sede y all se organiza el evento, permitiendo a los participantes,sus profesores y representantes estrechar lazos de amistad y compartir una expe