Matematica discreta

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  • Mercedes Villalba

  • DEFINICIN DE TRMINOS

    Matemtica Discreta Lenguaje matemtico Lenguaje de programacin ISETL La traduccin del concepto matemtico al lenguaje de programacin asegura una construccin previa de dicho contenido y de las relaciones implicadas: Este es el valor didctico de Isetl como auxiliar en la enseanza de la Matemtica.

  • DEFINICIONES

  • Matemtica DiscretaLa Matemtica Discreta (MD) trabaja con conjuntos discretos, a diferencia de la Matemtica Continua que trabaja con conjuntos continuos, como los Nmeros Reales. Incluye Teora de Conjuntos, Relaciones, Funciones, Combinatoria, Induccin Completa, Divisibilidad.

  • Lenguaje matemtico El lenguaje matemtico describe los objetos matemticos y permite reconocerlos como tales por su formalismo, diferencindolos de expresiones que pueden utilizar los mismos signos, pero carentes de sentido. Por ejemplo: (2+5) * 1/3 y 2 + * 5) 1/ (3 .Las expresiones matemticas se evalan aplicando reglas de transformacin que pueden seguir distintas estrategias, pero que llegan a la misma forma cannica (si existe).

  • Lenguaje de programacinEl lenguaje de programacin tambin es un formalismo, que representa objetos mediante expresiones del lenguaje, las cuales se evalan utilizando reglas (algoritmos) de transformacin sobre las expresiones.

  • ISTELIsetL es un software libre de lenguaje de programacin matemtica, que usa una sintaxis similar a la notacin matemtica estndar y fue desarrollado especficamente para la enseanza de contenidos matemticos a nivel de grado. Es un programa interactivo que permite al usuario la comunicacin a travs de mensajes construidos a partir de objetos y funciones predefinidas.

  • INTRODUCCIN AL LENGUAJE DE ISETL Se conceptualiza evaluar una expresin.

    similitudesdiferenciasisetlmatemticaSe determinan conjuntos por extensin y por comprensinA:= { };A= { } Los elementos de los conjuntos se separan con comas y se escriben entre llavesx: x in|x / x /Los elementos del conjunto no estn ordenadosEl uso de coma o y para separar propiedades de la variable da mensaje de error.[1]Las propiedades de la variable ( x ) pueden separarse con coma o con el nexo y[2]

  • En las siguientes expresiones de Isetl se realizan dos procedimientos: definir y evaluar. Identifica cada uno de ellos e interpreta en qu consiste el procedimiento realizado por la computadora:Exprsalo en lenguaje matemtico. Por ejemplo:

    >a:=1/4; >a;0.250;defino a como 1 dividido 4pido el valor de a o sea pido que evale la expresinIsetl realiza el clculo y devuelve una expresin ms simple que es su expresin cannica.>d:=sqrt25;>d;OM;>d:=sqrt(25);>d;5.000;Se espera que comparen las dos definiciones de d y sus correspondientes respuestas y que reconozcan la operacin matemtica aplicada. La primera definicin no puede ser evaluada porque el objeto no est definido (OM)En la segunda definicin 25 toma el valor de una variable: en Isetl, la operacin matemtica raz cuadrada sqrt es una funcin predefinida que la calcula.>is_integer(3);true;> is_integer(4/2);false;Por similitud con el caso anterior, se espera que identifiquen is_integer como una funcin predefinida, pero de distinto codominio. Si el carcter es un entero, devuelve true, si no lo es, devuelve false.

  • Un comercio A vende un electrodomstico en 5 cuotas de $ 1750 y otro comercio B en 6 cuotas de $ 1000 y una entrega inicial de $ 3000. Juan opina que paga lo mismo en cualquier caso y t? Expresa la situacin en cdigo matemtico y luego compara con la solucin de Isetl.

    Matemtica Isetl A= 5 * 1750B = 6 * 1000 + 3000A = B8750 = 9000 falsoe>A:= 5*1750;>B:= 6*1000+3000;>A=B;false;En Matemtica se usa el signo = para definir y para preguntar, en Isetl, solo para preguntar. El smbolo := se lee se define como.La sintaxis de una definicin es: nombre:= expresin

  • 2- CONCEPTOS MATEMTICOS.Cmo defines el Nmero Natural, a partir del concepto de Nmero Entero?Escrbelo en cdigo lingstico y matemtico. Intenta definir la funcin natural y luego la comparas con la definicin siguiente, que copias y evalas en Isetl.>is_natural:=func(x);>> return (is_integer(x) and x>=0); >> end;

    Matemtica IsetlNatural: Z N Natural(x) = x / x Z y x 0 is_natural: Z Bool>is_natural:=func(x);>> return (is_integer(x) and x>=0); >> end;Natural es un conjunto infinito por lo que no puede definirse por extensin; para cada Entero del dominio Isetl devuelve true en caso de ser mayor o igual a cero; false en caso contrario.func, return y end son palabras reservadas de Iset para identificar la funcin, devolver un valor y terminar la definicin respectivamente. Se interpreta la evaluacin en cada caso, teniendo en cuenta el algoritmo que realiza la computadora.

  • Una costurera confecciona camisas que llevan 7 botones. Las lleva a un local de ventas y al da siguiente recibe un pedido por 12 prendas. Para saber cuntos botones debe comprar hace una tabla como esta:Cmo llamas a los nmeros que estn en la columna izquierda? Cmo obtuvo la costurera los nmeros de la columna derecha? Cmo puedes generalizar el procedimiento para cualquier cantidad de camisas?Cmo defines el conjunto botones para n camisas?Puedes expresarlo como una funcin?en matemtica: f: N Nf(n) = 7 * nen Isetl: >multiplo7:=func(n);>>return 7*n;>>end;multi7:N N> multi7:=func(x);>>if is_natural(x)then return>>x*7;>>end;>>end;

    camisasbotones17214321428.......1284

  • Completar la tabla

    Discutir los resultados Establecer la relacin entre los trminos de la divisin

    Definir el dominio y codominioEfectuar la divisin entera (o euclidiana) de un natural a por un natural b distinto de cero es hallar el nico par de naturales q y r tales que

    a = b * c + rr < bCuando el resto es cero, la divisin es exacta: a = b * cComparar esta definicin con la de mltiplo y redefinir mltiplo y divisor en funcin de la divisin exacta.Se observan las relaciones entre los trminos de la divisin exacta.Sustituyendo n por c, se observa que el natural n que multiplica a b en la definicin de mltiplo, es el cociente de la divisin, cuyo resto es siempre cero.a es mltiplo de b si el resto de la divisin entre a y b es ceroEn Isetl a es mltiplo de b sia mod b es cero

    dividendodivisorcocienteresto27963145221090 2008

  • Teniendo en cuenta esta relacinaveriguar en Isetl si un natural es divisor de otrodefinir el conjunto de divisores de 36definir la funcin divisorSe espera que realicen las adecuaciones pertinentesa las expresiones utilizadas para mltiplos.>1378 mod 7=0;>false; Esta expresin ya utilizada permite saber que 1378 no es mltiplo de 7 y por lo tanto, 7 no es divisor de 1378.

    MatemticaIsetld(36)={a / a 36 y a |36 }d(36)={a / a 36 y 36 mltiplo de a }d36:={ a: a in [1..36] | 36 mod a = 0};

    Divisor: N P(N)Divisor (x) = {a /a N y x mltiplo de a}A:= [1..X] : x in NDivisor: A P(A)>divisor :=func(x);>> if is_natural(x) then>> return {a: a in [1..x] | x mod a = 0};>> end;>> end;

  • 3- SITUACIONES QUE DAN SIGNIFICADO A:COCIENTE Y RESTO

    Felipe debe envasar 590 l de vino en damajuanas, en lo posible, iguales. Para calcular el nmero de damajuanas necesarias realiza esta operacin en la que se borraron algunos nmeros. Debes:completarla y justificar el procedimientodecir qu informacin se lee en El dividendo------------------------------------------------------------El divisor-----------------------------------------------------------------El cociente--------------------------------------------------------------El resto-------------------------------------------------------------------Cmo resuelve Felipe el envasado de todo el vino?------------------590Implementar en Isetl el clculo del resto> 590 mod 196;2;Evala en Isetl esta expresin, interpreta el cdigo y la escribes para un caso genrico.> (590 - 2) div 196;el