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ÍNDICE
PRIMER QUIMESTRE
BLOQUE 1:NÚMEROS Y FUNCIONES ....................................... 12
FICHA N°1: ANÁLISIS DE FUNCIONES..................................... 12
OBJETIVOS:.................................................................................................................... 12
Destreza de Criterio de desempeño: ........................................................................... 12
Objetivo Educativo. ...................................................................................................... 12
FUNCIONES LINEALES ................................................................................................... 14
LECCION N°1 .................................................................................................................. 15
INVESTIGO N°1 ...................................................................................................... 15
GLOSARIO N°1 ....................................................................................................... 16
RESUMO N°1 ........................................................................................................... 16
CUESTIONARIO N°1 ....................................................................................................... 17
FICHA N°2: RANGOS E INTERVALOS ..................................................... 19
OBJETIVOS:.................................................................................................................... 19
Destreza de Criterio de desempeño: ........................................................................... 19
Objetivo Educativo. ...................................................................................................... 19
Función creciente en un intervalo ................................................................................ 20
Función estrictamente decreciente en un intervalo ................................................... 20
Función decreciente en un intervalo ........................................................................... 21
LECCION N°2 .................................................................................................................. 22
INVESTIGO Nº 2 ..................................................................................................... 22
GLOSARIO Nº 2....................................................................................................... 22
RESUMO Nº 2 .......................................................................................................... 23
CUESTIONARIO Nº 2 ..................................................................................................... 24
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FICHA N°3: PROGRESIONES ......................................................................... 25
OBJETIVOS:.................................................................................................................... 25
Destreza de Criterio de desempeño: ........................................................................... 25
Objetivo Educativo. ...................................................................................................... 25
INTERPOLACION DE MEDIOS GEOMETRICOS ............................................... 25
SUMA DE LOS TERMINOS DE UNA PROGRESION GEOMETRICAS. ........... 27
LECCION N°3 .................................................................................................................. 28
INVESTIGO N°3 ...................................................................................................... 28
GLOSARIO N°3 ....................................................................................................... 28
RESUMO N°3 ........................................................................................................... 29
CUESTIONARIO N°3 ....................................................................................................... 30
FICHA N°4: FORMULACION DE PROGRESIONES......................... 31
OBJETIVOS:.................................................................................................................... 31
Destreza de Criterio de desempeño: ........................................................................... 31
Objetivo Educativo. ...................................................................................................... 31
Fórmulas de los términos que intervienen en una progresión aritmética. ................ 32
Interpolación de términos ............................................................................................ 32
Suma de n términos consecutivos ............................................................................... 32
LECCION N°4 .................................................................................................................. 34
INVESTIGO N°4 ...................................................................................................... 34
GLOSARIO N°4 ....................................................................................................... 34
RESUMO N°4 ........................................................................................................... 35
CUESTIONARIO N°4 ....................................................................................................... 36
FICHA N°5: SOLUCIÓN DE PROBLEMAS ............................................. 37
OBJETIVOS:.................................................................................................................... 37
Destreza de Criterio de desempeño: ........................................................................... 37
Objetivo Educativo. ...................................................................................................... 37
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LECCION N°5 .................................................................................................................. 39
INVESTIGO N°5 ...................................................................................................... 40
GLOSARIO N°5 ....................................................................................................... 40
RESUMO N°5 ........................................................................................................... 41
CUESTIONARIO N°5 ....................................................................................................... 42
BLOQUE 2: ALGEBRA Y GEOMETRIA ..................................... 43
FICHA N°6: PROGRESIÓN GEOMÉTRICA ............................................ 43
OBJETIVOS:.................................................................................................................... 43
Destreza de Criterio de desempeño: ........................................................................... 43
Objetivo Educativo. ...................................................................................................... 43
Progresión geométrica ............................................................................................ 43
Ejemplos de progresiones geométricas ..................................................................... 44
Ejercicios de progresiones geométricas ................................................................. 44
LECCION N°6 .................................................................................................................. 45
INVESTIGO N°6 ...................................................................................................... 45
GLOSARIO N°6 ....................................................................................................... 45
RESUMO N°6 ........................................................................................................... 46
CUESTIONARIO N°6 ....................................................................................................... 47
FICHA N°7: PROGRESIÓN GEOMÉTRICA ............................................ 48
OBJETIVOS:.................................................................................................................... 48
Destreza de Criterio de desempeño: ........................................................................... 48
Objetivo Educativo. ...................................................................................................... 48
PROGRESIONES GEOMÉTRICAS .................................................................... 48
SÍMBOLO DE UNA PROGRESIÓN GEOMÉTRICA. ...................................... 49
LECCION N°7 .................................................................................................................. 52
INVESTIGO N°7 ...................................................................................................... 52
GLOSARIO N°7 ....................................................................................................... 53
RESUMO N°7 ........................................................................................................... 53
CUESTIONARIO N°7 ....................................................................................................... 54
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FICHA N°8: INTERPOLACIÓN DE MEDIOS GEOMÉTRICOS .. 55
OBJETIVOS:.................................................................................................................... 55
Destreza de Criterio de desempeño: ........................................................................... 55
Objetivo Educativo. ...................................................................................................... 55
INTERPOLACION DE MEDIOS GEOMETRICOS ............................................... 55
Medios geométricos ................................................................................................................ 56
SUMA DE LOS TERMINOS DE UNA PROGRESION GEOMETRICAS ........................................... 56
LECCION N°8 .................................................................................................................. 58
INVESTIGO N°8 ...................................................................................................... 58
GLOSARIO N°8 ....................................................................................................... 58
RESUMO N°8 ........................................................................................................... 59
CUESTIONARIO N°8 ....................................................................................................... 60
FICHA N°9: RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS. .................................... 61
OBJETIVOS:.................................................................................................................... 61
Destreza de Criterio de desempeño: ........................................................................... 61
Objetivo Educativo. ...................................................................................................... 61
RESOLUCION DE PROBLEMAS DE UNA PROGRESION GEOMETRICA .... 61
LECCION N°9 .................................................................................................................. 63
INVESTIGO N°9 ...................................................................................................... 63
GLOSARIO N°9 ....................................................................................................... 64
RESUMO N°9 ........................................................................................................... 65
CUESTIONARIO N°9 ....................................................................................................... 66
FICHA N°10: LOGARITMOS. .................................................................. 67
OBJETIVOS:.................................................................................................................... 67
Destreza de Criterio de desempeño: ........................................................................... 67
Objetivo Educativo. ...................................................................................................... 67
LOGARITMOS ......................................................................................................... 67
PROPIEDADES GENERALES DE LOS LOGARITMOS: .............................................. 67
LOGARITMO DE UN PRODUCTO: .......................................................................... 68
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LOGARITMO DE UN COCIENTE ............................................................................. 68
LOGARITMO DE UNA POTENCIA .......................................................................... 68
LOGARITMO DE UNA RAIZ .................................................................................... 69
CARACTERISTICA Y MANTISA .......................................................................... 69
VALOR DE LA CARACTERISTICA. : ......................................................................... 69
COLOGARITMO: .................................................................................................... 70
LECCION N°10 ................................................................................................................ 71
INVESTIGO N°10 .................................................................................................... 71
GLOSARIO N°10 ..................................................................................................... 71
RESUMO N°10 ......................................................................................................... 72
CUESTIONARIO N°10..................................................................................................... 73
SEGUNDO QUIMESTRE
FICHA N°11: LOGARITMOS VULGARES. .............................. 75
OBJETIVOS:.................................................................................................................... 75
Destreza de Criterio de desempeño: ........................................................................... 75
Objetivo Educativo. ...................................................................................................... 75
LOGARITMOS VULGARES .................................................................................. 75
PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS VULGARES .................................................. 75
CALCULO DEL VALOR DE LA EXPRESION POR MEDIO DE LOGARITMOS:
................................................................................................................................... 77
LECCION N°11 ................................................................................................................ 78
INVESTIGO.............................................................................................................. 78
GLOSARIO N°11 ..................................................................................................... 78
RESUMO N°11 ......................................................................................................... 79
CUESTIONARIO N°11..................................................................................................... 79
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FICHA N°12: LOGARITMOS VULGARES. .............................................. 81
OBJETIVOS:.................................................................................................................... 81
Destreza de Criterio de desempeño: ........................................................................... 81
Objetivo Educativo. ...................................................................................................... 81
CALCULO DEL VALOR DE LA EXPRESION: .................................................... 81
LECCION N°12 ........................................................................................................... 83
INVESTIGO N°12 .................................................................................................... 83
GLOSARIO N°12 ..................................................................................................... 83
RESUMO N°12 ......................................................................................................... 84
CUESTIONARIO N°12..................................................................................................... 84
FICHA N°13: SOLUCIÓN DE PROBLEMAS. ............................................. 86
OBJETIVOS:.................................................................................................................... 86
Destreza de Criterio de desempeño: ........................................................................... 86
Objetivo Educativo. ...................................................................................................... 86
RESOLUCION DE PROBLEMAS UTILIZANDO LOGARITMOS ..................... 86
LECCION N°13 ................................................................................................................ 88
INVESTIGO N°13 .................................................................................................... 88
GLOSARIO N°13 ..................................................................................................... 88
RESUMO N°13 ......................................................................................................... 89
CUESTIONARIO N°13 ......................................................................................... 89
FICHA N°14: ECUACIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS
91
OBJETIVOS:.................................................................................................................... 91
Destreza de Criterio de desempeño: ........................................................................... 91
Objetivo Educativo. ...................................................................................................... 91
ECUACIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS ........................................................ 91
LECCION N°14 ................................................................................................................ 93
INVESTIGO N°14 .................................................................................................... 93
GLOSARIO N°14 ..................................................................................................... 93
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RESUMO N°14 ......................................................................................................... 94
CUESTIONARIO N°14..................................................................................................... 95
FICHA N°15: GENERALIDADES Y APLICACIONES. ...................... 96
OBJETIVOS:.................................................................................................................... 96
Destreza de Criterio de desempeño: ........................................................................... 96
Objetivo Educativo. ...................................................................................................... 96
GEOMETRIA ANALITICA ..................................................................................... 96
Distancia de un punto a una recta. ............................................................... 97
PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO .................................................................... 98
LECCION N°15 ................................................................................................................ 99
INVESTIGO N°15 .................................................................................................... 99
GLOSARIO N°15 ..................................................................................................... 99
RESUMO N°15 ....................................................................................................... 100
CUESTIONARIO N°15................................................................................................... 101
BLOQUE 4:PROBABILIDAD Y GEOMETRÍA ANALÍTICA 102
FICHA N°16: FUNCIONES ANALÍTICAS. ........................................... 102
OBJETIVOS:.................................................................................................................. 102
Destreza de Criterio de desempeño: ......................................................................... 102
Objetivo Educativo. .................................................................................................... 102
Ecuación General de la Recta .............................................................................................. 103
Ecuación de la Recta (vertical) ............................................................................................. 103
Ecuación de la Recta (horizontal) ........................................................................................ 103
Ecuación de la Recta (punto-pendiente) .............................................................................. 103
LECCION N° 16 ........................................................................................................ 105
INVESTIGO N°16 .................................................................................................. 105
GLOSARIO N°16 ................................................................................................... 105
RESUMO N°16 ....................................................................................................... 106
CUESTIONARIO N°16 ............................................................................................ 107
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FICHA N°17: PROPIEDADES ANALÍTICAS. ..................................... 108
OBJETIVOS:.................................................................................................................. 108
Destreza de Criterio de desempeño: ......................................................................... 108
Objetivo Educativo. .................................................................................................... 108
Destreza con criterio de desempeño: ....................................................................... 108
Forma General de la Ecuación de la Circunferencia ............................................... 109
LECCION N°17 ......................................................................................................... 111
INVESTIGO N°17 .................................................................................................. 111
GLOSARIO N°17 ................................................................................................... 111
RESUMO N°17 ....................................................................................................... 112
CUESTIONARIO N°17 ............................................................................................ 113
FICHA N°18: PROPIEDADES ANALÍTICAS. ....................................... 115
Objetivo: ..................................................................................................................... 115
Destreza con criterio de desempeño: ....................................................................... 115
LECCION N°18 ......................................................................................................... 119
INVESTIGO N°18 .................................................................................................. 119
GLOSARIO N°18 ................................................................................................... 120
RESUMO N°18 ....................................................................................................... 121
CUESTIONARIO N°18 ............................................................................................ 122
FICHA N°19: PROPIEDADES ANALÍTICAS. ....................................... 124
OBJETIVOS:.................................................................................................................. 124
Destreza de Criterio de desempeño: ......................................................................... 124
Secciones cónicas .................................................................................................... 124
LA CIRCUNFERENCIA. ......................................................................................... 125
LA ELIPSE ................................................................................................................ 126
LA HIPÉRBOLA ....................................................................................................... 126
LECCION N°19 ......................................................................................................... 127
INVESTIGO N°19 .................................................................................................. 127
RESUMO N°19 ....................................................................................................... 128
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GLOSARIO N°19 ................................................................................................... 128
CUESTIONARIO N°19 ............................................................................................ 129
FICHA N°20: ECUACIONES CUADRÁTICAS. .............................. 131
Objetivos: .................................................................................................................... 131
Destreza de Criterio de desempeño: ......................................................................... 131
Objetivo educativo: .................................................................................................... 131
Ecuaciones Lineales ............................................................................................ 132
Ecuación punto-pendiente .................................................................................. 132
Distancia entre puntos ............................................................................................. 132
INTERSECCION ENTRE RECTAS ...................................................................... 132
INTERSECCION ENTRE PARABOLAS ............................................................. 134
LECCION N°20 ............................................................................................................. 136
INVESTIGO N°20 .................................................................................................. 136
RESUMO N°20 ....................................................................................................... 136
GLOSARIO N°20 ................................................................................................... 137
CUESTIONARIO N°20 .................................................................................................. 138
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PRIMER QUIMESTRE
BLOQUE 1:
Números y Funciones
FICHA N°1:
Análisis de Funciones
OBJETIVOS:
Fomentar el análisis y evaluación de las funciones matemáticas, además interactuar con
los teoremas y sus aplicaciones en este amplio campo de las Funciones.
Destreza de Criterio de desempeño:
Desarrollo de evaluaciones funcionales.
Graficación de funciones lineales.
Aplicación de teoremas de evaluación funcional.
Objetivo Educativo. En la actualidad el ser humano requiere cada vez con mayor frecuencia el uso de
funciones lineales y otros tipos para resolver problemas económicos, administrativos y de
la vida misma. El conocimiento de sus características y comportamiento nos permite
tomar decisiones importantes.
Una función, en matemáticas es el término usado para indicar la relación o
correspondencia entre dos o más cantidades. El termino función fue usado por primera
vez en 1637 por el matemático francés Rene Descartes. (1596 – 1560).
La variable x a la que se le asigna libremente valores, se llama variable independiente,
mientras que la variable y cuyos valores depende de la x, se llama variables
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Dependientes. Los valores permitidos de x constituye el dominio de definición de la
función y los valores que toma x constituye su recorrido
x y
Dominio Recorrido.
Una función es una correspondencia entre conjuntos que se produce cuanto todos de los elementos del primer conjunto (Dominio) se halla relacionado con un solo elemento del segundo conjunto (Recorrido)
Ejemplo x y
Si es una función, pues todos los elementos del conjunto salida tienen una sola imagen
(Correspondencia) en el conjunto de llegada.
X y
Dominio Recorrido
1 2 3
4
55
55
5
a b c
d
1 2 3
4
a b c
d
1 2 3
4
a b c
d
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No es una función pues no todos los elementos del conjunto salida tienen una imagen
(correspondencia) en el conjunto de llegada
X y
Dominio Recorrido
FUNCIONES LINEALES
Es aquella relación de correspondencia que define como grafica una línea recta cuando es
representado en el plano cartesiano. Su forma característica es
𝑓(𝑥) = 𝑚𝑥 + 𝑏
Donde m y b son constantes reales y x es una variable real. La constante m es la
pendiente de la recta y b es el punto de corte de la recta con el eje y. Cuando cambiamos
m modificamos la inclinación de la recta y cuando cambiamos b desplazamos la línea
arriba o abajo.
Ejemplo
Graficar la función 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 1
𝑥 𝑓( ) -2 -5
-1 -3
0 -1
1 1
2 3
1 2 3
4
a b c
d
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LECCION N°1
INVESTIGO N°1
1. Escribir una definición de Función.
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
______________________________________________________________
2. Cuál es el Dominio y el Recorrido de una función.
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
______________________________________________________________
3. Identifique en la siguiente ecuación la pendiente de las líneas rectas y el punto de corte.
Con el eje de las ordenadas.
𝑓(𝑥) = 4 − 2𝑥
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
_________________________________________________________________
NOMBRE: _________________________________
CURSO: ___________________________________
ESPECIALIDAD: _____________________________
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FUNCIONES
GLOSARIO N°1
a. Función:………………………………………………………………………………………………………………...
b. Dominio…………………………………………………………………………………………………………………
c. Recorrido……………………………………………………………………………………………………………….
d. Contra dominio:……………………………………………………………………………………………………..
e. Pendiente……………………………………………………………………………………………………………..
4. Escriba 5 palabras no asimiladas en la lección con su respectivo significado.
……………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
RESUMO N°1
F. lineales F. Cuadráticas
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CUESTIONARIO N°1
Identificar si los siguientes gráficos corresponden a una función, argumentar la respuesta
en cada caso.
x y
Dominio Recorrido
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
_________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
_________________________________________________________________
1 2 3
4
a b c
d
1 2 3
4
a b c
d
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Dibujar las gráficas de las siguientes ecuaciones e identificar en cada caso la pendiente y el
punto de corte con el eje y
a. 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 3
b. 𝑓(𝑥) = −𝑥 + 5
c. 𝑓(𝑥) = 3𝑥 − 5
d. 𝑓(𝑥) = 1 − 3𝑥
Firma del Profesor Calificación Firma del Estudiante
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BLOQUE1: Números y Funciones
FICHA N°2:
Rangos e Intervalos
OBJETIVOS:
Reconocer los intervalos de los diferentes tipos de funciones con su respectivo análisis,
aplicando métodos numéricos.
Destreza de Criterio de desempeño:
Determinación de las funciones crecientes.
Determinación de funciones decrecientes.
Graficar funciones mediante sus intervalos iniciales.
Objetivo Educativo. Una función es una relación entre dos magnitudes, de tal manera que a cada valor de la primera le corresponda un único valor de la segunda. Pueden representar de diferentes maneras:
a. Mediante una expresión matemática, ecuación o formula. b. Como una tabla de valores que permite representar algunos valores discretos de
la función. c. Como proposición: una descripción por comprensión de lo que hace la función. d. Mediante una representación gráfica.
Algunas actividades corporales tales como el sueño, el ritmo cardíaco y la locomoción son funciones biológicas que se llevan a cabo en casi todos los seres vivos. Así también en la vida cotidiana los modelos de función han servido a las ciencias para explicar y predecir muchos fenómenos, tanto de la vida científica como de la vida social. La función exponencial, por ejemplo, explica y predice fenómenos de crecimiento de bacterias o del fenómeno de desintegración radiactiva. Igualmente la función exponencial puede reflejar el crecimiento de la población.
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Una función es estrictamente creciente en un intervalo , si para dos valores cualesquiera la función toma su sentido creciente dese el punto de análisis. Del intervalo, y , se cumple que: Cuando en la gráfica de una función estrictamente creciente nos movemos hacia la derecha también nos movemos hacia arriba:
Función creciente en un intervalo Una función es creciente en un intervalo , si para dos valores cualesquiera del intervalo,
y , se cumple que:
Función estrictamente decreciente en un intervalo Una función es estrictamente decreciente en un intervalo , si para dos valores cualesquiera del intervalo, y , se cumple que:
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Cuando en la gráfica de una función estrictamente decreciente nos movemos hacia la derecha también nos movemos hacia abajo:
Función decreciente en un intervalo
Una función es decreciente en un intervalo , si para dos valores cualesquiera de intervalo, y , se cumple que: Observa, a cada elemento del dominio le corresponde un único elemento del recorrido, Entonces es función. A cada elemento del dominio le corresponde un único elemento del recorrido, por lo tanto es función. No es función, pues a un elemento del dominio le corresponde dos elementos del recorrido.
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LECCION N°2
NOMBRE: _________________________________ CURSO: ___________________________________ PROFESOR: ________________________________ FECHA: ____________________________________
INVESTIGO Nº 2 Establece una diferencia entre función creciente y decreciente. _________________________________________________________________________
Que condición se debe cumplir para que una función sea creciente. _________________________________________________________________________
Que condición se debe cumplir para que una función sea decreciente. _________________________________________________________________________
GLOSARIO Nº 2
Función:……………………………………………………………………………………………………………………… Creciente:………………………………………………………….………………………………………………………… Decreciente:………………………………………………………………………………………………………………… Intervalo:……………………………………………………………………………………………………..…………… Punto de corte…………………………………………………………………………………………………………..
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Escriba 5 palabras no asimiladas en la lección con su respectivo significado. ………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………..……………………………………………………………
RESUMO Nº 2
Creciente Decreciente
es
es
ejemplos
FUNCION
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CUESTIONARIO Nº 2
Demuestra si las siguientes funciones son crecientes o decrecientes y representa gráficamente:
Firma del Profesor Calificación Firma del Estudiante
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BLOQUE 1:
Números y Funciones
FICHA N°3:
Progresiones
OBJETIVOS:
Aprender y analizar los sistemas que ameritan progresiones en funciones
matemáticas, y el entendimiento de las mismas para su correcta aplicación.
Destreza de Criterio de desempeño:
Reforzar los conocimientos anteriores.
Interpolar medios geométricos.
Resolver ejercicios de suma con progresiones geométricas
Objetivo Educativo.
INTERPOLACION DE MEDIOS GEOMETRICOS
Interpolar m medios geométricos entre dos números a y b consiste en incluir m términos entre dichos números y formar una progresión geométrica de m+2 términos.
Es decir a……………. …………..b
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Medios entre a y b
Para realizar interpolaciones, primero calculamos la razón (r) geométrica y luego
formamos la progresión geométrica, la fórmula es:
𝑟 = √𝑡𝑛
𝑡1
𝑚+1
𝒕𝒏 = ú𝒍𝒕𝒊𝒎𝒐 𝒕é𝒓𝒎𝒊𝒏𝒐.
𝒕𝟏 = 𝒑𝒓𝒊𝒎𝒆𝒓 𝒕é𝒓𝒎𝒊𝒏𝒐.
𝒓 = 𝒓𝒂𝒛𝒐𝒏 𝒈𝒆𝒐𝒎𝒆𝒕𝒓𝒊𝒄𝒂
𝒎 = 𝑬𝒔 𝒆𝒍 𝒏ú𝒎𝒆𝒓𝒐 𝒅𝒆 𝒕é𝒓𝒎𝒊𝒏𝒐𝒔 𝒆𝒏𝒕𝒓𝒆 𝒂 𝒚 𝒃
Ejemplo:
Interpolar 3 medios geométricos entre 1
4 𝑦 4
DATOS:
𝒕𝒏 = 𝟒 𝒕𝟏 = 𝟏
𝟒 𝒎 = 𝟑 𝒓 =
𝑟 = √𝑡𝑛
𝑡1
𝑚+1
= √4
14
3+1 = √16
4 = 2
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Escribimos la progresión geométrica:
1
4,
𝟏
𝟐, 𝟏, 𝟐, 4.
3 medios geométrico
SUMA DE LOS TÉRMINOS DE UNA PROGRESIÓN GEOMÉTRICAS.
Si tenemos la sucesión de 2, 6, 18, 54…..
La suma de los 4 términos es: 𝑆4 = 2 + 6 + 18 + 54 = 80
Para sumar los 100 primeros términos resulta molesto, para simplificar la suma de
términos podemos utilizar una fórmula:
𝑆 =𝑡1(1 − 𝑟𝑛)
1 − 𝑟 𝑆 =
𝑡1 − 𝑡𝑛
1 − 𝑟
Ejemplo:
Hallar la suma de los 7 primeros términos de. 10, 30, 90, …………….
𝑫𝒂𝒕𝒐𝒔: 𝑡𝟕 =? 𝒕𝟏 = 𝟏𝟎 𝑺 =? 𝒓 = ?
Desarrollo:
Calculamos r: 𝒓 = 𝟑𝟎 ÷ 𝟏𝟎 = 𝟑
Calculamos S:
𝑆 =𝑡1(1−𝑟𝑛)
1−𝑟; 𝑆 =
10(1−37)
1−3 ; 𝑆 =
10(−2186)
−2 ;
𝑆 = 10930
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LECCION N°3
INVESTIGO N°3
Que es INTERPOLAR medios geométricos.
_________________________________________________________________________
Escriba la fórmula para calcular los medios geométricos.
_________________________________________________________________________
Indique cuales son los pasos para realizar una suma de n términos.
_________________________________________________________________________
GLOSARIO N°3
Busque el significado de las siguientes palabras:
Interpolar:…………………………………………………………………………………………………………..
Medios geométricos:………………………………………………………………………………………….
Términos:…………………………………………………………………………………………………………..
Serie:………………………………………………………………………………………………………………….
Expresión:……………………………………………………………………………………………………………
NOMBRE: _________________________________
CURSO: ___________________________________
PROFESOR: ________________________________
FECHA: ____________________________________
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Proceso
Escriba 5 palabras no asimiladas en la lección con su respectivo significado.
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
RESUMO N°3
Interpolación de medios Suma de n términos
Proceso es es
Formula Formula
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CUESTIONARIO N°3
Determine la solución de las siguientes series de progresiones.
1. Interpolar 3 medios geométricas entre 6250 y 10
2. Interpolar 4 medios geométricos entre11
2 𝑦
16
81
3. Calcular la suma de. 54, 18, 6……………………2
27
4. Calcular el dato que falta:
a. 𝑡1 = 1 𝑡7 = 64 𝑟 =? 𝑆 =?
b. 𝑡1 = 2 𝑡𝑛 = 162 𝑟 = 3 𝑆 =
c. 𝑡𝑛 = 54 𝑡1 =2
9 𝑟 =? 𝑛 = ? 𝑆 = 80
8
9
d. 𝑡6 = ? 𝑡1 = 3 𝑟 = 2 𝑆 =?
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BLOQUE 1: NÚMEROS Y
FUNCIONES
FICHA N°4:
FORMULACION DE
PROGRESIONES
OBJETIVOS: Aprender y analizar los sistemas que ameritan progresiones en funciones
matemáticas, y el entendimiento de las mismas para su correcta aplicación.
Destreza de Criterio de desempeño:
Encontrar regularidades en secuencias numéricas.
Interpolar términos en una progresión aritmética.
Hallar la suma de términos en una progresión aritmética.
Objetivo Educativo.
Una progresión geométrica está constituida por una secuencia de elementos en la que cada uno de ellos se obtiene multiplicando el anterior por una constante denominada razón o factor de la progresión. Se suele reservar el término progresión cuando la secuencia tiene una cantidad finita de términos mientras que se usa sucesión cuando hay una cantidad infinita de términos, si bien, esta distinción no es estricta.
Así, es una progresión geométrica con razón igual a 3, porque:
15 = 5 × 3
45 = 15 × 3
135 = 45 × 3
405 = 135 × 3
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Fórmulas de los términos que intervienen en una progresión aritmética.
Interpolación de términos
La interpolación consiste en intercalar varios términos entre dos dados. Los términos hallados se llaman medios aritméticos.
Intercalar entre 2 y 14 tres números a, b, c de manera que los cinco números estén en progresión aritmética. Datos: t1 = 2 t5 = 14 n = 5 progresión 2, a, b, c, 14 Calculamos la diferencia d aplicando la expresión del término general de una progresión aritmética. t 5 = t1 +(n -1)d » 14 = 2 + (5 -1)d » 14 = 2 + 4d » d = 3 Sabiendo que d = 3 completamos la progresión » 2, 5, 8, 11, 14
Suma de n términos consecutivos
𝑺𝒏 = 𝒏
𝟐(𝟐𝒏 + (𝒏 − 𝟏)𝒅)
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Suma de n términos consecutivos
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LECCION N°4
INVESTIGO N°4
5. Quien descubrió las progresiones
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
6. Que es una sucesión infinita.
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
______________________________________________________________
7. Para que se puede utilizar las progresiones aritméticas en la vida cotidiana. Indique
ejemplos.
__________________________________________________________________________
______________________________________________________________________
GLOSARIO N°4
f. Serie:………………………………………………………………………………………………………………...
g. Diferencia…………………………………………………………………………………………………………
h. Progresión…………………………………………………………………………………………………………
i. Formula:……………………………………………………………………………………………………..
j. Aritmética…………………………………………………………………………………………………………
NOMBRE: _________________________________
CURSO: ___________________________________
PROFESOR: ________________________________
FECHA: ____________________________________
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Formula del término
enésimo
Escriba 5 palabras no asimiladas en la lección con su respectivo significado.
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
______________________________________________________________
RESUMO N°4
Complete el siguiente mapa conceptual.
Progresiones Aritméticas
Definición Que es el término enésimo
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CUESTIONARIO N°4
1. 𝐻𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟 𝑒𝑙 9𝑛𝑜𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜 𝑑𝑒 7, 10, 13, … … … … ….
2. 𝐻𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟 𝑒𝑙 12𝑣𝑜𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜 𝑑𝑒 5, 10, 15, … … … … ….
3. 𝐻𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟 𝑒𝑙 48𝑜𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜 𝑑𝑒 9, 12, 15, … … … … ….
4. 𝐻𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟 𝑒𝑙 63𝑜𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜 𝑑𝑒 3, 10, 17, … … … … ….
5. 𝐻𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟 𝑒𝑙 12𝑜𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜 𝑑𝑒 11, 6, 1, … … … … ….
6. 𝐻𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟 𝑒𝑙 28𝑜𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜 𝑑𝑒 19, 12, 5, … … … … ….
7. 𝐻𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟 𝑒𝑙 27𝑜𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜 𝑑𝑒 31
2, 5
1
4, , … … … … ….
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BLOQUE 1: NÚMEROS Y
FUNCIONES
FICHA N°5:
Solución de Problemas
OBJETIVOS: Aprender y analizar los sistemas que ameritan progresiones en funciones matemáticas, y el
entendimiento de las mismas para su correcta aplicación.
Destreza de Criterio de desempeño: Reforzar los conocimientos anteriores.
Plantear y solucionar los problemas.
Encontrar regularidades en secuencias numéricas.
Interpolar términos en una progresión aritmética.
Hallar la suma de términos en una progresión aritmética.
Objetivo Educativo.
PROCESO PARA LA SOLUCION DE PROBLEMAS DE PROGRESION ARITMETICAS
1. Leemos el problema en forma rápida puntualizando los términos de la P.A.
2. Leemos detenidamente extrayendo los términos y luego puntualizando el término desconocido.
3. Planteamos el problema.
4. Desarrollamos el problema, respondiendo a las incógnitas.
5. Determinamos la respuesta.
Para mayor compresión determinamos el siguiente ejemplo.
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Ejemplos:
El cuarto término de una progresión aritmética es 10, y el sexto es 16. Escribir la progresión.
t 4 = 10; t 6 = 16
t n = t k + (n - 1) · d
16 = 10 + (6 - 4) d; d= 3
t1= a4 - 3d;
t1 = 10 - 9 = 1
1, 4, 7, 10, 13, ...
Interpolar tres medios aritméticos entre 8 y -12.
8, 3, -2, -7, -12………
El primer término de una progresión aritmética es -1, y el décimo quinto es 27. Hallar la diferencia y la suma de los quince primeros términos.
t 1 = − 1; t15 = 27;
t n = t 1 + (n - 1) · d
27= -1 + (15-1) d; 28 = 14d; d = 2
S= (-1 + 27) 15/2 = 195
¿Cuándo ha ahorrado un hombre en cinco años si en enero del primer año ahorro 2 dólares y en cada
mes posterior ahorra 3 dólares más que el precedente?
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Datos
𝒏 = 𝟔𝟎 𝒎𝒆𝒔𝒆𝒔
𝒕𝟏 = 𝟐
𝒅 = 𝟑
𝑺𝒏 =
La serie es: 2, 5, 8,
11…………………………………………………𝑡𝑛
𝑺𝒏 =𝒏
𝟐[𝟐𝒕𝟏 + (𝒏 − 𝟏)𝒅]
𝑆60 =60
2[2 × 2 + (60 − 1)3]
𝑆60 = 30[4 + 59 × 3]
𝑆60 = 30[4 + 177]
𝑆60 = 30[181]
𝑆60 = 5430
LECCION N°5
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INVESTIGO N°5
Quien descubrió las progresiones
______________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________
Que es una sucesión.
______________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________
Para que se puede utilizar las progresiones aritméticas en la vida cotidiana. Indique ejemplos.
______________________________________________________________________________________
__________________________________________________________
GLOSARIO N°5
Serie:………………………………………………………………………………………………………………...
Diferencia…………………………………………………………………………………………………………
Progresión…………………………………………………………………………………………………………
Formula:……………………………………………………………………………………………………..
Aritmética…………………………………………………………………………………………………………
Escriba 5 palabras no asimiladas en la lección con su respectivo significado.
NOMBRE: _________________________________
CURSO: ___________________________________
PARALELO: ________________________________
PROFESOR: ________________________________
FECHA: ____________________________________
COLEGIO PARTICULAR A DISTANCIA
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______________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________
____________________________________________________________
RESUMO N°5
Complete el siguiente mapa conceptual.
Progresiones Aritméticas
Definición Que es el término enésimo
Formula del término enésimo
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CUESTIONARIO N°5
𝐇𝐚𝐥𝐥𝐚𝐫 𝐞𝐥 𝟗𝐧𝐨𝐭𝐞𝐫𝐦𝐢𝐧𝐨 𝐝𝐞 𝟕, 𝟏𝟎, 𝟏𝟑, … … … … ….
𝐇𝐚𝐥𝐥𝐚𝐫 𝐞𝐥 𝟏𝟐𝐯𝐨𝐭𝐞𝐫𝐦𝐢𝐧𝐨 𝐝𝐞 𝟓, 𝟏𝟎, 𝟏𝟓, … … … … ….
𝐇𝐚𝐥𝐥𝐚𝐫 𝐞𝐥 𝟒𝟖𝐨𝐭𝐞𝐫𝐦𝐢𝐧𝐨 𝐝𝐞 𝟗, 𝟏𝟐, 𝟏𝟓, … … … … ….
𝐇𝐚𝐥𝐥𝐚𝐫 𝐞𝐥 𝟔𝟑𝐨𝐭𝐞𝐫𝐦𝐢𝐧𝐨 𝐝𝐞 𝟑, 𝟏𝟎, 𝟏𝟕, … … … … ….
𝐇𝐚𝐥𝐥𝐚𝐫 𝐞𝐥 𝟏𝟐𝐨𝐭𝐞𝐫𝐦𝐢𝐧𝐨 𝐝𝐞 𝟏𝟏, 𝟔, 𝟏, … … … … ….
𝐇𝐚𝐥𝐥𝐚𝐫 𝐞𝐥 𝟐𝟖𝐨𝐭𝐞𝐫𝐦𝐢𝐧𝐨 𝐝𝐞 𝟏𝟗, 𝟏𝟐, 𝟓, … … … … ….
𝐇𝐚𝐥𝐥𝐚𝐫 𝐞𝐥 𝟐𝟕𝐨𝐭𝐞𝐫𝐦𝐢𝐧𝐨 𝐝𝐞 𝟑𝟏
𝟐, 𝟓
𝟏
𝟒, , … … … … ….
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BLOQUE 2: ALGEBRA Y GEOMETRÍA
FICHA N°6:
Progresión Geométrica
OBJETIVOS: Aprender y analizar los sistemas que ameritan progresiones en funciones matemáticas, y el
entendimiento de las mismas para su correcta aplicación.
Destreza de Criterio de desempeño: Reforzar los conocimientos anteriores.
Plantear y solucionar los problemas.
Encontrar regularidades en secuencias numéricas.
Interpolar términos en una progresión aritmética.
Hallar la suma de términos en una progresión aritmética.
Objetivo Educativo.
Progresión geométrica
Se suele reservar el término progresión cuando la secuencia tiene una cantidad finita de términos mientras que se usa sucesión cuando hay una cantidad infinita de términos, si bien, esta distinción no es estricta.
Así, es una progresión geométrica con razón igual a 3, porque:
15 = 5 × 3
45 = 15 × 3
135 = 45 × 3 y así sucesivamente.
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Aunque es más fácil aplicando la fórmula:
Siendo el término en cuestión, el primer término y la razón:
Así quedaría si queremos saber el 6º término de nuestra progresión
Ejemplos de progresiones geométricas
La progresión 1, 2, 4, 8, 16, es una progresión geométrica cuya razón vale 2, al igual que 5, 10, 20, 40.
La razón no necesariamente tiene que ser un número entero. Así, 12, 3, 0.75, 0.1875 es una progresión geométrica con razón 1/4.
La razón tampoco tiene por qué ser positiva. De este modo la progresión 3, -6, 12, -24 tiene razón -2. Este tipo de progresiones es un ejemplo de progresión alternante porque los signos alternan entre positivo y negativo.
Cuando la razón es igual a 1 se obtiene una progresión constante: 7, 7, 7, 7 Un caso especial es cuando la razón es igual a cero, por ejemplo: 4, 0, 0, 0. Existen ciertas
referencias que no consideran este caso como progresión y piden explícitamente que en la definición.
Ejercicios de progresiones geométricas
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LECCION N°6
INVESTIGO N°6 Quien descubrió las progresiones
______________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________
______________________________________
Que es una sucesión.
______________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________
__________________________
Para que se puede utilizar las progresiones aritméticas en la vida cotidiana. Indique ejemplos.
______________________________________________________________________________________
__________________________________________________________
GLOSARIO N°6
Serie:………………………………………………………………………………………………………………... Diferencia………………………………………………………………………………………………………… Progresión………………………………………………………………………………………………………… Formula:…………………………………………………………………………………………………….. Aritmética…………………………………………………………………………………………………………
NOMBRE: _________________________________
CURSO: ___________________________________
PARALELO: ________________________________
PROFESOR: ________________________________
FECHA: ____________________________________
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Escriba 5 palabras no asimiladas en la lección con su respectivo significado.
______________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________
RESUMO N°6
Complete el siguiente mapa conceptual.
Progresiones Aritméticas
Definición Que es el término enésimo
Formula del término enésimo
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CUESTIONARIO N°6
𝐻𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟 𝑒𝑙 12𝑣𝑜𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜 𝑑𝑒 5, 10, 15, … … … … ….
𝐻𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟 𝑒𝑙 48𝑜𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜 𝑑𝑒 9, 12, 15, … … … … ….
𝐻𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟 𝑒𝑙 63𝑜𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜 𝑑𝑒 3, 10, 17, … … … … ….
𝐻𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟 𝑒𝑙 12𝑜𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜 𝑑𝑒 11, 6, 1, … … … … ….
𝐻𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟 𝑒𝑙 28𝑜𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜 𝑑𝑒 19, 12, 5, … … … … ….
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BLOQUE 2: ALGEBRA Y GEOMETRÍA
FICHA N°7: Progresión Geométrica
OBJETIVOS: Aprender y analizar los sistemas que ameritan progresiones en funciones matemáticas, y el
entendimiento de las mismas para su correcta aplicación.
Destreza de Criterio de desempeño: Reforzar los conocimientos anteriores. Conocer cada uno de los términos de una progresión geométrica.
Reforzar los conocimientos anteriores.
Plantear y solucionar los problemas.
Encontrar regularidades en secuencias numéricas.
Objetivo Educativo.
PROGRESIONES GEOMÉTRICAS
Una progresión geométrica es una sucesión de números o términos de modo que uno cualquiera es igual al anterior por una cantidad constante que llamamos razón de la progresión, la representamos por r y la obtenemos dividiendo el valor de un término cualquiera por el valor del término anterior:
Observa una la sucesión:
2: 4: 8: 16: 32: 64:.………..
Cuando veas puntos suspensivos quiere decir que en ellos, se incluyen o pueden incluirse más términos. Vemos que el segundo término o número de la sucesión es igual al valor del primer término por 2. El tercer término de la sucesión es igual al valor del segundo término por 2: 4 x 2 = 8 El cuarto término de la sucesión es igual al valor del tercer término por 2: 8 x 2 = 16.
El valor de d obtenemos dividiendo el valor del tercer término entre el valor del 2º término: o bien, el del 5º entre el valor del 4º: .
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SÍMBOLO DE UNA PROGRESIÓN GEOMÉTRICA.
Cálculo del último término de una progresión geométrica.
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LECCION N°7
INVESTIGO N°7
1. Que es una progresión geométrica. _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________
2. Indique dos semejanzas y dos diferencias entre progresión aritmetica y geométrica. _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________
3. ¿Cuáles son los términos de una progresión geométrica?: Explique cada uno de ellos. _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________
NOMBRE: _________________________________
CURSO: ___________________________________
PARALELO: ________________________________
PROFESOR: ________________________________
FECHA: ____________________________________
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GLOSARIO N°7
Series………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. Geométrico……………………………………………………………………………………………………………………………………………… Que es una progresión creciente……………………...........................…………………………………………………………. Que es una progresión decreciente……………………………………………………………………………………………………… Logaritmo……………………………………………………………………………………………………………………………………………
Escriba 5 palabras no asimiladas en la lección con su respectivo significado.
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
RESUMO N°7
Termino de una progresión geométrica
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CUESTIONARIO N°7
SOLUCION DE EJERCICIOS:
1. Hallar el primer término de una progresión geométrica cuyo 15avo término es - 59049, y la
razón es -3. Escribir la progresión.
2. En una progresión geométrica el primer término es 2, el último término 1458 y la razón 3 .
Cuantos términos tiene la progresión geométrica.
3. El noveno término de una progresión geométrica es , y el primer término es 384.
Calcular la razón.
4. Calcular el dato que falta: RESUELVA LOS SIGUIENTE PROBLEMA:
COMPRUEBE SI LA RESPUESTA E3: 400, 800 y 1200
5. Los ahorros de tres años de un hombre están en progresión aritmética si en los tres años a
ahorrado 2400 dólares y en el primer año ahorra la mitad lo que ahorro el segundo año ¿Cuánto ahorro cada año?
COMPRUEBE SI LA RESPUESTA ES: 246 km.
6. Una persona viaja 50 km en el primer día y en cada día posterior 5, 5 km. De lo que recorrió en
día anterior ¿Cuánto habrá recorrido al cabo de 8 días?
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BLOQUE 2: ALGEBRA Y GEOMETRIA
FICHA N°8
Interpolación de Medios
Geométricos.
OBJETIVOS: Aprender y analizar los sistemas que ameritan progresiones en funciones matemáticas, y el
entendimiento de las mismas para su correcta aplicación.
Destreza de Criterio de desempeño: Reforzar los conocimientos anteriores.
Reforzar los conocimientos anteriores.
Interpolar medios geométricos.
Resolver ejercicios de suma con progresiones geométricas
Objetivo Educativo.
INTERPOLACION DE MEDIOS GEOMETRICOS
Interpolar m medios geométricos entre dos números a y b consiste en incluir m términos entre dichos números y formar una progresión geométrica de m+2 términos.
Es decir a……………. …………..b
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M medios entre a y b
Para realizar interpolaciones, primero calculamos la razón (r) geométrica y luego formamos la progresión
geométrica, la fórmula es:
𝑟 = √𝑡𝑛
𝑡1
𝑚+1
𝒕𝒏 = ú𝒍𝒕𝒊𝒎𝒐 𝒕é𝒓𝒎𝒊𝒏𝒐.
𝒕𝟏 = 𝒑𝒓𝒊𝒎𝒆𝒓 𝒕é𝒓𝒎𝒊𝒏𝒐.
𝒓 = 𝒓𝒂𝒛𝒐𝒏 𝒈𝒆𝒐𝒎𝒆𝒕𝒓𝒊𝒄𝒂
𝒎 = 𝑬𝒔 𝒆𝒍 𝒏ú𝒎𝒆𝒓𝒐 𝒅𝒆 𝒕é𝒓𝒎𝒊𝒏𝒐𝒔 𝒆𝒏𝒕𝒓𝒆 𝒂 𝒚 𝒃
Ejemplo:
Interpolar 3 medios geométricos entre 1
4 𝑦 4
DATOS:
𝒕𝒏 = 𝟒 𝒕𝟏 = 𝟏
𝟒 𝒎 = 𝟑 𝒓 =
𝑟 = √𝑡𝑛
𝑡1
𝑚+1
= √4
14
3+1 = √164
= 2
Escribimos la progresión geométrica:
1
4,
𝟏
𝟐, 𝟏, 𝟐, 4.
3 medios geométricos
SUMA DE LOS TERMINOS DE UNA PROGRESION GEOMETRICAS
Si tenemos la sucesión de 2, 6, 18, 54…..
La suma de los 4 términos es: 𝑆4 = 2 + 6 + 18 + 54 = 80
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Para sumar los 100 primeros términos resulta molesto, para simplificar la suma de términos podemos
utilizar una formula:
𝑆 =𝑡1(1 − 𝑟𝑛)
1 − 𝑟 𝑆 =
𝑡1 − 𝑡𝑛
1 − 𝑟
Ejemplo:
Hallar la suma de los 7 primeros términos de.
10, 30, 90, ……………….
𝑫𝒂𝒕𝒐𝒔: 𝑡𝟕 =? 𝒕𝟏 = 𝟏𝟎 𝑺 =? 𝒓 =
Desarrollo:
Calculamos r: 𝒓 = 𝟑𝟎 ÷ 𝟏𝟎 = 𝟑
Calculamos S:
𝑆 =𝑡1(1 − 𝑟𝑛)
1 − 𝑟; 𝑆 =
10(1 − 37)
1 − 3 ; 𝑆 =
10(−2186)
−2 ; 𝑆 = 10930
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LECCION N°8
LECCION 6
INVESTIGO N°8 Que es INTERPOLAR medios geométricos.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
-------------------------------------------------------------------------------------------------
Escriba la fórmula para calcular los medios geométricos.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------
Indique cuales son los pasos para realizar una suma de n términos
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------
GLOSARIO N°8
Busque el significado de las siguientes palabras:
Interpolar___________________________________________________________________________
Medios geométricos____________________________________________________________________
Términos_______________________________________________________________________________
Serie_________________________________________________________________________________
Expresión______________________________________________________________________________
NOMBRE: _________________________________
CURSO: ___________________________________
PROFESOR: ________________________________
FECHA: ____________________________________
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Proceso
Escriba 5 palabras no asimiladas en la lección con su respectivo significado.
______________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________
RESUMO N°8 Complete el cuadro sinóptico.
Interpolación de medios Suma de n términos de
geométricas progresión geométrica
Proceso es es
Formula Formula
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CUESTIONARIO N°8
1 SOCSS SOLUCION DE EJERCICIOS:
Interpolar 3 medios geométricas entre 6250 y 10
Interpolar 4 medios geométricos entre11
2 𝑦
16
81
Calcular la suma de. 54, 18, 6……………………2
27 Resp: 80
𝟐𝟔
𝟐𝟕
Calcular el dato que falta:
𝑡1 = 1 𝑡7 = 64 𝑟 =? 𝑆 =?
𝑡1 = 2 𝑡𝑛 = 162 𝑟 = 3 𝑆 =
𝑡𝑛 = 54 𝑡1 =2
9 𝑟 =? 𝑛 = ? 𝑆 = 80
8
9
𝑡6 = ? 𝑡1 = 3 𝑟 = 2 𝑆 =?
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BLOQUE 2:
ALGEBRA Y
GEOMETRIA
FICHA N°9:
Resolución de
Problemas.
OBJETIVOS: Aprender y analizar los sistemas que ameritan progresiones en funciones matemáticas, y el
entendimiento de las mismas para su correcta aplicación.
Destreza de Criterio de desempeño: Reforzar los conocimientos anteriores.
Resolver problemas aplicando a situaciones de la vida diaria
Interpolar medios geométricos.
Resolver ejercicios de suma con progresiones geométricas
Objetivo Educativo.
RESOLUCION DE PROBLEMAS DE UNA PROGRESION GEOMETRICA
El tema de progresión geométrica tiene su aplicación en múltiples problemas de la vida diaria:
Para resolver:
1. Leer el problema con detenimiento, si es necesario varias veces hasta captar la total
comprensión.
2. Elaborar una tabla de datos.
3. Calcula la incógnita o incógnitas.
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Ejemplo de la solución de problemas de progresión geométrica:
Una maquina costo 12 000 y se aplica anualmente a una tasa del 20%. Si su valor de
desecho es de $ 2 000. Calcule la vida efectiva de la máquina, es decir el número de años
hasta que el valor depreciado sea aproximado al de desecho.
Análisis:
La máquina se desprecia en 20% cada año
El costo de la maquina corresponde al 80% del año anterior.
El valor de desecho es de $ 2 000.
𝒕𝟎 = 𝒆𝒔 𝒆𝒍 𝒄𝒐𝒔𝒕𝒐 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒎𝒂𝒒𝒖𝒊𝒏𝒂
𝒕𝒏 = 𝒆𝒔 𝒆𝒍 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒅𝒆 𝒅𝒆𝒔𝒆𝒄𝒉𝒐
𝒏 = 𝒆𝒔 𝒍𝒂 𝒗𝒊𝒅𝒂 𝒖𝒕𝒊𝒍 𝒐 𝒆𝒇𝒆𝒄𝒕𝒊𝒗𝒂
𝒕𝟎 = 𝟏𝟐 𝟎𝟎𝟎 𝒕𝒏 = 𝟐 𝟎𝟎𝟎 𝒅 = 𝟐𝟎% 𝒓 = 𝟖𝟎% = 𝟎, 𝟖 𝒏 = ?
𝑫𝒆𝒔𝒂𝒓𝒓𝒐𝒍𝒍𝒐 𝒕𝒏 = 𝒕𝟎𝒓𝒏−𝟏 𝒆𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔:
𝒕𝒏 = 𝒕𝟎𝒓𝒏
Despejamos n
𝑛 =𝑙𝑜𝑔𝑡𝑛 − 𝑙𝑜𝑔𝑡𝑜
𝑙𝑜𝑔𝑟 𝑜 𝑛 =
𝑙𝑜𝑔𝑡𝑛
𝑡0
𝑙𝑜𝑔𝑟
𝑛 = 𝑙𝑜𝑔
2 000
12 000
𝑙𝑜𝑔𝑟 = 8, 029
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LECCION N°9
INVESTIGO N°9
¿Qué es problema?.
8.
Escriba las fórmulas de los términos de la progresión geométrica
2.
Indique que es una progresión geométrica
9.
NOMBRE: _________________________________
CURSO: ___________________________________
PARALELO: ________________________________
PROFESOR: ________________________________
FECHA: ____________________________________
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GLOSARIO N°9
Busque el significado de las siguientes palabras:
Datos
10.
Formulas
1.
Geométrico
1.
Despreciar
1.
Solución.
1.
Escriba 5 palabras no asimiladas en la lección con su respectivo significado.
2.
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Proceso
RESUMO N°9
Complete en cuadro sinóptico.
PROCESO PARA RESOLVER PROBLEMAS DE P. G.
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CUESTIONARIO N°9
El lunes gane dos dólares y cada día después gane el doble de lo que gane el anterior.
¿Cuánto gane el sábado y cuanto de lunes a sábado?
1.
El dentista arreglo 20 piezas a una persona cobrándole u dólar por la primera, dos dólares por la segunda, 4 dólares por la tercera, 8 dólares por la cuarta, y así sucesivamente. ¿Cuáles serán el honorario del dentista?
3.
Un hombre juega durante 8 días y cada día gana 1
3 de lo que gano el día anterior. Si el octavo día gano 1
dólar, cuánto ganó el primer día?
2.
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BLOQUE 2:
ALGEBRA Y
GEOMETRIA
FICHA N°10:
Logaritmos.
OBJETIVOS: Aprender a calcular los logaritmos y sus aplicaciones fundamentales para el cálculo y las construcciones
gráficas.
Destreza de Criterio de desempeño: Conocer conceptos generales de logaritmo.
Conocer propiedades y principios de logaritmos.
Objetivo Educativo.
LOGARITMOS
Concepto: Logaritmo es exponente al cual se debe elevar la base para obtener el número
PROPIEDADES GENERALES DE LOS LOGARITMOS:
Son de importancia las siguientes propiedades de los logaritmos:
1. La base de un sistema de logaritmo no puede ser negativo, porque si fuese negativa,
sus potencias pares serian positivas y las impares negativas, y tendríamos una serie de
números alternativamente positivos y negativos, y por lo tanto, habría números
positivos que no tendrían logaritmos.
2. Los números negativos no tienen logaritmo porque siendo la base positiva todas sus
potencias, ya sea pares o impares son positivas y nunca negativas.
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3. En todo sistema de logaritmo, el sistema de logaritmo de base 1,
𝒃𝟏 = 𝑏 𝑙𝑜𝑔. 𝑏 = 1
4. En todo sistema el logaritmo de 1 es cero, porque siendo b la base, tendremos.
𝒃𝟎 = 1 𝑙𝑜𝑔. 1 = 0
5. Los números mayores que 1 tiene logaritmo negativo porque siendo log1=0, los
logaritmos de los números mayores que uno serán mayores que cero, luego, serán
positivos.
6. Los números menores que 1 tienen logaritmo negativo, porque siendo log 1 = 0, los
logaritmos de los números que 1 serán menores que cero; luego serán negativos.
LOGARITMO DE UN PRODUCTO:
El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores.
Sea A y B los factores, sea
LOGARITMO DE UN COCIENTE
El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo menos el logaritmo del divisor..
Sea A el dividendo y B el divisor:
LOGARITMO DE UNA POTENCIA
El logaritmo de una potencia es igual al exponente multiplicando por el logaritmo de la base.
Sea A la base y n el exponente:
𝑙𝑜𝑔𝐴 × 𝐵 = 𝑙𝑜𝑔𝐴 + 𝑙𝑜𝑔𝐵
𝑙𝑜𝑔𝐴
𝐵= 𝑙𝑜𝑔𝐴 − 𝑙𝑜𝑔𝐵
𝑙𝑜𝑔𝐴𝑛 = 𝑛𝑙𝑜𝑔𝐴
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LOGARITMO DE UNA RAIZ
El logaritmo de una raíz es igual al logaritmo de la cantidad subradical dividido entre el índice de la raíz
Sea A el radicando y n el índice:
CARACTERISTICA Y MANTISA
Todo logaritmo tiene una parte entera y una parte decimal. La parte entera se llama
característica y la parte decimal se llama mantisa.
VALOR DE LA CARACTERISTICA. :
a) La característica del logaritmo de un número de un número comprendido entre 1 y 10
es cero.
b) La característica del logaritmo de un número mayor que 10 es positiva y su valor
absoluto es 1 menos que el número de cifras enteras del número. Así el 84 tiene dos
cifras enteras y la característica de su logaritmo es 1; 512 tiene tres cifras enteras y la
característica de su log es 2.
c) La característica de un número menor que 1 es negativo y su valor absoluto es 1 más
que el número de ceros que hay entre el punto decimal y la primera cifra significativa
decimal. Log0, 5 es -1. Log 0,07 es -2.
𝑙𝑜𝑔 √𝐴𝑛
=𝑙𝑜𝑔𝐴
𝑛
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COLOGARITMO:
Se llama cologaritmo de un número al logaritmo de su inverso.
Así, el cologaritmo de 2 es el logaritmo 1
2; el cologaritmo de 54 es el logaritmo de
1
54
En general 𝑐𝑜𝑙𝑜𝑔𝑥 = 𝑙𝑜𝑔1
𝑥= 𝑙𝑜𝑔1 − 𝑙𝑜𝑔𝑥 ∴ 𝑙𝑜𝑔1 = 0 ∴ 0 − 𝑙𝑜𝑔𝑥
−𝑙𝑜𝑔𝑥 = 𝑐𝑜𝑙𝑜𝑔𝑥
CONCLUSIONES. Restar el log de un número equivale a sumar el cologaritmo del mismo
número.
𝒍𝒐𝒈𝒂
𝒃= 𝒍𝒐𝒈𝒂 − 𝒍𝒐𝒈𝒃 𝒐 𝒍𝒐𝒈
𝒂
𝒃= 𝒍𝒐𝒈𝒂 + 𝒄𝒐𝒍𝒐𝒈𝒃
Ejemplo:
a. Hallar el valor de 1215 × 0.84 por logaritmo
Como logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores,
tendríamos:
log(1215 × 0,84) = 𝑙𝑜𝑔1215 + 𝑙𝑜𝑔0.85
3,084576 + 1,̅ 924279 = 3,00886
𝐴𝑛𝑡𝑖𝑙𝑜𝑔𝑎𝑟𝑖𝑡𝑚𝑜. 1020, 6
Hallar el valor de 0,765
39,14 por logaritmo:
log 0,765
39,14= log 0,765 − log 39,14
log 0,765
39,14= log 0,765 + 𝑐𝑜 log 39,14 = 1̅, 88366 + 2,̅ 407380 = 2̅, 29104
𝑨𝒏𝒕𝒊𝒍𝒐𝒈𝒂𝒓𝒊𝒕𝒎𝒐: 0. 019545
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LECCION N°10
INVESTIGO N°10 Investigue sobre los logaritmos VULGARES (10 puntos)
11.
GLOSARIO N°10
Busque el significado de las siguientes palabras:
Logaritmo es
12.
Exponente
4.
Propiedad
2.
Cologaritmo es:
2.
Antilogaritmo es:
2.
NOMBRE: _________________________________
CURSO: ___________________________________
PROFESOR: ________________________________
FECHA: ____________________________________
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Escriba 5 palabras no asimiladas en la lección con su respectivo significado.
5.
RESUMO N°10
Elabore un mapa conceptual de las propiedades de los logaritmos:
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CUESTIONARIO N°10
Indique si es falso o verdadero. Si es verdadero ponga V si es falso F
Logaritmo es exponente al cual se debe elevar la base para obtener el número
Los números negativos tienen logaritmo porque siendo la base positiva todas sus potencias, ya
sea pares o impares son positivas y nunca negativas.
El logaritmo de un producto es igual a la resta de los logaritmos de los factores.
El logaritmo de una raíz es igual al logaritmo de la cantidad sub radical dividido entre el índice
de la raíz.
Se llama cologaritmo de un número al logaritmo de su inverso.
Coloque el literal según corresponda
( )Logaritmo de un producto
( )Logaritmo de un cociente
( )Logaritmo de una potencia
( )Logaritmo de una raíz
a. 𝑙𝑜𝑔𝐴 × 𝐵 = 𝑙𝑜𝑔𝐴 + 𝑙𝑜𝑔𝐵
b. 𝑙𝑜𝑔𝐴
𝐵= 𝑙𝑜𝑔𝐴 − 𝑙𝑜𝑔𝐵
c. 𝑙𝑜𝑔 √𝐴𝑛
=𝑙𝑜𝑔𝐴
𝑛
d. 𝑙𝑜𝑔𝐴𝑛 = 𝑛𝑙𝑜𝑔𝐴
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Hallar el valor de 3214,8 × 0.003(−43,76) por logaritmo
( ) 0, 300886
( )0, 200786
( )2,625352
Hallar el valor de 7,66 por logaritmo
( ) 3,00886
( )0, 095424
( ) 2,625352
Hallar el valor de √0,02624
1,4164 por logaritmo
( ) 0,040294
( )0, 95424
( ) 0,62535
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SEGUNDO QUIMESTRE
BLOQUE 3: MATEMÁTICAS
DISCRETA
FICHA N°11
LOGARITMOS
VULGARES.
OBJETIVOS: Aprender a calcular los logaritmos y sus aplicaciones fundamentales para el cálculo y las construcciones
gráficas.
Destreza de Criterio de desempeño: Aplicar el proceso en la solución de ejercicios.
Conocer conceptos generales de logaritmo.
Conocer propiedades y principios de logaritmos.
Objetivo Educativo.
LOGARITMOS VULGARES
Los logaritmos vulgares son de base 10.
PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS VULGARES
Observando la progresión:
100 = 1
101 = 10
102 = 100
103 = 1000
104 = 10 000
10−1 =1
10= 0,1
10−2 =1
100= 0, 01
10−3 =1
1000= 0,001
10−4 =1
10000= 0, 0001
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Se deduce fácilmente las siguientes propiedades de los logaritmos de base 10:
En este sistema, los únicos números cuyos logaritmos son números enteros son
potencia de 10, así:
1. 𝑙
2. 𝑜𝑔1 = 0
𝑙𝑜𝑔 10 = 1
3. 𝑙𝑜𝑔100 = 2
4. 𝑙𝑜𝑔1000 = 3
5. 𝑙𝑜𝑔10 000 = 4
6. 𝑙𝑜𝑔0, 1 = −1
𝑙𝑜𝑔 0,01 = −2
7. 𝑙𝑜𝑔0, 001 = −3
8. 𝑙𝑜𝑔0,0001 = −4
9. 𝑙𝑜𝑔0, 00001 = −5
El log. De todo número que no sea una potencia de 10 no es un número entero, sino
una fracción propia o un número entero más una fracción propia.
En efecto: Como, log. 1= 0 y log 10 = 1, los números comprendidos entre 1 y 10
Tendría un logaritmo mayor que 0 y menor que 1, luego su log será una fracción
propia.
Así log. 2 = 0, 301030.
Como, log. 10= 1 y log 100 = 2, los números comprendidos entre 10 y 100
Tendría un logaritmo mayor que 1 y menor que 2, luego su log será 1 más una
fracción propia.
Así log 15 = 1+0, 176091 = 1,176091
Así, log. De un numero comprendido entre log 0.01 y 0. 001 será menor que -3 más
una fracción propia; el logaritmo de un número comprendido entre 0. 001 y 0. 0001
será mayor que -4 y menor que -3; y luego será -4 más una fracción propia, etc.
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CALCULO DEL VALOR DE LA EXPRESION POR MEDIO DE LOGARITMOS:
Las propiedades de los logaritmos nos permiten emplearlos para calcular el
valor de diversas expresiones:
Ejemplo:
1. Hallar el valor de la expresión de 1215 × 0.84 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑟𝑖𝑡𝑚𝑜𝑠
log(1215 × 0.84) = 𝑙𝑜𝑔1215 + log 0.84
3.084576 + 1̅. 924279 = 3008855
Antilogaritmo: 1020.5
2. Hallar el valor de la expresión de
𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑟𝑖𝑡𝑚𝑜𝑠 √35
𝑙𝑜𝑔3
5=
0.477121
5= 0. 095424
Antilogaritmo: 1, 24573
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LECCION N°11
INVESTIGO
Investigue sobre el uso de la tabla de logaritmo.
13.
GLOSARIO N°11
Busque el significado de las siguientes palabras:
Antilogaritmo
14.
Propiedades
6.
Producto
3.
Cociente:
3.
Mantisa es:
3.
NOMBRE: _________________________________
CURSO: ___________________________________
PROFESOR: ________________________________
FECHA: ____________________________________
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Escriba 5 palabras no asimiladas en la lección con su respectivo significado.
7.
RESUMO N°11
Elabore un mapa conceptual de las proceso de aplicación en la resolución de
una expresión logarítmica:
CUESTIONARIO N°11
Indique si es falso o verdadero. Si es verdadero ponga V si es falso F
Logaritmo es el de base 10
Los antilogaritmos es igual que decir logaritmo
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El logaritmo de una expresión es llevar a un número a encontrar su valor logarítmico en su mina
expresión.
Hallar el valor de 532 × 0.184 por logaritmo
( ) 0, 300886
( )0,1. 990729
( )2,625352
Hallar el valor de 210 por logaritmo
( ) 3,00886
( )0, 095424
( ) 3. 010299
Hallar el valor de 3284×0.09132
715.84 por logaritmo
(𝒙) 1̅. 622153
( )1, 95424
( ) 0,62535
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BLOQUE 3:
MATEMÁTICAS
DISCRETA
FICHA N°12:
LOGARITMOS
VULGARES.
OBJETIVOS: Aprender a calcular los logaritmos y sus aplicaciones fundamentales para el cálculo y las construcciones
gráficas.
Destreza de Criterio de desempeño: Aplicar el proceso en la solución de ejercicios.
Conocer conceptos generales de logaritmo.
Conocer propiedades y principios de logaritmos.
Objetivo Educativo.
CALCULO DEL VALOR DE LA EXPRESION:
POR COMBINACION DE LAS PROPIEDADES ESPECÍFICAS DE LOS LOGARITMOS:
Las propiedades de los logaritmos nos permiten emplearlos para calcular el valor de
diversas expresiones:
Ejemplo:
Hallar el valor de la expresión de 3284×0.09132
715,84𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑟𝑖𝑡𝑚𝑜𝑠
𝑙𝑜𝑔 (3284 × 0.0,09132
715,84) = 𝑙𝑜𝑔(3284 × 0,09132) + 𝑐𝑜𝑙𝑜𝑔715,84
= 𝑙𝑜𝑔3284 + 𝑙𝑜𝑔0.09132 + 𝑐𝑜𝑙𝑜𝑔715,84
= 3,51640 + 2.̅ 96057 + 3.̅ 14518
= 1.̅ 62215
𝐴𝑛𝑡𝑖𝑙𝑜𝑔𝑎𝑟𝑖𝑡𝑚𝑜 = 0.41894
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Hallar el valor de la expresión de 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑟𝑖𝑡𝑚𝑜𝑠 32
5 × 52
3
𝑙𝑜𝑔 (325 × 5
23) = 𝑙𝑜𝑔3
25 + 𝑙𝑜𝑔5
23
2
5𝑙𝑜𝑔3 +
2
3𝑙𝑜𝑔3
2
5(0.47712) +
2
3(0.69897)
0.190848 + 0.46598
0.656828,
Antilogaritmo: 4.5376
Hallar el valor de la expresión de√32,7×0.006
0.14×89.17
3 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑟𝑖𝑡𝑚𝑜𝑠
𝑙𝑜𝑔 (√32,7 × 0.006
0.14 × 89.17
3
) =1
3𝑙𝑜𝑔
32,7 × 0.006
0.14 × 89.17
1
3[𝑙𝑜𝑔32,7 + 𝑙𝑜𝑔0.006 + 𝑐𝑜𝑙𝑜𝑔0.14 + 𝑐𝑜𝑙𝑜𝑔 + 89.17]
1
3[1.514548 + 3̅. 77815 + 0.8539 + 2̅. 04978]
1
3[+2̅. 19635] = 1̅. 39878
Antilogaritmo= 0.25048
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LECCION N°12
INVESTIGO N°12 Investigue sobre la aplicación de los logaritmos en la vida diaria.
_____________________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________________
GLOSARIO N°12
Busque el significado de las siguientes palabras:
Factor
15.
Residuo
8.
Diferencia
4.
Antilogaritmo
4.
Expresión numérica
1.
NOMBRE: _______________________________
CURSO: ________________________________
PROFESOR: _____________________________
FECHA: _______________________________
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Escriba 5 palabras no asimiladas en la lección con su respectivo significado.
9.
RESUMO N°12 Elabore un mapa conceptual de las proceso de aplicación en la resolución de una expresión
logarítmica: (10 puntos)
CUESTIONARIO N°12
Indique si es falso o verdadero. Si es verdadero ponga V si es falso F
La característica de un logaritmo de un número comprendida entre 1 y 10 es cero
El cologaritmo de un número al logaritmo de su inverso
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La mantisa es la parte entera de un número
Hallar el valor de 𝟏𝟎𝟎.𝟑𝟗×𝟎.𝟎𝟑𝟏𝟗𝟔
𝟕.𝟏𝟒×𝟎.𝟎𝟗𝟑 por logaritmo
( ) 0, 68412
( )0,1. 990729
( )2,625352
Hallar el valor de √𝟎.𝟎𝟐𝟔𝟐𝟒
𝟏,𝟒𝟏𝟔𝟒 por logaritmo
( ) 1̅. 622153
( )1, 0.04029
( ) 0,62535
Hallar el valor de √𝟐𝟒𝟑×𝟑,𝟖𝟏
𝟐𝟑
𝟕,𝟐𝟐𝟑×𝟒𝟐,𝟎𝟓𝟐×𝟏,𝟐𝟒
𝟓
por logaritmo
( ) 1̅. 622153
( )0, 0.04029
( ) 0,476
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BLOQUE 3: MATEMATICAS DISCRETA
FICHA N°13:
SOLUCIÓN DE
PROBLEMAS.
OBJETIVOS: Aprender a calcular los logaritmos y sus aplicaciones fundamentales para el cálculo y las
construcciones gráficas.
Destreza de Criterio de desempeño:
Aplicar el proceso en la solución de ejercicios.
Conocer conceptos generales de logaritmo.
Conocer propiedades y principios de logaritmos.
Objetivo Educativo.
RESOLUCION DE PROBLEMAS UTILIZANDO LOGARITMOS
El tema de LOGARITMOS tiene su aplicación en múltiples problemas de la vida diaria:
Para resolver:
4. Leer el problema con detenimiento, si es necesario varias veces hasta captar la total
comprensión.
5. Elaborar una tabla de datos.
6. Calcula el valor de cada uno de los logaritmos.
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Matemática Tercer Año de Bachillerato Página 87
Ejemplo de la solución de problemas de progresión geométrica:
La potencia en caballos de vapor de un motor de cuatro tiempos está dada por la fórmula:
𝐻 =𝑑2𝑙𝑛
18000𝑁
En donde d es diámetro del cilindro, l la carrera del pistón (ambos en pulgadas), n el número de
revoluciones por minuto y N en número de cilindros, ¿Cuál es la potencia de un motor de 2
cilindros en la cual d= 3.5 pulgadas, l = 3. 7 pulgadas si da 4 100 revoluciones por minuto?
Tenemos:
𝐻 =3.52𝑥3.7𝑥4100
18 000 𝑥2=
3.52𝑥3.7𝑥41
360
𝑙𝑜𝑔𝐻 = 2𝑙𝑜𝑔3.5 + 𝑙𝑜𝑔3.7 + 𝑙𝑜𝑔41 + 𝑙𝑜𝑔41 + 𝐶𝑜𝑙𝑜𝑔360
1.08814 + 0.56820 + 1.61278 + 3̅. 44370
𝑙𝑜𝑔𝐻 = 0,71282
Antilogaritmo: 5, 162.
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LECCION N°13
INVESTIGO N°13 Investigue sobre las ecuaciones exponenciales: de una introducción del tema.
_____________________________________________________________________________________
___________
GLOSARIO N°13 Busque el significado de las siguientes palabras:
Antilogaritmo.
16.
Potencia
10.
Radical
5.
Base
2.
Pulgadas
4.
NOMBRE: _________________________________
CURSO: ___________________________________
PARALELO: ________________________________
PROFESOR: ________________________________
FECHA: ____________________________________
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Matemática Tercer Año de Bachillerato Página 89
Escriba 5 palabras no asimiladas en la lección con su respectivo significado.
11.
RESUMO N°13
Elabore un mapa conceptual de la elaboración de un problema a través de un
ejemplo indicando cada uno de los pasos:
CUESTIONARIO N°13
Resuelva los siguientes problemas usando logaritmos. Coloca la una X en la respuesta que sea verdadera.
Hallar el volumen de una esfera cuyo radio es de 13,42 cm Formula: 𝑉 =4
3𝜋𝑟3
( ) 0, 68412
( )0,1. 990729
( )2,625352
( ) 𝑁. 𝐴
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Calcular el radio de una esfera cuyo volumen es de 528,4 𝒄𝒎𝟑
( ) �̅�. 𝟔𝟐𝟐𝟏𝟓𝟑
( )1, 𝟎.04029
( ) 𝟎, 𝟔𝟐𝟓𝟑𝟓
( ) 𝑵. 𝑨
Determine el periodo de un péndulo que tiene 8, 75 pies de largo usando la fórmula:
𝑻 = 𝟐𝝅√𝑳
𝒈
En el cual T representa el periodo, L la longitud del péndulo y 𝒈 = 𝟑𝟐, 𝟏𝟔 𝒑𝒊𝒆𝒔
𝒔𝒆𝒈𝟐⁄
( ) �̅�. 𝟔𝟐𝟐𝟏𝟓𝟑
( )0, 𝟎.04029
( ) 𝟎, 𝟒𝟕𝟔
( ) 𝑵. 𝑨
Los lados del triángulo son a = 23, 4 m b = 29,2 m. c = 37,6 m. hallar el área del triángulo por la fórmula de Herón.
𝑨 = √𝒑(𝒑 − 𝒂)(𝒑 − 𝒃)(𝒑 − 𝒃) En la cual 𝒑 =𝒂+𝒃+𝒄
𝟐
( ) 𝟎. 𝟕𝟏𝟐𝟖𝟐
( )0, 𝟎.40291
( ) 𝟎, 𝟕𝟔𝟔𝟔𝟕
es
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BLOQUE 3: MATEMÁTICAS DISCRETA
FICHA N°14
ECUACIONES
EXPONENCIALES Y
LOGARITMICAS
OBJETIVOS: Reconocer y representar funciones exponenciales. Aplicar las funciones exponenciales al interés compuesto y otras situaciones. Interpretar las gráficas de las funciones logarítmicas.
Destreza de Criterio de desempeño: Aplicar el proceso en la solución de ejercicios.
Conocer conceptos generales de logaritmo.
Conocer propiedades y principios de logaritmos.
Objetivo Educativo.
ECUACIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS
Históricamente, los exponentes fueron introducidos en matemáticas para dar un método corto que
indicara el producto de varios factores semejantes, y, con este propósito, solo se consideraron
inicialmente exponentes naturales. El estudio de las potencias de base real será dividido en varios casos,
de acuerdo con la clase de exponente: un número entero, racional o, en general, un número real.
Concepto: Son ecuaciones en la que la incógnita es exponente de una cantidad. Para resolver
ecuaciones exponenciales, se aplica logaritmos a los dos miembros de la ecuación y se despeja la
incógnita.
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𝑥 = 3,72
Para mejor compresión determinamos la siguiente aplicación.
Ejemplo:
1. Resolver la ecuación: 3𝑥 = 60
𝑙𝑜𝑔3𝑥 = 𝑙𝑜𝑔60
𝑥𝑙𝑜𝑔3 = 𝑙𝑜𝑔60
𝑥 =𝑙𝑜𝑔3
𝑙𝑜𝑔60
𝑥 =1,77815
0,47712
Comprobación:
𝑙𝑜𝑔33,72 = 𝑙𝑜𝑔60
𝑙𝑜𝑔60 = 𝑙𝑜𝑔60
Resuelva la ecuación 52𝑥−1 = 125
(2𝑥 − 1) log 5 = 125
2𝑥 − 1 = =𝑙𝑜𝑔125
log 5
2𝑥 = =𝑙𝑜𝑔125
log 5+ 1
2𝑥 = =2,096910
0,698970+ 1
𝑥 = =3 + 1
2
𝑥 = =4
2
𝑥 = 2
Comprobación:
52𝑥2−1 = 125
53 = 125
125 = 125
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LECCION N°14
INVESTIGO N°14 Indique el proceso para resolver una ecuación logarítmica.
_____________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
GLOSARIO N°14
Busque el significado de las siguientes palabras:
Ecuación.
17.
Inecuación
12.
Desigualdad
6.
Igualdad
3.
Ecuación Exponencial
5.
NOMBRE: _________________________________
CURSO: ___________________________________
PARALELO: ________________________________
PROFESOR: ________________________________
FECHA: ____________________________________
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Escriba 5 palabras no asimiladas en la lección con su respectivo significado.
13.
RESUMO N°14
Elabore un mapa conceptual de una ecuación logarítmica: indique el proceso de
solución:
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CUESTIONARIO N°14 1. Complete:
Ecuaciones logarítmicas.- son ecuaciones en la que la incógnita es …………………. de una
cantidad. Para resolver ecuaciones exponenciales, se aplica logaritmos a los………………….. de
la ecuación y se despeja la………………………..
2. Resuelva las siguientes ecuaciones logarítmicas. Coloca la una X en la respuesta que sea verdadera.
𝟓𝒙 = 𝟑
( ) 0, 𝟔𝟖𝟐𝟔
( )𝟎, 𝟔𝟕𝟐𝟔
( )𝟐, 𝟔𝟐𝟓𝟑𝟓𝟐
3. Calcule 𝟎, 𝟐𝒙 = 𝟎, 𝟎𝟎𝟏𝟔
( ) �̅�. 𝟔𝟐𝟐𝟏𝟓𝟑
( ) 𝟒
( ) − 𝟒
( ) 𝑵. 𝑨
4. Calcule 𝟑𝟐𝒙−𝟏 = 𝟐𝟏𝟖𝟕
( ) 𝟔, 𝟐𝟐𝟏𝟓𝟑
( )0, 4029
es
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BLOQUE: MATEMÁTICAS
DISCRETA
FICHA N°15:
Generalidades y
Aplicaciones.
OBJETIVOS: Comprender y aplicar las diferentes fórmulas de la geometría analítica que existen y su
aplicación para resolver distintos problemas que sean plateados, además las transformaciones
y sus formas de gráficas.
Destreza de Criterio de desempeño: Aplicar el proceso en la solución de ejercicios.
Analizar las fórmulas de distancia.
Aplicar las formulas en problemas planteados.
Objetivo Educativo.
GEOMETRIA ANALITICA
La distancia entre dos puntos del plano se calcula algebraicamente aplicando el Teorema de Pitágoras,
función de las coordenadas de estos puntos.
𝑑2 = (𝑥2 − 𝑥1)2 + (𝑦2 − 𝑦1)2+
𝑑 = √(𝑥2 − 𝑥1)2 + (𝑦2 − 𝑦1)2
Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje x o en una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus abscisas.
Ejemplo: La distancia entre los puntos (-4,0) y (5,0) es 4 + 5 = 9 unidades.
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Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje y o en una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus ordenadas.
Distancia de un punto a una recta.
La distancia de un punto a una recta es la longitud del segmento perpendicular a la recta, trazada desde
el punto.
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Ejemplo:
Calcular la distancia entre los siguientes puntos:
𝐴(6,4) 𝑦 𝐴(6,4)
𝑑 = √(𝑥2 − 𝑥1)2 + (𝑦2 − 𝑦1)2
𝑑 = √(2 − 6)2 + (0 − 4)2
𝑑 = √(16)2 + (16)2
𝑑 = √32
𝑑 = 5,66
PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO
El punto medio de un segmento de una recta es igual a la semisuma de los componentes
𝑃𝑚 = (𝑥1 + 𝑥2
2;
𝑦1 + 𝑦2
2)
Ejemplo:
Calcule el punto medio de los
siguientes pares de puntos
𝐴(6,4) 𝑦 𝐴(6,4)
𝑃𝑚 = (𝑥1 + 𝑥2
2;
𝑦1 + 𝑦2
2)
𝑃𝑚 = (6 + 2
2;
4 + 0
2)
𝑃𝑚 = (4,2)
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LECCION N°15
INVESTIGO N°15 Investigue sobre la Geometría Analítica (concepción general).
_____________________________________________________________________________________
___________________________
GLOSARIO N°15
Busque el significado de las siguientes palabras:
Geometría. ______________________________________________________________________
Analítica_____________________________________________________________________________
Punto medio_________________________________________________________________________
Coordenada__________________________________________________________________________
Teorema de Pitágoras. _______________________________________________________________
Escriba 5 palabras no asimiladas en la lección con su respectivo significado.
_____________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________
ESTUDIANTE ______________________________
PARALELO: ________________________________
PROFESOR: ________________________________
FECHA: ____________________________________
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RESUMO N°15 Elabore un mapa conceptual sobre la distancia entre dos puntos y otro sobre punto
medio de un segmento de recta (10 puntos)
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CUESTIONARIO N°15
1. Calcule el perímetro del triángulo cuyos vértices son 𝑨(𝟔, 𝟐) 𝑩(𝟒, 𝟑) 𝑪(𝟎, 𝟏)
( ) 12,78 ( )12,57 ( )2,62 ( ) 𝑁. 𝐴
2. Demuestre que los puntos A(0,4) B(3, −2) y C(−2,8) son colineales
( ) 5
( )𝟓√𝟓 ( ) 0,62535 ( ) 𝑁. 𝐴
3. Calcular el punto medio de los siguientes pares de puntos
𝑨(𝟐, −𝟐) 𝒚 𝑩(𝟎, 𝟎)
( ) (𝟏, −𝟏) ( )(𝟐, −𝟐) ( ) (𝟑, −𝟑) ( ) 𝑁. 𝐴 4. Calcular las coordenadas de los puntos medios de los lados del triángulo cuyos
vértices son A(3,7) B(5, −5) y C(−2,0)
( ) (4,1) ; (1,5; −2.5 ) y (0.5; 3,5) ( )(−4,1) ; (1,5; 3.5 ) y (0.2; 4,5)
((8,6) ; (15; −25 ) y C(5; 5)) ( ) 𝑁.A
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BLOQUE 4:
PROBABILIDAD Y
GEOMETRÍA ANALÍTICA
FICHA N°16:
Funciones Analíticas.
OBJETIVOS: Comprender y aplicar las diferentes fórmulas de la geometría analítica que existen y su
aplicación para resolver distintos problemas que sean plateados, además las transformaciones
y sus formas de gráficas.
Destreza de Criterio de desempeño: Aplicar el proceso en la solución de ejercicios.
Analizar las fórmulas de distancia.
Aplicar las formulas en problemas planteados.
Objetivo Educativo. Destreza con criterio de desempeño: comprender de donde se obtiene la ecuación de la línea
recta y como graficarla en el plano cartesiano así como comprender la obtención de la ecuación
de la recta a partir de datos conocidos de la misma en el plano cartesiano.
GEOMETRIA ANALITICA: La geometría analítica estudia las figuras geométricas mediante
técnicas básicas del análisis matemático y del álgebra en un determinado sistema de
coordenadas.
La geometría trata los 2 siguientes problemas:
1. Dado el lugar geométrico en un sistema de coordenadas, obtener su ecuación.
2. Dada la ecuación en un sistema de coordenadas, determinar la gráfica o lugar geométrico de
los puntos que verifican dicha ecuación.
LÍNEA RECTA: es una sucesión infinita de puntos en el plano cartesiano. Para graficar una
recta es necesario conocer al menos 2 puntos que componen la misma en el plano, los cuales se
utilizan para calcular la pendiente de la recta que es indispensable para graficar la recta. La
distancia mas corta entre 2 puntos es la líneas recta.
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Pendiente (m): la pendiente describe la inclinación de la recta en el plano. La pendiente de una
recta corresponde al cambio en Y dividido el cambio en X la cual corresponde a la ecuación, que
se calcula con 2 puntos de la recta:
.
Ecuación General de la Recta
Ecuación de la Recta (vertical)
Ecuación de la Recta (horizontal)
Ecuación de la Recta (punto-pendiente)
Encuentre la ecuación de la recta que pasa por el punto A( -1, 3) y es paralela a la recta 2y -6x =
10
Procedimiento:
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Luego utilizamos la ecuación general de la recta y llegamos a :
La ecuación de la recta que pasa por ese punto es:
Pendiente = 3
Intersección con el eje Y = (0,6) "hacemos cero a x"
Intersección con el eje x = (-2,0) "hacemos cero a y"
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LECCION N° 16
INVESTIGO N°16
Indique el proceso para graficar una recta perpendicular a otra recta.
18.
GLOSARIO N°16
Busque el significado de las siguientes palabras:
Pendiente
19.
Paralelo
14.
Perpendicular
6.
NOMBRE: _________________________________
CURSO: ___________________________________
PARALELO: ________________________________
PROFESOR: ________________________________
FECHA: ____________________________________
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Escriba 5 palabras no asimiladas en la lección con su respectivo significado.
15.
RESUMO N°16
Elabore un mapa conceptual de los pasos para graficar una recta a partir de la
ecuación y otro con los pasos para desarrollar la ecuación de la recta conociendo los
puntos de la misma.
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CUESTIONARIO N°16
Halle la ecuación de la recta que pasa por y es paralela a
RESP: y=(10-x)/3
Conocidos los puntos A(-3,4) y B(4,3) determine la ecuación de la recta que pasa por
estos puntos.
RESP: y = (25-x)/7
Conociendo la ecuación de la recta 3x-6y+5=0 determine la pendiente de la misma y
grafique la recta.
RESP: 1/2
Grafique la ecuación siguiente 6x-y-2=0
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BLOQUE 4:
PROBABILIDAD Y
GEOMETRÍA
ANALÍTICA
FICHA N°17:
PROPIEDADES
ANALÍTICAS.
OBJETIVOS: Estudiar y comprender a la circunferencia y su obtención. Comprender y aplicar las diferentes
fórmulas de la geometría analítica que existen y su aplicación para resolver distintos problemas
que sean plateados, además las transformaciones y sus formas de gráficas.
Destreza de Criterio de desempeño: Comprender de donde se obtiene la ecuación de la circunferencia y como graficarla en el
plano cartesiano así como comprender la obtención de la ecuación de la recta a partir de
datos conocidos de la misma en el plano cartesiano.
Objetivo Educativo.
Destreza con criterio de desempeño:
LA CIRCUNFERENCIA: La circunferencia es el lugar geométrico de un punto de
coordenadas (x,y) que se mueve sobre un plano, de manera que su distancia permanece
constante con relación a un punto fijo de coordenadas (h,k).
El punto fijo se llama centro de la circunferencia y la distancia constante es el radio (r).
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Forma General de la Ecuación de la Circunferencia
Si desarrollamos la forma reducida de la ecuación de la circunferencia
obtenemos la forma general de la ecuación de la circunferencia:
Si en la expresión anterior, sustituimos;
Podemos escribir la ecuación de la siguiente forma:
Forma general de la ecuación de la circunferencia.
Radio
Sea "C" (a, b) el centro de la circunferencia, r el radio y P(x,y) un punto de la misma. d(C,P) = r
Elevando toda la expresión al cuadrado obtenemos:
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EJEMPLOS
Determine la ecuación de la circunferencia con centro en (-1,2) y que pasa por el punto (3,4)
Determinamos el radio, sustituimos en
Sol.
=
radio =
Calculamos el radio, sustituimos
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LECCION N°17
INVESTIGO N°17
Indique el proceso para graficar una circunferencia que es tangente a una recta.
20.
GLOSARIO N°17
Busque el significado de las siguientes palabras:
Radio
21.
Centro
16.
Tangente
7.
NOMBRE: _________________________________
CURSO: ___________________________________
PARALELO: ________________________________
PROFESOR: ________________________________
FECHA: ____________________________________
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Escriba 5 palabras no asimiladas en la lección con su respectivo significado.
17.
RESUMO N°17
Elabore un mapa conceptual de los pasos para graficar circunferencia a partir de la
ecuación y otro con los pasos para desarrollar la ecuación de la circunferencia
conociendo los puntos de la misma.
COLEGIO PARTICULAR A DISTANCIA
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CUESTIONARIO N°17
Determine la ecuación general de una circunferencia tangente a la recta definida por la
ecuación , y está centrada en el punto (-1,-2 )
Determine los valores del centro de la circunferencia y del radio de la ecuación x^2+y^2-
5x+5y-20=0 y graficar.
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Graficar la circunferencia con centro en (3,2) y que tiene un radio de 5.
Graficar la circunferencia con la ecuación 25=(x-5)^2 +(y+3)^2
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BLOQUE 4:
PROBABILIDAD Y
GEOMETRÍA ANALÍTICA
FICHA N°18:
Propiedades Analíticas.
Objetivo:
Estudiar y comprender a la parábola y la obtención de su ecuación.
Destreza con criterio de desempeño:
La ecuación de la parábola, obtención de la gráfica de una parábola, obtención de la ecuación
de una parábola a partir de la gráfica.
PARABOLA: Sea l una recta y sea F un punto. La parábola se define como el conjunto de
puntos P(x,y) tal que su distancia al punto F es igual a su distancia a la recta l . Es decir:
Parábola =
Ecuación de la cónica:
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Al punto V se le denomina vértice de la parábola, en este caso tiene coordenadas (0,0 ). A la
recta perpendicular a la directriz, que contiene al vértice y al foco, se le denomina Eje Focal.
Observe que para la parábola anterior el eje focal es el eje y.
Observe además que la parábola es cóncava hacia arriba. Al segmento de recta perpendicular al
eje focal que pasa por el foco y que tiene como extremos los dos puntos de la parábola, se
denomina lado recto y tiene una medida de 4p.
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LECCION N°18
INVESTIGO N°18
Indique el proceso para graficar una parábola que es tangente a una recta.
22.
NOMBRE: _________________________________
CURSO: ___________________________________
PARALELO: ________________________________
PROFESOR: ________________________________
FECHA: ____________________________________
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GLOSARIO N°18
Busque el significado de las siguientes palabras:
Eje focal
23.
Vértice parabola
18.
Tangente
8.
Lado recto
1.
Escriba 5 palabras no asimiladas en la lección con su respectivo significado.
19.
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RESUMO N°18
Elabore un mapa conceptual de los pasos para graficar una parábola a partir de la
ecuación y otro con los pasos para desarrollar la ecuación de la parábola conociendo
los puntos de la misma.
COLEGIO PARTICULAR A DISTANCIA
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Matemática Tercero Año de Bachillerato Página 122
CUESTIONARIO N°18
Grafique el lugar geométrico definido por cada una de las siguientes ecuaciones: (Indique todos
sus elementos).
Grafique el lugar geométrico definido por cada una de las siguientes ecuaciones: (Indique todos
sus elementos).
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Determine la ecuación canónica de la parábola donde la recta directriz tiene la ecuación
y los extremos del lado recto son los puntos
Determine la grafica de la ecuación donde k=3, h=0 y p=3
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BLOQUE 4:
PROBABILIDAD Y
GEOMETRÍA ANALÍTICA
FICHA N°19:
Propiedades Analíticas.
OBJETIVOS:
Ampliar el estudio de la Geometría Plana.
Destreza de Criterio de desempeño:
Realizar el análisis de las teorías de la geometría y sus aplicaciones.
La geometría analítica estudia las figuras geométricas mediante técnicas básicas del análisis
matemático y del álgebra en un determinado sistema de coordenadas. Su desarrollo histórico comienza
con la geometría cartesiana, continúa con la aparición de la geometría diferencial de Carl Friedrich
Gauss y más tarde con el desarrollo de la geometría algebraica. Actualmente la geometría analítica tiene
múltiples aplicaciones más allá de las matemáticas y la ingeniería, pues forma parte ahora del trabajo de
administradores para la planeación de estrategias y logística en la toma de decisiones.
Las dos cuestiones fundamentales de la geometría analítica son:
1. Dado el lugar geométrico en un sistema de coordenadas, obtener su ecuación.
2. Dada la ecuación en un sistema de coordenadas, determinar la gráfica o lugar geométrico de los
puntos que verifican dicha ecuación.
Secciones cónicas
La parábola es el lugar geométrico de todos los puntos que equidistan de un punto fijo llamado foco
y de una recta fija llamada directriz.
Una parábola (figura A) cuyo eje de simetría sea paralelo al eje de abscisas se expresa mediante la
ecuación:
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Matemática Tercero Año de Bachillerato Página 125
LA CIRCUNFERENCIA.
Se distingue del círculo en que éste es el lugar geométrico de los puntos contenidos en una
circunferencia determinada.
Elementos de la circunferencia:
Existen varios puntos, rectas y segmentos, singulares en la circunferencia:
Radio, El radio de una circunferencia es el segmento que une el centro de la circunferencia con un
punto cualquiera de la misma. El radio mide la mitad del diámetro.El radio es igual a la longitud de la
circunferencia dividida por 2π.;
Diámetro, El diámetro de una circunferencia es el segmento que une dos puntos de la circuferencia y
pasa por el centro. El diámetro mide el doble del radio. El diámetro es igual a la longitud de la
circunferencia dividida por π;
Tangente, es la línea que toca a la circunferencia en un sólo punto;
Punto de tangencia, el de contacto de la recta tangente con la circunferencia;
Arco, El arco de la circunferencia es cada una de las partes en que una cuerda divide a la
circunferencia. Un arco de circunferencia se denota con el símbolo sobre las letras de los puntos
extremos del arco.;
𝑨 = 𝟐𝝅𝒓𝟐
𝒅𝒊𝒂𝒎𝒆𝒕𝒓𝒐 = 𝟐𝒓
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Matemática Tercero Año de Bachillerato Página 126
LA ELIPSE
Es el lugar geométrico de los puntos tales que la suma de sus distancias a dos puntos fijos
llamados focos es siempre igual a una constante positiva, e igual a la distancia entre los vértices.
LA HIPÉRBOLA
Es el lugar geométrico de los puntos tales que el valor absoluto de la diferencia (resta) de sus
distancias a dos puntos fijos llamados focos es siempre igual a una constante positiva, e igual a la
distancia entre los vértices.
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Matemática Tercero Año de Bachillerato Página 127
LECCION N°19
INVESTIGO N°19
Investigue que es la recta tangente a la circunferencia y hacer un gráfico.
24.
NOMBRE: _________________________________
CURSO: ___________________________________
FECHA: ___________________________________
PARALELO: ________________________________
PROFESOR: ________________________________
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Matemática Tercero Año de Bachillerato Página 128
RESUMO N°19
Realice un resumen sobre las secciones Cónicas. (Use regla y compas)
25.
GLOSARIO N°19
Radio
Recta Secante
1.
Directriz
1.
Eje focal
1.
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Escriba 5 palabras no asimiladas en la lección con su respectivo significado
26.
CUESTIONARIO N°19
Determinar los puntos de intersección de las dos ecuaciones.
y = x2 – 5x – 3
y = –2x2 + 4x – 1
COLEGIO PARTICULAR A DISTANCIA
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Matemática Tercero Año de Bachillerato Página 130
Determinar la ecuación de la recta que pasa por el punto (-2;3)
y es perpendicular a la ecuación 2x-6y=4
Determine la grafica (𝒙 − 𝟑)𝟐 + (𝒚 − 𝟏)𝟐 = 𝟒𝟗
Identifique:
El punto del centro:
El diámetro:
El Área de la gráfica:
Determine el radio de la circunferencia con centro en el punto (-2;-3) y a su vez tiene una
recta tangente -x + y = 2, grafique la recta
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Matemática Tercer Año de Bachillerato Página 131
BLOQUE 4:
PROBABILIDAD Y
GEOMETRÍA ANALÍTICA
FICHA N°20:
Ecuaciones Cuadráticas.
Objetivos:
Realizar el análisis de las cónicas determinar sus diferencias gráficas, entendiendo el criterio de
función cuadrática y ecuaciones vistas en clase.
Destreza de Criterio de desempeño:
Resolver sistemas de ecuaciones y aplicaciones en geometría analítica.
Resolución de ecuaciones cuadráticas.
Determinación de soluciones a sistemas cuadritos y lineales.
Objetivo educativo: Sabemos que una ecuación es una relación matemática entre números y letras. Normalmente se trabaja con ecuaciones en las que sólo hay una letra, llamada incógnita, que suele ser la x. Resolver la ecuación consiste en encontrar un valor (o varios) que, al sustituirlo por la incógnita, haga que sea cierta la igualdad.
Ese valor es la solución de la ecuación.
Ejemplo: Resolver la ecuación x − 1 = 0
El número que hace que esa ecuación sea cierta es el 1, ya que 1 – 1 = 0, por lo tanto, 1 es la solución de la ecuación. Si en la ecuación la incógnita está elevada al cuadrado, decimos que es una ecuación de segundo grado (llamadas también ecuaciones cuadráticas), que se caracterizan porque pueden tener dos soluciones (aunque también una sola, e incluso ninguna).
Cualquier ecuación de segundo grado o cuadrática se puede expresar de la siguiente forma:
ax2 + bx + c = 0
Donde a, b y c son unos parámetros que habrá que sustituir por los números reales que corresponda en cada caso particular.
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Ecuaciones Lineales
En geometría euclidiana, la recta o la línea recta, se extiende en una misma dirección, existe en una sola dimensión y contiene infinitos puntos; está compuesta de infinitos segmentos (el fragmento de línea más corto que une dos puntos). También se describe como la sucesión continua e indefinida de puntos en una sola dimensión, es decir, no posee principio ni fin.
En una recta, la pendiente m es siempre constante. Se calcula mediante la ecuación:
Se puede obtener la ecuación de la recta a partir de la fórmula de la pendiente
Ecuación punto-pendiente
Distancia entre puntos
Dados dos puntos cualesquiera A(x1,y1), B(x2,y2), definimos la distancia entre
ellos, d(A,B), como la longitud del segmento que los separa.
Para calcularla aplicamos el teorema de Pitágoras en el rectángulo coloreado :
Si los puntos tiene la misma ordenada o la misma abscisa, la distancia entre ellos se
calcula sin necesidad de aplicar la fórmula anterior.
INTERSECCION ENTRE RECTAS
Para detrminar el punto que se genera en el cruze o interseccion de dos rectas realizamos el
siguiente procedimiento:
1) Primero despejamos la variable “y” de cada una de las ecuaciones.
2) Tomamos e igualamos las dos “y”
3) Resolviendo ,ordenando las “x” a un lado y simplificando terminos nos queda un valor en
“x” el mismo que es parte del punto
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4) Despues obteniendo ya el punto en “x” reemplazamos ese punto en cualquiera de las dos
ecuaciones y asi obtenemos el punto “y”
P( “x” ; ”y” )
Ejemplo:
2x +y =1 ; X+y=2
1) y=1-2x ; y=2-x
2) y=y
3) 1-2x=2-x
-2+ 1=-x +2x ; -1=x
4) reemplazo en cualquiera de las dos ecuaciones la x=-1
X+y=2
(-1)+y=2 ; y=2+1 ; y=3 punto de intersecion de las dos rectas es el punto P(-1;3)
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INTERSECCION ENTRE PARABOLAS
De igual manera que las rectas, la única diferencia es que cuando igualamos las “y” en la resolución me
queda una ecuación de segundo grado.
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Ejemplo:
Resolver
Determinamos los valores de a , b , c
a=1 b=-5 c=6
Reemplazamos en la formula general
Una vez obtenidos los puntos x1 y x2 reemplazamos un por uno en una de cualquiera de las ecuaciones
Obteniendo asi dos puntos
P1(x1;y1) P2(x2;y2) los mismos que son los puntos donde se cortan las dos parabolas.
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LECCION N°20
INVESTIGO N°20
Investigue 2 métodos de resolución de sistemas de ecuaciones cuadráticas.
27.
RESUMO N°20
Realice un resumen sobre como resolver un sistema de ecuaciones cuadráticas.
28.
NOMBRE: _________________________________
CURSO: ___________________________________
FECHA: ___________________________________
PARALELO: ________________________________
PROFESOR: ________________________________
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GLOSARIO N°20
Intersección
Formula general de segundo grado
2.
Rectas paralelas
2.
Rectas perpendiculares
2.
Escriba 5 palabras no asimiladas en la lección con su respectivo significado
29.
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CUESTIONARIO N°20
Determinar los puntos donde se cruzan usando la formula general
y = 3x2 – 2x – 3
y = –5x2 + 4x – 1
solucion
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Determinar las intersecciones de las graficas 2𝑥 − 𝑦 = 1 2𝑥2 − 3𝑦 = 6𝑦
Determine las intersecciones de las dos graficas con ecuación
y = x ² + 4x + 4 3x - 2y = -16
( )𝑥1 = −13 𝑦 = 7
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Determine las intersecciones de las dos graficas
x ² - x - y = 0 5x + y = 17
Firma del Profesor Calificación Firma del Estudiante
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