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LÍMITES Y ASINTOTAS
- Límites infinitos y límites al infinito- Asíntotas verticales y asíntotas horizontales
Unidad 01:
Establece y calcula límites de funciones, analizando su continuidad. Aplica estos conceptos para explicar diversas situaciones reales, lo que le permite valorar y tomar conciencia de que el concepto de límite es el concepto sobre el cual descansan los dos pilares más importantes del cálculo: la derivada y la integral.
¿Cuál es el comportamiento de la función a medida que x toma valores
muy cercanos a “0”?
2
1)(x
xf
20
1lim
xxEquivale a escribir:
Tabulamos……….
20
1lim
xx
Entonces:
LÍMITES INFINITOS
Definición:• Sea una función f
definida a ambos lados de a , excepto al vez en el mismo a. Entonces:
)(lim xfax
• Significa que los valores de f (x) pueden hacerse arbitrariamente grandes (tan grandes como se quiera) tomando x suficientemente cerca de a pero distinto de a.
Encuentre, si es que existe...
22 )2(
1lim
xx
22 )2(
1lim
xx
¿Cómo se comporta la función alrededor de x = 2 ?
A.V
Definición:
• Sea f la función definida a ambos lados de a , quizá con excepción del mismo valor a. Entonces:
)(lim xfax
• Significa que los valores de f(x) pueden hacerse arbitrariamente grandes en valor negativo al tomar x suficientemente cerca de a pero distinto de a.
ASÍNTOTAS VERTICALES
Definición:La recta x = a , se llama asíntota vertical de la curva y = f (x) si por lo menos una de las siguientes afirmaciones es verdadera:
)(lim;)(lim;)(lim xfxfxfaxaxax
)(lim;)(lim;)(lim xfxfxfaxaxax
Determine: 3
2lim
3
2lim
33 xy
x xx
¿Cómo se comporta la función alrededor de x = 3 ?
3
2lim3 xx
3
2lim3 xx
A.V
¿Hacia dónde se aproxima la función
a medida que x toma
valores muy grandes?
¿Cómo es la gráfica de f (x)?
1
1)(
2
2
x
xxf
Analice el comportamiento de la función...
1
1)(
2
2
x
xxf
x ±5 ± 10 ± 100 ± 1000 ……→ ±∞
f (x) 0,923077 0,980198 0,9998000 0,999998 → 1
Para valores muy grandes de x
¡¡GRAFIQUEMOS!!
11
)( 2
2
xx
xf
LÍMITES AL INFINITO
Cuando x se vuelve positivamente más grande......
11
12
2
x
xlímx
Observamos que:
Definición:• Sea una función f
definida en el intervalo Entonces:
Lxfx
)(lim
• Significa que los valores de f (x) pueden estar muy cercanos a L, para valores de x arbitrariamente grandes positivos
;a
Cuando x se vuelve negativamente más grande......
111
2
2
xx
límx
Definición:
• Sea una función f definida en el intervalo Entonces:
Lxfx
)(lim
• Significa que los valores de f (x) pueden estar muy cercanos a L, para valores de x arbitrariamente grandes negativos
b;
Determine:
xy
x xx
1lim
1lim
01
lim xx
01
lim xx
TEOREMA:
• Si r >0 es un número racional, entonces:
01
lim rx x
ASÍNTOTAS HORIZONTALES
Definición.
• La recta y = L , se llama asíntota horizontal de la curva y = f (x), si cumple cualquiera de las dos condiciones siguientes:
Lxfx
)(lim Lxfx
)(lim
1. Explique con sus propias palabras el significado de:
5)(lim)
xfax
3)(lim)
xfbx
2. Calcule los siguientes límites:
1536
852lim
34
23
xx
xxx
1186
34lim
4
25
xx
xxxx
32
1lim
37
27
xx
xxx
Análisis de asíntotas horizontales y verticales
• http://www.vadenumeros.es/geogebra/analisis/inversa.html
TRABAJO EN CLASE(GRUPAL)
Ejercicio propuesto
Realice la gráfica de una función que verifique las condiciones dadas:
2. Determine los límites infinitos, los límites en el (o al) infinito y las ecuaciones de las asíntotas de
la función graficada.
3. Para las funciones f y g, cuyas gráficas se dan a continuación, determine:
)(lim xfx
)(lim2
xfx
)(lim1
xfx
)(lim1
xfx
)(lim xfx
Las ecuaciones de las asíntotas
)(lim xgx
)(lim3xg
x
)(lim2
xgx
)(lim0xg
x
)(lim xgx
Las ecuaciones de las asíntotas
4. Determine las ecuaciones de las asíntotas verticales y/o horizontales de la gráfica de las funciones:
Ejercicio propuesto
• Trace la gráfica de una función f que satisfaga todas las condiciones que a continuación se indican:
)(;)(;5)(;3)(
1)0(;2)(;3)3(;2)(;4)(
22
433
xflímxflímxflímxflím
fxflímfxflímxflím
xxxx
xxx
