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LÍMITES
LÍMITES AL INFINITO
LÍMITES INFINITOS
1
tiempo(años)
clientes
f
¿Cuál es el máximo número esperado de clientes al cual se tiende en
el largo plazo?
Analicemos …
¿ ?
¿ ?
50
t
Entonces: 50)(lim
tft
Esto es un límite al infinito, que nos indica a qué valor se aproxima la función cuando t crece indefinidamente.
2
LÍMITES AL INFINITO
3
Si los valores de la función f (x) tienden al número L cuando x aumenta indefinidamente, se escribe:
lim ( )x
f x L
De manera similar, valores de la función f (x) tienden al número M cuando x disminuye indefinidamente, se escribe:
lim ( )x
f x M
POR EJEMPLO….
4
y = f (x) y
y = L
y = M M
Llim ( )x
f x L
lim ( )x
f x M
x
LÍMITE AL INFINITO PARA FUNCIONES POLINÓMICAS
5
11 1 0( ) n n
n nf x a x a x a x a
lim ( ) lim nnx x
f x a x
Es decir, para hallar el límite de un polinomio en el infinito, se halla el límite del término de mayor grado (término dominante).
Ejemplos:
a) 32 59lim3 6x
x x
b) )5( 24lim
xxx
x
Sabemos que para n > 0, , ¿cuál es el valorde los siguientes límites?
INTERROGANTE . . . . .
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n
xxlim
nx x
1lim
nx x
1lim
11 1 0
11 1 0
( )n n
n nm m
m m
a x a x a x af xb x b x b x b
11 1 0
11 1 0
lim ( ) lim
n nn n
m
m mx xm m
m
a x a x a x axf x
b x b x b x bx
Divida el numerador y denominador entre el x elevado al mayor grado del denominador y calcule el límite de la nueva expresión:
Resolución:
límite al infinito para funciones racionales
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8
Para funciones racionales: 1
1 1 01
1 1 0
( )n n
n nm m
m m
a x a x a x af xb x b x b x b
Resolución simplificada:
Calcular el límite, tomando en cuenta el término dominante del numerador y del denominador:
m
m
nn
x xbxa
lim
Se dice que es un límite infinito si f (x)aumenta o disminuye ilimitadamente cuando x→a.Técnicamente, este límite no existe, pero se puede dar más información acerca del comportamiento de la función escribiendo:
LÍMITES INFINITOS
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lim ( )x a
f x
lim ( )x a
f x
lim ( )x a
f x
si f (x) crece sin límite cuando x→a.
si f (x) decrece sin límite cuando x→a.
¡INTERROGANTE!
10
A partir de la gráfica . . . , ¿en qué valor de a, se cumple:
)(lim xfax
11
a. Estime 2 21 1
1 1lim , lim1 1x xx x
Ejemplo 1:
2 2
2 2lim , lim2 2x xx x
b. Estime .
¿A dónde tiende ?2
2lim2x x
¿A dónde tiende cuando x tiende a −1? 2
1( )1
f xx
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De la gráfica de la función f, halle en caso exista, los siguientes límites:
Ejemplo 2:
