Apuntes deMatemática Discreta

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PROGRAMA DE MATEMATICA DISCRETACurso 1996-97

1.- Conjuntos y aplicaciones.

Noción intuitiva de conjunto, subconjunto y complementario, unión e intersección deconjuntos, producto cartesiano.

Definición de aplicación, tipos de aplicaciones, composición de aplicaciones, inversa de unaaplicación.

2.- Relaciones y grafos.

Relaciones binarias, relaciones de equivalencia, conjunto cociente. Relaciones de orden,conjuntos ordenados, elementos especiales de un conjunto ordenado. Diagrama de Hasse.

Conceptos básicos y terminología de grafos. Conexión de grafos. Grafos eulerianos yhamiltonianos. Grafos planos. Árboles. Grafos dirigidos. Coloreado de grafos.

3.- Teoría elemental de números.

Divisibilidad en Z. Algoritmo de Euclides, básico y extendido. Números primos. Teoremafundamental de la aritmética. Principio de inducción. Ecuaciones Diofánticas.Congruencias : teorema chino de los restos, criterios de divisibilidad, sistemas denumeración.

��� &RPELQDWRULD \ UHFXUUHQFLD

Principio de inclusión exclusión. Permutaciones con y sin repetición. Combinaciones con ysin repetición. Fórmulas combinatorias, teorema binomial.

Sucesiones definidas por recurrencia. Resolución de relaciones recurrenter por iteración.

Relaciones de recurrencia de orden superior con coeficientes constantes. Funcionesdefinidas recurrentemente.

��� &iOFXORGHSURSRVLFLRQHV

Sintaxis. Deducción natural. Tablas semánticas. Resolución.

%LEOLRJUDItD�

Epp, S. S. “Discrete Mathematics with Aplications”. Ed. Wadsworth Publishing Company(1990).Biggs, N. L. “Matemática Discreta”. Ed. Vicens Vives (1994).Bujalance, E. “Elementos de Matemáticas Discretas”. Ed. Sanz y Torres (1993). (UNED)Bujalance, E. “Problemas de Matemáticas Discretas”. Ed. Sanz y Torres (1993). (UNED)Liu, C. L. “Elementos de Matemáticas Discretas”. Ed. McGraw-Hill (1995).Grimaldi, R. P. “Matemática Discreta y Combinatoria”. Ed. Addisson-Wesley Iberoamericana(1989).

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&21-81726<$3/,&$&,21(6

&RQMXQWR

Definición : Es una colección de objetos bien definidos y diferenciables entre si que se llamanelementos.

RepresentaciónSuelen emplearse letras mayusculas para los conjuntos y minusculas para los elementos.

Pertenencia de un elemento ‘x’ a un conjunto ‘A’ se denota : x ∈ A

El contenido de un conjunto se representa :

• por extensión : encerrando todos sus elementos entre llaves. Ej : A={1,2,3,4...}• por comprensión : mostrando entre llaves sus propiedades características. Ej : A={

x∈N | 1 ≤ x ≤ 4 }• mediante ‘Diagramas de Venn’ : Los diagramas de Venn son regiones del plano que

simbolizan conjuntos. No tienen valor demostrativo salvo para refutar con uncontraejemplo.

Tamaño o Cardinalidad

El tamaño de un conjunto A es su nº de elementos y se denota entre barras : |A|Si un conjunto tiene ∞ elementos se dice que es :

• infinito numerable si ∃ aplicación biyectiva entre el conjunto y N.• infinito no numerable en caso contrario. Ej : R ( porque ∃ ∞ decimales)

6XEFRQMXQWR

DefiniciónUn conjunto A es subconjunto de otro conjunto B, si todo elemento de A es también un elementode B.

Si además existe algun elemento de B no pertenencientes a A, se dice que A es subconjuntopropio de B.

Ojo ! : A⊆B no excluye la posibilidad de que A⊂B, esta, es una información queignoramos.

7HPD

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Representación

A subconjunto de B : A⊆B, o B⊇A

A subconj. propio de B : A⊂B, o B⊃A (notese como desaparece la línea de igual al excluirsetal posibilidad)

Propiedades de la relación ⊆• reflexiva (cumple la relacion consigo mismo) : A⊆A• antisimetrica (no simetrica) : si A⊆B y B⊆A ⇒ A=B• transitiva (B hace de intermediario) : si A⊆B y B⊆C ⇒ A⊆C

Se considera que todo conjunto no vacío tiene como subconjunto al nulo y a si mismo.

Las expresiones ‘x∈A’ y ‘{x} ⊆A’ son equivalentes, ambas expresiones significan que elconjunto que tiene a x

como único elemento es subconjunto de A.

$OJXQRV FRQMXQWRV

Nulo ‘∅’ o ‘{}‘ : Es aquel que carece de elementos.Ojo ! : |∅|=0 pero {∅}≠∅ porque este conjunto ( {∅} ), tiene un elemento: el nulo.

Universal ‘U’ : Es la colección de todos los elementos implicados en el problema a considerar.

Iguales ‘A=B’ : Aquellos conjuntos que contienen los mismos elementos sin importar orden orepetición.

Diferencia ‘A −B’ : Es el conjunto de los elementos de A que no pertenecen a B : A–B={x| x∈A,x∉B} )

Diferencia simétrica ‘A⊕B’ : (A∪B)–(A∩B)= (A ∩B )∪( A ∩B), es decir, = { x∈A o x∈B | x∉A∩B }

Potencia ‘P(A)’

Es el conjunto cuyos elementos son todos los subconjuntos posibles de A.

Para todo elemento hay 2 opciones: excluirlo o incluirlo, por lo tanto hay 2*2*2..(n veces)selecciones

posibles. Por tanto, :‘ dado A de n elementos, |P(A)| = 2n = ∑K=0

n

( )Kn = Cn,k‘ (Incluyendo A y ∅)

Ej: Si A={a,b,c} ⇒ P(A)={ ∅, {a}, {b}, {c}, {a,b}, {b,c}, {c,a}, A }

8QLyQ� LQWHUVHFFLyQ \ FRPSOHPHQWDFLyQ

Conj. Unión ‘A∪B’ : Es el formado por los elementos que pertenecen al menos a alguno de losdos.

A ∪ B ={x ∈ U ⁄ x∈A ò x∈B}

Conj. Intersección ‘A∩B’ : Es el formado por los elementos que pertenecen a la vez a ambosconjuntos.

A ∩B ={ x ∈ U ⁄ x∈A y x∈B},Si su interseccion es nula, se dice que A y B son disjuntos.

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Complementario ‘ ′A ’ o ‘ A ’ : (De un conjunto A), es aquel cuyos elementos no son A : A={ x |x∈U, x∉A}

Propiedades de la intersección, complementación y unión1º A∪∅ = A

A∩∅ = ∅2º A∪A = A∩A = A Idempotencia

3º A∪B = B∪A , A∩B = B∩A Conmutatividad

4º (A∪B)∪C = A∪(B∪C) Asociatividad (A∩B)∩C = A∩(B∩C)

5º A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C) Distributividad A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C)

6º A∪U = U

7º A∪A = U , A∩A = ∅

8º ( ) ( )A B A B, A B A B∪ = ∩ ∩ = ∪ Leyes de Morgan

9º A∪(A∩B) = A∩(A∪B) = A

y otra de regalo : A−B = A∩B , Demostración : x∈(A−B)⇒ x∈A y x∉B ⇒ x∈A y x∈B ⇒ x∈A∩B

Demostración 8º : ( )A B∪ ⇔A ∩B (Ley de Morgan)

“⇒” : x∈( )A B∪ ⇒ x ∉ A∪B⇒ x∉A y x∉B ⇒ x ∈ A y x ∈B ⇒x∈A ∩B

“⇐” : x∈A ∩B ⇒x ∈ A y x ∈B ⇒x∉A y x∉B⇒x ∉ A∪B⇒x∈( )A B∪

La intersección, complementación y unión de conjuntos, se conocen como ‘OperacionesBoleanas’ en honor

a George Boole, que se marco este rollo aun sin tener idea de su utilidad.

Producto cartesiano (A×B)

Definición

Dados A,B ⊆ U, Se define ‘Producto Cartesiano de A por B’ (A×B) como el conjunto loselementos

formados por todos los posibles pares del tipo (a,b) ⁄ a∈A, b∈B.

Ojo ! : (a,b) es un par ordenado, por lo tanto (a,b)≠(b,a) salvo que a=b, y no es lo mismo (a,b)que {a,b}

Propiedades

|A×B|=|A|·|B| (Regla del producto)

Si tenemos A,B,C,D ≠ ∅ , entonces A×B=C×D ⇒ A=C,B=D ?

(A∪A )×B≠(A∪B)×(A ∪B) es decir: (a ∪ a , b ) ≠ ( (a,b) , ( a ,b) ) ?

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(A×B)∪(A ×B)=(A∪B)×(A ∪B) ?

Las coordenadas de los pares de A×B definen un paralelogramo de lados paralelos a los ejes.

Dados A,B ⊆ U, cualquier subconjunto de A×B se denomina ‘relación de A a B’. Si B=A, larelación se denomina ‘relación binaria en A’ (A×A).

Ej : Para A={1,2,3}, B={2,5}. Son relaciones de A a B : ∅, {(3,2)}, {(2,2),(1,2)}, A ×B,...

El conjunto de todas las posibles relaciones posibles, es P(A ×B), y siendo |A|=m, |B|=n, como yavimos antes, tenemos que |P(A × B)|=2mn

Aplicaciones (o Funciones -significa lo mismo- )

Definición

Se define ‘Aplicación de A a B’ (f: A→B), como la relación que asigna a todo elemento de A unúnico

elemento de B.

Es decir, para ∀ x∈A, sin excepción, ∃ un y solo un y∈B ⁄ y=f(x). Por ello, |A|≤|B|

Observese que cuando A y B son conj. finitos, el número de posibles funciones es BA

(Regla del

producto) .

En una f : A→B, A y B se llaman dominio y codominio de f.

Conceptos

• Dados f:A→B, g:C→D, se dice que f(a) y g(c) son Iguales (f=g), si y solo si : A=C yB=D.

Ojo ! : Aun cuando 2 funciones tengan un dominio común A, y se cumpla f(a)=g(a), es posibleque f≠g.

Ej : Sea f : Z→ Z, g : Z →Q, donde f(x)=x=g(x) para ∀ x ∈ Z .

Pero debido al codominio : ¡f ≠g!, porque f es inyectiva y suprayectiva, y g solo inyectiva.

• Conj. Imagen (Im f), se define como : Im f = {b∈B ⁄ ∃ a∈A, b=f(a)} ; b se denomina‘imagen’ de a.

• F. Identidad (de un conj. en si mismo) : Se define como f:A→A ⁄ f(x)=x para ∀x∈A.• F. Inclusión : Se define como in:A1→A ⁄ in(x)=x para x ∈A ?• F. Restricción

Sea f:A→B y A1⊆A, se denomina ‘Restricción de la función f al conjunto A1’ a la función g: A1→B

Ademas, f se denomina ‘Ampliación’ de la aplicación g.

Tipos de aplicaciones

Inyectiva

Aquella en la que no existen dos elementos de A con la misma imagen.

Por lo tanto siendo A,B finitos deben cumplir |A|≤|B|. Ejemplo: la inclusión

Sobreyectiva (o suprayectiva)

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Aquella en la que todo elemento de B es imagen de un elemento de A

( B siempre esta cubierto, es decir : ∀ b∈B ∃ al menos un a∈A ⁄ f(a)=b)

Por lo tanto siendo A,B finitos deben cumplir |A|≥|B|

Biyectiva

Aquella que es a la vez inyectiva y Sobreyectiva.Por lo tanto siendo A,B finitos deben cumplir |A|=|B|Propiedad:

Sea f:A→B A,B finitos, si |A|=|B| y f es inyectiva ⇒ también será sobreyectiva ⇒ y tambiénbiyectiva.

Proyección sobre la 1a y 2a coordenada

Sean los conjuntos A,B, y D⊆A×B :

• Se denomina ‘proyección sobre la 1a coordenada’ a la aplicación π A :D→A definida porπ A (a,b)=a.

• Se denomina ‘proyección sobre la 2a coordenada’ a la aplicación π B :D→B definida porπ B (a,b)=b.

• De forma general : π :D→Ai1 × Ai2 × ... × Aim definida por π (a1, a2, ..., an)=( ai1, ai2, ...,aim) es una

proyección de D sobre las i1-ésima, i2-ésima, ..., in-ésima coordenadas.

(ver ejemplo en Grimaldi 82 3.12)

&RPSRVLFLyQ GH DSOLFDFLRQHV

F. compuesta (f°g) : Siendo f:A→C, g:B→C, ‘f compuesta con g’ es (g° f)(a)= g(f(a)) para ∀ a∈A

La composición : -es asociativa [h°(g°f)](a) = [(h°g)°f](a)

• no es conmutativa g°f≠f°g

Propiedades 1) f,g inyectivas ⇒ g°f inyectiva Dems : Grimaldi 85 3.4. a)

2) f,g Sobreyectivas ⇒ g °f Sobreyectiva Dems : Grimaldi 85 3.4. b)

3) f,g biyectiva ⇒ g °f biyectiva Se desprende de las anteriores.

4) g°f inyectiva⇒f inyectiva5) g°f Sobreyectiva⇒g Sobreyectiva6) La composición de funciones es asociativa : ((h°g)°f)(x)=(h°(g°f))(x)

Demostraciones :

1) Sea a1, a2 ∈ A ⁄ (g°f)(a1)= (g°f)(a2),Entonces, (g°f)(a1)= (g°f)(a2) ⇔ g(f(a1))=g(f(a2)), pues g es inyectiva.Además f(a1)=f(a2) ⇒ a1=a2 porque f es inyectiva.Por tanto, g°f es inyectiva.

2) Para g °f :A →C, sea z∈C.Para g suprayectiva ⇒ ∃ y∈B, con g(y)=z. Para f suprayectiva ⇒ ∃ x∈A, con f(x)=y.

Por tanto, z=g(y)=g(f(x))=(g°f)(x). Al ser válido para cualquier z∈C, queda demostrado

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que gºf es suprayectiva.

6) Para ((h°g)°f)(x) = (h°g)(f(x)) = h(g(f(x)))((h°g)°f)(x) = h((g°f)(x)) = h(g(f(x)))

$SOLFDFLyQ LQYHUVD

F. Inversa (f-1) : f-1(y)={x∈A ⁄ f(x)=y}

Otra definición de inversa de f:A→B es g:B→A ⁄ g°f=IdA y además f°g=IdB

Ej: f=x2, f-1= x2 ; f-1(4)={2,-2} ; f-1(2,6,8,4,16,25)={± 2, ±4, ±5} ; f-1(11,12,13,14)=∅

Propiedades

• Si f tiene inversa esta es única.Demostración :

Sean g1 , g2 inversas de f :A→B, observando que g1°f =IdA , f°g1= IdB,

g2°f =IdA , f°g2= IdB,

resulta fácil demostrar que g1=g2 : g1 = IdA°g1 = (g2°f )°g1 = g2°(f °g1) = g2°IdB = g2

• f es inversible ⇔ f es biyectiva‘⇒’ (Suponemos que dado f :A→B, existe f -1 , lo cual probara que f es biyectiva, es decir sobreyectiva e

inyectiva)

Por definición de inyectiva : a1,a2∈A1 ⁄ f(a1)=f(a2)⇒ a1=a2 Comprobamos que es inyectiva aplicando inversas :

f -1 (f(a1))= f -1 (f(a2))→ ( f -1 °f)(a1)=( f -1 °f)(a2)→a1=a2

Por definición de sobreyectiva : ∀ b∈B ⇒ ∃ f(a)=b Hemos supuesto que dado un b∈B, ∃ f -1 (b)∈A ⁄ f(a)=f( f -1 (b))=b Y puesto que f° f -1 =Id(b), es lícito afirmar b=Id(b)=( f° f -1 )(b)=f( f -1 (b))=f(a)

‘⇐’ Por ser sobreyectiva, para cada b∈B, ∃ algún a∈A ⁄ b=f(a). Con lo quedadefinida una función

g :B→A ⁄ g(b)=a. El único problema sería que g(b)=a1≠a2=g(b) debido a quef(a1)=b=f(a2), pero

esto no ocurre porque f es inyectiva. Por lo tanto, g= f -1 .

Propiedades

Si A1,A2 ⊂ A, B1,B2 ⊂ B, entonces :

1º A1⊂A2 ⇒ f(A1)⊂ f(A2)2º f (A1∪A2) = f(A1)∪f(A2)3º f (A1∩A2) ⊂ f(A1) ∩ f(A2)

4º A1 ⊂ f -1( f(A1) )

5º B1 ⊂ B2 ⇒ f -1(B1) ⊂ f -1(B2 )

6º f -1(B1∪B2) = f -1(B1)∪ f -1(B2 )

7º f -1(B1∩B2) = f -1(B1)∩ f -1(B2 )

8º f ( f -1(B1)) ⊂ B1

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55HODFLRQHV\HODFLRQHV\JUJUDDIIRVRVRelaciones binarias y de equivalencia. Conjunto cociente. Relaciones de orden, conjuntosordenados, elementos especiales de un conjunto ordenado. Diagrama de Hasse. Conceptosbásicos y terminologia de grafos. Conexión de grafos. Grafos eulerianos y hamiltonianos.Grafos planos. Arboles. Grafos dirigidos. Coloreado de grafos

Relación ‘R’: Es cualquier subconjunto de A×B que cumpla la propiedad en concreto. Es decir, siendo x∈A,y∈A y grafo(gráfica) R ⁄ R⊆ A×A, decimos que xRy si

(x,y)∈REl nº de relaciones ó subconjuntos de A×B será 2 A B·

Relación n-aria : Cualquier subconjunto del producto cartesiano de A1× A2×...×An

(Una relación binaria sería una relación de A1×A2)

Propiedades que puede cumplir una relación:

1) Reflexiva, si ∀ a∈A ⇒ aRa2) Simétrica si ∀ a,b / aRb ⇒ bRa3) Transitiva, si ∀ a,b,c / (aRb y bRc) ⇒ aRc4) Antisimetrica, si ∀ a,b / (aRb y bRa) ⇒ a=b Todo elemento cumple las tres primeras consigo mismo. Cuidado con la 4º: nosimetrica≠antisimetrica

Matriz de una relación A×B: - filas = elementos de A, columnas = elementos de B

• 1 si (ai,bj) ∈ R , 0 si (ai,bj) ∉ RRelación equivalente ’~’: Es la relación binaria que verifica las propiedades reflexiva, simétricay transitiva.

Clase de equivalencia ‘[x]’: Dada una relación de equivalencia en un conjunto A, se defineclase de equivalencia de un a∈A, como el conjunto de elementos de A equivalentes alelemento dado. Se denota como [a]={a’∈A / a’~a}

El representante de la clase de equivalencia puede ser cualquier elemento del conjunto.Asi, se cumple:

• a’~a ⇔ [a’]=[a] (prop. transitiva)- y por tanto, x no∼a ⇔ [x]∩[a] = ∅

Por transitividad de ∼ es imposible que [x]∪[a] ≠ [x]∩[a] porque las clases de equivalencia sonidenticas o disjuntas

La clase de equivalencia de cualquier elemento x cumple [x]≠∅ porque x∈[x]

Las clases de equivalencia forman una familia de subconjuntos≠∅ y disjuntos entre si, (porquepor transitiva si

tuvieran un elemento en común serían iguales), cuya unión es A.Congruencia modulo n (es un ejemplo de relación de equivalencia en Z)Dado un natural p>1 se dice que “a es congruente con b módulo p” y se escribe “a≡b (mod p)”

7HPD

�

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si a=b+λp, λ∈Z ; es decir: a~b ⇔ a–b es múltiplo de pEsta relación es una equivalencia, ya que:

• es reflexiva, todo elemento es congruente con si mismo módulo p porque a-a=0 que esmultiplo de p para λ=0

• es simétrica, ya que si a–b es múltiplo de p, entonces b–a= también es múltiplo de p.(porque b-a=-(a-b) y λ puede ser + o - porque pertenece a Z)

• es transitiva, porque si a–b, b–c, son múltiplos de p, entonces a–c=(a–b)+(b–c) tambiénes múltiplo de p.

3URSLHGDG

Seran congruentes módulo p ⇔ dan el mismo resto al dividirlos por p.

Para comprobar tomamos los valores m,n y hacemos:

⇐ m q p r

n q p r1

2

= ⋅ += ⋅ +

m-n=(q1-q2)p ⇒ p divide a (m-n)? (si→congruente, no→no

congruente)

⇒ m q p r ; 0 r p

n q p r ; 0 r p1 1 1

2 2 2

= ⋅ + ≤ ≤= ⋅ + ≤ ≤

m-n=(q1-q2)p+(r1-r2), para que se cumpla debe ser r1–r2=0, que

implica r1=r2

&RQMXQWRFRFLHQWH

Es el conjunto de clases de equivalencia de todos los elementos de A. Se denota A/∼.

A/∼ = { [x] ⁄ x∈A } donde [x]={ y∈A ⁄ y∼x}. Nunca es vacío porque ∀x, [x]≠∅ porque siemprex∼x

Una partición es una colección de conjuntos distintos del vacío y disjuntos entre si. La unión departiciones de un

conjunto es el propio conjunto.

Propiedades del conjunto cociente:

1) para a,b ∈ A/∼ , a∼b ⇔ [a]=[b]Demos ‘⇒’: (suponemos a~b) x∈[a]⇒ x∼a, y por transitiva x∼a, a∼b ⇒ x∼b ⇒

x∈[b]Asi vemos que para cualquier x, si x ∈ [a] y x ∈ [b], [a]=[b]

Demos ‘⇐’: (Suponemos [a]=[b]), por reflexiva a∈[a], y puesto que [a]=[b], entonces a∈[b] , ypor

tanto, a~b2) a,b ∈ A, a no∼b ⇔ [a]∩[b]=∅

Demos ‘⇒’: (Demostramos que [a]∩[b]≠∅ es contradictorio), ∃ x∈[a]∩[b] ⇒ x∼a, x∼b ⇒ a∼b

Corolario:

Siendo ∼ una relación de equivalencia en A vemos que:

• Las clases de equivalencia de A forman una partición de A ⇔ Cada partición de Adefine una ~ en A. Si existe equivalencia entre los elementos de una partición, esapartición es clase de equivalencia

(Si a,b están en la misma partición⇒a∼b y [a]=[b])

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• Si ∅≠Ai, Ai ⊆A entonces cada Ai es una partición de A si A=∑Ai y Ai ∩Aj=0 para i≠j(2 a 2)

• Si dos fracciones son equivalentes, la irreducible sera la representante de clase.

Factorización canónica de una aplicación

$�∼ F → %

1) a, ′a ∈A a∼ ′a ⇔f(a)=f(b)2) A P → A/∼ Es la aplicación que relaciona cada elemento con su clase de

equivalencia.a → p(a)=[a] p de proyección.Es Sobreyectiva. Si ∃ A y A/∼ ⇔ ∃ p(a), a ∈ A

3) Im f = { f(a) ⁄a∈A }⊂B Im i → B i de inclusión.Es inyectiva b → b

4) f2 :A/∼ → Im f biyectiva. [a] → f2 ([a])=f(a)

Relación de orden ‘≤’ en un conjunto dado:

Es una relación binaria que cumple propiedades reflexiva, antisimetrica y transitiva.

Se dice que (A,≤) es un conjunto parcialmente ordenado ‘poset’ si verifica una relación de orden.

Un poset es además un orden total si ∀ x, y ∈ A se cumple xRy ó yRx.

En caso contrario sera un orden parcial .

Diagramas de HasseEs la representación de una relación de orden, mediante aristas no dirigidas entre 2 elementos x, ysi y solo si y cubre a x. Se dice que y cubre a x cuando se cumplen los dos siguientesenunciados:

- x ≤ y- x≤z≤y ⇒ y=z o x=z (no hay ningún elemento entre los dos)

Las aristas se leen de abajo arriba por convención (al ∃ una dirección de lectura no hacen faltaaristas dirigidas).

Si R es una relación de orden en A, se elabora un diagrama de Hasse para R en A trazandosegmentos de recta no dirigida de x a y, si x,y∈A, con xRy, pero solo si no hay otroelemento z∈A tal que xRz, zRy.

Ver ejemplos Grimaldi 5.34, 5.36.

En el grafo de una relación de orden son superfluos los lazos y aristas multiples (sesobreentiende su existencia por las propiedades reflexiva y transitiva)

IsomorfosSean (P,≤) y (Q,≤) (Q c. imagen de P) conjuntos parcialmente ordenados. Se dice que son‘Isómorfos’ si

∃ f:P → Q biyectiva que mantiene el orden para a,b∈P: a≤b ⇔ f(a) ≤ f(b)

Sea (A,≤) un conjunto ordenado y C⊆A ⁄ C≠∅:

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- k∈A es “Cota superior” de C si x≤k, ∀x∈C,”Supremo” será la menor de las cotassuperiores.

- k∈A es “Cota inferior” de C si k≤x ∀x∈C, “Ínfimo” será la mayor de las cotasinferiores.

- Un elemento k de A∀ x ∈ C, x≤k ⇒ k es máximo∀ x ∈ C, k≤x ⇒ k es mínimo- x∈C es maximal/minimal de C si ningún elemento de C es >/< que x.

Todo conjunto poset finito tiene al menos 1 maximal y 1 minimal.

Ejemplo: Sea U={1,2,3}, A=P(U)(A,⊆) tiene mínimo = minimal = ∅, máximo = maximal = U

Sea (A,R) poset.

- máximal = x ∈ A / ∀ a ∈ A, a ≠x ⇒ x no relacionado con a- minimal = x ∈ A / ∀ a ∈ A, a ≠x ⇒ a no relacionado con x- máximo = x ∈ A / ∀ a ∈ A ⇒ a R x

mínimo = x ∈ A / ∀ a ∈ A ⇒ x R a Todo poset finito tiene maximal y minimal. Los máximos ylos mínimos, si existen, son únicos.

Sea (A,R) poset con B⊆A- cota inferior = x∈A / ∀ b∈B ⇒ x Rb- cota superior = x∈A / ∀ b∈B ⇒ b Rx- supremo o mínima cota superior = x’∈A / x’ es cota superior y x’ R x” con x=cq. otra

cota superior- ínfimo o máxima cota superior = x’∈A / x’ es cota inferior y x” R x’ con x”=cq. otra

cota inferiorEn todo B⊆A con A=poset finito, el supremo e infimo, si existen, son únicos.

*UDIRV

Def. grafo: Un grafo G es el par (V,A) que representa una relación entre un conjunto de Verticesy otro de Aristas.

Representaremos cada elemento arista como un par de elementos de V.Gráficamente representaremos los vértices por puntos y las aristas por líneas que los unen.Un vértice puede tener 0 o más aristas, pero toda arista debe unir exactamente 2 vértices.Orden de un grafo: es su nº de vértices = |V|. Si |V| es finito se dice que el grafo es finito. En estecurso estudiaremos los grafos finitos.

$ULVWDV

Si la arista carece de dirección se denota indistintamente {a,b} o {b,a}, siendo a y b los vérticesque une.

Lazo: arista que une un vértice con si mismoArista incidente: Se dice que e es “incidente” en v si v esta en uno de los vertces de la arista

Arista múltiple: Aquella que une los mismos vértices que alguna otra.

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9pUWLFHV

Vértices adyacentes: Se dice que ‘v,w son adyacentes’ si ∃ e={v,w}∈E (o sea, existe unaarista entre los 2 )

Un vertice es adyacente a si mismo si tiene lazo.Grado de un vértice ‘∂’: Es el nº de aristas que inciden en él. Por ejemplo, un lazo aumenta elgrado en 2.

Depende solo de la estructura matemática, (los isomorfos tienen elmismo).Vértice de aristas múltiples: Es aquel que tiene más de un arista.Se dice que un vértice es ‘par’ o ‘impar’ según lo sea su grado.Camino (o trayectoria)Para x,y∈V, se dice que hay un camino en G de x a y si existe una sucesión finita no vacía dearistas distintas que

contengan a vx y vy en su primer y último termino. Así: {vx,v1},{v2,v3},...,{vn,vy}

- El nº de aristas de un camino se llama longitud del camino.- Si los vértices no se repiten es un camino propio o simple.- Si hay un camino no simple entre 2 vertices, tambien habra un camino simple entre

ellos.- Cuando vertice de llegada=vertice de salida, el camino se llama circuito, ciclo, o

camino cerrado.- Un circuito es propio o simple si solo se repiten el primer y último vértice. En estos

apuntes los circuitos seran simples si no se indica lo contrario- Vértices accesibles: son aquellos entre los que existe un camino. Todo vértice es

accesible respecto a si mismo. La accesibilidad entre vértices es una relación deequivalencia cuyas clases son las componentes conexas de G.

Si el grado de cualquier vértice de un grafo ≥ 2 ⇒ el grafo tiene un circuito.

*UDIRV

Grafo simple: Aquel que no tiene lazos ni aristas múltiplesPropiedades de un grafo G(V,E):

• Como cada arista incide en 2 vertices o 2 veces en el mismo vertice si es un lazo,tenemos que: Suma de los grados de todos los vertices es = doble de las aristas:

v V∈∑ ∂v=2|E|

Demostración: Al realizar la suma de los grados de todos los vertices, ya que cadaarista tiene 2 extremos se cuenta exactamente 2 veces.

• En un grafo finito existe un nº par (o cero) de vértices de grado impar.En general V dividido en: V1={v´∈V ⁄ ∂´v=impar}, V2={v´´∈V⁄ ∂v´´=par }, V1∪V2=V;V1∩V2=∅

Demostración: Sabemos que E2vp

1ii =σ∑

= para V={v1, ..., vp}. Sean v1, ..., vt los

vertices de grado impar y vt+1, ..., vp los de grado par E2vvp

1tii

t

1ii =σ+σ ∑∑

+==

par+impar=impar, asi que debe ser nº de vertices impares=0Sabemos que σvi es impar para i=t+1, ..., p, por lo que podemos expresarlo como

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2ni+1 para algun ni

...? mirar en Grimaldi

Grafo regular: Aquel con el mismo grado en todos los vértices. Si ese grado es k se, llamara k-regular.

Grafo bipartito: Es aquel con cuyos vértices pueden formarse dos conjuntos disjuntos de modoque no haya

adyacencias entre vértices pertenecientes al mismo conjuntoGrafo completo o conexo: Aquel con una arista entre cada par de vértices, (todos estan

conectados con todos).Dos grafos completos con mismo |v| son isomorfos. Un grafo completo con n vértices se denotaKn.

Todo grafo completo es regular pq. cada vértice tiene grado |v|-1 al estar conectado con todos losotros vértices.

Un grafo regular no tiene porque ser completo.Un grafo bipartito regular se denota Km,n donde m, n es el grado de cada conjunto disjunto

de vértices.

Complementario de un grafo G:

Es el grafo G´que tiene conectados los vertices no conectados de G y desconectados losconectados.

Si dos grafos son complementarios, sus isomorfos también. Un grafo+su complementario = grafocompleto.

Grafo plano: Aquel que admite una representación bidimensional sin que se crucen sus aristas.

En este ejemplo, vemos un grafo plano con su representación plana:

Grafo pesado o grafo etiquetado - Aquel grafo cuyas aristas tienen todas un nº real positivo quesera su peso o longitud. El peso del grafo sera el sumatorio de los pesos de las aristas.

Si todas las etiquetas valen 1, la definición de longitud del camino de un grafo pesado coincidecon la definición de longitud del camino a un grafo.

*UDIRFRQH[R

Grafo conexo: Aquel en el ∃ un cámino entre cualquier par de vertices.

Componente conexa de G:

Def.: Un subgrafo conexo de G que no es subgrafo propio? de ninguna componente conexa de G.

Otra def.: Subgrafo de G de forma que ningún otro vértice∈G esta conectado con vértice algunode G´

Otra def.: Son las clases de equivalencia de estar conectado.

Subgrafo de G=(V,E) es G (́V ,́E )́ ⁄ V´⊂V y E ⊂́E (el grafo que se obtiene borrando algunaarista o vértice de G)

Multigrafo: Grafo que tiene alguna arista múltiple. Un multigrafo se transforma en grafoañadiendo un vertice en mitad de cada arista multiple.

Pseudografo: Grafo con algún lazo.

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Digrafo: Grafo con todas sus aristas dirigidas. Por tanto, los pares de vértices que definen lasaristas, son pares ordenados.

Cuidadín !: Multigrafo, pseudografo, subgrafo, digrafo y cualquiera de sus combinaciones(pseudomultidigrafo, etc), NO se consideran grafos.

Isomorfismo de grafos:

- Dados G=(V,E) y G´=(V´,E´), se denomina ‘ isomorfismo de G a G´ ‘ a la aplicaciónbiyectiva f tal que para a,b∈V, {a,b}∈E ⇔ se cumple {f(a),f(b)}∈E´. Es decir, laaplicación que relaciona biyectivamente pares de vertices de E con pares devertices de E´, de modo que los vértices conectados siguen estandolo.Se cumple que σa=σf(a)-: Isomorfismo es la biyección que mantiene la adyacencia de vertices

• G y G´ se denominan isomorfos, y son matemáticamente iguales, solo varia laapariencia, o sea, que se

mantienen las adyacencias, estructura, caminos, ciclos, nº de vértices, nº de aristas, etc.

• Si dos grafos son isomorfos, sus complementarios también.• Se llama automorfismo al isomorfismo de un grafo en si mismo. Un conjunto de

automorfismos, sera por tanto, un conjunto de grafos isomorfos.

Dos grafos son isomorfos ⇔ tienen mismo número de vertices y el número de vertices con ungrado dado es el mismo en los dos grafos.

A continuación estudiaremos la representación de grafos mediante matrices, lo que nos permitiraemplear técnicas de algebra lineal en el estudio de grafos.

¿Cuál es la diferencia entre automorfismo e isomorfismo? ¿No son automorfismos todos losisomorfismos?

0DWUL] GHDG\DFHQFLD�

Muestra adyacencias de vertices.

Se define como A=(aij)n×n (n=|V|) donde aij=1 si {vi,vj}∈E ; en caso contrario aij=0.

La matriz de adyacencia siempre es simétrica (y por tanto, no se modifica haciendo latraspuesta), porque aij = aji .

Para cualquier k≤n se cumple que akii 1..n=∑ = ∂vk (grado de un vértice=sumatorio de la columna o

fila de ese vértice).

Para un grafo G de n vértices con n>1, con A=matriz de adyacencia se cumple:(Uned 151)

“El valor del coeficiente aijk de la matriz Ak , es el nº de caminos de longitud k con extremos

vi y vj”(Ak=A·A·...k veces...·A)

Dado M= A i

i 1..n=∑ , se cumple que:

M=Suma de matrices de adyacencia.

Teorema:Sea G=(V,E), A=matriz adyacencia de G.

- el grafo sera conexo, si y solo si, todos los elementos de M son distintos- la diagonal de la matriz nos indica el grado de los vértices

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Si ∃ un camino de longitud m (m≥n) entre 2 vértices cualquiera, entonces ∃ un caminode longitud ≤n-1

entre esos dos vértices.

Ejemplo:

Para comprobar si dos grafos son isomorfos, comprobamos si sus matrices quedan igualesal permutar su orden.

Ejemplo:

? Sea un grafo con matriz de adyacencia A =

×

0 3 0

3 2 1

0 1 03 3

, habra que llegar a An-1=A2

A A+ =

+

=

20 3 0

3 2 1

0 1 0

9 6 3

6 14 2

3 2 1

9 9 3

9 16 3

3 3 1

, como ∀ bij ≠ ∅ el grafo es conexo

0DWUL] GH LQFLGHQFLD�

Muestra adyacencias de aristas en vertices.Es la matriz M de |V| filas y |E| columnas, donde mij=1 si vi es vértice de la arista ej, en caso

contrario es 0.Solo puede definirse para grados simples.

Para comprobar si un grafo es conexo:

• Se halla la matriz adyacencia de orden n×n y se eleva a la n-1 potencia• Si todos sus elementos son ≠ 0, el grafo es conexo.

Arista de separación o puente: Aquella que al ser suprimida deja desconectados sus dos vértices.

Si e=(u,v), e∈G es un puente y G tiene k componentes conexas, G-{e} tendría k+1 componentesconexas

Punto de corte: es un vértice de un grafo conexo G que una vez suprimido convierte a G endisconexo.

*UDIRHXOHULDQR

Camino euleriano es el camino que contiene a todas las aristas, apareciendo cada unaexactamente una vez.Circuito euleriano es un camino euleriano que comienza y acaba en el mismo vertice.

El grafo que admite algun circuito euleriano se llama grafo euleriano.

v1 v2 v3 v4 v5v1 0 1 1 0 0v2 1 0 1 1 0v3 1 1 0 1 1v4 0 1 1 0 0v5 0 0 1 0 0

v1 v2

v3 v4 v5

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Grafos eulerianosGrafo eulerianos: grafo con un circuito que contiene todas las aristas sin que se repitan. Elgrafo será semieuleriano si la trayectoria no es cerrada. Las trayectorias correspondientesse llaman eulerianas y semiulerianas.

Ejemplo:

Lema: Si el grado de cualquier vértice de un grafo ≥2 ⇒ el grafo tiene un circuito.Demostración:Pueden darse 2 casos:

a) G conexo. Si G no tuviera circuitos ⇒ G sería un árbol ⇒ |V|=|E|+1Pero ∑∂(v∈V)≥2|V| ⇒ |V|≠|E|+1 ⇒ no es un árbol ⇒ tiene algun circuito.

b) G no conexo. Aplicamos a) a sus componentes conexas.Teorema: Un grafo conexo G=(U,E) es euleriano ⇔ todo vértice tiene grado par.

Demostración:“⇐“ (por inducción en |E|=m)

a) Base de inducción |E|=1. Al ser |E|=1 el grafo es eulerianob) Suponemos que el teorema es cierto para grados en las mismas

condiciones y con menos de m aristas. Tenemos grafo G con todos losvértices de grado par≠0, es decir ≥2. Dado que G es conexo ⇒ ∀v ∈ V,∂v>1 (porque existe un circuito euleriano). En cualquier caso ∂v≥2 ⇒ ∃ xcircuitos en G. Suponiendo

b1) En x están todas las aristas de G una vez → circuito euleriano →G euleriano

b2) En x no están todas las aristas → ??

Los grafos bipartitos completos son eulerianos si son pares los bipartitos m,n.

CorolarioUn grafo conexo es semieuleriano ⇔ tiene exactamente dos vértices de grado impar.

La trayectoria empezara en uno y terminara en otro. La demostración es similar a la delteorema de Euler.

LemaSi un grafo es euleriano, todos los vértices tienen grado par o solo 2 tienen grado impar.

Demostración: Si seguimos el circuito euleriano, vemos que contribuye en 2 al grado decada vertice. Si un vértice cualquiera es el primero contribuye en 1 al principio y 1 al final.Si no lo es contribuye en 2.

7HRUHPDGH(XOHU

Si un grafo admite un camino euleriano, o todos sus vértices son pares (camino cerrado) o 2 deellos son impares (camino abierto)

Demos: Si el camino es cerrado estamos en el caso anterior. Si es abierto, ejemplo: sea G = uv , podemos hacer

G’=G+{w} u w

v para ∀ x≠u, x≠v, gradoG(x) = gradoG’(x) = par (pq. caminocerrado ⇒ grado par)

y para u,v gradoG(u)= gradoG’(u)-1, hacemos idem para v y

vemos que la suma es par.

Ver Uned 92, problema 8

En un grafo conexo |V|≤|E|+1

1 2 El primero no es euleriano ni semieuleriano,

8 5 3 El segundo es euleriano6 4

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Ver Uned 89 acerca de como recorrer sin levantar el boli.

$OJRULWPRGH)OHXU\

Si G es un grafo euleriano siempre es posible seguir la siguiente construcción de un circuitoeuleriano.Se empieza por un vértice arbitrario y se recorren las aristas arbitrariamente sometida a2 condiciones:

1) Se borran las aristas a medida que son atravesadas2) Solo se recorre una arista puente si no queda otra alternativa

Si el grafo es semieuleriano hay que empezar en un vértice de grado impar.

Si quedas atrapado es que no es euleriano.

+DPLOWRQ

Camino Hamiltoniano: Es aquel que recorre todos los vértices sin pasar 2 veces por lamisma arista. Solo puede existir en grafos simples donde no existan vértices impares.

Grafo Hamiltoniano - Aquel que admite un camino hamiltoniano.

Es Semihamiltoniano si tiene una trayectoria abierta y pasa una sola vez por cada uno de losvértices

Todos los hamiltonianos son eulerianos y todos los semihamiltonianos son semieulerianos.

Teorema:

Si un grafo es conexo con |V|≥3, 2 vertices no adyacentes, y ∑∂v>n el grafo eshamiltoniano.

No es imprescindible que se cumpla para ser hamiltoniano.

En un grafo, la relación en el conjunto de vertices dada por “estar conectado con” es una relaciónde equivalencia (Uned 145). Las clases de equivalencia se llaman componentes conexas de G.

Cada vértice tiene un grado superior a la mitad+1 del número de vértices. ??

$UEROHV

Árbol : Es un grafo conexo y sin circuitos ni lazos.

Ejemplos:

n1: o n6: 6 arboles n2: o–o = n7: 11

n8: 23 n3: o–o–o = n9: 47

n10: 106 n4: o–o–o–o = etc,...

n5: o–o–o–o–o =

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Un grafo es un árbol ⇔ entre cada par de vertices existe un y solo un camino simple.

Bosque: Grafo cuyas componentes conexas no tienen circuitos.

Teorema:

Sea G(V,E) a) G es un árbolb) Cada par de vértices distintos de V esta conectado por un único camino.c) G es conexo y toda arista de G es de separación

*Arista de separación es aquella tal que si el grafo es conexo, al suprimirla se divide en 2 conexos

d) G no tiene circuitos y |V|=|E|+1e) G es conexo y |V|=|E|+1f) G no tiene circuitos pero al añadirle una arista a G se crea un único circuito

Estas son condiciones equivalentes: a⇒b⇒c⇒d⇒e⇒f⇒a

Demostración

a⇒b Porque por definición es conexo y sin circuitos propiosb⇒c Es conexo por b. Si hubiese más de un camino entre 2 vértices existiría un

circuito. Por definición deárbol esto no puede ocurrir.

c⇒d porque en circuito no existe separación|V|=|E|+1Inducción en |V|: Base de inducción |V|=1 como mínimo 1 vértice v⇒|E|=0

|V|=|E|+1Paso inductivo: Suponemos que el teorema es cierto para grados con menos

de n vértices (n=|V|), G-{e}=G´G1=(V1, E1) |V1|<nG2=(V2, E2) |V2|<nPor la hipotesis de inducción |V1|=|E1|+1, |V2|=|E2|+1|V| = |V1|+|V2| = (|E1|+|E2|+1)+1 = |E|+1

d⇒e ¿ G es conexo ?Sean G1,G2,...,Gm componente conexa de G, ¿m=1?G1 conexo sin aristas G1 árbol * |V1|=|E1|+1 *lo demostramos antes????????????????????Gm......................................... |Vm|=|Em|+1

+ ---------------------|V|=|E|+m } m=1

la hipótesis |V|=|E|+1 }

e⇒f Suponemos que ∃ un circuito (con k aristas y k vertices) vamos allegar a una contradicción

Pueden suceder 2 casos 1)k=n , |E|≥k=n, n=|V| pero por la hipótesis|V|=|E|+1 (|V|>|E|) ????

2)los n-k vértices restantes necesitan al menos otras n-k aristas que lesunan con los demás y quede G conexo |E|≥ k+(n-k)=n=|V| peropor hipótesis |V|=|E|+1 ?????

f⇒g ¿G es conexo? Si tenemos 2 componentes conexas distintas y añadimos arista nose forma circuito y se produce una contradicción

Vemos que si no es conexo podría tener 2 supuestas componentes conexasPero si le añadimos una arista no se crea un circuito, por lo tanto G tendrá que ser conexo

Árbol Generado - Subgrafo conexo de G que tiene los mismos vértices que G y no tiene circuitos

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Otra def: Un árbol generado de G es un árbol T=(V´,E´) subgrafo de G y tal que V´=V

Un árbol generado se puede crear de 2 modos:

1) Suprimir aristas que no sean de separación2) Partiendo de los vértices coger aquellas aristas de forma que no creamos ningún circuito

Para calcular el árbol de peso mínimo existen 2 algoritmos:

- Kruskal: Se van cogiendo las aristas de menor peso hasta conseguir un árbol depeso mínimo

- Prim: Consiste en ir borrando las aristas de mayor peso posible y que no seanaristas de separación.

Puede haber más de un árbol generado de peso mínimo, pero todos deben tener el mismo peso.

Arbol arraigado o enraizado: Es un árbol con un vértice distinguido llamado raíz.Si le quitan la raíz quedan árboles arraigados con raíz T1,T2,...

En este tipo de árbol los vértices se llaman nodos. Se llama hijo de un nodo, al vérticeadyacente que esta más alejado de la raíz que el nodo del que es hijo. Los nodos sin hijosse llaman hojas.

Un árbol es n-ario cuando todos los nodos excepto los terminales tienen a lo sumo n hijos.Ej(n=2binario)

Árbol arraigado ordenado: árbol arraigado cuyos subárboles también son árboles arrigadosordenados.

Nivel de un vértice: El número de aristas que le separan de la raíz. La raíz tienen nivel 0.

Altura de un árbol: Máximo nivel de sus vértices.

En el grafo anterior c) ∂v=3 Aquí se demuestra que no es necesaria ∂w=3 esta condición para ser

hamiltoniano.Puede serlo sin -------- cumplirse la condición

6 ≥n=20

Problema del vendedor ambulanteHay que pasar por cada ciudad a vender sin pasar 2 veces por la misma y con

el menor coste posible(no tiene solución)

Problema ¿Dado un grafo pesado es posible encontrar algún grafo Hamiltoniano de menor peso?

Conseguir la cota inferior del peso de cualquier grafo hamiltonianoa) G-{B}→ árbol exp. mínimo peso: 4+5+8=17 } 17+5=22 cota

inferior delb) Dos aristas de menor peso incidentes en B, peso 2+3=5: } peso de cualquier G. H.

A partir del dato conseguido anteriormente

B→22 W(CH) ≥ 1Si quitamos el vértice A→21 W(CH) ≥ 21 Con estos datos podemos decir que se

debe encontrarC→25 W(CH) ≥ 25 el grafo con peso ≥ 25D→23 W(CH) ≥ 23E→24 W(CH) ≥ 24

En este grafo la solución es que el peso es ≥26 ??

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La demostración en este caso en concreto A ?c) AEDC árbol exp de G-{B} 2 6 ?d) AB,B,C B E ?

7 5 ?W( a) ) ≤ W( c) ) C 9 D ?W( b) ) ≥ W( d) ) 22 ≤ W (circuito H)

DEMOSTRACIÓN

Si se considera cualquier circuito del grafo hamiltoniano pesado y eliminamos un vértice v (cualsea), obtenemos una trayectoria semihamiltoniana.Esta trayectoria es un árbol expandido de G-{V}.Por tanto cq. solución al problema del vendedor ambulante.Debe consistir en un árbolexpandido de ese tipo junto con 2 aristas incidentes en el vértice v.

Así, si tomamos el peso de un árbol expandido de peso mínimo de G-{V} y sumamos los 2 pesosmínimos de aristas incidentes en V encontraremos una cota inferior de peso de cq. circuitohamiltoniano.

• END-RAW *

Circuito hamiltoniano mínimoSea G grafo completo, para conseguir un circuito hamiltoniano mínimo (los grafos completos sonhamiltoniano) usamos el siguiente algoritmo:

- Partiendo de un vértice cualquiera elegimos la arista a aquel vértice no visitado quetenga menor peso.

- Repetimos hasta hacer cirucito al tiempo que vamos anotando los pesos.

abdeca un camino minimo,( no unico ni el mejor )

7HRUHPD

Sea M un mapa conexo con |V|>2, entonces |E|≤3|V|–6Demostración:

Sea M un mapa conexo con |V|>2, |R|≥3. Sabemos que 2|E|=∑σr, y como el grado de cada regiónes al menos tres, 2|E|=∑σr≥3|R| → |R|≤|E|2/3

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Sabemos que 2EVR =−+

≤

=−+

E3

2R

2EVR*, **→ 2E

3

1V ≥− → 6EV3 ≥− → E6V3 ≥−

*En caso de que E3

2R = → 2E

3

1V =− .

**En caso de que E3

2R < → 2E

3

1 de másV =

− → 2E

3

1V >−

TeoremaSea G=(V,E) un grafo conexo plano en el que no existe un subgrafo isomorfo a K3, entonces

4V2E −≤

Demostración

Si G es 2V > y no tiene subgrafo isomorfo a K3, es que las regiones del mapa M de G tienen

grado al menos 4. Sabemos que ∑σ= rE2 , y como el grado de cada región es al menos 4,

∑ ≥σ= R4rE2 → R4E2 ≥

≥=−+

R4E2

2EVR*→ E

2

1V2 −≤

*

=−→=

>−→=

−→>

2E2

1V R2E Si

2E2

1V 2E

2

1de másV R2E Si

→ 2E2

1V ≥−

Consecuencia:

Def: Grafo bipartito completo Kn,m |V1|=n, |V2|=m cq. vertice de V es adyacente a cq.vértice de

v2 y no ∃ conexión entre los vértices de una misma parte y viceversa

DIBUJOK3,3 conexo,simple, no tiene subgrafo isomorfo a K3Si plano → |E| ≤ 2|V|-4|E|=n·m |E|=3·3 |V|=3 9 no ≤ 2·6-4 el grafo no es plano

Un grafo se dice que es plano si admite una representación gráfica en el plano de modo que cadaarista corta unicamente a otra arista en un vertice que sea extremo de ambas. Una representacióngráfica de este tipo se llama mapa.

Decimos que un mapa es conexo si representa a un grafo conexo.

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Un mapa divide al plano en varias partes llamadas regiones. Cada región de un mapa M estádelimitada por un circuito (si el mapa es conexo) o por varios circuitos (que no sonnecesariamente ¿propios?). También se cuenta como región la exterior a la figura. Cada región enun mapa esta bordeada por un camino que no siempre es un circuito.

Ejemplo:

Grado de una región: longitud del camino que la bordeaDos regiones de un mapa se consideran adyacentes si el circuito que las bordea tiene algunaarista en común.

TeoremaLa suma de los grados de las regiones de un mapa es igual al doble del número de aristas delgrafo al que representa. Es decir: ∑∂r = 2|E|

DemostraciónToda arista es frontera simple de 2 regiones o doble de la misma región, con lo que cada una

se cuenta doble.

Ejemplo de frontera doble: (en negrilla)

7HRUHPD

La representación plana de un poliedro regular cumple la formulanº caras + nº vertices – nºaristas=2donde cada cara corresponde a una región, con lo que tenemos 2EVR =−+ (fórmula de

Euler)*nota: la fórmula de Euler solo es válida para mapas conexos.

Demostración:

Sea G un grafo conexo. Por inducción en |E|:

a) base |E|=0. =

conexo Mapa

0E ⇒ |V|=1, |R|=1. Esto verifica la fórmula de Euler.

b) paso |E|= m ≥ 1Se dan dos casos

1) el grafo tiene algun circuitoConsideremos el subgrafo G’ resultante de suprimir una aristaperteneciente a un circuito. Tenemos que el mapa M’ de G’ seguira siendoconexo (pq. la arista pertenecía a un circuito). El nº de regiones disminuyeen una unidad porque las aristas pertenecientes a un circuito siempre sonfronteras de dos regiones.Para M’ tenemos que ( ) ( ) 21EV1R =−−+− ⇒ 2EVR =−+

2) el grafo no tiene algun circuito (es un árbol)Sea v el vertice extremo de una sola arista vw (si no existiera tal verticepodríamos construir un circuito). Sea G’ el grafo resultante de suprimir v yvw en G. Puesto que |R| no disminuye tenemos que:( ) ( ) 21ER1V =−−+− ⇒ 2EVR =−+

Ejemplo:

Grafo plano Mapa delgrafo plano

4 1 2 3

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Una subdivisión elemental de un grafo G, es el grafo G’ obtenido colocando un vértice en mediode una arista G.

Una subdivisión de un grafo G es el grafo obtenido efectuando un número finito de subdivisioneselementales sucesivas.

7HRUHPD.XUDNRZVNL

Un grafo G es plano ⇔ no contiene algun subgrafo isomorfo a una subdivisión de K5 o K3,3.

Demostración: Demasiado complicada para este nivel.

Coloración de un subgrafoG=(V,E) , C={1,2..k} (conjunto de colores)

Una coloración es una aplicación f:v en c ⁄ si v,w ∈ V son adyacentes f(v) ≠ f cw

El pseudomultigrafo dual de un mapa M, es aquel que se construye asociando un vértice a cadaregión de M y una arista a cada par de vértices que correspondan a regiones adyacentes.

Aunque al construirlo quede con forma plana, un pseudomultigrafo dual puede representarse deforma no plana.

Ejemplo de construcción:

Coloreado de un grafoSea G=(V,E) un grafo plano y C={1,2,..k} un conjunto de k colores. Una coloración con kcolores del grafo G es una aplicación de V a C de modo que si los vértices u, v, sonadyacentes entonces f(u)≠f(v).

Teorema de los 4 coloresCualquier mapa plano puede colorearse con 4 colores o menos sin que haya dos regionesadyacentes del mismo color. La demostración se basa en calculos con ordenador y esdemasiado complicada para este nivel.

CorolarioTodo grafo plano admite una coloración con 4 colores.

Demostración: Sea G un grafo y M su mapa. Según el teorema de los 4 colores, lacoloración del pseudomultigrafo dual G’ de G dará una coloración del grafo G, pues G’=G.

Definición

Un grafo G se dice que es bipartito si se puede colorear con 2 colores

7HRUHPD

Un grafo es bipartito ⇔ no tiene circuitos de longitud impar.

• • • •• •

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Demostración⇒ Si G es bipartito, los vertices de cada circuito deben ir alternando de un color a otro. Para queel color del primer y último vertice no coinciden, el nº de aristas debe ser par.

⇐ (∀ circuito tiene longitud par). Hacemos inducción sobre |E| ...

Camino más corto entre 2 vértices: Algoritmo de DijkstraUned 163

Aunque la explicación del libro es un coñazo es intuiitivo: Se recorren todos los caminos desdeel vértice de partida, anotando la longitud de cada uno.

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77HRUtD HOHPHQWDO GHQ~PHHRUtD HOHPHQWDO GHQ~PHUURVRV

Divisibilidad en Z. Algoritmo de Euclides, básico y extendido. Nºs primos. Teoremafundamental de la aritmética. Principio de inducción. Ec. Diofánticas. Congruencias:teorema chino de los restos, criterios de divisibilidad, sistemas de numeración.

'LYLVLELOLGDGHQ=

Principio del buen orden : ‘Todo subconjunto no vacío de Z+ tiene un primer elemento’

Lo usaremos cuando veamos la inducción finita. Notese que el principio del buen ordenesta definido para Z, y no se cumple por ejemplo en Q+ o R+.

Propiedades de la suma y el producto en Z� Son operaciones internas en Z� Son asociativas y conmutativas� Ambas tienen neutro, el de la suma es 0 y el de la multiplicación es 1.� El producto es distributivo respecto a la suma: a·(b+c)=(a·b)+(a·c)� Si a·b=0 ⇒ a=0 o b=0� Todo elemento tiene opuesto. (un nº operado con su opuesto es 0)De estas propiedades se sigue que (Z,+·) es un dominio con 1, y que (Z,+) es un grupoconmutativo o abeliano.

Siendo a,b ∈ Z, diremos que b es mayor que a, si existe un natural n tal que b=a+n. Lodenotaremos b>a.

Siendo a,b ∈ Z, diremos que b divide a a, si existe un entero q tal que a=q·b. Lo denotaremosb|a.

Propiedades de Z respecto a la división y el producto (chorradas)

1. a·0=02. a(–b)=–ab3. Si a≠0 , ab=ac ⇒ b=c4. Si a≠0 y a|b ⇒ a|bk, ∀ k∈Z5. Si a≠0, b≠0 a|b y b|c ⇒ a|c6. Sea a≠0 si a|b, a|c ⇒ a|(xb+yc) para cq. par de enteros x e y7. a,b>0, a|b ⇒ a≤b8. a≠0,b≠0, a|b, b|a ⇒ a=b ó a=–b9. Si a≤b, m>0 ⇒ am≤bm

Si a≤b, m>0 ⇒ am≥bm

Demostración usando las propiedades de la suma y el producto:

1. a·0=a·(0+0) → a·0+a·0= 0·aSumando su opuesto –a·0 y queda 0+a·0=0 Como 0=neutro de la suma nos queda a·0=0

7HPD

�

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2. Por definición de opuesto observamos que –ab es opuesto de ab. Si a(–b)=–ab, como elopuesto es único, se cumplira ab+a(–b)=0. Esto es asi porque ab+a(–b)=a(b–b)=a·0=0

3. Hay que demostrar a≠0 , ab=ac ⇒ b=c.ab+(–ac)=ac+(–ac) → ab–ac=0 → a(b–c)=0Se presentan dos casos: a=0 (imposible por enunciado), y b–c=0 ⇒ b=c.

4. a|b ⇒ b=aq → bk=aqk. Sea q’=qk, entonces bk=aq’ y por tanto a|bk.5. Se cumple porque c=bk, y a|b ⇒ a|bk6. a|b, a|c ⇒ b=aq1, c=aq2.

bx+cy=aq1x+aq2y=a(q1x+q2y)=aq ⇒ a|bx+cy7. a|b ⇒ b=aq.

Como a,b son positivos, q es positivo. Por tanto, podemos escribir

sa)a...a(aa...ab veces1qveces q

+=+++=++=−

Como q es positivo y entero, q–1≥0, por tanto s≥0. De b=a+s se deduce que a≥b.

8.

=⇒=⇒

2

1

bqaa|b

aqbb|a a=(aq1)q2 ⇒ q1·q2=1 ⇒ q1=q2=1 ó q1=q2=–1, por lo que a=b ó a=–b

g) b=qa =a+...+a=a+(a+...+a) (q>0) q–1≥0k) a≤b b·a≥0

Ejemplo: a=b+c, m|a, m|b ⇒ m|c? Sí, porque c es una combinación lineal de a y b.

Valor absoluto

Es una aplicación f:Z→Z que a cada m ∈Z, le asocia |m|

Propiedades del valor absoluto en Z (chorradas)

1. |a| ≥ 02. |a|=0 ⇔ a=03. |a·b| = |a|·|b|4. |a+b| ≤ |a|+|b|5. k>0 y |a| ≤ k ⇔ –k ≤ a ≤kDemostración |a+b| ≤ |a|+|b|:Se presentan tres casos:

a, b ≥ 0 → a+b ≥0 → |a+b|=a+b=|a|+|b|a, b < 0 → a+b <0 → |a+b| = –(a+b) = (–a)+(–b) = |a|+|b|

a≥0, b<0. Se presentan 2 casos:3.1. a≥–b → a+b ≥0 → |a+b| = a+b = |a|–|b| ≤ |a|+|b|3.2. a<–b → a+b <0 → |a+b| = –a+b = –|a|–|b| ≤ |a|+|b|

Ejercicio: Probar que si a,b∈Z y b≥0, entonces |a|≤b ⇔ a≤b y –a≤b‘⇒’ hay 2 casos:

1. a≥0 ⇒ |a| = –a ≤ |a| ≤b2. a<0 ⇒ –a ≤ |a|≤b

‘⇐’ a≤b y –a≤b ⇒ |a|≤b

Teorema de la división- Viene a decir que si divides 2 números, no te va a salir de cada vez un cociente y restodiferentes

Para a∈Z, b∈N. Existen unos únicos q,r∈Z ⁄ a=q·b+r, 0≤r<b

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A los números a, b, q y r se les llama dividendo, divisor, cociente y resto.

DemostraciónDemostramos que existen unos q,r∈Z ⁄ a=q·b+r, 0≤r<b:

Siendo bq el mayor múltiplo de b que es menor o igual que a, se cumple que b·q ≤ a < b·(q+1)

Restando bq en la desigualdad anterior tenemos que

0 ≤ a–bq < b(q+1)–bq ⇒ 0 ≤ r < b(con r=a–bq)

Demostramos la unicidad de q y r.Si existiesen r1, q1, y r2, q2 ⁄ a= bq1+r1 = bq2+r2 , r1≠r2, entonces b(q2–q1)=r1–r2, y por tanto b|(r1–r2).

Pero:

- Se cumple que si b|x ⇒ |x|≥|b|. Por tanto: |r1–r2| ≥ |b|.- Como 0≤r1<b y 0≤r2<b, es obvio que |r1–r2|<b.

Esto nos lleva a una contradicción entre |r1–r2|<|b| y |r1–r2|≥|b|. Esta contradicción noexistiría si r1–r2=0, por lo que es un error suponer r1≠r2. Viendo que r1=r2 ⇒ q1=q2, se haceevidente que r y q son únicos.

Ejemplo: 3 dividido por 7: 3=0·7+3, 0≤3<7, 7 dividido por 3: 7=2·3+1, 0≤1<3Ejercicio:

1) Usando el algoritmo de la división probar que todo entero impar al cuadrado es igual a unomás un multiplo de 8.O sea, probar n=2k+1 ⇒ n2=8m+1Todo número entero n puede expresarse como (por ejemplo)

n=q4+r, 0≤r<4, r=0,1,2,3Si n impar ⇒ r=1,3 (4q+1)2 = 16q2+8q+1 = 8(2q2+q)+1

(4q+3)2 = 16q2+24q+1 = 8(2q2+3q+1)+1Que todo entero impar al cuadrado pueda expresarse de uno de esos modos garantiza lacondición pedida.

2) Probar que todo entero que sea a la vez un cuadrado y un cubo es de la forma 7k o 7k+1Cualquier número se puede escribir como n=q7+r, 0≤r<7, r=0,1,2,3,4,5,6Y cualquier cuadrado se puede escribir (7q+r)2 = 49q2+14qr+r2 = 7(7q2+2qr)+r2 donde 0≤r<7

Todo número al cuadrado puede expresarseasí:

02 = (7·0+0)2 r=0 7k12 = (7·0+1)2 r=1 7k+122 = (7·0+2)2 r=2 7k+232 = (7·0+3)2 ó 9 = 7·1 +1 r=142 = (7·0+4)2 ó 16 = 7·2 +2 r=252 = (7·0+5)2 ó 25 = 7·3 +4 r=4 7k+462 = (7·0+6)2 ó 36 = 7·5 +1 r=1

Con lo que todo cuadrado es de la forma: 7k, 7k+1, 7k+2 ó 7k+4

Para el cubo sería:

(7q+r)3 = 73q3+3·72·q2·r + 3·7·q·r2 + r3 = 7·(72q3 + 21q2·r + 3q·r2) + r3

Los resultados son: 0,1,8 = 1·7+1, 27=3·7+6, 64=9·7+1, 125=17·7+6, 216=30·7+6

Con lo que todo cubo es de la forma: 7k, 7k+1, ó 7k+6

Las formas comunes al cuadrado y al cubo son 7k y 7k+1.

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Operador MOD

“Sean a,b, b≠0, a|b. Si a=qb+r con 0 ≤r<|b|, definimos MOD como el operador que cumpleque a MOD b = r”

A r se le llama resto. Si b fuese igual 0 el resultado podría ser irracional.

Ejemplo: 3 mod 7=3, 7 mod 3=1, –15 mod 8=1, –23 mod –17=11

Propiedades:1. Todo a,b∈Z cumple que a MOD b = (a MOD b) MOD b.

Es evidente, porque el resto a MOD b es menor que el divisor b.2. Para a,b,c,d,m ∈ Z, m≠0,

a mod m=b mod m,c mod m=d mod m,

se cumple que (a+c) mod m = (b+d) mod m, y (a·c) mod m=b·d mod m.

Demostración:

′+=′+=

+=+=rmqd ,rmqc

rmqb ,rmqa

42

31 →

′+++=+′+++=+)rr()qq(mdb

)rr()qq(mca

43

21

Se dan dos casos:1. (r+r’)<|m|. Entonces, a+c MOD m = r+r’ = b+d MOD m2. (r+r’)≤|m|. Entonces, r+r’=mq5+r’’ 0≤r’’<m y se cumpliría

''r)qqq(mdb ''rmq)qq(mdb

''r)qqq(mca ''rmq)qq(mca

543543

521521

+++=+→+++=++++=+→+++=+

con lo que (a+c) MOD m = r’’ = (b+d) MOD m.

Para el producto el razonamiento es analogo.Maximo Común Divisor

Sean a,b∈Z, d∈Z+, se dice que d es divisor común de a,b si d|a y d|b.Ademas, el divisor común d será un máximo común divisor de a, b si es divisible por cualquierotro divisor de a, b.Se denota mcd(a,b).

En caso de que a=b=0 entonces mcd(0,0,...0)=0.Todo lo anterior también es válido sustituyendo a, b por una sucesión finita a1,a2,...an.Se exige que d∈Z+ porque si d=0, y a=0 o b=0, existiría una indeterminación dentro delenunciado, y no sería una definición ni sería nada.

Ejemplo: Los divisores comunes de 42 y 70 son 1,2,7,14. El mcd(42,70) es 14.

Teorema de Bedut

Para a,b, enteros distintos de 0 y d=mcd(a,b), d es el entero positivo más pequeño que puedeexpresarse de la forma ax+by, con x,y∈Z. (d es, por tanto, único)

Demostración:Sea M={m=ax+by / ax+by>0 con x,y∈Z}. -: Es decir, M es el conjunto de combinaciones lineales de

dos enteros a,b distintos de cero.

M no es vacío, porque por ejemplo: |a|=a(±1)+0b, y |a|∈M porque |a|>0.Por el principio de la buena ordenación M tiene un primer elemento que llamaremos d.Como d∈M, existen x1,y1∈Z tal que d=ax1+by1.Llegados a este punto tenemos que:

� d es divisor común de a y b:Si d no dividiese al número a , se cumpliría a=dq+r con 0<r<d (algoritmo de la división) ypor tanto r = a–dq = a–(ax1+by1)·q = a·(1–x1·q)+b(–y1·q), con lo que vemos que r∈M.Sin embargo no es posible que r∈M, r<d porque definimos d como el primer elemento deM.

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La contradicción se resolvería si r=0. Por tanto d|a , y analogamente podemos probar qued|b.

� d es además el máximo de los divisores comunes:Sea d’ tal que d’|a, d’|b. Esto implica d´|(ax+by), y como d=(ax+by) entonces d´|d, y portanto d≥d’.De aqui también se saca que el mcd es el entero más pequeño de esa forma, o habría otroque lo dividiría.

� d es único:Si existieran d1, d2 = mcd(a,b), por definición de mcd cumplirían d1|d2 y d2|d1.Para todo v,w ∈ Z, se tiene que v|w ⇒ |v|≤|w|, por lo que |d1|≤|d2| y |d2|≤|d1|, es decir |d2| =|d1|.Por definición de mcd, d2>0 y d1>0, así pues d2=d1.

$OJRULWPRGH(XFOLGHV� EiVLFR\H[WHQGLGR

Algoritmo de Euclides Sirve para calcular el mcd de dos números a y b.

Para enunciar este algoritmo nos serviremos de una proposición y un teorema previos.

Proposición

Considerando a/b con b≠0, por el algoritmo de la división tenemos que a=bq+r, y además secumple que:

1) Los divisores comunes de a y b también son divisores de r2) Los divisores comunes de b y r también son divisores de aDemostración:

(1) Para todo a,b∈Z, existen q y r ⁄ a=bq+r. Sea c tal que c|a, c|b, entonces a=cq1, b=cq2. Portanto cq2q+r =cq1 ⇒ r=c(q1–q2·q) ⇒ c|r.

(2) Supongamos ahora c ⁄ c|b, c|r con b=cq1, r=cq2. Por tanto a=cq1q+cq2 ⇒ a=c(q1q+q2) ⇒ c|a.

TeoremaEn una división el mcd(dividendo,divisor) = mcd(divisor,resto).Es decir, a=bq+r, con a,b,q,r∈Z, b≠0, cumple mcd(a,b)=mcd(b,r).Demostración:

Como vimos antes, dividendo y divisor tienen los mismos divisores que divisor y resto.Por tanto, ambos tendrán el mismo máximo común divisor.

Algoritmo de EuclidesComo mcd(a,b)=mcd(|a|,|b|), podemos suponer sin perdida de generalidad que a ≥b>0.Dividimos a por b: a=bq1+r1 , (r1 será 0≤r1<b)Si r1=0, ya que a≤b, es obvio que b=mcd(a,b) y hemos terminado.Si r1≠0, dividimos b por r1: b=r1q2+r2 , (r2 será 0≤r2<b)Si r2=0, entonces mcd(b,r1)=r1 y por el teorema anterior mcd(b,r1)=r1=mcd(a,b).Si r2≠0 continuamos dividiendo r1 por r2, y asi indefinidamente.

De este modo obtenemos un conjunto de números r1>r2>... , de modo que llegaremos a un rn=0.Entonces:

rn–1 = mcd(rn–2, rn–1) = ... = mcd(b,r1) = mcd(a,b)

El número de pasos necesarios es como máximo 5 veces el número de dígitos del número máspequeño de entre los a,b por los que comenzamos a calcular el mcd

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Algoritmo extendido de EuclidesSirve para hallar los terminos de la combinación lineal que dan origen al mcd. Para ello se realizael proceso inverso al seguido en el algoritmo de Euclides. (Ver el ejemplo que sigue)

Ejemplo:

Calcular mcd(3120,270) y los terminos x,y tales que mcd(3120,270)=3120x+270y.

Algoritmo de Euclides:

3120 = 11·270 + 150270 = 1·150 + 120150 = 1·120 + 30120 = 4·30 + 030 = mcd(120,30) = mcd(150,120) = mcd(270,150) = mcd(3120,270)30 = mcd(3120,270)

Algoritmo extendido de Euclides:

Realizamos el camino inverso al algoritmo de Euclides empezando por la expresión donde el mcdes resto.

Iremos sustituyendo valores con el objeto de llegar a los números de los que se hallo elmcd.

150–1·120 = 30

150–1·(270–1·150) = 30 → 150–270+150 = 30 → 2·150–270 = 302·(3120–11·270)–270 = 30 → 2·3120–22·270–270 = 30 → 2·3120–23·270–270 = 30

Así pues, mcd(3120, 270) = 30 = 2·3120+(–23)·270. Luego, x=2, y=–23.

Teorema (consecuencia del algoritmo de Euclides)

Todo k∈Z+ cumple mcd(ka,kb) = |k|·mcd(a,b)DemostraciónPara ka, kb, podemos suponer sin perdida de generalidad que ka≥kb.ka≥kb ⇒ ka=(kb)q1+r con 0≤r<kb ⇒ r=ka–kb·q1=k(a–b·q1) ⇒ k|r,y siendo r1=a–b·q1, se cumple que r=ka–kbq1 → ka=kbq1+r.Sea r1=r/k, ka=kbq1+r → ka=(kb)q1+kr1 con 0≤r1<b

Repitiendo para kb, kr1, obtenemos lo mismo que para a,b pero cada igualdad vienemultiplicada por k.

El último paso es krn–1=(krn)qn+1+0. Por tanto, mcd(ka,kb)k·mcd(a,b).Esta demostración es valida para k>0. Si k<0, entonces –k>0 y tenemos que

mcd(ka,kb) = mcd(–ka,–kb) = –k·mcd(a,b) = |k|·mcd(a,b)

Ejemplo:

Calcular mcd(36,90)mcd(36,90) = mcd(18·2,18·5) = 18·mcd(2,5) = 18·1 = 18

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1~PHURVSULPRV

Nºs primosDecimos que p∈Z ⁄ p>1, es primo si sus únicos divisores son 1 y p.En caso contrario decimos que es compuesto y puede expresarse como p=a·b con 1<a<p y

1<b<pDecimos que 2 nºs son primos entre sí, cuando mcd(a,b)=1, (lo que implica 1=αa+βb)Ejemplo: Para todo m∈Z, 3m+11 y 2m+7 son primos entre si.Todo entero puede expresarse como xk, xk+1, xk+2, ... xk+(x–2), xk+(x–1)

Lema de Euclides uned31

- Si a,c son primos entre sí, y a|bc, entonces a también divide a c.

Para a,b,c∈Z, mcd(a,b)=1, a|bc, se cumple que a|c.

Demostraciónd=mcd(a,b)=1 ⇒ d=ax+by para algun x,y∈Zc·ax+c·by=c·1Por hipotesis a|bc, y por tanto a|cby. Es obvio que a|cax.

Y así,

cax|a

cby|a⇒ a|(cax+cby) → a|(c·1) → a|c

Corolario: Sea p,a,b,c∈Z, p>1, p primo ⇔ si p|ab entonces p|a y p|b.Demostración

“⇒” Sea p primo, p|ab. Podemos suponer que p no es primo con a (si lo fuese, su únicodivisor común sería el 1, pero es imposible porque hemos supuesto p>1). Entoncesmcd(p,a)=d≠1, y por tanto d|p, d|a. Como p es primo, d|p ⇒ d=p y por tanto p|a.

“⇐” En el caso de p no primo, existirían a,b∈Z tal que p=ab con 1<a<p, 1<b<p. Con lo quep|ab pero no a alguno de los dos números. Por tanto, si p|ab y p|a o p|b, p tiene que ser primo.

Corolario: Sea p primo. Si p|(a1·a2·...·ar), entonces p|ai para algun i.

DemostraciónPor asociativa a1·a2·...·ar=( a1·a2·...ar–1)·ar. De este modo podemos llegar a una expresión

producto de dos números, y como vimos en el anterior corolario, p dividira a alguno deestos números.

Teorema fundamental de la aritmética uned33

- Todo número entero>1 puede expresarse como producto de números primos. Además este

producto es único.

Sea n>1,n∈Z, entonces: ∃ nºs primos p1,...,pk ⁄ n=p1·p2·...·pk con p1≤p2≤...≤pk

Esta factorización es única en el siguiente sentido:- si podemos expresar n como producto de 2 series de factores es que esas 2 series son enrealidad la misma)

si n=q1·q2·...·qm con q1≤q2≤...≤qm entonces k=m y qi=pi para cada i=1,2,..,k

Demostración

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Demostramos que todo número es factorizable mediante reducción al absurdo:

Sea el conjunto S, no vacío, tal que S={a∈Z ⁄ a>1, y a no es factorizable}

Por el principio del buen orden existe un primer elemento b.

Vemos que b no es primo (si no, la secuencia de primos cuyo resultado es b, sería la formada porél mismo).

Por tanto b es compuesto, y puede expresarse como b=u·v con 1<u<b y 1<v<b.

Así, nos encontramos con elementos u,v menores que b.

Dado que supusimos b primer elemento de S, tenemos una contradicción que se resuelve conS=∅.

Solo queda por demostrar la unicidad del producto de números primos (ver uned 34).

Corolariouned 35

-: Lo mismo que el Ta fundamental de la aritmetica solo que usando un formato para el producto en el que los factores repetidos seexpresan en forma de potencia.

Sea n∈Z con |n|>1. Entonces n tiene una factorización única de la forma n=±(pα1)1 ... (pαt)t

formada de 1 o más primos distintos, cuyos exponentes son ≥1. Esta factorización se llamafactorización canónica de n.

Ejemplos• 48 = –(24·2) = –(12·2·2) = –(3·2·2·2·2) = –(3·24)

363 = 121·3 = 112·3

TeoremaEl nº de primos es infinito

uned36

Demostración:Supongamos que P={p1,...,pt}, es el conjunto finito de números primos.y hallemos la contradicción buscando un número primo que no se halle en ese conjuntoSea m=(p1·p2·...pt)+1. Al ser m entero mayor que 1, podemos factorizarlo como producto de

primos:m=q1·...qs siendo los qi números primos

Notese que m MOD pi=1 para un pi cualquiera de P, por lo que ningún pi forma parte de lasecuencia de primos cuyo resultado es m.

Asi, cada qi es primos ∉P, lo cual es una contradicción que se resuelve si P es infinito.

Corolariopn+1 ≤ (p1·p2...pn)+1 (explicación en uned37)

Teorema

- Si no existe algun primo a≤ tal que p|a, entonces ese a es primo.

Sea a∈Z, a>1. Si para todo primo p≤ a no se cumple p|a, entonces a es primo

Demostración:

Sea un número a compuesto: a=b·c con 1<b<a, 1<c<a, tal que no es divisible por algun

primo a≤ .

Podemos suponer sin perdida de generalidad que b≤c, y vemos que b≤c → b2 ≤ b·c → b≤ a

Hemos llegado a una contradicción:

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- Si b es primo llegamos a una contradicción por suponer que a no es divisible poralgun primo p≤ a

- Si b es compuesto llegamos a una contradicción, pues b compuesto podríaexpresarse como producto de primos, y siendo p uno de ellos: b|a, p|b ⇒ p|a,siendo p<b≤ a .

Contradicción en ambos casos, que se deshace si a el número a es primo.

Ejercicio: Demostrar que 3 5y 2 son irracionales. Resuelto en Uned 40,41.

MCD a partir de la factorización de A y B

(uned 41)

Siendo a,b enteros, existen números primos con exponentes ≥0 tal quea=±(pα1)1

... (pαt)t

b=±(pβ1)1 ... (pβt)t

Estas factorizaciones se consiguen mediante la factorización canónica de a y b.La factorización canónica de a y b consiste en descomponer cada número en factores yañadirle con exponente 0, los factores primos que le falten respecto al otro.Por ejemplo, las factorizaciones canónicas de 350 (=2·52·7) y 198 (=2·32·11) serían2·30·52·7·110 y 2·32·50·70·11.

TeoremaSean a=±(pα1)1

... (pαt)t

b=±(pβ1)1 ... (pβt)t

donde algunos exponentes pueden ser 0. Entonces

d = mcd(a,b) = p1min(α1,β1) ... p t

min(αt,βt)

Demostración

Sea d= p1min(α1,β1) ... p t

min(αt,βt). Es claro que d|a y d|b. Supongamos que existe c tal que c|a, c|b.

Entonces t1t1 p...pc δδ ⋅⋅= donde δi≤α i, δ i≤β i. Por tanto, δ i≤min(αi,β i), y por tanto c|d. Entonces

d=mcd(a,b).

Ver ejemplo en Uned 43.

DefiniciónSean a,b∈Z. Llamamos mínimo común multiplo de a y b al menor entero positivo que seamúltiplo de ambos. Lo designaremos mcm(a,b).

TeoremaUned 45

Sean a=±(pα1)1 ... (pαt)t

b=±(pβ1)1 ... (pβt)t

donde algunos exponentes pueden ser 0. Entonces

d = mcm(a,b) = p1max(α1,β1) ... p t

max(αt,βt)

Demostración

Pág.-36 de 53

Sea d= p1max(α1,β1) ... p t

max(αt,βt). Es claro que a|d y b|d. Supongamos que existe c tal que a|c, b|c.

Entonces t1t1 p...pc δδ ⋅⋅= donde δi≥α i, δ i≥β i. Por tanto, δ i≥máx(αi,β i), y por tanto d|c. Entonces

d=mcm(a,b).

Ver ejemplo en Uned 46.

3ULQFLSLRGH LQGXFFLyQ

Principio De Inducción FinitaSea S ⊆N. Si cumple:

1) 1∈S, - comprueba que el límite inferior de S esigual al de N, o sea, 1. 2) para cada k≥1, si k∈S ⇒ k+1∈S - comprueba que el límite superior de S esigual al de N, o sea, ∞.

entonces S=N.

Este principio se usa para demostrar que ciertas propiedades se satisfacen para todo nº natural n.

Demostración: (por reducción al absurdo)

• Supongamos que S satisface 1 y 2, pero S≠N.• Sea A=N–S≠∅ - aqui es legítimo aplicar PBO porque

A=conj. de enteros positivospor el PBO existe un a∈A menor elemento de A, que sera ≠1 (porque 1∈S), y por lo tanto a≥2 y1≤ a–1<a

– (a–1)∉A (- pq para a=2 daría 1) , entonces es que a–1∈S y por la 2º condición:(a–1)+1∈S ⇒a∈S

• Existe contradicción entre a∈S y a∈A, basada en suponer S≠N, por lo tanto S=N. -porque o son = ó ≠

Los pasos a seguir en su aplicación práctica son:

1) Definir el conjunto S={ n∈N tales que P(n) es verdadera }

2) Probar que 1∈S (este límite inferior se llama base de inducción).

3) Suponer que k∈S para un k arbitrario ⁄ k≥1 (este es el paso inductivo).

4) Demostrar que k+1∈S

Corolario o Z??uned53

- Es igual que el principio de inducción pero en vez de para∀ N, para un subconjunto propio

suyo: [n0...∞)

Sea n0∈Z, y M={n∈Z ⁄ n≥n0}. Sea S⊆M tal que1) n0 ∈ S2) Para todo k≥n0, si k∈S ⇒ (k+1)∈S

entonces S=M

Demostración en uned 53

Corolariouned54

- Parecido al anterior, esta vez en un subconj. propio de Z: [n0...∞)

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Sea n0∈Z. Supongamos la propiedad P tal que1) P(n0) es cierta2) Para todo k≥n0 se cumple que P(k) ⇒ P(k+1)

Entonces P(n) cierta para ∀ entero n≥n0

Demostración propuesta en uned 54

Principio Fuerte De Inducción uned55

- Es lo mismo que el de inducción finita pero restringido a k<n

Sea S un conjunto de naturales tales que1) 1∈S2) Sea un entero arbitrario n>1. Si k∈S ⁄ 1≤k≤n, se cumple que n∈S

Entonces S=N

Demostración: (por reducción al absurdo) (Es casi la misma que la de inducción finita)

• Supongamos que S satisface 1 y 2, pero S≠N. Entonces existe A ⁄ A=N–S≠∅• Por PBO ∃ n0∈A ⁄ n0>1 y n0=menor elemento de A. Se cuimple 1,2,...,n0–1∈S• Por 2) n0∈S (contradicción).

Así pues, N–S=∅ y S=N.

Corolario uned58

- lo mismo de antes

Sea P(n) una propiedad para los naturales. Si cumple :1) P(1) cierta2) Sea un entero arbitrario n0>1. Si P(k) cierta para todo k ⁄ 1≤k≤n0 ⇒ P(n0) cierta

entonces P(n) se satisface para todo N

Corolario uned58

- lo mismo para n0 en vez de 1

Sea n0 un número fijo ⁄ n0 ∈ Z, sea M={ n∈Z, n≥n0 } . Si para S⊂M, S cumple:1) n0∈S2) Para cada n>n0 y cada k ⁄ n0≤k<n0, si k∈S ⇒ n∈S

entonces S=M

Corolario uned58

- lo mismo con n0...n1

Sea P(m) una propiedad con m∈Z y n0∈Z y fijo, que cumple:1) P(n0) es cierta2) para cada n1>n0 y cada k ⁄ n0≤k<n1, si P(k) es cierta ⇒ P(n1) es cierta entonces P(n) cierta para ∀ n≥n0

Ejemplo 1.3–18 y 1.3–20

(&8$&,21(6',2)$17,&$6

Con este nombre se designan una amplia clase de ecuaciones algebraicas con más de unaindeterminada en un particular sistema de números como son Z y Q.

TeoremaPara a,b,n∈Z, tenemos que ax+by=n tiene solución entera x0, y0 ⇔ ∃ d=mcd(a,b) ⁄ d|n

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Demostración:

‘⇒’ nbyax|d by|d b|d

ax|d a|d00

0

0 =+⇒

⇒⇒

‘⇐’ d=mcd(a,b) y por Bedut d=αa+βb con α,β∈ZSean x0=nα/d, y0=nβ/d. Es suficiente probar que x0, y0 resuelven la ecuación.Para ello los sustituimos:

nn =

β+α=β+α=+

db

da

dbn

dan

byax 00 / ??

TeoremaUned 65

Sea ax+by=n con d|n, y a,b,n enteros no nulos.Entonces la solución particular de la ecuación ax+by=n tiene la forma

λ−λ+

d

ay,

d

bx 00 donde λ∈Z.

Demostración en uned 65 (2 páginas).

Teorema Uned 70

La ecuación diofántica x2–y2=n con n>0, tiene solución si y solo si n se puede factorizarcomo producto de dos números de la misma paridad (ambos pares o ambos impares).

Si existen, las soluciones de la ecuación tienen la forma xa b a b= + = −

2 2, y , donde a y b

recorren todos los números de la misma paridad y tales que n=ab.

Algoritmo de factorización de Fermat

Uned 72

Permite conocer si un número natural impar es compuesto, y si lo es, hallar sus factores.

Sea n un número natural impar. Si n es compuesto se tiene que n=ab donde a y b tambiénhan de ser impares, y podemos suponer que a≥b>1. Por el teorema anterior se puede escribir

a b a bn .

+

− −

=2 2

2 2

Luego estudiar si un número impar es compuesto es un problema equivalente a resolver laecuación x2–y2=n , que puede escribirse x2–n=y2.

El primer paso es determinar el mínimo entero positivo q que satisfaga q2≥n yposteriormente habra que estudiar si alguno de los números q2–n, (q+1)2–n, (q+2)2–n, ... esun cuadrado.

Este proceso no es indefinido ya que n

nn n n n+

− = + + − = +

1

2

2 1 4

4

1

2

2 2 2

.

Esta solución corresponde a la factorización trivial n=n1. Luego los únicos valores que hay que

estudiar son aquellos números m que satisfacen q≤m<n + 1

2.

Si existe algun m ⁄ m2–n que sea un cuadrado, entonces n es compuesto.

Para hallar sus factores tenemos quex=m, y=m2–n ⁄ y es un cuadrado

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Resolviendo a y b en

2b-a

y,2

bax =+= , hemos terminado: n=a·b.

TeoremaUned 74

Las soluciones de la ecuación pitagorica x2+y2=z2 que satisfacen: mcd(x,y,z)=1, 2|x, conx,y,z>0

vienen dadas por las fórmulas x=2stv=s2–t2 ,z=s2+t2

para naturales s,t, s>t, con distinta paridad, tales quemcd(s,t)=1.

&21*58(1&,$6

Definición

Sea m>0. Dados a,b∈Z se dice que a y b son congruentes módulo m si a–b es divisible por m.

Simbólicamente esta relación se escribe: a≡b mod(m) ⇔ m|(a–b) .

Ejemplo: El minutero del cronometro se pone a 0 cada 60 minutos. Si llevo cronometrados 95minutos, el cronometro marcará 35, que es un número congruente con 95 módulo 60. Se denota35≡95 mod 60 o tb. 95≡35 mod 60.

TeoremaUned 90

Para a,b enteros, se cumple que a≡b mod(m) ⇔ a y b tienen el mismo resto al dividirlos por

m

Demostración‘⇐’ Sean a=q1m+r, b=q2m+r. Entonces a–b=(q1m+r)–(q2m+r)=(q1–q2)m ⇒ m|(a–b), y por

tanto a≡b mod(m).‘⇒’ ........

PropiedadesTeorema Uned 91≡m es una relación de equivalencia en Z

Si h|a, h|b, mcd (h,m)=1 y a≡b mod(m), entonces a

h

b

hm≡ mod( ).

Si a≡b mod(m) entonces ha≡hb mod(m).............................

TeoremaUned 95

La ecuación ax≡b mod(m) tiene solución ⇔ d|b ⁄ d=mcd(a,m).Ademas el número de soluciones no congruentes módulo m es exactamente d.

Teorema Chino del RestoUned 96

El sistema de congruencias xai≡bi mod(mi), i=1,2, ..., k donde mcd(mi , mj)=1 si i≠j y mcd(ai

, mj)=1 para 1≤i≤k , tiene una única solución x0 módulo m1m2...mk y las demas solucionesson de la forma x=x0+λm1m2...mk, λ∈Z.

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Teorema de EulerUned 102

Sean a y m dos números enteros con m≥1, entonces si mcd(a,m)=1 se tiene que aφ(m)≡1mod(m).

Pequeño teorema de FermatSi p es un número primo que no divide al número a, entonces ap–1≡1 mod(m).

Teorema de Wilson Uned104 y ver ejemplo 1–5.31

Si p es un número primo, entonces (p–1)! ≡ –1mod(p).

SISTEMAS DE NUMERACIÓN

En esta sección se estudian sistemas de numeración diferentes al usado convencionalemente, esdecir, sistemas no decimales.

TeroremaUned 110

Sea b≥2 un número natural llamado base. Todo número n∈N tiene representación única enbase b de la forma

n = akbk + ak–1b

k–1 +...+ a1b + a0 ,para algún k≥0, con 0≤ai<b, i=0,1,...,k, y con ak ≠0.

Teorema (esto es de congruencias pero se usa en el siguiente teorema)Uned 93

Supongamos que para 1 ≤ i ≤ n se tiene que ai≡bi mod(m), entonces

a b m mii

n

ii

n n n

= =∑ ∑ ∏ ∏≡ ≡

1 1

mod( ), mod( ) a bii=1

ii=1

.

Criterio de divisibilidad por kUned 115

Sea n un número natural. Como n = at10t + at–110t–1 +...+ a110 + a0 , podemos escribir

n aii

i

t

==∑ 10

0

.

Consideremos ahora losrestos de la división de 10i por k para i=0,1,...,t. Supongamos queson ro, r1, ..., rt, donde r0=1, ya que 100=1 y estamos suponiendo k≥2.

Tenemos entonces,100≡r0 mod(k), 101≡r1 mod(k),...,10t≡rt mod(k).

En congruencias vimos que si a≡b mod(m) entonces ha≡hb mod(m), y por el teorema de arriba, setiene que

n a a r kii

i

t

i ri

t

= ≡= =∑ ∑10

0 0

mod( ),

luego n es divisible por k si y solo si a ri ii

t

=∑

0

es divisible por k.

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&RPELQ&RPELQDDWRULD \WRULD \UUHFXHFXUUUUHQFLDHQFLD

Principio de inclusión exclusión. Permutaciones con y sin repetición. Combinaciones con ysin repetición. Fórmulas combinatorias. Teorema binomial. – ENTRA HASTA AQUÍ –Sucesiones definidas por recurrencia. Resolución de ecuaciones recurrentes por iteración.Relaciones de recurrencia de orden superior con coeficientes constantes. Funcionesdefinidas recurrentemente.

3ULQFLSLRV IXQGDPHQWDOHVGHO FRQWHR

Principio de la adicción

Si se puede realizar una primera tarea de m maneras, mientras que una segunda se puede efectuarde n maneras, y no se pueden realizar las dos a la vez, entonces tenemos un repertorio dem+n maneras de realizar una tarea.

Principio de la multiplicación

Si un procedimiento se puede separar en las etapas primera y segunda, y si hay m posiblesresultados para la primera etapa y n para la segunda, entonces el procedimiento total sepuede realizar, en el orden designado, de m·n maneras.

Principio de la distribución

Sean m,n,p números naturales (≠0). Si se distribuyen np+m objetos en n cajas entoncesalguna caja deberá contener, al menos, p+1 objetos.

Demostración: Supongamos que contienen menos de p+1, por ejemplo, p objetos;entonces, el número total de objetos contenidos en las n cajas será como máximonp<np+m, ya que por hipotesis m>0. Por tanto, al menos una de las cajas debe contener,como mínimo, p+1 objetos.

CorolarioDados n números enteros positivos m1, m2, ..., mn tal que

,pn

mn

1i i >∑ =

entonces para algún 1 ≤ i ≤ n se tiene que mi>p.

Demostración: Observemos en primer lugar que el resultado es obvio para n=1, ya que si(m1/1)>p entonces m1>p.

La desigualdad del enunciado puede escribirse como ∑ = >n

1i i pm . Así, existe m>0 tal que

∑ = +=n

1i i .mnpm

Supongamos que disponemos de n cajas y que mi es el número de elementos de cada caja,por el principio de la distribución alguno de los mi debe ser estrictamente mayor que p.

7HPD

�

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3HUPXWDFLRQHV� YDULDFLRQHV� FRPELQDFLRQHV

Para un entero n ≥ 0, n factorial, expresado n!, se define por:0! = 1,n! = (n)·(n–1)·(n–2)·...·3·2·1, para n ≥1

Según la regla del producto, las maneras de escoger n elementos de entre un total de N segúnun determinado orden, son igual al producto de n operandos de la forma

N·(N-1)·(N-2)·...·(N-n+1)

Esta expresión se conoce como Variaciones de N tomadas de n en n, y se representa como VN , n.

Para llegar a una versión simplificada se opera así1:

N(N–1)(N–2) ... (N–n+1)· N,nVn)!(N

N!

(3)(2)(1) ... )1nn)(N(N

(3)(2)(1) ... )1nn)(NN( =−

=−−−−−−

En el caso especial en que N=n, se llama permutaciones de N, y se representa PN.

!N!0

!N

n)!(N

N!PN ==

−=

En general, si hay N objetos con n1 de un primer tipo, n2 de un segundo tipo, ..., y nr de un r–ésimo tipo,

donde n1 +n2 +...+nr = N, entonces hay !n ... !n!n

!N

r21

permutaciones de los objetos dados.

Si se tratase de escoger n elementos pudiendose repetir cualquiera, el repertorio donde escoger nodisminuiría y la expresión sería el producto de n veces N:

N·N·...·N = Nn

Esta expresión se conoce como Variaciones con repetición y se representa como NVR n,N = .

Notese que cuando calculabamos VN,n estabamos hallando el número de grupos de n elementosdistintos, multiplicado por el número de posibilidades de ordenar internamente esos grupos de nelementos (PN).

Si quisieramos hallar el número de maneras de escoger n de entre N elementos distintos sinrepetición y sin orden tendríamos la expresión

N

nN,

P

V, que se llama combinanciones de N tomadas de n en n y se representa CN,n ó

n

N.

En general, dados N objetos distintos de los cuales se quiere tomar n objetos con repetición, su

número sera

−+=

−−+

n

1nN

)!1N(!n)!1nN(

.

En consecuencia, el número de combinaciones con repetición de N objetos, tomados de n en n, esC(N+n–1,n).

1 Notese que añadimos una fracción cuyo resultado es 1.

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Resumen

Variación es el número de ordenaciones de n elementos tomados de un total de N.

Permutación es el número de ordenaciones de los N elementos de un conjunto.

Variación con repetición es el número de ordenaciones de n elementos, tomados repetidos o no,de un total de N.

Combinación es el número de conjuntos de n elementos tomados de un total de N.

Combinaciones con repetición es el número de conjuntos de n elementos, tomados repetidos o no,de un total de N.

n)!(N

N!VN,n −

= , !NPN = , NVR n,N = , N

nN,n,N P

VC = , n,1nNn,N CCR −+=

Además, en el caso de N objetos con n1 de un primer tipo, n2 de un segundo tipo, ..., y nr de un r–ésimo tipo, donde n1 +n2 +...+nr = N, el número de permutaciones de los objetos dados es

!n ... !n!n!N

r21

.

7HRUHPDELQRPLDO

Teorema binomialGrimaldi 14

Si x e y son variables y n es un entero positivo, entonces

(x+y)n = n

x yn

x yn

x yn

nx y

n

nx y

n

kx yn n n n n

k

nk n k

0 1 2 10 1 1 2 2 1 1 0

0

+

+

+ +

−

+

=

− − −

=

−∑ ... .

Demostración:

En el producto (x+y) (x+y) (x+y) ... (x+y)

el coeficiente de xkyn–k , 0 ≤ k ≤ n, es el número de formas distintas en que se pueden seleccionarlas kx (y en consecuencia las (n–k)·y) de las nx disponibles en los n fatores.

Por ejemplo, una forma es elegir x de los primeros k factores e y de los últimos n–k factores.

El nº total de las selecciones de tamaño k de una colección de tamaño n es C(n,k) de donde resultael teorema.

De este resultado se observa que(x+y)n =n

n kx y

k

nk n k

−

=

−∑0

. Debido a este teorema, n

k

suele

denominarse coeficiente binomial.

CorolarioPara cualquier entero n>0,

a) n n n n

nn

0 1 22

+

+

+ +

=...

b) n n n n

nn

0 1 21 0

−

+

+ + −

= ... ( )

Pág.-44 de 53

Demostración: El apartado a) resulta del teorema binomial al hacer x=y=1. Cuando x=–1 ey=1, resulta el apartado b).

TeoremaUned 240

Para cada n, k ∈ N∪{0} y para k≤n se cumple la siguiente igualdad

++

++

=

++

k

n...

k

1k

k

k

1k

1n

Teorema multinomial (generalización del teorema binomial)Uned 14

Para los enteros positivos n, t, el coeficiente de x x x xn1 n ntnt

1 22

33⋅ ⋅ ... en (x1 + x2 + x3 + ... + xt

)n

es n

n n n nt

!

! ! !... !1 2 3

donde cada ni es un entero con 0≤ ni ≤n, para toda 1≤ i ≤ t y

n1+n1+n1+...+nt=n.

3ULQFLSLRGH LQFOXVLyQH[FOXVLyQ

Sea S un conjunto finito y P1, P2, ..., Pn propiedades que cada uno de los elementos de Spuede o no satisfacer. Para cada i=1, 2, ..., n, sea

Si = {x∈S tal que x satisface Pi}entonces

{ }n1,2,...,i ,P spropiedade las de una menos al satisface x que talSxS i

n

1ii =∈=

=�

( ) { }n1,2,...,i ,P spropiedade las de ninguna satisface no x que talSxSSS i

n

1ii

n

1ii =∈=′=−

==��

donde Si’ es el complementario de Si en S.

Teorema (principio de Inclusión-Exclusión)Uned 252

Con la notación anterior:

∑∑∑∑∑ ∩∩−+∩∩∩−++∩∩−∩+−=′==

12n

ik2i1ik

3i2i1i2i1i

n

1ii

n

1ii .SS)1...(S...SS)1(...SSSSSSSS�

donde para 2≤k≤n, las sumas ∑ ∩∩∩ ik2i1i S...SS se extienden a todas las combinaciones

de orden k,{i1, i2, ..., ik}, de {1,2,..,n}.

CorolarioUned 253

El número de elmentos de S que satisfacen al menos una de las propiedades P1, P2, ..., Pn es

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∑

∑∑∑∑∩∩∩−

++∩∩∩−++∩∩+∩−−=

−

−

==

nn

ikiik

iiiii

n

ii

n

ii

SSS

SSSSSSSSSSS

...)1(

......)1(...

121

211

3212111

�

donde para 2≤k≤n, las sumas ∑ ∩∩∩ ik2i1i S...SS se extienden a todas las combinaciones

de orden k,{i1, i2, ..., ik}, de {1,2,..,n}.

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MATEMATICA DISCRETA. Ejercicios I

1. Determine si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Expliquebrevemente la

respuesta.

9 a) ∅ ⊆ ∅ 8 f) {∅} ∈ ∅ 9 k) {a,b} ⊆

{a,b, {a,b} }

8 b) ∅ ∈ ∅ 9 g) {∅} ⊆ {∅} 8 l) {a,b} ∈ {

a,b, { { a,b } } }

9 c) ∅ ⊆ {∅} 8 h) {∅} ∈ {∅} 9 n) {a, ∅ } ∈

{a, {a, ∅ } }

9 d) ∅ ∈ {∅} 9 i) {a,b} ⊆ {a,b,c, {a,b,c} } 8 m) {a, ∅} ⊆

{a,{a, ∅ }}

8 e) {∅} ⊆ ∅ 8 j) {a,b} ∈ {a,b,c, {a,b,c} }

Hay que tener en cuenta que todo conjunto tiene como subconjunto a si mismo y al vacio, yque un conjunto A es subconjunto de otro B, si A aparece como elemento del conjunto potencia de B.

2. Determine cuales de las siguientes afirmaciones acerca de conjuntos arbitrarios A, By C son verdaderas. Justifique la respuesta.

a) Si A ∈ B y B ⊆ C, entonces A ∈ C

9, porque ∀ b ∈ B ⇒ b ∈ C

b) Si A ∈ B y B ⊆ C, entonces A ⊆ C

A aparece como elemento en C, lo cual no garantiza que los elementos de A esten en C. 8, contraejemplo : Sea A={a}, B={ {a}, b, c }. Vemos que A ∈ B. Sea C={ {a}, b, c,d }, vemos que B ⊆ C, pero {a} ∉P(C), por lo que no se cumple A ⊆

C

c) Si A ⊆ B y B ∈ C, entonces A ∈ C

A no aparece como elemento, aunque sus elementos formen parte de un elemento de C. 8, contraejemplo :

Sea A={a}, B={a,b}, C={ {a,b}}. Vemos que A ∈ C solo se cumpliria si

C={...,{a},....,...}

d) Si A ⊆ B y B ∈ C, entonces A ⊆ C

Los elementos de A no aparecen en C, sino integrando un elemento de C. 8, contraejemplo :

Sea A={a}, B={a,b}, C={{a,b}} pero P(C)={ ∅ , {{a,b}} } , por lo que no se cumple A⊆ C

3. Sean (A∩C)⊆(B∩C) y (A∩C )⊆(B∩C ), demostrar que A⊆B.

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Sabemos que C∪C =U y A=A∩U, asi que A=A∩(C∪C ), que desarrollado, = (A∩C) ∪ (A∩C ) Y observando el enunciado : ((A∩C)∪(A∩C )) ⊆ ((B∩C)∪(B∩C )) → A ⊆ B

4. ¿Que se puede decir de los conjuntos P y Q ?

a) P∩Q = P ⇒ P⊆Q ? Dems. : Para cualquier x∈P : P=(P∩Q) ⇒ x∈(P∩Q) ⇒ x∈Q

b) P∪Q = P ⇒ Q⊆P ? Dems. : Para cualquier x∈P : P=(P∩Q) ⇒ x∈(P∩Q) ⇒ x∈Q

c) P⊕Q = P ⇒ Q=∅ ?, es decir : (P∪Q)–(P∩Q)=P ⇒ Q=∅ ?

Es erroneo suponer que Q=∅, Dems. :

Si x ∈ Q : x P x P Q P P Q

x P x P Q P P Q

∈ ⇒ ∉ ⊕ ⇒ ≠ ⊕∉ ⇒ ∈ ⊕ ⇒ ≠ ⊕

d) P∩Q = P∪Q ⇒ P=Q ? Dems : Para ∀ x∈P ⁄ P∩Q = P∪Q, ⇒ x∈Q ⇒ P=Q

5. a) Sean A⊆B y C⊆D. ¿Siempre sucede que (A∪C) ⊆ (B∪D)?

Sí, x A Cx A x B

x C x Dx B D∈ ∪ ⇒

∈ ⇒ ∈∈ ⇒ ∈

⇒ ∈ ∪

¿Siempre sucede que (A∩C)⊆(B∩D)?

Sí, x A Cx A x B

x C x Dx B D∈ ∩ ⇒

∈ ⇒ ∈∈ ⇒ ∈

⇒ ∈ ∩

b) Sean A⊂B y C⊂D. ¿Siempre sucede que (A∪C)⊂(B∪D)?

No. En a) demostramos que son subconjuntos, ahora refutaremos demostrando que soniguales.

Contraejemplo : A={1,2}, B=D={1,2,3}, C={2,3}, vemos que A⊂B y C⊂D, pero (A∪C)=(B∪D)

¿Siempre sucede que (A ∩ C) ⊂ (B ∩ D)?

Contraejemplo : A={1,2}, B={1,2,3}, C={1,4}, D={1,4,5} vemos que A⊂B y C⊂D, pero(A∩C)=(B∩D).

6. a) Puesto que (A ∪ B)=(A ∪ C), ¿es necesario que B=C?

No, contraejemplo : A={1,2,3}, B={3,4,6}, C={2,4,6}

b) Puesto que (A ∩ B)=(A ∩ C), ¿es necesario que B=C?

No, contraejemplo : A={1,2,3}, B={2,3,4}, C={2,3,5}

c) Puesto que (A ⊕ B)=(A ⊕ C), ¿es necesario que B=C?

A ⊕B=(A ∪ B)–(A ∩ B), A ⊕C=(A ∪ C)–(A ∩ C)

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Para x Bx A B x A, o x A C

x A B x A, o x A Cx C∈ ⇒

∈ ⊕ ⇒ ∉ ∈ ⊕∉ ⊕ ⇒ ∈ ∈ ⊕

⇒ ∈

Para x Cx A C x A, o x A B

x A C x A, o x A Bx B∈ ⇒

∈ ⊕ ⇒ ∉ ∈ ⊕∉ ⊕ ⇒ ∈ ∈ ⊕

⇒ ∈

7. Sean A,B,C conjuntos arbitrarios.

a) Demostrar (A–B)–C=A–(B ∪ C) A–B= A ∩ B

(A–B)–C → (A∩B )–C → (A∩B )∩ C → A∩(B ∩ C ) → A∩ (B C)∪ → A–(B∪C)

b) Demostrar (A–B)–C=(A–C)–B (A–B)–C → (A∩B )∩ C → (A∩ C ) ∩B → (A–C)–B

c) Demostrar (A–B)–C=(A–C)–(B – C)

A–(B ∪ C) = A–(C ∪ (B–C)) → A–(B ∪ C) ⊆ A–(C ∪ B)

x B C∈ ∪ ⇒∈ ⇒ ∈ − ∪

∈∈ ⇒ ∈ − ∪∉ ⇒ ∈ − ⇒ − ∪

x C x (B C) C

x Bx C x (B C) C

x C x B C (B C) C

Como son iguales, se verifica la demostración.

8. Sean A=estudiantes de 1er curso, B=estudiantes de 2º, C= estudiantes de I.T. Informática, D= estudiantes de I. Informática, E= estudiantes de MD, F= estudiantes que fueron al concierto, G= estudiantes que se acostaron tarde

Expresar :a) Todos los del 1º curso de I. Informática cursan MD : A ∩ E=Ab) Los del curso de MD o los que fueron al concierto se acostaron tarde : E∪ F=Gc) Ningún estudiante de MD fue al concierto : E ∩ F= ∅

d) El concierto fue solo para estudiantes de 1º y 2º : ( )A B∪ ∩ F= ∅

e) Todos los de 2º que no son de I. T. Informática ni de I. Informática, fueron alconcierto.

F∩(B–C–D )=F

9. Sea A={∅}. Sea B=P(P(A)).

P(A)={A,∅,{∅} }, B=P(P(A))= { A, ∅ , {∅}, {A}, {{∅}}, {A, ∅}, {∅,{∅}} }

9 a) ∅ ∈ B 9 b) ∅ ⊆ B

9 c) {∅} ∈ B 9 d) {∅} ⊆ B

9 e) {{∅}} ∈ B 9 f) {{∅}} ⊆ B

10. ¿Verdadero o falso?

8 a) A ∪ P(A) = P(A)

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Contraejemplo : Sea A={1,2} ; P(A)={∅, {1}, {2}, A}, A ∪ P(A)= {1, 2, ∅, {1}, {2}, {1,2} }

8 b) A ∩ P(A) = A Ver Contraejemplo anterior.

9 c) {A} ∪ P(A) = P(A) Porque {A} ∈ P(A)

8 d) {A} ∩ P(A) = A Porque A ∩ P(A)= {1,2} ∩ {∅, {1}, {2}, A} = {A} 9 clase?

9 e) A–P(A) = A A esta como elemento en P(A), y ningun conjunto se tiene a si mismo como elemento.

8 f) P(A)–{A} = P(A) P(A)–{A} = { ∅, {1}, {2} }

11. Sea A y B conjuntos arbitrarios.

a) Demostrar P(A ∩ B)= P(A) ∩ P(B), o mostrar contraejemplo

Para un x∈P(A∩B) ⇔ x⊆A∩B ⇔ x⊆A y x⊆B ⇔ x∈P(A) y x∈P(B) ⇔ x∈P(A)∩P(B), de modo que P(A∩B)=P(A)∩P(B)

b) Demostrar P(A ∪ B)= P(A) ∪ P(B), o mostrar contraejemplo

Sea U={1,2,3}, A={1}, B={2}. Entonces {1,2} per P(A ∪ B), pero {1,2} ∉P(A) ∩ P(B)

12. Mostrar ejemplo de conjuntos con más de 4 elementos A y B y una función f:A → B tal

que :

a) f no sea inyectiva ni sobreyectiva 14a)b) f sea inyectiva y no sobreyectiva. 13e)c) f no sea inyectiva y sí sobreyectiva. 13d)d) f sea inyectiva y sobreyectiva 13a)

13. Para cada una de las siguientes funciones f:Z → Z, determinar si la función es inyectivay/o sobreyectiva. Si no es sobreyectiva, determinar la imagen de f.

a) f(x)=x+7 Inyectiva : f: Z → Z. Sobreyectiva : x → x+7

b) f(x)=2x–3 Inyectiva, sobreyectiva.

c) f(x)=-x+5 Inyectiva, sobreyectiva.

d) f(x)=x2

No inyectiva : f(3)=9=f(-3). Sería inyectiva si f: Z+ → Z. Sobreyectiva, pues para ∀ x2∈Z, ∃ |x|∈Z .

e) f(x)=x2+x Inyectiva, no sobreyectiva.

f) f (x)=x3

Inyectiva, no sobreyectiva.

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14. Para cada una de las siguientes funciones f:R → R, determinar si la función es inyectivay/o sobreyectiva. Si no es sobreyectiva, determinar la imagen de f.

a) g(x)=x+7 b) g(x)=2x–3 c) g(x)=–x+5 f) g(x)=x3

d) g(x)=x2imagen = [0,+∞)

e) g(x)=x2+x imagen = [-1/4,+∞)

a), b), c), y f) son inyectivas y suprayectivas, d) y e), ni inyectivas, ni suprayectivas.

15. Dadas las funciones f,g:R → R

f(x)=1

3x2 + y g(x)=x2+3x+4 hallar f $ g y g $ f .

g $ f = (f(x))2+3x+4 → ... ; f $ g=1

3(g(x))2 + → ... ;

16. Sean f:A→B y g:B→C aplicaciones (por tanto, g $ f : A→C). Demostrar que:

a) Si f y g son inyectivas entonces g $ f es inyectivab) Si f y g son sobreyectivas entonces g $ f es sobreyectivac) Si f y g son biyectivas entonces g $ f es biyectiva

Ver demostración en apuntes.

17. En las mismas condiciones del ejercicio anterior demostrar que :

a) Si g $ f es inyectiva entonces f y g también lo son

b) Si g $ f es sobreyectiva entonces f y g también lo son

c) Si g $ f es biyectiva entonces f y g también lo son

18. a) Sea f una aplicación ⁄ ∃ la inversa, f--1. Demostrar que f--1 tiene inversa y es la propia f,

o sea (f -1)-1.

Según Pág 86 3.17 : ‘Si f :A→A, se define f-1=f, y para n ∈ Z+, fn+1=f°(fn)’ (Å demostración ?)

b) Sean f y g aplicaciones biyectivas y componibles. Demostrar que la inversa de g $ f es

(f -1) $ (g-1) .

Para f, g invertible ⇒ f y g son biyectivas ⇒ g°f es biyectiva ⇒ g°f es invertible.Como (g°f) °(f-1°g-1)=IdC y (f-1°g-1)° (g°f)=IdA , f-1°g-1 es una inversa de g°f.Por la unicidad de los inversos, f-1°g-1=(f °g)-1 .

19. Sean f: A → B, g:B → C y h: C → A aplicaciones tales que h $ g $ f es inyectiva, g $ f $h es sobreyectiva y f $ h $ g es sobreyectiva. Demostrar que f, g y h son aplicaciones

biyectivas.

La composición de funciones es asociativa, y ya vimos antes que si la composición de 2 funcioneses inyectiva, también lo son las 2 funciones, e idem con la sobreyectiva. Por tanto, son biyectivas.

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MATEMATICA DISCRETA. Ejercicios II

1. Estudiar las siguientes relaciones binarias definidas en el conjunto Z :a) x R y ⇔ xy > 0

8 reflexiva : 0·0 =0; (0,0)∉R9 simetrica (si xRy ⇒ yRx) : porque el producto es conmutativo en Z9 transitiva (xRy, yRz ⇒ xRz) : xy>0 y zy>0 ⇒ (xy)(yz)>0 → y2xz>0 → xz>0

b) x R y ⇔ xy ≥ 0

9 reflexiva : para x=0 → 0·0=0 y para x=– → x2=+ >09 simetrica : el producto es conmutativo9 transitiva (xRy, yRz ⇒ xRz) : xy≥0 y zy ≥ 0 ⇒ (xy)(yz)≥0 → y2xz≥0 → xz≥0

2. En Z × Z* se define la relación (a,b)R(c,d) si, y solo si, ad=bc. Demostrar que se trata deuna relación de equivalencia y hallar el conjunto cociente. (Z*=Z–{0} )

9 reflexiva (x,y)R(x,y) : xy=yx, porque el producto es conmutativo en Z y Z*

9 simetrica (a,b)R(c,d) ⇒ (c,d)R(a,b) : ad=bc y cb=da9 transitiva (a,b)R(c,d) y (c,d)R(e,f) ⇒ (a,b)R(e,f) :

ad=bc y cf=de ⇒ af=be ? sí porque fad=bcf y bcf=deb ⇒ fad=deb →fa=eb

Conjunto cocienteZ×Z*/~ = { [(a,b)] ⁄ (a,b) ∈ Z × Z* } , [(a,b)]= { (c,d) ∈ Z × Z* ⁄ (a,b)R(c,d) }ad=bc → a/b=c/d, el conjunto cociente seran todas las fracciones

proporcionales a a/b,por consiguiente todas las clases unidas seran el conjunto de los números

racionales Q

3. En el conjunto a={0,1,–2,4} se da la siguiente relación : Dados x,y ∈ A, xRy ⇔ x2+x =y2+y. Demostrar que es una relación de equivalencia y hallar el conjunto cociente.

4. Sea f : A B una aplicación cuya descomposición canónica es f=i $ f1 $ c. Demostrar :a) f es inyectiva ⇔ c es inyectiva.b) f es sobreyectiva ⇔ i es sobreyectiva.c) f es biyectiva ⇔ c,i son biyectivas.

5. Demostrar que la relación R definida en el conjunto de las partes de un conjunto U, P(U),por : A,B ∈ P(U), A R B ⇔ A ⊆ B es una relación de orden. ¿Es una relación de orden total?.

6. Sea A un conjunto, donde Card(A)=n. Determinar si las siguientes proposiciones sonverdaderas o flasa, en cuyo caso dar un contraejemplo.

a) Si R es una relación reflexiva en A, entonces Card(R) ≥ n.b) Si R es una relación en A y Card(R) ≥ n, entonces R es reflexiva.

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c) Sean R1, R2 dos relaciones en A con R1⊆R2. Si R1 es reflexiva ( respectivamentesimetrica, antisimetrica, transitiva) entonces R2 es reflexiva( respectivamentesimetrica, antisimetrica, transitiva).

7. Determinar si las siguientes relaciones definidas en el conjunto A son de equivalencia : a) A={a,b,c,d}. R={(a,a), (b,a), (b,b), (c,c), (d,d), (d,c) } b) A={1,2,3,4,5}. R={ (1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (3,1), (2,3), (3,3), (4,4), (3,2), (5,5) } En caso afirmativo calcular las clases de equivalencia

MATEMATICA DISCRETA. Ejercicios V

1. Demostrar por inducción lo siguiente :

a) 1 + 3 + 5 + ... + (2n–1) = n2.

base de inducción : ¿ 9 para n=1 ? sí, porque para 1+3+5+...+(2n–1)=n2 , con n=1 nos queda1=1

paso inductivo : suponemos 9 para k ≥ 1, ¿9 para k+1? . O sea (2i - 1) =i=1

k

∑ k2 ,

¿ (2i - 1) =i=1

k+1

∑ (k+1)2 ?

vemos que se cumple, porque (2i - 1)i=1

k

∑ +(2(k+1)-1)=(k+1)2 → k2 +2k+2–1=(k+1)2 →

(k+1)2=(k+1)2

b) 1 + 3 + 5 + ... + (2n–1) = n(2n–1)(2n+1) / 3 .

base de inducción : 1=1

paso inductivo : (2i -1)2

i=1

k

∑ =k·(2k–1)·(2k+1) / 3 , ¿ (2i -1)2

i=1

k+1

∑ = (k+1)·(2(k+1)–1)·(2·(k+1)+1)/3?

(2i -1)2

i=1

k

∑ + (2(k+1)–1)2 = 4

3

1

3k k3 − → ( k·(2k–1)·(2k+1)/3 ) + (2(k+1)–1)2 = (k+1)·(2(k+1)–

1)·(2·(k+1)+1) / 3 →

→ 4

3

11

31k k + 4k3 2+ + =

4

3

11

31k k + 4k3 2+ +

- estos son exactamente la misma movida

c) 1·3 + 2·4 + 3·5 + ... + n·(n+2) = n·(n+1)·(2n+7) / 6 .

d) 1i(i+1)

nn+1i=1

n

∑ =

e) 2 2 2 11

1 0

1i

i

ni

i

nn−

= =

−∑ ∑= = −

f) in (n 1)

4i

i

n 2 2

i

n3

1 1

2

= =∑ ∑=

+=

- este es igual pero para las tres partes : la 1º con la 2º, y la 2º con la 3º

2. Demostrar que para cada n ≥ 0, el número 42n+1 + 3n+2 es múltiplo de 13. - Es decir : 13 | (42n+1 + 3n+2) , y por tanto : 42n+1 + 3n+2 = 13q

base de inducción : n=0, 42·0+1 + 30+2=13 (que es múltiplo de 13)

paso inductivo : 42k+1 + 3k+2=13q, ¿42(k+1)+1 + 3(k+1)+2 ?

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42(k+1)+1+3(k+1)+2 = 42k+3+3k+3 = 4(2k+1)+2 +3(k+2)+1 = 42·4(2k+1)+3·3k+2 = 16·4(2k+1)+3·3k+2 =

= 16·4(2k+1)+3·3k+2+( 13·3k+2–13·3k+2 ) = 16·4(2k+1)+16·3k+2 –13·3k+2 = 16·(4(2k+1)+3k+2)–13·3k+2

= 16·(13q)–13·3k+2 = 13·( 16q–3k+2 ) que evidentemente es múltiplo de 13

4. Para n ∈ Z, probar que : n–2 < (n2–n) / 12 . - lo mismo que los anteriores

5. Sea P(n) la proposición para n ∈ Z+, i(n ( / ))

i

n

=∑ = +

1

21 22

.

Demostrar que la veracidad de P(k) implica la veracidad de P(k+1) para todo k≥1. ¡ -lo mismo de antes !

¿ Es verdadera P(n) para todo n ∈ Z+ ?

6. Demostrar que todo número natural n ≥ 24 se puede expresar como la suma decincos y sietes .

8. Probar que la suma de los ángulos internos de un polígono convexo de n lados es(n–2)·π radianes.