MATEMÁTICA I

LIMITES E CONTINIDADE

Prof. Dr. Nelson J. Peruzzi

Profa. Dra. Amanda L. P. M. Perticarrari

Parte 1

• Limites Infinitos

• Definição de vizinhança e limite

• Limites laterais

• Limite de função real com uma variável real

• Teorema da existência do limite

• Limite de funções elementares (polinomiais, potência, n-ésima raiz, exponencial, logarítmica e trigonométrica)

• Propriedades de limites

• Indeterminações

Parte 2

• Continuidade de Funções

• Definição

• Tipos de Descontinuidade

• Propriedades

• Limites Infinitos

• Definição

• Assíntotas: horizontal e vertical

• Limites Fundamentais

LIMITE DE UMA FUNÇÃO

No cálculo e em suas aplicações, é comum estudar o

comportamento de uma função 𝑦 = 𝑓 𝑥 quando 𝑥 está

numa vizinhança de um valor 𝑎, mesmo que 𝑎 ∉ 𝐷𝑓.

Sejam 𝑎 ∈ ℝ e 𝛿 > 0 (suficientemente pequeno).

• Dizemos que x está na vizinhança (próximo) de a se

𝑥 − 𝑎 < 𝛿 .

• O valor a é dito limite da variável x.

• Notação: 𝑥 → 𝑎 .

Exemplo. 0,999… ≅ 1 ⇒ 0,999… ⟶ 1

então, 1 − 0,999… < 𝛿

DEFINIÇÃO DE VIZINHANÇA E LIMITE

No caso de uma variável real x, a aproximação do

número 𝑎 pode ser feita de duas maneiras: à

direita e à esquerda.

• Limite à direita de 𝒂 (valores maiores que 𝒂).

• Limite à esquerda de 𝒂 (valores menores que 𝒂).

DEFINIÇÃO DE VIZINHANÇA E LIMITE

Notação. 𝑥 ⟶ 𝑎+

Notação. 𝑥 ⟶ 𝑎−

Seja a função 𝑓 𝑥 = −𝑥 + 4 definida para todo

𝑥 ∈ ℝ.

• Analisemos o comportamento de 𝑓 𝑥 quando 𝑥 assume

valores próximos de 2, porém diferentes de 2.

LIMITE DE FUNÇÃO REAL COM

UMA VARIÁVEL REAL

𝒙 𝒇 𝒙 𝒙 𝒇 𝒙

1 3,00 3 1,00

1,5 2,50 2,5 1,50

1,7 2,30 2,3 1,70

1,9 2,10 2,10 1,90

1,99 2,01 2,01 1,99

LIMITE DE FUNÇÃO REAL COM

UMA VARIÁVEL REAL

Note que na função 𝑓 𝑥 = −𝑥 + 4,

quanto mais aproximamos 𝑥 do valor 2 as diferenças

𝑥 − 2 e 𝑓 𝑥 − 𝐿 se tornam suficientemente

pequenas.

Neste caso, lim𝑥→2

𝑓 𝑥 = 𝑓 2 ⇒ lim𝑥→2

−𝑥 + 4 = 2

𝑦

𝑥

Se a variável 𝒙 se aproxima de 𝒂 e os valores

𝑦 = 𝑓 𝑥 se aproximam de um valor real 𝑳 ,

dizemos que: a função 𝑦 = 𝑓 𝑥 tem limite 𝑳 ou

“tende a” 𝑳, quando 𝑥 tende para 𝑎.

Notação: lim𝑥→𝑎

𝑓 𝑥 = 𝐿

Note que, dado 𝜖 > 0, existe 𝛿 > 0 tal que

𝑥 − 𝑎 < 𝛿 e 𝑥 ≠ 𝑥0 ⇒ 𝑓 𝑥 − 𝐿 < 𝜖

𝑎

𝐿

𝑓 𝑥1

𝑥1

𝑦 = 𝑓 𝑥 𝑦

𝑥

LIMITE DE FUNÇÃO REAL COM

UMA VARIÁVEL REAL

TEOREMA DA EXISTÊNCIA DO LIMITE

Dada uma função 𝑦 = 𝑓 𝑥 , dizemos que existe o

limite de 𝑓 𝑥 quando 𝑥 tende ao ponto 𝑎 , se

existirem e forem iguais os limites laterais à

direita e a esquerda de 𝑎, isto é:

lim𝑥→𝑎

𝑓 𝑥 = 𝐿 ⟺

lim𝑥→𝑎+

𝑓 𝑥 = 𝐿

lim𝑥→𝑎−

𝑓 𝑥 = 𝐿

Exemplo 2. Considere a função 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 3.

Determine, caso exista, lim𝑥→0

𝑓 𝑥 .

LIMITE DE FUNÇÃO

lim𝑥→0−

𝑓 𝑥 = lim𝑥→0−

2𝑥 + 3 = 3

lim𝑥→0+

𝑓 𝑥 = lim𝑥→0+

2𝑥 + 3 = 3

Portanto

lim𝑥→0

𝑓 𝑥 = 3

𝑥

𝑦

Se 𝑚, 𝑎 𝜖 ℝ, então lim𝑥→𝑎

𝑚𝑥 + 𝑏 = 𝑚 ∙ 𝑎 + 𝑏

• Portanto, para calcular o limite da função linear,

𝑓(𝑥) = 𝑚𝑥 + 𝑏, quando 𝑥 → 𝑎, basta substituir a variável

𝑥 pelo valor aproximado 𝑎.

• Observações:

a) Fixando 𝒎 = 𝒄 uma constante e 𝒃 = 𝟎 temos:

lim𝑥→𝑎

𝑐𝑥 + 0 = lim𝑥→𝑎

𝑐𝑥 = 𝑐 ∙ 𝑎 ⇒ lim𝑥→𝑎

𝑐𝑥 = 𝑐 ∙ 𝑎

b) Fixando 𝒎 = 𝟎 e 𝒃 = 𝒌, 𝒌 é uma constante, temos:

lim𝑥→𝑎

0𝑥 + 𝑘 = lim𝑥→𝑎

𝑘 = 𝑘 ⇒ lim𝑥→𝑎

𝑘 = 𝑘

“o limite da constante é a própria constante”.

LIMITE DAS FUNÇÕES ELEMENTARES

Se 𝑛 𝜖 ℕ, então

lim𝑥→𝑎

𝑓 𝑥𝑛= 𝑓 𝑎

𝑛

• Exemplos:

a) Seja 𝑓 𝑥 = 𝑥2, quando 𝑥 → 3 temos que:

lim𝑥→3

𝑥2 = 32 = 9

b) Seja 𝑓 𝑥 =3𝑥−1 3

125, quando 𝑥 → 2 temos que :

lim𝑥→2

3𝑥−1 3

125=

3∙2−1 3

125= 1

LIMITE DA POTÊNCIA

Dada a função 𝑦 = 𝑓 𝑥𝑛

, se 𝑛 é par e 𝑓 𝑎 > 0, ou

𝑛 é ímpar, então:

lim𝑥→𝑎

𝑓 𝑥𝑛

= 𝑓 𝑎𝑛

• Exemplos:

a) Seja 𝑓 𝑥 = 𝑥2 + 5, quando 𝑥 → −2 temos que:

lim𝑥 → −2

𝑥2 + 5 = −2 2 + 5 = 4 + 5 = 9 = 3

b) Seja 𝑓 𝑥 = 3𝑥2 − 13

, quando 𝑥 → 0 temos que :

lim𝑥 → 0

3𝑥2 − 13

= 3 ∙ 02 − 13

= −13

= −1

LIMITE DA N-ÉSIMA RAIZ

Seja 𝑏 ∈ ℝ+ e 𝑏 ≠ 1, então:

lim𝑥→𝑎

𝑏𝑓 𝑥 = 𝑏𝑓 𝑎

• Em particular, se 𝑏 = 𝑒 = 2,71…, temos:

lim𝑥→𝑎

𝑒𝑓 𝑥 = 𝑒𝑓 𝑎

• Exemplos:

a) Seja 𝑓 𝑥 = 23𝑥−1, quando 𝑥 → 1 temos que:

lim𝑥 → 1

23𝑥−1 = 23∙1−1 = 23−1 = 22 = 4

b) Seja 𝑓 𝑥 = 𝑒3𝑥−1, quando 𝑥 → 1

3 temos que :

lim𝑥 →1/3

𝑒3𝑥−1 = 𝑒3∙1

3−1 = 𝑒1−1 = 𝑒0 = 1

LIMITE DA EXPONENCIAL

Seja 𝑏 ∈ ℝ+ e 𝑏 ≠ 1, então, se 𝑓 𝑥 > 0:

lim𝑥→𝑎

log𝑏 𝑓 𝑥 = log𝑏 𝑓 𝑎 , 𝑓 𝑎 > 0

• Em particular, se a base 𝑏 = 𝑒 = 2,71… (n. de

Euler), temos:

lim𝑥→𝑎

ln 𝑓 𝑥 = ln 𝑓 𝑎 , 𝑓 𝑎 > 0

• Exemplos:

a) Seja 𝑓 𝑥 = log 𝑥2, quando 𝑥 → 10 temos que:

lim𝑥 → 10

log 𝑥2 = log 102= log 10 = 1

b) Seja 𝑓 𝑥 = ln 5𝑥 − 4 , quando 𝑥 → 1 temos que :

lim𝑥 → 1

ln 5𝑥 − 4 = ln 5 ∙ 1 − 4 = ln 1 = 0

LIMITE DO LOGARITMO

Função Seno:

lim𝑥→𝑎

sen 𝑓 𝑥 = sen 𝑓 𝑎

Função Cosseno:

lim𝑥→𝑎

cos 𝑓 𝑥 = cos 𝑓 𝑎

Função Tangente:

lim𝑥→𝑎

tg 𝑓 𝑥 = tg 𝑓 𝑎 , com 𝑓 𝑎 ≠𝜋

2+ 𝑘𝜋

LIMITE DAS TRIGONOMÉTRICAS

Para o polinômio de grau 𝑛, 𝑛 ∈ ℕ, dado por:

𝑝𝑛 𝑥 = 𝑎𝑛𝑥𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥

𝑛−1 +⋯+ 𝑎2𝑥2 + 𝑎1𝑥 + 𝑎0

temos que:

lim𝑥→𝑎

𝑝𝑛 𝑥 = 𝑝𝑛 𝑎

LIMITE DE POLINÔMIOS

PROPRIEDADES DE LIMITES

LIMITE DA SOMA E DIFERENÇA

lim𝑥→𝑎

𝑓 ± 𝑔 𝑥 = lim𝑥→𝑎

𝑓 𝑥 ± lim𝑥→𝑎

𝑔 𝑥

LIMITE DO PRODUTO

lim𝑥→𝑎

𝑓 ∙ 𝑔 𝑥 = lim𝑥→𝑎

𝑓 𝑥 ∙ lim𝑥→𝑎

𝑔 𝑥

LIMITE DO QUOCIENTE

lim𝑥→𝑎

𝑓

𝑔𝑥 =

lim𝑥→𝑎

𝑓 𝑥

lim𝑥→𝑎

𝑔 𝑥, lim

𝑥→𝑎𝑔 𝑥 ≠ 0

INDETERMINAÇÕES

Calcule o limite da função 𝑓 𝑥 =2𝑥−2

𝑥−1 quando

𝑥 → 1.

Solução:

lim𝑥→1

2𝑥 − 2

𝑥 − 1= lim

𝑥→1

2 𝑥 − 1

𝑥 − 1= 2

Para tratar as indeterminações, pode-se mani-

pular algebricamente e simplificar as expressões

eliminando as indeterminações.

Parte 1

• Limites Infinitos

• Definição de vizinhança e limite

• Limites laterais

• Limite de função real com uma variável real

• Teorema da existência do limite

• Limite de funções elementares (polinomiais, potência, n-ésima raiz, exponencial, logarítmica e trigonométrica)

• Propriedades de limites

• Indeterminações

Parte 2

• Continuidade de Funções

• Definição

• Tipos de Descontinuidade

• Propriedades

• Limites Infinitos

• Definição

• Assíntotas: horizontal e vertical

• Limites Fundamentais

• No cotidiano, para descrever um fato que ocorre

ou ocorreu sem interrupção, geralmente, usamos

o termo Contínuo.

o Ex.: medicamento de uso contínuo.

• Na matemática, usamos a expressão Contínua

para funções e neste caso a noção é um pouco

diferente da usada no cotidiano.

CONTINUIDADE DE FUNÇÕES

INDETERMINAÇÕES

Uma função 𝑦 = 𝑓(𝑥) é dita contínua num ponto

𝑎 se, e somente se, satisfaz às três condições

simultaneamente:

• Se uma função não satisfaz todas as condições

acima no ponto 𝑎, a função é dita descontínua

(no ponto 𝑎) e 𝑎 é um ponto de descontinuidade

da função.

CONTINUIDADE DE FUNÇÕES

Intuitivamente, dizemos que uma função é

descontínua num ponto 𝑎 se o seu gráfico tiver

“salto, degrau ou ruptura” ao passar pelo ponto

(𝑎 , 𝑓(𝑎)).

Essa função não é contínua,

pois ∄𝑓 𝑎

Essa função não é contí-

nua, pois ∄ lim𝑥→𝑎

𝑓 𝑥

TIPOS DE DESCONTINUIDADE

a) Descontinuidade removível: as descontinuidades

são criadas a partir da remoção de 𝑓(𝑎).

b) Salto: o gráfico “salta” ao

passar a.

c) Descontinuidade

infinita: quando

𝑥 → 𝑎 ⇒ 𝑓 𝑥 → ∞

Se f e g são funções contínuas em a, então:

i) (𝑓 + 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) é contínua em 𝑎.

ii) (𝑓 − 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥) é contínua em 𝑎.

iii) (𝑓 ∙ 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥) é contínua em 𝑎.

iv)𝑓

𝑔(𝑥) =

𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥) , 𝑔(𝑎) ≠ 0, é contínua em 𝑎.

PROPRIEDADES DE FUNÇÕES CONTÍNUAS

Observação 2: Para calcular o limite das funções

elementares contínuas, quando x tende ao ponto 𝑎,

basta substituir 𝒙 por 𝒂 na expressão 𝒇(𝒙),

respeitando 𝐷𝑓.

PROPRIEDADES DE FUNÇÕES CONTÍNUAS

Considere as funções com comportamento

ilimitado quando 𝑥 tende a 𝑎.

• Seja 𝑦 = 𝑓(𝑥) uma função definida por: 𝑦 =3

𝑥−2 2

descontínua em 𝑥 = 2. Qual o comportamento de

𝑦 = 𝑓(𝑥) na vizinhança de 2?

LIMITES INFINITOS

2 𝑥

𝑦

ASSÍNTOTA VERTICAL

A reta vertical 𝑥 = 𝑎 é chamada assíntota

vertical do gráfico de uma função 𝑦 = 𝑓(𝑥) , se

𝑦 → ±∞ quando 𝑥 → 𝑎− ou 𝑥 → 𝑎+ .

𝑦 𝑦

𝑥 𝑥

𝑦 𝑦

𝑥 𝑥

𝒂 𝒂

𝒂 𝒂

• Seja 𝑦 = 𝑓(𝑥) uma função definida por 𝑦 =2𝑥2

𝑥2+1

𝑦

𝑥

Note que, neste caso, temos uma assíntota

horizontal em 𝑦 = 2, assim:

lim𝑛→−∞

2𝑥

𝑥2 + 1= 2

LIMITES INFINITOS

ASSÍNTOTA HORIZONTAL

A reta horizontal 𝑦 = 𝐿 é chamada assíntota

horizontal do gráfico de uma função 𝑦 = 𝑓(𝑥), se

𝑦 → 𝐿 quando 𝑥 → ∞ ou 𝑥 → −∞.

𝑳 𝑳

𝑳 𝑳

Se o limite de uma função cresce (ou decresce)

ilimitadamente, quando 𝑥 se aproxima de um

valor 𝑎, dizemos que o limite é infinito (ou menos

infinito).

• Notação:

lim𝑥→𝑎

𝑓 𝑥 = ∞ ou lim𝑥→𝑎

𝑓 𝑥 = −∞.

• Assim, temos uma descontinuidade infinita.

DEFINIÇÃO DE LIMITES INFINITOS

Para 𝑓(𝑥) =3

𝑥−2 2 temos que

lim𝑥→2+

𝑓 𝑥 = ∞

pois

Analogamente, lim𝑥→2−

𝑓 𝑥 = ∞, pois

LIMITES INFINITOS

𝑥 3 2,5 2,33 2,25 2,1 2,01 2,001

𝑦 3 12 27 48 300 30.000 3.000.000

𝑥 1 1,5 1,66 1,75 1,9 1,99 1,999

𝑦 3 12 27 48 300 30.000 3.000.000

LIMITES INFINITOS

São considerados limites infinitos no infinito

qualquer um dos 4 casos:

• 𝑦 → ∞ quando 𝑥 → ∞

• 𝑦 → ∞ quando 𝑥 → −∞

• 𝑦 → −∞ quando 𝑥 → −∞

• 𝑦 → −∞ quando 𝑥 → ∞

LIMITES FUNDAMENTAIS

LF1. lim𝑥→0

sen 𝑥

𝑥= 1

LF2. lim𝑥→±∞

1 +𝑘

𝑥

𝑥= 𝑒𝑘

• se 𝑘 = 1, lim𝑥→±∞

1 +1

𝑥

𝑥= 𝑒

LF3. lim

𝑥→0

𝑎𝑥−1

𝑥= ln 𝑎

• se 𝑎 = 𝑒, lim𝑥→0

𝑒𝑥−1

𝑥= 1

𝑥

𝑦