Matematica discreta fasciculo_2_vnovo

Universidade Federal Rural de Pernambuco

Reitor: Prof. Valmar Corrêa de AndradeVice-Reitor: Prof. Reginaldo BarrosPró-Reitor de Administração: Prof. Francisco Fernando Ramos CarvalhoPró-Reitor de Extensão: Prof. Paulo Donizeti SiepierskiPró-Reitor de Pesquisa e Pós-Graduação: Prof. Fernando José FreirePró-Reitor de Planejamento: Prof. Rinaldo Luiz Caraciolo FerreiraPró-Reitora de Ensino de Graduação: Profª. Maria José de SenaCoordenação de Ensino a Distância: Profª Marizete Silva Santos

Produção Gráfica e EditorialCapa e Editoração: Allyson Vila Nova, Rafael Lira, Aline Fidelis, Italo Amorim e Alesanco AndradeRevisão Ortográfica: Ivanda MartinsIlustrações: Allyson Vila Nova e Diego AlmeidaCoordenação de Produção: Marizete Silva Santos

Sumário

Plano da Disciplina ........................................................................................ 6

Ementa .................................................................................................... 6

Objetivo Geral.......................................................................................... 6

Objetivos Específicos .............................................................................. 6

Conteúdo Programático........................................................................... 6

Referências ............................................................................................. 7

Apresentação ................................................................................................. 8

Capítulo 1 - Somatório: representando somas ........................................... 9

1.1 Conhecendo o somatório ....................................................................... 9

1.2 Propriedades do somatório e algumas somas especiais .................... 12

1.2.1 Propriedades ................................................................................ 12

1.2.2 Demonstrações ............................................................................ 12

1.2.3 Somas Especiais .......................................................................... 12

1.3 Dígito Verificador ................................................................................. 15

Capítulo 2 - Matrizes: armazenando dados ............................................... 27

2.1 Matriz ................................................................................................... 27

2.2 Definição .............................................................................................. 29

2.3 Tipos especiais de matrizes ................................................................. 29

2.4 Operações com matrizes ..................................................................... 32

2.4.1 Adição de matrizes ....................................................................... 32

2.4.2 Multiplicação de uma matriz por um escalar ................................ 33

2.4.3 Multiplicação de matrizes ............................................................. 34

2.4.4 Matrizes Booleanas ...................................................................... 36

2.4.5 Adição e multiplicação de matrizes booleanas ............................. 38

2.4.6 Multiplicação de matrizes booleanas............................................ 39

Capítulo 3 - Princípios de Contagem: como contar? ............................... 47

3.1 Listas ................................................................................................... 47

3.2 Princípio Multiplicativo: contagem de listas de comprimento dois ....... 48

3.3 Listas de comprimento maior do que dois ........................................... 49

3.4 Listas de comprimento k sem repetição de elementos ........................ 50

3.5 Princípio Aditivo ................................................................................... 50

3.6 Fatorial ................................................................................................. 57

3.7 Permutações ........................................................................................ 58

3.8 Combinações ....................................................................................... 58

Capítulo 04 - Relações: uma abordagem ................................................... 69

4.1 Tipos de Relações Binárias ............................................................. 70

4.2 Relações binárias em um conjunto A .............................................. 73

4.3 Operações com relações: como operar com relações binárias? .... 74

4.4 Propriedades das Relações definidas em um conjunto A ............... 76

4.5 Representação gráfica de Relações Binárias ................................. 77

4.6 Grafo de uma relação em um conjunto A ........................................ 78

4.7 Relação n-ária ................................................................................. 79

4.8 Álgebra Relacional .......................................................................... 83

Plano da Disciplina

Ementa

Conjuntos. Introdução à Lógica Matemática. Portas Lógicas. Somatório. Princípios de Contagem. Matrizes. Relações. Funções. Recursão. Técnicas de provas. Indução Matemática.

Objetivo Geral

O objetivo geral é abordar conteúdos selecionados da Matemática Discreta que realizam interface com o curso de Sistema de Informação, visando dar a base para a compreensão de conceitos de estruturas de dados, bem como, para dar suporte na construção de algoritmos em seus diferentes níveis de complexidade.

Objetivos Específicos

• Aprender a encontrar modelos matemáticos que representem certos problemas concretos (noções de modelagem matemática), em especial quando estes se referem a situações práticas

• Familiarizar-se com a escrita matemática formal e a linguagem computacional

• Representar fenômenos na forma algébrica e na forma gráfica

• Conhecer técnicas de resolução de problemas

• Desenvolver a capacidade de raciocínio abstrato (lógico-matemático).

Conteúdo Programático

Módulo 1 – Fascículo 1

Carga horária do Módulo 1: 20h

• Conjuntos.

• Introdução à Lógica Matemática.

• Portas Lógicas.



Somatório. Princípios de Contagem. Matrizes. Relações



• Funções.

• Recursão. Técnicas de provas.

• Indução Matemática.

Referências

GERSTING, Judith L. Fundamentos Matemáticos para a Ciência da Computação. Tradução Valéria de Magalhães Lorio. Rio de Janeiro: LTC, 2004.

Scheinerman, Edward R. Matemática Discreta: uma introdução. Tradução de Alfredo Alves de Farias. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2003.

Livros de referência:

ABE, Jair Minoro; PAPAVERO, Nelson. Teoria intuitiva dos conjuntos. São Paulo McGraw Hill:, 1997

ALENCAR Filho, Edgard de. Iniciação à Lógica Matemática. São Paulo: Nobel, 1995.

ROSS, Kenneth A; WRIGHT, Charles R. B. Discrete Mathematics. Prentice Hall, 1999.

TRUSS, J. K. Discrete mathematics for computer scientist. Addison Wesley. 1999.

LIPSCHUTZ, Seimour; LIPSON, Marc Lars. Teoria e Problemas de Matemática Discreta. Porto Alegre: Bookman, 2004

Apresentação

Caro(a) cursista,

Seja bem-vindo(a) a mais um módulo de Matemática Discreta!

Dando continuidade à disciplina, abordaremos, neste segundo fascículo, alguns tópicos de importância e aplicabilidade nas áreas de informática, tais como: somatórios, matrizes, princípios de contagem e relações.

No primeiro capítulo, você estudará as propriedades do somatório e como elas são úteis na determinação de somas especiais e de uso freqüente na matemática.

No segundo capítulo, você descobrirá como as matrizes podem ser utilizadas para armazenamento de dados e as operações aritméticas que nelas podem ser efetuadas. Além disso, conhecerá as matrizes booleanas, muito empregadas na informática.

No terceiro capítulo, você terá oportunidade de conhecer diversas técnicas de contagem, empregadas no cálculo e na diferenciação dos agrupamentos que se podem formar com os elementos de um dado conjunto.

Por fim, no quarto capítulo será abordado o conceito de relações entre dois ou mais conjuntos, as operações entre relações e como elas podem ser usadas para manipulação de um banco de dados.

Esperamos que você aproveite ao máximo este segundo módulo, estudando detalhadamente o assunto e realizando todos os exercícios propostos.

Bons estudos!

9

Matemática Discreta

Capítulo 1 - Somatório: representando somas

Neste capítulo mostraremos o uso do somatório na escrita de somas de parcelas variáveis ou constantes. Estudaremos as propriedades do somatório e como elas são úteis na determinação de somas especiais e de uso freqüente na matemática. Por fim, apresentaremos métodos de geração de dígitos verificadores em seqüências especiais de algarismos, tais como o CPF, código de barras e número de conta corrente bancária.

1.1 Conhecendo o somatório

Você já se deparou com a necessidade de escrever expressões que envolvem somas com termos que obedecem a certa lei de formação do tipo 1 + 2 + 3 + 4 + ... + 100?

Se temos uma soma de n parcelas, x1 + x2 + x3 + ... + xn, saiba que podemos codificá-la através do uso de somatório assim:

x1 + x2 + x3 + ... + xn = ∑=

n

iix

1

A letra maiúscula grega ∑ (sigma) é o símbolo utilizado para representar as operações de adição entre as parcelas e xi é a parcela genérica.

Para representar a parte variável de cada parcela, utilizamos a letra i e indicamos a variação de i (no caso, i varia de 1 até n). A expressão

∑=

n

iix

1 é lida assim: “soma dos valores xi para i variando de 1 até n”.

Você deve estar atento para o fato de que é fundamental que o índice i assuma todos os valores inteiros consecutivos entre dois valores dados, inclusive. Assim, a soma x1 + x2 + x3 pode ser escrita:

∑=

3

1iix

10


Compreenda melhor a aplicação do conceito de somatório, através dos exemplos seguintes.

Exemplo 1: ∑=

5

1iix = x1 + x2 + x3 + x4 + x5 é a soma de 5 parcelas.

Exemplo 2: ∑=

7

1i

ix = x + x2 + x3 + ... + x7 representa a soma de 7

parcelas. O índice i, variando de 1 a 7, indica quantas parcelas contém a soma, como identifica as parcelas como potências de expoente inteiro.

Exemplo 3: ∑=

7

3iix = x3 + x4 + x5 + x6 + x7 indica a soma de

7 - 3 + 1 = 5 parcelas, conforme a observação acima.

Exemplo 4: ∑−

+4

1)1(

iixi = 2x1 + 3x2 + 4x3 + 5x4 indica a soma de 4

parcelas xi multiplicadas por coeficientes variáveis (i+1).

Exemplo 5. Para representar por meio da notação de somatório a soma dos números pares, iniciando por 2 até 40, isto é: 2 + 4 + 6 + 8 + ... + 40, denotaremos as parcelas variáveis por xi = 2.i, com o índice i variando de 1 até 20, de forma que, podemos escrever

2 + 4 + 6 + 8 + ... + 40 =

Exemplo 6. A soma dos números ímpares 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 se escreve na notação de somatório, tomando as parcelas xi = 2i – 1, com i variando de 1 até 6, conforme podemos observar na tabela seguinte:

i = 1 2 3 4 5 6xi = 2i -1 2.1 – 1 = 1 2.1 – 1 = 3 2.3 – 1 = 5 2.4 – 1 =7 2.5 -1 = 9 2.6 – 1= 11

Exemplo 7. A expressão 1281....

81

41

21

++++ indica a soma de

parcelas iguais a uma fração onde o numerador é 1 e os denominadores são potências inteiras de 2: 21, 22, 23, até 27, de modo que podemos

escrever a soma sob a forma de somatório com xi = i21 , do seguinte

modo: 1281....

81

41

21

++++ = ∑=

7

1 21

ii

Exemplo 8. Para escrever a expressão

Para contar quantos termos uma soma tem, basta calcular no somatório, a diferença entre o índice superior e o inferior e somar 1.

A soma ak + ak+1 + ak+2 + ... + an =

∑=

n

kiia

tem n - k + 1 termos.

Atenção

11


sob a forma de somatório, você deve notar que os denominadores assumem valores crescentes de 1 até 50, indicando que a soma é constituída por 50 parcelas e que a variação do índice i é de i = 1 até i = 50. Além disso, verifica-se que os numeradores são números ímpares da forma 2i - 1, com a mesma variação do índice i. A soma

acima pode ser então escrita assim: 50

1

2 1i

ii=

−∑ .

Exemplo 9. A soma S dos 30 primeiros termos da série

pode ser expressa por meio de

um somatório, lembrando que as parcelas xi são frações cujos numeradores constituem uma progressão aritmética de termo inicial 480 e razão r = -5 com termo de ordem i, ai = 480 + (i-1).(-5) = 485 – 5i. Os denominadores formam uma seqüência natural de inteiros, iniciando por 10, logo, da forma 9 + i, com o índice i variando de 1 até

30. Então, a soma pode ser escrita assim: 30

1

485 59i

ii=

−+∑

Confira os valores de xi = i

i+−

95485 na tabela seguinte:

i = 1 2 3 4 ... 30

ii

+−

95485

Exemplo 10. O somatório expressa a soma de cinco

parcelas xi = 10i -1, conforme tabela seguinte:

i = 1 2 3 4 5xi = 10i - 1 10.1-1= 9 10.2-1= 19 10.3 – 1= 29 10.4 – 1= 39 10.5 -1 = 49

Logo, temos = 9 + 19 + 29 + 39 + 49

12


1.2 Propriedades do somatório e algumas somas especiais

No desenvolvimento de somatórios, algumas propriedades merecem destaque pela simplificação que emprestam aos cálculos.

1.2.1 Propriedades

a) ∑∑∑===

+=+n

kii

n

kiii

n

kii yxyx )(

b) ∑∑==

=n

kii

n

kii xxc .c. .

c) ( )1 cn

i kc n k

=

= − −∑ .

d) 1 1 1 1

m n n m

ij iji j j i

x x= = = =

=∑∑ ∑∑ . (somatório duplo)

1.2.2 Demonstrações

a) =+∑=

)( i

n

kii yx (xk + yk) + (xk+1 + yk+1) + ... + (xn + yn)

= (xk + xk+1 + ... + xn) + (yk + yk+1 + ... + yn)

= ∑∑==

+n

kii

n

kii yx .

b) . =∑=

n

kiixc c.xk + c.xk+1 + c.xk+2 + ... + c.xn =

= c.(xk + xk+1 + xk+2 + ... + xn) = c. ∑=

n

kiix

c) =∑=

n

kic c + c + c + ... + c = c(n-k+1).

d) Consultar as referências bibliográficas.

1.2.3 Somas Especiais

As identidades seguintes são bastante úteis no cálculo de somas,

13


notadamente quando se deseja calcular quantas operações são executadas em programas de computador envolvendo laços (for).

a) ∑=

n

ii

1 =

2)1( nn +

Prova: Bem, desenvolvendo o somatório, obtemos

∑=

n

ii

1 = 1 + 2 + 3 + 4 + ... + n. Trata-se da soma S dos termos de uma

Progressão Aritmética cujo termo inicial a1 = 1 e termo final an = n e

razão r = 1. Sabemos que a soma S = 2

)( 1 naa n+.

Assim, 1 + 2 + 3 + 4 + ... + n = 2

)1( nn + .

b) ∑=

−n

ii

1)12( = n2.

Prova: ∑=

−n

ii

1)12(

= 1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2n – 1) é a soma S dos n

primeiros números inteiros ímpares positivos. Trata-se da soma S dos termos de uma Progressão Aritmética de termos inicial 1 e termo final

2n - 1, logo, podemos escrever: S = 22

2.2

2).121( nnnn

==−+

c) )1()2(1

+=∑=

nnin

i

Prova: =∑=

n

ii

1)2(

2 + 4 + 6 + 8 + ... + 2n é a soma S dos n primeiros

números inteiros pares positivos. Trata-se da soma S dos termos de

uma Progressão Aritmética de termos inicial 2 e termo final 2n, logo,

podemos escrever S = )1(2

)22(+=

+ nnnn

d)

Veja demonstração nas referências.

Bom, como você poderá utilizar as somas especiais? Veja alguns

1 + 2 + 3 + 4 + ... +

n = 2

)1( nn + .

É a soma dos n primeiros números inteiros positivos!

Atenção

1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2n-1) = n2

É a soma dos n primeiros números ímpares!

Atenção

A soma dos n primeiros inteiros pares positivos é

2 + 4 + 6 + 8 + ... + 2n = n(n+1)

Atenção

12 + 22 + 32 + 42 + ... + n2 =

É a soma dos quadrados dos n primeiros números inteiros positivos!

Atenção

14


exemplos.

Exemplo 1. Se você quer saber a soma S = 1 + 2 + 3 + 4 + ... +

100, poderá fazer uso da identidade ∑=

n

ii

1 =

2)1( nn + . De fato,

1 + 2 + 3 + 4 + ... + 100 =

Exemplo 2. Qual é o valor da soma 21 + 22 + 23 + ... + 79?

Observe que:

21 + 22 + 23 + ... + 79

= 1 + 2 + 3 + ... + 79 – (1 + 2 + 3 + ... + 20)

= =

Exemplo 3. Qual o valor da soma S dos números ímpares entre 1 e 79?

Observe que S = 1 + 3 + 5 + ... + 79.

Como os números são ímpares, eles são da forma xi = 2i - 1, para valores inteiros de i, de modo que, para i = 40, temos x40 = 2(40) – 1

= 79. Assim, usando a identidade ∑=

−n

ii

1)12( = n2, a soma S pode ser

escrita a forma seguinte:

S = 1 + 3 + 5 + ... + 79 = = 402 = 1.600

Exemplo 4. Como calcular a soma S de todos os números pares entre 98 e 234? Você pode calcular essa soma fazendo uso da

identidade )1()2(1

+=∑=

nnin

i.

Observe que

98 + 100 +102 + 104 + ... + 234

= 2 + 4 + 6 + ... + 234 – (2 + 4 + 6 + ... + 96)

= = 117(118) – 48(49) = 13.806 – 2.352 = 11.454

Exemplo 5. Como proceder para calcular a soma dos quadrados

15


dos 30 primeiros números inteiros positivos? Você quer calcular a soma S = 12 + 22 + 32 + 42 + ... + 302 e deverá fazer uso da identidade

.

De modo que

S = 12 + 22 + 32 + 42 + ... + 302

= 30

2

1

30.(30 1).(2.30 1) 30.(31).(61) 94556 6i

i=

+ += = =∑ .

Como demonstração de que você entendeu o emprego da

identidade , calcule a soma 172 + 182 + 192 +

... + 452.

1.3 Dígito Verificador

Você já percebeu que alguns números de fundamental importância para nós, como o CPF, Conta Bancária, número de agência bancária, códigos de barras, constituem uma seqüência de algarismos que ao final tem a adição de um ou mais dígitos? Esse dígito adicional é denominado Dígito Verificador (DV) e é importante para se evitar erros na digitação de tais seqüências numéricas.

Como é calculado o dígito verificador?

Você vai conhecer alguns exemplos de cálculos desses dígitos verificadores. A maioria dos casos consiste em multiplicar cada um dos algarismos da seqüência por um peso, em geral inteiros em ordem crescente ou decrescente e tomar a soma S desses produtos.

16


Em seguida, dividir essa soma por um inteiro p (em geral 10 ou 11) e calcular o resto da divisão da soma S por p. Os restos da divisão de S por p são 0, 1, 2, ... , p - 1. Esses restos serão indicados pela expressão S mod p. Em seguida, tomar como dígito verificador o próprio resto, se menor do que 10. Se não, alternativas podem ser usadas. Conheça agora alguns exemplos da concepção e cálculos de dígitos verificadores:

Exemplo 1. Considere o número de matrícula de uma escola constituído por sete algarismos N1.N2.N3.N4.N5.N6 - D, onde D é o dígito verificador calculado da seguinte maneira:

Vamos multiplicar os algarismos da matrícula, da esquerda para direito pelos pesos 7, 6, 5, 4, 3 e 2. Em seguida calculemos a soma S =

7.N1 + 6.N2 + 5.N3 + 4.N4 + 3.N5 + 2.N6. Observe que S =

Definimos D = 11 – Smod 11 onde Smod 11 = resto da divisão de S por 11

Se o valor encontrado para D for 10 ou 11, ponha D = 0.

Vamos calcular o dígito D da seguinte matrícula 240134-D.

Inicialmente, calculemos a soma S. Observe que a matrícula 240134 – D tem os dígitos N1 = 2, N2 = 4, N3 = 0, N4 = 1, N5 = 3 e N6 = 4, de modo que podemos escrever:

S = ∑=

−6

1).18(

iiN

= 7.N1 + 6.N2 + 5.N3 + 4.N4 + 3.N5 + 2.N6

= 7 . 2 + 6 . 4 + 5 . 0 + 4 . 1 + 3 . 3 + 2 . 4

= 14 + 24 + 0 + 4 + 9 + 8 = 59.

O valor de Smod 11 = 59mod 11 = 4. Isto é, 59mod11 = 4, pois o resto da divisão de 59 por 11 é 4.

O digito verificador é calculado assim: D= 11 - Smod 11 = 11 - 4 = 7.

A matricula é 240134-7.

Agora, verifique se entendeu como o digito verificador dessa matrícula foi calculado, efetuando os cálculos do dígito D da matrícula 451236 – D. Você deve encontrar o valor D = 7. E então, acertou?

Exemplo 2. Uma rotina muito utilizada por programadores em

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softwares comerciais é a validação do Cadastro de Pessoas Físicas - CPF que serve para identificar cada indivíduo no país. O número do CPF é constituído de 11 dígitos D1D2D3 ... D7D8D9 – D10D11, sendo os dois últimos os dígitos de verificação, calculados da seguinte maneira:

Dígito D10:

D10 = 11 - , onde S1 = .

Caso D10 resulte em 11 ou 10, ponha D10 = 0.

Dígito D11:

D11 = 11 - [ ]2Smod 11, onde S2 = .

Caso D11 resulte em 10 ou 11, ponha D11= 0

Vamos calcular os valores dos dígitos D10 e D11 do CPF 234.939.448 –C10C11.

Inicialmente, o CPF apresenta os seguintes dígitos: D1= 2, D2 = 3, D3 = 4, D4 = 9, D5 = 3, D6 = 9, D7 = 4, D8 = 4 e D9 = 8.

No cálculo do digito D10 é necessário calcular inicialmente a soma S1.

S1 =

= 10.D1 + 9.D2 + 8.D3 +7.D4 + 6.D5 + 5.D6 + 4.D7 + 3.D8 + 2.D9

= 10.2 + 9.3 + 8.4 + 7.9 + 6.3 + 5.9 + 4.4 + 3.4 + 2.8

= 20 + 27 + 32 + 63 + 18 + 45 + 16 + 12 + 16 = 249

(S1)mod11 = 249mod 11 = 7

O digito D10 = 11 – 7 = 4

A rotina do dígito D11 requer a soma S2.

S2 =

= 11.D1 + 10.D2 + 9.D3 + 8.D4 + 7.D5 + 6.D6 + 5.D7 + 4.D8 + 3.D9 + 2.D10

= 11.2 + 10.3 + 9.4 + 8.9 + 7.3 + 6.9 + 5.4 + 4.4 + 3.8 + 2.4

= 22 + 30 + 36 + 72 + 21 + 54 + 20 + 16 + 24 + 8 = 303

(S2)mod 11 = 303mod11 = 6.

18


De modo que o dígito D11 = 11 – 6 = 5.

E o CPF é 234.939.448 – 45.

Atenção

Você observou que os pesos que multiplicam os nove primeiros algarismos do CPF são 10, 9, 8, ... , 2, no cálculo do primeiro digito verificador D10 e que os pesos usados no cálculo do segundo digito verificador D11 são 11, 10, 9, ... , 2?

E agora, como teste, experimente calcular os dois dígitos

verificadores do seu próprio CPF!

Exemplo 3. O Código de Barras EAN – 13 desenvolvido nos Estados Unidos por volta de 1970 é um dos mais usados no mundo na identificação dos produtos. Por ser lido por leitura ótica, os códigos de barras, agilizam processos de armazenagem, transporte de produtos, controle do estoque e de vendas. As barras armazenam informações sobre o produto no computador. O código EAN consiste em uma seqüência de 13 dígitos: N1.N2.N3.N4. ... .N13, distribuídos em três campos, de modo que os três primeiros dígitos identificam o país onde o produto foi fabricado (789, no caso do Brasil), o segundo campo identifica o fabricante, os próximos dígitos determinam o produto. O último dígito N13 é o dígito de controle.

Para o cálculo do dígito verificador do EAN 13, inicialmente devemos multiplicar os algarismos de ordem ímpar da seqüência N1.N2.N3.N4. ... .N12 pelo peso 1 e os algarismos de ordem par pelo

19


peso 3, em seguida somar os produtos. A soma S correspondente será S = 1.N1 +3.N2 + 1.N3 + 3.N4 + ... + 1.N11+ 3.N12 que escrita sob a

forma se somatório, tomará a expressão S = ).3().1(6

12

6

112 ∑∑

==− +

ii

ii NN .

O digito N13 é definido por N13 = 10 – Smod 10.

Caso N13 resulte em 10, ponha N13 = 0.

Vamos verificar se o digito verificador do EAN da figura acima está calculado corretamente?

A figura acima mostra o EAN 789 12345 6789 5, o valor da soma S será:

S = 1.7 + 3.8 + 1.9 + 3.1 + 1.2 + 3.3 + 1.4 + 3.5 + 1.6 + 3.7 + 1.8 + 3.9

= 7 + 24 + 9 + 3 + 2 + 9 + 4 + 15 + 6 + 21 + 8 + 27 = 135

Como Smod 10 = 135mod 10 = 5, temos que o digito N13 = 10 - 5 = 5. Está correto o digito verificador do EAN.

Agora você tem a tarefa de calcular o digito verificador do EAN 789 61894 2011 N13 de uma garrafa de vinho produzido no Rio Grande do Sul. E então, achou N13 = 0?

Aprenda Praticando - Exercício Proposto 1.1

Demonstre que você entendeu bem os assuntos desse capítulo, resolvendo os exercícios propostos. As respostas dos exercícios de número par são apresentadas logo a seguir. Se tiver dúvidas, procure saná-las com professores executores e tutores da disciplina em fóruns de discussão que serão formados.

1. Escreva as expressões abaixo usando a notação de somatório.

a) 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + ... +35 = b) 3 + 5 + 7 + 9 + ... + 57 =

c) 2 + 4 + 6 + ... + 220 = d) 53 +73 + 93 + ... + 1233 =

20


e) 1 . 2 + 2 . 3 + 3 . 4 + 4 . 5 + ... + 30 . 31 = f)

g) 11 + 21 + 31 + 41 + ... + 121= h) 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 =

i) j)

k) (2 . 1 + 3) + (2 . 2 + 5) + (2 . 3 + 7) + ... + (2 . 15 + 31) =

l) 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = m) 3 . 3 + 3 . 4 + 3 . 5 + ... + 3 . 17 =

2. Desenvolver os seguintes somatórios:

a) b) ∑=

5

02

i

i c) )17(5

1∑=

−i

i

d) 24

0)21( i

i+∑

=

e) ∑=

−

5

06

iia f) ∑

=

6

1j

jx

g) =+∑∑==

6

4

3

1 21

21

ii

ii h) ∑

=

−5

1

).12(i

iDi i)

j) ∑=

5

1

.i

iNi k) ∑=

6

1iia l) ∑

=

n

iib1

1

m) ))((3

1

4

2∑ ∑= =

+i j

ji n) ))32((3

1

4

2∑ ∑= =i j

jio) ∑ ∑

= =

5

1

5

1i jjiba

p) q) r) ∑ ∑= =

4

1

4

1,

i jjia

3. Escrever sob a forma de somatório as seguintes expressões:

4. Escrevam na forma de somatório, os seguintes dados:

a) A soma S dos 50 primeiros termos da série

....4

9913

9942

9971

1000++++

21


b) A soma S dos 15 primeiros termos de

S = 1

16384.......144

8169

4196

22251

+++++

5. As contas do Banco Baú da Sorte apresentam numeração com seis dígitos: N1.N2.N3.N4.N5.N6 seguidos de um dígito D de controle, calculado por :

Se o valor encontrado para D for 10 ou 11, ponha D = 0.

Calcule o dígito verificador C para as contas de números 134792-D, 245318-C e 875346-D.

6. Suponha que o CNPJ de uma empresa seja N1 N2 N3 N4 N5 N6 N7 N8 / N9 N10 N11 N12 – C1 C2.

Rotina para se obter os dígitos verificadores C1 e C2:

Cálculo de C1

1º. Multiplicamos da direita para esquerda os algarismos do CNPJ (de N12 até N1) pelos pesos 2, 3 e assim sucessivamente até 9, e em seguida, recomeçamos multiplicando por 2, 3, etc, até encontrar o algarismo mais à esquerda N1.

2º. Calculamos a soma S1 dos resultados dessas multiplicações.

3º. Calculamos o resto R da divisão de S1 por 11.

4º. O dígito verificador será C1 = 11 – R. Se C1 = 10 ou 11, ponha C1 = 0.

Cálculo de C2

1º. Incorpore ao CNPJ o dígito C1 calculado, fazendo-o ocupar a posição N13. Multiplique da direita para esquerda os algarismos da forma utilizada para o calculo de C1.

2º. Proceda com a mesma rotina para calcular C1.

a) Forneça uma expressão matemática para a rotina acima descrita.

b) Calcular os dígitos do CNPJ 05559748/0001-C1C2

22


7. Livros são identificados pelo ISBN (International Standard Book Number) com 9 dígitos N1, N2, N3 , ... , N9 que identificam a sua publicação. Esses nove dígitos são distribuídos em blocos que identificam a língua, a editora, o número designado pela companhia editora e são seguidos de um dígito verificador D, que pode ser um número inteiro de 0 a 9 ou a letra X (usada para representar o número 10). O cálculo de D é feito da seguinte maneira:

D =

a) Calcule o dígito verificador D do ISBN 85.363.0361-D encontrado no livro de Matemática Discreta, do autor Seymour Lipschutz, editado pela Bookman.

b) Repetir o exercício, para o ISBN encontrado no livro de Programação utilizado por você.

c) Certo livro tem ISBN 85-221-02Q1 – 0. Calcule o valor de Q.

8. Calcule os dígitos verificadores do CPF 033.939.844-D10.D11 usando os métodos descritos no Exemplo 2.

9. Pesquisar na Internet (www.google.com.br) o seguinte: “Dígito Verificador”. Você encontrará diversas formas do uso de dígito verificador, notadamente em inscrições de firmas comerciais na Secretaria da Fazenda dos estados brasileiros. Conheça alguns exemplos e expresse a fórmula do cálculo da inscrição por meio de somatório.

10. Calcule ii

i yx .6

1∑=

sabendo que xi = 7 - i e yi = 1 + i2.

11. Dado que x1 = 1, x2 = 3, x3 = 5, x4 = 7, x5 = 9 e f1 = 1, f2 = 5, f3 = 3, f4 = 3, f5 = 5, calcule:

a) ∑=

5

1iix b) ∑

=

5

1iif c) ∑

=

5

1.

iii fx d) ∑

=

5

1

2 .)(i

ii fx

e) Mostre que 0)(5

1=−∑

=

xxi

i , onde é a média aritmética dos xi.

12. Sabendo que 2

)1(1

+=∑

=

nnin

i, nkk

n

i

.1

=∑=

e que ∑∑==

=n

1ii

1

xk. .n

iixk ,

23


calcule:

a) ∑=

100

1ii b) c) d)

e) 51 + 52 + 53 + ... + 183 =

f) 31 + 32 + 33 + ... + 101 =

g) 10(55) + 10(56) + 10(57) + ... + 10(99) =

13. Sabendo que 2

1)12( ni

n

i=−∑

=

, calcule:

a) ∑=

−100

1

)12(i

i b) ∑=

−100

41)12(

ii

c) 1 + 3 + 5 + 7 + ... + 31 = d) 2.1 + 2.3 + 2.5 + ... + 2.51 =

e) 21 + 23 + 25 + 27 + ... + 87= f) 4(41) + 4(43) + 4(45) + ... + 4(87) =

Respostas dos Exercícios 1.1

2.

a) 1 + 3 + 5 + 7 + 9 b) 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32c) 6 + 13 + 20 + 27 + 34 d) 12 + 32 + 52 + 72

e) a6 + a5 + a4 + a3 + a2 + a1 f) x1 + x2 + ... + x6

g)

h) 1.D1 + 3.D2 + 5.D3 + 7.D4 + 9.D5

i) 9.X1 + 8.X2 + 7.X3 + ... + 1.X9

j) 1.N1 + 2.N2 + 3.N3 + 4.N4 + 5.N5

k) a1 + a2 + ... + a6 l) nbbbb

1.....111321 +++

24


m) = ))((3

1

4

2∑ ∑= =

+i j

ji =

= [(1 + 2) + (1 + 3) + (1 + 4)]

+ [(2 + 2) + (2 + 3) + (2 + 4)]

+ [(3 + 2) + (3 + 3) + (3 + 4)]

= [12] + [15] + [18] = 45

4. a)

6. a) C1 = 11-

Se C1 = 10 ou 11 ponha C1 = 0

C2 = 11-

Se C2= 10 ou 11 ponha C2 = 0

b) 05559748/0001-77

8. 033.939.844-20

10. ii

i yx .6

1∑=

= ∑=

+−6

1

2 )1).(7(i

ii

= 6.2 + 5.5 + 4.10 + 3.17 + 2.26 + 1.37

12. a) 5.050 b) 15.150 c) 9.800 d) 1.250

Conclusão

No primeiro capítulo deste fascículo, você aprendeu o uso do somatório e como as suas propriedades facilitam o cálculo de somas. Além disso, conheceu o emprego de somatório na definição do dígito de verificação em numerações especiais como CPF, código de barras, ISBN, CNPJ, entre outros.

25


Saiba Mais

Você poderá aprender mais sobre somatório, consultando os seguintes livros e sites:

GERSTING, Judith L. Fundamentos Matemáticos para a Ciência da Computação. Tradução Valéria de Magalhães Iorio. Rio de Janeiro: LTC, 2004.

LIPSCHUTZ, Seimour; LIPSON, Marc Lars. Teoria e Problemas de Matemática Discreta. Porto Alegre: Bookman, 2004.

http://problemasteoremas.wordpress.com/2007/11/20/somatorio-duplo/

http://www.ean.com.br

Orientação de Estudos

A demonstração da propriedade 1.2.1 letra d pode ser feita por você. Tente fazê-la e discuta o resultado com seus colegas nos fóruns de discussão que serão formados com esse objetivo.

A propriedade 1 1 1 1

m n n m

ij iji j j i

x x= = = =

=∑∑ ∑∑ é uma identidade que mostra

como podemos somar os elementos de uma tabela constituída por m linha e n colunas: como a soma dos elementos xij situados nas linhas da tabela ou como soma dos elementos situados nas colunas.

26


Mostre a igualdade 1 1 1 1

m n n m

ij iji j j i

x x= = = =

=∑∑ ∑∑ se verifica, provando que

a soma S dos elementos da tabela pode ser feita de duas maneiras: somando-se as linhas i ou somando-se as colunas j, de modo que:

S = lm

lll SSSS ++++ .....321 e S = cS1 + cnS+++ .................S S c

3c2 ,

o que justifica a troca da ordem no somatório duplo.

27


Capítulo 2 - Matrizes: armazenando dados

Neste capítulo serão feitas revisões sobre matrizes de entradas reais, os diversos tipos de matrizes e as operações de soma, multiplicação de matriz por um número real e multiplicação de matrizes apropriadas. Trataremos também de matrizes booleanas e as operações definidas nesse tipo de matriz. Na literatura de informática, as matrizes são conhecidas por diversos nomes, entre os quais arranjos, arrays, etc. Nesse caso, as matrizes são estruturas que armazenam dados.

2.1 Matriz

Uma matriz m x n é uma tabela de mn números dispostos em m linhas e n colunas e será denotada assim A = (aij)m x n. O tamanho da matriz é a dimensão m x n da tabela seguinte:

A =

A i-ésima linha de é

28


A j–ésima coluna de A é

Exemplo 1. A matriz A seguinte é do tipo 4 x 3, sua 3ª linha é

e sua 3ª coluna é

8- 2-

0 3-

A =

8- 1- 92- 2- 2

0 1- 73- 2 1

Existem duas maneiras de denotar um elemento individual de uma

matriz: aij ou representam o elemento da matriz A situado na posição ij, ou seja, que está na linha i na coluna j.

Exemplo 2. Podemos usar matrizes como modelo para representar dados. As observações sobre as temperaturas médias em três cidades diferentes ao longo de uma semana, podem ser representadas por uma matriz T do tamanho 3x7, cujo elemento genérico tij é a temperatura média (em graus Celsius) da cidade i no dia j. A matriz T é a tabela seguinte:

1 (Dom) 2 (Seg) 3 (Ter) 4 (Qua) 5 (Qui) 6 (Sex) 7 (Sab)

Cidade 1 23 23 24 25 21 24 25

Cidade 2 17 16 18 19 15 16 17

Cidade 3 29 27 28 29 31 30 30

Na matriz T podemos verificar que a temperatura média na cidade 2 no dia 5 é t25 = 15°C e que a temperatura mínima na cidade 3 ocorreu no dia 2 com valor t23 = 27°C.

29


2.2 Definição

Duas matrizes A = (aij)m x n e B = (bij)r x s são iguais se e somente se elas têm o mesmo tamanho, ou seja, m = r e n = s, e se os elementos que ocupam posições iguais são iguais.

Exemplo 3. O valor de x nas matrizes

+=

=

8 41x x

B e 8 x

3 2 2A tal

que A = B é x =2.

2.3 Tipos especiais de matrizes

Ao trabalharmos com matrizes, observamos que existem algumas que, seja pela quantidade de linhas ou colunas, ou pela natureza de seus elementos, têm propriedades que as diferenciam das demais. Além disso, estes tipos de matrizes surgem com freqüência na prática e, assim, recebem nomes especiais. Recordaremos alguns tipos.

• Matriz Quadrada é uma matriz n x n, isto é, tem o número de linhas igual ao número de colunas. Como exemplo, temos as matrizes A e B do Exemplo 2.

Numa matriz quadrada, por exemplo, A3x3 = os

elementos aij tais que i = j são a11, a22 e a33 e constituem a diagonal

principal de A. Caso a matriz seja A =

7 1 56 2 05 4 8

, a diagonal principal

é constituída pelos elementos 8, 2 e 7.

• Matriz Nula é aquela em que aij = 0 para todo i e j.

Por exemplo, A =

=

0 0 0 0 0 0

B e 0 0 0 0 0 0

.

• Matriz Coluna (matriz unidimensional) é aquela matriz

A = (ai, j)i x 1, i = 1 , 2, 3, ... , m, que possui uma única coluna.

30


Exemplo:

8- 2-

0 3-

.

• Matriz Linha (matriz unidimensional) é a matriz A = (ai, j)ixj, j = 1, 2, 3, ..., n, que possui apenas uma linha.

Exemplo: .

• Array. Freqüentemente, em programação, dados são armazenados em vetores (arrays), isto é, listas em que os elementos são indexados por um ou mais índices. Um array unidimensional é uma matriz linha ou matriz coluna e sua dimensão é o número de índices. Por exemplo, as notas em Matemática Discreta de dez alunos do Curso de Sistemas de Informação podem ser listados no seguinte array:

[8,1; 5,0; 8,7; 6,0; 9,5; 6,0; 2,0; 7,8; 10,0; 5,7]

Podemos denotar todas as notas da lista pelo símbolo n e índices diferentes que indicam a posição de cada nota no array: [n1, n2, n3, ... , n10]. De modo que, n3 = 8,7 e n7 = 2,0.

• Matriz Diagonal é uma matriz quadrada onde aij = 0 para i j, isto é os elementos que não estão na diagonal principal são nulos.

Exemplo:

1 0 00 3 00 0 2

.

• Matriz Identidade Quadrada é a matriz quadrada em que

aij = 1 se i = j e aij = 0 para i j.

Exemplos: I3 =

1 0 00 1 0 0 0 1

e I2 =

1 00 1

.

• Matriz Simétrica é aquela matriz quadrada onde aij = aji. Observe que, numa matriz simétrica, a parte superior é uma reflexão da parte inferior, em relação à diagonal.

31


Exemplos:

5 8 38 6 23 2 1

e

3 8 8 1-

.

Os elementos simétricos em relação à diagonal principal são iguais.

• Matriz Transposta. Dada uma matriz A = (aij)m x n, podemos obter uma matriz AT = (bij)n x m, denominada transposta de A, cujas linhas são as colunas de A, isto é, bij = aji.

Exemplo: A =

2 8 15 3 2

AT =

2 58 31 2

Observe que é uma matriz quadrada A é simétrica se e só se:

A = AT.

Exemplo 4. Considere a matriz A = do tipo 4 x 4.

a) A soma dos elementos situados na 3ª linha de A é S = 4

3,1

jj

a=∑ =

a3,1 + a3,2 + a3,3 + a3,4 = 20 + 18 + 17 + 16 = 71.

b) O somatório S = ∑=

4

12,

iia representa a soma dos elementos da

matriz A situados na 2ª coluna.

c) Se queremos escrever a soma dos elementos da matriz A

situados na diagonal escrevemos S = ∑=

4

1,

iiia , de modo que S =

a1,1 + a2,2 + a3,3 + a4,4 = 10 + 13 + 17 + 24 = 64.

d) O duplo somatório SL = ∑ ∑= =

4

1

4

1,

i jjia representa a soma de

todos os elementos da matriz A. Para cada valor do índice i no primeiro somatório, o somatório interno calcula a soma dos elementos da linha i, fazendo o índice j variar de 1 a 4. Desse modo, obtemos:

32


SL = ∑ ∑= =

4

1

4

1,

i jjia

= ( )=+++∑=

4

14,3,2,1,

iiiii aaaa

= (a1,1 + a1,2 + a1,3 + a1,4) + (a2,1 + a2,2 + a2,3 + a2,4) +

(a3,1 + a3,2 + a3,3 + a3,4) + (a4,1 + a4,2 + a4,3 + a4,4)

= (10 + 12 + 15 + 20) + (12 + 13 + 14 + 15) +

(20 + 18 + 17 + 16) + (21 + 22 + 23 + 24)

= 57 + 54 + 71 + 90 = 272.

Observe que somamos os elementos de A, tomando a soma de cada linha.

Agora, se você quer obter a soma dos elementos de S tomando a soma dos elementos das colunas, experimente fazer

SC = ∑ ∑= =

4

1

4

1,

ji ijia , obtido do somatório anterior trocando a ordem

dos índices i e j. É claro que a soma SC resulta em 272.

2.4 Operações com matrizes

Podemos definir operações numéricas entre matrizes cujos elementos (entradas) são numéricos. Essas operações tornam não só as matrizes muito interessantes, como objeto de estudo, como úteis na solução de diversos problemas.

2.4.1 Adição de matrizes

A adição de matrizes é definida para matrizes de mesmo tamanho. Isto é, se A e B são duas matrizes de mesmo tamanho m x n, a soma dessas duas matrizes, denotada por A + B, é também uma matriz Cm x n, cujo elemento na posição ij é definido como sendo a soma dos elementos de A e B que ocupam a posição ij. Ou seja, se A = (aij)m x n e B= (bij)m x n, então C = A + B é a matriz (cij)m x n definida por cij = aij + bij.

Exemplo 5. Se

−=

−=

7/3 525 8 B

2/3 323 2 A , então:

33


C = .

Bem, você provavelmente está se perguntando, de que modo pode-se empregar a soma de matrizes em situações reais? O exemplo seguinte responde ao questionamento.

Exemplo 6. Um fabricante de um produto produz três modelos A, B e C. Cada um deles é produzido parcialmente na fábrica F1 em Campinas e, então, finalizado na fábrica F2 em São Paulo. O custo de cada produto é composto pelo custo de produção e pelo custo de transporte. As matrizes F1 e F2 seguintes descrevem o custo dos três produtos em cada fábrica.

F1 =

F2 =

A matriz F1 + F2 = FT fornece o total dos custos de produção e transporte para cada produto. Assim,

F1 + F2 =

2.4.2 Multiplicação de uma matriz por um escalar

Na seção anterior você conheceu como as matrizes podem ser somadas. Bem, agora, vamos mostrar quando é possível multiplicar uma matriz de qualquer tamanho por um número real.

34


Se A é uma matriz m x n e k é um escalar, o produto da matriz A pelo escalar k, denotado por kA, é também uma matriz m x n, cujo elemento na posição ij é definido como sendo o produto do elemento de A que ocupa a posição ij pelo escalar k. Isto é, se A = (aij)m x n então C = kA é a matriz (cij)m x n definida por cij = k . aij

Exemplo 7. Uma empresa de material fotográfico tem loja em cada uma das cidades A, B e C. Um marca específica de câmera está disponível para venda nos modelos automático, semi-automático e não-automático. Cada uma dessas câmeras tem uma unidade de flash correspondente que é vendida juntamente com a câmera. Os preços de venda das câmeras e das unidades de flash são fornecidos pela matriz V do tipo 2x3.

V =

Bem, se a empresa planeja reduzir os preços de venda de seus produtos, oferecendo desconto de 10% para pagamentos à vista, então a tabela de preços sofrerá alteração, de modo que cada produto terá seu preço multiplicado por 0,9. A matriz dos novos preços será obtida multiplicando a matriz V por 0,9:

0,9 . V =

2.4.3 Multiplicação de matrizes

A multiplicação de matrizes está definida quando o número de colunas da primeira matriz é igual ao número de linhas da segunda matriz. Assim, se A é uma matriz m x p e B é uma matriz p x n, o produto AB é possível. Além disso, a matriz C = AB é do tipo m x n.

Para encontrarmos o elemento ij da matriz produto AB, multiplicamos cada um dos elementos da linha i da matriz A pelo correspondente elemento da coluna j da matriz B e somamos os produtos obtidos. Como as linhas da matriz A tem o mesmo número de elementos que as colunas de B, não sobram nem faltam elementos.

35


A B C

cij = ai1b1j + ai2b2j + ai3b3j + ... + aipbpj

cij = ∑=

p

kjkki ba

1 i = 1, 2, 3, ... j = 1, 2, 3, ...

Exemplo 8. Considere as matrizes A = e B = .

O produto AB é possível, pois A é do tipo 2x3 e B do tipo 3x2, a matriz

C = AB é 2x2, onde C = ,

c11 =

c12 =

c21 =

c22 =

Exemplo 9. Caso as matrizes A e B do Exemplo 6 sejam A =

4 0 31 3 2

e B =

2 32 03 1

, o produto A.B será uma matriz de tamanho

2x2 obtida multiplicando os elementos de cada linha de A (Li) pelos respectivos elementos de cada coluna de B (Cj). Assim,

36


A.B = [ ][ ]

4 0 3

1 3 2.

223

301

=

2212

2111

.L ..L .LCCLCC

=

++++++++

4.2 0.2 3.3 4.3 0.0 3.11.23.22.3 1.33.0 2.1

=

Exemplo 10. Considere a matriz F1 do Exemplo 6 que fornece o custo dos produtos A, B e C produzidos na fábrica F1. Se a matriz Q3x1 = representa a quantidade produzida de cada produto A, B e C, por mês, o que representa a matriz produto Q.F1?

Bom, multiplicando Q por F1, obtemos:

Q.F1 =

= [ ]150.20200.80100.40 150.70200.50100.32 ++++

= [ ]23000 23700

A matriz Q.F1 apresenta o custo de produção e de transporte de toda a produção mensal dos três produtos.

Que informações sobre o custo dos produtos A, B e C, a matriz (F1)T.QT fornece? Recorde o conceito de matriz transposta!

2.4.4 Matrizes Booleanas

Na grande maioria dos casos nós utilizamos matrizes cujos elementos são números reais. Desse modo, os cálculos nas operações

37


de adição, multiplicação por escalar e multiplicação de matrizes são feitos com os elementos escritos na base decimal. Mas, na tecnologia da informação, o uso de dados na notação binária é necessário. Os dados codificados em binário são muito importantes e tem aplicações variadas no computador, notadamente em videogames, comunicação por fax, transferências de dinheiro por meio de caixas eletrônicos, etc.

Seja A = (ai,j) uma matriz cujos elementos são os bits 0 e 1, entendendo que esses dígitos como valores lógicos (0 representando FALSO e 1 representando VERDADEIRO). Essas matrizes são chamadas matrizes booleanas, homenagem ao matemático inglês do século XIX, George Boole.

Exemplo 11. Suponha que numa sala de aula com 30 alunos queremos registrar a presença (1) e a ausência (0) nos 22 dias de aulas do mês. A matriz booleana que apresenta o registro da presença às aulas é uma matriz A30x22 da seguinte forma:

A =

1 ........ 1 1 1 1 1 1 1..............................

0 ....... 0 1 1 1 1 1 01 ...... 1 0 1 1 1 0 1

O elemento aij = 0, significa que o aluno i esteve presente à aula do dia j. O elemento aij = 0, quando o aluno i faltou à aula do dia j.

Exemplo 12. Considere que uma rede de comunicações tem cinco estações com transmissores de potências diferentes. Na matriz A abaixo estabelecemos que aij = 1, significa que a estação i pode transmitir diretamente à estação j, aij = 0 significa que a transmissão da estação i não alcança a estação j. Veja o diagrama abaixo.

A =

0 1 0 0 01 0 1 0 00 1 0 1 00 0 1 0 11 1 1 1 0

O elemento a13 = 1, significa que a estação 1 transmite diretamente à estação 3 e a31 = 0 significa que a estação 3 não transmite

38


diretamente à estação 1.

Qual o significado da diagonal nula de A? A matriz A é simétrica?

A diagonal nula de A, significa que uma estação não transmite para si mesma. Além disso, observe que A AT, logo a matriz A não é simétrica. Isso significa a não comutatividade da comunicação entre duas estações.

2.4.5 Adição e multiplicação de matrizes booleanas

Podemos definir a adição (∨ ) e produto booleano (∧ ) de duas matrizes de mesmo tamanho da maneira usual, exceto pelo fato de que agora usamos as operações booleanas de adição e multiplicação, conforme tabelas a seguir:

∨ 0 1 ∧ 0 1

0 0 1 0 0 0

1 1 1 1 0 1

Tabela da adição

Tabela da Multiplicação

As tabelas acima definem a adição booleana (∨ ) e o produto booleano (∧ ) de acordo com a seguinte notação:

x ∨ y = Max (x, y) e x ∧ y = Min (x,y)

Se A = (aij)n x m e B = (bij)n x m são matrizes booleanas, então:

A ∨ B = (aij ∨ bij)n x m e A ∧ B = (aij ∧ bij)n x m

Exemplo 13.

a) A soma booleana das matrizes A =

=

1 0 1 0

B 1 00 1

e é dada por

1 01 1

11 0010 01

1 0 1 0

1 00 1

BA

=

∨∨∨∨

=

∨

=∨

b) O produto booleano das matrizes A =

=

0 11 1

B 1 0 1 1

é dado

por A ∧ B =

=

∧∧∧∧

=

∧

0 0

1 1

01 1011 11

0 11 1

1 0 1 1

.

39


Agora, é com você. Considere as matrizes booleanas A=

1 1 11 0 01 0 1

,

B =

0 1 01 1 00 1 1

, C =

1 0 01 1 11 0 1

. Efetue as seguintes operações booleanas:

a) A ∧ B b) A ∨ B c) B ∨ C d) A ∨ A e) B ∧ B

f) (A ∧ B) ∨ C g) A ∨ (C ∧ B)

2.4.6 Multiplicação de matrizes booleanas

A multiplicação de matrizes booleanas (Aij)m x p e (Bij)p x n denotada por A ⊗ B é definido como a matriz C do tipo m x n tal que

cij = = (ai1 ∧ bij) ∨ (ai2 ∧ b2j) ∨ (ai3 ∧ b3j) ∨ ... ∨ (aip ∧ bpj)

Perceba que esse produto é obtido multiplicando cada linha de A pelo produto booleano e somando esses produtos pela soma booleana.

Exemplo 14. Calcule o seguinte A ⊗ B nos seguintes casos:

a) A =

1 1 0

1 0 1 B =

0 0 1 1 1 0

b) A=

1 1 11 0 01 0 1

B =

0 1 01 1 00 1 1

a) A ⊗ B =

1 1 0

1 0 1 ⊗

0 0 1 1 1 0

=

Agora, faça o exercício b.

Você deverá chegar à matriz booleana A ⊗ B =

1 1 10 1 01 1 1

Exemplo 15. Os aeroportos 1, 2 e 3 estão interligados por vôos

40


diretos e/ou com escala. A matriz M = (ai,j)3x3 é tal que ai,j = 1, se há vôo direto do aeroporto i para o aeroporto j, e ai,j = 0, se não há vôo direto do aeroporto i para o aeroporto j é

M =

0 0 11 0 10 1 0

.

Os vôos de um aeroporto para outro são representados no diagrama seguinte:

Observe que não há vôos diretos do aeroporto 1 para o aeroporto 3, nem do 3 para 2. Mas, há esses vôos com escala. Isto é, partido de 1 podemos alcançar 3, passado por 2. Além disso, partindo de 3 podemos atingir 2 passando por 1.

A matriz M2= (bi,j) onde M2 = M ⊗ M tal que bij =1 significa que há vôo do aeroporto i para o aeroporto j com escala, caso contrário, bij = 0. De fato,

M ⊗ M =

0 0 11 0 10 1 0

⊗

0 0 11 0 10 1 0

=

0 1 00 1 11 0 1

O diagrama ao lado indica os vôos com escala.

41



Verifique se você entendeu bem os assuntos desse capítulo, resolvendo os exercícios propostos. As respostas dos exercícios de número par são apresentadas logo a seguir. Se tiver dúvidas, procure saná-las com professores e tutores da disciplina em fóruns de discussão que serão montados para esse fim.

1. Considere a matriz B =

3 1 3- 0 1 4 1- 2 2 1 0 3 1 2- 2 1

. Calcule:

a) ∑=

4

1,2

jjb b) ∑

=

4

1jbi,3 c) ∑

=

4

1i (∑

=

4

1i bi,j) d)

2. Calcule o produto A.B nos seguintes casos:

a) A = [ 1 -1 0] e B =

− 21 2

b) A =

−1 3-2 1

e B =

1- 12- 2

c) A =

1 2 1

0 3 2 e B =

2- 2 1 1- 1 2

3. Se A =

1 35- 2

e B =

3 1-2 4-

, calcule:

a) A2 = A.A b) A3 c) B2 d) B3

e) Mostre que A.B B.A f) (A+ B)T

g) (A.B + A)T h) AT.BT + B

4. Considere as matrizes A =

1 2 1

0 3 2 B =

2- 2 1 1- 1 2

. Calcule,

quando possível, os seguintes produtos:

42


a) AT.BT b) B.A c) BT.AT

5. Suponha que A, B e C são matrizes de números, respectivamente de ordens 3 x 7, 7 x 2 e 2 x 5. Qual o modo mais eficiente de calcular o produto ABC, é (A.B).C ou A.(B.C)? Justifique sua resposta computando o número de multiplicações que se efetua em cada caso.

6. Considere as matrizes indexadas 2 x 2 Bi definidas por

Bi =

++

−2i 1i

i 1i com i N*.

a) Escreva as matrizes B1, B2, ..., B5

b) Calcule o valor da soma S = ∑=

5

1iiB

c) Determine o valor da soma S = t

iiB )(

5

1∑=

d) Calcule a soma S = ).(3

1

Ti

ii BB∑

=

7. Considere a matriz A= (ai,j), do tipo 30 x 30:

a) Escreva os elementos de A.

b) Expresse sob a forma de somatório, a soma dos elementos situados na 12ª linha de A.

c) Expresse, sob a forma de somatório, a média aritmética dos elementos situados na 25ª coluna de A.

d) Expresse sob a forma de somatório, a soma dos elementos de A situados na 13ª coluna.

e) O que significa o valor encontrado para o seguinte somatório

MP = ?

8. Seja A =

− 0 12 x 2 2

x . Qual o valor de x tal que AT = A

9. Os aeroportos 1, 2, 3 e 4 estão interligados por vôos diretos e/

43


ou com escala. A matriz M = (ai,j)4x4 é tal que ai,j = 1, se há vôo direto do aeroporto i para o aeroporto j, e ai,j = 0, se não há vôo direto do aeroporto i para o aeroporto j é

M =

0 0 1 11 0 0 10 1 0 00 0 1 0

.

a) Faça um diagrama representando os vôos diretos.

b) Calcule a matriz M2= (bi,j) onde M2 = M ⊗ M tal que bi,j =1 significa que há vôo do aeroporto i para o aeroporto j com escala e faça um diagrama representativo da situação.

10. Uma fabricante produz janelas e portas e cada um desses produtos passa por um processo de montagem e por um processo de acabamento. O tempo gasto em cada um desses processos é fornecido (em horas) pela matriz

A=

Porta 2 2Janela 4 3

Acabamento Montagem.

O fabricante tem uma fábrica em Caruaru e outra em Campina Grande e o custo de cada um desses processos, por hora trabalhada é fornecido pela matriz

B =

Calcule a matriz A.B e diga o significado dos elementos do produto A.B.

11. Suponha seis pessoas – Adriano (A), Bernardo (B), Carla (C), Daniele (D), Eunice (E) e Fábio (F) – que adoram uma fofoca via telefone. Cada dia Adriano conversa com Bernardo e Fábio; Bernardo conversa com Adriano, Carla e Daniela; Carla com Bernardo, Daniele e Eunice; Daniele com Bernardo, Carla, Eunice e Fábio; Eunice conversa com Carla, Daniele e Fábio; e Fábio conversa com Adriano, Daniele e Eunice. Tudo que uma pessoa conversa com outra num dia, ela repassa a fofoca para as outras no dia seguinte.

44


a) Modele este esquema de fofocas por telefone utilizando uma matriz booleana M = (mi,j)6x6 onde mi,j = 1 significa que a pessoa i conversa com a pessoa j. Caso contrário, mi,j = 0.

b) M é simétrica?

c) Quantos dias, no mínimo, uma fofoca recebida por Adriano na segunda–feira leva para chegar aos ouvidos de Daniele?

12. Na matriz booleana A3x3 abaixo, a letra L significa ligado (1) e a letra D significa desligado (0).

A =

L L DD L DD L L

.

a) Encontre uma matriz B3x3 do tipo ligado/desligado tal que A v B seja uma matriz em que todos os elementos sejam ligado.

b) Encontre uma matriz B3x3 do tipo ligado/desligado tal que A ∧ B seja uma matriz em que todo elemento seja desligado.


2. a) [ ]1 b)

5 5-0 0

c)

1 25 1

4. a)

2- 1 12 1- 82 1- 5

b)

2- 2 2 1 1- 1-1 8 5

c)

6. a) B1 = 2B ,3 21 0

, B2= ,

4 32 1

B3=

5 43 2

, B4 = e B =

7 65 4

.

b) S = ∑=

5

1iiB =

c) S = t

iiB )(

5

1∑=

=

d) S = ).(3

1

Ti

ii BB∑

=

45


= +

3 12 0

.3 21 0

+

4 23 1

.4 32 1

5 43 2

.

5 34 2

+

6 54 3

.

6 45 3

+

7 65 4

.

7 56 4

8. x = 1

10. AB =

A matriz AB indica o custo total de fabricação de janela e portas nas duas fábricas.

12. a)

D D LL L LL D D

b)

D D LL D LD D D

Saiba Mais

No segundo capítulo deste fascículo, você aprendeu sobre matrizes, as operações que nelas podemos efetuar e como as matrizes podem ser usadas como estrutura de armazenamento de dados. Conheceu também as matrizes booleanas, cujos elementos são varáveis booleanas, tipo Sim/Não, Ligado/Desligado. As operações entre matrizes booleanas foram apresentadas através de exemplos.

Você poderá aprender mais sobre matrizes, consultando os seguintes livros e sites:


KOLMAN, Bernard. Introdução à Álgebra Linear: com aplicações. Tradução de Alessandra Bosquilha. Rio de Janeiro: LTC, 2006.


46


http://www.mat.ufmg.br/~elaine/GAAL/gaalt1.pdf

http://www.funepe.edu.br:91/funepe/professores/materiais/57/MATRIZES.

ppt#256,1,matrizes

Orientação de Estudos

Você sabe como funcionam os mecanismos de busca para encontrar informações e acessar a internet? Eles utilizam matrizes para rastrear as localizações da informação, cada tipo de informação em uma localização, determinam a palavra-chave que aparece na informação e os sites da Web que tem informações em comum.

O mecanismo utilizado no site do Google, por exemplo, em vez de rastrear diretamente uma determinada página real na Web ou de um único assunto de pesquisa, ele usa uma estrutura matricial focalizando buscas de páginas que correspondam ao assunto pretendido.

A busca é feita utilizando uma matriz booleana Anxn, chamada matriz de conectividade, onde n é o número de páginas acessíveis na Web durante um determinado mês, de modo que todos os elementos assumem inicialmente o valor zero. Quando o site j está relacionado com o site i, define-se o elemento ai,j = 1, caso contrário ai,j = 0. Dado que o número de sites é bastante grande, a maioria dos elementos da matriz A é igual a zero. Em seguida, são listados todos os sites que tem conexão com o site j.

Se você quer mais informações sobre o assunto acesse o site:

www.google.com/technology/index.html

e participe dos fóruns de discussão para debater o assunto com seus colegas e professores da disciplina.

47


Capítulo 3 - Princípios de Contagem: como contar?

A Combinatória é a parte da matemática que tem como objetivo o estudo de problemas de contagem do número de agrupamentos que podem ser obtidos com os elementos de um dado conjunto. Fazer contagem é uma tarefa que temos em diversas situações. Por exemplo, quando queremos dimensionar quantos espaços um banco de dados consome, quantos usuários a configuração de um computador suporta, quantos cálculos certo algoritmo resolve, quantas linhas tem a tabela-verdade de uma proposição composta por n proposições simples, quantas senhas de acesso a um caixa eletrônico podem ser formadas, com quatro algarismos, entre outros casos.

Inicialmente, o que é uma lista?

3.1 Listas

Uma lista é uma seqüência ordenada de objetos. Para escrevermos uma lista, escrevemos os seus elementos entre parênteses. Por exemplo, (2, a ,3, X) é uma lista cujo primeiro elemento é 2, o segundo é a, o terceiro é 3 e o quarto elemento é X. Isso significa que a ordem em que os elementos figuram na lista é relevante: a lista (a, c, h) é diferente da lista (c, a, h). Além disso, uma lista pode conter elementos repetidos: (1, a , 2, 2).

O número de elementos de uma lista é dito comprimento da lista. A lista (1, a, 2, 2) tem comprimento 4. Uma lista de comprimento 2 é chamada de par ordenado, como por exemplo, (1, 2). Claro que ( ) é uma lista vazia, de comprimento 0.

48


Dizemos que duas listas são iguais se tem o mesmo comprimento e se os elementos nas posições correspondentes são iguais.

Exemplo 1.

a) Senha numérica com quatro algarismos é uma lista de comprimento 4.

b) CPF é uma lista de comprimento 11.

c) Matricula de aluno de uma faculdade: 2008 2 169 034 é uma lista de comprimento 11.

d) O Código de Endereçamento Postal – CEP é uma lista de comprimento 8 (Veja exercício 15).

Como se calcula o número de listas?

O cálculo é feito por meio de princípios de contagem. Estudaremos dois deles.

3.2 Princípio Multiplicativo: contagem de listas de comprimento dois

Considere as listas de dois elementos em que o primeiro pode ser escolhido de n maneiras e, para cada uma dessas escolhas, há m escolhas do segundo elemento da lista. Então, o número de listas de comprimento dois é n.m.

Exemplo 1. Com os números 1, 2, 3, 4 e 5 podemos formar quantas dezenas?

Bom, uma dezena é uma lista de comprimento dois, constituída por dois algarismos, escolhidos dentre 1, 2, 3, 4 e 5. Assim, queremos formar listas do tipo (x, y). Temos 5 escolhas para o primeiro elemento x e, para cada escolha do primeiro, existem 5 escolhas para o segundo elemento. Logo, podemos formar 5 x 5 = 25 dezenas.

Exemplo 2. Suponha agora que queremos formar dezenas de dois algarismos diferentes com os algarismos 1, 2, 3, 4 e 5. A escolha do primeiro elemento do par pode ser feita de 5 maneiras. Escolhido o primeiro, restam 4 escolhas para o segundo elemento da lista. De modo que, podemos formar 5 x 4 = 20 listas de comprimento 2, com elementos distintos.

49


Exemplo 3. Uma seqüência de dois bits é uma lista de comprimento dois formada por zero (0) e um (1) de comprimento dois. Podemos formar 2 x 2 = 4 listas: 00, 01, 10 e 11.

E quando as listas têm comprimento maior do que dois? Como é feito o cálculo delas?

3.3 Listas de comprimento maior do que dois

Suponhamos que temos n elementos e queremos formar listas de comprimento k. O primeiro elemento da lista pode ser escolhido de n formas diferentes, o segundo também de n maneiras diferentes e, assim, até o k-ésimo elemento que pode ser escolhido de n maneiras. Logo, a quantidade de listas será

Fatoresk

........n n.n n ..n = nk

Exemplo 4. Um número binário é uma lista de zero e um. Um número binário com 8 dígitos é chamado “byte”.

a) Quantos “bytes” podem-se formar?

Como um byte é uma lista de comprimento 8 tal que cada posição pode ser ocupada por zero (0) ou um (1), podemos formar 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 28 = 256 bytes.

b) Quantos bytes começam por 10 e terminam por 01?

As duas primeiras posições e as duas últimas são ocupadas cada uma delas por um único determinado bit, então podemos formar 1 x 1 x 2 x 2 x 2 x 2 x 1 x 1= 16 bytes

c) Quantos bytes começam por 10 e não terminam por 01?

Existe apenas uma maneira de preencher as duas primeiras posições e três maneiras de preencher as duas últimas: 00, 10 e 11. De modo que podemos formar 1 x 2 x 2 x 2 x 2 x 3 = 48 bytes.

Exemplo 5. Os aeroportos, embora tendo nomes diferentes, têm códigos de três letras. Por exemplo, o aeroporto que serve Recife é REC, o aeroporto que serve São Paulo (Guarulhos) é GRU e o que serve Brasília é BSB. Com as 26 letras do nosso alfabeto podemos formar 26.26.26 = 263 códigos diferentes.

50


Quando as listas têm repetição de elementos, como se processa o seu cálculo?

3.4 Listas de comprimento k sem repetição de elementos

Agora, dispondo de n elementos, se queremos formar listas de k elementos (k n), sem repetições, procedemos assim: temos n escolhas para o 1º elemento da lista, n-1 escolhas para o 2º elemento da lista, n - 2 escolhas para o 3º, e finalmente n - (k - 1) escolhas para o kº elemento da lista. De modo que podemos formar

n x (n - 1) x (n - 2) x ... x (n – (k - 1)) listas de comprimento k

Exemplo 6. As placas de licença de carros em certo estado dos Estados Unidos consistem em seis elementos: os três primeiros são letras maiúsculas (A-Z) e os três últimos são algarismos (0-9). Podemos formar 263x103 placas distintas, das quais 26 x 25 x 24 x 10 x 9 são placas em que nenhum elemento é repetido.

3.5 Princípio Aditivo

Se dois eventos A e B disjuntos (não ocorrem simultaneamente) tem n e m possibilidades, respectivamente, então, o número total de possibilidades para o evento A ou B é m + n.

Exemplo 7. Se A é o evento de escolher um número primo entre 10 e 20 inclusive e B escolher um número par entre 10 e 20 inclusive, de quantas maneiras podemos escolher um número primo ou um número par entre 10 e 20, inclusive?

Bom, A = {11, 13, 17, 19} e B = {10, 12, 14, 16, 18, 20},

então #(A B) = #A + #B= 4 + 6 = 10.

51


Atenção

O Princípio Aditivo pode ser usado apenas quando os eventos são disjuntos, isto é, quando não houver possibilidade em comum.

Os dois princípios podem ser usados simultaneamente num problema? Sim, veja o seguinte exemplo!

Exemplo 8. Uma rede de computadores é constituída por quatro nodos (ou nós): 1, 2, 3 e 4. Existem dois caminhos entre 1 e 3, dois entre 2 e 4, três entre 1 e 2 e quatro entre 3 e 4. Uma mensagem pode ser enviada do nodo 1 para o nodo 4 por meio 3.2 + 2.4 = 6 + 8 = 14 caminhos distintos. Observe que os caminhos do nó 1 até o nó 4, indo pelo nó 2 ou nó 3, são eventos distintos.

Exemplo 9. Qual o valor de A após o seguinte código em C ter sido executado?

int A = 0

for (int I = 0; I < = 10; I ++) {

A = A + 1;

}

for (int J =1; J < = 9: J ++){

}

for (int K =1; K < = 8; K++){

}

52


Ao final do primeiro for, A = 10 e no final do segundo for, A = 19. Por fim, A recebe o valor 27.

Exemplo 10. Qual o valor de A após o seguinte código em C ter sido executado?

int A = 0

for (int I = 1; I < = 10; I ++) {

for (int J = 1; J < = 9; J ++) {

for (int K = 1; K < = 8; K ++) {

A = A + 1;

}

}

}

Para K variando de 1 a 8, o valor de A é 8. Quando J varia de 1 a 9, A assume o valor 9.8 = 72. Finalmente, para I variando de 1 a 10, A toma o valor 10.9.8 = 720.


Bem, agora é a sua vez! Verifique se você entendeu os assuntos desse capítulo, resolvendo os exercícios propostos. As respostas dos exercícios de número par serão apresentadas logo a seguir. Se tiver dúvidas, tente esclarecê-las com os professores executores e tutores nos dos fóruns de discussão da disciplina que serão formados.

1. O número de telefone no país X é composto de dez algarismos, onde o primeiro não pode ser nem zero nem um. Quantos telefones são possíveis?

2. Um número de inscrição no Seguro Social de um país X é composto de nove algarismos (0-9).

a) Quantos números de Seguro Social são possíveis?

b) Quantos deles são números pares?

c) Quantos têm todos os algarismos números pares?

53


d) Quantos podem ser lidos igualmente para trás e para frente (por exemplo, 122070221)?

e) Quantos não têm nenhum dos seus algarismos igual a 8?

f) Quantos têm exatamente um algarismo igual a 8?

g) Quantos têm ao menos um algarismo igual a 8?

3. Um sistema de computador permite atribuir nomes aos arquivos utilizando qualquer combinação de letras maiúsculas (A-Z) e de algarismos (0-9), mas o número de caracteres no nome deve ser no máximo cinco (e deve haver ao menos um caractere no nome do arquivo). Por exemplo, A423, WJ, 4AA e CDEF4321 são nomes de arquivo válidos, mas J-31 e TURBINADA não são válidos. Quantos nomes de arquivo diferentes podem ser formados nesse sistema?

4. Uma prateleira contém 20 livros. De quantas maneiras diferentes esses livros podem ser dispostos na prateleira?

5. Um compact disc player tem espaço para 5 CDs; há cinco bandejas numeradas de 1 a 5 em que se colocam os CDs. Possuo 50 CDs.

a) De quantas maneiras o CD player pode ser carregado, se todas as bandejas são ocupadas por CDs?

b) De quantas maneiras o CD player pode ser carregado se eu coloco apenas um CD no aparelho?

6. Uma prova de múltipla-escolha tem 15 perguntas, cada qual com quatro respostas possíveis, e 15 perguntas adicionais, cada uma das quais com cinco respostas possíveis. Quantas folhas de respostas diferentes são possíveis?

7. Uma senha de um usuário em um computador de grande porte consiste em três letras seguidas de dois dígitos. Quantas senhas diferentes são possíveis (considere o alfabeto com 26 letras)?

8. Quantas senhas são possíveis, na questão anterior, se diferenciarmos as letras maiúsculas das minúsculas?

9. Quantos números de CPF são possíveis?

10. Uma pessoa pode viajar no trecho Recife/Natal/Recife

54


de ônibus, automóvel, avião, navio ou trem. Se o meio de transporte da ida não é o mesmo da volta, de quantas maneiras essa pessoa pode realizar a viagem?

11. Um alfabeto consiste em três letras: A, B, C. Nessa língua, uma palavra é uma seqüência arbitrária de no máximo três letras. Quantas palavras existem nessa língua?

12. Qual o valor de A após o seguinte código em C ter sido executado?

int A= 1

for (int I =1; I < = 10; I++) {

for (int J = 1; J < = 9; J++) {

for (int K = 1; K < = 8; K++) {

A= A + 1;

}

}

}

13. Qual o valor de A após o seguinte código em C ter sido executado?

int A = 2

for (int I = 1; I < = 10; I++) {

A = A + 1;

}

for (int J = 1; J < = 10; J ++) {

A= A +1;

}

for (int K = 1; K < = 10: K ++) {

A= A + 1;

}

14. Qual o valor de A após o seguinte código C ter sido executado?

int A= 1

for (int I =1; I < = 10; I++) {

55


for (int J = 1; J < = 9; J++) {

for (int K = 1; K < = 8; K++) {

A= A + 2;

}

}

}

15. O Código de Endereçamento Postal (CEP: _ _ _ _ _ - _ _ _) usado no Brasil tem como objetivo principal orientar e acelerar o tratamento e distribuição de objetos de correspondência. É constituído de 8 dígitos, cada um variando de 0 a 9, de modo que o 1º dígito representa a Região do Brasil, o 2º a Sub-região, o 3º o Setor, o 4º o Sub-setor, o 5º o Divisor de Sub-setor e os três últimos, recebem o nome de Sufixo e destinam-se à identificação individual de localidades, Caixas Postais Comunitárias, Logradouros, códigos especiais, etc.

Região | Sub-Região | Setor | Sub-setor | Div de Setor | Sufixo | Sufixo | Sufixo

a) Quantos são os CEP’s possíveis?

b) Quantos são os CEP’s possíveis para atender à região 3 (Sede em Salvador)?

c) Quantos são os CEP’s possíveis para atender à região 5 (Sede em Recife)?

16. Um cofre tem três discos, cada um com as mesmas 26 letras e

56


só pode ser aberto quando se colocar uma determinada letra de cada um dos discos numa determinada posição. Supondo que se ignora o segredo do cofre, de quantas maneiras diferentes se podem colocar as letras dos discos nas referidas posições?

17. Quantos números diferentes de 3 algarismos podemos formar com os algarismos 1, 3 e 9 no sistema decimal?

18. Quantos números de quatro algarismos podemos formar com os algarismos 0, 2, 4, 6 e 8 no sistema decimal?

19. Com cinco pedaços de tecidos nas cores amarela, azul, verde, vermelho e branco, quantas bandeiras tricolores podemos formar supondo que os tecidos são colocados só em tiras verticais?

20. Uma senha de computador é constituída por seis caracteres: três letras (de 26 letras) seguidas de três dígitos (de 0-9). Determinar o número de senhas possíveis, nos seguintes casos:

a) tanto as letras como os dígitos podem ser repetidos;

b) os dígitos não podem ser repetidos;

c) as letras não podem ser repetidos;

d) nem as letras nem os dígitos podem ser repetidos.

21. Quantas senhas são possíveis no exercício anterior se elas apresentam as três letras e os três dígitos de forma alternada: LDLDLD ou DLDLDL?

22. Com os dígitos 0, 1, 2, 5 e 8, quantos números de quatro algarismos diferentes podemos formar? Quantos são múltiplos de 5? Quantos são múltiplos de 10?

57



2) a) 109 b) 5x108 c) 59d) 105

e) 9.98=99 f) 99g) 109 – 99

4) 20 x 19 x 18 x 17 x ... x 2 x 1 = 20!

6) 420 x 510

8) 523 x 102

10) 20

12) 721

14) 1.441

16) 263

18) 4.53 = 500

20) a) 263 x 103 b) 263 x 10 x 9 x 8

c) 26 x 25 x 24 x 103 d) 26 x 25 x 24 x 10 x 9 x 8

22) a) 96 b) 42 c) 24

3.6 Fatorial

Definimos o fatorial de um número inteiro n > 1 como o produto de todos os inteiros de n até 1.

Notação: n! = n . (n - 1) . (n-2) . ... . 2 . 1

Exemplos: 5! = 5.4.3.2.1 = 120 3! = 3.2.1 = 6 2! = 2.1 = 2

Obs. Sabemos que: 4! = 4.3.2.1 = 4.3! 5! = 5.4.3.2.1 = 5.4!

De modo geral podemos escrever n! = n . (n - 1)!

Além disso, definimos 1! = 1 e 0! = 1

Simplifique: a) !8!6 b)

!3!5!.4 c) d)

!3!.8!6!.5

58


e) !4!.2

!6 f) g) !4 !0

!5

3.7 Permutações

O Princípio Multiplicativo e suas generalizações aplicam-se freqüentemente quando fazemos várias escolhas de um único conjunto e temos interesse na ordem em que são feitas.

Suponha que temos n elementos (n 1) e queremos formar grupos com p elementos distintos, 0 p n , que diferem entre si pela ordem ou pela natureza dos p elementos que compõem cada grupo. Qualquer um desses arranjos será chamado de permutação.

Pelo Princípio Multiplicativo, temos que a 1ª escolha pode ser feita de n maneiras diferentes, a segunda pode ser feita de n - 1 formas, a 3ª de n - 2 formas, e assim, sucessivamente, até que o p-ésimo elemento é escolhido de n - (p - 1) maneiras. Assim, o número de

permutações npP que podemos formar com p elementos é:

n . (n-1) . (n-2) . [n - (p-1)]

= n . (n-1) . (n-2) . [n - (p-1)] . (n-p) . (n-p-1) ... 2 . 1

(n-p) . (n-p-1) ... 2 . 1

)!(!pn

nP np −=

Quando p = n, cada grupo é formado de n elementos e P nn = n!

3.8 Combinações

Desejamos selecionar p objetos de um grupo de n objetos, onde 0 p n, mas não desejamos relevar a ordem na qual eles aparecem no agrupamento. Queremos assim encontrar o número de agrupamentos de p elementos que sejam diferentes apenas pela natureza de pelo menos um elemento. Esses agrupamentos são chamados de combinações e o número de combinações é dado por:

C )!(!!

pnpnn

p −=

Como distinguir agrupamento tipo permutação do tipo

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combinação?

Suponha que dispomos dos objetos A, B e C e queremos formar agrupamento de dois elementos.

Primeiro, forme um agrupamento: AB, em seguida mude a ordem de seus elementos: BA.

Pergunte se AB = BA ou AB BA.

Se AB = BA devemos fazer combinações. Se AB BA, devemos fazer permutações.

Exemplo 1. Com cinco pedaços de tecidos nas cores amarela, azul, verde, vermelho e branco, quantas bandeiras tricolores podemos formar supondo que os tecidos são colocados só em tiras verticais?

Dispomos de n = 5 pedaços de tecido e queremos escolher p = 3 pedaços de tecido para formar uma bandeira de três cores distintas.

Forma-se uma bandeira com os pedaços de cores A B V. Mude a ordem dos pedaços de tecidos: BVA. Agora, pergunte: a bandeira ABV é igual ou diferente da bandeira BVA? É claro que as bandeiras são diferentes pela ordem com que os pedaços de tecido aparecem, a partir da haste da bandeira. Logo, bandeiras tricolores são agrupamentos que diferem pela ordem ou pela natureza de seus elementos (pedaços de tecido), constituindo-se permutações de 3 elementos escolhidos

dentre 5. Assim podemos formar bandeiras.

Exemplo 2. Uma pessoa manifestou interesse por cinco livros diferentes numa feira de livros. Todos os livros estavam em promoção por um preço único. No entanto, a pessoa só dispõe de dinheiro para adquirir apenas três deles. De quantos modos podem ser feita a escolha de três desses livros?

Ora, dispondo de n = 5 livros, escolher p = 3 entre os cinco, é formar agrupamentos de três livros ABC. Agora mude a ordem dos livros: CAB, e indague se a escolha é a mesma ou diferente... É claro que elas são iguais, pois foram escolhidos os mesmos livros. Para uma escolha diferente, será necessária a troca de pelo menos um dos livros escolhidos inicialmente. Trata-se, portanto, de agrupamento tipo combinação.

O número de escolhas é

60


Exemplo 3. Há 15 estações num ramal de uma estrada de ferro. Quantos tipos de bilhetes de passagem são necessários para permitir a viagem entre duas estações quaisquer?

A viagem entre as estações C e D é diferente da viagem entre D e C. Trata-se, portanto de permutação de n = 15 com p = 2 estações.

De modo que teremos .

Exemplo 4. Numa empresa de Tecnologia da Informação trabalham 22 pessoas, todas disponíveis para exercer diversas atividades em quatro projetos atualmente em execução. Há necessidade de escolher seis pessoas para o projeto um, quatro pessoas para o projeto 2, seis para o projeto 3 e duas pessoas responsáveis pelo projeto 4. De quantas formas é possível fazer-se a escalação?


Os exercícios seguintes referem-se ao Capítulo 3. Para resolvê-los você fará uso dos princípios de contagem estudados e das técnicas de classificação de agrupamentos em permutação ou combinação. Você deve responder as questões, discutir com seus colegas e, em caso de dúvidas, consulte seus tutores.

1. Quantos anagramas de duas letras diferentes podemos formar com um alfabeto de 26 letras?

2. Em um congresso há 12 professores de Física. De quantas maneiras podemos formar uma comissão composta por 3 professores?

3. Considerando os dígitos 1, 2, 3, 4 e 5, quantos números de 2 algarismos diferentes podemos formar?

4. Considere os algarismos 1, 2, 3, 4, e 5. Quantos números com algarismos distintos, superiores a 100 e inferiores a 1.000 podemos formar se:

a) o número é par?

b) o número é ímpar?

c) o número é par ou ímpar?

5. De quantas formas podem ser escolhidos um presidente e um

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vice-presidente dentre um grupo de 20 pessoas?

6. Quantas palavras de 6 letras distintas podemos formar com as letras da palavra MAXWEL?

7. Uma biblioteca tem 4 livros sobre Sistemas Operacionais, 7 sobre Programação e 3 sobre Estrutura de Dados. De quantas maneiras os livros podem ser arrumados numa prateleira, sabendo os livros de uma mesma matéria precisam ficar juntos?

8. Considere a palavra NUMERO:

a) Quantos são os anagramas que podemos formar com as letras da palavra NUMERO?

b) Quantos anagramas começam e terminam por vogal?

c) Quantos começam e terminam por consoante?

d) Quantos anagramas começam por consoante e terminam por vogal?

9. O corpo docente de um curso de Sistemas de Informação de uma faculdade é composto por nove professores portadores do título de mestrado e quatro professores com título de doutorado. De quantas maneiras podemos formar uma comissão para revisão curricular do curso composta por cinco professores, sendo dois mestres e três doutores?

10. Em um congresso há 12 professores de Física e 10 de Matemática e queremos formar comissões de 8 professores. Quantas comissões podem ser formadas:

a) sem restrições

b) havendo pelo menos um professor de Matemática?

c) havendo pelo menos 4 professores de Matemática e 2 de Física?

11. Um time de futebol leva 18 jogadores na comitiva; 11 jogadores compõem o time titular. De quantas maneiras o time titular pode ser formado?

12. De quantas formas um júri popular de 5 homens e 7 mulheres pode ser selecionado dentre um elenco de 17 homens e 23 mulheres?

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13. Uma rede de computadores consiste em 60 nós. Pergunta-se:

a) A rede é projetada para resistir à falha de quaisquer dois nós. De quantas formas esse tipo de falha pode ocorrer?

b) De quantas maneiras podem falhar um ou dois nós?

c) Se um dos nós falhar, de quantas maneiras podemos selecionar sete nós, sem que estes sejam quaisquer um dos nós que falharam?

d) Se dois nós falharem, de quantas maneiras podemos selecionar sete nós de forma que eles incluam um dos nós que falharam?

14. Uma caixa contém cinco fichas vermelhas e sete pretas. Quatro fichas são retiradas da caixa, todas de uma só vez, sem reposição.

a) De quantas formas podem ser retiradas quatro fichas?

b) De quantas formas podem ser retiradas 4 fichas, duas pretas e duas vermelhas?

c) De quantas formas podemos retirar todas as quatro fichas vermelhas ou todas as quatro pretas?

d) De quantas formas podemos retirar quatro, sendo três ou quatro fichas pretas?

15. Numa classe existem 8 alunas, uma das quais se chama Maria e sete alunos um dos quais se chama José. Formam-se comissões de 5 alunas e 4 alunos. Quantas são as comissões das quais:

a) Maria participa?

b) Maria participa sem José?

c) José participa?

d) José participa sem Maria?

e) Maria e José participam simultaneamente?

f) Maria e José são excluídos?

g) Ou Maria ou José participa?

16. Calcule C(6,0), C(6,1), C(6,2), C(6,3), C(6,4), C(6,5) e C(6,6).

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Algumas dessas combinações são iguais. Quais? Que relação existe entre as combinações iguais? Teste.

17. Há quatro estradas diferentes entre as cidades A e B; 3 estradas diferentes entre B e C e 2 estradas diferentes entre A e C. De quantas maneiras podemos:

a) ir de A para C, passando por B?

b) ir de A até C, passando ou não por B?

c) ir de A até C e voltar?

d) ir de A até C e voltar, passando pelo menos uma vez por B?

e) ir de A até C e voltar, sem passar duas vezes pela mesma estrada?

18. Quantas senhas de três letras podemos formar com as letras A, B, C, D e E?

Quantas senhas de três letras sem repetição?

Quantas senhas de três letras diferentes não contêm a letra A?

Quantas senhas de três letras diferentes contêm a letra B?

19. Cinqüenta corredores competem em uma corrida de 10 quilômetros. Quantos resultados são possíveis, nos seguintes casos, sem considerar empates:

a) Quando queremos saber em que lugar cada corredor terminou a corrida.

b) A corrida é uma prova de qualificação, e desejamos apenas saber quais são os dez corredores mais rápidos.

c) A corrida é um evento olímpico final e só interessa quem ganha medalha de ouro, prata e bronze.

20. Um saco contém 20 fichas idênticas, numeradas de 1 a 20. Extraem-se aleatoriamente cinco fichas. Calcular de quantas formas cinco fichas podem ser extraídas, nos seguintes casos:

a) As fichas são extraídas uma a uma, sem reposição. Uma vez extraída uma ficha, ela não é reposta no saco. Assim, extrair as fichas 1, 2, 3, 4 e 5 é diferente de extrair as fichas 5, 4, 3, 2 e 1.

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b) As fichas são extraídas todas de uma vez, sem reposição. Assim, extrair as fichas 1, 2, 3, 4 e 5 é o mesmo que extrair as fichas 5, 4, 3, 2 e 1.

c) As fichas são extraídas uma de cada vez, com reposição. Cada ficha extraída é devolvida ao saco. Assim, extrair as fichas 1, 2, 2, 4, 5 é diferente de extrair 2, 4, 1, 2, 5.

21. (ENADE 2005). Para o desenvolvimento de um projeto, determinada organização precisa definir dois grupos de trabalho, um com três membros e outro com quatro membros. Para o grupo de três elementos, o primeiro indivíduo nomeado será o presidente, o segundo o relator, e o terceiro será o auxiliar, enquanto que, para o grupo de quatro elementos, a ordem de nomeação não é relevante. Essa organização conta com um quadro de quatorze funcionários, todos igualmente aptos a compor qualquer um dos grupos de trabalho, em qualquer função, sendo que cada um integrará, no máximo, um desses grupos.

Nessa situação, representando por C(m, p) a combinação de m elementos p a p e por P(m, p) o permutação de m elementos p a p, conclui-se que a quantidade de maneiras distintas que a organização citada dispõe para compor os seus dois grupos é igual a:

22. O jogo da Mega Sena consiste no sorteio de 6 números distintos, escolhidos ao acaso, entre os números 1, 2, 3, ... , 60. Uma aposta é uma escolha de 6 números distintos entre os 60 possíveis, sendo premiadas aquelas que acertarem 4 (quadra), 5 (quina) ou todos os 6 números sorteados. Um grupo de apostadores escolhe 20 números para jogar.

a) Quantos são os jogos de 6 números que o grupo pode fazer com esses 20 números?

b) Caso o grupo acerte na sena, quantas quinas premiadas, além da sena?

c) Caso o grupo acerte na sena, quantas quadras premiadas, além da sena e das quinas?

23. Considere o seguinte algoritmo:

void MaxMin ( vetor A, vetor; int*Max, int* Min: integer)

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Max = A[1]; Min = A[1]

for (int I = 2; I , = 15; I++) {

if ( A[I] > Max) {

Max =A[i];

}

if (A[I] < Min) {

Min = A[i];

}

}

}

Quantas comparações entre os elementos do vetor A = [A[1], A[2], ... ,A[15]] são efetuadas?

24. Numa certa comunidade, dois homens sempre se cumprimentam (na chegada) com um aperto de mão e se despedem (na saída) com outro aperto de mão. Um homem e uma mulher se cumprimentam com um aperto de mão, mas se despedem com um aceno. Duas mulheres só trocam acenos, tanto para se cumprimentarem quanto para se despedirem.

Em uma comemoração, na qual participaram 20 homens e 17 mulheres, todos se cumprimentaram e se despediram na forma acima descrita. Calcule quantos apertos de mão e quantos acenos foram dados.

25. A partir de 64 cubos brancos, todos iguais, forma-se um novo cubo. A seguir, este novo cubo tem cinco de suas seis faces pintadas de vermelho. Qual o número de cubos menores que tiveram pelo menos duas de suas faces pintadas de vermelho?

26. As permutações da palavra PROVA foram listadas em ordem alfabética, como se fossem palavras de cinco letras em um dicionário. Qual a 73ª palavra dessa lista?

27. Calcule:

a) 8

5

54

63

PPP + b)

n

n

PP

2

3 c) 5

2

33

85

PPC +

d) nn

n

CCP

23

2

− e)

66



2. C312 = 220

4. a) 24 b) 36 c) 60

6. 6!

8. a) 720 b) 144 c) 144 d) 216

10. a)

b)

=

c) +

12.

14. a) b) 52.7

2 CC c) 74

54 CC + d) 7

451.7

3 CCC +

16. C(n ,p) = C(n , n-p)

18. a) 53 b) 5 x 4 x 3 c) 4 x 3 x 2 d) 1 x 4 x 3 x 3

20. a) b) c) 20.20.20.20.20 = 205

22. a) C b) 6 c) 1

24. 720 apertos de mão e 612 acenos.

26. RAOPV

Saiba Mais

Neste capítulo você teve oportunidade de conhecer técnicas de contagem de elementos de um dado conjunto, fazendo uso do princípio aditivo e do princípio multiplicativo. Além disso, conheceu técnicas de diferenciação de agrupamentos tipo combinação e permutação.

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Para conhecer mais sobre combinatória, consulte o seguinte livro:

SANTOS, José Plínio de Oliveira. Introdução a análise combinatória. Campinas: Editora da Unicamp, 1995.

Desafio

Tito Flavius Josephus foi um historiador que viveu em Jerusalém no século I D.C., conseguiu escapar da morte graças ao seu conhecimento em matemática e sua habilidade de pensar rápido. Conta a lenda que Josephus, como era conhecido, e mais quarenta companheiros estavam numa caverna cercados por soldados romanos. Sem alternativas, decidiram cometer suicídio. Fariam da seguinte maneira: eles se posicionariam em forma de um circulo e começariam a se matar: sempre o companheiro da esquerda. Como Josephus não queria morrer, ele sentou-se num lugar seguro (na verdade o lugar seguro) e todos os seus companheiros morreram e apenas ele escapou. Como ele conseguiu isso?

Você está desafiado a resolver esse problema. Para melhor equacioná-lo, pense em n pessoas, entre as quais se encontra Josephus. Decide-se eliminar n-1 pessoas do grupo da seguinte forma: as pessoas são colocadas em um círculo com lugares marcados em ordem crescente no sentido horário, o círculo é percorrido no sentido horário, tantas vezes quanto necessário, começando pela pessoa no lugar 1, e toda segunda pessoa viva nesta visitação é eliminada até que apenas uma sobreviva. Qual é a posição que a pessoa sobrevivente ocupa?

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Participe de um fórum de discussão que será orientado pelos professores executores e tutores para auxiliá-lo a resolver esse problema. Boa sorte!

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Capítulo 04 - Relações: uma abordagem

Intuitivamente o conceito de relação é próximo do conceito formal de relação. No cotidiano, são exemplos de relação: “irmão de”, “maior ou igual”, “faz fronteira com”. Em computação e Informática, muitas construções são baseadas em relações, como Banco de Dados Relacional.

Trataremos inicialmente de um tipo de relações, as relações binárias.

Sejam A e B dois conjuntos. Uma relação binária R de A para B é um conjunto de pares ordenados (x, y) com x A e y B.

Se (x, y) R, dizemos que x está relacionado a y por meio de R e indicamos o fato escrevendo x R y. Para exprimir que R é uma relação de A para B, escrevemos R: A B, onde o conjunto A é chamado de conjunto de partida e B é o conjunto de chegada da relação R.

É claro que uma relação R de A para B é um subconjunto do produto cartesiano A x B. Assim, o produto cartesiano A x B é ele próprio uma relação de A para B. Podemos então dizer que dados dois conjuntos A e B, uma relação binária de A em B é um subconjunto de A x B.

Se R é uma relação binária em A x B, então escrevemos x R y (x, y) R

Exemplo 1. Sejam os conjuntos A = {1, 2, 3} e B = {2, 3}. O produto cartesiano dos dois conjuntos A x B = {(1,2), (1,3), (2,2), (2,3), (3, 2) , (3, 3)}.

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a) Se estivermos interessados na relação de igualdade, então os pares (2,2) e (3,3) são os únicos que apresentam essa propriedade. Então a relação R que contém esses pares é R1= {(x, y) A x B: x = y}.

b) Se estivermos interessados na propriedade do primeiro número do par ser maior que o segundo escolheremos o par (3,2). Nesse caso, a relação será R2 = {(x, y) A x B: x > y}.

c) A relação R3 = {(x, y) A x B: y = x+1} = {(1, 2), (2, 3) }.

A notação x R y indica que o par ordenado ( x, y ) satisfaz à relação R. A relação R pode ser descrita com palavras ou simplesmente pela enumeração dos pares ordenados que a satisfazem.

Exemplo 2. Considere S = {1, 2} e T = {2, 3, 4} e R a relação dada pela descrição x R y x + y é ímpar. Então R = {(1, 2), (1, 4), (2, 3)}

Exemplo 3. Considere o conjunto A = {1, 2, 3, 4} e a relação R definida de A em A pela condição (x, y) R x divide y. A divisão no conjunto dos números naturais é aquela que não deixa resto, de modo que 1 divide 1, 1 divide 2, 2 divide 4, 2 não divide 3, etc. Assim, a relação R é constituída pelos pares (1, 1), (1, 2) (1, 3), (1, 4), (2,2), (2, 4), (3, 3) e (4, 4).

4.1 Tipos de Relações Binárias

Em relação ao número de elementos que se relaciona com um dado elemento, como se classificam as relações binárias?

Se R é uma relação binária em S x T, então R consiste em um conjunto de pares ordenados (x, y). Uma determinada primeira componente x e uma determinada segunda componente y podem ser relacionadas diversas vezes na relação R.

a) A relação R é dita um-para-um (ou injetiva) se cada primeiro componente x e cada segundo componente y aparecem apenas uma vez na relação.

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Exemplo 4. A relação do conjunto S = {1, 2, 3, 4} no conjunto T = {a, b, c, d, e} constituída pelos pares (1, b), (2, c), (3, a) e (4, d) é uma relação um-para-um.

Exemplo 5. A relação R definida no conjunto S = {x: x é um CPF} no conjunto T = {x: x é aluno do curso de Sistemas de Informação da UAB – UFRPE} é uma relação um-para-um.

b) A relação R é dita um-para-vários se alguma primeira componente x aparece mais de uma vez, isto é , se um determinado x faz par com mais de um y.

Exemplo 6. A relação do conjunto S = {1, 2, 3, 4} no conjunto T = {a, b, c, d, e}, constituída pelos pares (1, b), (1, c), (3, a) ,(2, d), é uma relação um-para-vários.

Exemplo 7. A relação R que faz corresponder um departamento (S) de uma empresa a uma seção (T) desse departamento.

c) A relação R é dita vários-para-um se alguma segunda componente y faz par com mais de uma primeira componente x.

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Exemplo 8. A relação definida do conjunto S = {2, -2, 1, -1, 3} no conjunto T = {1, 4, 5, 9} pela condição (x, y) R y = x2.

Exemplo 9. A relação definida no conjunto A de todas as mulheres da cidade de Trindade (PE) com correspondentes em A através da condição (x, y) R x filha de y é uma relação vários-para-um.

d) A relação R é dita vários-para-vários se pelo menos um y faz par com mais de um x e pelo menos um x faz par com mais de um y.

Exemplo 10. A relação definida do conjunto S = {0, -1, 1} no conjunto T = {0, 1, -1} pela condição (x, y) R x2 + y2 2 é uma relação vários para vários.

Exemplo 11. Uma relação R definida no conjunto C de clientes de uma empresa no conjunto P dos produtos que esta empresa vende, tal que (x, y) R x compra produto y, é uma relação vários para vários.

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4.2 Relações binárias em um conjunto A

Uma relação em um conjunto A é uma relação do conjunto A em A. Trata-se de um subconjunto do produto cartesiano A x A = A2.

Exemplo 12. Considere o conjunto A = {1, 2, 3}. Os pares da relação R definida em A pela condição (x, y) R x 2y são

R = {(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,2), (3, 3)}.

Exemplo 13. Seja A = {Mara, Cláudia, Anamaria, Beth, João, Clara, José} um conjunto de pessoas tais que, Anamaria é mãe de Clara e de Cláudia, Clara é mãe de Beth e Beth é mãe de Mara, de João e de José. Escreva os pares das seguintes relações definidas em A:

a) x R y x é irmã (ão) de y.

b) x S y x é ancestral de y. (x é ancestral de y, se x é pai, mãe, avô ou avó de y)

Podemos escrever as relações na forma de tabelas:

Relação R Relação S

“irmã (ao) de” “ancestral de”

x y Anamaria Clara

Clara Cláudio Anamaria Cláudia

Cláudio Clara Anamaria Beth

Mara João Anamaria Mara

João Mara Anamaria João

Mara José Anamaria José

José Mara Clara Beth

João José Clara Mara

José João Clara João

Clara José

Beth Mara

Beth João

Beth José

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4.3 Operações com relações: como operar com relações binárias?

Ora, as relações binárias são conjuntos de pares ordenados, portanto podemos definir a união, a interseção de relações. Podemos também definir a relação complementar. Além disso, definimos a relação diferença e a relação diferença simétrica.

Sejam R1 e R2 relações binárias em num conjunto A. Isso significa que R1 e R2 são subconjuntos de A x A. Então podemos realizar seguintes operações que resultem em novos subconjuntos de A x A, isto é, novas relações binárias denotadas por:

Exemplo 14. Considere R1 e R2 duas relações binárias em A = {1, 2, 3} definidas por x R1 y x y e x R2 y x y. Escreva os pares ordenados de R1 e R2 .Forneça descrições verbais para as relações abaixo e escreva os seus elementos:

As tabelas representativas das relações R1 e R2 são as seguintes:

Relação R1 Relação R2 Relação R1 R2

1 1 1 1 1 11 2 2 1 1 21 3 2 2 1 32 2 3 1 2 12 3 3 2 2 23 3 3 3 2 3

3 13 23 3

75


Relação R1 R2 Relação Relação

1 1 2 1 1 22 2 3 1 1 33 3 3 2 2 3

Dizemos que: (x, y) (R1 R2) x y ou x y.

(x, y) (R1 R2) x = y.

(x, y) x > y.

(x, y) x < y.

Exemplo 15. Seja A o conjunto de todos os estudantes de uma faculdade e B o conjunto de todos os livros de sua biblioteca. Sejam R e S duas relações definidas, respectivamente, por:

(a, b) R o estudante a é obrigado ler livro b no seu curso.

(a, b) S o estudante a leu o livro b.

Descreveremos os pares, ordenados (a, b) em cada uma das seguintes

a) (a, b) R S o estudante a é obrigado ler livro b no seu curso ou já leu o livro b.

b) (a, b) R S o estudante a já leu o livro obrigatório b no seu curso.

c) (a, b) o estudante a não é obrigado ler livro b no seu curso.

d) (a, b) o estudante a não leu o livro b.

e) (a, b) R – S o estudante a é obrigado ler livro b no seu curso e não o leu.

f) (a, b) S – R o estudante a já leu livro não obrigatório b.

g) (a, b) R S o estudante a é obrigado ler livro b no seu curso e não o leu ou o Estudante a já leu livro não obrigatório b.

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4.4 Propriedades das Relações definidas em um conjunto A

Seja R uma relação binária em A. Dizemos que:

a) R é reflexiva se x A, x R x, isto é, x A, (x, x) R.

R não é reflexiva, se x A tal que (x, x) R.

b) R é simétrica, se x, y A, se x R y então y R x, isto é, se (x y) R então (y, x) R, para x, y em A.

R não é simétrica, se (x, y) R, mas (y, x) R.

c) R é transitiva se x, y, z A, se x R y e y R z então x R z, isto é, se (x,y) R e (y, z) R então (x , z) R, para x,y, z em A.

R não é transitiva, se (x, y) R e (y, z) R, mas (x, z) R.

d) R é anti-simétrica, x,y A, se x y então, (x,y) R ou (y,x) R, mas não ambos

R não é anti-simétrica, se x y com (x,y) R e (y,x) R

Exemplo 16. Considere as seguintes relações em S = {1, 2, 3, 4}. Quais dessas relações são reflexivas, simétricas, anti-simétricas e transitivas?

R1 = {(1,1), (1,2), (2,1), (2,2), (3,4), (4,1), (4,4)}

R2 = {(1,1), (1,2), (2,1)}

R3 = {(1,1), (1,2), (1,4), (2,1), (2,2), (3,3), (4,1), (4,4)}

R4 = {(2,1), (3,1), (3,2), (3,3), (4,1), (4,2), (4,3)}

R5 = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,2), (2,3), (2,4), (3,3), (3,4), (4,4)}

R6 = {(3,4), (2,3)}

R7 = {(3,4)}

R8 = {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4)}.

Reflexivas: R3, R5 e R8

Simétricas: R2, R3 e R8

Transitivas: R4, R5 ,R7 e R8

Anti-simétricas: R4, R5, R6, R7 e R8.

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Exemplo 17. Quais das relações abaixo são reflexivas, simétricas, transitivas e anti-simétricas? Considere A = {a, b, c}

R1 = {(a,a),(b,b),(c,c)}

R2 = {(a,b),(b,a),(a,a),(a,c)}

R3 = {(a,b),(a,c),(c,a),(b,a)}

R4 = {(a,b),(b,b),(c,c)}

Relação R1: Reflexiva, simétrica, anti-simétrica e transitiva.

Relação R2: Não é reflexiva, não simétrica, não é anti-simétrica e não é transitiva.

Relação R3: Não é reflexiva, não é anti-simétrica, não é transitiva. É simétrica.

Relação R4: Não é reflexiva nem simétrica. É anti-simétrica e transitiva.

4.5 Representação gráfica de Relações Binárias

Uma relação binária R de um conjunto finito A para um conjunto finito B pode ser representada graficamente da seguinte maneira: a cada elemento de A e cada elemento de B corresponde um nó, nodo ou aresta, e, a cada par da relação (a, b) corresponde uma seta, flecha ou linha, ligando o elemento a A ao elemento b B. Veja o exemplo seguinte.

Exemplo 18. A relação R = {(a1, b1), (a1, b2), (a2, b1), (a2, b3), (a3, b3)} do conjunto A = {a1, a2, a3, a4} no conjunto B = {b1, b2, b3} pode ser representada por:

78


4.6 Grafo de uma relação em um conjunto A

Uma relação R de A em A pode ser representada por um grafo onde cada elemento do conjunto A é denominado nodo e cada par (a, b) é representado por uma seta (aresta do grafo), com origem em a e destino em b. Os pares (a, a) R são representados por um laço. A tal representação dá-se o nome de grafo orientado ou dígrafo.

Exemplo 19. Seja R é uma relação de A em A= {1,2,3} definida por R = (1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (3,1), (3,2)}. A figura abaixo é o grafo de R:

Exemplo 20. Seja A = {1,2,3}, R = {(1,1), (2,2), (3,3), (1,2), (1,3), (3,2) é uma relação reflexiva.

Exemplo 21. A relação em A = {a, b, c}, onde R = {(a,a), (a,b) ,(b,a) , (a,c), (c,a), (b,c) } não é simétrica. O grafo de apresenta uma seta de b para c mas não apresenta seta de c para b.

Exemplo 22. A relação em A = {a, b, c}, onde R = {(a, a), (a, b),

Observe que uma relação em A é reflexiva se para todo x A, x R x, ou seja, o par (x,x) A. Isso significa que o grafo de R tem um laço em cada nó, ou seja, uma seta ligando cada elemento a si mesmo.

Atenção

O grafo de uma relação simétrica de A em A apresenta, para cada seta entre dois nodos, outra seta no sentido contrário, indicando que, para cada par (a, b) R existe o par inverso (b, a).

Atenção

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(b, a), (a, c), (c, a), (b, c)} não é transitiva, pois apresenta seta de c para a, seta de a para c, mas não apresenta laço de c para c.

Também apresenta seta ligando c ao elemento a, seta do a ao b, mas não apresenta seta ligando c ao b. Observe que também falta um laço em b.

Uma relação de A em A = {a, b, c} é dita anti-simétrica se x y então (x, y) R ou (y, x) R

Exemplo 23. Considere a relação em A = {a, b, c} definida por R = {(a, a), (a, b), (b, c), (c, a), (c, c)}. A relação R é anti-simétrica. No seu grafo existe, no máximo, uma seta ligando dois nodos diferentes.

Exemplo 24. A relação no conjunto dos números naturais N é reflexiva porque para qualquer x N, x x é verdadeira. É também transitiva, pois para quaisquer x, y, z N, se x y e y z então x z. A relação não é simétrica, pois 3 4 não implica 4 3. A relação é anti-simétrica, pois, para quaisquer x, y N, se x y e y x então x = y.

Exemplo 25. Seja X = {1, 2, 3,4} e S = P (X) = {Y: Y é subconjunto de X}. Definimos a relação em S por A B A B. Verifica-se que é reflexiva, simétrica, transitiva e não é anti-simétrica.

4.7 Relação n-ária

Dados os conjuntos A1, A2, A3, ..., An, uma relação n-ária em A1 x A2

Uma relação R de A em A é transitiva se x R y e y R z então x R z. Isto significa que, se existe uma seta de x para y e uma seta de y para z então existe uma seta de x para z.

Atenção

Observe que uma relação R é anti-simétrica se no seu grafo existe, no máximo, uma seta ligando dois nodos diferentes.

Atenção

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x A3 x ... x An é um subconjunto de A1 x A2 x A3 x ... x An. Os conjuntos A1, A2 ..., An, são chamados de domínios da relação, e n é o seu grau. Um elemento da relação é chamado uma n-upla.

Quando A1 = A2 = ... = An a relação é dita interna.

Caso, A1 A2 ... An, a relação é chamada relação externa.

Exemplo 26.

a) Seja R é uma relação interna ternária em N x N x N onde (x , y, z) R x2 + y2 = z2. Alguns ternos da relação R são apresentados na tabela a seguir.

0 5 55 0 53 4 54 3 56 8 108 6 10

b) Considere o conjunto A = {1, 2, 3, 4} e a relação interna R definida no produto cartesiano A x A x A pela sentença: (x, y, z) R

x divide y + z. A tabela apresenta os ternos dessa relação.

1 1 1 1 2 3 1 4 1 2 2 2 3 1 2 4 2 21 1 2 1 2 4 1 4 2 2 2 4 3 2 1 4 3 11 1 3 1 3 1 1 4 3 2 3 1 3 2 4 4 4 41 1 4 1 3 2 1 4 4 2 3 3 3 3 31 2 1 1 3 3 2 1 1 2 4 2 3 4 21 2 2 1 3 4 2 1 3 2 4 4 4 1 3

Exemplo 27. Seja R uma relação externa consistindo de 5-uplas (A, N, P, D, H) representando uma viagem aérea, onde A é a companhia aérea, N é o número do vôo, P é o ponto de partida, D é o ponto de destino e H é a hora da partida. Se TAM tem um vôo de número JJ 3501 de Recife para São Paulo às 02h35min então (TAM, JJ 3501, Recife, São Paulo, 02h35min) pertence a R. Os seus domínios são o conjunto de todas as companhias aéreas, o conjunto dos números naturais, o conjuntos das cidades, o conjunto das cidades e o conjunto das horas.

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Companhia Vôo Partida Destino HorárioTAM JJ 3501 RECIFE SÃO PAULO 2:35TAM JJ 3515 RECIFE SÃO PAULO 10:00GOL G3 1992 FORTALEZA NATAL 11:50

TAM JJ 3817 BELO HORIZONTE

CURITIBA 20:00

GOL G3 1629 PORTO SEGURO

RECIFE 3:20

Exemplo 28. Na Informática, a grande aplicação das relações externas são os bancos de dados que utilizam os modelos relacionais. Os modelos relacionais são compostos de relações ou tabelas bidimensionais, cujas operações são descritas em termos de álgebra relacional. Com este modelo, as tabelas de dados podem ser manipuladas para retornar outras tabelas de dados oferecendo aos usuários informações.

Por exemplo, um banco de dados contendo registro dos vestibulandos de uma faculdade feito em domínios contendo o nome do estudante, a inscrição do estudante, o curso pretendido, e a média alcançada. O modelo relacional representa o banco de dados de registros como uma relação n-ária. Esses registros são representados por uma 4-upla da forma ( Nome, Inscrição, Curso, Média ). Abaixo relacionamos alguns exemplos de registros desse banco de dados, sob a forma de tabela.

Nome Inscrição Curso MédiaFREDERICO 23456-5 DIREITO 7,9870

ANA 45629-2 DIREITO 6,9847ROBERTA 12345-7 SI 8,7654

HUGO 98734-0 ADMINISTRAÇÃO 6,9834

Exemplo 29. Seja A = {A, B, C, D, E, F, G, H} o conjunto de alguns estudantes de uma universidade e B = {L1, L2, L3,..., L10} o conjunto de alguns livros de sua biblioteca.

Sejam R e S duas relações definidas de A em B, respectivamente, por:

(a, b) R o estudante a é obrigado ler livro b no seu curso,

(a, b) S o estudante a leu o livro b, de acordo com as tabelas

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abaixo:

Relação R Relação SAluno Livro Aluno Livro

A L1 B L4

B L2 D L9

A L3 C L2

B L4 E L2

C L2 F L10

D L5 G L7

E L6 C L3

F L3 A L4

G L7 H L8

As tabelas abaixo apresentam as relações R S, R S, R – S, S – R e R S.

R SAluno Livro Aluno Livro

A L1 D L9

B L2 E L2

A L3 F L10

B L4 C L3

C L2 A L4

D L5 H L8

E L6

F L3

G L7

R S R – SAluno Livro Aluno Livro

B L4 A L1

C L2 B L2

G L7 A L3

D L5

E L6

F L3

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S – R R SAluno Livro Aluno Livro Aluno Livro

D L9 A L1 D L9

E L2 B L2 E L2

F L10 A L3 F L10

C L3 D L5 C L3

A L4 E L6 A L4

H L8 F L3 H L8

4.8 Álgebra Relacional

É o conjunto de operações formais realizadas sobre relações produzindo como resultado relações.

Considere o seguinte banco de dados composto pelas tabelas (relações) seguintes:

AlunoNome Endereço Sexo

Aline da Silva Rua das Flores, 10 FemininoCarina Sousa Rua Vargas, 23 FemininoCarlos André Rua Abreu, 18 Masculino

Fernando Antunes Rua 24 de Abril,1 MasculinoLaura Abreu Rua do Padre,1 FemininoMarcelo Silva Rua Getulio,90 MasculinoVivian Peixoto Rua Jacinto,38 Feminino

CadastroNome Cód_Disc

Aline da Silva MAT0285Aline da Silva SIS0214Carina Sousa MAT0285Carlos André MAT0285Carlos André SIS0225Carlos André MAT0331

Fernando Antunes SIS0214Laura Abreu MAT0285

Vivian Peixoto MAT0285Vivian Peixoto SIS0214

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DisciplinaCód_Disc Nome_da_disciplina CursoMAT0285 Matemática Discreta Ciência da Comp.SIS0214 Lógica Ciência da Comp.SIS0237 Informática AdministraçãoSIS0225 Teoria da Comp. Ciência da Comp.MAT0331 Matemática I Licenciatura em Comp.

Podemos usar duas operações unárias com as relações.

A operação Restrição (seleciona) cria uma nova tabela composta pelas linhas da tabela original que satisfaça a uma certa propriedade (predicado) A sintaxe utilizada é

predicado (Relação)

Exemplo 30. Restrição de Aluno onde Sexo = “Masculino” fornecendo Resultado 1:

sexo = Masculino (Aluno)

Resultado 1Carlos André Rua Abreu, 18 Masculino

Fernando Antunes Rua, 24 de Abril, 100 MasculinoMarcelo Silva Rua Getulio,90 Masculino

Exemplo 31. Restrição de Disciplina onde Curso = “Ciência da Computação” fornecendo Resultado 2:

curso = Ciência da Computação (Disciplina)

Resultado 2Cód_Disc Nome_da_disciplina CursoMAT0285 Matemática Discreta Ciência da Comp.SIS0214 Lógica Ciência da Comp.SIS0225 Teoria da Comp. Ciência da Comp.

Exemplo 32. Restrição de Cadastro onde Cód_Disc = “SIS0214” fornecendo Resultado 3:

Cod_Disc = SIS 0214 (Cadastro)

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Resultado 3Nome Cód_Disc

Aline da Silva SIS0214Fernando Antunes SIS0214

Vivian Peixoto SIS0214

A operação Project (projeção) cria uma nova tabela composta por determinadas colunas da tabela original, eliminando quaisquer linhas duplicadas. A sintaxe usada é:

lista de atributos (Relação)

Exemplo 33. Projeção de Aluno baseada em (Nome, Endereço) fornecendo Resultado 4:

Nome, Endereço (Aluno)

Resultado 4Nome Endereço

Aline da Silva Rua das Flores, 10Carina Sousa Rua Vargas, 23Carlos André Rua Abreu, 18

Fernando Antunes Rua 24 de Abril,100Laura Abreu Rua do Padre,1Marcelo Silva Rua Getulio,90Vivian Peixoto Rua Jacinto,38

Exemplo 34. Projeção de Disciplina baseada em (Nome_da_disciplina, Curso) fornecendo Resultado 5:

Nome_da_disciplina, Curso (Disciplina)

Resultado 5Nome_da_disciplina CursoMatemática Discreta Ciência da Comp.

Lógica Ciência da Comp.Informática Administração

Teoria da Comp. Ciência da Comp.Matemática I Licenciatura em Comp.

86


Exemplo 35. Projeção de Disciplina baseada em (Código da disciplina, Nome da disciplina) fornecendo Resultado 6:

Cod_disc, Nome_da_disciplina (Disciplina)

Resultado 6Cód_Disc Nome_da_disciplinaMAT0285 Matemática DiscretaSIS0214 LógicaSIS0237 InformáticaSIS0225 Teoria da Comp.MAT0331 Matemática I

A operação junção natural (natural join) cria uma relação pela combinação dos campos de uma relação com aquelas de outra baseada nos valores comuns em um conjunto de colunas comuns. É realizada pela “seleção” das linhas e a “projeção” das colunas do “produto cartesiano” das relações. A sintaxe é:

(Relação A) |X| < condição de junção > (Relação B).

Exemplo 36. Junção de Aluno e Cadastro baseada em Nome fornecendo Resultado 7:

(Aluno |X| <Nome> Cadastro):

Resultado 7Nome Endereço Sexo Cód Disc

Aline da Silva Rua das Flores, 10 Feminino MAT0285Aline da Silva Rua das Flores, 10 Feminino SIS0214Carina Sousa Rua Vargas, 23 Feminino MAT0285Carlos André Rua Abreu, 18 Masculino MAT0285Carlos André Rua Abreu, 18 Masculino SIS0225Carlos André Rua Abreu, 18 Masculino MAT0331

Fernando Antunes Rua 24 de Abril,100 Masculino SIS0214Laura Abreu Rua do Padre,1 Feminino MAT0285

Vivian Peixoto Rua Jacinto,38 Feminino MAT0285Vivian Peixoto Rua Jacinto,38 Feminino SIS0214

Exemplo 37. Junção de Cadastro e Disciplina baseada em Cod_Disc fornecendo Resultado 8:

(Cadastro |X| < Cod_Disc > Disciplina):

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Resultado 8Nome Cód_Disc Nome_da_

disciplinaCurso

Aline da Silva MAT0285 Matem. Discreta Ciência da Comp.Carina Sousa MAT0285 Matem. Discreta Ciência da Comp.Carlos André MAT0285 Matem. Discreta Ciência da Comp.Laura Abreu MAT0285 Matem. Discreta Ciência da Comp.

Vivian Peixoto MAT0285 Matem. Discreta Ciência da Comp.Aline da Silva SIS0214 Lógica Ciência da Comp.

Fernando Antunes SIS0214 Lógica Ciência da Comp.Vivian Peixoto SIS0214 Lógica Ciência da Comp.Carlos André SIS0225 Teoria da Comp. Ciência da Comp.Carlos André MAT0331 Matemática I Licenc. em Comp.


Agora é a sua vez! Verifique se você entendeu os assuntos desse capítulo referentes ao conceito de relações, resolvendo os exercícios propostos. As respostas dos exercícios de número par serão apresentadas logo a seguir. Caso persistam dúvidas, tente esclarecê-las com os professores executores e tutores nos dos fóruns de discussão da disciplina que serão formados.

1. Considere as seguintes relações definidas de Z em Z.

R1 = {(a, b): a b} R2 = {(a, b): a > b}

R3 = {(a, b): a = b ou a = -b} R4= {(a, b): a = b}

R5 = {(a, b): a = b + 1} R6 = {(a, b): a + b 3}

Faça tabelas de cada uma das relações acima indicadas, cada uma com pelo menos cinco pares.

2. Classifique cada uma das relações abaixo definidas de A em A, onde A = {1, 2, 3,... 12} como um–para–um, um–para–vários, vários–para–um e vários–para–vários.

a) R1 = {(1, 2), (1,4), (1, 6), (2, 3), (4, 3)}

b) R2 = {(9,7), (6,5), (3, 6), (8, 5)}

c) R3 = {(12, 5), (8, 4), (6, 3), (7, 12)}

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d) R4 = {(2,7), (8, 4), (2, 5), (7, 6), (10,1)}

3. Classifique cada uma das relações definidas de A em A, como um–para–um, um–para–vários, vários–para–um e vários–para–vários:

a) A = N x R y x = y + 1

b) A = conjunto de todas as mulheres de Recife x R y x é filha de y

c) A = P({1, 2, 3}) A R B #A = #B

d) A = N x R y x = 5

4. Sejam R e S relações binárias em N definidas por xRy x divide y e x S y 5x y. Quais pares pertencem às relações seguintes:

5. Determine as relações R, definidas no conjunto de todas as pessoas, são reflexivas, simétricas, anti-simétricas ou transitivas, onde (a, b) R se e somente se;

a) a é mais alto que b

b) a e b nasceram no mesmo dia

c) a tem o mesmo primeiro nome que b

d) a é primo de b (a é primo de b se um dos pais de a é irmão de um dos pais de b).

e) a é ancestral de b.

6. Dados os conjuntos A de alunos do Curso de SI, D de disciplinas oferecidas no segundo semestre de 2008, L de salas onde serão ministradas as aulas e H de horários de aulas:

A = {José, Joana, Bianca, Tiago}

D = {SI101, SI103, SI201, SI203, SI304}

L = {13, 34, 26, Lab2, Lab5}

H = {08h00min-09h50min, 10h00min-11h50min, 18h45min-20h15min, 20h30min-22h00min}

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Simule tabelas (um mínimo de 5-uplas) representando as seguintes relações: a) R1 de A em D, que fornece a relação das disciplinas de cada aluno. b) R2 de D em L, relação entre as disciplinas e o seu local. c) R3 de L em H, que relaciona a sala de aula com horários.

7. Seja o conjunto S = {Mara, Cláudia, Anamaria, Beth, João, Clara, José}. Sabendo que Anamaria é mãe de Clara e de Cláudia, Clara é mãe de Beth e Beth é mãe Mara, de João e de José e as seguintes relações definidas em S: x R y x é irmã (ão) de y, x S y x é ancestral de y, desenhe os grafos das relações R, S, S R, R S. Quais relações, R e S, são reflexivas, simétricas, anti-simétricas e transitivas?

8. Classifique as relações a seguir, definidas nos conjuntos S dados como reflexivas, simétricas, anti-simétricas e transitivas.

a) S = Z x R y |x| |y|

b) S = N x R y x.y é par

c) S = {1, 2, 3} x {1, 2, 3}, (x1, y1) R (x2, y2) x1 x2 e y1 y2

d) S = P({1,2,3}) A R B #A #B

9. Tomando por base as tabelas apresentadas no item 4.8, expresse cada pesquisa abaixo em álgebra relacional e apresente o resultado em forma de tabela:

a) Dê os nomes de todos os alunos que são do sexo feminino.

b)Dê os nomes de todas as disciplinas do Curso de Ciência da Computação.

c)Dê os nomes de todos os alunos que cursam Matemática Discreta.

d) Dê os nomes de todas as disciplinas que Carlos André cursa.

e) Dê os nomes de todos os alunos do sexo feminino que cursam SIS0214.

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Resposta do Exercício 4.1

2. a) vários – para – vários

b) vários – para – um.

c) um – para – um.

d) um – para - vários

4. a) (2, 6), (3, 17) e (1,0)

b) (2, 12)

c) (3, 17)

d) (2,15).

Conclusão

No último capítulo deste fascículo abordamos o conceito de relação. Conhecemos como as relações se classificam quanto ao número de elementos relacionados, aprendemos a distinguir as propriedades das relações binárias internas e representar as relações por grafos, por n – uplas e por tabelas. Aprendemos como efetuar operações com relações, notadamente as operações de restrição (seleção), projeção e junção em tabelas de banco de dados relacional..

Saiba Mais

As relações binárias podem ser também representadas por matrizes booleanas da seguinte forma.

Suponhamos que R é uma relação do conjunto A = {a1 , a2, ..., an} no conjunto B = {b1, b2, ... , bm }. A relação R é representada pela matriz n x m MR = [mij], onde mij =1 se (ai, bj) R e mij = 0 se (ai, bj)

R.

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Por exemplo, considere a relação em A = {2, 3, 6} definida por a R

b a b. A matriz de R é M = .

A matriz de uma relação é uma excelente maneira de representar relacionamentos e, através dela podemos verificar se uma dada relação de A em A é reflexiva, simétrica, transitiva e anti-simétrica.

Se você se interessa pelo assunto, consulte as obras abaixo indicadas.



Considerações Finais

Caro cursista, nesse fascículo você teve oportunidade de conhecer os conceitos de somatório, matrizes, contagem e relações. Percebeu através de exemplos que existem muitas aplicações nas áreas de computação e informática.

No próximo fascículo, abordaremos os seguintes temas da Matemática Discreta que são também utilizados nos cursos das áreas de computação e informática: Função, Recursão, Técnicas de Provas e o Princípio de Indução Finita.

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Referências

ABE, Jair Minoro; PAPAVERO, Nelson. Teoria intuitiva dos conjuntos. São Paulo: McGraw Hill, 1997.

ALENCAR Filho, Edgard de. Iniciação à Lógica Matemática. São Paulo: Nobel, 1995.


KOLMAN, Bernard. Introdução à Álgebra Linear: com aplicações. Tradução de Alessandra Bosquilha. Rio de Janeiro: LTC, 2006


SANTOS, José Plínio de Oliveira. Introdução a analise combinatória. Campinas: Editora da Unicamp, 1995.

SCHEINERMAN, Edward R. Matemática Discreta: uma introdução. Tradução de Alfredo Alves de Farias. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2003.

ROSS, Kenneth A; WRIGHT, Charles R. B. Discrete Mathematics. Prentice-Hall, 1999.

TRUSS, J. K. Discrete mathematics for computer scientist. Addison Wesley. 1999.

http://problemasteoremas.wordpress.com/2007/11/20/somatorio-duplo/

http://www.ean.com.br

http://www.mat.ufmg.br/~elaine/GAAL/gaalt1.pdf

http://www.funepe.edu.br:91/funepe/professores/materiais/57/MATRIZES.ppt#256,1,matrizes

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