OJM 2013-Problemas y Soluciones

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  • 7/21/2019 OJM 2013-Problemas y Soluciones

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    JOS HEBER NIETO SAID, RAFAEL SNCHEZ LAMONEDA,ESTEFANA ORDAZ, SOPHIA TAYLOR Y LAURA VIELMA

    ACADEMIADECIENCIAS

    FSICAS,

    MATEMTICASYYNATU

    RALES

    COLECCIN

    ESTUDIOS

    DIVUL

    GACINCIENTFICAYTECNOL

    GICA

    OLIMPIADA

    JUVENIL DEMATEMTICA

    2013Problemas y Soluciones

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    OLIMPIADAJUVENIL DE

    MATEMTICA(OJM, OMCC, OIM, IMO)

    2013Problemas y Soluciones

    JOS HEBER NIETO SAID

    RAFAEL SNCHEZ LAMONEDAESTEFANA ORDAZ

    SOPHIA TAYLORY

    LAURA VIELMA HERRERO

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    OLIMPIADA DE MATEMTICA 2012

    COLECCIN ESTUDIOS

    Jos H. Nieto Said, Rafael Snchez Lamoneda, Estefana Ordaz, Sophia Taylor y Laura Vielma

    Academia de Ciencias Fsicas, Matemticas y Naturales

    Asociacin Matemtica Venezolana

    Hecho el Depsito de Ley

    Deposito Legal: lfi65920145101012 ISBN:978-980-6195-34-9

    Diseo General:Antonio Machado-Allison

    Diseo Cartula: Claudia Nieto y Antonio Machado-Allison

    Todos los derechos reservados. Ninguna parte de esta publicacin puede ser

    reproducida por ningn medio, sin la aprobacin previa de los autores.

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    Olimpiadas Matemticas 2013

    (OJM, OM, OMCC, OIM, IMO)

    Problemas y Soluciones

    Jos Heber Nieto Said

    Rafael Snchez Lamoneda

    Estefana Ordaz

    Sophia Taylor

    L Vi l H

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    ndice general

    Introduccin 1

    1. Prueba Canguro 3

    1.1. Prueba de Primer Ao y Segundo Ao . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.1. Soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

    1.2. Prueba de Tercer Ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2.1. Soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

    1.3. Prueba de Cuarto Ao y Quinto Ao . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.3.1. Soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

    2. Prueba Regional 272.1. Prueba de Primer Ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

    2.1.1. Soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.2. Prueba de Segundo Ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

    2.2.1. Soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.3. Prueba de Tercer Ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

    2.3.1. Soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.4. Prueba de Cuarto Ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

    2.4.1. Soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.5. Prueba de Quinto Ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

    2.5.1. Soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

    3. Prueba Final 343.1. Prueba de Primer Ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

    3.1.1. Soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.2. Prueba de Segundo Ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

    3.2.1. Soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363 3 P b d T A 37

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    3.5. Prueba de Quinto Ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.5.1. Soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

    4. Olimpiada de Mayo 414.1. Problemas del Primer Nivel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.2. Soluciones del Primer Nivel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

    4.3. Problemas del Segundo Nivel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454.4. Soluciones del Segundo Nivel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

    5. Olimpiada Matemtica de Centroamrica y el Caribe 485.1. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485.2. Soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

    6. Olimpiada Iberoamericana de Matemtica 536.1. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

    6.2. Soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 557. Olimpiada Internacional de Matemtica 59

    7.1. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 597.2. Soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

    Glosario 70

    Premiacin de las Olimpiadas Matemticas del 2013 73

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    Introduccin

    LasOlimpiadas Matemticas son competencias dirigidas principalmente a j-

    venes de escuela elemental y secundaria. Actualmente esta actividad se haextendido por todo el mundo debido a su gran efectividad en la popularizacin delas matemticas y en la deteccin de jvenes con talento para el estudio de estaciencia.

    El presente libro rene todos los problemas propuestos en la Olimpiada Juvenilde Matemticas (OJM) 2013, as como aquellos de los eventos internacionales enlos cuales participamos desde hace varios aos. Estos son la 54a Olimpiada Inter-nacional de Matemticas (IMO) celebrada en Santa Marta, Colombia, del 18 al 28de Julio, la XV Olimpiada Matemtica de Centroamrica y el Caribe (OMCC),celebrada en Managua, Nicaragua, del 22 al 30 de Junio y la XXVIII Olimpia-da Iberoamericana de Matemticas (OIM), celebrada en Panam, del 21 al 28 deseptiembre. Las tres competencias son de carcter presencial. Cada una de ellasconsta de dos exmenes, presentados en das consecutivos. Cada prueba tiene 3problemas y los participantes disponen de cuatro horas y media para resolverlos.El valor de cada pregunta es de 7 puntos, para un mximo posible de 42 puntos enla competencia. Los ganadores reciben medallas de oro, plata o bronce y mencinhonorfica, segn sea su desempeo. Tambin incluimos en este libro los proble-mas de la Olimpiada Matemtica de Mayo, competencia por correspondencia decarcter iberoamericano que se plantea a dos niveles (para alumnos no mayoresde 13 y 15 aos). Agradecemos a la Fundacin Olimpiada Matemtica Argentina,organizadores de esta competencia, por permitirnos publicar aqu los problemas ysus soluciones.

    Al final del libro aparece la lista de alumnos premiados en todas estas compe-tencias en el ao 2013 y los premios que obtuvieron.

    En las soluciones a los problemas de la OIM, hemos incluido las respuestasde Rubmary Rojas y Rafael Aznar. Ambos estudiantes ganaron premios en estacompetencia.

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    problemas de desarrollo donde compiten los alumnos que quedaron ubicados en elnueve por ciento superior en el Canguro Matemtico. Esta prueba se organiza encada estado que participa en la OJM. Los ganadores reciben medallas de oro, platay bronce. La tercera y ltima fase es la Prueba Final Nacional, la misma constade un examen de cuatro problemas de desarrollo y en ella participan los alumnosganadores de medalla de oro en la Prueba Final Regional. En la primera fase de la

    competencia los alumnos presentan la prueba en sus colegios. La Prueba Regionalla presentan juntos todos los estudiantes de cada estado, en una sede previamenteseleccionada por el coordinador local. Para la Final Nacional se elige cada ao unasede y all se organiza el evento, permitiendo a los participantes, sus profesores yrepresentantes estrechar lazos de amistad y compartir una experiencia educativaenriquecedora. La Prueba Final Nacional 2013 se realiz en la Universidad Centralde Venezuela, en Caracas y participaron 137 alumnos representando a 19 estados.

    Esta obra consta de siete captulos. En los tres primeros se estudian los proble-mas de la OJM, dedicando un captulo a cada fase de la competencia. Los ltimos

    cuatro captulos versan sobre las competencias internacionales. En ellos se pre-sentan los problemas y sus soluciones. Al final del libro incluimos un glosario deconceptos matemticos utilizados a los largo del texto. Esperamos que este librosea de gran utilidad tanto para profesores como para estudiantes y que les permitaconocer las matemticas desde un punto de vista interesante y entretenido.

    Agradecemos la valiosa colaboracin de nuestro grupo de instructores ex olm-picos: Diego Pea, Estefana Ordaz, Mauricio Marcano y Sofa Taylor, quieneshan revisado este trabajo. Gracias a ellos tenemos una mejor versin del libro.Cualquier error que se haya escapado es, sin embargo, total esponsabilidad de los

    autores.No queremos terminar esta introduccin sin agradecer a nuestros patrocinado-

    res, en especial a la Fundacin Empresas Polar, a laAcademia de Ciencias Fsicas,Matemticas y Naturales, a l