Problemas 11 - Año 2013 - DOCENTE - prodimat.org.ve de OJM/problemas 11 - año... · Enunciados y Soluciones pág. 187 ii) Problemas Desafiantes. Enunciados y Soluciones pág. 195

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Índice Páginas preliminares pág. 4 Nivel 1 a) La geometría y la medida. i) Contenidos pág. 19 ii) Problemas para el aula. Enunciados y Soluciones pág. 20 iii) Problemas Desafiantes. Enunciados y Soluciones pág. 27 b) El número y las operaciones – Expresiones Algebraicas. i) Contenidos pág. 35 ii) Problemas para el Aula. Enunciados y Soluciones pág. 37 ii) Problemas Desafiantes. Enunciados y Soluciones pág. 48 c) Los datos y la estadística. i) Contenidos pág. 59 ii) Problemas para el Aula. Enunciados y Soluciones pág. 59 d) Miscelánea i) Enunciados y Soluciones pág. 69 Nivel 2 a) La geometría y la medida. i) Contenidos pág. 83 ii) Problemas para el aula. Enunciados y Soluciones pág. 85 iii) Problemas Desafiantes. Enunciados y Soluciones pág. 91 b) El número y las operaciones – Expresiones Algebraicas. i) Contenidos pág. 101 ii) Problemas para el Aula. Enunciados y Soluciones pág. 103 ii) Problemas Desafiantes. Enunciados y Soluciones pág. 111 c) Los datos y la estadística. i) Contenidos pág. 121 ii) Problemas para el Aula. Enunciados y Soluciones pág. 121 d) Miscelánea i) Enunciados y Soluciones pág. 133 Nivel 3 a) La geometría y la medida. i) Contenidos pág. 157 ii) Problemas para el aula. Enunciados y Soluciones pág. 161 iii) Problemas Desafiantes. Enunciados y Soluciones pág. 169 b) El número y las operaciones – Expresiones Algebraicas. i) Contenidos pág. 183 ii) Problemas para el Aula. Enunciados y Soluciones pág. 187 ii) Problemas Desafiantes. Enunciados y Soluciones pág. 195 c) Probabilidad y estadística. i) Contenidos pág. 211 ii) Problemas para el Aula. Enunciados y Soluciones pág. 211 d) Miscelánea i) Enunciados y Soluciones pág. 223

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También se va a repetir la parte del panal que está pintada. Como la parte que está pintada tiene tres octógonos y hay un octógono que no estamos considerando (el de la izquierda), tenemos:

60 ÷ 3 = 20 La parte pintada se repite 20 veces. La cantidad de segmentos en la parte pintada es:

7 + 7 + 6 + 1 + 1 = 22 ⇒ 22 × 20 = 440 El total de segmentos obtendremos agregando al valor anterior 1 (para alcanzar 8) por el octógono de la derecha y 5, (8 – 3), por el octógono de la izquierda. En total:

440 + 1 + 5 = 446 La respuesta es: E

Problema 390 (Validación Kanguro 2008 - Estudiante – Problema 2)

Se tienen 100 cuadrados iguales. ¿Cuál es la mayor cantidad de rectángulos diferentes que se pueden armar simultáneamente?

A) 18 C) 13 E) 8 B) 15 D) 10 F) n. d. l. a.

Solución Hacemos el conteo, hasta aproximarnos a 100, tratando de tener los valores más bajos posibles:

1 × 1 → 1 1 × 5 → 5 2 × 4 → 8 1 × 2 → 2 1 × 6 → 6 1 × 9 → 9 1 × 3 → 3 2 × 3 → 6 3 × 3 → 9 1 × 4 → 4 1 × 7 → 7 1 × 10 → 10 2 × 2 → 4 1 × 8 → 8 2 × 5 → 10

Calculamos cuántos cuadrado usamos:

1 + 2 + 3 + 4 × 2 + 5 + 6 × 2 + 7 + 8 × 2 + 9 × 2 + 10 × 2 = 92 La respuesta es: B

228

2 (a + b + c) + (x + y + z) = 58 (1) Por otro lado:

36 − 25 = 11 ; 36 − 28 = 8 ; 36 − 20 = 16

c + y + z = 11 ; b + x + y = 8 ; a + x + z = 16 (a + b + c) + 2 (x + y + z) = 35 ⇒ 2 (a + b + c) + 4 (x + y + z) = 70 (2) Restando (1) de (2):

3 (x + y + z) = 12 ⇒ x + y + z = 4 La respuesta es: A

Problema 389 (Kanguro 2008 - Estudiante – Problema 30)

Existen 61 octágonos en este panal. ¿Cuántos segmentos se utilizaron para hacer el panal?

A) 488 C) 328 E) 446 B) 400 D) 244

Solución

Trabajamos sobre la cantidad de segmentos que se necesitan para hacer cada una de las figuras e indicamos por medio de números la cantidad que se necesita para construir cada figura.

Para ello comenzamos a contar desde el primer octógono de la izquierda y el primero de la derecha. En las figuras que queden entre ellos la situación se va a repetir.

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Entonces queda:

5 ab = 5 (a + b + 5) ⇒ ab = a + b + 5 Los únicos números primos que cumplen la condición establecida son 2 y 7. Efectivamente:

2 � 7 = 2 + 7 + 5 La respuesta es: D


Matilde dibujó 36 canguros usando 3 colores diferentes. 25 de los canguros contienen un poco de amarillo, 28 contienen un poco de marrón y 20 contienen un poco de negro. Solamente 5 canguros contienen los tres colores. ¿Cuántos canguros de un único color pintó Matilde?

A) 4 C) 27 E) No se puede determinar B) 31 D) 0

Solución Hacemos un diagrama que refleje la situación.

Vamos a definir el significado de cada variable:

A → Conjunto de todos los canguros

que tienen color amarillo.

M → Conjunto de todos los canguros que tienen color marrón.

N → Conjunto de todos los canguros

que tienen color negro.

Entonces:

25 − 5 = 20 ; 28 − 5 = 23 ; 20 − 5 = 15

a + b + x = 20 ; a + c + y = 23 ; b + c + z = 15 Sumando las tres igualdades anteriores, tenemos:

2 a + 2 b + 2 c + x + y + z = 58

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El total de puntos es:

18 + 10 + 7 = 35 La respuesta es: D


En la figura, ambos hexágonos son regulares y congruentes. ¿Qué fracción del área del paralelogramo se encuentra sombreada?

A) 125

C) 32

E) 21

B) 52

D)

31

Solución

Llamamos A al área de los hexágonos, entonces, por la simetría de la figura, tenemos regiones que corresponden justamente a la mitad de esos hexágonos. Entonces, el área del paralelogramo es:

2 A + 4 � = 4 A ⇒ 4 A − 2 A = 2 A

El área de la parte sombreada es 2 A.

La respuesta es: E Problema 387 (Kanguro 2008 - Estudiante – Problema 21)

Diremos que tres números primos distintos son especiales si el producto de estos números es cinco veces la suma de éstos. ¿Cuántos grupos de números primos especiales existen? (Nota: Grupos como {1 , 2 , 3} y {3 , 2 , 1} se consideran iguales.)

A) 6 C) 2 E) 0 B) 4 D) 1

Solución Llamamos a , b y c a los números primos. Entonces:

a � b � c = 5 (a + b + c) ⇒ a � b � c = Si a : b : c es múltiplo de 5, siendo 5 el único múltiplo de 5 que es número primo, uno de los tres números sebe ser 5. Digamos que a = 5.

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Problema 384 (Kanguro 2008 - Estudiante – Problema 17) Cuatro dados idénticos se disponen en una fila como se muestra en la figura. Los dados pueden no ser estándares, es decir, la suma de sus caras opuestas podría no ser necesariamente 7.

¿Cuál es la suma total de los puntos de las seis caras que se tocan de los dados de la figura?

A) 23 C) 19 E) 20 B) 21 D) 22

Solución

En la figura se han indicado los números de cada cubo que corresponden a cada una de las caras que se tocan.

La suma es:

5 + 1 + 4 + 6 + 2 + 2 = 20 La respuesta es: E


Se proponen 5 problemas en una competencia matemática. Como cada problema es de diferente nivel de dificultad, ningún problema vale igual que otro (todos los puntajes son enteros positivos y el mayor puntaje posible es 10). Felipe hizo el puntaje máximo y obtuvo un total de 10 puntos por los dos problemas de menor puntaje, y un total de 18 puntos por los dos problemas de mayor valor. ¿Cuántos puntos, en total, obtuvo Felipe en la prueba?

A) 30 C) 34 E) 40 B) 32 D) 35

Solución El problema con valor mayor tiene 10 puntos. Entonces, si en los dos problemas de mayor valor hizo 18 puntos, el otro problema es de 8 puntos. Como en los dos problemas de menor puntaje hizo 10 puntos, el 7 no es posible como valor de uno de ellos, entonces, los de menor valor son 4 puntos y 6 puntos.

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Solución En la figura vemos los dos rectángulos iguales, divididos en forma diferente.

Luego vemos lo que hizo cada uno, por ejemplo:

Tomás → 2 = 40 cm ⇒ a + = 20 cm

Javier → 2 = 50 cm ⇒ = 25 cm

Luego:

2 a + b = 40 cm (1)

a + 2 b = 50 cm ⇒ 2 a + 4 b = 100 cm (2) Efectuando (2) menos (1):

3 b = 60 cm ⇒ b = 20 cm ⇒ a = 10 cm Y el perímetro original es:

2 (a + b) = 2 (20 cm + 10 cm) = 60 cm La respuesta es: C


Cada uno de los cubos de la figura tiene lado de medida 1 cm. ¿Cuál es la medida (en centímetros) del segmento AB?

A) 17 C) 13 E) 14

B) 7 D) 7 Solución

AB viene a ser la diagonal del paralelepípedo incompleto de dimensiones 3 × 2 × 2. Entonces:

AB = = La respuesta es: A

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Problema 380 (Kanguro 2008 - Estudiante – Problema 9) En una representación decimal de cierto número de seis cifras, cada dígito, comenzando por el tercero (leyendo de izquierda a derecha), es igual a la suma de los dos dígitos anteriores. ¿Cuántos números de seis cifras poseen dicha propiedad? A) 0 C) 2 E) 6 B) 1 D) 4

Solución Los números son:

101 123 ; 112 358 ; 202 246 ; 303 369 La respuesta es: D


Francisco y Gabriel compitieron en una carrera de 200 metros. Gabriel completó los 200 metros en la mitad de un minuto, mientras que Francisco lo hizo en una centésima parte de una hora. ¿Quién completó el recorrido en menor tiempo?

A) Gabriel, por 36 segundos de diferencia con Francisco B) Francisco, por 24 segundos de diferencia con Gabriel C) Gabriel, por 6 segundos de diferencia con Francisco D) Francisco, por 4 segundos de diferencia con Gabriel E) Los dos lo hicieron en igual tiempo

Solución Determinamos el tiempo utilizado por cada uno:

Gabriel → 30 segundos Francisco → 3 600 segundos ÷ 100 = 36 segundos

La respuesta es: C Problema 382 (Kanguro 2008 - Estudiante – Problema 13)

Tomás y Javier tienen dos rectángulos iguales. Cada uno corta su rectángulo en dos. Tomás obtiene dos rectángulos de perímetro 40 cm mientras que Javier obtiene dos rectángulos de perímetro 50 cm. ¿Cuál era el perímetro de los rectángulos iniciales?

A) 40 cm C) 60 cm E) 100 cm B) 50 cm D) 80 cm

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Solución La única posibilidad es: La respuesta es: B Problema 379 (Kanguro 2008 - Estudiante – Problema 8)

La cabecera de un río está en el punto A. Éste fluye por su cauce y se divide en dos ramas. La primera rama toma dos tercios del agua y la otra, el resto. Luego, la primera se distribuye en tres nuevas ramas donde la primera toma un octavo del efluente, la segunda cinco octavos y la tercera el resto. Esta última subrama se conecta con la otra rama del río como se muestra en la figura. ¿Qué fracción de agua inicial fluye por el punto B?

A) 21

C) 41

E) 45

B) 31

D)

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Solución Calculamos primero la fracción de agua que corre por la tercera rama de la segunda bifurcación:

1 − = ⇒ � =

Por otro lado, en la segunda rama de la primera bifurcación la fracción de agua que corre es:

1 − = ⇒ + =

La respuesta es: A

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A los Profesores que están involucrados con las Olimpiadas de Matemática

Las soluciones de la colección de problemas tienen como objetivo orientar a los Profesores sobre el enfoque que tienen los mismos en las Olimpiadas de Matemática, de modo que puedan asesorar a sus alumnos en el proceso de resolución. En ese sentido, no es aconsejable mostrar muy pronto la solución de un problema al estudiante. Lo correcto es dejar que trabaje el problema, imagine estrategias de solución; dejar que invierta tiempo en la búsqueda de la solución y cuando se decide ayudarlo, darle orientaciones, pistas (nunca la solución), que le permitan seguir trabajando el problema y, luego, en última instancia, analizar con el estudiante la solución del mismo. Esperamos que a los chicos les lleve más de una hora de trabajo la resolución de algunos de los problemas propuestos. Recomendamos a los profesores no quedarse con la solución del problema que se presenta, sino que busquen otros procesos diferentes. Al hacerlo podrán descubrir procedimientos más sencillos o más elegantes que los propuestos. La resolución de problemas es un proceso que puede resultar muy placentero pero que requiere esfuerzo mental. Cuando una cuestión planteada se puede resolver en forma inmediata, ¡tenemos un ejercicio, no un problema! María Luz Callejos, española y doctora en matemática, nos propone en su libro Un Club Matemático para la Diversidad unas pautas para la resolución de problemas, que a su vez ha adaptado del libro Aventuras Matemáticas del connotado matemático español Miguel de Guzmán. Las trascribimos a continuación y recomendamos que se las aplique en el aula porque son verdaderamente muy útiles.

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Miscelánea Problema 376 (Kanguro 2008 - Estudiante – Problema 3)

¿Cuál es la menor cantidad de letras que se deben quitar de la palabra CONCURSO de tal forma que las restantes queden en orden alfabético? A) 1 C) 3 E) 5 B) 2 D) 4

Solución Eliminamos las letras O , C , U . O y queda:

C , N , R , S La respuesta es: D


Para festejar el día de fin de año, José vestía una remera con el número 2008 estampado en ella. José se paró de manos frente a un espejo mientras su amigo Manuel observaba. ¿Qué observó Manuel en el espejo?

Solución La inversión en un espejo plano es de derecha a izquierda, así que lo que observa Manuel es:

La respuesta es: B Problema 378 (Kanguro 2008 - Estudiante – Problema 5)

Los números 3 , 4 y otros dos números deben escribirse en las celdas de la tabla 2 × 2 que se muestra en la figura. Sabemos que la suma de los números de las filas deben ser igual a 5 y 10 y la suma de los números de una de las columnas debe ser igual a 9. ¿Cuál es el mayor de los números desconocidos?

A) 5 C) 7 E) 3 B) 6 D) 8

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PAUTAS PARA LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Primera Fase: FAMILIARIZARSE CON EL PROBLEMA • Lee el problema lentamente, trata de entender todas las palabras. • Distingue los datos de la incógnita; trata de ver la situación. • Si puedes, haz un dibujo o un esquema de la situación. • Si los datos del problema no son cantidades muy grandes, intenta

expresar la situación jugando con objetos (fichas, botones, papel, etc.).

• Si las cantidades que aparecen en el enunciado son grandes, entonces imagínate el mismo problema con cantidades más pequeñas y haz como dice el punto anterior.

• Si el problema está planteado en forma general, da valores concretos a los datos y trabaja con ellos.

Segunda Fase: BUSCA UNAS CUANTAS ESTRATEGIAS PARA SOLUCIONAR EL PROBLEMA Lee la siguiente lista. Te puede ayudar: • ¿Es semejante a otros problemas que ya conoces? • ¿Cómo se resuelven éstos? ¿Alguna idea te podría servir? • Imagínate un problema más fácil para empezar y así animarte. • Experimenta con casos particulares, ¿te dan alguna pista natural al

lenguaje matemático? • Supón el problema resuelto, ¿cómo se relaciona la situación de partida

con la situación final? • Imagínate lo contrario de lo que quieres demostrar, ¿llegas a alguna

conclusión? • ¿El problema presenta alguna simetría o regularidad? • ¿Será el caso general más sencillo que el caso particular? Tercera Fase: SELECCIONA UNA DE LAS ESTRATEGIAS Y TRABAJA CON ELLA • No te rindas fácilmente. • No te encapriches con una estrategia. Si ves que no conduce a nada,

déjala. • Si la estrategia que elegiste no va bien, acude a otras de las estrategias

que seleccionaste o haz una combinación de ellas. • Trata de llegar hasta el final.

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Cuarta Fase: REFLEXIONA SOBRE EL PROCESO SEGUIDO • ¿Entiendes bien tu solución? ¿Entiendes por qué funciona? ¿Tiene

sentido esta solución o es absurda? • ¿Cómo ha sido tu camino? ¿Dónde te atascaste? ¿En qué momento y

cómo has salido de los atascos? • ¿Cuáles han sido los momentos de cambio de rumbo? ¿Han sido

acertados? • ¿Sabes hacerlo ahora de manera más sencilla? • ¿Sabes aplicar el método empleado a casos más generales? • ¿Puedes resolver otras situaciones relacionadas con el tema que sean

interesantes? Les deseamos un buen trabajo. Si este material les resulta de utilidad, nos damos por satisfechos y esperamos se comuniquen con nosotros ante cualquier inquietud que tengan.

Características del material de apoyo Este material está dividido en secciones. A más de la clásica separación por niveles, hemos creído oportuno establecer dentro de cada nivel una división auxiliar, de modo que los docentes puedan ir graduando el trabajo con sus alumnos. Esta división es la siguiente:

1. Problemas para el Aula En esta sección hemos incluido los problemas más accesibles. Los hemos denominado Problemas para el Aula porque pensamos que serán útiles también para los docentes que, aunque no participen todavía en las Olimpiadas, puedan llevarlos al aula y utilizarlos para modificar la metodología utilizada en las clases normales; que están enfocadas casi siempre en procesos mecánicos, de repetición, del uso de extensos formularios, del encasillamiento de los temas desarrollados en compartimientos estancos y de la exclusiva resolución de ejercicios. Este enfoque metodológico impide el desarrollo del pensamiento lógico – matemático de nuestros alumnos. Es el momento oportuno para trabajar algunas estrategias heurísticas básicas. Este material puede servir como un aporte para que el docente cuente con contenidos que le permita aplicar lo que se les está pidiendo

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Solución La cantidad de pañuelos es:

20 + 35 = 55 Los sucesos de sacar los pañuelos son independientes, porque al sacar el primer pañuelo, en la bolsa quedan 54 pañuelos. Luego, la probabilidad de que los dos pañuelos sean blancos es:

La probabilidad de que los dos sean negros es:

Para calcular la probabilidad de que salga un pañuelo blanco y otro negro debemos tener en cuenta de que primero puede salir un pañuelo blanco y luego considerar la situación de que primero puede salir uno negro. Luego:

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La cantidad de casos favorables es:

2 + 2 + 2 = 6 Luego, la posibilidad de tener la suma 7 es:

Problema 374

La profe de Manu le pide que escriba en su cuaderno un número natural entre 1 y 180 y le pide que no lo muestre a sus compañeros. Luego pregunta a la clase cuál es la probabilidad de que el número escrito por Manu sea divisible entre 3 o entre 7. ¿Cuál es la respuesta?

Solución Hay que determinar cuántos múltiplos de 3 y de 7 hay desde 1 hasta 180:

180 ÷ 3 = 60 180 ÷ 7 ≅ 25

En total hay 85. Pero los múltiplos de 21 están contados dos veces. Entonces debemos sacarlos:

180 ÷ 21 ≅ 8 Entonces, en total tenemos:

85 − 8 = 77 La probabilidad es:

Problema 375

En una bolsa hay 20 pañuelos blancos y 35 negros. Sin mirar se eligen dos pañuelos y se sacan de la bolsa. Calcular la probabilidad de que: • los dos pañuelos sean blancos, • los dos pañuelos sean negros, • salga un pañuelo blanco y otro negro.

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desde el MEC, o sea, utilizar los pasos de George Polya para evaluar el trabajo de los alumnos. Estos problemas están seleccionados para que los alumnos y docentes que se inician en las actividades de las Olimpiadas puedan encontrar un espacio cómodo para comenzar a trabajar en la resolución de problemas.

2. Problemas Desafiantes En esta sección hemos incluido aquellos problemas que requieren más trabajo de razonamiento matemático. Están pensados para perfeccionar a los alumnos en la resolución de problemas, avanzando más en el conocimiento y aplicación de las estrategias heurísticas que pueda hacer el docente y fijando el objetivo de que los alumnos expliquen por escrito el proceso que han seguido en la resolución de un problema. Digamos que este es el momento oportuno para introducir la idea de la demostración axiomática. Además dentro de cada una de estas dos secciones, los problemas están agrupados de acuerdo a los contenidos programáticos, siguiendo lo indicado por los programas del MEC. Los problemas agrupados en la sección Miscelánea, son problemas en los cuales se puede encontrar más de un área de conocimiento, ya sea por el enunciado del problema o por el procedimiento elegido para su solución. Por ejemplo Geometría y Teoría de Números o problemas de Estrategia. Esta situación es bastante común en los problemas de Olimpiadas. El nivel de dificultad de los problemas no está definido por los contenidos programáticos que en ellos se contempla.

Recomendaciones para el uso del material Recomendamos que el trabajo se comience siempre resolviendo los problemas de menor nivel de dificultad, tanto dentro de un nivel como así también al considerar los otros niveles. En un buen entrenamiento para un alumno del Nivel 2, se debería comenzar por ver cómo responde al Nivel 1 para luego pasar al nivel que le corresponde. Lo mismo, para un alumno del Nivel 3. Si el profesor piensa que el Nivel 1 no tiene suficientes desafíos, lo hará trabajar primero con el Nivel 2.

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Todo el proceso de aprender a resolver problemas se realiza a través del tiempo. Es imposible pensar que con un solo año de trabajo obtendremos logros significativos, aunque se pueden dar excepciones.

OMAPA Organización Multidisciplinaria de Apoyo a Profesores y Alumnos

Dirección: Dr. César López Moreira 693 c/ Nuestra Sra. Del Carmen Telefax: (021) 605-154 / 612-135

Web: www.omapa.org.py ; e-mail: [email protected]

Rodolfo Berganza Meilicke Director Académico de las Olimpiadas Nacionales de Matemática

Teléfono: (021) 331-538 − (0971) 201-758 e-mail: [email protected]

Observación: para la escritura de valores numéricos, escritura de la hora y escritura de las unidades de medida hemos utilizado las Normas Paraguayas 161, 164, 165, 166 y 180 de la Ley Nº 15 235 de 1980.

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Solución Las posibilidades son:

(N N N N) ; (N N N B) ; (N N B N) ; (N B N N) ; (B N N N) (N N B B ) ; (N B N B) ; (N B B N) ; (B N N B) ; (B N B N) (B B N N ) ; (N B B B) ; (B N B B ) ; (B B N B) ; (B B B N)

(B B B B) Como por lo menos tenemos que tener arriba dos caras blancas, también puede haber 3 ó 4. Entonces, la probabilidad es:

Problema 373

Marcela tira dos dados simultáneamente. ¿Cuál es la probabilidad de que la suma de los números que se ven en las caras superiores sea 7?

Solución Los números que se ven en las dos caras superiores pueden ser: 1) Con 1 adelante:

(1 , 1) (1 , 2) (1 , 3) (1 , 4) (1 , 5) (1 , 6) Vemos, que las posibilidades son 6. Como adelante también podemos tener 2 , 3 , 4 , 5 , ó 6, la cantidad de casos posibles es:

6 × 6 = 36 Calculamos ahora los casos favorables. La suma 7 la podemos obtener:

1 , 6 → 2 posibilidades 2 , 5 → 2 posibilidades 3 , 4 → 2 posibilidades

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Solución Los números que tienen las monedas son:

1 y 6 ; 2 y 5 ; 3 y 4 Calculamos las posibilidades que hay de elegir los números que quedan arriba:

Para la primera moneda: 2 Para la segunda moneda: 2 Para la tercera moneda: 2

En total:

2 × 2 × 2 → 8 posibilidades Las sumas posibles son:

1 + 2 + 3 = 6 6 + 5 + 3 = 14 1 + 2 + 4 = 7 6 + 5 + 4 = 15 1 + 5 + 3 = 9 6 + 2 + 3 = 11 1 + 5 + 4 = 10 6 + 2 + 4 = 12

La lista es:

6 , 7 , 9 , 10 , 11 , 12 , 14 , 15 De los 8 números, 4 son múltiplos de 3. La probabilidad es:

Problema 372

Se tienen 4 discos de madera con una de sus mitades pintada de blanco y la otra de negro, como se muestra en la figura.

Se tiran los 4 discos simultáneamente. ¿Cuál es la probabilidad de que queden arriba al menos dos círculos blancos?

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NIVEL 1 6.º y 7.º Grado

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Problema 370 Las calificaciones de algunos de los alumnos que dieron una prueba de Geometría, sin contar los 4 y los 5 fueron:

2 , 3 , 2 , 3 , 1 , 2 , 1 , 3 , 3 2 , 2 , 2 , 1 , 3 , 3 , 2 , 1 , 1

3 , 3 , 3 , 2 , 3 , 2 , 3 , 1

Se sabe que hubo la misma cantidad de notas 4 y 5, y que la media es 3. ¿Cuántas notas 4 y notas 5 hubo?

Solución Ubicamos los datos conocidos en la tabla:

Nota Frecuencia absoluta

1 6 2 9 3 11 4 X 5 X

La media es:

321196

541139261 =+++

++⋅+⋅+⋅x

xx ⇒ 57 + 9 x = 78 + 6 x ⇒ 3 x = 21

Entonces, la cantidad de notas 4 y notas 5 es 7. Problema 371

Se tienen 3 monedas. En una de las caras están escritos los números del 1 al 3 y en la otra cara los números del 4 al 6, pero de modo que la suma de los números ubicadas en caras opuestas sea igual. Juan Carlos tira las 3 monedas simultáneamente y suma los números que se observan.

¿Qué probabilidad tiene Juan Carlos de sacar un múltiplo de 3?

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La nueva lista es:

1 , 2 , 3 , 3 , 3 , 3 , 3 , 3 , 4 , 4 , 5 Ahora hay 11 números y la mediana es el número que ocupa 6º lugar, o sea 3.

La respuesta es: C Problema 369

La gráfica representa el resultado de las calificaciones del grado de Marta, en inglés. Determinar la media, la mediana y la moda.

Solución Registramos las cantidades de alumnos con sus calificaciones:

4 (nota 1) , 7 (nota 2) , 8 (nota 3) , 5 (nota 4) , 6 (nota 5) La cantidad de alumnos encuestados es:

4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 30 Calculamos la media:

4 × 1 + 5 × 4 + 6 × 5 + 7 × 2 + 8 × 3 = 92 ⇒ 92 ÷ 30 = 3,07 Para calcular la mediana, tenemos que tener en cuenta los datos ordenados:

1 , 1 , 1 , 1 , 2 , 2 , 2 , 2 , 2 , 2 , 2 , 3 , 3 , 3 , 3 3 , 3 , 3 , 3 , 4 , 4 , 4 , 4 , 4 , 5 , 5 , 5 , 5 , 5 , 5

La mediana es: 3 La moda es el dato más abundante, o sea: 3

Media = 3,07 ; Mediana = 3 ; Moda = 3

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La geometría y la medida Contenidos: • Perímetro de polígonos regulares e irregulares. (5.º Grado) • Área de figuras geométricas planas: rectángulo, cuadrado, triángulo,

trapecio, rombo. (5.º y 6.º Grados) • Área de polígonos regulares e irregulares y círculos. (6.º Grado) • Triángulo. Concepto. Elementos. Características. (6.º y 7.º Grados) • Clases de triángulo según sus lados (isósceles, equilátero, escaleno) y

según sus ángulos (rectángulo, oblicuángulo). (6.º y 7.º Grados) • Clases de cuadriláteros: cuadrado, rectángulo, trapecios, rombo,

paralelogramo. Características particulares de cada uno. (6.º y 7.º Grados)

• Diagonal de polígonos. (6.º y 7.º Grados) • Cuadriláteros. Concepto. Elementos. Propiedades básicas. (6.º y 7.º

Grados) • Ángulo. Concepto. Elementos. (6.º y 7.º Grados) • Bisectriz de un ángulo. (6.º y 7.º Grados) • Operaciones de adición y sustracción con medida de ángulos. (6.º y 7.º

Grados) • Complemento y suplemento de un ángulo. (6.º y 7.º Grados) • Características y regularidades y cuerpos geométricos. (6.º Grado) • Área de polígonos regulares e irregulares y círculos. (6.º Grado) • Ángulo. Concepto. Elementos. (6.º y 7.º Grados) • Bisectriz de un ángulo. (6.º y 7.º Grados) • Operaciones de adición y sustracción con medida de ángulos. (6.º y 7.º

Grados) • Complemento y suplemento de un ángulo. (6.º y 7.º Grados) • Triángulos. Concepto. Elementos. Característica. (6.º y 7.º Grados) • Clases de triángulos según sus lados (isósceles, equilátero, escaleno) y

según sus ángulos (rectángulo, oblicuángulo). (6.º y 7.º Grados) • Cuadriláteros. Concepto. Elementos. Propiedades básicas. (6.º y 7.º

Grados) • Polígono. Concepto. Elementos. Clasificación según el número de lados.

Diagonal de un polígono. Polígono regular. (6.º y 7.º Grados) • Polígonos cóncavo y convexo. Concepto, características. Región:

interior, exterior y frontera. (6.º y 7.º Grados) • Características y regularidades de cuerpos geométricos. (6.º y 7.º

Grados) • Área lateral y área total de cuerpos geométricas (cubo, prisma,

cilindro). (6.º y 7.º Grados)

20

Problemas para el Aula Problema 101 (1ª Ronda Colegial 2008 – Problema 1)

En un triángulo ABC, el lado BC es una de las alturas del triángulo. El triángulo ABC es:

A) Equilátero C) Isósceles E) C y D son correctas B) Rectángulo D) Acutángulo F) n. d. l. a. Solución Solamente en el triángulo rectángulo uno de los lados puede ser una de las alturas.

La respuesta es: B Problema 102 (1ª Ronda Colegial 2008 – Problema 3)

La figura muestra un trapecio isósceles, es decir, los lados inclinados AD y BC son iguales. Las diagonales se cortan en un punto P. Si la base DC mide 30, ¿cuánto debe medir la base AB, para que los triángulos ABD y ABC tengan la misma área?

A) 3 C) cualquier valor E) menos que 30 B) 6 D) más que 10 F) n. d. l. a. Solución Los triángulos ABD y ABC tienen la misma base (AB) y la misma altura (10). Por lo tanto, cualquier valor que tenga la base AB, incluso valores mayores que 30, el área de los triángulos citados será la misma.

La respuesta es: C Problema 103 (1ª Ronda Colegial 2008 – Problema 7)

En el triángulo ABC, PA y PB son bisectrices. La medida del ángulo ACB es 50º. ¿Cuál es la medida del ángulo APB? A) 115º C) 150º E) 50º

B) 130º D) 65º F) n. d. l. a.

213

Problema 368 La profe del 9º grado pide a sus alumnos que cada uno de ellos escriba un divisor de 24 en la pizarra. Después construye la siguiente tabla:

Divisor Cantidad escrita

1 1 2 3 3 4 4 3 6 3 8 5 12 4 24 2

Luego los estudiantes deben calcular la media, la mediana y la moda. Al entrar un alumno que había salido al patio la profe le pide que agregue tres divisores iguales a la lista de tal modo que no varíe la mediana ni la moda. ¿Cuál es el número?

A) 1 C) 3 E) Es imposible B) 2 D) 4 F) n. d. l. a. Solución Como hay 8 números, la mediana debemos calcular con los números que se ubican en el lugar 4 y 5. Hacemos una lista de los datos:

1 , 2 , 3 , 3 , 3 , 4 , 4 , 5 La mediana es:

= 3

Como 3 es el número más abundante, esa es la moda. Para que la moda no varíe Luis debe agregar tres números 3. Veamos qué pasa con la mediana.

212

Problema 367 La lluvia caída sobre Paraguay en el año 2011 se registró en la siguiente tabla:

Mes Lluvia caída

en mm Enero 46

Febrero 50 Marzo 99 Abril 77 Mayo 11 Junio 5 Julio 5

Agosto 0 Setiembre 19 Octubre 32

Noviembre 62 Diciembre 106

¿Cuál es la media de la cantidad de lluvia caída en 2011? ¿Qué porcentaje representa la cantidad de lluvia caída en el mes de diciembre con respecto al mes de noviembre?

Solución Para contestar la primera pregunta calculamos la suma de los 12 valores:

46 + 50 + 99 + 77 + 11 + 5 + 5 + 0 + 19 + 32 + 62 + 106 = 512 Luego la media es:

512 ÷ 12 ≅ 42,7 mm Para la segunda pregunta, tenemos en cuenta que la referencia es el mes de noviembre, entonces: ⇒ x = 170,97 %

21

Solución Considerando el triángulo ABC tenemos:

∠BAC +

∠ABC = 180º − 50º = 130º

2ABCBAC

∠∠+

= 65º

En el triángulo APB:

∠APB = 180º − 65º = 115º

La respuesta es: A Problema 104 (2ª Ronda Colegial 2008 – Problema 2)

Alberto dibuja en la pizarra el triángulo de la izquierda y desafía a sus compañeros para que calculen la medida del ángulo x. ¿Cuál es la medida del ángulo x?

A) 52º C) 62º E) 72º B) 58º D) 70º F) n. d. l. a. Solución

58º + x = 128º ⇒ x = 70º

La respuesta es: D Problema 105 (2ª Ronda Colegial 2008 – Problema 4)

Se tiene un punto M en el interior de un ángulo de 39º. Desde M se trazan perpendiculares a los lados del ángulo. ¿Cuál es la medida del ángulo formado por esas perpendiculares?

A) 39º C) 90º E) 156º B) 78º D) 141º F) n. d. l. a. Solución Recordamos que la suma de los ángulos de un cuadrilátero es 360º. Entonces:

39º + 90º + 90º + ? = 360º ⇒ ? = 141º La respuesta es: D

22

Problema 106 (2ª Ronda Colegial 2008 – Problema 6) En el rectángulo de la figura A y B son puntos medios de los lados correspondientes. El área de la superficie pintada es 10 cm2. ¿Cuál es el área del rectángulo?

A) 80 cm2 C) 40 cm2 E) 20 cm2 B) 60 cm2 D) 30 cm2 F) n. d. l. a.

Solución

Como A y B son puntos medios, cortan a la diagonal en su punto medio. Trazamos MN perpendicular al segmento AB y a los lados del rectángulo.

Entre AB y MN dividen al rectángulo en cuatro partes iguales, entonces, la parte pintada es la octava parte del área del rectángulo. Luego, el área del rectángulo es:

10 cm2 � 8 = 80 cm2 La respuesta es: A

Problema 107 (2ª Ronda Colegial 2008 – Problema 8)

En un triángulo equilátero el perímetro es mayor que 29 cm pero menor que 40 cm. La medida de los lados del triángulo son números enteros. ¿Cuál de los siguientes valores puede ser uno de los lados del triángulo?

A) 8 cm C) 16 cm E) 22 cm B) 9 cm D) 18 cm F) n. d. l. a. Solución Si llamamos L a la medida de uno de los lados, tenemos:

29 cm < 3 L < 40 cm ⇒ 9,7 cm < L < 13,3 cm Por lo tanto, los valores posibles de L son:

10 cm , 11 cm , 12 cm , 13 cm La respuesta es: F

211

Problemas para el Aula Problema 366 (Kanguro 2008 - Junior – Problema 13)

Si tres puntos de la figura son seleccionados al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que sean colineales?

A) 21

C) 203

E) 101

B) 61

D)

103

Solución Los puntos que son colineales son: A , B , C ; C , E , F ; A , D , F Los otros conjuntos de tres puntos son:

A , B , D ; A , B , E ; A , B , F

A , C , D ; A , C , E ; A , C , F

A , D , E

A , E , F

B , C , D ; B , C , E ; B , C , F

B , D , E ; B , D , F

B , E , F

C , D , E ; C , D , F

D , E , F

Encontramos 17 conjuntos. Entonces, en total hay 20 conjuntos. Y la probabilidad de que tres de ellos estén alineados es:

203

La respuesta es: C

210

23

Problema 108 (2ª Ronda Colegial 2008 – Problema 14) En un paralelogramo ABCD se traza la diagonal AC. El área del triángulo ADC es 26 cm2. ¿Cuál es el área del paralelogramo?

A) 6,5 cm2 C) 39 cm2 E) 65 cm2 B) 13 cm2 D) 52 cm2 F) n. d. l. a. Solución

La diagonal AC divide al paralelogramo en dos triángulos iguales.

Entonces: (ADC) = 26 cm2 (ABCD) = 2 (ADC) = 26 cm2 � 2 = 52 cm2

La respuesta es: D Problema 109 (3ª Ronda Regional 2008 – Problema 3)

¿Cuánto mide el ángulo x? Solución Vemos que: a + b + x = 180º 180º − 2 x + 180º − 3 x + x = 180º

180º − 4 x = 0 ⇒ x = 45º Problema 110 (3ª Ronda Regional 2008 – Problema 4)

En el cuadrado de la figura, A y B son puntos medios de los lados correspondientes.

El área pintada es 24 cm2. Calcular el área del cuadrado.

24

Solución Como A y B son puntos medios de los lados del cuadrado, AC = CB. Entonces, los triángulos ACD y CBD tienen las bases iguales y también las alturas, por ser lados del cuadrado. Luego:

21

del área del cuadrado = 24 cm2

Entonces, el área del cuadrado es 48 cm2. Problema 111 (Kanguro 2008 - Cadete – Problema 15)

Un jardín con forma de cuadrado se ha dividido en una piscina (P), flores (F), césped (C) y arena (A), como se muestra en la figura. El césped y las flores tienen forma cuadrada. El perímetro del césped es 20 m y el perímetro del espacio de las flores es 12 m. ¿Cuál es el perímetro, en metros, de la piscina?

A) 10 B) 12 C) 14 D) 16 E) 18

Solución

Consideramos la parte correspondiente al césped:

4 a = 20 m ⇒ a = 5 m Lo que corresponde a las flores:

4 b = 12 m ⇒ b = 3 m El perímetro de la piscina es:

2 (a + b) = 2 (5 m + 3 m) = 2 � 8 m = 16 m La respuesta es: D

209

Probabilidad y estadística Contenidos: • Tablas de frecuencia absoluta y relativa. (5.º Grado) • Gráficos de línea. (5.º Grado) • Tablas y gráficos estadísticos. (6º. Grado) • Frecuencia absoluta, relativa y porcentual. (6.º Grado) • Tablas de frecuencias. (6.º Grado) • Gráfico circular. (6.º Grado) • Tabla de frecuencias: absoluta, relativa y porcentual (7.º Grado) • Gráficos estadísticos circulares (7.º Grado) • Interpretación de tablas, gráficos circulares y moda (7.º Grado) • Tablas de frecuencias e histogramas (8.º Grado) • Interpretación de tablas de frecuencia, histogramas y media (8.º Grado) • Experimento aleatorio. (9.º Grado) • Evento o suceso. (9.º Grado) • Espacio muestral. (9.º Grado) • Casos favorables, casos posibles. (9.º Grado) • Probabilidad de un evento. Regla de Laplace, (9.º Grado) • Tablas de frecuencia y polígonos de frecuencia (9.º Grado) • La mediana. (9.º Grado) • Interpretación de tablas, polígonos de frecuencia y mediana (9.º Grado)

208

Solución Como M es punto medio, también los son N y P.

Entonces:

(APM) = (MNC) = (PBN) =10 Y en área del triángulo ABC es:

10 + 10 + 10 + 10 = 40 La respuesta es: E

25

Problema 112 (Validación Kanguro 2008 - Cadete – Problema 1) La figura está formada por varios cuadrados. El más pequeño de ellos tiene un perímetro de 8 cm. Cuando se va completando la figura, cada cuadrado tiene 4 cm más de perímetro que el anterior.

Se dibujan en total 7 cuadrados. ¿Cuál es la medida del contorno de la figura que resulta con esos 7 cuadrados?

A) 70 cm B) 72 cm C) 94 cm D) 80 cm E) 86 cm F) n. d. l. a.

Solución Los lados de los cuadrados son: 1º → 2 cm 2º → 3 cm 3º → 4 cm Y así hasta llegar al sétimo cuadrado que tendrá lado 8. Entre el lado de un cuadrado y el siguiente habrá una diferencia de 1 cm, como se ve en la figura. Entonces, calculamos primero la parte de abajo y luego el contorno de la parte del costado y arriba:

2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 35

2 + 2 + 1 + 3 + 1 + 4 + 1 + 5 + 1 + 6 + 1 + 7 + 1 + 8 + 8 =51

35 + 51 = 86 La respuesta es: E

26

Problema 113 (Validación Kanguro 2008 - Cadete – Problema 4) En la cuadrícula de la figura se pueden distinguir varias clases de cuadrados. Los que están formados por un solo cuadradito, los que están formados por cuatro cuadraditos, etc. ¿Cuántos cuadrados que contengan al menos uno de los cuadraditos pintados hay?

A) 10 B) 12 C) 13 D) 14 E) 15 F) n. d. l. a. Solución Cuadrados de 1 × 1 hay 2. Cuadrados de 2 × 2 hay 6. Cuadrados de 3 × 3 hay 4. Cuadrados de 4 × 4 hay 1. En total:

2 + 6 + 4 + 1 = 13 La respuesta es: C

Problema 114 (Validación Kanguro 2008 - Cadete – Problema 8)

En la figura se puede ver un pentágono regular ABCDE, cuyo centro es O.

El área del cuadrilátero ABCO es 26 cm2. ¿Cuál es el área del pentágono? A) 82 cm2 D) 65 cm2 B) 80 cm2 E) 52 cm2 C) 78 cm2 F) n. d. l. a. Solución

Uniendo los vértices con el centro tenemos 5 triángulos iguales. Entonces:

(AOB) = (BOC) = 26 cm2 ÷ 2 = 13 cm2 Luego, el área del pentágono es: (ABCDE) = 13 cm2 � 5 = 65 cm2

La respuesta es: D

207

Problema 364 (Validación Kanguro 2008 - Estudiante – Problema 14) Sandra escribe la siguiente lista de números:

1 , 4 , 7 , 10 , 13 , …

En total Sandra escribe 2 008 números y luego suma todos los números que escribió. ¿Qué suma obtiene Sandra?

A) 6 045 084 C) 6 049 100 E) 6 061 148 B) 6 047 092 D) 6 055 124 F) n. d. l. a. Solución Vemos que:

a2 = 1 + 3 a3 = 1 + 6 = 1 + 3 � 2 a4 = 1 + 9 = 1 + 3 � 3 a5 = 1 + 12 = 1 + 3 � 4

Luego:

a2008 = 1 + 3 � 2 007 = 6 022 Por lo tanto tenemos 1 004 parejas que suman:

6 022 + 1 = 6023 Y la suma de todos los números es:

6 023 × 1 004 = 6 047 092 La respuesta es: B


En el triángulo de la figura, M es punto medio del lado correspondiente. Asimismo 10 es el área del triángulo menor correspondiente. ¿Cuál es el área del triángulo mayor?

A) 20 C) 30 E) 40 B) 25 D) 35 F) n. d. l. a.

206

Solución Buscamos el primer múltiplo de 17 después de 1 000:

1 000 ÷ 17 ≅ 58,82

Entonces, el primer múltiplo de 17 es:

59 × 17 = 1 003

Calculamos ahora el último número de la lista:

2 000 ÷ 17 ≅ 117,7

El último es:

117 × 17 = 1 989

Y la cantidad de términos en la lista es:

1 989 − 1 003 = 986 → 986 ÷ 17 = 58 → 58 + 1 = 59 La respuesta es: A

Problema 363 (Validación Kanguro 2008 - Estudiante – Problema 10) Luisa escribe una lista de todos los números primos menores que 38. Luego, en esa lista busca parejas de números primos cuya suma sea múltiplo de 3. ¿Cuál es la mayor cantidad de parejas que puede encontrar Luisa?

A) 21 C) 17 E) 10 B) 19 D) 12 F) n. d. l. a.

Solución La lista de números primos es:

2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 19 , 23 , 29 , 31 , 37

Las parejas cuya suma da un resultado múltiplos de 3 es:

2 + 7 = 9 7 + 17 = 24 17 + 19 = 36 2 + 13 = 15 7 + 23 = 30 17 + 31 = 48 2 + 19 = 21 7 + 29 = 36 17 + 37 = 54 2 + 31 = 33 11 + 13 = 24 19 + 23 = 42 2 + 37 = 39 11 + 19 = 30 19 + 29 = 48 5 + 7 = 12 11 + 31 = 42 23 + 31 = 54 5 + 13 = 18 11 + 37 = 48 23 + 37 = 60 5 + 19 = 24 13 + 17 = 30 29 + 31 = 60 5 + 31 = 36 13 + 23 = 36 5 + 37 = 42 13 + 29 = 42 7 + 11 = 18 Vemos que en total hay 29 parejas.

La respuesta es: F

27

Problemas Desafiantes Problema 115 (2ª Ronda Colegial 2008 – Problema 15)

En el triángulo ABC, ∠

BAC= 48º. AE es la bisectriz del ángulo BAC.

¿Cuál es la medida del ángulo EPH? A) 114º C) 69º E) 24º B) 78º D) 42º F) n. d. l. a. Solución Como AE es bisectriz, tenemos:

∠∠

= EACBAE = x = 48º ÷ 2 = 24º Como el triángulo APH es rectángulo:

∠APH = 90º − 24º = 66º

∠

EPH = 180º − 66º = 114º La respuesta es: A

Problema 116 (4ª Ronda Final 2008 – Problema 3)

El perímetro del rectángulo ACDF de la figura es 96 cm.

BCDE es un cuadrado que tiene 24 cm más de perímetro que el rectángulo ABEF.

Determinar el área del rectángulo ACDF.

Solución y + x + x + x + y + x = 96 4 x + 2 y = 96 4 x – 2 (x + y) = 24 ⇒ 2 x − 2 y = 24 x − y = 12 ⇒ x = 12 + y

28

4 (12 + y) + 2 y = 96 ⇒ 48 + 4y + 2y = 96 ⇒ y = 8 , x = 20 Los lados del rectángulo miden 28 cm y 20 cm. Entonces, el área es:

28 cm � 20 cm = 560 cm2

Criterios de corrección • Por elegir correctamente las dimensiones de la figura 2 puntos • Por plantear las ecuaciones 3 puntos • Por resolver el problema 2 puntos Problema 117 (4ª Ronda Final 2008 – Problema 5)

En un triángulo ABC, ∠

BAC = 82º. Calcular el ángulo formado por las bisectrices de los otros dos ángulos si una de las bisectrices es interior y la otra exterior al triángulo.

Solución Tenemos que:

2 z = 180º − ∠

ACB

z = 2

ACBº90

∠

−

También:

x = 2

ABC∠

Entonces, en el triángulo BDC tenemos:

∠BDC + x + z +

∠ACB = 180º

∠BDC +

2

ABC∠

+ 2

ACBº90

∠

− + ∠

ACB = 180º

205

Problema 361 (Kanguro 2008 - Estudiante – Problema 29) Sea m un número real tal que 0 ≤ m ≤ 1. Si x + y = m y x2 + y2 = 1, ¿Cuál es equivalente de x4 + y4?

A) ( )

2m11

22−− C)

( )2m1

122−− E) m4 + 1

B) ( )

2m1

12−+

D) m4

Solución Tenemos:

x + y = m (1)

x2 + y2 = 1 (2) Elevando (2) al cuadrado:

x4 + 2 x2y2 + y4 = 1 ⇒ x4 + y4 = 1 − 2 x2y2 (3) Elevando (1) al cuadrado:

x2 + 2 xy + y2 = m2 ⇒ 2 xy = m2 − (x2 + y2)

2 xy = m2 − 1 ⇒ 4 x2y2 = (m2 − 1)2 (4) Reemplazando (4) en (3):

x4 + y4 = 1 −

La respuesta es: C Problema 362 (Validación Kanguro 2008 - Estudiante – Problema 3)

Sebastián hace una lista de todos los números, múltiplos de 17, comprendidos entre 1 000 y 2 000. ¿Cuántos números hay en la lista de Sebastián?

A) 59 C) 71 E) 90 B) 62 D) 83 F) n. d. l. a.

204

Los múltiplos de 3 entre 75 y 85 son:

78 , 81 , 84

Los posibles divisores son:

77 , 79 , 80 , 82 , 83

a b a � b 77 77 5929 77 79 6083 77 80 6160 77 82 6314 77 83 6391

a b a � b 79 79 6241 79 80 6320 79 82 6478 79 83 6557

a b a � b 80 80 6400 80 82 6560 80 83 6640

a b a � b 82 82 6724 82 83 6806

a b a � b 83 83 6889

En las tablas podemos ver todos los productos entre los posibles divisores. Hay uno solo que está entre las respuestas.

La respuesta es: B

29

∠BDC +

2

ABC∠

+ 2

ACB∠

= 90º

∠BDC +

2

ACBABC∠∠

+ = 90º

∠BDC +

2º82 º180 −

= 90º

∠BDC + 49º = 90º

∠BDC = 41º

Criterios de corrección

• Por graficar 2 puntos • Por relacionar el ángulo interno con el externo 1 punto • Por relacionar los ángulos del triángulo BDC 2 puntos

• Por hallar la medida de ∠

BDC 2 puntos Problema 118 (Kanguro 2008 - Cadete – Problema 17)

¿Con cuántos palillos idénticos es imposible construir un triángulo? (Los palillos no pueden romperse)

A) 7 B) 5 C) 3 D) 6 E) 4 Solución

Tomamos como ejemplo el triángulo de la figura, cuyos lados AB = BC = CA = 1. Esto es, el triángulo se ha armado con 3 palillos. Es posible armar un triángulo cuando se cumple que uno de los lados es menor que la suma de los otros dos.

Entonces, con 4 palillos no será posible el triángulo porque tendríamos como lados: 2 , 1 y 1.

30

Analizamos las demás posibilidades: Con 5 palillos: 2 , 2 y 1 Con 6 palillos: 2 , 2 y 2 Con 7 palillos: 3 , 2 y 2

La respuesta es: E Problema 119 (Kanguro 2008 - Cadete – Problema 29)

La siguiente figura muestra el plano de un pequeño pueblo. Hay cuatro rutas de autobuses en el pueblo. El autobús Nº 1 sigue la ruta C-D-E-F-G-H-C, que tiene un perímetro de 17 km. El autobús Nº 2 sigue la ruta A-B-C-F-G-H-A y cubre un perímetro de 12 km. La ruta del autobús Nº 3 es A-B-C-D-E-F-G-H-A, y tiene un perímetro de 20 km.

El autobús Nº 4 realiza el recorrido C-F-G-H-C. ¿Cuál es el perímetro, en kilómetros, de esta última ruta?

A) 5 B) 8 C) 9 D) 12 E) 15 Solución Si sumamos los perímetros de las figuras ABFG y HDEG, aparecen sumados dos veces los segmentos HG y GF y una vez los segmentos HC y CF:

PABFG + PHDEG = 12 km + 17 km = 29 km Si a este resultado restamos el perímetro de la figura ABCDEFG quedará la suma equivalente a HC + CF + FG + GH, o sea el perímetro de HCFG:

29 km − 20 km = 9 km La respuesta es: C

203

A partir de la igualdad * y eligiendo la situación conveniente, podemos

demostrar que n y p son racionales.

Con esto se completa la demostración.


• Por establecer un racional que representa a p n m ++ 1 punto

• Por descubrir que hay que trabajar con binomios 1 punto • Por elevar al cuadrado y aislar la parte racional 2 puntos • Por repetir el proceso de elegir otro racional 1 punto • Por demostrar que una de las expresiones es racional 1 punto • Por reconocer que se puede aplicar el mismo proceso

para terminar la demostración 1 punto Problema 359 (Kanguro 2008 - Estudiante – Problema 15) Se sabe que n! = 1 � 2 � 3 � … � (n – 1) � n.

Si n! = 215 � 36 � 53 � 72 � 11 � 13, ¿cuál es el valor de n? A) 13 C) 15 E) 17

B) 14 D) 16 Solución Agregamos factores al factorial de acuerdo a la cantidad de exponentes:

n! = 1 � 2 � 3 � 22 � 5 � (2 � 3) � 7 � 2

3 � 3

2 � (2 � 5) � 11 � (2

2 � 3) � 13 � (2 � 7) �

(3 � 5) � 24

n! = 1 � 2 � 3 � 4 � 5 � 6 � 7 � 8 � 9 � 10 � 11 � 12 � 13 � 14 � 15 � 16 La respuesta es: D


El número 332 − 1 tiene exactamente dos divisores entre 75 y 85. ¿Cuál es el producto de estos divisores?

A) 5 852 C) 6 804 E) 6 972 B) 6 560 D) 6 888

Solución Tenemos:

332 − 1 = (316 + 1) (316 − 1)

316 + 1 = + 1 ; − 1

202

Solución Sea r un racional cualquiera tal que:

r = p n m ++ *

r − m = p n +

(r − m )2 = ( p n + )2

r2 − 2 r m + m = n + 2 p n + p

r2 + m − n − p − 2 r m = 2 p n

Sea q un racional tal que:

q = r2 + m − n − p Entonces:

q − 2 r m = 2 p n

(q − 2 r m )2 = (2 p n )2

q2 − 4 r q m + 4 r2 m = 4 n p

q2 + 4 r2 m − 4 n p = 4 r q m

m = qr 4

pn 4 - m r 4q 22 +

Como m , n , p , r , q son racionales, el segundo miembro de la igualdad es racional. Por lo tanto, también lo es el primer miembro. Luego:

m es racional

31

Problema 120 (Validación Kanguro 2008 - Cadete – Problema 2) Se construye un triángulo con las piezas obtenidas usando rombos de 2 cm de lado, que se cortan por la diagonal obteniéndose dos triángulos iguales, como se ve en la figura.

Se disponen de 31 rombos iguales al de la figura. ¿Cuál es el perímetro del mayor triángulo que se podrá armar?

A) 30 cm C) 42 cm E) 54 cm B) 36 cm D) 48 cm F) n. d. l. a. Solución

En el ejemplo tenemos 4 triángulos que necesitan 2 rombos.

Vamos a llamar “filas” al conjunto de triángulos ubicados horizontalmente. Con 2 filas tenemos: 1 + 3 → 4 triángulos (2 rombos) Seguimos con ese esquema:

3 filas: 1 + 3 + 5 → 9 triángulos (4 rombos y una mitad) 4 filas: 1 + 3 + 5 + 7 → 16 triángulos (8 rombos) 5 filas: 1 + 3 + 5 + 7 + 9 → 25 triángulos (12 rombos y una mitad) 6 filas: 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 → 36 triángulos (18 rombos) 7 filas: 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 → 49 triángulos (24 rombos y una mitad) 8 filas: 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 → 64 triángulos (32 rombos) Entonces, podemos llegar hasta 7 filas. Luego habrá 7 triángulos en cada lado. La medida de cada lado es:

2 cm � 7 = 14 cm

32

Y el perímetro del triángulo:

14 cm � 3 = 42 cm La respuesta es: C


El perímetro de un rectángulo tiene 34 cm más que uno de los lados que mide 18 cm. El rectángulo tiene su área igual a la de un cuadrado. ¿Cuál es el perímetro del cuadrado?

A) 28 cm B) 32 cm C) 40 cm D) 48 cm E) 54 cm F) n. d. l. a.

Solución Calculamos el perímetro del rectángulo:

18 cm + 34 cm = 52 cm El otro lado del rectángulo es:

52 cm − 2 � 18 cm = 16 cm ; 16 cm ÷ 2 = 8 cm Entonces, el área del rectángulo es:

18 cm � 8 cm = 144 cm2 Como el cuadrado tiene la misma área que el rectángulo, su lado es:

2cm144 = 12 cm

El perímetro del cuadrado es:

12 cm � 4 = 48 cm La respuesta es: D


ABCD es un cuadrado de lado 10 y E es el punto medio del lado BC.

Hallar el área pintada.

A) 12,5 C) 350

E) 3

100

B) 325

D) 25 F) n. d. l. a.

201

Para n = 49: S49 = 48 + 47 + … + 1 + 0 + 1 + 2 + … + 51 = 49 � 24 + 53 � 25 + 1 = 2 502 Para n = 50: S50 = 49 + 48 + … + 1 + 0 + 1 + … + 50 = 51 � 24 + 1 + 51 � 25 = 2 500 Para n = 51: S51 = 50 + 49 + … + 1 + 0 + 1 + … + 49 = 51 � 25 + 51 � 24 + 1 = 2 500 Para n = 52: S52 = 51 + 50 + … + 1 + 0 + 1 + … + 48 = 53 � 25 + 1 + 49 � 24 = 2 502 Vemos que los valores de n que hacen mínimo el valor de S son, efectivamente:

50 y 51

Criterios de corrección • Por hacer exploraciones serias hasta 3 puntos • Por descubrir que los valores menores están en el centro 2 puntos • Por hallar los valores de n 2 puntos Problema 358 (4ª Ronda Final 2008 – Problema 5)

Sean m , n , p racionales, tales que, p n m ++ es

racional. Demostrar que m , n , p son racionales.

200

Solución 1 Vemos que los valores de n son:

n = 2 , 3 , 4, … , 97 , 98 , 99 Calculamos valores de S para diferentes valores de n: Para n = 2:

S2 = 1 + 0 + 1 + 2 + 3 + … + 98

S2 = 1 + 99 � 49 = 4 852 (por el Método de Gauss) Para n = 3:

S3 = 2 + 1 + 0 + 1 + 2 + … + 97

S3 = 2 + 1 + 1 + 99 � 48 = 4 756 Para n = 98:

S98 = 97 + 96 + … + 2 + 1 + 0 + 1 + 2

S98 = 99 � 48 + 1 + 1 + 2 = 4 756 Para n = 99:

S99 = 98 + 97 + … + 1 + 0 + 1

S99 = 99 � 49 + 1 = 4 852 Vemos como se comparta S y llegamos a la conclusión que los valores menores deben estar hacia el centro de la lista:

2 , 3 , … , 98 , 99

Como el promedio de los valores extremos es: 2992 +

= 50,5 , el valor de

S debe corresponder a n = 50 ó n = 51. Esa ya es la respuesta, pero hacemos algunas verificaciones finales:

33

Solución

El área del triángulo DEC es:

2510 ×

= 25

Comparando los triángulos DFC y EFC, los dos tienen la misma altura, porque el punto F está sobre el segmento DE , y además equidista de los lados DC y BC, pero la base del triángulo DFC es el doble.

Por lo tanto:

DC = 2 EC ⇒ (DFC) = 2 (EFC) Eso quiere decir, que el área (EFC) es la tercera parte del área (DEC) y por lo tanto el área (DFC) será las dos terceras partes de (DEC):

(DFC) = 32

(DEC) = 32

� 25 = 350

La respuesta es: C

34

199

× 2 4 8 16 32 64 128 256 7 14 28 56 112 224 448 − − 49 98 196 392 − − − − − 343 − − − − − − − −

× 2 4 8 16 32 64 128 256 11 22 44 88 176 352 − − − 121 242 484 − − − − − −

× 7 49 343 11 77 − − 121 − − −

C) Con tres factores primos: 2 números

× 14 28 56 98 112 − − − 11 154 308 − − − − − − 121 − − − − − − − −

En total tenemos: 13 + 17 + 2 = 32

Criterios de corrección • Por hallar los números que tienen un solo factor primo 2 puntos • Por hallar los números con dos factores primos 3 puntos • Por hallar los números con tres factores primos 1 punto • Por hallar el resultado 1 punto Problema 357 (4ª Ronda Final 2008 – Problema 2)

Tenemos la siguiente expresión:

S = n – 1 + n – 2 + . . . . . . . . . . . + n – 100

(n es entero , 1 < n < 100)

Determinar para qué valores de n, S tiene su mínimo valor. Observación: Recordamos que A significa valor absoluto de A, que siempre es positivo. Por ejemplo: -2 = 2

198

Problema 355 (3ª Ronda Regional 2008 – Problema 9) Determinar el residuo que se obtiene al dividir 32008 + 2 entre 10.

Solución Las terminaciones de las primeras potencias de 3 son:

30 = 1 , 31 = 3 , 32 = 9 , 33 = …7 , 34 = …1 , etc. Vemos que se repiten cada 4 veces. Entonces:

2 008 = 4 � 502 + 0 La terminación de 32008 es 1. Luego:

32008 + 2 → ------ 1 + 2 → ------ 3 ÷ 10 → residuo 3 Problema 356 (4ª Ronda Final 2008 – Problema 1)

Se consideran todos los números enteros positivos, menores que 500, tales que sus factores primos sean solamente 2 , 7 , 11 o alguna combinación entre ellos. ¿Cuántos números hay?

Solución A) Con un solo factor primo: 13 números

• Potencias de 2 → 2 , 4 , 8 , 16 , 32 , 64 , 128 , 256

• Potencias de 7 → 7 , 49 , 343

• Potencias de 11 → 11 , 121 El total es: 2 , 7 , 11 , 4 , 49 , 121 , 8 , 343 , 16 , 32 , 64 , 128 , 256 B) Con dos factores primos: 9 + 7 + 1 = 17 números

35

El número y las operaciones – Expresiones algebraicas Contenidos: • Relaciones de equivalencias y de orden. (5.º Grado) • Valor posicional, absoluto y relativo. (5.º Grado) • Algoritmo y propiedades de las cuatro operaciones fundamentales. (5.º

Grado) • Números primos y compuestos. (5.º Grado) • Divisibilidad por: 2, 3, 5, 7 y 11. (5.º Grado) • Amplificación y simplificación de fracciones. (5.º Grado) • Máximo común divisor (mcd). (5.º Grado) • Mínimo común múltiplo (mcm). (5.º Grado) • Algoritmos y propiedades de las cuatro operaciones fundamentales de

números racionales en notación decimal y fraccionaria. (5º Grado) • Relaciones de equivalencias y de orden. (6.º Grado) • Notación científica. (6.º Grado) • Descomposición polinómica de un número natural utilizando potencias

de diez. (6.º Grado) • Lee y escribe comprensivamente números racionales en notación

fraccionaria y decimal, hasta los millonésimos. (6.º Grado) • Lee y escribe números naturales hasta la centena del millón. (6.º

Grado) • Concepto de razón, razón aritmética, razón geométrica, proporción y

magnitud. (6.º Grado) • Magnitudes directa e inversamente proporcionales. (6.º Grado) • Porcentaje, descuento, tanto por ciento. (6.º Grado) • Regla de tres. (6.º Grado) • Números enteros opuestos y valor absoluto. (7.º Grado) • Representación de los números enteros en la recta numérica. • (7.º Grado) • Números enteros opuestos y valor absoluto. (7.º Grado) • Representación de los números enteros en la recta numérica. • (7.º Grado)

36

197

Hacemos la tabla:

A B A + B 41 59 100 42 58 100 43 57 100 44 56 100 45 55 100 46 54 100 47 53 100 48 52 100 49 51 100

Se encuentran 9 pares de números. Problema 354 (3ª Ronda Regional 2008 – Problema 5)

En la ecuación x2 − A2 x + 2A = 0 , A es un número entero y una de las raíces es 2. Determinar los posibles valores de la otra raíz.

Solución Tenemos:

x2 − A2 x + 2A = 0 ; A ∈ Z ; r1 = 2 , r2 = b De acuerdo a las relaciones de Vieta:

2 + b = A2 ; 2 b = 2 A ⇒ b = A Entonces:

A + 2 = A2 ⇒ A2 − A − 2 = 0 Luego:

(A − 2) (A + 1) = 0 Los posibles de A son:

2 , -1

196

Problema 351 (2ª Ronda Colegial 2008 – Problema 12) ¿Cuál es el resultado de: 3 000 0032 + 4 000 0042? A) 5 000 0052 C) 1 200 0002 E) 2 500 0002 B) 7 000 0072 D) 1 000 0012 F) n. d. l. a.

Solución Descomponemos los números:

(3 � 1 000 001)2 + (4 � 1 000 001)2 = 9 � 1 000 0012 + 16 � 1 000 0012

25 � 1 000 0012 = (5 � 1 000 001)2 = 5 000 0052 La respuesta es: A


Se tiene la proporción: .

Además se sabe que a + b + c = 24 108. ¿Cuál es el valor de (c − a)? A) 7 C) 9 E) 12 B) 8 D) 10 F) n. d. l. a. Solución Tenemos:

y a + b + c = 24 108

Entonces, aplicamos una de las propiedades de las proporciones:

⇒ c − a = 8

La respuesta es: B Problema 353 (3ª Ronda Regional 2008 – Problema 1)

La suma de dos números enteros positivos y diferentes es 100. Ambos números son mayores que 40 pero menores que 60.

¿Cuántos pares de números se pueden encontrar? Solución Llamamos A y B a los dos números. Entonces: A + B = 100 ; 40 < A , B < 60

37


A es el menor número que debe restarse de 1 456 para que sea divisible por 29. ¿Cuánto se obtiene al multiplicar los dígitos de A? A) 3 C) 5 E) 8 B) 4 D) 6 F) n. d. l. a.

Solución Efectuamos la división:

1 456 = 29 × 50 + 6

Como el residuo es 6, ese valor tenemos que restar del dividendo para que sea divisible exactamente por 29. Por lo tanto, A = 6 y lógicamente la suma de sus dígitos es 6 porque A tiene un solo dígito


La profesora de Lucía escribió en la pizarra la siguiente lista de números que tiene tres números desconocidos. Ella comentó a los alumnos que usó una “regla secreta” para hacer lista:

23 , 40 , 57 , A , B , 108 , 125 , C

La profesora pidió a los alumnos que determinen el valor de (A + B − C). ¿Qué valor encontró Lucía? A) 307 C) 142 E) 23

B) 165 D) 125 F) n. d. l. a. Solución Buscamos la ley de formación:

23 + 17 = 40 40 + 17 = 57 57 + 17 = 74 74 + 17 = 91

91 + 17 = 108 108 + 17 = 125 125 + 17 = 142

38

Por lo tanto:

A = 74 , B = 91 , C = 142

A + B − C = 74 + 91 − 142 = 23 La respuesta es: E


Pedro divide un número mayor que 50 000 entre 7. ¿Cuál de los siguientes residuos es posible que obtenga Pedro?

A) 15 C) 8 E) 5 B) 10 D) 7 F) n. d. l. a. Solución El valor del residuo está entre los números naturales desde el 0 hasta el 6. Recordamos que el residuo tiene que ser menor que el divisor.

La respuesta es: E Problema 126 (2ª Ronda Colegial 2008 – Problema 5)

Mirta escribe una lista con tres números enteros consecutivos en su cuaderno y luego halla la suma de todos esos números. La suma que obtiene es 111. ¿Cuál de los siguientes números puede estar en la lista de Mirta?

A) 35 C) 36 E) 44 B) 39 D) 42 F) n. d. l. a. Solución Dividimos 111 entre 3 para encontrar el número del medio:

111 ÷ 3 = 37 La lista de Mirta es:

36 , 37 , 38 La respuesta es: C


Una novela que está leyendo Martín tiene numeradas sus páginas del 1 al 81. ¿Cuántos dígitos 3 están escritos en las páginas de la novela?

A) 17 C) 19 E) 21 B) 18 D) 20 F) n. d. l. a.

195

Problema 349 (2ª Ronda Colegial 2008 – Problema 5) Carlos y cuatro de sus compañeros resuelven el problema de estadística dado por la profesora. El problema consiste en calcular la edad promedio de los cinco. Ellos encuentran como resultado 15,8 años. Pero luego, Luisa se suma al grupo y el nuevo promedio con ella es de 16 años. ¿Cuál es la edad de Luisa?

A) 13 años C) 15 años E) 17 años B) 14 años D) 16 años F) n. d. l. a. Solución La edad promedio de Carlos y sus 4 compañeros es:

= 15,8 años ⇒ S5 = 79 años

Al ser agregada Luisa, la situación es la siguiente:

= 16 años ⇒ S6 = 96 años

Entonces, la edad de Luisa es:

96 años − 79 años = 17 años La respuesta es: E


Las raíces de una ecuación de 2º grado son: y .

¿Cuál es la ecuación? A) 3 x2 + 6 x + 1 = 0 D) 9 x2 − 12 x + 1 = 0 B) 3 x2 − 6 x + 1 = 0 E) 12 x2 − 9 x + 1 = 0 C) 9 x2 + 12 x + 1 = 0 F) n. d. l. a. Solución Trabajamos con las raíces:

( ) ( ) = 0

= 0

= 0

x2 − x + = 0 ⇒ 9 x2 − 12 x + 1 = 0

La respuesta es: D

194

Llevando (2) a (1):

a = 4 (5 c + 5 a) + 4 c = 20 c + 20 a + 4 c ⇒ -19 a = 24 c Entonces:

a = - c

En (2):

b = 5 (- c) + 5 c = - + 5 c = - c

Luego:

= -


Las raíces de una ecuación de segundo grado son - y b.

¿Cuál de las siguientes puede ser la ecuación? A) 5 x2 − 3 x + 2 b = 0 D) 5 x2 + 3 x − 5 b x − 3 b = 0

B) 2 x2 + x − 5 b = 0 E) 5 x2 − 3 x + 5 b x − 5 = 0

C) 3 x2 − 3 x − b = 0 F) n. d. l. a. Solución

Como las raíces son - y b, deben responder a la igualdad:

(x + ) ( x − b) = x2 + x − b − bx = 0

5 x2 + 3 x − 3 b − 5 bx = 0

La respuesta es: D

39

Solución Contabilizamos:

De la página 1 a la 9 → 1 De la página 10 a la 19 → 1 De la página 20 a la 29 → 1 De la página 30 a la 39 → 11 De la página 40 a la 49 → 1 De la página 50 a la 59 → 1 De la página 60 a la 69 → 1 De la página 70 a la 79 → 1 De la página 80 a la 81 → 0

La cantidad total es:

1 × 7 + 11 = 18 La respuesta es: B


Si se suman las edades de Raúl y Ramona dentro de 8 años, se obtiene como resultado 41 años. ¿Cuál sería el resultado si la suma se hiciera hoy?

A) 33 años C) 28 años E) 13 años B) 30 años D) 25 años F) n. d. l. a.

Solución Llamamos X e Y a las edades actuales de Raúl y Ramona, respectivamente. Entonces tenemos:

X + 8 + Y + 8 = 41 ⇒ X + Y = 41 − 16 = 25 La respuesta es: D


Ir al cine y comprarse un helado cuesta 20 000 G. Si invito a Laura sólo al cine, gasto 30 000 G. ¿Cuánto gastaría para invitar a Laura y 3 amigos más al cine y a tomar un helado cada uno?

A) 80 000 G C) 50 000 G E) 150 000 G B) 40 000 G D) 100 000 G F) n. d. l. a.

Solución Invitar a Laura más 3 amigos y yo, hacemos 5 personas.

Entonces:

20 000 G � 5 = 100 000 G La respuesta es: D

40

Problema 130 (2ª Ronda Colegial 2008 – Problema 11) En la adición de la izquierda, X e Y representan dígitos distintos. ¿Qué valor tiene la suma (X + Y)?

A) 4 C) 7 E) 10 B) 6 D) 8 F) n. d. l. a. Solución Atendiendo a las centenas, es evidente que el valor de X es 1.

Entonces, en las decenas:

4 + Y + Y + 1 = 17 ⇒ 2 Y = 17 − 5 = 12 ⇒ Y = 6

Luego:

X+ Y = 1 + 6 = 7 La respuesta es: C


Entre los números de tres cifras distintas, X es el menor posible e Y es el mayor posible. ¿Cuál es el valor de 3 X + 2 Y?

A) 2 384 C) 2 304 E) 1 122 B) 2 367 D) 2 298 F) n. d. l. a.

Solución Los valores de X e Y son:

X = 102 ; Y = 987

Entonces:

3 X + 2 Y = 3 × 102 + 2 × 987 = 2 280 La respuesta es: F

Problema 132 (3ª Ronda Regional 2008 – Problema 1)

Cuando nació su hijo Raúl, Marta tenía 28 años y su marido 31. Hoy Raúl cumple 11 años. ¿Cuál es la suma de las edades de Raúl y sus padres?

Solución Calculamos las edades actuales de marta y su marido:

Marta: 28 + 11 → 39 años Marido: 31 + 11 → 42 años

Entonces, la suma de las edades actuales de los tres es:

39 años + 42 años + 11 años = 92 años

193


Con los dígitos a y b (a y b mantienen constantes sus valores), se escriben todos los capicúas posibles de cuatro cifras. La suma de todos los capicúas escritos es 11 110. Halar el valor de (a + b). Los capicúas no tienen los 4 dígitos iguales. (Un número capicúa es el número que se lee de igual forma de derecha a izquierda, que de izquierda a derecha, por ejemplo 15 651) A) 15 C) 13 E) 11

B) 14 D) 12 F) n. d. l. a. Solución Hay dos números que se pueden escribir:

; Entonces:

+ = 11 110 1 000 a + 100 b + 10 b + a + 1 000 b + 100 a + 10 a + b = 1 111 a + 1 111 b

1 111 (a + b) = 11 110 ⇒ a + b = 10 La respuesta es: F


Si = 4 y = 5 ; determinar .

A) 19 C) - E) -

B) –19 D) F) n. d. l. a.

Solución Tenemos:

= 4 ⇒ a = 4 b + 4 c (1)

= 5 ⇒ b = 5 c + 5 a (2)

192

41

Problema 133 (3ª Ronda Colegial 2008 – Problema 2) Carmen escribe una lista de todos los números capicúas que existen entre 700 y 1 000. La profesora de matemáticas le da como tarea encerrar en círculo los números de la lista que son múltiplos de 11. ¿Cuántos números debe encerrar en círculo Carmen? (Un número capicúa es el número que se lee de igual forma de derecha a izquierda, que de izquierda a derecha, por ejemplo 15 651)

Solución La lista de Carmen es la siguiente:

707 , 717 , 727 , 737 , 747 , 757 , 767 , 777 , 787 , 797 808 , 818, 828 , 838 , 848 , 858 , 868 , 878 , 888 , 898 909 , 919 , 929 , 939 , 949 , 959 , 969 , 979 , 989 , 999

Los múltiplos de 11 están subrayados. Vemos que son 3 números. Problema 134 (3ª Ronda Regional 2008 – Problema 5)

Un número entero de 2 008 cifras se divide entre 37. Determinar cuántos valores posibles existen para el resto de la división.

Solución Como el resto debe ser menor que el divisor, los valores posibles son:

0 , 1 , 2 , … , 36 O sea que 37 valores posibles. Problema 135 (3ª Ronda Regional 2008 – Problema 8)

Un número A se divide entre 13 y se obtiene un cociente igual a 6 y residuo 9. Si A se divide entre (2 B) se obtiene el mismo cociente pero residuo 3. Calcular el valor de B.

Solución En la primera división tenemos:

A = 13 × 6 + 9 = 87

En la segunda división:

87 = (2 B) � 6 + 3 ⇒ 84 = 12 B ⇒ B = 7

42


En la proporción 114c

84b

36a == se tiene que b + c − a = 135.

Hallar el valor de b. Solución Recordamos una propiedad de las proporciones: “En toda proporción, la suma (o resta) de los antecedentes es a la suma (o resta) de los consecuentes, como una antecedente cualquiera es a su consecuente”. Entonces:

84b

3611484acb =

−+−+

⇒ 84b

162135 = ⇒ b = 70

Problema 137 (Kanguro 2008 - Cadete – Problema 1)

¿Por cuál número puede ser reemplazado para que × = 2 × 2 × 3 × 3? A) 2 B) 3 C) 6

D) 4 E) 9 Solución Vemos que para que se cumpla la igualdad debemos agregar dos factores 2 y dos factores 3. Entonces:

La respuesta es: C Problema 138 (Kanguro 2008 - Cadete – Problema 2)

Para que la igualdad 1 + 1 ♥ 1 − 2 = 100 sea correcta, ¿por cuál de las alternativas siguientes debemos reemplazar el símbolo ♥?

A) + B) − C) × D) 1 E) 0 Solución Trabajamos con la igualdad:

1 + 1 ♥ 1 − 2 = 100 ⇒ 1 ♥ 1 = 100 + 2 − 1

1 ♥ 1 = 101 ⇒ ♥ = 0 La respuesta es: E

191

Problema 344 (Validación Kanguro 2008 - Estudiante – Problema 9) Si 8x � 9y = 41 472, (x , y son números enteros), ¿cuál es el valor de (x + y)?

A) 2 C) 4 E) 6 B) 3 D) 5 F) n. d. l. a.

Solución Tenemos: 8x � 9y = 41 472 ⇒ 8x � 9y = 29 � 34 ⇒ 23x � 32y = 29 � 34

Luego:

3 x = 9 ⇒ x = 3 ; 2 y = 4 ⇒ y = 2

3 + 2 = 5 La respuesta es: D


Si a = b2

(a ≠ 0 , b ≠ 0); ¿cuál es el equivalente de

b1

b

a1

a

+

−?

A) 2

2

b241b

+−

C) 2b2

b42

2

+−

E) 2

2

b281b

+−

B) 2a2

a42

2

+−

D)

2

2

a241a

+−

F) n. d. l. a.

Solución Tenemos:

= = =

La respuesta es: C

190


¿Qué número hay sumar a la fracción 114

, para que la fracción se

duplique?

A) 114

C) 118

E) 112

B) 2 D) 4 F) n. d. l. a. Solución Para que una cantidad se duplique, basta con sumarle la misma cantidad.

La respuesta es: A Problema 342 (Validación Kanguro 2008 - Estudiante – Problema 6)

Dada la igualdad: 3 A8 = 6, ¿cuál debe ser el menor valor de A para que la igualdad se cumpla?

A) 6 C) 216 E) 4 800 B) 36 D) 2 160 F) n. d. l. a.

Solución Tenemos:

= ⇒ A = 23 � 36 = 5 832 La respuesta es: F

Problema 343 (Validación Kanguro 2008 - Estudiante – Problema 7) Determinar la siguiente suma:

1 + 2 + 5 + 6 + … + 29 + 30 + 33 + 34 + 37 + 38

A) 280 C) 410 E) 630 B) 390 D) 520 F) n. d. l. a.

Solución La suma es:

1 + 2 + 5 + 6 + 9 + 10 + … + 29 + 30 + 33 + 34 + 37 + 38 =

3 + 11 + 19 + … + 59 + 67 + 75

La cantidad de términos en la última serie es: 75 − 3 = 72 ; 72 ÷ 8 = 9 ; 9 + 1 = 10

Entonces, tenemos 5 parejas que suman 78. Luego:

78 × 5 = 390 La respuesta es: B

43

Problema 139 (Kanguro 2008 - Cadete – Problema 6) Las tablas I y II son pequeñas tablas de multiplicación.

¿Qué número debería estar en el lugar del signo de interrogación?

A) 36 B) 42 C) 54 D) 56 E) 65

Solución

Lo primero que completamos es el 5 y el 7 porque son los factores comunes entre 35 y 30 el primero y entre 35 y 63 el segundo. Luego, ubicamos el 6 que es factor de 30 y el 9 que es factor de 63.

Por último, nos queda 6 × 9 = 54


Teresa tiene 37 bombones de chocolate. Su amiga Claudia le dice: “Si me dieras 10 de tus bombones, ambas tendríamos el mismo número de bombones”. ¿Cuántos bombones tiene Claudia?

A) 10 B) 17 C) 22 D) 27 E) 32 Solución Si Teresa de 10 de sus bombones, le quedan 27 bombones. Entonces:

27 = C + 10 ⇒ C = 17 La respuesta es: B


Lucas lanzó dos flechas al tablero de tiro al blanco. En el dibujo se observa un puntaje de 5 puntos. Si suponemos que ambas flechas siempre caen en el tablero, ¿cuántos puntajes distintos puede obtener Lucas?

A) 6 B) 9 C) 3 D) 8 E) 4

44

Solución Calculamos los puntos que se obtienen de acuerdo a las distintas posibilidades, para ver si no hay puntajes que se repiten:

2 + 2 = 4 ; 2 + 3 = 5 ; 2 + 6 = 8 3 + 3 = 6 ; 3 + 6 = 9 ; 6 + 6 = 12

La respuesta es: A Problema 142 (Kanguro 2008 - Cadete – Problema 10)

Hay 3 canciones en un CD. La primera dura 6 minutos y 25 segundos, la segunda dura 12 minutos y 25 segundos y la tercera 10 minutos y 13 segundos. ¿Cuál es la duración total de la música grabada en el CD?

A) 28 minutos y 30 segundos B) 31 minutos y 13 segundos C) 29 minutos y 3 segundos D) 31 minutos y 30 segundos E) 30 minutos y 10 segundos Solución Calculamosla suma de los tiempos:

6 min 25 seg + 12 min 25 seg + 10 min 13 seg = 28 min 63 seg Eso corresponde a:

29 min 3 seg La respuesta es: C


Gabriel es más alto que Arnaldo y más pequeño que Tomás. Ignacio es más alto que Cristian pero más pequeño que Gabriel. ¿Quién es el más alto?

A) Arnaldo B) Cristian C) Gabriel D) Ignacio E) Tomás Solución Consideramos primero la primera condición:

A < G < T

Y de acuerda a la segunda condición:

C < I < G

Comparando las dos desigualdades, vemos que el mayor de todos es Tomás.

La respuesta es: E

189


Si x + y = 0 y x ≠ 0, ¿a cuánto equivale ?

A) - 1 C) 1 E) yx

B) 0 D) 22008 Solución Tenemos:

x + y = 0 ⇒ x = -y

Entonces:

= = = (-1)2008 = 1

La respuesta es: C Problema 339 (Kanguro 2008 - Estudiante – Problema 11) Dados los siguientes siete números:

- 9 ; 0 ; - 5 ; 5 ; - 4 ; - 1 ; - 3 se toman tres parejas que tengan la misma suma. ¿Cuál es el número que queda fuera?

A) 5 C) - 3 E) - 5 B) 0 D) - 4

Solución Vemos que:

-9 + 5 = -4 ; -3 + -1 = -4 ; -4 + 0 = -4 La respuesta es: E

Problema 340 (Kanguro 2008 - Estudiante – Problema 12) Si tenemos que x2 y z3 = 73 y x y2 = 79,

¿cuál es el valor de x y z? A) 74 C) 78 E) 710

B) 76 D) 79 Solución Multiplicando las igualdades tenemos:

x3 y3 z3 = 712 ⇒ x y z = 74 La respuesta es: A

188

Problema 336 (3ª Ronda Regional 2008 – Problema 7) Se suma varias veces un número primo y se obtiene como resultado 4 290. Determinar cuáles pueden ser los valores de ese número primo.

Solución La descomposición canónica del número 4 290 es:

4 290 = 2 × 3 × 5 × 11 × 13 Eso quiere decir que podemos sumar 2 145 (3 × 5 × 11 × 13) veces el número 2. Así mismo podemos proceder con los otros valores. Los valores posibles son:

2 , 3 , 5 , 11 , 13 Problema 337 (Kanguro 2008 - Estudiante – Problema 2)

En las siguientes igualdades, las letras A , B , C , D y E representan dígitos distintos.

A + A + A = B ; C + C + C = D ; B + D = E

¿Cuál es el valor de “E”?

A) 0 C) 6 E) 9 B) 2 D) 8

Solución Observando las igualdades, tanto B como D deben ser múltiplos de 3, por lo tanto E es múltiplo de 3. El único valor posible es 9, que es la suma de 3 y 6, porque el otro múltiplo de 3 que es 6 es la suma de 3 y 3, y B ≠ D.

La respuesta es: E

45

Problema 144 (Kanguro 2008 - Cadete – Problema 14) A Juan le gusta multiplicar por 3, a Pedro le gusta sumar 2 y a Luis le gusta restar 1. Si llamamos J , P y L a las acciones de Juan, Pedro y Luis, respectivamente, ¿en qué orden deberían realizar sus acciones favoritas para convertir 3 en 14?

A) J P L B) P J L C) J L P D) L J P E) P L J

Solución Analizamos las distintas opciones:

JPL → 3 × 3 + 2 − 1 = 10 PJL → (3 + 2) × 3 − 1 = 14 JLP → 3 × 3 − 1 + 2 = 10 LJP → (3 − 1) × 3 + 2 = 8 PLJ → (3 + 2 − 1) × 3 = 12

La respuesta es: B Problema 145 (Kanguro 2008 - Cadete – Problema 16)

¿Cuántos números de dos cifras son tales que el dígito de la derecha es mayor que el de la izquierda?

A) 36 B) 18 C) 50 D) 45 E) 30 Solución Con 1 adelante:

12 , 13 , 14 , … , 19 (8 números) Así seguimos con 2 , 3 , etc., adelante: 23, 24 , … , 29 (7 números)

34 , … , 39 (6 números) 45 , … , 49 (5 números) 56 , … , 59 (4 números) 67 , … , 69 (3 números) 78 , .. , 79 (2 números)

89 (1 número)

El total de números es:

8 + 7 + 6 + … + 1 = 36 La respuesta es: A

46

Problema 146 (Kanguro 2008 - Cadete – Problema 18) Una tarde, doña Carmen recibió la visita de sus nietos y antes de que ellos llegaran había preparado algunas galletitas. Durante la visita se puso a preparar 17 galletitas más de las que había preparado antes de la llegada de sus nietos y repartió un total de 21 galletitas entre ellos. Después de la visita, a doña Carmen le sobraron 15 galletitas. ¿Cuántas galletitas había preparado doña Carmen antes de la visita de sus nietos?

A) 18 B) 19 C) 23 D) 33 E) 53

Solución Llamamos X a la cantidad de galletitas que preparó doña Carmen antes de que lleguen sus nietos.

Entonces:

X +17 = 21 + 15 ⇒ X = 19 La respuesta es: B


De todos los números abcd de cuatro cifras tales que a < b < c < d, elegimos el mayor número divisible por 6. ¿Cuál es el dígito de las centenas de este número?

A) 7 B) 6 C) 5 D) 4 E) 3

Solución Para que un número sea divisible por 6 debe serlo por 3 y por 2. O sea, debe ser par y la suma de sus dígitos debe ser múltiplo de 3. La cifra de las unidades es la mayor de todas, según dice la condición del problema. Probemos variando en primer lugar el dígito de las unidades y luego el de las decenas, centenas y unidades de mil respectivamente:

5 678 → 5 + 6 + 7 + 8 = 26 4 578 → 4 + 5 + 7 + 8 = 24

La respuesta es: C

187

Solución Entre 100 000 y 200 000 los números capicúas son de la forma:

Entonces no existe la posibilidad de que esos capicúas terminen en 5.

La respuesta es: F Problema 334 (3ª Ronda Regional 2008 – Problema 3)

Los números positivos m y n están relacionados de la siguiente forma: = n2 ; = 8 n. Hallar el valor de m.

Solución Tenemos:

= n2 ⇒ m = 4 n2 (1)

= 8 n ⇒ m = 72 n (2)

De (1) y (2):

4 n2 = 72 n ⇒ n = 18 ⇒ m = 4 � 182 = 1 296 O bien:

m = 72 n = 72 � 18 = 1 296 Problema 335 (2ª Ronda Colegial 2008 – Problema 7)

¿Por cuáles de los siguientes números es divisible la suma de siete números enteros positivos consecutivos

A) 1 C) 7 E) 1 y 7 B) 2 D) 1 y 2 F) n. d. l. a. Solución La suma es: a + a+ 1 +a + 2 + a + 3 + a + 4 + a + 5 + a + 6 = 7 a + 21 = 7 (a +3) Tenemos que 7 (a + 3) es múltiplo de 7 entonces es divisible por 7, pero también, todo número es divisible por 1.

La respuesta es: E

186

Solución Hacemos la división:

Como la división es exacta, tenemos:

M a − 88 a = 0 ⇒ M = 88 La respuesta es: E


El producto de tres números pares consecutivos es 1 680. ¿Cuál es la suma de los tres números? A) 30 C) 38 E) 48

B) 36 D) 42 F) n. d. l. a. Solución Podemos aproximar nuestro cálculo hallando la raíz cúbica de 1 680:

≅ 11,8 Como los tres números consecutivos son pares, podemos pensar que uno de ellos es 10. Entonces, los otros serían:

8 × 10 × 12 = 960 ; 10 × 12 × 14 =1 680

Y la suma buscada es:

10 + 12 + 14 = 36 La respuesta es: B


Se escribe una lista de todos los números capicúas que existen entre 100 000 y 200 000. ¿Cuál es la cantidad de números terminados en 5 que hay en la lista?

A) 10 C) 100 E) 900 B) 50 D) 500 F) n. d. l. a. (Un número capicúa es aquel que se lee igual de derecha a izquierda, que de izquierda a derecha, por ejemplo: 575 , 1 331).

47

Problema 148 (Kanguro 2008 - Cadete – Problema 28) Una florería tiene 24 rosas blancas, 42 rojas y 36 amarillas después de la venta del día. ¿Cuál es el mayor número de arreglos florales idénticos que se pueden hacer si se quieren usar todas las flores que quedaron?

A) 4 B) 6 C) 8 D) 10 E) 12 Solución Tenemos en cuenta que:

24 = 6 � 4 ; 42 = 6 � 7 ; 36 = 6 � 6

Como 6 es el máximo divisor común de los tres números, podemos formar un arreglo floral tomando cuatro flores blancas, siete flores rojas y seis flores amarillas y habrá 6 arreglos iguales.

La respuesta es: B Problema 149 (Validación Kanguro 2008 - Cadete – Problema 3) Hallar el resultado de la siguiente suma:

3 333 333 − 333 333 + 33 333 − 3 333 + 333 − 33 + 3 A) 330 330 B) 3 030 303 C) 3 000 000

D) 6 060 606 E) 6 000 000 F) n. d. l. a. Solución Efectuamos por parejas las operaciones, es decir, el 1º y el 2º, el 3º y el 4º, y así sucesivamente:

3 000 000 + 30 000 + 300 + 3 = 3 030 303 La respuesta es: B

Problema 150 (Validación Kanguro 2008 - Cadete – Problema 9) ¿Cuál es la suma de los 20 primeros números de la secuencia

1 , 2 , 2 , 3 , 4 , 4 , 5 , 6 , 6 , 7 , ...? A) 133 B) 140 C) 147

D) 154 E) 162 F) n. d. l. a. Solución La suma que buscamos es:

1 + 2 + 2 + 3 + 4 + 4 + 5 + 6 + 6 + 7 + 8 + 8 + 9 + 10 + 10 + 11 + 12 + 12 + 13 + 14

El resultado es: 147

La respuesta es: C

48


¿Qué número hay que sumar a la fracción 114

, para que la

fracción se duplique?

A) 11

4 B) 2 C)

11

8

D) 4 E) 11

2 F) n. d. l. a.

Solución Llamamos X al número que vamos a sumar:

114

+ X = 2 � 114

⇒ 114

+ X = 118

Entonces:

X = 114

114

118 =−

La respuesta es: A


¿Cuál es la mayor cantidad de capicúas de tres dígitos que se puede sumar de manera que se obtenga otro capicúa de tres dígitos? (Un número capicúa es el número que se lee de igual forma de derecha a izquierda, que de izquierda a derecha, por ejemplo 15 651)

A) 3 C) 5 E) 7 B) 4 D) 6 F) n. d. l. a. Solución Analizamos algunos casos:

101 + 121 + 131 = 343

494 + 585 = 1 079 Nos damos cuenta que si aparecen dígitos mayores, al sumar se pasa unidades al siguiente orden.

185


¿En que termina la suma de siete números enteros consecutivos, mayores que -1?

A) cualquier nº desde 0 a 9 D) en 0 ó en 2 ó en 7 B) siempre en 2 E) en 1 ó en 5 ó en 7 C) siempre en 7 F) n. d. l. a. Solución La suma es:

a + a + 1 + a + 2 + a + 3 + a + 4 + a + 5 + a +6 = 7 a + 21 Si a = 0 ⇒ 0 + 1 → 1 Si a = 1 ⇒ 7 + 1 → 8 Si a = 2 ⇒ 4 + 1 → 5 Si a = 3 ⇒ 1 + 1 → 2 Si a = 4 ⇒ 8 + 1 → 9 Si a = 5 ⇒ 5 + 1 → 6 Si a = 6 ⇒ 2 + 1 → 3 Si a = 7 ⇒ 9 + 1 → 0 Si a = 8 ⇒ 6 + 1 → 7 Si a = 9 ⇒ 3 + 1 → 4 A partir de 10 se repiten todos los valores obtenidos, entonces, el dígito de las unidades puede ser:

0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 La respuesta es: A


El polinomio 40 a3 − 63 a2 + M a − 84 es divisible por 8 a2 − 3 a + 14. ¿Cuál es el valor de M? A) 36 C) 57 E) 88

B) 42 D) 76 F) n. d. l. a.

184

• Algoritmos y propiedades de la potenciación y la radicación con números enteros y racionales en notación fraccionaria y decimal. (7.º Grado) • Algoritmo y propiedades de operaciones con números enteros y racionales, en situaciones que lo requieran. (7.º Grado) • Leyes y propiedades de la potenciación. (7.º Grado) • Radicación, concepto, características. (7.º Grado) • Ecuaciones lineales. (7.º Grado) • Ecuación lineal: Concepto. Características. Elementos: miembros, incógnita, término independiente. (7.º Grado) • Ecuaciones lineales con una incógnita de las formas: ax = b, ax + b = c, ax + b = cx + d. (7.º Grado) • Expresión algebraica. Concepto. Características. Elementos. Clasificación. (8.º Grado) • Grado de un monomio. Monomios semejantes. (8.º Grado) • Clasificación de polinomios. Grado absoluto y relativo de un polinomio. (8.º Grado) • Valor numérico de expresiones algebraicas. (8.º Grado) • Algoritmos y propiedades de las operaciones de adición, sustracción y multiplicación con expresiones algebraicas: entre monomios, entre polinomio y monomio, entre polinomios. (8.º Grado) • Algoritmo de la división con expresiones algebraicas: entre monomios, entre polinomio y monomio, entre polinomios, teorema del resto, regla de Ruffini. (8.º Grado) • Factorización de expresiones algebraicas polinómicas, en diferentes contextos. (8.º Grado) • Algoritmo de la división con expresiones algebraicas: entre monomios, entre polinomio y monomio, entre polinomios, teorema del resto, regla de Ruffini. (8.º Grado) • Algoritmo y propiedades de las operaciones con radicales con expresiones algebraicas. (9.º Grado) • Radicales semejantes. Introducción y extracción de factores de un radical. (9.º Grado) • Algoritmo de las operaciones con radicales. (9.º Grado) • Expresiones conjugadas. Racionalización de denominadores. (9.º Grado) • Ecuaciones con radicales. (9.º Grado) • Resolución analítica y gráfica de ecuaciones. (9.º Grado) • Ecuaciones de 2º grado. Reconstrucción de ecuaciones de 2º grado. (9.º Grado)

49

Entonces, probemos con dígitos bajos:

101 + 101 + … + 101 = 101 × 9 = 909

101 + 101 + … + 101 = 101 × 10 = 1 010

111 + 111 + … + 111 = 111 × 9 = 999

111 + 111 + … + 111 = 111 × 10 = 1 110 Otras combinaciones:

101 × 3 + 111 × 6 = 969

101 × 4 + 111 × 6 = 1 070 Podemos seguir haciendo pruebas y encontraremos que la mayor cantidad de capicúas es 9.

La respuesta es: F Problema 153 (1ª Ronda Colegial 2008 – Problema 6)

La mamá de Marcos siempre prepara la misma cantidad de galletitas una vez a la semana. Como Marcos es muy goloso, su mamá le dijo: “si comes 3 cada día, tendrás que esperar 3 días más hasta que las prepare de nuevo, pero si comes 2 cada día, sólo dejarás de comerlas un día”. ¿Cuántas galletitas prepara su mamá cada vez? Observación: Marcos empieza a comer el día que la madre prepara las galletitas.

A) 10 C) 14 E) 12 B) 16 D) 8 F) n. d. l. a. Solución Sea X la cantidad de galletitas que prepara la mamá y sea Y los días que Marcos come las galletitas. Entonces:

X = 3 Y − 3 � 3 ; X = 2 Y − 2 � 1

3 Y − 9 = 2 Y − 2 ⇒ Y = 7

Luego: X = 3 � 7 − 9 = 21 − 9 = 12

X = 2 � 7 − 2 = 14 − 2 = 12 La respuesta es: E

50

Problema 154 (1ª Ronda Colegial 2008 – Problema 8) Se tiene la siguiente lista de números, que se ha construido usando una estrategia secreta. Al descubrir la estrategia podremos conocer el valor de M y N.

2 , 5 , 7 , 10 , M , 15 , 17 , N , 22

¿Cuál es el valor de (M + N)? A) 25 C) 32 E) 37

B) 30 D) 35 F) n. d. l. a. Solución Determinamos la ley de formación:

2 + 3 = 5 5 + 2 = 7 7 + 3 = 10 10 + 2 = 12 12 + 3 = 15 15 + 2 = 17 17 + 3 = 20 20 + 2 = 22

Luego: M = 12 y N = 20

M + N = 12 + 20 = 32 La respuesta es: C


N es un número divisible por 2 , 3 , 5 y 7 simultáneamente. Además, 500 < N < 1 100. ¿Cuál es la cantidad de valores posibles de N?

A) 2 C) 4 E) 6 B) 3 D) 5 F) n. d. l. a. Solución El mcm de 2 , 3 , 5 y 7 es 210. Vemos que los múltiplos de 210 son:

210 × 2 = 420 210 × 3 = 630 210 × 4 = 840

210 × 5 = 1 050 210 × 6 = 1 269

183

El número y las operaciones – Expresiones algebraicas

Contenidos: • Relaciones de equivalencia y de orden. (5.º Grado) • Valor posicional, absoluto y relativo. (5.º Grado) • Algoritmo y propiedades de las cuatro operaciones fundamentales. (5.º Grado) • Números racionales positivos en notación decimal y fraccionaria. (5.º Grado) • Algoritmos y propiedades de la multiplicación y de la división de números racionales positivos en notación fraccionaria. (5.º Grado) • Números primos y compuestos. (5.º Grado) • Divisibilidad por: 2, 3, 5, 7, y 11. (5º. Grado) • Máximo común divisor (mcd). (5.º Grado) • Mínimo común múltiplo (mcm). (5.º Grado) • Divisibilidad por: 2, 3, 5, 7, y 11. (5º. Grado) • Amplificación y simplificación de fracciones. (5º. Grado) • Potencia como producto de factores idénticos. (6.º Grado) • Relaciones de equivalencias y de orden. (6º. Grado) • Notación científica. (6º. Grado) • Algoritmo y propiedades de las cuatro operaciones fundamentales. (6.º Grado) • Descomposición polinómica de un número natural utilizando potencias de diez. (6.º Grado) • Razón, razón aritmética, razón geométrica, proporción y magnitud. (6º. Grado) • Magnitudes directa e inversamente proporcionales. (6.º Grado) • Porcentaje, descuento, tanto por ciento. (6.º Grado) • Regla de tres (6.º Grado) • Algoritmo y propiedades de operaciones con números enteros y racionales. (7.º Grado) • Valor absoluto. (7.º Grado) • Potenciación: Concepto. Elementos. Características. Potencias con base entera y racional. (7.º Grado) • Potenciación: Concepto. Elementos. Características. Potencias con base entera y racional. (7.º Grado) • Leyes de potencias: multiplicación de potencias de igual base, división de potencias de igual base (ley de cancelación), potencia de una potencia, potencia con exponente cero, potencia de un producto y de un cociente, propiedad distributiva de la potenciación respecto al cociente. (7.º Grado) • Fracción generatriz de números decimales periódicos puros y mixtos. (7.º Grado) • Operaciones con y sin signos de agrupación con números enteros y racionales en notación fraccionaria y decimal. (7.º Grado)

182

Problema 329 (Validación Kanguro 2008 - Estudiante – Problema 13) En el triángulo ABC, M es el punto medio del lado BC. El área del triángulo ABM es 42. La medida de AH es 6 y la medida de HC es 15. Calcular el perímetro del triángulo ABC.

A) 24 C) 48 E) 64 B) 40 D) 52 F) n. d. l. a. Solución Como AM es mediana.

(ABM) = (AMC) = 42 ⇒ (ABC) = 84 El lado AC mide:

AC = AH + HC = 6 + 15 = 21 Luego:

84 = ⇒ BH = 8

Entonces, tenemos:

AB = = = 10

BC = = = 17 Y el perímetro del triángulo ABC es:

21 + 10 + 17 = 48 La respuesta es: C

51

Luego, los valores posibles de N son:

630 , 840 , 1 050 La respuesta es: B


El producto de dos números enteros positivos es 2 008 y la suma de esos números es 259. Hallar los dos números.

Solución Buscamos los pares de números cuyo producto es 2 008, para encontrar el par que suma 259:

1 2 008 2 1 004 4 502 8 251

Vemos que:

8 + 251 = 259

Entonces, los números buscados son:

8 y 251 Problema 157 (3ª Ronda Regional 2008 – Problema 9)

Tres hermanos, Abel, Marisa y José ahorraron juntos 223 000 G. José ahorró 12 000 G menos que Abel y 37 000 G menos que Marisa.

¿Cuántos guaraníes ahorró Marisa? Solución 1 Tenemos:

A + M + J = 223 000 G (1)

J = A − 12 000 G ⇒ A = J + 12 000 G (2)

J = M − 37 000 G ⇒ M = J + 37 000 G (3)

En (1): J + 12 000 G + J + 37 000 G + J = 223 000 G

3 J = 174 000 G ⇒ J = 58 000 G

M = 58 000 G + 37 000 G = 95 000 G

Marisa ahorró 95 000 G

52

Solución 2 Si quitamos a 223 000 G lo que ahorraron demás Abel y Marisa, tendremos que se equiparan los ahorros de los tres. Dividendo entre 3 tendremos lo que ahorró José:

12 000 G + 37 000 G = 49 000 G

223 000 G − 49 000 G = 174 000 G

174 000 G ÷ 3 = 58 000G (ahorro de José) Ahorro de Marisa:

58 000 G + 37 000 G = 95 000 G Problema 158 (4ª Ronda Final 2008 – Problema 1)

Dados los dígitos 2 , 6 , 8 , 9 ; se utilizan los que sean necesarios para escribir múltiplos de 29; con la condición de que esos múltiplos estén comprendidos entre 800 y 1 000. Determinar todos los múltiplos posibles.

Solución Comenzamos por dividir 800 entre 29 y obtenemos:

800 = 29 × 27 + 17

Al residuo 17 le falta 12 para alcanzar 29. Si sumamos 12 a 800 tendremos el primer múltiplo de 29 que viene después de 800:

800 + 12 = 812

Pero 812 no es uno de los múltiplos de 29 que buscamos. Calculamos entonces los siguientes:

812 + 29 = 841 841 + 29 = 870 870 + 29 = 899 899 + 29 = 928 928 + 29 = 957 957 + 29 = 986

986 + 29 = 1 015 Los números buscados son:

899 , 928 , 986

181

La suma de las distancias es:

S = a + b + x + b + x + x + c − x + c − x + d

S = a + 2 b + 2 c + d + x

S = (a + b + c + d) + (b + c) + x

Como los puntos A1 , A2 , A3 , A4 , A5 están fijos, las sumas dentro de los paréntesis tiene un valor constante. Entonces, para que la suma de las distancias sea mínima, x tiene que ser 0. Esto significa que P está en la ubicación de A3.

La respuesta es: A Problema 328 (Kanguro 2008 - Estudiante – Problema 27)

En la figura, ABCD es un cuadrado de lado 1 y los arcos de circunferencias tienen centro en A , B , C y D. ¿Cuál es la longitud del segmento PQ?

A) 22 − C) 25 − E) 33

B) 43

D) 13 −

Solución

El triángulo BPC es un triángulo equilátero de lado 1 puesto que BP = CP = 1 por ser radios. Por lo tanto, PM es la altura del triángulo BPC. Luego:

PM = = = =

La distancia de P a AD es la misma que de Q a BC. Entonces:

QM = 1 −

Y la distancia entre P y Q:

PQ = PM − QM = − 1 + = 2 � − 1 = − 1

La respuesta es: D

180

Llamamos a , b , c y d la distancias entre los puntos de la recta. Supongamos que P está sobre A1. Entonces:

PA2 = a PA3 = a + b PA4 = a + b + c PA5 = a + b + c + d

Llamemos S1 a la suma de esas distancias. Luego:

S1 = 4 a + 3 b + 2 c + d

Supongamos ahora que P está sobre A2:

PA1 = a PA3 = b PA4 = b + c PA5 = b + c + d

S2 = a + 3 b + 2 c + d

Evidentemente S2 < S1. Con esto se confirma lo dicho en la primera parte de la solución.

Entonces, ubicamos el punto P en el entorno de A3.

Escribimos las distancias:

PA1 = a + b + x PA2 = b + x PA3 = x PA4 = c − x PA5 = c − x + d

53

Criterios de corrección • Por calcular el primer múltiplo de 29 2 puntos • Por determinar los demás múltiplos de 29 hasta 4 puntos • Por el resultado del problema 1 punto Problema 159 (4ª Ronda Final 2008 – Problema 4)

Dos números enteros a y b forman una fracción ba

que, luego de

ser simplificada, queda 165

. Se suma 120 al numerador, pero se

desea que la razón se mantenga; para ello, se debe multiplicar al denominador por 4.

Determinar el valor de a y b. Solución Según los datos del problema, tenemos:

165

ba = (1)

Luego:

165

b4120a =+

⇒ 16 a + 1 920 = 20 b (2)

Resolvemos el sistema 16 a − 20 b = -1 920 ⇒ a = 40 , b = 128 16 a − 5 b = 0 Los números son: 40 , 128

54


• Por escribir la expresión equivalente a 165

2 puntos

• Por llegar a la ecuación (2) 1 punto • Por construir el sistema 2 puntos • Por resolver el problema 2 puntos Problema 160 (Kanguro 2008 - Cadete – Problema 20)

Una tabla contiene 21 columnas numeradas del 1 , 2 , 3 , ... , 21 y 33 filas numeradas del 1 , 2 , 3 , ... , 33. Borramos las filas cuyo número no sea múltiplo de 3 y las columnas cuyo número sea par. ¿Cuántas celdas quedan entonces después de borrar?

A) 110 B) 119 C) 242 D) 115,5 E) 121 Solución Las columnas que quedan son:

1 , 3 , 5 , 7, 9 , 11 , 13 , 15 , 17 , 19 y 21 → 11 columnas Las filas que quedan son:

3 , 6 , 9 , 12 , 15 , 18 , 21 , 24 , 27 , 30 , 33 → 11 filas La tabla que queda es 11 × 11. La cantidad de celdas es:

11 × 11 = 121 La respuesta es: E


Nora quiere colocar en los espacios 2 _ _ 8 dos dígitos de forma que el número completo sea divisible por 3. ¿Cuántas posibilidades tiene?

A) 19 B) 20 C) 29 D) 30 E) 33 Solución Como 2 + 8 = 10, los dos dígitos que se agregan deben dar en la suma múltiplos de 3. Analizamos las situaciones posibles:

179

Criterios de corrección • Por trazar en la figura los elementos que conduzcan

a la solución 1 punto

• Por hallar ∠

BCP = ∠

FBP (o alguna relación análoga) 1 punto • Por determinar que los triángulos PDC y PFD

son semejantes (y relación) 2 puntos • Por determinar que los triángulos PEC y PDB son

semejantes y relación (simetría, analogía u otro) 2 puntos • Por completar la demostración 1 punto Observación: en caso de solución parcial que puntúa en ambos criterios, se considera la mayor, no la suma. Los puntos parciales no se acumularán con ninguno de los criterios. • Por descubrir la simetría del problema 1 punto Problema 327 (Kanguro 2008 - Estudiante – Problema 26)

Se tienen cinco puntos diferentes A1 , A2 , A3 , A4 y A5, colocados en este orden en una recta no necesariamente equidistantes. Otro punto P es colocado en la misma recta de tal forma que la suma de las distancia PA1 + PA2 + PA3 + PA4 + PA5 sea mínima. ¿Cuál es el punto P?

A) A3 C) A1 B) A2 D) cualquier punto entre A2 y A4 E) cualquier punto entre A1 y A5

Solución

Vamos primeramente a demostrar que cuando más se acerca el punto P al centro de la recta, la suma de las distancias (PA1 + PA2 + PA3 + PA4 + PA5) disminuye.

178

Criterios de corrección • Por trazar en la figura los elementos que conduzcan

a la solución 1 punto

• Por hallar ∠

BCP = ∠

FBP (o alguna relación análoga) 1 punto • Por decir que los cuadriláteros son inscriptibles 1 punto • Por determinar que los triángulos PDE y PFD son

semejantes 3 puntos Si solo encuentra los ángulos iguales (DEP y FDP) , (PDE y PFD) , (FPD y DPE) hasta 2 puntos • Por completar la demostración 1 punto Solución 2 Comenzamos por trazar BP y CP.

Se tiene ∠

BCP = ∠

FBP por corresponderles el arco BP como inscripto y semi-inscripto, respectivamente.

Por tanto, los triángulos rectángulos PDC

y PFB son semejantes y PBPC

PFPD = .

Análogamente, considerando el arco CP se tiene:

∠∠= PBC PCE

Los triángulos rectángulos PEC y PBD son semejantes:

PBPC

PDPE =

Por tanto, PDPE

PFPD = ⇒ (PD)2 = PE � PF

55

12 − 10 = 2 ; 02 → 2 posibilidades

11 → 1 posibilidad

15 − 10 = 5 ; 05 → 2 posibilidades 14 → 2 posibilidades 23 → 2 posibilidades


35 → 2 posibilidades 44 → 1 posibilidad


56 → 2 posibilidades

24 − 10 = 14 ; 59 → 2 posibilidades 68 → 2 posibilidades 77 → 1 posibilidad

27 − 10 = 17 ; 89 → 2 posibilidades El total es:

3 + 6 + 9 + 8 + 5 + 2 = 33 La respuesta es: E


¿Cuál es el mayor número de dígitos que pueden ser borrados del número 200820082008 ... 2008, que tiene 1 000 dígitos, de forma que la suma de los dígitos restantes sea 2 008?

A) 260 B) 510 C) 1 061 D) 746 E) 130 Solución Primero sacamos los ceros, que son 500.

56

Me queda 250 parejas que suman 10 (2 + 8):

250 × 10 = 2 500

2 500 − 2 008 = 492

La suma de los dígitos que debo sacar es 492. Como queremos quitar la mayor cantidad de dígitos, quitaremos los más pequeños que quedan, o sea los dígitos 2:

492 ÷ 2 = 246

El mayor número de dígitos que quitamos es:



En una tienda de mascotas se sabe que el costo de dos gatos es el mismo que el de un loro y un perro juntos. El costo de tres loros es el mismo que el de un gato y un perro juntos. Y el costo de un loro, un gato y un perro es de 600 000 G. ¿Cuál es el precio, en guaraníes, de un perro?

A) 100 000 B) 200 000 C) 300 000 D) 150 000 E) 250 000 Solución Llamamos L, G y P a los precios de un loro, un gato y un perro respectivamente. Entonces tenemos:

L + G + P = 600 000 G Como el precio de un loro y un perro equivale al precio de dos gatos:

3 G = 600 000 G ⇒ G = 200 000 G Y como el precio de un gato y un perro juntos equivalen al precio de tres loros:

4 L = 600 000 G ⇒ L = 150 000 G Luego, el precio de un perro es:

600 000 G − (200 000 G + 150 0000 G) = 250 000 G La respuesta es: E

177

Además, ∠

FPB = ∠

DPC por ser

complementos de ∠

FBP = ∠

DCP , respectivamente.

Los cuadriláteros DPEC y DBFP son cuadriláteros cíclicos (inscriptibles en una circunferencia) por ser:

PD ⊥ BC , PE ⊥ AC , PF ⊥ AB

Entonces, ∠∠

= DCPDEP por subtender el mismo arco PD.

Además, ∠

DCP es el mismo ángulo que ∠

BCP , entonces ∠∠

= BCPDEP También:

∠FBP =

∠FDP (porque sustentan el mismo arco PF)

Entonces:

∠DEP =

∠DCP =

∠BCP =

∠FBP =

∠FDP

Análogamente, puede probarse que ∠

PDE =∠

PFD . (El problema es totalmente simétrico en relación a E y F). Por lo tanto, los triángulos PDE y PFD son semejantes y podemos escribir:

PDPF

PEPD =

⇒ (PD)2 = PE � PF

Con esto se completa la demostración. Observación: otra forma de probar la semejanza consiste en observar que

∠FBC =

∠ECB por ser ángulos semi-inscriptos, subtendiendo el mismo arco.

Luego ∠

FPD = ∠

DPE por ser los suplementarios respectivos. Así, los triángulos PDE y PFD son semejantes.

176

Calculamos a partir del área (DEC):

(DEC) = 2EM · 6

2

5 2 · 4 = ⇒ EM = 5 34

Entonces, considerando el triángulo DNE tenemos:

NE = ( )2

25

34

- 5 2

=

980

- 20 = 9

100 =

310

EF = 2 NE = 3

20

Criterios de corrección • Por hacer trazados auxiliares que conduzcan a la solución 1 punto • Por hallar DE 1 punto • Por hallar EM (b) 2 puntos • Por hallar NE 2 puntos • Por llegar al resultado 1 punto Problema 326 (4ª Ronda Final 2008 – Problema 4)

En el dibujo tenemos una circunferencia y dos tangentes AB y AC, siendo B y C los puntos de tangencia. P es un punto ubicado sobre la circunferencia. Desde P se trazan PD , PE y PF perpendiculares a BC, AC y AB respectivamente. Demostrar que (PD)2 = PE � PF

Solución 1 Comenzamos por trazar PB , FD , PC y DE.

Se tiene ∠

BCP = ∠

FBP por corresponderles el arco BP como inscripto y semi-inscripto, respectivamente.

57

Problema 164 (Validación Kanguro 2008 - Cadete – Problema 10) María suma el mayor número de tres cifras múltiplo de 11 con el menor número de tres cifras múltiplo de 11. Blas suma el mayor número de tres cifras múltiplo de 5 con el menor número de tres cifras múltiplo de 5. ¿Cuál es la diferencia entre las sumas de María y Blas?

A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 10 F) n. d. l. a.

Solución Buscamos los números de María:

999 = 11 � 90 + 9 ; 100 = 11 �9 + 1 Entonces, los números de María son:

11 � 90 = 990 y 11 � 10 = 110 Y la suma:

990 + 110 = 1 100 Hacemos lo mismo con los números de Blas:

999 = 5 � 199 + 4 ; 100 = 5 � 20

5 � 199 = 995 ; 995 + 100 = 1 095 Y la diferencia:

1 100 − 1 095 = 5 La respuesta es: F


Dani construye la siguiente secuencia de figuras, utilizando cuadraditos iguales.

58

¿Cuántos cuadraditos usará Dani para construir la 24ª figura? A) 507 C) 576 E) 626 B) 553 D) 601 F) n. d. l. a. Solución Mirando la disposición de los cuadritos en las figuras y tratando de expresar en función de los cuadraditos que hay en la base tenemos:

Figura 1 → 1 cuadradito → 1 � 0 + 1 Figura 2 → 3 cuadraditos → 2 � 1 + 1 Figura 3 → 7 cuadraditos → 3 � 2 + 1 Figura 4 → 13 cuadraditos → 4 � 3 + 1

Generalizando:

Figura n → n � (n − 1) + 1 Entonces:

Figura 24 → 24 � 23 + 1 = 553 La respuesta es: B


Dentro del círculo se puede escribir un dígito que cumpla las condiciones dadas. ¿Cuál es la suma de todos los dígitos que pueden escribirse dentro del círculo?

A) 23 C) 27 E) 32 B) 26 D) 30 F) n. d. l. a.

Solución De acuerdo a las condiciones del problema, dentro del círculo podemos escribir:

1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 La suma es:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28 La respuesta es: F

175

Solución 1 Como D es punto medio, DC = 6.

Trazamos EM perpendicular a DC y DN perpendicular a EF.

Los triángulos rectángulos DEC , EMC y DME son semejantes entre sí por tener sus ángulos iguales.

En el triángulo DEC tenemos:

DE = 1636 − = 2 5

Considerando los triángulos DEC y EMC tenemos:

b4

5 2

6 = ⇒ b = 5 34

Como EF ║ BC y DN ⊥ EF, por la simetría de la figura, ya que el triángulo ABC es isósceles, N es punto medio de EF y también DN = b por ser segmento de paralelas entre paralelas. Entonces, considerando el triángulo DNE tenemos:

NE = ( )2

25

34

- 5 2

=

980

- 20 = 9

100 =

310

EF = 2 NE = 3

20

Solución 2 Como D es punto medio, DC = 6.

Trazamos EM perpendicular a DC y DN perpendicular a EF.

En el triángulo DEC tenemos:

DE = 1636 − = 2 5

174

Esto equivale al volumen de todas las esferas juntas. Luego:

150 VESFERA = 200 π cm3 ⇒ VESFERA = π cm3

= π cm3 ⇒ r3 = 1 cm3 ⇒ r = 1 cm


En el cuadrilátero ABCD de la figura, M es un punto ubicado sobre el segmento AB. La diferencia entre los ángulo a y b es: a − b = 45º. Determinar la relación que existe entre los lados AB y BC.

Solución

En la figura vemos que el ángulo BDC mide 45º, porque esa es la diferencia entre los ángulos a y b.

Entonces: = 90º − 45º = 45º

Luego ABCD es un cuadrado. Por lo tanto:

AB = BC Problema 325 (4ª Ronda Final 2008 – Problema 3)

En un triángulo isósceles ABC, AB = AC , BC = 12. D es el punto medio de BC. Por D se traza una perpendicular al lado AC, que lo corta en el punto E. Sea F un punto del lado AB tal que EF ║ BC. Si EC = 4, determinar la medida del segmento EF.

59

Los datos y la Estadística

Problemas para el Aula Contenidos: • Tablas de frecuencia (absoluta y relativa). (5.º Grado) • Gráficos de línea (5.º Grado) • Frecuencia absoluta, relativa y porcentual. (6.º Grado) • Tablas de frecuencia (6.º Grado) • Gráfico circular (6.º Grado) • Datos no agrupados, moda (7.º Grado) Problema 167

En el mes de abril de 2012, se registraron los siguientes datos de lluvia caída:

5 de abril → 3 mm 8 de abril → 1 mm 9 de abril → 20 mm 10 de abril → 3 mm 13 de abril → 22 mm 19 de abril → 49 mm 20 de abril → 23 mm 25 de abril → 80 mm 27 de abril → 2 mm 28 de abril → 2 mm 31 de abril → 85 mm

Construir un polígono de frecuencia.

60

Solución La gráfica es: Problema 168 En el colegio de Tere se elige una muestra de 60 estudiantes para hacer una encuesta acerca de lo pesos de cada uno, y se obtienen los siguientes datos en kilogramos:

34 , 35 , 33 , 33 , 30 , 35 , 31 , 29 , 38 , 36 41 , 40 , 40 , 42 , 47 , 41 , 44 , 42 , 38 , 39 33 , 32 , 32 , 32 , 29 , 36 , 36 , 31 , 31 , 32 47 , 38 , 38 , 41 , 42 , 38 , 38 , 38 , 30 , 30 48 , 35 , 35 , 34 , 34 , 34 , 32 , 32 , 31 , 31 32 , 40 , 40 , 42 , 42 , 42 , 29 , 29 , 29 , 38

¿Cuál es la diferencia entre la dos mayores frecuencias absolutas? A) 1 C) 3 E) 5 B) 2 D) 4 F) n. d. l. a.

173

Problema 322 (3ª Ronda Regional 2008 – Problema 4) Pepe y Mariela construyen paralelepípedos rectángulos con cubos unitarios, en los cuales el ancho y la altura son iguales. En la figura se puede ver un paralelepípedo 2 × 1 × 1 de volumen 2.

El paralelepípedo de Pepe es de volumen 12 y el de Mariela de volumen 36, ambos con el mismo ancho y altura (pero diferentes de 1). ¿Cuál es la diferencia entre las áreas laterales de los paralelepípedos construidos por Mariela y Pepe? Solución

En la figura se muestran los dos paralelepípedos que se construyeron según los datos del problema.

Calculamos las áreas laterales: Pepe → 2 (2 × 2) + 2 (3 × 2) = 20 Mariela → 2 (2 × 2) + 2 (9 × 2) = 44 La diferencia entre ambos valores es:

44 − 20 = 24 Problema 323 (3ª Ronda Regional 2008 – Problema 8)

Un recipiente cilíndrico tiene por base un círculo de 20 cm de diámetro y contiene agua hasta cierta altura. Se agregan 150 pequeñas esferas iguales de metal y el agua en el cilindro sube 2 cm.

Calcular el radio de una de las esferas de metal. Solución La variación del volumen del agua en el cilindro es:

∆V = π � (10 cm)2 � 2 cm = 200 π cm3

172

El área del triángulo ADE es:

(ADE) = = 96 cm2

Y el área del cuadrilátero EBFD es:

576 cm2 − 144 cm2 − 96 cm2 = 336 cm2 La respuesta es: D


En un triángulo ABC, AB = BC. La mediana AM mide 7,5 cm y el lado AC mide 8 cm. Calcular la medida de la altura BH.

Solución

Como el triángulo es isósceles la altura es al mismo tiempo mediana, mediatriz y bisectriz.

Entonces, el punto E es la intersección de dos medianas. Estas se cortan en un punto que está a un tercio del lado y dos tercios del vértice.

Luego:

AE = 5 cm ; EM = 2,5 cm El lado AC mide 8 cm y H es su punto medio, entonces:

AH = 4 cm Consideramos el triángulo AEH, rectángulo en H y tenemos:

(AE)2 = (AH)2 + (HE)2

(5 cm)2 = (4 cm)2 + (HE)2 ⇒ (HE)2 = 25 cm2 − 16 cm2 = 9 cm2 Entonces:

HE = 3 cm Pero BH también es mediana, luego:

BH = 3 EH = 3 � 3 cm = 9 cm

61

Solución Construimos la tabla de frecuencias:

Peso En kg

Conteo o tarja Frecuencia absoluta

29 5

30 3

31 5

32 7

33 3

34 4

35 4

36 3

38 8

39 1

40 4

41 3

42 6

44 1

47 2

48 1 La diferencia es:

8 − 7 = 1 La respuesta es: A

Problema 169

La tabla muestra las frecuencias absolutas de las calificaciones de matemática, en el curso de David, incluido él:


1 3 2 7 3 8 4 6 5 4

62

¿Cuántos compañeros tiene David? A) 25 C) 27 E) 29

B) 26 D) 28 F) n. d. l. a. Solución La cantidad de compañeros de David es:

3 + 7 + 8 + 6 + 4 – 1 = 28 – 1 = 27 La respuesta es: C

Problema 170

La profe de Raúl dio a sus alumnos 30 problemas para resolver. Analizando los resultados de 3 alumnos la profe encontró lo siguiente. La frecuencia relativa de los problemas resueltos es:

Raúl → ; Luis → ; María →

¿Cuántos problemas más que María resolvió Luis? A) 25 C) 7 E) 8

B) 5 D) 18 F) n. d. l. a. Solución De una tabla de frecuencias relativas conseguimos los siguientes datos:

Estudiantes Frecuencia

relativa Problemas resueltos

Raúl

× 30 = 20

Luis

× 30 = 25

María

× 30 = 18

Luis resolvió 25 problemas y María 18 problemas. Entonces:

25 − 18 = 7 La respuesta es: C

171

Problema 319 (2ª Ronda Colegial 2008 – Problema 8) Un paralelepípedo rectángulo está formado por caras que miden 70 cm2 , 50 cm2 , 35 cm2. ¿Cuál es el volumen del paralelepípedo?

A) 135 cm3 C) 250 cm3 E) 700 cm3 B) 155 cm3 D) 350 cm3 F) n. d. l. a. Solución

Llamamos a , b y c a las dimensiones del paralelepípedo. Entonces, el área de las caras es: a b = 70 cm2 ; b c = 50 cm2 ; a c = 35 cm2

Multiplicando las tres igualdades anteriores entre si resulta:

a2 � b2 � c2 = 122 500 cm6 ⇒ a � b � c = 350 cm3


En el cuadrado ABCD, EB = 2 AE y F es el punto medio de BC. El área de la superficie pintada es 144 cm2. ¿Cuánto mide la superficie EBFD?


Llamamos “a” al lado del cuadrado. Entonces, en la superficie sombreada tenemos:

= 144 cm2

a2 = 576 cm2 ⇒ a = 24 cm

170

Entonces, tenemos: ⇒ = 2 ⇒ BF = 6

Luego:

FC = BC − BF = 12 − 6 = 6 La respuesta es: B

Problema 318 (2ª Ronda Colegial 2008 – Problema 6) En un triángulo ABC, AB = BC. Se trazan la mediana AM y la altura BH, que se cortan en el punto P. El área del cuadrilátero HPMC es 28 cm2. Hallar el área APB.


Como el triángulo ABC es isósceles, la altura BH es también mediatriz, bisectriz y mediana.

Entonces tenemos trazadas dos medianas: AM y BH.

Recordemos que la mediana divide a un triángulo en dos triángulos de igual área y que las 3 medianas dividen a un triángulo en 6 triángulos de áreas iguales.

Luego

(AMB) = (AMC) y (PMB) = (APH)

(APB) + (PMB) = (APH) + (HPMC)

(APB) = (HPMC) = 28 cm2 La respuesta es: C

63

Problema 171 En tres grados del colegio de Julia se tomaron los datos que se registran en las tablas:

Construir una tabla de frecuencia relativa para los tres grados juntos.

Solución

Color del cabello

Frecuencia relativa

Rubio

Negro

Castaño ó

Problema 172

Las calificaciones de Ciencias Naturales en un 5º grado se muestran en el siguiente gráfico lineal: Construir un gráfico circular.

64

Solución Calculamos el ángulo central que corresponde a cada nota: Nota 1: ⇒ x = 72º Nota 2: ⇒ x = 60º Nota 3: ⇒ x = 72º Nota 4: ⇒ x = 96º Nota 5: ⇒ x = 60º El gráfico circular es:

169


En el trapecio isósceles de la figura, las diagonales se cortan en el punto P. El lado DC mide 25 y la distancia de P al lado DC es 6. ¿Cuál es la relación entre las áreas de los triángulos BPC y ABP?

A) 3 : 1 C) 5 : 5 E) 2 : 5 B) 3 : 2 D) 2 : 3 F) n. d. l. a. Solución Escribimos la razón que queremos calcular: Tenemos:

( )( ) 2

34

410

24

24

210

=−=⋅

⋅−⋅

=AB

ABAB

ABP

BPC


En el cuadrado ABCD, DE = 2 BE. El perímetro del cuadrado es 48. Se prolonga AE hasta que corta a BC en el punto F.

El área del triángulo BEF es 12. ¿Cuál es la medida de FC? A) 4 C) 7 E) 9 B) 6 D) 8 F) n. d. l. a. Solución

Podemos ver que hay ángulos que son iguales en la figura.

Además hemos llamado 2 x al segmento DE y x al segmento EB (DE = 2 EM). Los triángulos ADE y BEF son semejantes por tener sus ángulos iguales dos a dos.

168

Problema 314 (Validación Kanguro 2008 - Estudiante – Problema 8) En la circunferencia de la figura el diámetro es 12. M es el punto medio del radio correspondiente.

Hallar el área de la superficie sombreada. A) 3 C) 9 E) 27

B) 3 3 D) 9 3 F) n. d. l. a. Solución

El área sombreada es un rectángulo. Buscamos el lado desconocido:

a = = = = 3 Entonces, el área es:

3 × 3 = 9 La respuesta es: D


El cuadrado de la figura tiene sus lados divididos en los segmentos a y b y la medida de su superficie es S. ¿Cuál es el área del cuadrilátero inscripto en el cuadrado?

A) S − 2 ab D) S − a B) S − 4 ab E) S − 2 a C) S − ab F) n. d. l. a. Solución Al área S del cuadrado debemos restar cuatro veces el área de los triángulos de catetos a y b. Entonces:

S − 4 � = S − 2 ab

La respuesta es: A

65

Problema 173 En una ciudad pequeña se aplica una encuesta para averiguar la cantidad de habitaciones que tiene cada una de las casas. El resultado obtenido de la encuesta se muestra en la siguiente tabla:

Cantidad de habitaciones Cantidad de casas

1 100 2 130 3 90 4 70 5 10

¿Cuántas habitaciones más tienen las casas cuya frecuencia relativa porcentual es 17,5 % que la que tiene como frecuencia 25 %?

A) 1 C) 3 E) 5 B) 2 D) 4 F) n. d. l. a.

Solución La cantidad de casas en la población es:

100 + 130 + 90 + 70 + 10 = 400 La frecuencia relativa porcentual es: Casas con 1 habitación → = → 25 %

Casas con 2 habitaciones → = → 32,5 %




Entonces, la diferencia es:

4 − 1 = 3 La respuesta es: C

66

Problema 174 Se hace una encuesta para conocer la edad de los alumnos de un 6º grado. Los resultados se presentan en un gráfico circular en donde se ve que a los 4 alumnos que tienen 12 años le corresponde un sector circular de 48º. ¿Cuántos alumnos tiene el grado?

A) 27 C) 30 E) 48 B) 28 D) 32 F) n. d. l. a.

Solución Planteamos la regla de 3: ⇒ x = 30

La respuesta es: C Problema 175

En la granja de Elena producen lechuga, naranja, mandarina y locote. El porcentaje de producción de cada producto es:

Producto Porcentaje de la producción en (%)

Lechuga 32 Naranja 34

Mandarina 22 Locote 12

¿Cuál es la diferencia de los valores de los ángulos centrales correspondientes a la naranja y el locote, en un gráfico circular?

Solución Calculamos los ángulos centrales de los sectores circulares correspondientes: ⇒ 122,4º ⇒ 43,2º Y la diferencia es: 122,4º − 43,2º = 79,2º

167

Solución El área del rectángulo es:

16 × 12 = 192 La diagonal AC es:

AC = = = 20 El área del triángulo ADC es:

192 ÷ 2 = 96 Entonces:

96 = ⇒ x = 9,6

La respuesta es: E Problema 313 (Validación Kanguro 2008 - Estudiante – Problema 5)

La arista del cubo de la figura es 10. El cubo se interseca con un plano como está indicado. ¿Cuál es el área de la superficie que resulta de la intersección entre el plano y el cubo?

A) 10 D) 100 2

B) 10 2 E) 200 C) 100 F) n. d. l. a. Solución El área de la superficie es AB � AC.

Calculamos AB: AB = = = 10 Entonces, el área de la superficie es:

10 � 10 = 100 La respuesta es: D

166

Problema 311 (Kanguro 2008 - Estudiante – Problema 18) La figura muestra un triángulo isósceles con AB = AC. Si PQ es perpendicular a AB, la medida del ángulo BPC es 120º y la medida del ángulo ABP es 50º. ¿Cuál es la medida del ángulo PBC?

A) 10º C) 15º E) 20º B) 5º D) 5º

Solución Como el triángulo PQB es rectángulo, tenemos:

= 90º − 50º = 40º Luego:

= 180º − (120º + 40º) = 20º El triángulo QAP es también rectángulo, por lo tanto:

= 90º − 20º = 70º El triángulo ABC es isósceles, con AB = AC. Eso implica:

= = 55º

Y el ángulo que debemos calcular:

= 55º − 50º = 5º La respuesta es: B


ABCD es un rectángulo. ¿Cuál es la medida de x?

A) 48 D) 10,5 B) 24,4 E) 9,6 C) 12,2 F) n. d. l. a.

67

Problema 176 Según los datos de las últimas encuestas, en la población económicamente activa, el 40 % son mujeres. En un gráfico circular, ¿cuántos grados corresponden a los varones?

Solución El porcentaje correspondiente a los varones es:

100 % − 40 % = 60 % Planteamos la regla de 3: ⇒ 216º

68

165

Problema 309 (Kanguro 2008 - Estudiante – Problema 7) ¿Cuál es la longitud del segmento AB si los cuadrados de la figura son de lado 1?

A) 5 C) 52 +

B) 13 D) 5 E) Ninguna de las a nteriores Solución

El segmento AB es la hipotenusa de un triángulo rectángulo de catetos 2 y 3. Entonces:

AB = = =

La respuesta es: B Problema 310 (Kanguro 2008 - Estudiante – Problema 14)

En un triángulo isósceles ABC (CA = CB), el punto D está marcado en el lado AB de forma que AD = AC y DB = DC como se muestra en la figura. ¿Cuál es la medida del ángulo ACB?

A) 10º C) 104º E) 98º B) 108º D) 100º Solución

En la figura hemos ubicado los nombres de los ángulos, teniendo en cuenta que los triángulos ACD y CDB son isósceles. Entonces tenemos:

2 a + b = 180º

2 b + 180º − a = 180º ⇒ 2 b = a

2 � 2 b + b = 180º ⇒ 5 b = 180º ⇒ b = 36º ⇒ a = 72º

Luego:

= a + b = 72º + 36º = 108º La respuesta es: B

164

Problema 307 (3ª Ronda Regional 2008 – Problema 6) En un triángulo ABC, recto en B, M es el punto medio del lado AC. Si el área del triángulo ABC es 240 cm2, determinar el área del triángulo CMB.

Solución Tenemos el área del triángulo ABC:

(ABC) = = 240 cm2

2 ab = 240 cm2 ⇒ ab = 120 cm2 El área que buscamos es:

(CMB) = = ab = 120 cm2


Un cuadrado tiene inscripta una circunferencia. La diagonal del

cuadrado mide 20 2 . ¿Cuánto mide la circunferencia? A) 20 π C) 10 π E) 5 π

B) 20 2 π D) 10 2 π F) n. d. l. a. Solución

Como la diagonal del cuadrado es 20 , tenemos que la mitad de la misma es 10 . Teniendo en cuenta que el radio es perpendicular a la tangente de la circunferencia en el punto de tangencia, tenemos un triángulo rectángulo. Entonces:

r2 + r2 = (10 )2 ⇒ 2 r2 = 200 ⇒ r2 = 100

r = 10

Entonces, la circunferencia mide:

2 π r = 20 π La respuesta es: A

69

Miscelánea

Problema 177 (1.ª Ronda Colegial 2008 – Problema 5)

Los lados de un rectángulo son números enteros múltiplos de 3 y menores que 15. ¿Cuántos rectángulos cumplen la condición del problema?

A) 4 C) 6 E) 10 B) 5 D) 8 F) n. d. l. a. Solución Los múltiplos de 3, mayores que 0 y menores que 15 son:

3 , 6 , 9 , 12 Los rectángulos posibles son:

3 × 3 ; 3 × 6 ; 3 × 9 ; 3 × 12 ; 6 × 6 6 × 9 ; 6 × 12 ; 9 × 9 ; 9 × 12 ; 12 × 12

La respuesta es: E Problema 178 (2ª Ronda Colegial 2008 – Problema 13)

Micaela efectúa la suma de varios números utilizando una calculadora. Al llegar al resultado descubre que en algún momento en vez de sumar 1 235, sumó 1 532. Para llegar al resultado correcto a partir del número que aparece en la calculadora, ¿qué tiene que hacer Micaela?

A) sumar 235 C) sumar 297 E) restar 532 B) restar 235 D) restar 297 F) n. d. l. a. Solución Micaela sumó un número mayor que el que correspondía, entonces el resultado que obtuvo es mayor que el resultado correcto. Entonces, ella tiene que sacar del resultado que muestra la calculadora la diferencia entre el número equivocado y el número correcto. O sea:

1 532 − 1 235 = 297 La respuesta es: D

70

Problema 179 (3ª Ronda Regional 2008 – Problema 6) En un triángulo ABC, el área es 126 cm2, la altura BH mide 12 cm y el lado AB 17 cm. Calcular el perímetro del triángulo ABC si las medidas de los lados del triángulo son números impares consecutivos.

Solución Tenemos:

126 cm2 = 2

ACcm12 ⋅ ⇒ AC = 21 cm

Entonces: AB = 17 cm y AC = 21 cm Como los lados del triángulo son números impares consecutivos, la medida del lado BC es:

BC = 19 cm Y el perímetro del triángulo:

17 cm + 19 cm + 21 cm = 57 cm Problema 180 (4ª Ronda Final 2008 – Problema 2)

Un edificio muy alto tiene 2 008 pisos, sin contar con la planta baja. De la planta baja (se puede considerar como piso 0), salen 5 ascensores:

El ascensor A para en todos los pisos. El ascensor B para en los pisos múltiplos de 5. El ascensor C para en los pisos múltiplos de 7. El ascensor D para en los pisos múltiplos de 17. El ascensor E para en los pisos múltiplos de 23.

1º) ¿Existe algún piso en el cual paren todos los ascensores, aparte de la planta baja?

2º) Determinar todos los pisos en los cuales paren al menos 4

ascensores.

163

Problema 305 (2ª Ronda Colegial 2008 – Problema 13) En un triángulo ABC, AB = BC. El ángulo formado por las bisectrices de los ángulos adyacentes correspondientes al vértice C es el triple del ángulo correspondiente al vértice B. ¿Cuál es la medida del ángulo BAC? A) 75º C) 50º E) 30º B) 60º D) 45º F) n. d. l. a.

Solución

Los ángulos formados por el bisectriz interior y exterior son complementarios. Entonces: a + b =90º

También:

a + b = 3 ⇒ 90º = 3 ⇒ = 30º Y el ángulo buscado es:

= = 75º

La respuesta es: A Problema 306 (2ª Ronda Colegial 2008 – Problema 14)

En el cuadrado ABCD, E es el punto medio del

lado AB. La medida de EC es 5 . ¿Cuál es el área del cuadrado ABCD?

A) 1 C) 2 5 E) 4

B) 2 D) 3 5 F) n. d. l. a. Solución Aplicamos el Teorema de Pitágoras:

(2 x)2 + x2 = ( )2 ⇒ 4 x2 + x2 = 5 ⇒ 5 x2 = 5

Entonces:

x2 = 1 ⇒ x = 1

y el área del cuadrado es:

(2 x)2 = 22 = 4 La respuesta es: E

162

Problema 303 (2ª Ronda Colegial 2008 – Problema 10) Al contar la cantidad total de aristas que tiene una pirámide, Carmen encuentra 2 008 aristas. ¿Cuántos lados tiene el polígono de la base de la pirámide?

A) 4 016 lados C) 1 004 lados E) 502 lados B) 2 008 lados D) 806 lados F) n. d. l. a. Solución

Vemos en los dos ejemplos que la mitad del número total de aristas son los otros elementos tenidos en cuenta. Esto se va a cumplir si seguimos analizando los casos siguientes.

Entonces, si Carmen encontró que el número de lados del polígono de base es la mitad de la cantidad total de aristas, en la pirámide del problema hay 1 004 lados en la base y 1 004 aristas laterales.


En el hexágono regular de la figura, cada uno de los lados mide 6. ¿Cuál es el área sombreada?

A) 36 C) 12 E) 9 B) 18 D) 48 F) n. d. l. a. Solución

Los dos triángulos destacados en la figura tienen iguales sus áreas por tener la misma altura e iguales sus bases.

Entonces, el área de la parte sombreada es:

+ = 18

La respuesta es: B

71

Solución Como 5 , 7 , 17 y 23 son números primos, para que todos los ascensores paren en un mismo piso, el piso debe ser múltiplo de:

5 × 7 × 17 × 23 = 13 685 Como el edificio tiene solamente 2 008 pisos, no existe ningún piso en el cual paren todos los ascensores. Respuesta 1: NO Como A para en todos los pisos, A necesariamente parará en todos los pisos en que paran los demás ascensores. Calculamos las posibilidades para los otros tres: • B , C y D paran en los pisos múltiplos de 5 × 7 × 17 = 595 ( además de

1 190 y 1785) • B , C y E paran en los pisos múltiplos de 5 × 7 × 23 = 805 (además de

1 610) • B , D y E paran en los pisos múltiplos de 5 × 17 × 23 = 1 955 • C , D y E paran en los pisos múltiplos de 7 × 17 × 23 = 2 737

(imposible) Respuesta 2: Entonces, los pisos donde paran al menos 4 ascensores son:

595 , 805 , 1 190 , 1 610 , 1 785 , 1 955

Criterios de corrección • Por demostrar que no hay piso en que paren los 5 ascensores 2 puntos • Por encontrar pisos en que paren al menos 4 ascensores hasta 2 puntos • Por descubrir que también paran en otros hasta 2 puntos • Por escribir el resultado completo 1 punto • En caso que encuentre las seis opciones correctas, pero propone soluciones incorrectas restar 2 puntos

72

Problema 181 (Kanguro 2008 - Cadete – Problema 3) ¿Cuáles de las siguientes figuras son las que más se repiten en la siguiente secuencia?

A) sólo la cruz B) sólo el triángulo C) sólo el cuadrado D) el triángulo y la cruz E) todas las figuras se repiten por igual Solución La secuencia nos muestra cruz , triángulo , cuadrado; excepto en la última parte donde falta un cuadrado.

La respuesta es: D Problema 182 (Kanguro 2008 - Cadete – Problema 4)

Rosa tiene cinco cajas que contienen algunas cartas marcadas con las letras A , B , C , D y E, como se muestra en la figura. Ella quiere eliminar cartas de las cajas de manera que, al final, cada caja contenga una sola carta y que ningún par de cajas contenga cartas marcadas con la misma letra. ¿Qué letra tendrá la carta que quedará en la caja 5?

A) A B) C C) E D) B E) D Solución Como la caja 4 tiene solo una carta (E), esa se queda; entonces, en la caja 1 hay que sacar la E y se queda la B. Como en la caja 1 quedo la B, en la caja 3 queda la A. En la caja 2 queda la D. Luego, en la caja 5 queda la C.

La respuesta es: B

161


En un triángulo ABC se traza la altura AH. Se cumple que AB es una de las medianas del triángulo AHC. ¿Cuál es el valor correspondiente a (AC)2 − (AB)2?

A) (AC)2 C) 3 (AC)2 E) 2 (AC)2 B) (BC)2 D) 3 (BC)2 F) n. d. l. a. Solución

El triángulo AHC es rectángulo en H, luego:

(AC)2 = (AH)2 + (2 BC)2 (AC)2 = (AH)2 + 4 (BC)2 (1) (AB)2 = (AH)2 + (BC)2 (2) Restando (2) de (1) tenemos: (AC)2 − (AB)2 = 3 (BC)2


En un triángulo ABC, ∠A = 80º ,

∠B = 60º . Se trazan las bisectrices

de los ángulos A y B que se cortan en un punto E, interior del triángulo. Se prolonga AE hasta cortar al lado BC en el punto F. ¿Cuál es la medida del ángulo BFE?

A) 50º C) 80º E) 105º B) 70º D) 90º F) n. d. l. a. Solución En el triángulo AEB: = 180º − 40º − 30º = 110º En el triángulo BEF: = 180º − 110º = 70º = 180º − 30º − 70º = 80º

La respuesta es: C

160

73

Problema 183 (Kanguro 2008 - Cadete – Problema 5) Raquel marcó un punto en una hoja de papel (no en el borde, sino en el interior de la hoja). Después, dibuja cuatro líneas rectas no superpuestas que pasan por el punto. ¿En cuántas secciones dividen a la hoja las líneas dibujadas?

A) 12 B) 8 C) 6 D) 5 E) 4 Solución

El dibujo nos muestra la situación planteada en el problema.

La respuesta es: B


Las figuras representan banderas coloreadas sólo con blanco y negro. ¿Cuántas de estas banderas satisfacen la condición de que la región pintada de negro cubre exactamente tres quintas partes de la bandera?

A) 1 B) 3 C) 0 D) 2 E) 4

74

Solución


Un cubo tiene 12 aristas. Al cubo de la figura se le han cortado todas sus esquinas, como se muestra en la figura. ¿Cuántos bordes resultan al hacer dichos cortes?

A) 36 B) 30 C) 26 D) 48 E) 40

Solución El cubo tiene 12 aristas. Con eso ya tenemos 12 bordes.

En total tenemos 8 esquinas, una de las cuales se puede ver en la figura. Después del corte con cada esquina se agregan 3 bordes.

Entonces, en total:

12 + 8 × 3 = 36 La respuesta es: A

159

• Cuerpos poliedros. Concepto. Clasificación (regular e irregular). (9.º Grado) • Cubo, prisma, pirámide. Concepto. Características. Elementos. Desarrolla plano de la superficie. (9.º Grado) • Cuerpos redondos. Concepto. Elementos. Características. (9.º Grado) • Cilindro, cono, esfera. Concepto. Características. Elementos. Desarrollo plano de la superficie. (9.º Grado)

158

• Triángulo rectángulo: características, hipotenusa y catetos. (7.º Grado) • Cuadriláteros. Concepto. Elementos. Propiedades básicas. (7.º Grado) • Clases de cuadriláteros: cuadrado, rectángulo, trapecios, rombo, paralelogramo. Características particulares de cada uno. (7.º Grado) • Polígono. Concepto. Elementos. Clasificación según el número de lados. Diagonal de un polígono. Polígono regular. (7.º Grado) • Elementos notables de un triángulo: altura, mediana, mediatriz, bisectriz. Puntos de intersección de los elementos notables (ortocentro, baricentro, circuncentro, incentro). (7º. Grado) • Teorema de Pitágoras. (7.º Grado) • Axiomas, postulados y teoremas sobre: el punto y la recta, el punto y el plano, dos puntos, la recta y el plano, intersección de dos planos, suma de ángulos internos de un triángulo, medidas de ángulos externos de un triángulo, congruencia de ángulos de un triángulo equilátero. (7.º Grado) • Clases de triángulos según sus lados (isósceles, equilátero, escaleno) y según sus ángulos (rectángulo, oblicuángulo). (7.º Grado) • Elementos notables en un triángulo: altura, mediana, mediatriz, bisectriz. Puntos de intersección de los elementos notables (ortocentro, baricentro, circuncentro, incentro). (7.º Grado) • Circunferencia. Concepto. Características. Arco, cuerda, recta tangente y recta secante. Posiciones de la recta y la circunferencia, y de dos circunferencias. (8.º Grado) • Congruencia de triángulos, postulados. (8.º Grado) • Figuras semejantes. Concepto. Lados homólogos proporcionales y ángulos congruentes. (8.º Grado) • Criterios de semejanza de triángulos. (8.º Grado) • Teorema de Thales. Segmentos correspondientes proporcionales. (8º Grado) • Simetrías, traslaciones y rotaciones en el plano. (8.º Grado) • Simetría de figuras con respecto a una recta (axial) y con respecto a un punto (central). (8.º Grado) • Homotecia. Figuras homotéticas. Propiedades. (8.º Grado) • Circunferencia. Concepto, características. Arco, cuerda, recta tangente y recta secante. Posiciones de la recta y de la circunferencia, y de dos circunferencias. (8.º Grado) • Paralelismo y perpendicularidad entre planos, entre rectas y planos. Plano secante. (9.º Grado) • Ángulo diedro. Concepto. Elementos: arista, caras. (9.º Grado) • Ángulo poliedro. Concepto. Clasificación: diedro, triedro. (9.º Grado)

75

Problema 186 (Kanguro 2008 - Cadete – Problema 13) Graciela hizo la figura que se muestra en el gráfico. ¿Cuál de las siguientes figuras de abajo (cuando se ve desde cualquier lado) no se puede lograr al mover un único cubo?

Solución Numeramos los cubos de la figura inicial. La figura A se obtiene moviendo el cubo 1 sobre el 5. La figura B se obtiene moviendo el cubo 1 sobre el otro costado del cubo 2. La figura D se obtiene moviendo el cubo 1 sobre el cubo 2. La figura E se obtiene moviendo el cubo 1 al lado del cubo 3.


Tres amigos viven en la misma calle: un médico, un ingeniero y un músico. Estos amigos se llaman Eduardo, Roberto y Santiago. El médico no tiene hermanos ni hermanas. Él es el más joven de los tres amigos. Santiago es más viejo que el ingeniero y está casado con la hermana de Eduardo. Los nombres del médico, del ingeniero y del músico son, respectivamente:

A) Eduardo, Roberto y Santiago B) Santiago, Eduardo y Roberto C) Roberto, Santiago y Eduardo D) Roberto, Eduardo y Santiago E) Eduardo, Santiago y Roberto

Solución Analizamos los datos del problema. Con respecto a las edades:

Médico < que los otros ⇒ Médico < Ingeniero < Santiago

76

Por lo tanto, Santiago es el Músico. Santiago está casado con la hermana de Eduardo. Por lo tanto, Eduardo no puede ser el médico. Entonces, el Médico es Roberto. Luego, el Ingeniero es Eduardo.


Kangu sólo hace saltos de 1 ó 3 metros. Él quiere avanzar 10 metros, sin retroceder ni una vez. ¿Cuántas formas tiene Kangu para hacerlo? (Se consideran como formas diferentes 1 + 3 + 3 + 3 y 3 + 3 + 3 + 1, por ejemplo)

A) 28 B) 34 C) 35 D) 55 E) 56 Solución Veamos las posibilidades que tenemos: Con 3 saltos de 3 m: 3 , 3 , 3 , 1 El 1 en las posiciones 4 , 3 , 2 , 1 → 4 posibilidades Con 2 saltos de 3 m: 3 , 3 , 1 , 1 , 1 , 1 Los dos 3 en las posiciones: 1 , 2 − 1 , 3 − 1 , 4 − 1 , 5 − 1 , 6 − 2 , 3 − 2 , 4 − 2 , 5 − 2 , 6 − 3 , 4 − 3 ,

5 − 3 , 6 − 4 , 5 − 4 , 6 − 5 , 6 → 15 posibilidades Con 1 salto de 3 m: 3 , 1 , 1 , 1 , 1 , 1, 1 El 1 en las posiciones 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 → 8 posibilidades Sin saltos de 3 m:

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 → 1 posibilidad En total:

4 + 15 + 8 + 1 = 28 La respuesta es: A

157

La geometría y la medida Contenidos: • Puntos simétricos con relación a un segmento. (5.º Grado) • Clasificación de las figuras geométricas según sus simetrías. (5.º Grado) • Número de ejes de simetría del: triángulo, cuadrado, rectángulo, trapecio, paralelogramo, pentágono, exágono, octógono. (5.º Grado) • Perímetro de polígonos regulares e irregulares. (5.º Grado) • Longitud de la circunferencia. (5.º Grado) • Unidades de medida de superficie. (5.º Grado) • Unidades de medidas agrarias: hectárea, área, centiárea. (5.º Grado) • Área de figuras geométricas planas y del círculo. (5.º Grado) • Área de polígonos regulares e irregulares y círculos. (6.º Grado) • Relación entre el perímetro y el área de una figura en función a las medidas de sus lados. (6.º Grado) • Ángulo, clasificación (recto, agudo, obtuso y llano). (6.º Grado) • Ángulos complementarios y suplementarios. (6.º Grado) • Rectas paralelas, perpendiculares y oblicuas. (6.º Grado) • Simetría, figuras simétricas mediante giro o traslación. (6.º Grado) • Características y regularidades de cuerpos geométricos (cubo, prisma, cilindro) (6.º Grado) • Área lateral y área total de cuerpos geométricos (cubo, prisma, cilindro). (6º. Grado) • Relaciones de equivalencias entre múltiplos y submúltiplos de las unidades de medidas de capacidad. (6.º Grado) • Volumen: concepto, relaciones de equivalencias entre múltiplos y submúltiplos de las unidades de medidas de volumen. (6.º Grado) • Relaciones de equivalencias entre las unidades de medidas de volumen, capacidad y peso. (6.º Grado) • Volumen de cuerpos geométricos (cubo, prisma, cilindro). (6.º Grado) • Características y regularidades de cuerpos geométricos (cubo, prisma, cilindro) (6.º Grado) • Ángulo. Concepto. Elementos: vértice, lados. (7.º Grado) • Bisectriz de un ángulo. (7.º Grado) • Clasificación de ángulos: agudo, recto, obtuso, llano, nulo. (7.º Grado) • Ángulos complementarios, suplementarios y adyacentes. Complemento y suplementos de un ángulo. (7.º Grado) • Triángulo. Concepto. Elementos. Características. (7.º Grado)

156

77

Problema 189 (Kanguro 2008 - Cadete – Problema 25) Un niño siempre dice la verdad los jueves y los viernes y siempre miente los martes. En los demás días de la semana no sabemos cuándo miente o dice la verdad. En siete días consecutivos, se le preguntó su nombre y él contestó los primeros seis días en este orden: Juan, Pedro, Juan, Pedro, Luis, Pedro. ¿Qué respondió el séptimo día?

A) Juan B) Pedro C) Luis D) Silvia E) Otra respuesta

Solución Si dice Juan un jueves, también tiene que decir Juan el viernes. Entonces, un viernes dice Juan. Vemos si esto corresponde a lo planteado en el problema:

Jueves Viernes Juan Sábado Pedro

Domingo Juan Lunes Pedro Martes Luis

Miércoles Pedro Vemos que el martes dice una mentira. Entonces, el séptimo día que es un jueves deberá decir la verdad, o sea Juan.


Un grupo de personas quiere visitar cuatro islas A , B , C , D en barco. Existen barcos que hacen el servicio entre tierra firme y las islas A , B y C. Hay un barco que lo hace entre las islas A y B. También a C se puede llegar desde A y viceversa. Existe, además, un barco que traslada entre las islas A y D. ¿Cuál es el mínimo número de viajes, en barco, que se deben hacer para visitar las cuatro islas partiendo desde tierra firme?

A) 5 B) 7 C) 4 D) 6 E) 8

78

Solución Consideramos uno de los posibles itinerarios, tratando de que la cantidad de viajes sea la menor posible:

De Tierra Firme a B De B a A De A a D De D a A De A a C

De esta forma hemos recorrido las cuatro islas, haciendo 5 viajes.


Luisa y Juan juegan a las adivinanzas. Para ello, colocan siete hojas de papel en una mesa y escriben los números del 1 al 7 en cada hoja (exactamente uno en cada hoja). Voltean las hojas de manera que no se vean los números y las desordenan. Al azar, Juan toma tres hojas y Luisa toma dos quedando dos en la mesa sin voltear ni ver. Después de ver sus hojas, Juan le dice a Luisa: “Yo sé que la suma de los números que tienes en tus hojas es un número par”. ¿Cuál es la suma de los números de las hojas que tiene Juan?

A) 6 B) 9 C) 10 D) 12 E) 15 Solución De los números del 1 al 7 tenemos 4 números impares y 3 pares. Como Juan tiene tres números, estos deben ser los tres pares. De lo contrario no podría asegurar de que la suma de los números de Luisa sea par. Entonces:

2 + 4 + 6 = 12 La respuesta es: D

155

NIVEL 3 1º, 2º y 3º Año

154

79


Las operaciones y se comportan de la siguiente manera:

A B C = A � B + (A + C) − (B − C)

Determinar el valor de: 8 6 3

A) 50 B) 52 C) 54

D) 55 E) 60 F) n. d. l. a. Solución De acuerdo a las características establecidas tenemos:

8 � 6 + (8 + 3) − (6 − 3) = 56 La respuesta es: F



A) 18 B) 15 C) 13 D) 10 E) 8 F) n. d. l. a.

Solución Veamos las características de los rectángulos que podemos tener:

1) 1 × 1 → 1 cuadrado 2) 1 × 2 → 2 cuadrados 3) 1 × 3 → 3 cuadrados 4) 1 × 4 → 4 cuadrados 5) 2 × 2 → 4 cuadrados 6) 1 × 5 → 5 cuadrados 7) 1 × 6 → 6 cuadrados 8) 2 × 3 → 6 cuadrados 9) 1 × 7 → 7 cuadrados 10) 1 × 8 → 8 cuadrados 11) 2 × 4 → 8 cuadrados 12) 1 × 9 → 9 cuadrados 13) 3 × 3 → 9 cuadrados 14) 1 × 10 → 10 cuadrados 15) 1 × 11 → 11 cuadrados

80

Total de cuadrados:

1 + 2 + 3 + 4 + 4 + 5 + 6 + 6 + 7 + 8 + + 8 + 9 + 9 + 10 +11 = 93 Como hasta aquí ya usamos 93 cuadrados, sobran 7 con lo cual podríamos armar uno de 1 × 7 pero que estaría repetido.

La respuesta es: B Problema 194 (Validación Kanguro 2008 - Cadete – Problema 6)

En un trozo de un mapa del tesoro se observan 5 ciudades antiguas. Todas las ciudades están unidas entre sí por caminos menos las ciudades B y E. ¿De cuantas maneras puedes ir desde la ciudad A hasta la ciudad B, pasando por todas las ciudades y sin repetir ningún tramo?

A) 4 C) 6 E) 8 B) 5 D) 7 F) n. d. l. a. Solución Escribimos los caminos que encontramos:

A D E C B

A C E D B

A E D C B

A E C D B La respuesta es: A

153

Problema 293 (Kanguro 2008 - Junior – Problema 16) El día de hoy, Carmen puede decir: “Dentro de dos años, mi hijo Carlos tendrá el doble de la edad que tenía hace dos años. Y, dentro de tres años, mi hija Sara tendrá tres veces la edad que tenía hace tres años”. Con base en la información anterior, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?

A) Carlos y Sara tienen la misma edad B) Sara tiene un año más que Carlos C) Carlos tiene un año más que Sara D) Sara tiene dos años más que Carlos E) Carlos tiene dos años más que Sara

Solución Construimos las dos tablas:

Hoy Hace

2 años

Dentro de 2 años

Hoy Hace

3 años

Dentro de 3 años

Carlos X X − 2 X + 2 Sara Y Y − 3 Y + 3 Entonces:

X + 2 = 2 (X − 2) ⇒ X + 2 = 2 X − 4 ⇒ x = 6

Y + 3 = 3 (Y − 3) ⇒ Y + 3 = 3 Y − 9 ⇒ Y = 6 La respuesta es: A

152

Solución Al punto D llega:

1 − =

Al punto E llega:

� =

Al punto B llega:

− =

La respuesta es: D Problema 292 (Kanguro 2008 - Junior – Problema 11)

Una de las caras de un cubo es cortada en sus diagonales como se muestra en la figura. ¿Cuáles de las siguientes configuraciones no es posible?

A) 1 y 3 C) 2 y 4 E) 3 y 5 B) 1 y 5 D) 3 y 4

Solución En la figura 3 falta una pestaña en el cuadrado del medio en sentido horizontal y en la figura 5 falta una pestaña en el último cuadrado en sentido horizontal.

La respuesta es: E

81

NIVEL 2 8.º y 9.º Grado

82

151

A) 2431 C) 2143 E) 3214 B) 4213 D) 2134

Solución

Indicamos el punto de partida en cada caso, y con una flecha el punto del recorrido donde se tomó cada foto.

Podemos ver que primero se tomó la foto 2, en segundo lugar la foto 1, luego la 4 y por último la 3.

La respuesta es: C Problema 291 (Kanguro 2008 - Junior – Problema 9)

Como se ve en la figura, un río comienza en el punto A, y a cierta distancia la corriente se separa en dos. Uno de los cauces se lleva 1/3 de la corriente, y el segundo cauce se lleva el resto. Este segundo cauce se vuelve a dividir en dos, un cauce se lleva las 3/4 partes de la corriente y el otro cauce se lleva el resto. ¿Qué fracción de la corriente principal original llega al punto B?

A) 41

C) 1211

E) No se puede determinar

B) 32

D)

61

150

Vemos que la cantidad de fichas en cada rectángulo es el producto de dos números enteros consecutivos. Si logramos descubrir el primer número, tenemos resuelto el problema. Podemos considerar:

2 ≅ 1 (considerando la parte entera)

6 ≅ 2 ; 12 ≅ 3 ; 20 ≅ 4

Ya sabemos cómo hallar el primer número. Como 0082 ≅ 44, el primer

número de la disposición rectangular será 45. Entonces:

45 × 46 = 2 070 El año es 2 070 y los años que faltan son:

2 070 − 2 008 → 62 años


• Por establecer algunas disposiciones rectangulares hasta 2 puntos • Por descubrir y establecer disposiciones rectangulares convenientes 3 puntos • Por descubrir que la disposición rectangular corresponde al producto de dos números enteros consecutivos 2 puntos • Por descubrir cómo hallar uno de los dos números 1 punto • Por hallar el resultado 1 punto Problema 290 (Kanguro 2008 - Junior – Problema 6)

Beatriz dio vuelta a un parque, como el que se muestra en la figura, partiendo del punto indicado en la dirección dada. Ella tomó las cuatro fotos (indicadas con los números 1 , 2 , 3 y 4 en la figura) durante su caminata. ¿En qué orden fueron tomadas las fotos?

83

La geometría y la medida Contenidos: • Puntos simétricos con relación a un segmento. (5.º Grado) • Clasificación de las figuras geométricas según sus simetrías. (5.º Grado) • Número de ejes de simetría del: triángulo, cuadrado, rectángulo,

trapecio, paralelogramo, pentágono, exágono, octógono. (5.º Grado) • Perímetro de polígonos regulares e irregulares. (5.º Grado) • Longitud de la circunferencia. (5.º Grado) • Unidades de medida de superficie. (5.º Grado) • Unidades de medidas agrarias: hectárea, área, centiárea. (5.º Grado) • Área de figuras geométricas planas y del círculo. (5.º Grado) • Área de polígonos regulares e irregulares y círculos. (6.º Grado) • Relación entre el perímetro y el área de una figura en función a las

medidas de sus lados. (6.º Grado) • Ángulo, clasificación (recto, agudo, obtuso y llano). (6.º Grado) • Ángulos complementarios y suplementarios. (6.º Grado) • Rectas paralelas, perpendiculares y oblicuas. (6.º Grado) • Simetría, figuras simétricas mediante giro o traslación. (6.º Grado) • Características y regularidades de cuerpos geométricos. (6.º Grado) • Área lateral y área total de cuerpos geométricos (cubo, prisma,

cilindro). (6.º Grado) • Relaciones de equivalencias entre múltiplos y submúltiplos de las

unidades de medidas de capacidad. (6.º Grado) • Volumen: concepto, relaciones de equivalencias entre múltiplos y

submúltiplos de las unidades de medidas de volumen. (6.º Grado) • Relaciones de equivalencias entre las unidades de medidas de volumen,

capacidad y peso. (6.º Grado) • Volumen de cuerpos geométricos (cubo, prisma, cilindro). (6.º Grado) • Bisectriz de un ángulo. (7.º Grado) • Clasificación de ángulos: agudo, recto, obtuso, llano, nulo. (7.º Grado) • Ángulos complementarios, suplementarios y adyacentes. Complemento

y suplementos de un ángulo. (7.º Grado) • Cuadriláteros. Concepto. Elementos. Propiedades básicas. (7.º Grado) • Clases de cuadriláteros: cuadrado, rectángulo, trapecios, rombo,

paralelogramo. Características particulares de cada uno. (7.º Grado) • Polígono. Concepto. Elementos. Clasificación según el número de lados.

Diagonal de un polígono. Polígono regular. (7.º Grado)

84

• Elementos notables de un triángulo: altura, mediana, mediatriz, bisectriz. Puntos de intersección de los elementos notables (ortocentro, baricentro, circuncentro, incentro). (7.º Grado)

• Teorema de Pitágoras. (7.º Grado) • Axiomas, postulados y teoremas sobre: el punto y la recta, el punto y el

plano, dos puntos, la recta y el plano, intersección de dos planos, suma de ángulos internos de un triángulo, medidas de ángulos externos de un triángulo, congruencia de ángulos de un triángulo equilátero. (7.º Grado)

• Clases de triángulos según sus lados (isósceles, equilátero, escaleno) y según sus ángulos (rectángulo, oblicuángulo). (7.º Grado)

• Elementos notables en un triángulo: altura, mediana, mediatriz, bisectriz. Puntos de intersección de los elementos notables (ortocentro, baricentro, circuncentro, incentro). (7.º Grado)

• Circunferencia. Concepto. Características. Arco, cuerda, recta tangente y recta secante. Posiciones de la recta y la circunferencia, y de dos circunferencias. (8.º Grado)

• Cuerpos poliedros. Concepto. Clasificación (regular e irregular). (9.º Grado)

• Cubo, prisma, pirámide. Concepto. Características. Elementos. Desarrollo plano de la superficie. (9.º Grado)

149

Con 10 → 2 (1 por 10 , 2 por 5) Contamos la cantidad de cuadrados usados hasta aquí:

1 + 2 + 3 + 8 + 5 + 12 + 7 + 16 + 18 + 20 = 92 La respuesta es: B

Problema 289 (4ª Ronda Final 2008 – Problema 5)

La siguiente disposición de fichas circulares origina los “números triangulares”.

Utilizando el doble de fichas que corresponden a un determinado número triangular, podemos armar un rectángulo, como se indica en el gráfico de abajo.

A partir del año 2 008, ¿cuántos años faltan para que la cantidad de fichas en una disposición rectangular como la anterior coincida, por primera vez, con el número del año?

Solución Analizamos lo que pasa con los primeros números triangulares, eligiendo una disposición rectangular que nos pueda servir:

148

Problema 287(Validación Kanguro 2008 - Junior – Problema 4) Dani construye la siguiente secuencia de figuras, utilizando cuadraditos iguales. ¿Cuántos cuadraditos usará Dani para construir la 24ª figura?

A) 507 D) 601 B) 553 E) 626 C) 576 E) n. d. l. a. Solución Vamos a descubrir el patrón seguido por Dani:

Figura 1 → 1 = 1 � 0 + 1 Figura 2 → 3 = 2 � 1 + 1 Figura 3 → 7 = 3 � 2 + 1 Figura 4 → 13 = 4 � 3 + 1

Figura n → n (n − 1) + 1

Entonces:

Figura 24 → 24 � 23 + 1 = 553 La respuesta es: B

Problema 288 (Validación Kanguro 2008 - Junior – Problema 9)


A) 18 C) 13 E) 8 B) 15 D) 10 F) n. d. l. a.

Solución Hacemos una lista con la cantidad de cuadrados que se utilizan:

Con 1 → 1 Con 2 → 1 Con 3 → 1 Con 4 → 2 (1 por 4, 2 por 2) Con 5 → 1 Con 6 → 2 (1 por 6, 2 por 3) Con 7 → 1 Con 8 → 2 (1 por 8, 2 por 4) Con 9 → 2 (1 por 9, 3 por 3)

85


En un triángulo ABC, se traza la altura AH. Se cumple que el lado AB es una de las medianas del triángulo AHC. ¿Cuál de las siguientes opciones corresponde al triángulo ABC?

A) Equilátero C) Acutángulo E) A y D son correctas B) Rectángulo D) Obtusángulo F) n. d. l. a. Solución

Si AB es mediana, B tiene que estar entre H y C. Esta situación se muestra en la figura. Entonces:

º90ABC >∠

La respuesta es: D


La longitud de una circunferencia C es 10 π cm. Hallar la longitud correspondiente a una circunferencia cuya área es 4 veces mayor que la de C.

Solución Calculamos el radio de la circunferencia:

10 π cm = 2 π r ⇒ 5 cm El área del círculo correspondiente es:

A = π (5 cm)2 = 25 π cm2 ; 4 A = 100 π cm2 = π (10 cm)2 Entonces, el radio del otro círculo es 10 cm. Y la longitud de la circunferencia correspondiente:

2 π � 10 cm = 20 ππππ cm

86

Problema 203 (2ª Ronda Colegial 2008 – Problema 6) Se tiene un punto M en el interior de un ángulo de 39º. Desde M se trazan perpendiculares a los lados del ángulo. ¿Cuál es la medida del ángulo mayor formado por esas perpendiculares? A) 141º C) 189º E) 238º B) 178º D) 219º F) n. d. l. a.

Solución Considerándole cuadrilátero BAMC tenemos:

39º + 90º + 90º + ∠

AMC = 360º

∠

AMC = 141º La respuesta es: A


En un triángulo ABC, el área es 126 cm2, la altura BH mide 12 cm y el segmento HC mide 5 cm. Calcular el perímetro del triángulo ABC.

Solución Consideramos el área del triángulo:

126 cm2 = 2

cm12AC ⋅ ⇒ AC = 21 cm

Luego: AH = 21 cm − 5 cm = 16 cm

BC = ( ) ( )22 cm5cm12 + = 13 cm

AB = ( ) ( )22 cm16cm12 + = 20 cm

Y el perímetro del triángulo ABC es:

20 cm + 13 cm + 21 cm = 54 cm

147

Problema 286 (Kanguro 2008 - Junior – Problema 30) Cuatro dados idénticos se arreglan en una fila como se muestra en la figura. Los dados pueden no ser estándares, es decir, la suma de sus caras opuestas podría no ser necesariamente 7.

¿Cuál es la suma total de los puntos de las seis caras que se tocan de los dados de la figura?

A) 23 C) 19 E) 20 B) 21 D) 22

Solución

Los dados no son convencionales pero son todos iguales. Eso quiere decir que cada uno de ellos tiene en las caras opuestas los mismos números distribuidos de la misma forma.

Podemos ver que el 3 no puede tener en la cara opuesta:

2 , 4 , 1 , 6 Entonces el 3 y el 5 son opuestos. El 1 no puede en la cara opuesta:

2 , 3 , 5 , 6 Entonces el 1 y el 4 son opuestos. También son opuestos el 2 y 6. En el dibujo están los posibles números de las caras que se tocan. Hay dos posibilidades:

5 , 1 , 4 , 6 , 2 , 2 → suma: 20

3 , 4 , 1 , 2 , 6 , 2 → suma: 18 La respuesta es: E

146

Problema 284 (Kanguro 2008 - Junior – Problema 28) Los puntos A , B , C y D se encuentran marcados en una recta en cualquier orden. Se sabe que AB = 13 , BC = 11 , CD = 14 y DA = 12. ¿Cuál es la distancia entre los puntos extremos o más apartados?

A) 14 C) 38 E) Otra respuesta B) 25 D) 50

Solución

El gráfico muestra la disposición posible de los puntos. Entonces:

12 + 13 = 25

14 + 11 = 25 La respuesta es: B

Problema 285 (Kanguro 2008 - Junior – Problema 29)

En un grupo de compañeros de clase, las chicas representan más de un 45 % del grupo pero menos del 50 %. ¿Cuál es el mínimo número posible de chicas en el grupo?

A) 3 C) 5 E) 7 B) 4 D) 6

Solución Según los datos del problema:

V + M = T (V: varones, M: mujeres)

45 % < M < 50 % ⇒ 4,5 < M < 5 ; 5 < V < 5,5 Si hay 5 chicas, los varones serán 6 y el total es 11, con lo cual se cumplen las condiciones del problema. También podrían haber 10 , 15 , 20 , … chicas y 12 , 16 , 22 , … varones y se cumplirían los porcentajes que tenemos como datos.

La respuesta es: C

87

Problema 205 (Kanguro 2008 - Junior – Problema 7) El triángulo y el cuadrado que se muestran en la figura tienen el mismo perímetro. ¿Cuál es el perímetro de toda la figura (o sea, del pentágono) en centímetros?

A) 12 D) 28 B) 24 E) 32 C) Depende de las medidas del triángulo Solución El perímetro del cuadrado es: 4 � 4 cm = 16 cm Entonces, el perímetro del triángulo es: 4 cm + a + b = 16 cm ⇒ a + b = 12 cm Y el perímetro del pentágono:

4 cm + 4 cm + 4 cm + 12 cm = 24 cm La respuesta es: B


Tres rectas se intersecan en un punto. Dos de los ángulos así formados se muestran en la figura. ¿Cuántos grados mide el ángulo gris?

A) 52 C) 54 E) 56 B) 53 D) 55 Solución

Recordamos que los ángulos opuestos por el vértice son iguales y que la suma de los ángulos formados alrededor de un punto y a un mismo lado de la recta es 180º. Entonces:

88

108º + b = 180º

b = 72º Por otro lado:

a + b = 124º ⇒ a = 52º La respuesta es: A


En la figura se puede ver un pentágono regular ABCDE, cuyo centro es O.

El área del cuadrilátero ABCO es 26 cm2. ¿Cuál es el área del pentágono? A) 82 cm2 D) 65 cm2 B) 80 cm2 E) 52 cm2 C) 78 cm2 F) n. d. l. a. Solución

El segmento BO divide al cuadrilátero ABCO en dos partes iguales. Entonces:

(AOB) = (BOC) = 26 cm2 ÷ 2 = 13 cm2

Y el área del pentágono es: 13 cm2 � 5 = 65 cm2

La respuesta es: D Problema 208 (Validación Kanguro 2008 - Junior – Problema 11)

ABCD es un rectángulo. ¿Cuál es la medida de x?

A) 48 D) 10,5 B) 24,4 E) 9,6 C) 12,2 F) n. d. l. a.

145

Solución Hemos señalado con A , B , C, … las casillas que se van llenando, queriendo indicar un cierto orden de llenado, aunque algunas se llenan casi simultáneamente y con alguna pequeña diferencia de orden. Primero ubicamos 2 en el casilla A por el 2 que tenemos en el resultado, luego el 5 en la B y la C para que obtener el 6 en el producto y simultáneamente el 4 en la casilla D. Así hemos seguido el orden indicado.

Entonces:

5 + 6 + 5 + 0 + 0 = 16 La respuesta es: A


Rafael tiene 10 cartas, con exactamente los números 3 , 8 , 13 , 18 , 23 , 28 , 33 , 48 , 53 , 68 escritos en ellas. ¿Cuál es el menor número de cartas que puede elegir Rafael para que la suma de las escogidas sea 100?

A) 2 C) 4 E) Es imposible de hacer B) 3 D) 5 Solución Podemos usar 3 cartas terminadas en 8 y dos terminadas en 3, de modo que 24 + 6 termine en 0. La otra posibilidad de usar 5 cartas terminadas en 8, que también daría una suma terminada en 0, daría una suma mayor que 100. Los números son:

8 + 13 + 18 + 33 + 28 = 100 La respuesta es: D

144

En la posición x:

B + C + A + 5 = 22 ⇒ A = 22 − (B + C) − 5 = 22 − 10 − 5 = 7 (3) Llevando (3) a (1):

B + D = 13 − 7 = 6 La respuesta es: C

Problema 281 (Kanguro 2008 - Junior – Problema 25) Seis números enteros son marcados en la recta real (ver figura).

Si se sabe que al menos dos de ellos son divisibles por 3 y al menos dos de ellos son divisibles por 5, ¿cuáles números son divisibles por 15? A) A y F C) C y D E) Sólo uno de ellos B) B y E D) Los seis números

Solución La única posibilidad para que hayan al menos dos números divisibles por 3 y dos por 5 es que A sea múltiplo de 3 y de 5. En este caso B, E y F serían divisibles por 3 y C, D y F por 5. Luego son divisibles por 15 A y F.

La respuesta es: A Problema 282 (Kanguro 2008 - Junior – Problema 26)

En la figura, cada cuadradito puede representar cualquier dígito. ¿Cuál es la suma de los dígitos del producto?

A) 16 D) 30 B) 20 E) Otra respuesta

C) 26

89

Solución El área del triángulo ADC es:

(ADC) = = 96

La diagonal AC mide:

AC = = = 20 Entonces:

(ADC) = 96 = ⇒ x = 9,6

La respuesta es: E Problema 209 (Validación Kanguro 2008 - Junior – Problema 12)

La arista del cubo de la figura es 10. El cubo se interseca con un plano como está indicado. ¿Cuál es el área de la superficie que resulta de la intersección entre el plano y el cubo?

A) 10 C) 100 E) 200

B) 10 2 D) 100 2 F) n. d. l. a. Solución La diagonal de una de las caras es:

= = = 10 Entonces, las dimensiones del rectángulo que está sombreado en la figura son:

10 , 10 Y el área de intersección entre el cubo y el plano es:

10 × 10 = 100 La respuesta es: D

90

143

Problema 280 (Kanguro 2008 - Junior – Problema 24) Un conjunto de ocho triángulos equiláteros pueden ser unidos para formar un octaedro regular. Para construir un octaedro mágico, se reemplazan las letras A , B , C , D y E con los números 2 , 4 , 6 , 7 y 8 (sin repetición) de forma que la suma de los cuatro números de las cuatro caras que comparten vértices tengan siempre la misma suma.

¿Cuál es la suma B + D en el octaedro mágico? A) 8 C) 6 E) 10

B) 9 D) 7 Solución

Llamamos A y D a las caras del frente; C y 9 a las caras del costado derecho; C y 3 a las caras de atrás; 5 y E a las caras del costado izquierdo. Los vértices donde se encuentran 4 caras, deben ser opuestos, y están en las posiciones x , y , z.

La suma de todos los números es:

2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 44 Y como 44 se debe repartir entre los vértices opuestos, en cada vértice la suma es:

44 ÷ 2 = 22

Entonces tenemos:

En la posición z:

A + B + 9 + D = 22 ⇒ B + D = 22 − 9 − A = 13 − A (1) En la posición y:

B + 9 + C + 3 = 22 ⇒ B + C = 22 − 9 − 3 = 10 (2)

142

Problema 279 (Kanguro 2008 - Junior – Problema 22) Un niño siempre dice la verdad los jueves y los viernes y siempre miente los martes. En los demás días de la semana no sabemos cuándo miente o dice la verdad. En siete días consecutivos, se le preguntó su nombre y él contestó los primeros seis días en este orden: Juan, Pedro, Juan, Pedro, Luis, Pedro. ¿Qué respondió el séptimo día?

A) Juan C) Luis E) Otra respuesta B) Pedro D) Silvia

Solución Como en la secuencia de 6 días no hay dos nombres repetidos, el jueves y el viernes no pueden estar simultáneamente en los 6 días. Luego, el viernes debe ser el primer día y en jueves el séptimo: o bien el jueves puede ser el sexto día y el viernes el séptimo. Veamos la primera posibilidad:

Viernes → Juan Sábado → Pedro Domingo → Juan Lunes → Pedro Martes → Luis Miércoles → Pedro

El séptimo día → Juan La segunda posibilidad, vamos a ver que es imposible:

Sábado → Juan Domingo → Pedro Lunes → Juan Martes → Pedro Miércoles → Luis

Jueves → Pedro (contradice al martes)

La respuesta es: A

91


En el trapecio isósceles de la figura, las diagonales se cortan en el punto P. El lado DC mide 25 y la distancia de P al lado DC es 6. Hallar la relación entre las áreas de los triángulos ABC y ABP.

A) 3 : 1 C) 5 : 2 E) 2 : 5 B) 3 : 2 D) 2 : 3 F) n. d. l. a. Solución Tenemos:

( )( ) 2

54

10

24AB

210AB

ABPABC ==⋅

⋅

=


ABCD es un rectángulo y AED es un triángulo equilátero. ¿En qué porcentaje aumenta el perímetro de la figura ABCDE cuando se agrega el cuadrado de línea de puntos?

A) 16 % C) 30 % E) 50 % B) 25 % D) 40 % F) n. d. l. a. Solución El perímetro de la figura ABCDE es:

8 + 20 + 8 + 20 + 8 = 64 Al agregar el cuadrado que está en línea de puntos, el nuevo perímetro es:

8 + 20 + 8 + 20 + 8 + 8 + 8 = 80

92

Y entonces: ⇒ x = 125 %


En un triángulo ABC, la mediana BM tiene la misma medida que el

lado AB y ∠

ABM = 60º. ¿Cuál es la medida del ángulo ABC? A) 45º C) 75º E) 90º B) 50º D) 80º F) n. d. l. a. Solución

Como BM y AB son iguales, el triángulo ABM es isósceles y

∠∠= BMABAM .

Pero como ∠

ABM = 60º, los tres ángulos del triángulo miden 60º y sus tres lados son iguales.

Luego:

∠BMC = 180º − 60º = 120º

Como BM es mediana, M es punto medio de AC. En consecuencia:

BM = MC El triángulo BMC resulta ser isósceles y:

2º120º180

BCMMBC−==

∠∠ = 30º

Entonces:

∠ABC = 60º + 30º = 90º

La respuesta es: E

141

Problema 277 (Kanguro 2008 - Junior – Problema 20) En una clase hay 9 niños y 13 niñas. Si la mitad de los estudiantes de la clase están resfriados, ¿al menos cuántas niñas están resfriadas?

A) 4 C) 0 E) 2 B) 1 D) 3

Solución El total de alumnos es:

9 + 13 = 22 Y la mitad que están resfriados es:

22 ÷ 2 = 11 Como solamente hay 9 niños, por lo menos dos niñas están resfriadas.

La respuesta es: E Problema 278 (Kanguro 2008 - Junior – Problema 21)

Tenemos dos conjuntos de números de cinco dígitos, el conjunto A formado por los números cuyo producto de sus dígitos es igual a 25, y el conjunto B formado por los números cuyo producto de sus dígitos es igual a 15. ¿Qué conjunto tiene más números? ¿Cuántas veces más tiene ese conjunto?

A) A , 5/3 veces C) B , 5/3 veces B) A , 2 veces D) B , 2 veces E) El número de elementos es igual

Solución Los dígitos que forman los números son:

1 , 1 , 1 , 5 , 5 y 1 , 1 , 1 , 3 , 5. Para la primera situación las posibilidades son:

11155 , 11515 , 15115 , 51115 , 11551 15511 , 55111 , 15151 , 51151 , 51511

Son 10 posibilidades. Con el mismo criterio armamos el segundo número, solamente que las posibilidades se duplican, porque podemos cambiar de lugar el 5 con el 3.

La respuesta es: D

140

Solución Calculamos la edad de los 3 más jóvenes:

42 ÷ 3 = 14 ⇒ 13 , 14 , 15 Entonces, la suma de las edades de los 3 más viejos es:

17 + 18 + 19 = 54 La respuesta es: D


En la primera prueba de ortografía de cinco palabras, escribí correctamente una sola. Si ahora practico mucho para escribir correctamente todas las palabras en las pruebas siguientes, ¿cuál es el mínimo número de pruebas que debo hacer, a partir de ahora, para que mi promedio sea cuatro de cinco palabras, si todas las pruebas tienen cinco palabras?

A) 2 C) 4 E) 6 B) 3 D) 5

Solución Vamos a graficar la situación que se plantea en el problema: En A vemos la primera prueba, en donde el acierto es de 1 de 5. En B vemos una prueba más. Ahora el acierto es 6 de 10. En C vemos otra prueba más, totalizando los aciertos 11 de 15. Y en la situación D, con tres pruebas a más de la primera, vemos que los aciertos son 16 de 20 o sea 4 de 5.

La respuesta es: B

93

Problema 213 (2ª Ronda Colegial 2008 – Problema 8) El área del paralelogramo ABCD de la figura es 72. ¿Cuál es la medida del segmento HC?

A) 8 C) 6 E) 3 B) 7 D) 4 F) n. d. l. a. Solución El área del paralelogramo es:

72 = BC � 6 ⇒ BC = 12

En el triángulo BAH tenemos:

BH = 22 610 − = 8

Luego:

HC = 12 − 8 = 4 La respuesta es: D


El triángulo ABC de la figura es rectángulo en B. ¿Cuál es la medida del segmento BH? A) 11,2 cm D) 8,4 cm B) 10 cm E) 8 cm C) 9,6 cm F) n. d. l. a.

Solución Calculamos primero el área del triángulo ABC:

(ABC) = 2

cm16cm12 ⋅ = 96 cm2

La medida de la hipotenusa es:

AC = ( ) ( ) 222 cm400cm16cm12 =+ = 20 cm

Tomando la hipotenusa como base tenemos:

96 cm2 = 2

BHcm20 ⋅ ⇒ BH = 9,6 cm

La respuesta es: C

94

Problema 215 (2ª Ronda Colegial 2008 – Problema 14) En el trapecio de la figura, el área sombreada

mide 48 cm2 y es los 32

del área del trapecio.

¿Cuánto mide la base menor del trapecio? A) 2 cm C) 4 cm D) 10 cm B) 3 cm E) 8 cm F) n. d. l. a.

Solución

Si los 32

del área del trapecio es 48 cm2, 31

de esa superficie es 24 cm2.

Luego el área del trapecio es:

48 cm2 + 24 cm2 = 72 cm2 La altura del triángulo sombreado es:

48 cm2 = 2

hcm12 ⋅ ⇒ h = 8 cm

Entonces:

72 cm2 = cm82

bcm12 ⋅+ ⇒ b = 6 cm

La respuesta es: F Problema 216 (2ª Ronda Colegial 2008 – Problema 16)

En el cuadrado ABCD, M es el punto medio del lado AD y N es el punto medio del lado DC. La superficie pintada mide 19,5 cm2. ¿Cuál es el área del cuadrado? A) 26 cm2 C) 39 cm2 E) 56 cm2 B) 32,5 cm2 D) 52 cm2 F) n. d. l. a.

Solución 1 Trazamos DF perpendicular a AC.

Entonces, los triángulos rectángulos DEM y DEN son iguales. También DE = EF y AF = 2 ME.

La superficie MEFA es:

139

Problema 274 (Kanguro 2008 - Junior – Problema 14) Daniel tiene en un bolsillo 9 billetes, cada uno de 20 000 G, mientras que en el otro bolsillo tiene 8 billetes de 50 000 G cada uno. ¿Cuál es el menor número de billetes que Daniel debe cambiar de bolsillo para tener la misma cantidad de dinero en los dos bolsillos?

A) 4 C) 8 E) No puede ser determinado B) 5 D) 12 Solución Calculamos el monto del dinero que tiene en cada bolsillo:

20 000 G � 9 = 180 000 G

50 000 G � 8 = 400 000 G La diferencia es:

400 000 G − 180 000 G = 220 000 G

220 000 G ÷ 2 = 110 000 G Ese es el monto que tenemos que mover. Entonces:

50 000 G � 3 = 150 000 G

20 000 G � 2 = 40 000 G La diferencia entre los dos montos es 110 000 G. Entonces, pasamos 3 billetes de 50 000 G al otro bolsillo y 2 billetes de 20 000 G al bolsillo que inicialmente contenía solamente billetes de 50 000 G.

La respuesta es: B Problema 275 (Kanguro 2008 - Junior – Problema 15)

Los 7 enanitos de Blanca Nieves nacieron el mismo día pero en 7 años consecutivos. La suma de las edades de los 3 más jóvenes es 42 años. ¿Cuál es la suma, en años, de las edades de los 3 más viejos?

A) 57 C) 60 E) 48 B) 51 D) 54

138

Problema 272 (Kanguro 2008 - Junior – Problema 5) Si 6 canguros comen 6 bolsas de forraje en 6 minutos, ¿cuántos canguros comerán 100 bolsas de forraje en 100 minutos?

A) 600 C) 60 E) 100 B) 6 D) 10

Solución La cantidad de bolsas aumenta de 6 a 100, pero también aumenta de 6 a 100 la cantidad de minutos. Entonces, todo se mantiene constante.

La respuesta es: B Problema 273 (Kanguro 2008 - Junior – Problema 12)

Un cubo de madera de 11 × 11 × 11 se forma al unir 113 cubos de tamaño 1 × 1 × 1 (unitarios). ¿Cuál es el máximo número de cubos unitarios visibles al tomar una fotografía del cubo de madera?

A) 331 C) 332 E) 328 B) 329 D) 330

Solución

En primer lugar, para ver la mayor cantidad de cubos unitarios, debemos tomar la foto de un lugar que nos permita fotografiar tres caras del cubo mayor.

Entonces contamos en la cara del frente:

11 × 11 → 121cubos En la cara de arriba: 11 × 10 → 110 cubos En la cara del costado:

10 × 10 → 100 cubos El total de cubos es:

121 + 110 + 100 = 331 La respuesta es: A

95

(MEFA) = 19,5 cm2 ÷ 2 = 9,75 cm2

Luego:

9,75 cm2 = (DAF) − (DME) = 2

DEME2

DFAF ⋅−⋅

9,75 cm2 = 2

DEME2

DE2ME2 ⋅−⋅ =

23

ME � DE

Por lo tanto:

9,75 cm2 = 3 (DME) ⇒ (DME) = 3,25 cm2

(DAF) = 9,75 cm2 + 3,25 cm2 = 13 cm2 Y el área del cuadrado es:

(ABCD) = 13 cm2 � 4 = 52 cm2 La respuesta es: D


En el trapecio ABCD, AE es la bisectriz del ángulo DAB y BE es la bisectriz del ángulo ABC.

En la figura se cumple que: ∠∠

+ BCDADC = 84º.

Determinar la medida del ángulo ∠

AEB . Solución

2

º180∠

∠∠ −== ADCEABDAE (1)

2

BCDº180EBCABE

∠∠∠ −== (2)

96

Sumando (1) y (2) tenemos:

2º84º360

2

BCDADCº360

ABEEAB−=

+−

=+

∠∠

∠∠ = 138º

Luego:

∠AEB = 180º − 138º = 42º


En un triángulo ABC, M es el punto medio del lado AC, AB = 27 cm y BC = 18 cm. Desde M se trazan MH perpendicular a BC y MH’ perpendicular a AB (H sobre BC y H’ sobre AB). Determinar la razón entre MH y MH’.

Solución

Como M es punto medio, BM es una de las medianas del triángulo. Entonces: (ABM) = (BMC)

2MHBC

2'MHAB ⋅=⋅

BCAB

'MHMH = ⇒

23

cm18cm27

'MHMH ==


Un rectángulo ABCD tiene como medida de sus lados números enteros. El perímetro del rectángulo es mayor que 35 pero menor que 65.

Uno de los lados del rectángulo mide 8 unidades más que el otro. ¿Cuántos rectángulos que cumplen la condición del problema existen? Observación: un rectángulo a × b es lo mismo que un rectángulo b × a.

137

Problema 270 (Kanguro 2008 - Junior – Problema 3) Si se lanzan dos dardos a un tablero de tiro al blanco pintado en la pared como se muestra en la figura, ¿cuántos son todos los posibles puntajes distintos que se pueden obtener? (Se acepta que los dardos caigan fuera del tablero)

A) 4 C) 8 E) 10 B) 6 D) 9

Solución Vamos a ver las opciones según en qué lugar caen los dardos (si caen afuera anotaremos 0):

2 + 6 = 8 ; 2 + 3 = 5 6 + 3 = 9 ; 2 + 0 = 2 6 + 0 = 6 ; 0 + 3 = 3 0 + 0 = 0 ; 2 + 2 = 4 6 + 6 = 12 ; 3 + 3 = 6

Los puntajes posibles son:

0 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 8 , 9 , 12 La respuesta es: D


Los números 2 , 3 , 4 y algún otro número se encuentran escritos, sin repeticiones, en las celdas de la tabla 2 × 2 que se muestra en la figura. Se sabe que la suma de los números de la primera columna es igual a 9 y que la suma de los números de la segunda columna es igual a 6. ¿Cuál es el número desconocido?

A) 5 C) 7 E) 4 B) 6 D) 8

Solución Tenemos que:

3 + 6 = 9 y 2 + 4 = 6 Entonces, la tabla queda completada así:

La respuesta es: B

136

• En los intentos 1 , 2 y 4, el dígito 4 es vaca, por lo tanto, el único lugar posible para este dígito es el de las decenas.

• En los intentos 1 , 2 y 4, el dígito 2 también es vaca, por lo tanto, el único lugar posible para este dígito es el de las unidades.

• Debemos ubicar los dígitos 0 y 1, pero como sabemos que el número buscado es mayor a 1 000, la única opción es ubicar 0 en el lugar de las centenas, y el 1 en la unidad de 1 000.

Por lo tanto, de acuerdo al análisis realizado, el número pensado por Blas es:

1 042

Criterios de corrección • Por decir que 3 , 5 , 7 , 9 no pueden formar parte del número 1 punto • Por decir que 2 y 4 forman parte del número buscado 1 punto • Por descartar el 6 y el 8 1 punto • Por decir que 0 y 1 forman parte del número 1 punto • Por definir cuáles son vacas y cuáles toros 2 puntos • Por hallar el resultado 1 punto Problema 269 (Kanguro 2008 - Junior – Problema 1)

¿Cuántos cuadrados se pueden formar al unir con segmentos los puntos de la figura?

A) 2 C) 4 E) 6 B) 3 D) 5 Solución

La respuesta es: C

97

Solución Consideramos la situación planteada en el problema:

35 < 2 a + 2 b < 65

17,5 < a + b < 32,5

a + b → 18 , 19 , 20 , … , 30 , 31 , 32

(b + 8) + b = 2 b + 8 → 18 ⇒ b = 5

2 b + 8 → 32 ⇒ b = 12 Por lo tanto, los valores posibles de b son:

5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 , 11 , 12 Luego, b puede tener 8 valores y entonces, la cantidad de rectángulos que cumplen las condiciones es:

8 Problema 220 (4ª Ronda Final 2008 – Problema 1)

En un trapecio ABCD, AB ║ CD. Las alturas del trapecio AF y BE miden 16 y el área del triángulo FBC es 192. Además BF = BC y 4 DF – 5 FC = 0. Hallar el perímetro del trapecio.

Solución

En el triángulo FBC tenemos: (FBC) = 192

192216FC =⋅

⇒ FC = 24

Como el triángulo FBC es isósceles, la altura BE es también mediana. Entonces:

FE = EC = 12

98

Además:

4 DF − 5 FC = 0 ⇒ 4 DF − 5 × 24 = 0 ⇒ DF = 30

DC = DF + FC = 30 + 24 = 54 ; AB = EF = 12

Entonces:

AD = 22 3016 + = 34 ; BC = 22 1216 + = 20

Perímetro = 34 + 12 + 20 + 54 = 120

Criterios de corrección • Por determinar la medida del segmento FC 1 punto • Por determinar la medida de los segmentos FE, DF, AB 3 puntos • Por determinar AD y BC 2 puntos • Por hallar el perímetro 1 punto Problema 221 (4ª Ronda Final 2008 – Problema 2)

En un hexágono regular ABCDEF de lado 20, se trazan las diagonales AE y BF, que se intersecan en G. Calcular el área del triángulo AFG.

Solución

AN y FM son medianas y G es el baricentro y este se encuentra

sobre cualquier mediana a 31

de

su longitud a partir del lado correspondiente. Entonces, si llamamos x a GN, AG será 2 x.

Por otro lado tenemos:

AN = 310300100400 ==−

AN = 3 x ⇒ x = 33

10

Luego:

(AFG) = 33

1002

33

1010

231010 =

⋅−⋅

135

Solución 2 Según el enunciado del problema, el número que buscamos tiene cuatro cifras. Las posible cifras son los dígitos 0 , 1 , 2 , . . . . . , 9. Clasificaremos los dígitos en tres filas: los que no forman parte del número buscado, los que pueden formar parte del número buscado, y los que estamos seguros que forman parte del número buscado. Paso A Considerando el tercer intento (3 579), donde no hay toros ni vacas, podemos concluir que 3 , 5 , 7 , 9 no forman parte del número. Paso B Considerando el segundo (7 254) y cuarto (4 925) intento, podemos concluir que los dígitos 2 y 4 forman parte del número buscado, ya que los otros dígitos fueron descartados en el paso A.

Paso C Considerando el primero intento (2 468), podemos concluir que los dígitos 6 y 8 no forman parte del número (según se dedujo en el paso B, sabemos que esas no son las dos vacas mencionadas). Paso D Como las 4 cifras tienen que ser distintas, los dígitos 0 y 1 deben ser parte del número, ya que los demás han sido descartados. A continuación ubicaremos los dígitos en su lugar correspondiente.

No están 3 5 7 9 Pueden estar 0 1 2 4 6 8 A Si están No están 3 5 7 9 Pueden estar 0 1 6 8 B Si están 2 4 No están 3 5 6 7 8 9 Pueden estar 0 1 C Si están 2 4 No están 3 5 6 7 8 9 Pueden estar D Si están 0 1 2 4

134

Solución 1 Con los primeros dos números pensados por Silvia, aún no se puede deducir cuáles son los dígitos incluidos dentro del número que Blas pensó. A partir de 3 579, podemos deducir lo siguiente: • Que 2 y 4 son las vacas, ya que son dígitos mencionados en 7 254, que

además están incluidos en 2 468. Se descartan 7 y 5, porque se indica que en 3 579 no hay ni toros ni vacas.

• Que 1 y 0 son parte del número que Blas pensó. En los primeros 3

números citados están incluidos los dígitos del 2 al 9. Como se demuestra que 2 y 4 son las vacas, aún faltan dos dígitos para formar el número pensado.

Con 4 925, tenemos que: • La ubicación del 2 es en las unidades, ya que en 2468 está en la unidad

de mil y no es un toro; en 7254 esta en las centenas y es una vaca; y en 4925 ocupa el lugar de las decenas y tampoco coincide.

• La ubicación del 4 es en las decenas, realizando el mismo proceso antes

mencionado. • La ubicación del 1 y el 0 es en la unidad de mil y la centena

respectivamente, pues 0 no se puede ubicar en la unidad de mil, luego ya no sería un número de 4 cifras.

Por lo tanto, el número pensado por Blas es:

1 042 Criterios de corrección • Decir explícitamente que 3 , 5 , 7 , 9 no pueden formar parte del número 1 punto • Decir explícitamente que 2 y 4 forman parte del número buscado 2 puntos • Descartar el 6 y el 8 3 puntos • Escribir el número 1 punto

99

Criterios de corrección • Por graficar todos los elementos necesarios 1 punto • Por determinar que G es intersección de medianas 2 puntos • Por hallar la altura del triángulo AFO 1 punto • Por calcular el área (AFG) 3 puntos Problema 222 (Kanguro 2008 - Junior – Problema 19)

Cuatro círculos congruentes tangentes de radio 6 cm se inscriben en un rectángulo, como se muestra en la figura. Si P es el vértice y Q y R son puntos de tangencia, ¿cuál es el área del triángulo PQR en cm2?

A) 27 C) 54 E) 180 B) 45 D) 108

Solución El lado QP del triángulo es:

QP = 6 cm + 12 cm = 18 cm Y la altura del triángulo es 12 cm. Por lo tanto, el área es:

= 108 cm2

La respuesta es: D Problema 223 (Validación Kanguro 2008 - Junior – Problema 6)

ABCD es un cuadrado de lado 10 y E es el punto medio del lado BC.

Hallar el área pintada.

A) 12,5 C) 3

50 E)

3100

B) 325

D) 25 F) n. d. l. a.

Solución El área del cuadrado es:

102 = 100

100

Las áreas de los triángulos DBC y DEC son: (

DBC) = 100 ÷ 2 = 50

(DEC) = 50 ÷ 2 = 25 (por ser E es punto medio) Las altura de los triángulos EFC y DFC son iguales porque F está sobre la diagonal del cuadrado. Entonces:

(DFC) = 2 (FEC) ⇒ (DFC) = 32

(DEC)

(DFC) = 32

� 25 = 3

50

La respuesta es: C Problema 224 (Validación Kanguro 2008 - Junior – Problema 15)

En la circunferencia de la figura el diámetro es 12. M es el punto medio del radio correspondiente.

Hallar el área del rectángulo sombreado. A) 3 C) 9 E) 27

B) 3 3 D) 9 3 F) n. d. l. a. Solución

Como M es punto medio, uno de los lados del rectángulo es 3, y la diagonal del mismo es 6 (por ser radios de la circunferencia). Luego la medida de MP es: MP = = = 3

Y el área del rectángulo es:

3 × 3 = 9

La respuesta es: D

133

Miscelánea

Problema 267 (2ª Ronda Colegial 2008 – Problema 7) Ariel dibuja en su cuaderno 4 puntos de tal forma que no hay tres de ellos alineados. Luego Ariel une los puntos trazando segmentos. ¿Cuál es la mayor cantidad de segmentos que puede trazar Ariel?

A) 6 C) 4 E) 2 B) 5 D) 3 F) n. d. l. a. Solución Sean A, B, C, y D los puntos. Identificamos los segmentos: AD , AB , AC , DC , DB , BC

La respuesta es: A Problema 268 (4ª Ronda Final 2008 – Problema 3)

Blas y Silvia juegan “Toros y Vacas”. El juego consiste en que Silvia tiene que adivinar el número de 4 cifras distintas, mayor que 1 000, que pensó Blas. Para que Silvia pueda adivinarlo, debe decir el primer número de 4 cifras que se le ocurra y Blas debe indicarle en qué se parecen. Si el número pensado fuera 1 234, y Silvia dice 9 631; serán “Toros” los dígitos que se encuentran en el número pensado y además ocupan el mismo lugar, en éste caso, el 3. Son “Vacas” los dígitos que se encuentran en el número de Blas, pero que no están en su lugar; como el 1. Y cuando no hay toros ni vacas, no hay dígitos que coincidan. Silvia descubre el número en el 5º intento. Los números de los intentos anteriores son: 2 468 � 2 vacas; 7 254 � 2 vacas; 3 579 � ni toros, ni vacas;

4 925 � 2 vacas

¿Cuál fue el número en el que pensó Blas?

132

101

El número y las operaciones – Expresiones algebraicas Contenidos: • Relaciones de equivalencia y de orden. (5.º Grado) • Valor posicional, absoluto y relativo. (5.º Grado) • Algoritmo y propiedades de las cuatro operaciones fundamentales.

(5.º Grado) • Números racionales positivos en notación decimal y fraccionaria.

(5.º Grado) • Números primos y compuestos. (5.º Grado) • Divisibilidad por: 2, 3, 5, 7, y 11. (5.º Grado) • Máximo común divisor (mcd). (5.º Grado) • Mínimo común múltiplo (mcm). (5.º Grado) • Números primos y compuestos. (5.º Grado) • Divisibilidad por: 2, 3, 5, 7, y 11. (5º. Grado) • Amplificación y simplificación de fracciones. (5.º Grado) • Relaciones de equivalencias y de orden. (6.º Grado) • Notación científica. (6.º Grado) • Algoritmo y propiedades de las cuatro operaciones fundamentales.

(6.º Grado) • Descomposición polinómica de un número natural utilizando potencias

de diez. (6.º Grado) • Razón, razón aritmética, razón geométrica, proporción y magnitud.

(6.º Grado) • Magnitudes directa e inversamente proporcionales. (6.º Grado) • Porcentaje, descuento, tanto por ciento. (6.º Grado) • Regla de tres (6.º Grado) • Aplica algoritmo y propiedades de operaciones con números enteros y

racionales. (7.º Grado) • Valor absoluto. (7.º Grado) • Fracción generatriz de números decimales periódicos puros y mixtos.

(7.º Grado) • Operaciones con y sin signos de agrupación con números enteros y

racionales en notación fraccionaria y decimal. (7.º Grado) • Algoritmos y propiedades de la potenciación y la radicación con

números enteros y racionales en notación fraccionaria y decimal. (7.º Grado)

• Algoritmo y propiedades de operaciones con números enteros y racionales, en situaciones que lo requieran. (7.º Grado)

• Leyes y propiedades de la potenciación. (7.º Grado) • Radicación, concepto, características. (7.º Grado)

102

• Ecuaciones lineales. (7.º Grado) • Ecuación lineal: Concepto. Características. Elementos: miembros,

incógnita, término independiente. (7.º Grado) • Ecuaciones lineales con una incógnita de las formas: ax = b,

ax + b = c, ax + b = cx + d. (7.º Grado) • Aplica algoritmos y propiedades de las operaciones de adición,

sustracción y multiplicación con expresiones algebraicas: entre monomios, entre polinomio y monomio, entre polinomios. (8.º Grado)

• Utiliza el proceso de factorización de expresiones algebraicas polinómicas, en diferentes contextos. (8.º Grado)

• Aplica el algoritmo de la división con expresiones algebraicas: entre monomios, entre polinomio y monomio, entre polinomios, teorema del resto, regla de Ruffini. (8.º Grado)

• Algoritmo de la división con expresiones algebraicas: entre monomios, entre polinomio y monomio, entre polinomios, teorema del resto, regla de Ruffini. (8.º Grado)

131

Problema 266 En una encuesta se preguntó a un grupo de familias cuántos hijos tienen. El resultado de la encuesta se ve en el gráfico de barras verticales. a) ¿Cuántas familias fueron encuestadas? b) ¿Cuántos hijos hay en total, teniendo en cuenta todas las

familias encuestadas?

Solución Hacemos el conteo de la cantidad de familias:

Con 1 hijo → 12 Con 2 hijos → 8 Con 3 hijos → 6 Con 4 hijos → 5 Con 6 hijos → 2

El total de familias es:

12 + 8 + 6 + 5 + 4 + 2 = 37 El total de hijos es:

12 × 1 + 8 × 2 + 6 × 3 + 5 × 4 + 4 × 5 + 2 × 6 = 98

130

Problema 265 En el grado de Amalia se hizo una lista con la edad de los niños. La lista es la siguiente:

7 , 8 , 8 , 9 , 9 , 9 , 8 , 7 , 8 , 6 6 , 7 , 8 , 7 , 9 , 8 , 7 , 9 , 8 , 8 8 , 9 , 8 , 8 , 9 , 8 , 7 , 9 , 8 , 8 7 , 8 , 9 , 7 , 9 , 9 , 9 , 8 , 7 , 7

¿Cuál es la suma de la media, la mediana y la moda? A) 7,96 C) 20,36 E) 24,16 B) 8 D) 23,95 F) n. d. l. a. Solución Para calcular la mediana debemos ordenar los datos:

6 , 6 , 7 , 7 , 7 , 7 , 7 , 7 , 7 , 7 7 , 7 , 8 , 8 , 8 , 8 , 8 , 8 , 8 , 8 8 , 8 , 8 , 8 , 8 , 8 , 8 , 8 , 9 , 9 9 , 9 , 9 , 9 , 9 , 9 , 9 , 9 , 9 , 9

Como hay 40 valores, tomamos los ubicados en lugar 20 y 21 para calcular la mediana:

Mediana = 2

8+8 = 8

Calculamos la suma de los valores para hallar la media:

6 × 2 + 7 × 10 + 8 × 16 + 9 × 12 = 318 Media = 318 ÷ 40 = 7,95 El valor que más abunda es el 8, luego. Moda = 8 Sumado la media, la mediana y la moda tenemos:

7,95 + 8 + 8 = 23,95 La respuesta es: D

103


Un número N de dos cifras se suma con el número que resulta al invertir el orden de sus cifras y se obtiene 143. ¿Cuál es la suma de los dígitos de N?

A) 17 C) 15 E) 13 B) 16 D) 14 F) n. d. l. a. Solución

El número es de la forma ab . Entonces:

10 a + b + 10 b + a = 143

11 a + 11 b = 143 ⇒ 11 (a + b) = 143 ⇒ a + b = 13 La respuesta es: E


¿Cuál es el producto del mayor divisor de 85 por el mayor primo menor que 100?

A) 1 649 C) 8 524 E) 1 547 B) 7 735 D) 7 357 F) n. d. l. a. Solución El mayor divisor de 85 es el mismo número 85. En mayor número primo menor que 100 es 97. Luego, el producto buscado es:

85 × 97 = 8 245 La respuesta es: F


Al descomponer el polinomio x3 − 9 x en sus factores, ¿cuál de los siguientes es uno de los factores que aparece en la descomposición?

A) 3 + x C) x + 9 E) x2 − 3 B) x − 9 D) x2 + 3 F) n. d. l. a.

104

Solución Descomponemos en sus factores el binomio:

x3 − 9 x = x (x2 − 9) = x (x + 3) (x − 3) La respuesta es: A


Julia tiene 10 años, su mamá tiene 34 años y su papá 51 años. ¿Dentro de cuántos años la suma de las edades de Julia y su madre será igual a la edad del papá?

A) 4 C) 6 E) 8 B) 5 D) 7 F) n. d. l. a.

Solución Comparamos la suma de las edades de Julia y su mamá con la edad de su papá con el paso de los años:

TIEMPO SUMA PADRE Hoy 44 51 Dentro de 1 año 46 52 Dentro de 2 años 48 53 Dentro de 3 años 50 54 Dentro de 4 años 52 55 Dentro de 5 años 54 56 Dentro de 6 años 56 57 Dentro de 7 años 58 58


La profesora de Lucho pide a sus alumnos que escriban la lista de todos los números capicúas que existen entre 400 y 500. Lucho tiene que determinar cuántos de ellos son múltiplos de 3. Si Lucho contesta correctamente, ¿cuál es su respuesta?

A) 1 C) 3 E) 5 B) 2 D) 4 F) n. d. l. a.

Solución La lista de los números capicúas es:

404 , 414 , 424 , 434 , 444 , 454 , 464 , 474 , 484 , 494

Para que sean múltiplos de 3 la suma de sus cifras tiene que ser múltiplo de 3:

414 (suma 9) , 444 (suma 12) , 474 (suma 15) La respuesta es: C

129

Mediana = 46 La moda es el valor que más se repite. Moda = 46 Al entrar en la lista Patricia, la lista queda así:

45 , 45 , 45 , 46 , 46 , 46 , 46 , 46 , 47 , 47 , 48 , 48 , 48 , 49 , 49 , 50 La suma ahora es: 703 + 48 = 751 La media es: 751 ÷ 16 = 46,94 Como ahora hay 16 valores, en el medio están los valores que ocupan el lugar 8º y 9º. La mediana es: = 46,5

La moda seguirá siendo 46. Hacemos un resumen de la situación: Media: 46,97 ; Media: 46,94 Mediana: 46 ; Mediana: 46,5 Las variaciones son:

46,97 − 46,94 = 0,03

46 − 46,5 = -0,5

La mediana disminuye 0,5

128

Problema 264 La profe del 9º grado pide a cada uno de sus alumnos que anoten en la tabla sus pesos:

A continuación los alumnos deben calcular la media, la mediana y la moda. Al día siguiente viene Patricia que estuvo ausente y que pesa 48 kg. Al agregarla a la lista, ¿cuál de los tres parámetros se modificará más?

Solución Ordenamos los datos en la siguiente lista:

45 , 45 , 45 , 46 , 46 , 46 , 46 , 46 , 47 , 47 , 48 , 48 , 49 , 49 , 50 Para calcular la media sumamos todos los datos:

45 × 3 + 46 × 5 + 47 × 2 + 48 × 2 + 49 × 2 + 50 × 1 = 703 Y la media es: 703 ÷ 15 = 46,97 Para hallar la mediana debemos determinar el valor que está en el medio de la lista. Como en total hay 15 valores, la mediana ocupa el lugar número 8 de la lista.

Nombre Peso (en kg)

Ana 46 Arami 45 Atilio 50

Belisario 47 Carmen 46 Catalina 49

Cirilo 48 Darío 46 Dora 47 Eva 45

Fausto 48 Federico 46

Fidel 49 Genaro 45 Ismael 46

105

Problema 230 (3ª Ronda Regional 2008 – Problema 3) El valor numérico del polinomio a3 + 3 a2 + 2 a − 4 es 20 (a es un número entero positivo menor que 5).

Hallar el valor numérico del polinomio 5 a2 − 2 a + 16. Solución Escribimos la igualdad:

a3 + 3 a2 + 2 a − 4 = 20 ⇒ a3 + 3 a2 + 2 a = 24

a (a2 + 3 a + 2) = 24 ; a (a + 1) (a + 2) = 24 El primer miembro de la igualdad anterior está formado por tres números consecutivos. Y como:

24 = 2 � 3 � 4 ; a = 2 Entonces:

5 a2 − 2 a + 16 = 5 � 22 − 2 � 2 + 16 = 32 Problema 231 (3ª Ronda Regional 2008 – Problema 5)

A 43

se le resta tres veces una misma fracción desconocida. El

resultado tiene el denominador con doble valor que en 43

. ¿Cuál

es la fracción desconocida? Solución Llamamos F a la fracción desconocida. Entonces:

43

− 3 F = 83

⇒ 3 F = 43

− 83

= 83

⇒ F = 81


Mauri escribió la siguiente lista de números usando una regla secreta:

2 , 4 , 8 , 14 , A , B , 44 , 58 , C

¿Cuál es el valor de C − (A + B)?

106

Solución Tenemos que descubrir la ley de formación:

4 − 2 = 2

8 − 4 = 4

14 − 8 = 6 Se seguirán sumando los números:

8 , 10 , 12 , 14 , 16 , 18 , … Entonces, la sucesión es:

2 , 4 , 8 , 14 , 22 , 32 , 44 , 58 , 74 Luego:

C − (A + B) = 74 − (22 + 32) = 20 Problema 233 (3ª Ronda Regional 2008 – Problema 9) Entre Ani, Blanca y César cuentan el dinero que tienen. Si Ani y Blanca juntan su dinero tienen 107 000 G.

Si Ani y César juntan su dinero tienen el doble, pero si Blanca y César cuentan lo que tienen entre los dos encuentran 179 000 G.

¿Cuánto dinero tiene Blanca? Solución Si sumamos los capitales que tiene cada pareja, obtendremos el doble de lo que tienen entre los tres juntos. Luego:

107 000 G + 214 000 G + 179 000 G = 500 000 G Los tres juntos tienen:

500 000 G ÷ 2 = 250 000 G Entonces, lo que tiene Blanca es:

250 000 G − 214 000 G = 36 000 G

127

Problema 263 La lluvia caída sobre Paraguay en el año 2011 se registró en la siguiente tabla:

Mes Lluvia caída

en mm Enero 46

Febrero 50 Marzo 99 Abril 77 Mayo 11 Junio 5 Julio 5

Agosto 0 Setiembre 19 Octubre 32

Noviembre 62 Diciembre 106

¿Cuál es la media de la cantidad de lluvia caída en 2011?

A) 46,5 mm C) 42,7 mm E) 44,4 mm B) 44,7 mm D) 43,5 mm F) n. d. l. a. Solución Calculamos la suma de los 12 valores:

46 + 50 + 99 + 77 + 11 + 5 + 5 + 0 + 19 + 32 + 62 + 106 = 512 Luego:

512 ÷ 12 ≅ 42,7 mm La respuesta es: C

126

Problema 262 Teresa tiene como trabajo práctico dibujar rectángulos, con las condiciones:

1. La medida de los lados deben ser números naturales. 2. Los perímetros pueden ser: 24 , 28 , 30 ó 34.

¿Cuál es la frecuencia relativa que corresponde a los rectángulos de perímetro 28?

A) C) E)

B) D) F) n. d. l. a.

Solución Calculamos primero la cantidad de posibilidades que tenemos para cada uno de los perímetros: Perímetro 24: 1 × 11 ; 2 × 10 ; 3 × 9 ; 4 × 8 ; 5 × 7 6 × 6 (6 rectángulos) Perímetro 28: 1 × 13 ; 2 × 12 ; 3 × 11 ; 4 × 10 ; 5 × 9

6 × 8 ; 7 × 7 (7 rectángulos) Perímetro 30: 1 × 14 ; 2 × 13 ; 3 × 12 ; 4 × 11 ; 5 × 10

6 × 9 ; 7 × 8 (7 rectángulos) Perímetro 34: 1 × 16 ; 2 × 15 ; 3 × 14 ; 4 × 13 ; 5 × 12

6 × 11 ; 7 × 10 ; 8 × 9 (8 rectángulos) Construimos la tabla de frecuencias:

Perímetro Frecuencia 24 6 28 7 30 7 34 8

TOTAL 28 Vemos que para el perímetro 28, la frecuencia relativa es:

La respuesta es: D

107

Problema 234 (Kanguro 2008 - Junior – Problema 2) Si se tiene que: a = 2 − (- 4) ; b = (- 2) � (- 3) ; c = 2 − 8

d = 0 − (- 6) ; e = (- 12) ÷ (- 2) ¿Cuántos de estos resultados no son iguales a 6? A) 4 C) 0 E) 1

B) 2 D) 5 Solución Calculemos los valores:

a = 2 − (- 4) = 2 + 4 = 6 b = (- 2) � (- 3) = 6 c = 2 − 8 = -6 d = 0 − (- 6) = 0 + 6 = 6 e = (- 12) ÷ (- 2) = 6

La respuesta es: E

Problema 235 (Validación Kanguro 2008 - Junior – Problema 2) ¿Cuál es la suma de los 20 primeros números de la secuencia?

1 , 2 , 2 , 3 , 4 , 4 , 5 , 6 , 6 , 7 , … A) 133 C) 147 E) 162

B) 140 D) 154 F) n. d. l. a. Solución La secuencia completa es: 1 , 2 , 2 , 3 , 4 , 4 , 5 , 6 , 6 , 7 , 8 , 8 , 9 , 10 , 10 , 11 , 12 , 12 , 13 , 14 Y la suma es:

1 + 2 × 2 + 3 + 4 × 2 + 5 + 6 × 2 + 7 + 8 × 2 + 9 + 10 × 2 + 11 + 12 × 2 + 13 + 14 = 147 La respuesta es: C


El perímetro de un rectángulo tiene 34 cm más que uno de los lados que mide 18 cm. El rectángulo tiene su área igual a la de un cuadrado. ¿Cuál es el perímetro del cuadrado?

A) 28 cm C) 40 cm E) 54 cm B) 32 cm D) 48 cm F) n. d. l. a.

108

Solución El perímetro del rectángulo es:

18 cm + 34 cm = 52 cm El otro lado del rectángulo mide:

52 cm ÷ 2 = 26 cm ⇒ 26 cm − 18 cm = 8 cm Entonces, el área del rectángulo (que es también el área del cuadrado) es:

18 cm � 8 cm = 144 cm2 El lado del cuadrado entonces es 12 cm y su perímetro:

12 cm � 4 = 48 cm La respuesta es: D


Dentro del círculo se puede escribir un dígito que cumpla las condiciones dadas.

¿Cuál es la suma de todos los dígitos que pueden escribirse dentro del círculo?

A) 23 C) 27 E) 32 B) 26 D) 30 F) n. d. l. a.

Solución Para que la desigualdad se cumpla pueden escribirse los dígitos del 1 al 7. Entonces:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28 La respuesta es: F


¿Qué número hay sumar a la fracción 114

, para que la fracción se

duplique?

A) 114

C) 118

E) 112

B) 2 D) 4 F) n. d. l. a.

125

Solución Ubicamos los datos conocidos en la tabla:


Frecuencia relativa

1 6 0,15 2 9 0,225 3 11 0,275 4 5 C F

Total 40 1 Llamamos C a la cantidad de notas 5 y F a la frecuencia correspondiente a la calificación 5. Entonces:

0,1 = 0,275 − F ⇒ F = 0,275 − 0,1 = 0,175 Luego:

= 0,175 ⇒ C = 0,175 × 40 = 7

Problema 261

Las calificaciones que obtuvo Enrique en sus pruebas parciales fueron:

3 , 4 , 1 , 2 , 3 , 3 , 5 , 2 , 4 , 3 , 5 , 1 , 4 , 2 , 1

¿Cuál es la diferencia entre la moda y la media?

Solución Vemos que la calificación que más abunda es 3, por lo tanto la moda es 3. La media es:

(3 + 4 + 1 + 2 + 3 + 3 + 5 + 2 + 4 + 3 + 5 + 1 + 4 + 2 + 1) ÷ 15 ≅ 2,87 La diferencia es:

3 − 2,87 = 0,13

124

Solución Completamos la tabla:

Edad Número de Estudiantes

Porcentajes

11 10 12,5 % 12 18 22,5 % 13 21 26,25 % 14 18 22,5 % 15 13 16,25 %

TOTAL 80 Hacemos el diagrama circular: Problema 260

Las calificaciones de algunos de los 40 alumnos que dieron una prueba de Geometría, sin contar los 4 y los 5 fueron:

2 , 3 , 2 , 3 , 1 , 2 , 1 , 3 , 3 2 , 2 , 2 , 1 , 3 , 3 , 2 , 1 , 1

3 , 3 , 3 , 2 , 3 , 2 , 3 , 1

La diferencia entre las frecuencias relativas correspondientes a las calificaciones 3 y 5 es 0,1. ¿Cuántas calificaciones 5 hubo?

109

Solución Si a un número se le suma el mismo número, el número se duplica.

La respuesta es: A Problema 239 (Validación Kanguro 2008 - Junior – Problema 10)

Sebastián hace una lista de todos los números, múltiplos de 17, comprendidos entre 1 000 y 2 000. ¿Cuántos números hay en la lista de Sebastián?

A) 59 C) 71 E) 90 B) 62 D) 83 F) n. d. l. a.

Solución Buscamos el primer número de la lista y el último:

1 000 ÷ 17 ≅ 58,5 ⇒ 59 × 17 = 1 003

2 000 ÷ 17 ≅ 117,6 ⇒ 117 × 17 = 1 989 Luego, la cantidad de números en la lista es:

1 989 − 1 003 = 986 ; 986 ÷ 17 = 58 ; 58 + 1 = 59 (Se agregó 1 porque habíamos sacado el 1 003)

La respuesta es: A Problema 240 (Validación Kanguro 2008 - Junior – Problema 13)

Dada la igualdad: = 6, ¿cuál debe ser el valor de A para que la igualdad se cumpla?

A) 6 C) 216 E) 4 800 B) 36 D) 2 160 F) n. d. l. a.

Solución Trabajamos con la igualdad:

= 6 ⇒ = 6 ⇒ 8 A = 66

8 A = 46 656 ⇒ A = 5 832 La respuesta es: F

110

123

Solución La tabla de frecuencias es:

1 4 2 7 3 8 4 6 5 5

Entonces, el diagrama lineal que corresponde es:

La respuesta es: C Problema 259 Las edades de los estudiantes de 7º a 9º grado (en años) son:

Edad Número de Estudiantes

11 10 12 18 13 21 14 18 15 13

En un diagrama circular representar los porcentajes correspondientes a la cantidad de alumnos por edades y el valor de ángulo central correspondiente.

122

Solución Hacemos la tabla de frecuencias:

Cantidad de animales por casa

Cantidad de casas

Cantidad de animales

0 20 0 1 40 40 2 21 42 3 8 24 4 5 20 5 4 20 6 2 12

TOTAL 100 158 Calculamos la media:

158 ÷ 100 = 1,58 La respuesta es: B

Problema 258 Las calificaciones en Ciencias en un 8º Grado son: 2 , 3 , 3 , 2 , 5 , 4 , 5 , 5 , 1 , 1 4 , 4 , 3 , 5 , 4 , 1 , 3 , 2 , 2 , 3 1 , 2 , 2 , 3 , 5 , 4 , 4 , 3 , 3 , 2

¿Cuál es el polígono de frecuencias que representa la situación de ese grado?

111


El valor de 3

3a + es un número entero positivo menor que 7.

¿Cuál es la cantidad de valores posibles de a? A) 2 C) 7 E) 10 B) 6 D) 8 F) n. d. l. a. Solución Consideramos la desigualdad:

33a +

< 7 ⇒ a + 3 < 21 ⇒ a < 18

Eso significa que el valor de (a + 3) es menor que 21, pero también (a + 3) tiene que ser múltiplo de 3. Entonces, los valores posibles de a son:

15 , 12 , 9 , 6 , 3 , 0 La respuesta es: B


El producto de tres binomios es x3 + 3 x2 − 10 x − 24. Uno de los factores es x + 2. ¿Cuáles de los siguientes puede ser el otro factor?

A) x + 3 C) x − 4 E) B y C B) x − 3 D) A y C F) n. d. l. a. Solución Efectuando la división, obtenemos:

(x3 + 3 x2 − 10 x − 24) ÷ (x + 2) = x2 + x − 12 Pero:

x2 + x − 12 = (x + 4) (x − 3) La respuesta es: B

112


En la expresión 2 < 6

3N − < 4, N es un número entero. ¿Cuál es la

cantidad de valores que puede tener N? A) 9 C) 10 E) 15 B) 11 D) 27 F) n. d. l. a. Solución Trabajamos con la desigualdad:

2 < 6

3N − < 4 (por 6)

12 < N − 3 < 24 (más 3)

15 < N < 27

Los valores posibles de N son:

16 , 17 , 18 , … , 25 , 26

En total son:

26 − 15 → 11 valores La respuesta es: B


Berta tiene una lista de 8 números enteros consecutivos. Calcula la suma de esos números y obtiene 188. Mario borra dos números de la lista de Berta y al sumar los que quedan obtiene 146. ¿Cuáles son los dos números borrados por Mario?

A) 20 y 25 C) 20 y 22 E) 22 y 24 B) 21 y 23 D) 24 y 25 F) n. d. l. a. Solución En el medio de la lista no hay un número entero. Entonces, por aproximación hacemos el cálculo:

188 ÷ 8 = 23,5 Entonces, la lista es:

20 , 21 , 22 , 23 , 24 , 25 , 25 , 27

La diferencia que hay al ser borrados dos números es:

188 − 146 = 42 → 42 = 20 + 22 La respuesta es: C

121

Los datos y la estadística Contenidos: • Tablas de frecuencia absoluta y relativa. (5.º Grado) • Gráficos de línea. (5.º Grado) • Tablas y gráficos estadísticos. (6.º Grado) • Frecuencia absoluta, relativa y porcentual. (6.º Grado) • Tablas de frecuencias. (6.º Grado) • Gráfico circular. (6.º Grado) • Tabla de frecuencias: absoluta, relativa y porcentual (7.º Grado) • Gráficos estadísticos circulares (7.º Grado) • Interpretación de tablas, gráficos circulares y moda (7.º Grado) • Tablas de frecuencias e histogramas (8.º Grado) • Interpretación de tablas de frecuencia, histogramas y media (8.º Grado)

Problemas para el Aula Problema 257

En un pueblo se administró una encuesta para averiguar la cantidad de animales, entre perros y gatos que tenían en las casas.

El resultado obtenido fue: 20 casas no tenían ni perros ni gatos 40 casas tenían 1 perro 21 casas tenían 1 perro y 1 gato

8 casas tenían 2 perros y 1 gato 5 casas tenían 2 perros y 2 gatos 4 casas tenían 3 perros y 2 gatos 2 casas tenían 2 perros y 4 gatos

¿Cuál es la media que representa el número de animales por casa? A) 1,38 C) 1,85 E) 2,4 B) 1,58 D) 2,1 F) n. d. l. a.

120

Problema 256 (Validación Kanguro 2008 - Junior – Problema 14) Determinar la siguiente suma:

1 + 2 + 5 + 6 + … + 29 + 30 + 33 + 34 + 37 + 38 A) 280 C) 410 E) 630

B) 390 D) 520 F) n. d. l. a. Solución Llamamos S a la suma que queremos calcular:

S = 1 + 2 + 5 + 6 + … + 29 + 30 + 33 + 34 + 37 + 38

S = 3 + 11 + … + 59 + 67 + 75 Vemos que los sumandos aumentan de 8 en 8. Entonces, la cantidad de términos que hay en la lista es:

75 − 3 = 72 ; 72 ÷ 8 = 9 ; 9 + 1 = 10 La lista tiene 10 sumandos. Vamos a aplicar el “Método de Gauss”. Entonces, tenemos 5 parejas que suman 78. Luego:

78 × 5 = 390 La respuesta es: B

113

Problema 245 (2ª Ronda Colegial 2008 – Problema 9) Cristian tiene dos bolsas de caramelos. Entre las dos bolsas hay 185 caramelos, pero en una de las bolsas hay 15 caramelos más que en la otra. ¿Cuál es la cantidad de caramelos en la bolsa que tiene menos caramelos?

A) 100 C) 85 E) 75 B) 90 D) 80 F) n. d. l. a. Solución Quitamos los 15 caramelos que hay demás en una de las bolsas:

185 − 15 = 170 En la bolsa que tiene menos caramelos, la cantidad de caramelos es:

170 ÷ 2 = 85 La respuesta es: C


En la sustracción de la izquierda a y b son dígitos. ¿Cuánto es el producto a � b?

A) 2 C) 8 E) 15 B) 6 D) 12 F) n. d. l. a. Solución Atendiendo las cifras de las unidades tenemos:

12 − 7 = 5 ⇒ b = 2

Entonces queda:

1 5 a 2 − 2 a 7 = a 2 9 5 ⇒ a = 1

El producto buscado es:

a � b = 1 � 2 = 2 La respuesta es: A


Cuando Ana nació, Pedro tenía 5 años y cuando Pedro nació Rocío tenía 3 años. Ana cumple 15 años dentro de 4 años. ¿Cuál es la suma de las edades actuales de los tres? (Todos ellos nacieron el 31 de julio)

A) 58 años C) 46 años E) 12 años B) 52 años D) 37 años F) n. d. l. a.

114

Solución Llamamos A , P y R a las edades actuales de Ana, Pedro y Rocío respectivamente. Entonces:

P = A + 5 ; R = P + 3 La edad actual de Ana es:

15 años − 4 años = 11 años Y las edades de Pedro y Rocía son:

P = 11 años + 5 años = 16 años

R = 16 años + 3 años = 19 años Y la suma de las tres edades:

11 años + 16 años + 19 años = 46 años La respuesta es: C


N es el menor número que se debe restar a 981 para que la diferencia sea divisible por 53. ¿Cuál es la suma de los dígitos de N?

A) 8 C) 12 E) 16 B) 9 D) 14 F) n. d. l. a. Solución Hacemos la división:

981 ÷ 53 = 18,5…

981 − 53 × 18 = 27 Luego N = 27 y:

2 + 7 = 9 La respuesta es: B

119

Solución Es evidente que:

R = K + 1 y N = G + 1 Entonces:

RN − KG = 10 R + N − (10 K + G)

10 (K + 1) + G + 1 − (10 K + G) = 10 K + 10 + G + 1 − 10 K − G = 11 La respuesta es: E


María suma el mayor número de tres cifras múltiplo de 11 con el menor número de tres cifras múltiplo de 11. Blas suma el mayor número de tres cifras múltiplo de 5 con el menor número de tres cifras múltiplo de 5. ¿Cuál es la diferencia entre las sumas de María y Blas?

A) 2 C) 6 E) 10 B) 4 D) 8 F) n. d. l. a.

Solución El mayor número de tres cifras es 999, entonces:

999 ÷ 11 ≅ 90,8 ⇒ 90 × 11 = 990 El menor número de tres cifras es 100, luego:

100 ÷ 11 ≅ 9,09 ⇒ 10 × 11 = 110 Hacemos lo mismo con los múltiplos de 5:

999 ÷ 5 ≅ 199,8 ⇒ 199 × 5 = 995 El menor número de 3 cifras múltiplo de 5 es evidentemente 100. Entonces:

María → 990 + 110 = 1 100

Blas → 995 + 100 = 1 095 Y la diferencia es:

1 100 − 1 095 = 5 La respuesta es: F

118

Problema 253 (Kanguro 2008 - Junior – Problema 17) Supongamos que por cada número de dos dígitos se toma la cifra de las decenas y se le resta la cifra de las unidades. ¿Cuál es la suma de todos esos resultados?

A) 100 C) 30 E) 45 B) 90 D) 55

Solución Vamos a construir la siguiente tabla, en la cual a la izquierda aparecen los números de dos cifras y a la derecha, la diferencia entre la cifra de las decenas y la cifra de las unidades:

10 1 26 -4 42 2 58 -3 74 3 90 9 11 0 27 -5 43 1 59 -4 75 2 91 8 12 -1 28 -6 44 0 60 6 76 1 92 7 13 -2 29 -7 45 -1 61 5 77 0 93 6 14 -3 30 3 46 -2 62 4 78 -1 94 5 15 -4 31 2 47 -3 63 3 79 -2 95 4 16 -5 32 1 48 -4 64 2 80 8 96 3 17 -6 33 0 49 -5 65 1 81 7 97 2 18 -7 34 -1 50 5 66 0 82 6 98 1 19 -8 35 -2 51 4 67 -1 83 5 99 0 20 2 36 -3 52 3 68 -2 84 4 21 1 37 -4 53 2 69 -3 85 3 22 0 38 -5 54 1 70 7 86 2 23 -1 39 -6 55 0 71 6 87 1 24 -2 40 0 56 -1 72 5 88 0 25 -3 41 3 57 -2 73 4 89 -1

Sumando los valores que tenemos hacia la derecha de cada número obtenemos 45.

La respuesta es: E Problema 254 (Kanguro 2008 - Junior – Problema 233)

En la igualdad K A N + G A = R O O cada una de las letras representa algún dígito (letras diferentes representan dígitos diferentes y letras iguales representan dígitos iguales). ¿Cuál es el valor de la diferencia R N − K G?

A) 10 C) 12 E) 11 B) 9 D) 21

115

Problema 249 (2ª Ronda Colegial 2008 – Problema 15) Martín escribe una lista de números utilizando una regla secreta:

11 , 24 , 37 , 50 , … , 401 , 414

¿Qué cantidad de números tiene la lista de Martín?

A) 13 C) 31 E) 33 B) 30 D) 32 F) n. d. l. a. Solución Buscamos la ley de formación

24 − 11 = 13 ; 37 − 24 = 13 ; 50 − 37 = 13 Luego:

414 − 11 = 403 ; 403 ÷ 13 = 31 Como habíamos sacado el primer término, agregamos 1. La cantidad de términos es:



El producto de 8 números enteros es –8. Determinar cuál es la menor cantidad de estos 8 números enteros, que pueden ser menores que 0.

Solución Se multiplican 8 números enteros. Como el producto es negativo, la cantidad de factores negativos tiene que ser impar. O sea, la cantidad de factores negativos puede ser:

1 , 3 , 5 , 7 La respuesta es entonces: UNO

116

Problema 251 (4ª Ronda Final 2008 – Problema 4) Observar cómo se va construyendo la siguiente tabla:

Calcular en qué fila y en qué columna está escrito el número 2 008.

Solución Vemos que el primer elemento de cada columna es una potencia de 2. Efectivamente:

Fila 1 → 1 = 20

Fila 2 → 2 = 21

Fila 3 → 4 = 22

Fila 4 → 8 = 23

Fila 5 → 16 = 24 Para la Fila n tendremos 2 n – 1. Consideramos:

210 = 1 024 ; 211 = 2 048 Según esto, la Fila 11 comienza con 1 024 y termina con 2 047. La Fila 11 es:

117

1 024 , 1025 , 1 026 , … , 2 045 , 2046 , 2047 El lugar que corresponde al número 2 008 en la fila lo conoceremos al saber cuántos números hay desde 1 024 hasta 2 008:

2 008 − 1 023 = 985 El lugar que corresponde al número 2 008 es:

Fila 11 , Columna 985

Criterios de corrección • Por decir que el primer número de cada fila es una potencia de 2 1 punto • Por relacionar el primer número de la fila con el exponente del 2 2 puntos • Por determinar la fila que corresponde a 2008 2 puntos • Por determinar la columna que corresponde a 2008 2 puntos Problema 252 (Kanguro 2008 - Junior – Problema 10)

El numerador y el denominador de una fracción son números negativos y el numerador es mayor que el denominador en uno. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones sobre la fracción es verdadera?

A) La fracción es un número menor que – 1. B) La fracción es un número entre – 1 y 0. C) La fracción es un número positivo menor que 1. D) La fracción es un número mayor que 1. E) No se puede determinar si la fracción es un número positivo o

negativo. Solución Sea la fracción . Como a y b son menores que 0, tenemos:

-b + 1 = -a ⇒ b − 1 = a ⇒ b = a + 1

Entonces tenemos:

< 1

La respuesta es: C

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Problemas 11 - Año 2013 - DOCENTE - prodimat.org.ve de OJM/problemas 11 - año... · Enunciados y Soluciones pág. 187 ii) Problemas Desafiantes. Enunciados y Soluciones pág. 195