Matematicas 3

COLEGIO PARTICULAR A DISTANCIA

“CONTINENTAL” Acuerdo Ministerial Numero Nº 3701

Matemática Tercer Año de Bachillerato Página 1







ÍNDICE

PRIMER QUIMESTRE

BLOQUE 1:NÚMEROS Y FUNCIONES ....................................... 12

FICHA N°1: ANÁLISIS DE FUNCIONES..................................... 12

OBJETIVOS:.................................................................................................................... 12

Destreza de Criterio de desempeño: ........................................................................... 12

Objetivo Educativo. ...................................................................................................... 12

FUNCIONES LINEALES ................................................................................................... 14

LECCION N°1 .................................................................................................................. 15

INVESTIGO N°1 ...................................................................................................... 15

GLOSARIO N°1 ....................................................................................................... 16

RESUMO N°1 ........................................................................................................... 16

CUESTIONARIO N°1 ....................................................................................................... 17

FICHA N°2: RANGOS E INTERVALOS ..................................................... 19

OBJETIVOS:.................................................................................................................... 19



Función creciente en un intervalo ................................................................................ 20

Función estrictamente decreciente en un intervalo ................................................... 20

Función decreciente en un intervalo ........................................................................... 21

LECCION N°2 .................................................................................................................. 22

INVESTIGO Nº 2 ..................................................................................................... 22

GLOSARIO Nº 2....................................................................................................... 22

RESUMO Nº 2 .......................................................................................................... 23

CUESTIONARIO Nº 2 ..................................................................................................... 24




FICHA N°3: PROGRESIONES ......................................................................... 25

OBJETIVOS:.................................................................................................................... 25



INTERPOLACION DE MEDIOS GEOMETRICOS ............................................... 25

SUMA DE LOS TERMINOS DE UNA PROGRESION GEOMETRICAS. ........... 27

LECCION N°3 .................................................................................................................. 28

INVESTIGO N°3 ...................................................................................................... 28

GLOSARIO N°3 ....................................................................................................... 28

RESUMO N°3 ........................................................................................................... 29

CUESTIONARIO N°3 ....................................................................................................... 30

FICHA N°4: FORMULACION DE PROGRESIONES......................... 31

OBJETIVOS:.................................................................................................................... 31



Fórmulas de los términos que intervienen en una progresión aritmética. ................ 32

Interpolación de términos ............................................................................................ 32

Suma de n términos consecutivos ............................................................................... 32

LECCION N°4 .................................................................................................................. 34

INVESTIGO N°4 ...................................................................................................... 34

GLOSARIO N°4 ....................................................................................................... 34

RESUMO N°4 ........................................................................................................... 35

CUESTIONARIO N°4 ....................................................................................................... 36

FICHA N°5: SOLUCIÓN DE PROBLEMAS ............................................. 37

OBJETIVOS:.................................................................................................................... 37






LECCION N°5 .................................................................................................................. 39

INVESTIGO N°5 ...................................................................................................... 40

GLOSARIO N°5 ....................................................................................................... 40

RESUMO N°5 ........................................................................................................... 41

CUESTIONARIO N°5 ....................................................................................................... 42

BLOQUE 2: ALGEBRA Y GEOMETRIA ..................................... 43

FICHA N°6: PROGRESIÓN GEOMÉTRICA ............................................ 43

OBJETIVOS:.................................................................................................................... 43



Progresión geométrica ............................................................................................ 43

Ejemplos de progresiones geométricas ..................................................................... 44

Ejercicios de progresiones geométricas ................................................................. 44

LECCION N°6 .................................................................................................................. 45

INVESTIGO N°6 ...................................................................................................... 45

GLOSARIO N°6 ....................................................................................................... 45

RESUMO N°6 ........................................................................................................... 46

CUESTIONARIO N°6 ....................................................................................................... 47

FICHA N°7: PROGRESIÓN GEOMÉTRICA ............................................ 48

OBJETIVOS:.................................................................................................................... 48



PROGRESIONES GEOMÉTRICAS .................................................................... 48

SÍMBOLO DE UNA PROGRESIÓN GEOMÉTRICA. ...................................... 49

LECCION N°7 .................................................................................................................. 52

INVESTIGO N°7 ...................................................................................................... 52

GLOSARIO N°7 ....................................................................................................... 53

RESUMO N°7 ........................................................................................................... 53

CUESTIONARIO N°7 ....................................................................................................... 54




FICHA N°8: INTERPOLACIÓN DE MEDIOS GEOMÉTRICOS .. 55

OBJETIVOS:.................................................................................................................... 55



INTERPOLACION DE MEDIOS GEOMETRICOS ............................................... 55

Medios geométricos ................................................................................................................ 56

SUMA DE LOS TERMINOS DE UNA PROGRESION GEOMETRICAS ........................................... 56

LECCION N°8 .................................................................................................................. 58

INVESTIGO N°8 ...................................................................................................... 58

GLOSARIO N°8 ....................................................................................................... 58

RESUMO N°8 ........................................................................................................... 59

CUESTIONARIO N°8 ....................................................................................................... 60

FICHA N°9: RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS. .................................... 61

OBJETIVOS:.................................................................................................................... 61



RESOLUCION DE PROBLEMAS DE UNA PROGRESION GEOMETRICA .... 61

LECCION N°9 .................................................................................................................. 63

INVESTIGO N°9 ...................................................................................................... 63

GLOSARIO N°9 ....................................................................................................... 64

RESUMO N°9 ........................................................................................................... 65

CUESTIONARIO N°9 ....................................................................................................... 66

FICHA N°10: LOGARITMOS. .................................................................. 67

OBJETIVOS:.................................................................................................................... 67



LOGARITMOS ......................................................................................................... 67

PROPIEDADES GENERALES DE LOS LOGARITMOS: .............................................. 67

LOGARITMO DE UN PRODUCTO: .......................................................................... 68




LOGARITMO DE UN COCIENTE ............................................................................. 68

LOGARITMO DE UNA POTENCIA .......................................................................... 68

LOGARITMO DE UNA RAIZ .................................................................................... 69

CARACTERISTICA Y MANTISA .......................................................................... 69

VALOR DE LA CARACTERISTICA. : ......................................................................... 69

COLOGARITMO: .................................................................................................... 70

LECCION N°10 ................................................................................................................ 71

INVESTIGO N°10 .................................................................................................... 71

GLOSARIO N°10 ..................................................................................................... 71

RESUMO N°10 ......................................................................................................... 72

CUESTIONARIO N°10..................................................................................................... 73

SEGUNDO QUIMESTRE

FICHA N°11: LOGARITMOS VULGARES. .............................. 75

OBJETIVOS:.................................................................................................................... 75



LOGARITMOS VULGARES .................................................................................. 75

PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS VULGARES .................................................. 75

CALCULO DEL VALOR DE LA EXPRESION POR MEDIO DE LOGARITMOS:

................................................................................................................................... 77

LECCION N°11 ................................................................................................................ 78

INVESTIGO.............................................................................................................. 78

GLOSARIO N°11 ..................................................................................................... 78

RESUMO N°11 ......................................................................................................... 79

CUESTIONARIO N°11..................................................................................................... 79




FICHA N°12: LOGARITMOS VULGARES. .............................................. 81

OBJETIVOS:.................................................................................................................... 81



CALCULO DEL VALOR DE LA EXPRESION: .................................................... 81

LECCION N°12 ........................................................................................................... 83

INVESTIGO N°12 .................................................................................................... 83

GLOSARIO N°12 ..................................................................................................... 83

RESUMO N°12 ......................................................................................................... 84

CUESTIONARIO N°12..................................................................................................... 84

FICHA N°13: SOLUCIÓN DE PROBLEMAS. ............................................. 86

OBJETIVOS:.................................................................................................................... 86



RESOLUCION DE PROBLEMAS UTILIZANDO LOGARITMOS ..................... 86

LECCION N°13 ................................................................................................................ 88

INVESTIGO N°13 .................................................................................................... 88

GLOSARIO N°13 ..................................................................................................... 88

RESUMO N°13 ......................................................................................................... 89

CUESTIONARIO N°13 ......................................................................................... 89

FICHA N°14: ECUACIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS

91

OBJETIVOS:.................................................................................................................... 91



ECUACIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS ........................................................ 91

LECCION N°14 ................................................................................................................ 93

INVESTIGO N°14 .................................................................................................... 93

GLOSARIO N°14 ..................................................................................................... 93




RESUMO N°14 ......................................................................................................... 94

CUESTIONARIO N°14..................................................................................................... 95

FICHA N°15: GENERALIDADES Y APLICACIONES. ...................... 96

OBJETIVOS:.................................................................................................................... 96



GEOMETRIA ANALITICA ..................................................................................... 96

Distancia de un punto a una recta. ............................................................... 97

PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO .................................................................... 98

LECCION N°15 ................................................................................................................ 99

INVESTIGO N°15 .................................................................................................... 99

GLOSARIO N°15 ..................................................................................................... 99

RESUMO N°15 ....................................................................................................... 100

CUESTIONARIO N°15................................................................................................... 101

BLOQUE 4:PROBABILIDAD Y GEOMETRÍA ANALÍTICA 102

FICHA N°16: FUNCIONES ANALÍTICAS. ........................................... 102

OBJETIVOS:.................................................................................................................. 102

Destreza de Criterio de desempeño: ......................................................................... 102

Objetivo Educativo. .................................................................................................... 102

Ecuación General de la Recta .............................................................................................. 103

Ecuación de la Recta (vertical) ............................................................................................. 103

Ecuación de la Recta (horizontal) ........................................................................................ 103

Ecuación de la Recta (punto-pendiente) .............................................................................. 103

LECCION N° 16 ........................................................................................................ 105

INVESTIGO N°16 .................................................................................................. 105

GLOSARIO N°16 ................................................................................................... 105

RESUMO N°16 ....................................................................................................... 106

CUESTIONARIO N°16 ............................................................................................ 107




FICHA N°17: PROPIEDADES ANALÍTICAS. ..................................... 108

OBJETIVOS:.................................................................................................................. 108


Objetivo Educativo. .................................................................................................... 108

Destreza con criterio de desempeño: ....................................................................... 108

Forma General de la Ecuación de la Circunferencia ............................................... 109

LECCION N°17 ......................................................................................................... 111

INVESTIGO N°17 .................................................................................................. 111

GLOSARIO N°17 ................................................................................................... 111

RESUMO N°17 ....................................................................................................... 112

CUESTIONARIO N°17 ............................................................................................ 113

FICHA N°18: PROPIEDADES ANALÍTICAS. ....................................... 115

Objetivo: ..................................................................................................................... 115

Destreza con criterio de desempeño: ....................................................................... 115

LECCION N°18 ......................................................................................................... 119

INVESTIGO N°18 .................................................................................................. 119

GLOSARIO N°18 ................................................................................................... 120

RESUMO N°18 ....................................................................................................... 121

CUESTIONARIO N°18 ............................................................................................ 122

FICHA N°19: PROPIEDADES ANALÍTICAS. ....................................... 124

OBJETIVOS:.................................................................................................................. 124


Secciones cónicas .................................................................................................... 124

LA CIRCUNFERENCIA. ......................................................................................... 125

LA ELIPSE ................................................................................................................ 126

LA HIPÉRBOLA ....................................................................................................... 126

LECCION N°19 ......................................................................................................... 127

INVESTIGO N°19 .................................................................................................. 127

RESUMO N°19 ....................................................................................................... 128




GLOSARIO N°19 ................................................................................................... 128

CUESTIONARIO N°19 ............................................................................................ 129

FICHA N°20: ECUACIONES CUADRÁTICAS. .............................. 131

Objetivos: .................................................................................................................... 131


Objetivo educativo: .................................................................................................... 131

Ecuaciones Lineales ............................................................................................ 132

Ecuación punto-pendiente .................................................................................. 132

Distancia entre puntos ............................................................................................. 132

INTERSECCION ENTRE RECTAS ...................................................................... 132

INTERSECCION ENTRE PARABOLAS ............................................................. 134

LECCION N°20 ............................................................................................................. 136

INVESTIGO N°20 .................................................................................................. 136

RESUMO N°20 ....................................................................................................... 136

GLOSARIO N°20 ................................................................................................... 137

CUESTIONARIO N°20 .................................................................................................. 138




PRIMER QUIMESTRE

BLOQUE 1:

Números y Funciones

FICHA N°1:

Análisis de Funciones

OBJETIVOS:

Fomentar el análisis y evaluación de las funciones matemáticas, además interactuar con

los teoremas y sus aplicaciones en este amplio campo de las Funciones.

Destreza de Criterio de desempeño:

Desarrollo de evaluaciones funcionales.

Graficación de funciones lineales.

Aplicación de teoremas de evaluación funcional.

Objetivo Educativo. En la actualidad el ser humano requiere cada vez con mayor frecuencia el uso de

funciones lineales y otros tipos para resolver problemas económicos, administrativos y de

la vida misma. El conocimiento de sus características y comportamiento nos permite

tomar decisiones importantes.

Una función, en matemáticas es el término usado para indicar la relación o

correspondencia entre dos o más cantidades. El termino función fue usado por primera

vez en 1637 por el matemático francés Rene Descartes. (1596 – 1560).

La variable x a la que se le asigna libremente valores, se llama variable independiente,

mientras que la variable y cuyos valores depende de la x, se llama variables




Dependientes. Los valores permitidos de x constituye el dominio de definición de la

función y los valores que toma x constituye su recorrido

x y

Dominio Recorrido.

Una función es una correspondencia entre conjuntos que se produce cuanto todos de los elementos del primer conjunto (Dominio) se halla relacionado con un solo elemento del segundo conjunto (Recorrido)

Ejemplo x y

Si es una función, pues todos los elementos del conjunto salida tienen una sola imagen

(Correspondencia) en el conjunto de llegada.

X y

Dominio Recorrido

1 2 3

4

55

55

5

a b c

d

1 2 3

4

a b c

d

1 2 3

4

a b c

d




No es una función pues no todos los elementos del conjunto salida tienen una imagen

(correspondencia) en el conjunto de llegada

X y

Dominio Recorrido

FUNCIONES LINEALES

Es aquella relación de correspondencia que define como grafica una línea recta cuando es

representado en el plano cartesiano. Su forma característica es

𝑓(𝑥) = 𝑚𝑥 + 𝑏

Donde m y b son constantes reales y x es una variable real. La constante m es la

pendiente de la recta y b es el punto de corte de la recta con el eje y. Cuando cambiamos

m modificamos la inclinación de la recta y cuando cambiamos b desplazamos la línea

arriba o abajo.

Ejemplo

Graficar la función 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 1

𝑥 𝑓( ) -2 -5

-1 -3

0 -1

1 1

2 3

1 2 3

4

a b c

d




LECCION N°1

INVESTIGO N°1

1. Escribir una definición de Función.

__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

______________________________________________________________

2. Cuál es el Dominio y el Recorrido de una función.

__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

______________________________________________________________

3. Identifique en la siguiente ecuación la pendiente de las líneas rectas y el punto de corte.

Con el eje de las ordenadas.

𝑓(𝑥) = 4 − 2𝑥

__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

_________________________________________________________________

NOMBRE: _________________________________

CURSO: ___________________________________

ESPECIALIDAD: _____________________________




FUNCIONES

GLOSARIO N°1

a. Función:………………………………………………………………………………………………………………...

b. Dominio…………………………………………………………………………………………………………………

c. Recorrido……………………………………………………………………………………………………………….

d. Contra dominio:……………………………………………………………………………………………………..

e. Pendiente……………………………………………………………………………………………………………..

4. Escriba 5 palabras no asimiladas en la lección con su respectivo significado.

……………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………

RESUMO N°1

F. lineales F. Cuadráticas




CUESTIONARIO N°1

Identificar si los siguientes gráficos corresponden a una función, argumentar la respuesta

en cada caso.

x y

Dominio Recorrido

__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

_________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

_________________________________________________________________

1 2 3

4

a b c

d

1 2 3

4

a b c

d




Dibujar las gráficas de las siguientes ecuaciones e identificar en cada caso la pendiente y el

punto de corte con el eje y

a. 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 3

b. 𝑓(𝑥) = −𝑥 + 5

c. 𝑓(𝑥) = 3𝑥 − 5

d. 𝑓(𝑥) = 1 − 3𝑥

Firma del Profesor Calificación Firma del Estudiante




BLOQUE1: Números y Funciones

FICHA N°2:

Rangos e Intervalos

OBJETIVOS:

Reconocer los intervalos de los diferentes tipos de funciones con su respectivo análisis,

aplicando métodos numéricos.


Determinación de las funciones crecientes.

Determinación de funciones decrecientes.

Graficar funciones mediante sus intervalos iniciales.

Objetivo Educativo. Una función es una relación entre dos magnitudes, de tal manera que a cada valor de la primera le corresponda un único valor de la segunda. Pueden representar de diferentes maneras:

a. Mediante una expresión matemática, ecuación o formula. b. Como una tabla de valores que permite representar algunos valores discretos de

la función. c. Como proposición: una descripción por comprensión de lo que hace la función. d. Mediante una representación gráfica.

Algunas actividades corporales tales como el sueño, el ritmo cardíaco y la locomoción son funciones biológicas que se llevan a cabo en casi todos los seres vivos. Así también en la vida cotidiana los modelos de función han servido a las ciencias para explicar y predecir muchos fenómenos, tanto de la vida científica como de la vida social. La función exponencial, por ejemplo, explica y predice fenómenos de crecimiento de bacterias o del fenómeno de desintegración radiactiva. Igualmente la función exponencial puede reflejar el crecimiento de la población.




Una función es estrictamente creciente en un intervalo , si para dos valores cualesquiera la función toma su sentido creciente dese el punto de análisis. Del intervalo, y , se cumple que: Cuando en la gráfica de una función estrictamente creciente nos movemos hacia la derecha también nos movemos hacia arriba:

Función creciente en un intervalo Una función es creciente en un intervalo , si para dos valores cualesquiera del intervalo,

y , se cumple que:

Función estrictamente decreciente en un intervalo Una función es estrictamente decreciente en un intervalo , si para dos valores cualesquiera del intervalo, y , se cumple que:




Cuando en la gráfica de una función estrictamente decreciente nos movemos hacia la derecha también nos movemos hacia abajo:

Función decreciente en un intervalo

Una función es decreciente en un intervalo , si para dos valores cualesquiera de intervalo, y , se cumple que: Observa, a cada elemento del dominio le corresponde un único elemento del recorrido, Entonces es función. A cada elemento del dominio le corresponde un único elemento del recorrido, por lo tanto es función. No es función, pues a un elemento del dominio le corresponde dos elementos del recorrido.




LECCION N°2

NOMBRE: _________________________________ CURSO: ___________________________________ PROFESOR: ________________________________ FECHA: ____________________________________

INVESTIGO Nº 2 Establece una diferencia entre función creciente y decreciente. _________________________________________________________________________

Que condición se debe cumplir para que una función sea creciente. _________________________________________________________________________

Que condición se debe cumplir para que una función sea decreciente. _________________________________________________________________________

GLOSARIO Nº 2

Función:……………………………………………………………………………………………………………………… Creciente:………………………………………………………….………………………………………………………… Decreciente:………………………………………………………………………………………………………………… Intervalo:……………………………………………………………………………………………………..…………… Punto de corte…………………………………………………………………………………………………………..




Escriba 5 palabras no asimiladas en la lección con su respectivo significado. ………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………..……………………………………………………………

RESUMO Nº 2

Creciente Decreciente

es

es

ejemplos

FUNCION




CUESTIONARIO Nº 2

Demuestra si las siguientes funciones son crecientes o decrecientes y representa gráficamente:





BLOQUE 1:

Números y Funciones

FICHA N°3:

Progresiones

OBJETIVOS:

Aprender y analizar los sistemas que ameritan progresiones en funciones

matemáticas, y el entendimiento de las mismas para su correcta aplicación.


Reforzar los conocimientos anteriores.

Interpolar medios geométricos.

Resolver ejercicios de suma con progresiones geométricas

Objetivo Educativo.

INTERPOLACION DE MEDIOS GEOMETRICOS

Interpolar m medios geométricos entre dos números a y b consiste en incluir m términos entre dichos números y formar una progresión geométrica de m+2 términos.

Es decir a……………. …………..b




Medios entre a y b

Para realizar interpolaciones, primero calculamos la razón (r) geométrica y luego

formamos la progresión geométrica, la fórmula es:

𝑟 = √𝑡𝑛

𝑡1

𝑚+1

𝒕𝒏 = ú𝒍𝒕𝒊𝒎𝒐 𝒕é𝒓𝒎𝒊𝒏𝒐.

𝒕𝟏 = 𝒑𝒓𝒊𝒎𝒆𝒓 𝒕é𝒓𝒎𝒊𝒏𝒐.

𝒓 = 𝒓𝒂𝒛𝒐𝒏 𝒈𝒆𝒐𝒎𝒆𝒕𝒓𝒊𝒄𝒂

𝒎 = 𝑬𝒔 𝒆𝒍 𝒏ú𝒎𝒆𝒓𝒐 𝒅𝒆 𝒕é𝒓𝒎𝒊𝒏𝒐𝒔 𝒆𝒏𝒕𝒓𝒆 𝒂 𝒚 𝒃

Ejemplo:

Interpolar 3 medios geométricos entre 1

4 𝑦 4

DATOS:

𝒕𝒏 = 𝟒 𝒕𝟏 = 𝟏

𝟒 𝒎 = 𝟑 𝒓 =

𝑟 = √𝑡𝑛

𝑡1

𝑚+1

= √4

14

3+1 = √16

4 = 2




Escribimos la progresión geométrica:

1

4,

𝟏

𝟐, 𝟏, 𝟐, 4.

3 medios geométrico

SUMA DE LOS TÉRMINOS DE UNA PROGRESIÓN GEOMÉTRICAS.

Si tenemos la sucesión de 2, 6, 18, 54…..

La suma de los 4 términos es: 𝑆4 = 2 + 6 + 18 + 54 = 80

Para sumar los 100 primeros términos resulta molesto, para simplificar la suma de

términos podemos utilizar una fórmula:

𝑆 =𝑡1(1 − 𝑟𝑛)

1 − 𝑟 𝑆 =

𝑡1 − 𝑡𝑛

1 − 𝑟

Ejemplo:

Hallar la suma de los 7 primeros términos de. 10, 30, 90, …………….

𝑫𝒂𝒕𝒐𝒔: 𝑡𝟕 =? 𝒕𝟏 = 𝟏𝟎 𝑺 =? 𝒓 = ?

Desarrollo:

Calculamos r: 𝒓 = 𝟑𝟎 ÷ 𝟏𝟎 = 𝟑

Calculamos S:

𝑆 =𝑡1(1−𝑟𝑛)

1−𝑟; 𝑆 =

10(1−37)

1−3 ; 𝑆 =

10(−2186)

−2 ;

𝑆 = 10930




LECCION N°3

INVESTIGO N°3

Que es INTERPOLAR medios geométricos.

_________________________________________________________________________

Escriba la fórmula para calcular los medios geométricos.

_________________________________________________________________________

Indique cuales son los pasos para realizar una suma de n términos.

_________________________________________________________________________

GLOSARIO N°3

Busque el significado de las siguientes palabras:

Interpolar:…………………………………………………………………………………………………………..

Medios geométricos:………………………………………………………………………………………….

Términos:…………………………………………………………………………………………………………..

Serie:………………………………………………………………………………………………………………….

Expresión:……………………………………………………………………………………………………………

NOMBRE: _________________________________

CURSO: ___________________________________

PROFESOR: ________________________________

FECHA: ____________________________________




Proceso

Escriba 5 palabras no asimiladas en la lección con su respectivo significado.

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------

RESUMO N°3

Interpolación de medios Suma de n términos

Proceso es es

Formula Formula




CUESTIONARIO N°3

Determine la solución de las siguientes series de progresiones.

1. Interpolar 3 medios geométricas entre 6250 y 10

2. Interpolar 4 medios geométricos entre11

2 𝑦

16

81

3. Calcular la suma de. 54, 18, 6……………………2

27

4. Calcular el dato que falta:

a. 𝑡1 = 1 𝑡7 = 64 𝑟 =? 𝑆 =?

b. 𝑡1 = 2 𝑡𝑛 = 162 𝑟 = 3 𝑆 =

c. 𝑡𝑛 = 54 𝑡1 =2

9 𝑟 =? 𝑛 = ? 𝑆 = 80

8

9

d. 𝑡6 = ? 𝑡1 = 3 𝑟 = 2 𝑆 =?





BLOQUE 1: NÚMEROS Y

FUNCIONES

FICHA N°4:

FORMULACION DE

PROGRESIONES

OBJETIVOS: Aprender y analizar los sistemas que ameritan progresiones en funciones

matemáticas, y el entendimiento de las mismas para su correcta aplicación.


Encontrar regularidades en secuencias numéricas.

Interpolar términos en una progresión aritmética.

Hallar la suma de términos en una progresión aritmética.

Objetivo Educativo.

Una progresión geométrica está constituida por una secuencia de elementos en la que cada uno de ellos se obtiene multiplicando el anterior por una constante denominada razón o factor de la progresión. Se suele reservar el término progresión cuando la secuencia tiene una cantidad finita de términos mientras que se usa sucesión cuando hay una cantidad infinita de términos, si bien, esta distinción no es estricta.

Así, es una progresión geométrica con razón igual a 3, porque:

15 = 5 × 3

45 = 15 × 3

135 = 45 × 3

405 = 135 × 3

http://es.wikipedia.org/wiki/Finito

http://es.wikipedia.org/wiki/T%C3%A9rmino_(matem%C3%A1ticas)




Fórmulas de los términos que intervienen en una progresión aritmética.

Interpolación de términos

La interpolación consiste en intercalar varios términos entre dos dados. Los términos hallados se llaman medios aritméticos.

Intercalar entre 2 y 14 tres números a, b, c de manera que los cinco números estén en progresión aritmética. Datos: t1 = 2 t5 = 14 n = 5 progresión 2, a, b, c, 14 Calculamos la diferencia d aplicando la expresión del término general de una progresión aritmética. t 5 = t1 +(n -1)d » 14 = 2 + (5 -1)d » 14 = 2 + 4d » d = 3 Sabiendo que d = 3 completamos la progresión » 2, 5, 8, 11, 14

Suma de n términos consecutivos

𝑺𝒏 = 𝒏

𝟐(𝟐𝒏 + (𝒏 − 𝟏)𝒅)




Suma de n términos consecutivos




LECCION N°4

INVESTIGO N°4

5. Quien descubrió las progresiones

__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

6. Que es una sucesión infinita.

__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

______________________________________________________________

7. Para que se puede utilizar las progresiones aritméticas en la vida cotidiana. Indique

ejemplos.

__________________________________________________________________________

______________________________________________________________________

GLOSARIO N°4

f. Serie:………………………………………………………………………………………………………………...

g. Diferencia…………………………………………………………………………………………………………

h. Progresión…………………………………………………………………………………………………………

i. Formula:……………………………………………………………………………………………………..

j. Aritmética…………………………………………………………………………………………………………

NOMBRE: _________________________________

CURSO: ___________________________________

PROFESOR: ________________________________

FECHA: ____________________________________




Formula del término

enésimo


__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

______________________________________________________________

RESUMO N°4

Complete el siguiente mapa conceptual.

Progresiones Aritméticas

Definición Que es el término enésimo




CUESTIONARIO N°4

1. 𝐻𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟 𝑒𝑙 9𝑛𝑜𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜 𝑑𝑒 7, 10, 13, … … … … ….

2. 𝐻𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟 𝑒𝑙 12𝑣𝑜𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜 𝑑𝑒 5, 10, 15, … … … … ….

3. 𝐻𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟 𝑒𝑙 48𝑜𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜 𝑑𝑒 9, 12, 15, … … … … ….




7. 𝐻𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟 𝑒𝑙 27𝑜𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜 𝑑𝑒 31

2, 5

1

4, , … … … … ….





BLOQUE 1: NÚMEROS Y

FUNCIONES

FICHA N°5:

Solución de Problemas

OBJETIVOS: Aprender y analizar los sistemas que ameritan progresiones en funciones matemáticas, y el

entendimiento de las mismas para su correcta aplicación.

Destreza de Criterio de desempeño: Reforzar los conocimientos anteriores.

Plantear y solucionar los problemas.




Objetivo Educativo.

PROCESO PARA LA SOLUCION DE PROBLEMAS DE PROGRESION ARITMETICAS

1. Leemos el problema en forma rápida puntualizando los términos de la P.A.

2. Leemos detenidamente extrayendo los términos y luego puntualizando el término desconocido.

3. Planteamos el problema.

4. Desarrollamos el problema, respondiendo a las incógnitas.

5. Determinamos la respuesta.

Para mayor compresión determinamos el siguiente ejemplo.




Ejemplos:

El cuarto término de una progresión aritmética es 10, y el sexto es 16. Escribir la progresión.

t 4 = 10; t 6 = 16

t n = t k + (n - 1) · d

16 = 10 + (6 - 4) d; d= 3

t1= a4 - 3d;

t1 = 10 - 9 = 1

1, 4, 7, 10, 13, ...

Interpolar tres medios aritméticos entre 8 y -12.

8, 3, -2, -7, -12………

El primer término de una progresión aritmética es -1, y el décimo quinto es 27. Hallar la diferencia y la suma de los quince primeros términos.

t 1 = − 1; t15 = 27;

t n = t 1 + (n - 1) · d

27= -1 + (15-1) d; 28 = 14d; d = 2

S= (-1 + 27) 15/2 = 195

¿Cuándo ha ahorrado un hombre en cinco años si en enero del primer año ahorro 2 dólares y en cada

mes posterior ahorra 3 dólares más que el precedente?




Datos

𝒏 = 𝟔𝟎 𝒎𝒆𝒔𝒆𝒔

𝒕𝟏 = 𝟐

𝒅 = 𝟑

𝑺𝒏 =

La serie es: 2, 5, 8,

11…………………………………………………𝑡𝑛

𝑺𝒏 =𝒏

𝟐[𝟐𝒕𝟏 + (𝒏 − 𝟏)𝒅]

𝑆60 =60

2[2 × 2 + (60 − 1)3]

𝑆60 = 30[4 + 59 × 3]

𝑆60 = 30[4 + 177]

𝑆60 = 30[181]

𝑆60 = 5430

LECCION N°5




INVESTIGO N°5

Quien descubrió las progresiones

______________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________

Que es una sucesión.

______________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________

Para que se puede utilizar las progresiones aritméticas en la vida cotidiana. Indique ejemplos.

______________________________________________________________________________________

__________________________________________________________

GLOSARIO N°5

Serie:………………………………………………………………………………………………………………...

Diferencia…………………………………………………………………………………………………………

Progresión…………………………………………………………………………………………………………

Formula:……………………………………………………………………………………………………..

Aritmética…………………………………………………………………………………………………………


NOMBRE: _________________________________

CURSO: ___________________________________

PARALELO: ________________________________

PROFESOR: ________________________________

FECHA: ____________________________________




______________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________

____________________________________________________________

RESUMO N°5




Formula del término enésimo




CUESTIONARIO N°5

𝐇𝐚𝐥𝐥𝐚𝐫 𝐞𝐥 𝟗𝐧𝐨𝐭𝐞𝐫𝐦𝐢𝐧𝐨 𝐝𝐞 𝟕, 𝟏𝟎, 𝟏𝟑, … … … … ….

𝐇𝐚𝐥𝐥𝐚𝐫 𝐞𝐥 𝟏𝟐𝐯𝐨𝐭𝐞𝐫𝐦𝐢𝐧𝐨 𝐝𝐞 𝟓, 𝟏𝟎, 𝟏𝟓, … … … … ….

𝐇𝐚𝐥𝐥𝐚𝐫 𝐞𝐥 𝟒𝟖𝐨𝐭𝐞𝐫𝐦𝐢𝐧𝐨 𝐝𝐞 𝟗, 𝟏𝟐, 𝟏𝟓, … … … … ….

𝐇𝐚𝐥𝐥𝐚𝐫 𝐞𝐥 𝟔𝟑𝐨𝐭𝐞𝐫𝐦𝐢𝐧𝐨 𝐝𝐞 𝟑, 𝟏𝟎, 𝟏𝟕, … … … … ….

𝐇𝐚𝐥𝐥𝐚𝐫 𝐞𝐥 𝟏𝟐𝐨𝐭𝐞𝐫𝐦𝐢𝐧𝐨 𝐝𝐞 𝟏𝟏, 𝟔, 𝟏, … … … … ….

𝐇𝐚𝐥𝐥𝐚𝐫 𝐞𝐥 𝟐𝟖𝐨𝐭𝐞𝐫𝐦𝐢𝐧𝐨 𝐝𝐞 𝟏𝟗, 𝟏𝟐, 𝟓, … … … … ….

𝐇𝐚𝐥𝐥𝐚𝐫 𝐞𝐥 𝟐𝟕𝐨𝐭𝐞𝐫𝐦𝐢𝐧𝐨 𝐝𝐞 𝟑𝟏

𝟐, 𝟓

𝟏

𝟒, , … … … … ….





BLOQUE 2: ALGEBRA Y GEOMETRÍA

FICHA N°6:

Progresión Geométrica








Objetivo Educativo.

Progresión geométrica

Se suele reservar el término progresión cuando la secuencia tiene una cantidad finita de términos mientras que se usa sucesión cuando hay una cantidad infinita de términos, si bien, esta distinción no es estricta.

Así, es una progresión geométrica con razón igual a 3, porque:

15 = 5 × 3

45 = 15 × 3

135 = 45 × 3 y así sucesivamente.

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Geometric_progression_convergence_diagram.svg

http://es.wikipedia.org/wiki/Finito

http://es.wikipedia.org/wiki/T%C3%A9rmino_%28matem%C3%A1ticas%29




Aunque es más fácil aplicando la fórmula:

Siendo el término en cuestión, el primer término y la razón:

Así quedaría si queremos saber el 6º término de nuestra progresión

Ejemplos de progresiones geométricas

La progresión 1, 2, 4, 8, 16, es una progresión geométrica cuya razón vale 2, al igual que 5, 10, 20, 40.

La razón no necesariamente tiene que ser un número entero. Así, 12, 3, 0.75, 0.1875 es una progresión geométrica con razón 1/4.

La razón tampoco tiene por qué ser positiva. De este modo la progresión 3, -6, 12, -24 tiene razón -2. Este tipo de progresiones es un ejemplo de progresión alternante porque los signos alternan entre positivo y negativo.

Cuando la razón es igual a 1 se obtiene una progresión constante: 7, 7, 7, 7 Un caso especial es cuando la razón es igual a cero, por ejemplo: 4, 0, 0, 0. Existen ciertas

referencias que no consideran este caso como progresión y piden explícitamente que en la definición.

Ejercicios de progresiones geométricas




LECCION N°6

INVESTIGO N°6 Quien descubrió las progresiones

______________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________

______________________________________

Que es una sucesión.

______________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________

__________________________

Para que se puede utilizar las progresiones aritméticas en la vida cotidiana. Indique ejemplos.

______________________________________________________________________________________

__________________________________________________________

GLOSARIO N°6

Serie:………………………………………………………………………………………………………………... Diferencia………………………………………………………………………………………………………… Progresión………………………………………………………………………………………………………… Formula:…………………………………………………………………………………………………….. Aritmética…………………………………………………………………………………………………………

NOMBRE: _________________________________

CURSO: ___________________________________

PARALELO: ________________________________

PROFESOR: ________________________________

FECHA: ____________________________________





______________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________

RESUMO N°6




Formula del término enésimo




CUESTIONARIO N°6

𝐻𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟 𝑒𝑙 12𝑣𝑜𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜 𝑑𝑒 5, 10, 15, … … … … ….

𝐻𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟 𝑒𝑙 48𝑜𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜 𝑑𝑒 9, 12, 15, … … … … ….








BLOQUE 2: ALGEBRA Y GEOMETRÍA

FICHA N°7: Progresión Geométrica



Destreza de Criterio de desempeño: Reforzar los conocimientos anteriores. Conocer cada uno de los términos de una progresión geométrica.




Objetivo Educativo.

PROGRESIONES GEOMÉTRICAS

Una progresión geométrica es una sucesión de números o términos de modo que uno cualquiera es igual al anterior por una cantidad constante que llamamos razón de la progresión, la representamos por r y la obtenemos dividiendo el valor de un término cualquiera por el valor del término anterior:

Observa una la sucesión:

2: 4: 8: 16: 32: 64:.………..

Cuando veas puntos suspensivos quiere decir que en ellos, se incluyen o pueden incluirse más términos. Vemos que el segundo término o número de la sucesión es igual al valor del primer término por 2. El tercer término de la sucesión es igual al valor del segundo término por 2: 4 x 2 = 8 El cuarto término de la sucesión es igual al valor del tercer término por 2: 8 x 2 = 16.

El valor de d obtenemos dividiendo el valor del tercer término entre el valor del 2º término: o bien, el del 5º entre el valor del 4º: .




SÍMBOLO DE UNA PROGRESIÓN GEOMÉTRICA.

Cálculo del último término de una progresión geométrica.










LECCION N°7

INVESTIGO N°7

1. Que es una progresión geométrica. _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________

2. Indique dos semejanzas y dos diferencias entre progresión aritmetica y geométrica. _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________

3. ¿Cuáles son los términos de una progresión geométrica?: Explique cada uno de ellos. _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________

NOMBRE: _________________________________

CURSO: ___________________________________

PARALELO: ________________________________

PROFESOR: ________________________________

FECHA: ____________________________________




GLOSARIO N°7

Series………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. Geométrico……………………………………………………………………………………………………………………………………………… Que es una progresión creciente……………………...........................…………………………………………………………. Que es una progresión decreciente……………………………………………………………………………………………………… Logaritmo……………………………………………………………………………………………………………………………………………


………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

RESUMO N°7

Termino de una progresión geométrica




CUESTIONARIO N°7

SOLUCION DE EJERCICIOS:

1. Hallar el primer término de una progresión geométrica cuyo 15avo término es - 59049, y la

razón es -3. Escribir la progresión.

2. En una progresión geométrica el primer término es 2, el último término 1458 y la razón 3 .

Cuantos términos tiene la progresión geométrica.

3. El noveno término de una progresión geométrica es , y el primer término es 384.

Calcular la razón.

4. Calcular el dato que falta: RESUELVA LOS SIGUIENTE PROBLEMA:

COMPRUEBE SI LA RESPUESTA E3: 400, 800 y 1200

5. Los ahorros de tres años de un hombre están en progresión aritmética si en los tres años a

ahorrado 2400 dólares y en el primer año ahorra la mitad lo que ahorro el segundo año ¿Cuánto ahorro cada año?

COMPRUEBE SI LA RESPUESTA ES: 246 km.

6. Una persona viaja 50 km en el primer día y en cada día posterior 5, 5 km. De lo que recorrió en

día anterior ¿Cuánto habrá recorrido al cabo de 8 días?





BLOQUE 2: ALGEBRA Y GEOMETRIA

FICHA N°8

Interpolación de Medios

Geométricos.







Objetivo Educativo.

INTERPOLACION DE MEDIOS GEOMETRICOS

Interpolar m medios geométricos entre dos números a y b consiste en incluir m términos entre dichos números y formar una progresión geométrica de m+2 términos.

Es decir a……………. …………..b




M medios entre a y b

Para realizar interpolaciones, primero calculamos la razón (r) geométrica y luego formamos la progresión

geométrica, la fórmula es:

𝑟 = √𝑡𝑛

𝑡1

𝑚+1

𝒕𝒏 = ú𝒍𝒕𝒊𝒎𝒐 𝒕é𝒓𝒎𝒊𝒏𝒐.

𝒕𝟏 = 𝒑𝒓𝒊𝒎𝒆𝒓 𝒕é𝒓𝒎𝒊𝒏𝒐.

𝒓 = 𝒓𝒂𝒛𝒐𝒏 𝒈𝒆𝒐𝒎𝒆𝒕𝒓𝒊𝒄𝒂

𝒎 = 𝑬𝒔 𝒆𝒍 𝒏ú𝒎𝒆𝒓𝒐 𝒅𝒆 𝒕é𝒓𝒎𝒊𝒏𝒐𝒔 𝒆𝒏𝒕𝒓𝒆 𝒂 𝒚 𝒃

Ejemplo:

Interpolar 3 medios geométricos entre 1

4 𝑦 4

DATOS:

𝒕𝒏 = 𝟒 𝒕𝟏 = 𝟏

𝟒 𝒎 = 𝟑 𝒓 =

𝑟 = √𝑡𝑛

𝑡1

𝑚+1

= √4

14

3+1 = √164

= 2

Escribimos la progresión geométrica:

1

4,

𝟏

𝟐, 𝟏, 𝟐, 4.

3 medios geométricos

SUMA DE LOS TERMINOS DE UNA PROGRESION GEOMETRICAS

Si tenemos la sucesión de 2, 6, 18, 54…..

La suma de los 4 términos es: 𝑆4 = 2 + 6 + 18 + 54 = 80




Para sumar los 100 primeros términos resulta molesto, para simplificar la suma de términos podemos

utilizar una formula:

𝑆 =𝑡1(1 − 𝑟𝑛)

1 − 𝑟 𝑆 =

𝑡1 − 𝑡𝑛

1 − 𝑟

Ejemplo:

Hallar la suma de los 7 primeros términos de.

10, 30, 90, ……………….

𝑫𝒂𝒕𝒐𝒔: 𝑡𝟕 =? 𝒕𝟏 = 𝟏𝟎 𝑺 =? 𝒓 =

Desarrollo:

Calculamos r: 𝒓 = 𝟑𝟎 ÷ 𝟏𝟎 = 𝟑

Calculamos S:

𝑆 =𝑡1(1 − 𝑟𝑛)

1 − 𝑟; 𝑆 =

10(1 − 37)

1 − 3 ; 𝑆 =

10(−2186)

−2 ; 𝑆 = 10930




LECCION N°8

LECCION 6

INVESTIGO N°8 Que es INTERPOLAR medios geométricos.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

-------------------------------------------------------------------------------------------------

Escriba la fórmula para calcular los medios geométricos.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

------------------------------------------------------------------------------------------------

Indique cuales son los pasos para realizar una suma de n términos

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

------------------------------------------------------------------------------------------------

GLOSARIO N°8


Interpolar___________________________________________________________________________

Medios geométricos____________________________________________________________________

Términos_______________________________________________________________________________

Serie_________________________________________________________________________________

Expresión______________________________________________________________________________

NOMBRE: _________________________________

CURSO: ___________________________________

PROFESOR: ________________________________

FECHA: ____________________________________




Proceso


______________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________

RESUMO N°8 Complete el cuadro sinóptico.

Interpolación de medios Suma de n términos de

geométricas progresión geométrica

Proceso es es

Formula Formula




CUESTIONARIO N°8

1 SOCSS SOLUCION DE EJERCICIOS:

Interpolar 3 medios geométricas entre 6250 y 10

Interpolar 4 medios geométricos entre11

2 𝑦

16

81

Calcular la suma de. 54, 18, 6……………………2

27 Resp: 80

𝟐𝟔

𝟐𝟕

Calcular el dato que falta:

𝑡1 = 1 𝑡7 = 64 𝑟 =? 𝑆 =?

𝑡1 = 2 𝑡𝑛 = 162 𝑟 = 3 𝑆 =

𝑡𝑛 = 54 𝑡1 =2

9 𝑟 =? 𝑛 = ? 𝑆 = 80

8

9

𝑡6 = ? 𝑡1 = 3 𝑟 = 2 𝑆 =?





BLOQUE 2:

ALGEBRA Y

GEOMETRIA

FICHA N°9:

Resolución de

Problemas.




Resolver problemas aplicando a situaciones de la vida diaria



Objetivo Educativo.

RESOLUCION DE PROBLEMAS DE UNA PROGRESION GEOMETRICA

El tema de progresión geométrica tiene su aplicación en múltiples problemas de la vida diaria:

Para resolver:

1. Leer el problema con detenimiento, si es necesario varias veces hasta captar la total

comprensión.

2. Elaborar una tabla de datos.

3. Calcula la incógnita o incógnitas.




Ejemplo de la solución de problemas de progresión geométrica:

Una maquina costo 12 000 y se aplica anualmente a una tasa del 20%. Si su valor de

desecho es de $ 2 000. Calcule la vida efectiva de la máquina, es decir el número de años

hasta que el valor depreciado sea aproximado al de desecho.

Análisis:

La máquina se desprecia en 20% cada año

El costo de la maquina corresponde al 80% del año anterior.

El valor de desecho es de $ 2 000.

𝒕𝟎 = 𝒆𝒔 𝒆𝒍 𝒄𝒐𝒔𝒕𝒐 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒎𝒂𝒒𝒖𝒊𝒏𝒂

𝒕𝒏 = 𝒆𝒔 𝒆𝒍 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒅𝒆 𝒅𝒆𝒔𝒆𝒄𝒉𝒐

𝒏 = 𝒆𝒔 𝒍𝒂 𝒗𝒊𝒅𝒂 𝒖𝒕𝒊𝒍 𝒐 𝒆𝒇𝒆𝒄𝒕𝒊𝒗𝒂

𝒕𝟎 = 𝟏𝟐 𝟎𝟎𝟎 𝒕𝒏 = 𝟐 𝟎𝟎𝟎 𝒅 = 𝟐𝟎% 𝒓 = 𝟖𝟎% = 𝟎, 𝟖 𝒏 = ?

𝑫𝒆𝒔𝒂𝒓𝒓𝒐𝒍𝒍𝒐 𝒕𝒏 = 𝒕𝟎𝒓𝒏−𝟏 𝒆𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔:

𝒕𝒏 = 𝒕𝟎𝒓𝒏

Despejamos n

𝑛 =𝑙𝑜𝑔𝑡𝑛 − 𝑙𝑜𝑔𝑡𝑜

𝑙𝑜𝑔𝑟 𝑜 𝑛 =

𝑙𝑜𝑔𝑡𝑛

𝑡0

𝑙𝑜𝑔𝑟

𝑛 = 𝑙𝑜𝑔

2 000

12 000

𝑙𝑜𝑔𝑟 = 8, 029




LECCION N°9

INVESTIGO N°9

¿Qué es problema?.

8.

Escriba las fórmulas de los términos de la progresión geométrica

2.

Indique que es una progresión geométrica

9.

NOMBRE: _________________________________

CURSO: ___________________________________

PARALELO: ________________________________

PROFESOR: ________________________________

FECHA: ____________________________________




GLOSARIO N°9


Datos

10.

Formulas

1.

Geométrico

1.

Despreciar

1.

Solución.

1.


2.




Proceso

RESUMO N°9

Complete en cuadro sinóptico.

PROCESO PARA RESOLVER PROBLEMAS DE P. G.




CUESTIONARIO N°9

El lunes gane dos dólares y cada día después gane el doble de lo que gane el anterior.

¿Cuánto gane el sábado y cuanto de lunes a sábado?

1.

El dentista arreglo 20 piezas a una persona cobrándole u dólar por la primera, dos dólares por la segunda, 4 dólares por la tercera, 8 dólares por la cuarta, y así sucesivamente. ¿Cuáles serán el honorario del dentista?

3.

Un hombre juega durante 8 días y cada día gana 1

3 de lo que gano el día anterior. Si el octavo día gano 1

dólar, cuánto ganó el primer día?

2.





BLOQUE 2:

ALGEBRA Y

GEOMETRIA

FICHA N°10:

Logaritmos.

OBJETIVOS: Aprender a calcular los logaritmos y sus aplicaciones fundamentales para el cálculo y las construcciones

gráficas.

Destreza de Criterio de desempeño: Conocer conceptos generales de logaritmo.

Conocer propiedades y principios de logaritmos.

Objetivo Educativo.

LOGARITMOS

Concepto: Logaritmo es exponente al cual se debe elevar la base para obtener el número

PROPIEDADES GENERALES DE LOS LOGARITMOS:

Son de importancia las siguientes propiedades de los logaritmos:

1. La base de un sistema de logaritmo no puede ser negativo, porque si fuese negativa,

sus potencias pares serian positivas y las impares negativas, y tendríamos una serie de

números alternativamente positivos y negativos, y por lo tanto, habría números

positivos que no tendrían logaritmos.

2. Los números negativos no tienen logaritmo porque siendo la base positiva todas sus

potencias, ya sea pares o impares son positivas y nunca negativas.




3. En todo sistema de logaritmo, el sistema de logaritmo de base 1,

𝒃𝟏 = 𝑏 𝑙𝑜𝑔. 𝑏 = 1

4. En todo sistema el logaritmo de 1 es cero, porque siendo b la base, tendremos.

𝒃𝟎 = 1 𝑙𝑜𝑔. 1 = 0

5. Los números mayores que 1 tiene logaritmo negativo porque siendo log1=0, los

logaritmos de los números mayores que uno serán mayores que cero, luego, serán

positivos.

6. Los números menores que 1 tienen logaritmo negativo, porque siendo log 1 = 0, los

logaritmos de los números que 1 serán menores que cero; luego serán negativos.

LOGARITMO DE UN PRODUCTO:

El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores.

Sea A y B los factores, sea

LOGARITMO DE UN COCIENTE

El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo menos el logaritmo del divisor..

Sea A el dividendo y B el divisor:

LOGARITMO DE UNA POTENCIA

El logaritmo de una potencia es igual al exponente multiplicando por el logaritmo de la base.

Sea A la base y n el exponente:

𝑙𝑜𝑔𝐴 × 𝐵 = 𝑙𝑜𝑔𝐴 + 𝑙𝑜𝑔𝐵

𝑙𝑜𝑔𝐴

𝐵= 𝑙𝑜𝑔𝐴 − 𝑙𝑜𝑔𝐵

𝑙𝑜𝑔𝐴𝑛 = 𝑛𝑙𝑜𝑔𝐴




LOGARITMO DE UNA RAIZ

El logaritmo de una raíz es igual al logaritmo de la cantidad subradical dividido entre el índice de la raíz

Sea A el radicando y n el índice:

CARACTERISTICA Y MANTISA

Todo logaritmo tiene una parte entera y una parte decimal. La parte entera se llama

característica y la parte decimal se llama mantisa.

VALOR DE LA CARACTERISTICA. :

a) La característica del logaritmo de un número de un número comprendido entre 1 y 10

es cero.

b) La característica del logaritmo de un número mayor que 10 es positiva y su valor

absoluto es 1 menos que el número de cifras enteras del número. Así el 84 tiene dos

cifras enteras y la característica de su logaritmo es 1; 512 tiene tres cifras enteras y la

característica de su log es 2.

c) La característica de un número menor que 1 es negativo y su valor absoluto es 1 más

que el número de ceros que hay entre el punto decimal y la primera cifra significativa

decimal. Log0, 5 es -1. Log 0,07 es -2.

𝑙𝑜𝑔 √𝐴𝑛

=𝑙𝑜𝑔𝐴

𝑛




COLOGARITMO:

Se llama cologaritmo de un número al logaritmo de su inverso.

Así, el cologaritmo de 2 es el logaritmo 1

2; el cologaritmo de 54 es el logaritmo de

1

54

En general 𝑐𝑜𝑙𝑜𝑔𝑥 = 𝑙𝑜𝑔1

𝑥= 𝑙𝑜𝑔1 − 𝑙𝑜𝑔𝑥 ∴ 𝑙𝑜𝑔1 = 0 ∴ 0 − 𝑙𝑜𝑔𝑥

−𝑙𝑜𝑔𝑥 = 𝑐𝑜𝑙𝑜𝑔𝑥

CONCLUSIONES. Restar el log de un número equivale a sumar el cologaritmo del mismo

número.

𝒍𝒐𝒈𝒂

𝒃= 𝒍𝒐𝒈𝒂 − 𝒍𝒐𝒈𝒃 𝒐 𝒍𝒐𝒈

𝒂

𝒃= 𝒍𝒐𝒈𝒂 + 𝒄𝒐𝒍𝒐𝒈𝒃

Ejemplo:

a. Hallar el valor de 1215 × 0.84 por logaritmo

Como logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores,

tendríamos:

log(1215 × 0,84) = 𝑙𝑜𝑔1215 + 𝑙𝑜𝑔0.85

3,084576 + 1,̅ 924279 = 3,00886

𝐴𝑛𝑡𝑖𝑙𝑜𝑔𝑎𝑟𝑖𝑡𝑚𝑜. 1020, 6

Hallar el valor de 0,765

39,14 por logaritmo:

log 0,765

39,14= log 0,765 − log 39,14

log 0,765

39,14= log 0,765 + 𝑐𝑜 log 39,14 = 1̅, 88366 + 2,̅ 407380 = 2̅, 29104

𝑨𝒏𝒕𝒊𝒍𝒐𝒈𝒂𝒓𝒊𝒕𝒎𝒐: 0. 019545




LECCION N°10

INVESTIGO N°10 Investigue sobre los logaritmos VULGARES (10 puntos)

11.

GLOSARIO N°10


Logaritmo es

12.

Exponente

4.

Propiedad

2.

Cologaritmo es:

2.

Antilogaritmo es:

2.

NOMBRE: _________________________________

CURSO: ___________________________________

PROFESOR: ________________________________

FECHA: ____________________________________





5.

RESUMO N°10

Elabore un mapa conceptual de las propiedades de los logaritmos:




CUESTIONARIO N°10

Indique si es falso o verdadero. Si es verdadero ponga V si es falso F

Logaritmo es exponente al cual se debe elevar la base para obtener el número

Los números negativos tienen logaritmo porque siendo la base positiva todas sus potencias, ya

sea pares o impares son positivas y nunca negativas.

El logaritmo de un producto es igual a la resta de los logaritmos de los factores.

El logaritmo de una raíz es igual al logaritmo de la cantidad sub radical dividido entre el índice

de la raíz.

Se llama cologaritmo de un número al logaritmo de su inverso.

Coloque el literal según corresponda

( )Logaritmo de un producto

( )Logaritmo de un cociente

( )Logaritmo de una potencia

( )Logaritmo de una raíz

a. 𝑙𝑜𝑔𝐴 × 𝐵 = 𝑙𝑜𝑔𝐴 + 𝑙𝑜𝑔𝐵

b. 𝑙𝑜𝑔𝐴

𝐵= 𝑙𝑜𝑔𝐴 − 𝑙𝑜𝑔𝐵

c. 𝑙𝑜𝑔 √𝐴𝑛

=𝑙𝑜𝑔𝐴

𝑛

d. 𝑙𝑜𝑔𝐴𝑛 = 𝑛𝑙𝑜𝑔𝐴




Hallar el valor de 3214,8 × 0.003(−43,76) por logaritmo

( ) 0, 300886

( )0, 200786

( )2,625352

Hallar el valor de 7,66 por logaritmo

( ) 3,00886

( )0, 095424

( ) 2,625352

Hallar el valor de √0,02624

1,4164 por logaritmo

( ) 0,040294

( )0, 95424

( ) 0,62535





SEGUNDO QUIMESTRE

BLOQUE 3: MATEMÁTICAS

DISCRETA

FICHA N°11

LOGARITMOS

VULGARES.


gráficas.

Destreza de Criterio de desempeño: Aplicar el proceso en la solución de ejercicios.

Conocer conceptos generales de logaritmo.


Objetivo Educativo.

LOGARITMOS VULGARES

Los logaritmos vulgares son de base 10.

PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS VULGARES

Observando la progresión:

100 = 1

101 = 10

102 = 100

103 = 1000

104 = 10 000

10−1 =1

10= 0,1

10−2 =1

100= 0, 01

10−3 =1

1000= 0,001

10−4 =1

10000= 0, 0001




Se deduce fácilmente las siguientes propiedades de los logaritmos de base 10:

En este sistema, los únicos números cuyos logaritmos son números enteros son

potencia de 10, así:

1. 𝑙

2. 𝑜𝑔1 = 0

𝑙𝑜𝑔 10 = 1

3. 𝑙𝑜𝑔100 = 2

4. 𝑙𝑜𝑔1000 = 3

5. 𝑙𝑜𝑔10 000 = 4

6. 𝑙𝑜𝑔0, 1 = −1

𝑙𝑜𝑔 0,01 = −2

7. 𝑙𝑜𝑔0, 001 = −3

8. 𝑙𝑜𝑔0,0001 = −4

9. 𝑙𝑜𝑔0, 00001 = −5

El log. De todo número que no sea una potencia de 10 no es un número entero, sino

una fracción propia o un número entero más una fracción propia.

En efecto: Como, log. 1= 0 y log 10 = 1, los números comprendidos entre 1 y 10

Tendría un logaritmo mayor que 0 y menor que 1, luego su log será una fracción

propia.

Así log. 2 = 0, 301030.

Como, log. 10= 1 y log 100 = 2, los números comprendidos entre 10 y 100

Tendría un logaritmo mayor que 1 y menor que 2, luego su log será 1 más una

fracción propia.

Así log 15 = 1+0, 176091 = 1,176091

Así, log. De un numero comprendido entre log 0.01 y 0. 001 será menor que -3 más

una fracción propia; el logaritmo de un número comprendido entre 0. 001 y 0. 0001

será mayor que -4 y menor que -3; y luego será -4 más una fracción propia, etc.




CALCULO DEL VALOR DE LA EXPRESION POR MEDIO DE LOGARITMOS:

Las propiedades de los logaritmos nos permiten emplearlos para calcular el

valor de diversas expresiones:

Ejemplo:

1. Hallar el valor de la expresión de 1215 × 0.84 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑟𝑖𝑡𝑚𝑜𝑠

log(1215 × 0.84) = 𝑙𝑜𝑔1215 + log 0.84

3.084576 + 1̅. 924279 = 3008855

Antilogaritmo: 1020.5

2. Hallar el valor de la expresión de

𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑟𝑖𝑡𝑚𝑜𝑠 √35

𝑙𝑜𝑔3

5=

0.477121

5= 0. 095424

Antilogaritmo: 1, 24573




LECCION N°11

INVESTIGO

Investigue sobre el uso de la tabla de logaritmo.

13.

GLOSARIO N°11


Antilogaritmo

14.

Propiedades

6.

Producto

3.

Cociente:

3.

Mantisa es:

3.

NOMBRE: _________________________________

CURSO: ___________________________________

PROFESOR: ________________________________

FECHA: ____________________________________





7.

RESUMO N°11

Elabore un mapa conceptual de las proceso de aplicación en la resolución de

una expresión logarítmica:

CUESTIONARIO N°11


Logaritmo es el de base 10

Los antilogaritmos es igual que decir logaritmo




El logaritmo de una expresión es llevar a un número a encontrar su valor logarítmico en su mina

expresión.

Hallar el valor de 532 × 0.184 por logaritmo

( ) 0, 300886

( )0,1. 990729

( )2,625352

Hallar el valor de 210 por logaritmo

( ) 3,00886

( )0, 095424

( ) 3. 010299

Hallar el valor de 3284×0.09132

715.84 por logaritmo

(𝒙) 1̅. 622153

( )1, 95424

( ) 0,62535





BLOQUE 3:

MATEMÁTICAS

DISCRETA

FICHA N°12:

LOGARITMOS

VULGARES.


gráficas.




Objetivo Educativo.

CALCULO DEL VALOR DE LA EXPRESION:

POR COMBINACION DE LAS PROPIEDADES ESPECÍFICAS DE LOS LOGARITMOS:

Las propiedades de los logaritmos nos permiten emplearlos para calcular el valor de

diversas expresiones:

Ejemplo:

Hallar el valor de la expresión de 3284×0.09132

715,84𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑟𝑖𝑡𝑚𝑜𝑠

𝑙𝑜𝑔 (3284 × 0.0,09132

715,84) = 𝑙𝑜𝑔(3284 × 0,09132) + 𝑐𝑜𝑙𝑜𝑔715,84

= 𝑙𝑜𝑔3284 + 𝑙𝑜𝑔0.09132 + 𝑐𝑜𝑙𝑜𝑔715,84

= 3,51640 + 2.̅ 96057 + 3.̅ 14518

= 1.̅ 62215

𝐴𝑛𝑡𝑖𝑙𝑜𝑔𝑎𝑟𝑖𝑡𝑚𝑜 = 0.41894




Hallar el valor de la expresión de 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑟𝑖𝑡𝑚𝑜𝑠 32

5 × 52

3

𝑙𝑜𝑔 (325 × 5

23) = 𝑙𝑜𝑔3

25 + 𝑙𝑜𝑔5

23

2

5𝑙𝑜𝑔3 +

2

3𝑙𝑜𝑔3

2

5(0.47712) +

2

3(0.69897)

0.190848 + 0.46598

0.656828,

Antilogaritmo: 4.5376

Hallar el valor de la expresión de√32,7×0.006

0.14×89.17

3 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑟𝑖𝑡𝑚𝑜𝑠

𝑙𝑜𝑔 (√32,7 × 0.006

0.14 × 89.17

3

) =1

3𝑙𝑜𝑔

32,7 × 0.006

0.14 × 89.17

1

3[𝑙𝑜𝑔32,7 + 𝑙𝑜𝑔0.006 + 𝑐𝑜𝑙𝑜𝑔0.14 + 𝑐𝑜𝑙𝑜𝑔 + 89.17]

1

3[1.514548 + 3̅. 77815 + 0.8539 + 2̅. 04978]

1

3[+2̅. 19635] = 1̅. 39878

Antilogaritmo= 0.25048




LECCION N°12

INVESTIGO N°12 Investigue sobre la aplicación de los logaritmos en la vida diaria.

_____________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________

GLOSARIO N°12


Factor

15.

Residuo

8.

Diferencia

4.

Antilogaritmo

4.

Expresión numérica

1.

NOMBRE: _______________________________

CURSO: ________________________________

PROFESOR: _____________________________

FECHA: _______________________________





9.

RESUMO N°12 Elabore un mapa conceptual de las proceso de aplicación en la resolución de una expresión

logarítmica: (10 puntos)

CUESTIONARIO N°12


La característica de un logaritmo de un número comprendida entre 1 y 10 es cero

El cologaritmo de un número al logaritmo de su inverso




La mantisa es la parte entera de un número

Hallar el valor de 𝟏𝟎𝟎.𝟑𝟗×𝟎.𝟎𝟑𝟏𝟗𝟔

𝟕.𝟏𝟒×𝟎.𝟎𝟗𝟑 por logaritmo

( ) 0, 68412

( )0,1. 990729

( )2,625352

Hallar el valor de √𝟎.𝟎𝟐𝟔𝟐𝟒

𝟏,𝟒𝟏𝟔𝟒 por logaritmo

( ) 1̅. 622153

( )1, 0.04029

( ) 0,62535

Hallar el valor de √𝟐𝟒𝟑×𝟑,𝟖𝟏

𝟐𝟑

𝟕,𝟐𝟐𝟑×𝟒𝟐,𝟎𝟓𝟐×𝟏,𝟐𝟒

𝟓

por logaritmo

( ) 1̅. 622153

( )0, 0.04029

( ) 0,476





BLOQUE 3: MATEMATICAS DISCRETA

FICHA N°13:

SOLUCIÓN DE

PROBLEMAS.

OBJETIVOS: Aprender a calcular los logaritmos y sus aplicaciones fundamentales para el cálculo y las

construcciones gráficas.


Aplicar el proceso en la solución de ejercicios.



Objetivo Educativo.

RESOLUCION DE PROBLEMAS UTILIZANDO LOGARITMOS

El tema de LOGARITMOS tiene su aplicación en múltiples problemas de la vida diaria:

Para resolver:

4. Leer el problema con detenimiento, si es necesario varias veces hasta captar la total

comprensión.

5. Elaborar una tabla de datos.

6. Calcula el valor de cada uno de los logaritmos.




Ejemplo de la solución de problemas de progresión geométrica:

La potencia en caballos de vapor de un motor de cuatro tiempos está dada por la fórmula:

𝐻 =𝑑2𝑙𝑛

18000𝑁

En donde d es diámetro del cilindro, l la carrera del pistón (ambos en pulgadas), n el número de

revoluciones por minuto y N en número de cilindros, ¿Cuál es la potencia de un motor de 2

cilindros en la cual d= 3.5 pulgadas, l = 3. 7 pulgadas si da 4 100 revoluciones por minuto?

Tenemos:

𝐻 =3.52𝑥3.7𝑥4100

18 000 𝑥2=

3.52𝑥3.7𝑥41

360

𝑙𝑜𝑔𝐻 = 2𝑙𝑜𝑔3.5 + 𝑙𝑜𝑔3.7 + 𝑙𝑜𝑔41 + 𝑙𝑜𝑔41 + 𝐶𝑜𝑙𝑜𝑔360

1.08814 + 0.56820 + 1.61278 + 3̅. 44370

𝑙𝑜𝑔𝐻 = 0,71282

Antilogaritmo: 5, 162.




LECCION N°13

INVESTIGO N°13 Investigue sobre las ecuaciones exponenciales: de una introducción del tema.

_____________________________________________________________________________________

___________

GLOSARIO N°13 Busque el significado de las siguientes palabras:

Antilogaritmo.

16.

Potencia

10.

Radical

5.

Base

2.

Pulgadas

4.

NOMBRE: _________________________________

CURSO: ___________________________________

PARALELO: ________________________________

PROFESOR: ________________________________

FECHA: ____________________________________





11.

RESUMO N°13

Elabore un mapa conceptual de la elaboración de un problema a través de un

ejemplo indicando cada uno de los pasos:

CUESTIONARIO N°13

Resuelva los siguientes problemas usando logaritmos. Coloca la una X en la respuesta que sea verdadera.

Hallar el volumen de una esfera cuyo radio es de 13,42 cm Formula: 𝑉 =4

3𝜋𝑟3

( ) 0, 68412

( )0,1. 990729

( )2,625352

( ) 𝑁. 𝐴




Calcular el radio de una esfera cuyo volumen es de 528,4 𝒄𝒎𝟑

( ) �̅�. 𝟔𝟐𝟐𝟏𝟓𝟑

( )1, 𝟎.04029

( ) 𝟎, 𝟔𝟐𝟓𝟑𝟓

( ) 𝑵. 𝑨

Determine el periodo de un péndulo que tiene 8, 75 pies de largo usando la fórmula:

𝑻 = 𝟐𝝅√𝑳

𝒈

En el cual T representa el periodo, L la longitud del péndulo y 𝒈 = 𝟑𝟐, 𝟏𝟔 𝒑𝒊𝒆𝒔

𝒔𝒆𝒈𝟐⁄

( ) �̅�. 𝟔𝟐𝟐𝟏𝟓𝟑

( )0, 𝟎.04029

( ) 𝟎, 𝟒𝟕𝟔

( ) 𝑵. 𝑨

Los lados del triángulo son a = 23, 4 m b = 29,2 m. c = 37,6 m. hallar el área del triángulo por la fórmula de Herón.

𝑨 = √𝒑(𝒑 − 𝒂)(𝒑 − 𝒃)(𝒑 − 𝒃) En la cual 𝒑 =𝒂+𝒃+𝒄

𝟐

( ) 𝟎. 𝟕𝟏𝟐𝟖𝟐

( )0, 𝟎.40291

( ) 𝟎, 𝟕𝟔𝟔𝟔𝟕

es





BLOQUE 3: MATEMÁTICAS DISCRETA

FICHA N°14

ECUACIONES

EXPONENCIALES Y

LOGARITMICAS

OBJETIVOS: Reconocer y representar funciones exponenciales. Aplicar las funciones exponenciales al interés compuesto y otras situaciones. Interpretar las gráficas de las funciones logarítmicas.




Objetivo Educativo.

ECUACIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS

Históricamente, los exponentes fueron introducidos en matemáticas para dar un método corto que

indicara el producto de varios factores semejantes, y, con este propósito, solo se consideraron

inicialmente exponentes naturales. El estudio de las potencias de base real será dividido en varios casos,

de acuerdo con la clase de exponente: un número entero, racional o, en general, un número real.

Concepto: Son ecuaciones en la que la incógnita es exponente de una cantidad. Para resolver

ecuaciones exponenciales, se aplica logaritmos a los dos miembros de la ecuación y se despeja la

incógnita.




𝑥 = 3,72

Para mejor compresión determinamos la siguiente aplicación.

Ejemplo:

1. Resolver la ecuación: 3𝑥 = 60

𝑙𝑜𝑔3𝑥 = 𝑙𝑜𝑔60

𝑥𝑙𝑜𝑔3 = 𝑙𝑜𝑔60

𝑥 =𝑙𝑜𝑔3

𝑙𝑜𝑔60

𝑥 =1,77815

0,47712

Comprobación:

𝑙𝑜𝑔33,72 = 𝑙𝑜𝑔60

𝑙𝑜𝑔60 = 𝑙𝑜𝑔60

Resuelva la ecuación 52𝑥−1 = 125

(2𝑥 − 1) log 5 = 125

2𝑥 − 1 = =𝑙𝑜𝑔125

log 5

2𝑥 = =𝑙𝑜𝑔125

log 5+ 1

2𝑥 = =2,096910

0,698970+ 1

𝑥 = =3 + 1

2

𝑥 = =4

2

𝑥 = 2

Comprobación:

52𝑥2−1 = 125

53 = 125

125 = 125



Matemática Tercero Año de Bachillerato Página 93

LECCION N°14

INVESTIGO N°14 Indique el proceso para resolver una ecuación logarítmica.

_____________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

GLOSARIO N°14


Ecuación.

17.

Inecuación

12.

Desigualdad

6.

Igualdad

3.

Ecuación Exponencial

5.

NOMBRE: _________________________________

CURSO: ___________________________________

PARALELO: ________________________________

PROFESOR: ________________________________

FECHA: ____________________________________





13.

RESUMO N°14

Elabore un mapa conceptual de una ecuación logarítmica: indique el proceso de

solución:




CUESTIONARIO N°14 1. Complete:

Ecuaciones logarítmicas.- son ecuaciones en la que la incógnita es …………………. de una

cantidad. Para resolver ecuaciones exponenciales, se aplica logaritmos a los………………….. de

la ecuación y se despeja la………………………..

2. Resuelva las siguientes ecuaciones logarítmicas. Coloca la una X en la respuesta que sea verdadera.

𝟓𝒙 = 𝟑

( ) 0, 𝟔𝟖𝟐𝟔

( )𝟎, 𝟔𝟕𝟐𝟔

( )𝟐, 𝟔𝟐𝟓𝟑𝟓𝟐

3. Calcule 𝟎, 𝟐𝒙 = 𝟎, 𝟎𝟎𝟏𝟔

( ) �̅�. 𝟔𝟐𝟐𝟏𝟓𝟑

( ) 𝟒

( ) − 𝟒

( ) 𝑵. 𝑨

4. Calcule 𝟑𝟐𝒙−𝟏 = 𝟐𝟏𝟖𝟕

( ) 𝟔, 𝟐𝟐𝟏𝟓𝟑

( )0, 4029

es





BLOQUE: MATEMÁTICAS

DISCRETA

FICHA N°15:

Generalidades y

Aplicaciones.

OBJETIVOS: Comprender y aplicar las diferentes fórmulas de la geometría analítica que existen y su

aplicación para resolver distintos problemas que sean plateados, además las transformaciones

y sus formas de gráficas.


Analizar las fórmulas de distancia.

Aplicar las formulas en problemas planteados.

Objetivo Educativo.

GEOMETRIA ANALITICA

La distancia entre dos puntos del plano se calcula algebraicamente aplicando el Teorema de Pitágoras,

función de las coordenadas de estos puntos.

𝑑2 = (𝑥2 − 𝑥1)2 + (𝑦2 − 𝑦1)2+

𝑑 = √(𝑥2 − 𝑥1)2 + (𝑦2 − 𝑦1)2

Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje x o en una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus abscisas.

Ejemplo: La distancia entre los puntos (-4,0) y (5,0) es 4 + 5 = 9 unidades.




Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje y o en una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus ordenadas.

Distancia de un punto a una recta.

La distancia de un punto a una recta es la longitud del segmento perpendicular a la recta, trazada desde

el punto.




Ejemplo:

Calcular la distancia entre los siguientes puntos:

𝐴(6,4) 𝑦 𝐴(6,4)

𝑑 = √(𝑥2 − 𝑥1)2 + (𝑦2 − 𝑦1)2

𝑑 = √(2 − 6)2 + (0 − 4)2

𝑑 = √(16)2 + (16)2

𝑑 = √32

𝑑 = 5,66

PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO

El punto medio de un segmento de una recta es igual a la semisuma de los componentes

𝑃𝑚 = (𝑥1 + 𝑥2

2;

𝑦1 + 𝑦2

2)

Ejemplo:

Calcule el punto medio de los

siguientes pares de puntos

𝐴(6,4) 𝑦 𝐴(6,4)

𝑃𝑚 = (𝑥1 + 𝑥2

2;

𝑦1 + 𝑦2

2)

𝑃𝑚 = (6 + 2

2;

4 + 0

2)

𝑃𝑚 = (4,2)




LECCION N°15

INVESTIGO N°15 Investigue sobre la Geometría Analítica (concepción general).

_____________________________________________________________________________________

___________________________

GLOSARIO N°15


Geometría. ______________________________________________________________________

Analítica_____________________________________________________________________________

Punto medio_________________________________________________________________________

Coordenada__________________________________________________________________________

Teorema de Pitágoras. _______________________________________________________________


_____________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

ESTUDIANTE ______________________________

PARALELO: ________________________________

PROFESOR: ________________________________

FECHA: ____________________________________




RESUMO N°15 Elabore un mapa conceptual sobre la distancia entre dos puntos y otro sobre punto

medio de un segmento de recta (10 puntos)




CUESTIONARIO N°15

1. Calcule el perímetro del triángulo cuyos vértices son 𝑨(𝟔, 𝟐) 𝑩(𝟒, 𝟑) 𝑪(𝟎, 𝟏)

( ) 12,78 ( )12,57 ( )2,62 ( ) 𝑁. 𝐴

2. Demuestre que los puntos A(0,4) B(3, −2) y C(−2,8) son colineales

( ) 5

( )𝟓√𝟓 ( ) 0,62535 ( ) 𝑁. 𝐴

3. Calcular el punto medio de los siguientes pares de puntos

𝑨(𝟐, −𝟐) 𝒚 𝑩(𝟎, 𝟎)

( ) (𝟏, −𝟏) ( )(𝟐, −𝟐) ( ) (𝟑, −𝟑) ( ) 𝑁. 𝐴 4. Calcular las coordenadas de los puntos medios de los lados del triángulo cuyos

vértices son A(3,7) B(5, −5) y C(−2,0)

( ) (4,1) ; (1,5; −2.5 ) y (0.5; 3,5) ( )(−4,1) ; (1,5; 3.5 ) y (0.2; 4,5)

((8,6) ; (15; −25 ) y C(5; 5)) ( ) 𝑁.A





BLOQUE 4:

PROBABILIDAD Y

GEOMETRÍA ANALÍTICA

FICHA N°16:

Funciones Analíticas.

OBJETIVOS: Comprender y aplicar las diferentes fórmulas de la geometría analítica que existen y su

aplicación para resolver distintos problemas que sean plateados, además las transformaciones

y sus formas de gráficas.


Analizar las fórmulas de distancia.

Aplicar las formulas en problemas planteados.

Objetivo Educativo. Destreza con criterio de desempeño: comprender de donde se obtiene la ecuación de la línea

recta y como graficarla en el plano cartesiano así como comprender la obtención de la ecuación

de la recta a partir de datos conocidos de la misma en el plano cartesiano.

GEOMETRIA ANALITICA: La geometría analítica estudia las figuras geométricas mediante

técnicas básicas del análisis matemático y del álgebra en un determinado sistema de

coordenadas.

La geometría trata los 2 siguientes problemas:

1. Dado el lugar geométrico en un sistema de coordenadas, obtener su ecuación.

2. Dada la ecuación en un sistema de coordenadas, determinar la gráfica o lugar geométrico de

los puntos que verifican dicha ecuación.

LÍNEA RECTA: es una sucesión infinita de puntos en el plano cartesiano. Para graficar una

recta es necesario conocer al menos 2 puntos que componen la misma en el plano, los cuales se

utilizan para calcular la pendiente de la recta que es indispensable para graficar la recta. La

distancia mas corta entre 2 puntos es la líneas recta.




Pendiente (m): la pendiente describe la inclinación de la recta en el plano. La pendiente de una

recta corresponde al cambio en Y dividido el cambio en X la cual corresponde a la ecuación, que

se calcula con 2 puntos de la recta:

.

Ecuación General de la Recta

Ecuación de la Recta (vertical)

Ecuación de la Recta (horizontal)

Ecuación de la Recta (punto-pendiente)

Encuentre la ecuación de la recta que pasa por el punto A( -1, 3) y es paralela a la recta 2y -6x =

10

Procedimiento:

http://www.wikimatematica.org/index.php?title=Archivo:Recta.png




Luego utilizamos la ecuación general de la recta y llegamos a :

La ecuación de la recta que pasa por ese punto es:

Pendiente = 3

Intersección con el eje Y = (0,6) "hacemos cero a x"

Intersección con el eje x = (-2,0) "hacemos cero a y"

http://www.wikimatematica.org/index.php?title=Archivo:Recta_4.png




LECCION N° 16

INVESTIGO N°16

Indique el proceso para graficar una recta perpendicular a otra recta.

18.

GLOSARIO N°16


Pendiente

19.

Paralelo

14.

Perpendicular

6.

NOMBRE: _________________________________

CURSO: ___________________________________

PARALELO: ________________________________

PROFESOR: ________________________________

FECHA: ____________________________________





15.

RESUMO N°16

Elabore un mapa conceptual de los pasos para graficar una recta a partir de la

ecuación y otro con los pasos para desarrollar la ecuación de la recta conociendo los

puntos de la misma.




CUESTIONARIO N°16

Halle la ecuación de la recta que pasa por y es paralela a

RESP: y=(10-x)/3

Conocidos los puntos A(-3,4) y B(4,3) determine la ecuación de la recta que pasa por

estos puntos.

RESP: y = (25-x)/7

Conociendo la ecuación de la recta 3x-6y+5=0 determine la pendiente de la misma y

grafique la recta.

RESP: 1/2

Grafique la ecuación siguiente 6x-y-2=0





BLOQUE 4:

PROBABILIDAD Y

GEOMETRÍA

ANALÍTICA

FICHA N°17:

PROPIEDADES

ANALÍTICAS.

OBJETIVOS: Estudiar y comprender a la circunferencia y su obtención. Comprender y aplicar las diferentes

fórmulas de la geometría analítica que existen y su aplicación para resolver distintos problemas

que sean plateados, además las transformaciones y sus formas de gráficas.

Destreza de Criterio de desempeño: Comprender de donde se obtiene la ecuación de la circunferencia y como graficarla en el

plano cartesiano así como comprender la obtención de la ecuación de la recta a partir de

datos conocidos de la misma en el plano cartesiano.

Objetivo Educativo.

Destreza con criterio de desempeño:

LA CIRCUNFERENCIA: La circunferencia es el lugar geométrico de un punto de

coordenadas (x,y) que se mueve sobre un plano, de manera que su distancia permanece

constante con relación a un punto fijo de coordenadas (h,k).

El punto fijo se llama centro de la circunferencia y la distancia constante es el radio (r).

http://www.wikimatematica.org/index.php?title=Archivo:Circuferencia_willo.png




Forma General de la Ecuación de la Circunferencia

Si desarrollamos la forma reducida de la ecuación de la circunferencia

obtenemos la forma general de la ecuación de la circunferencia:

Si en la expresión anterior, sustituimos;

Podemos escribir la ecuación de la siguiente forma:

Forma general de la ecuación de la circunferencia.

Radio

Sea "C" (a, b) el centro de la circunferencia, r el radio y P(x,y) un punto de la misma. d(C,P) = r

Elevando toda la expresión al cuadrado obtenemos:

http://www.wikimatematica.org/index.php?title=Archivo:Ej2c.png




EJEMPLOS

Determine la ecuación de la circunferencia con centro en (-1,2) y que pasa por el punto (3,4)

Determinamos el radio, sustituimos en

Sol.

=

radio =

Calculamos el radio, sustituimos




LECCION N°17

INVESTIGO N°17

Indique el proceso para graficar una circunferencia que es tangente a una recta.

20.

GLOSARIO N°17


Radio

21.

Centro

16.

Tangente

7.

NOMBRE: _________________________________

CURSO: ___________________________________

PARALELO: ________________________________

PROFESOR: ________________________________

FECHA: ____________________________________





17.

RESUMO N°17

Elabore un mapa conceptual de los pasos para graficar circunferencia a partir de la

ecuación y otro con los pasos para desarrollar la ecuación de la circunferencia

conociendo los puntos de la misma.




CUESTIONARIO N°17

Determine la ecuación general de una circunferencia tangente a la recta definida por la

ecuación , y está centrada en el punto (-1,-2 )

Determine los valores del centro de la circunferencia y del radio de la ecuación x^2+y^2-

5x+5y-20=0 y graficar.




Graficar la circunferencia con centro en (3,2) y que tiene un radio de 5.

Graficar la circunferencia con la ecuación 25=(x-5)^2 +(y+3)^2





BLOQUE 4:

PROBABILIDAD Y


FICHA N°18:

Propiedades Analíticas.

Objetivo:

Estudiar y comprender a la parábola y la obtención de su ecuación.

Destreza con criterio de desempeño:

La ecuación de la parábola, obtención de la gráfica de una parábola, obtención de la ecuación

de una parábola a partir de la gráfica.

PARABOLA: Sea l una recta y sea F un punto. La parábola se define como el conjunto de

puntos P(x,y) tal que su distancia al punto F es igual a su distancia a la recta l . Es decir:

Parábola =

Ecuación de la cónica:




Al punto V se le denomina vértice de la parábola, en este caso tiene coordenadas (0,0 ). A la

recta perpendicular a la directriz, que contiene al vértice y al foco, se le denomina Eje Focal.

Observe que para la parábola anterior el eje focal es el eje y.

Observe además que la parábola es cóncava hacia arriba. Al segmento de recta perpendicular al

eje focal que pasa por el foco y que tiene como extremos los dos puntos de la parábola, se

denomina lado recto y tiene una medida de 4p.










LECCION N°18

INVESTIGO N°18

Indique el proceso para graficar una parábola que es tangente a una recta.

22.

NOMBRE: _________________________________

CURSO: ___________________________________

PARALELO: ________________________________

PROFESOR: ________________________________

FECHA: ____________________________________




GLOSARIO N°18


Eje focal

23.

Vértice parabola

18.

Tangente

8.

Lado recto

1.


19.




RESUMO N°18

Elabore un mapa conceptual de los pasos para graficar una parábola a partir de la

ecuación y otro con los pasos para desarrollar la ecuación de la parábola conociendo

los puntos de la misma.




CUESTIONARIO N°18

Grafique el lugar geométrico definido por cada una de las siguientes ecuaciones: (Indique todos

sus elementos).

Grafique el lugar geométrico definido por cada una de las siguientes ecuaciones: (Indique todos

sus elementos).




Determine la ecuación canónica de la parábola donde la recta directriz tiene la ecuación

y los extremos del lado recto son los puntos

Determine la grafica de la ecuación donde k=3, h=0 y p=3





BLOQUE 4:

PROBABILIDAD Y


FICHA N°19:

Propiedades Analíticas.

OBJETIVOS:

Ampliar el estudio de la Geometría Plana.


Realizar el análisis de las teorías de la geometría y sus aplicaciones.

La geometría analítica estudia las figuras geométricas mediante técnicas básicas del análisis

matemático y del álgebra en un determinado sistema de coordenadas. Su desarrollo histórico comienza

con la geometría cartesiana, continúa con la aparición de la geometría diferencial de Carl Friedrich

Gauss y más tarde con el desarrollo de la geometría algebraica. Actualmente la geometría analítica tiene

múltiples aplicaciones más allá de las matemáticas y la ingeniería, pues forma parte ahora del trabajo de

administradores para la planeación de estrategias y logística en la toma de decisiones.

Las dos cuestiones fundamentales de la geometría analítica son:

1. Dado el lugar geométrico en un sistema de coordenadas, obtener su ecuación.

2. Dada la ecuación en un sistema de coordenadas, determinar la gráfica o lugar geométrico de los

puntos que verifican dicha ecuación.

Secciones cónicas

La parábola es el lugar geométrico de todos los puntos que equidistan de un punto fijo llamado foco

y de una recta fija llamada directriz.

Una parábola (figura A) cuyo eje de simetría sea paralelo al eje de abscisas se expresa mediante la

ecuación:

https://es.wikipedia.org/wiki/Figuras_geom%C3%A9tricas

https://es.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lisis_matem%C3%A1tico

https://es.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lisis_matem%C3%A1tico

https://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra

https://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_coordenadas

https://es.wikipedia.org/wiki/Ren%C3%A9_Descartes

https://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_diferencial

https://es.wikipedia.org/wiki/Carl_Friedrich_Gauss

https://es.wikipedia.org/wiki/Carl_Friedrich_Gauss

https://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_algebraica

https://es.wikipedia.org/wiki/Lugar_geom%C3%A9trico

https://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas

https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n


https://es.wikipedia.org/wiki/Lugar_geom%C3%A9trico


https://es.wikipedia.org/wiki/Par%C3%A1bola_(matem%C3%A1tica)




LA CIRCUNFERENCIA.

Se distingue del círculo en que éste es el lugar geométrico de los puntos contenidos en una

circunferencia determinada.

Elementos de la circunferencia:

Existen varios puntos, rectas y segmentos, singulares en la circunferencia:

Radio, El radio de una circunferencia es el segmento que une el centro de la circunferencia con un

punto cualquiera de la misma. El radio mide la mitad del diámetro.El radio es igual a la longitud de la

circunferencia dividida por 2π.;

Diámetro, El diámetro de una circunferencia es el segmento que une dos puntos de la circuferencia y

pasa por el centro. El diámetro mide el doble del radio. El diámetro es igual a la longitud de la

circunferencia dividida por π;

Tangente, es la línea que toca a la circunferencia en un sólo punto;

Punto de tangencia, el de contacto de la recta tangente con la circunferencia;

Arco, El arco de la circunferencia es cada una de las partes en que una cuerda divide a la

circunferencia. Un arco de circunferencia se denota con el símbolo sobre las letras de los puntos

extremos del arco.;

𝑨 = 𝟐𝝅𝒓𝟐

𝒅𝒊𝒂𝒎𝒆𝒕𝒓𝒐 = 𝟐𝒓

http://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%ADrculo

http://es.wikipedia.org/wiki/Recta

http://es.wikipedia.org/wiki/Segmento

http://es.wikipedia.org/wiki/Radio_(geometr%C3%ADa)

http://es.wikipedia.org/wiki/Di%C3%A1metro

http://es.wikipedia.org/wiki/Recta_tangente

http://es.wikipedia.org/wiki/Arco_(geometr%C3%ADa)




LA ELIPSE

Es el lugar geométrico de los puntos tales que la suma de sus distancias a dos puntos fijos

llamados focos es siempre igual a una constante positiva, e igual a la distancia entre los vértices.

LA HIPÉRBOLA

Es el lugar geométrico de los puntos tales que el valor absoluto de la diferencia (resta) de sus

distancias a dos puntos fijos llamados focos es siempre igual a una constante positiva, e igual a la

distancia entre los vértices.

https://es.wikipedia.org/wiki/Elipse

https://es.wikipedia.org/wiki/Hip%C3%A9rbola




LECCION N°19

INVESTIGO N°19

Investigue que es la recta tangente a la circunferencia y hacer un gráfico.

24.

NOMBRE: _________________________________

CURSO: ___________________________________

FECHA: ___________________________________

PARALELO: ________________________________

PROFESOR: ________________________________




RESUMO N°19

Realice un resumen sobre las secciones Cónicas. (Use regla y compas)

25.

GLOSARIO N°19

Radio

Recta Secante

1.

Directriz

1.

Eje focal

1.




Escriba 5 palabras no asimiladas en la lección con su respectivo significado

26.

CUESTIONARIO N°19

Determinar los puntos de intersección de las dos ecuaciones.

y = x2 – 5x – 3

y = –2x2 + 4x – 1




Determinar la ecuación de la recta que pasa por el punto (-2;3)

y es perpendicular a la ecuación 2x-6y=4

Determine la grafica (𝒙 − 𝟑)𝟐 + (𝒚 − 𝟏)𝟐 = 𝟒𝟗

Identifique:

El punto del centro:

El diámetro:

El Área de la gráfica:

Determine el radio de la circunferencia con centro en el punto (-2;-3) y a su vez tiene una

recta tangente -x + y = 2, grafique la recta





BLOQUE 4:

PROBABILIDAD Y


FICHA N°20:

Ecuaciones Cuadráticas.

Objetivos:

Realizar el análisis de las cónicas determinar sus diferencias gráficas, entendiendo el criterio de

función cuadrática y ecuaciones vistas en clase.


Resolver sistemas de ecuaciones y aplicaciones en geometría analítica.

Resolución de ecuaciones cuadráticas.

Determinación de soluciones a sistemas cuadritos y lineales.

Objetivo educativo: Sabemos que una ecuación es una relación matemática entre números y letras. Normalmente se trabaja con ecuaciones en las que sólo hay una letra, llamada incógnita, que suele ser la x. Resolver la ecuación consiste en encontrar un valor (o varios) que, al sustituirlo por la incógnita, haga que sea cierta la igualdad.

Ese valor es la solución de la ecuación.

Ejemplo: Resolver la ecuación x − 1 = 0

El número que hace que esa ecuación sea cierta es el 1, ya que 1 – 1 = 0, por lo tanto, 1 es la solución de la ecuación. Si en la ecuación la incógnita está elevada al cuadrado, decimos que es una ecuación de segundo grado (llamadas también ecuaciones cuadráticas), que se caracterizan porque pueden tener dos soluciones (aunque también una sola, e incluso ninguna).

Cualquier ecuación de segundo grado o cuadrática se puede expresar de la siguiente forma:

ax2 + bx + c = 0

Donde a, b y c son unos parámetros que habrá que sustituir por los números reales que corresponda en cada caso particular.




Ecuaciones Lineales

En geometría euclidiana, la recta o la línea recta, se extiende en una misma dirección, existe en una sola dimensión y contiene infinitos puntos; está compuesta de infinitos segmentos (el fragmento de línea más corto que une dos puntos). También se describe como la sucesión continua e indefinida de puntos en una sola dimensión, es decir, no posee principio ni fin.

En una recta, la pendiente m es siempre constante. Se calcula mediante la ecuación:

Se puede obtener la ecuación de la recta a partir de la fórmula de la pendiente

Ecuación punto-pendiente

Distancia entre puntos

Dados dos puntos cualesquiera A(x1,y1), B(x2,y2), definimos la distancia entre

ellos, d(A,B), como la longitud del segmento que los separa.

Para calcularla aplicamos el teorema de Pitágoras en el rectángulo coloreado :

Si los puntos tiene la misma ordenada o la misma abscisa, la distancia entre ellos se

calcula sin necesidad de aplicar la fórmula anterior.

INTERSECCION ENTRE RECTAS

Para detrminar el punto que se genera en el cruze o interseccion de dos rectas realizamos el

siguiente procedimiento:

1) Primero despejamos la variable “y” de cada una de las ecuaciones.

2) Tomamos e igualamos las dos “y”

3) Resolviendo ,ordenando las “x” a un lado y simplificando terminos nos queda un valor en

“x” el mismo que es parte del punto

https://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa

https://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_euclidiana

https://es.wikipedia.org/wiki/Punto_(geometr%C3%ADa)

https://es.wikipedia.org/wiki/Segmento

https://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%ADnea

https://es.wikipedia.org/wiki/Pendiente_de_una_recta




4) Despues obteniendo ya el punto en “x” reemplazamos ese punto en cualquiera de las dos

ecuaciones y asi obtenemos el punto “y”

P( “x” ; ”y” )

Ejemplo:

2x +y =1 ; X+y=2

1) y=1-2x ; y=2-x

2) y=y

3) 1-2x=2-x

-2+ 1=-x +2x ; -1=x

4) reemplazo en cualquiera de las dos ecuaciones la x=-1

X+y=2

(-1)+y=2 ; y=2+1 ; y=3 punto de intersecion de las dos rectas es el punto P(-1;3)




INTERSECCION ENTRE PARABOLAS

De igual manera que las rectas, la única diferencia es que cuando igualamos las “y” en la resolución me

queda una ecuación de segundo grado.




Ejemplo:

Resolver

Determinamos los valores de a , b , c

a=1 b=-5 c=6

Reemplazamos en la formula general

Una vez obtenidos los puntos x1 y x2 reemplazamos un por uno en una de cualquiera de las ecuaciones

Obteniendo asi dos puntos

P1(x1;y1) P2(x2;y2) los mismos que son los puntos donde se cortan las dos parabolas.




LECCION N°20

INVESTIGO N°20

Investigue 2 métodos de resolución de sistemas de ecuaciones cuadráticas.

27.

RESUMO N°20

Realice un resumen sobre como resolver un sistema de ecuaciones cuadráticas.

28.

NOMBRE: _________________________________

CURSO: ___________________________________

FECHA: ___________________________________

PARALELO: ________________________________

PROFESOR: ________________________________




GLOSARIO N°20

Intersección

Formula general de segundo grado

2.

Rectas paralelas

2.

Rectas perpendiculares

2.

Escriba 5 palabras no asimiladas en la lección con su respectivo significado

29.




CUESTIONARIO N°20

Determinar los puntos donde se cruzan usando la formula general

y = 3x2 – 2x – 3

y = –5x2 + 4x – 1

solucion




Determinar las intersecciones de las graficas 2𝑥 − 𝑦 = 1 2𝑥2 − 3𝑦 = 6𝑦

Determine las intersecciones de las dos graficas con ecuación

y = x ² + 4x + 4 3x - 2y = -16

( )𝑥1 = −13 𝑦 = 7




Determine las intersecciones de las dos graficas

x ² - x - y = 0 5x + y = 17




Matemática Tercero de Bachillerato 141

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