Le difficoltà nella didattica della matematica

Le difficoltà nella didatticaLe difficoltà nella didatticadella Matematicadella Matematica

Prof. Crescenzio GalloProf. Crescenzio Galloc.c.gallo@[email protected]

http://www.http://www.dsemsdsems..unifgunifg..it/~cgallo/it/~cgallo/

Crescenzio Gallo - Le difficoltà nell'apprendimento della Matematica 2

Il problema delle difficoltà diIl problema delle difficoltà diapprendimentoapprendimento

Non intendiamo qui discutereesplicitamente di situazioni dihandicap e delle loro causeremote: una tale trattazionerichiederebbe ben altri strumentie competenze!



Ci occuperemo, quindi, diproblemi più “banali”, ma chepotranno essere di aiutonell’insegnamentoinsegnamento delladellamatematicamatematica.



E’ quindi prima di tuttoimportante discutere deicritericriteri con i quali talvolta sigiudica che certi soggettisiano bisognosi di sostegno.



L’esperienza porta a fare alcuneconsiderazioni, prima tra tutte la perplessitàche deriva da casi in cui soggetti sordivengono bollati come ritardati mentali, oquelli in cui soggetti che rifiutano (quasi)totalmente la matematica vengono perciòconsiderati “ritardati”…



… mentre il problema era dovuto alladidattica radicalmente sbagliatadidattica radicalmente sbagliata allaquale erano stati sottoposti nel corsodei vari anni scolastici.



Molta perplessità suscita anche l’uso del“quoziente di intelligenzaquoziente di intelligenza”: la pretesadi dare un ordinamento lineare alleintelligenze (specie quelle dei soggettiin giovane età) è spesso fuorviante epuò dar luogo a ghettizzazionifondamentalmente ingiuste.



E’ quindi opportuno porsi il problemadella responsabilità (e della fatica)dell’insegnamento della matematica,delle difficoltà di apprendimento dadifficoltà di apprendimento daparte dei discentiparte dei discenti…



Ma cosa (e quanto) bisognaconoscere della Matematica?Paradossalmente, ciò che importaè sapere che la matematicala matematicaesisteesiste.



Nell’accezione tradizionale di “leggere,scrivere e saper far di conto” moltipotrebbero allora affermare chesanno molto bene che la matematicaesiste (e probabilmente ne portanoancora uno sgradito ricordo...).



In tali casi si potrebbe affermare che perquesti soggetti la matematica nonla matematica nonesisteesiste: ignorano la matematica comefatto culturale, come ispiratrice di unamentalità e di un metodo diconoscenza, di analisi e disimbolizzazione del mondo reale.



E’ rimasta in loro una confusamemoria di un’immagine dellamatematica che si riduce alleregole di applicazioneregole di applicazione delsimbolismo convenzionale.



Regole che, per la loro rigidità, vengonospesso ricordate meccanicamentemeccanicamentecome delle imposizioni non sempremotivate, oppure come procedure“magiche”, comprensibili solo ad unaristretta cerchia di iniziati, macomunque oscure nel loro significato enel loro fondamento.



Se questa è, più o meno, ll’’immagine dellaimmagine dellamatematicamatematica che è nella mentedell’insegnante, non ci si deve stupire seegli ridurrà la sua azione al tentativo diinsegnare mnemonicamente le regoledelle operazioni agli alunni, e forse anchea tormentarli con i disegni dell’algebra diBoole e dell’insiemistica…



Il rischio è che quest’opera di puropuroaddestramentoaddestramento si riveli presto vanae che venga subita dagli alunni comel’ennesima imposizione inutile che lascuola propina.


Idee e prospettiveIdee e prospettive

“La prima matematica è la linguaLa prima matematica è la linguaitalianaitaliana”: uno dei compiti importantidella scuola è quello di formare lamente degli alunni in modo cheriescano ad esprimere le loro idee inmaniera ordinata e corretta (epreferibilmente concisa).



E’ quindi proprio tale somiglianzache connota la matematicala matematicaanche come linguaggioanche come linguaggio cherichiede esercizio, spessoassiduo.


Idee prospettiveIdee prospettive

Esercizio che però non devediventare addestramentoaddestramento, tantopiù pesante quanto maggiore è ladifficoltà che il soggetto incontranelle operazioni di “traduzione”dal linguaggio comune a quellomatematico, e viceversa.



Operazioni, queste, che presentanodifficoltà spesso insormontabilidifficoltà spesso insormontabiliper molti soggetti, anche perché illinguaggio matematico utilizzametodicamente dei simboliconvenzionali ed è retto da unasintassi molto rigida.



La strada giusta allora potrebbeessere quella di impostare,innanzitutto, la formazione degliformazione degliallievi allievi in modo tale da fornireloro un’immagine più chiara dellamatematica…



…fare in modo cioè che essi nonguardino ad essa soltanto come adun insieme di formule e calcoli, macome a una scienza composta daprocedure razionali che dovrebberocondurre alla costruzione di con-costruzione di con-cetti astratticetti astratti e alla simbolizzazionesimbolizzazionedella realtàdella realtà.



In tal modo essi potrannoindirizzare i propri sforzi verso ilconseguimento dell’attitudine adunun’’elementare razionalità dielementare razionalità dicomportamentocomportamento.



Una razionalità che possa esplicarsinella capacità di progettarecapacità di progettare leproprie azioni e di prenderecoscienza delle proprie procedure,senza pretendere di giungere semprealla simbolizzazione convenzionale,tipica della matematica.



Ciò però non significa che sidebba rinunciare a fare dellarinunciare a fare dellamatematicamatematica anche con i sog-getti che rifiutano la simbo-lizzazione abituale.



Ad es. si può pensare che “farefaregeometriageometria” sia come porsi inmodo razionale rispetto all’am-biente che ci circonda e rispettoagli oggetti che noi vediamo epossiamo manipolare.



Così la geometria potrebbe ancheservire come punto di partenza periniziare la costruzione di quellarazionalità elementarerazionalità elementare e di quellaprogettualitàprogettualità necessarie agli stu-denti (con o senza deficit).



Tenendo ad es. presente che nellageometria euclidea (elementare) ècontenuto il gruppo dei movimentirigidi, è possibile applicare questeconsiderazioni alle manipolazioni deglioggetti rigidi, anche di quelli cheentrano nel vissuto quotidianovissuto quotidiano.



Si può così pensare di impostare perquesta via una formazione allarazionalità matematica a partire daun’esperienza concretaesperienza concreta: una via chepresenta il vantaggio iniziale di nonrichiedere strumenti espressivi diversi daquelli della lingua parlataquotidianamente.



Seguendo questa strada si puòsperare di avviare gradualmentegli alunni alla simbolizzazionesimbolizzazionematematicamatematica senza tuttavia im-porla dall’esterno.



Ovviamente quanto detto finora costituisceun insieme di osservazioni che nonintendono avere valore sistematico.

E’ necessario ricordare che ogni casocaso èdiverso dagli altri, pertanto le osservazionie i suggerimenti debbono esserenecessariamente tenuti ad un livello moltogenerico.



Rimane tuttavia l’atteggiamento di fondo che liispira: un atteggiamento che mira a ricercarepazientemente le possibilità, anche minime,di comprensionecomprensione e di autonomia razionaleautonomia razionaledegli alunni, in modo che ogni azione diazione diformazioneformazione non sia un “addestramento” acomportamenti più o meno imposti (e quindiautomatici), ma nasca dalla loro autentica eautonoma personalità.


ProblematicaProblematica

• Quali sono le difficoltà che lamatematica pone a insegnanti estudenti?

• Se e come il processo diintegrazioneintegrazione scolastica puòessere di aiuto nella propostadidattica?


Tipi di difficoltàTipi di difficoltà

La MatematicaMatematica presentadifficoltà di tipo specifico e

NON sempre aggirabili, sinoalla rinuncia di una proposta

didattica adeguata!


Indispensabilità della MatematicaIndispensabilità della Matematica

Un certo livello di competenzacompetenzamatematicamatematica è indispensabileper la qualità della vita nellaconquista della sua autonomiaautonomiapersonale e sociale.


Indispensabilità della MatematicaIndispensabilità della Matematica

Gli alunni sono tra di loro diversi percapacità e ritmo di apprendimento analoghe difficoltà didifficoltà diapprendimentoapprendimento per presenza dideficit, motivi socio-familiari oprecedenti esperienze scolastichenegative.


Insegnare matematica a tuttiInsegnare matematica a tutti

L’importanza della matematica sta nel fatto

che essa rappresenta un potente

strumento di interpretazione dellastrumento di interpretazione della

realtàrealtà, allena al senso critico, al

ragionare corretto, a classificare,

ordinare, schematizzare, astrarre.


I nodi più significativiI nodi più significativi

nell’insegnamento/apprendimento della matematica:

1. la terminologiaterminologia e il simbolismo;2. la sequenzialità sequenzialità degli apprendimenti;3. i problemiproblemi e la loro traduzione dal

linguaggio naturale a quello matematico;4. le tecniche tecniche di calcolo;5. l’astrazioneastrazione e il rigore;6. l’infinitoinfinito.


La terminologia e il simbolismoLa terminologia e il simbolismo

Oltre 300300 i termini e i simboliintrodotti nella scuola delloobbligo, rispetto a circa30003000 parole del linguaggionaturale.


La terminologia e il simbolismoLa terminologia e il simbolismo

Linguaggio naturaleLinguaggio naturale acquisito subi-to in maniera informale, per imita-zione.

Linguaggio matematicoLinguaggio matematico non intuiti-vo: richiede un apposito insegna-mento.

Ad es.: 5 ; 52 ; 571 ; 0,5 ; 5° ; V ; 1/5 ; ... collegamento fra segnisegni e significatisignificati


La sequenzialità degli apprendimentiLa sequenzialità degli apprendimenti

L’apprendimentoapprendimento è di so-lito, ma non necessaria-mente, cumulativocumulativo (comead es. per la Storia).



In matematica esiste una benprecisa scala gerarchica degliscala gerarchica degliapprendimentiapprendimenti, da immagazzina-re nella memoria a lungo terminememoria a lungo terminein modo dinamicodinamico (ad es. il passaggio

dai n.ri naturali ai razionali).



Il docente deve essere disponibile a

modificare il ““contratto didatticocontratto didattico””,

incoraggiando i meno bravi ad

imparare dai loro errori (vedi richiamo

tematiche anni precedenti nelle prove

d’esame).


I problemiI problemi

Il sapere matematico si apprendeIl sapere matematico si apprende (e

quindi si insegna) affrontando eaffrontando e

risolvendo problemi che interessinorisolvendo problemi che interessino

e coinvolgano le coinvolgano l’’alunnoalunno ancor più

vero per un allievo in difficoltà!


I problemiI problemi

La scelta delle motivazionimotivazioni e dei contesticontesti

diviene essenziale: no ripetitività degli

esercizi, ma fasi di individuazione deiindividuazione dei

datidati, scelta delle operazioniscelta delle operazioni e della loro

sequenza, svolgimento dei calcolicalcoli,

controllo della plausibilità del risultatoplausibilità del risultato.


Le tecniche di calcoloLe tecniche di calcolo

Accezione corrente:matematicomatematico

↔↔colui che sa fare calcolicolui che sa fare calcoli

(complicati).



Difficoltà:Difficoltà:memorizzazione e

capacità di eseguirecorrettamente procedure

complesse.



ConseguenzeConseguenze di un erroregrammaticale minime;

drammatiche per calcolimatematici!



Privilegiare anche le tecniche tecnicheoperative operative ““informaliinformali””, nonchél’uso della calcolatrice, perconcentrarsi sugli aspetti piùaspetti piùsignificativisignificativi della materia.



Piuttosto insegnarecontrolli controlli sull’ordine di

grandezza dei risultati everifiche di plausibilitàverifiche di plausibilità

degli stessi!


ConsiderazioniConsiderazioni

Nel costruire percorsi secondo questadirezione, gli insegnanti si trovanoinevitabilmente nella necessità dinecessità diallargare i confini della classeallargare i confini della classe, allaricerca di un rapporto con la realtà chemetta alla prova la capacità di porsi erisolvere problemi reali.



I benefici che ne derivano mostrano come questa

strategia strategia possa in effetti essere vincentevincente, in

un processo educativo che vede ogni singolo

alunno arteficeartefice del proprio apprendimento, nel

rispetto delle sue peculiari capacità e

potenzialità.



L’insegnante deve guidare questo

processo e dunque deve possedere sia

una solida competenza disciplinarecompetenza disciplinare che

una forte creativitàcreatività, elasticitàelasticità e

capacità di attenzionecapacità di attenzione alle potenzialità

dei singoli.


Un approccio integrato alleUn approccio integrato alledifficoltà in matematicadifficoltà in matematica

Atteggiamenti contrastantiAtteggiamenti contrastanti dell’inse-gnante di fronte alle difficoltà di alcunialunni:

• andare avanti comunque, non sottra-endo tempo agli altri (“tanto non serve…”);

• l’insegnamento si deve adattare aibisogni dell’alunno (più debole).

Rassegnazione e fatalismo in caso diinsuccesso!


LL’’approccio tradizionale alleapproccio tradizionale alledifficoltàdifficoltà

Repetita iuvantRepetita iuvant?? Dipende…L’approccio tradizionale focalizzal’attenzione sulle conoscenze chel’alunno non possiede, con ripetizioneripetizionedegli argomenti implicati: OK perl’alunno assente, ma non funziona conquelli in difficoltà già presenti allaspiegazione!



•• EnfatizzaEnfatizza il ruolo dell’errore.•• VedeVede l’errore come prodotto di man-

canza di conoscenze.•• LimitaLimita l’attenzione ai processi risolutivi

che gli alunni mettono in atto neltentativo di risolvere problemi di mate-matica.



Ma una risposta corretta non garantiscell’’effettiva comprensioneeffettiva comprensione!

Dietro gli errori (sistematici) ci sonoprocessi di pensiero consistenti, percui ll’’errore è frutto dierrore è frutto diunun’’interpretazione personaleinterpretazione personale,diversa da quella “ufficiale”.



Molti allievi sbagliano non perchéMolti allievi sbagliano non perchéapplicano in modo scorretto applicano in modo scorretto ““algoritmialgoritmi””corretti, ma perché applicano in modocorretti, ma perché applicano in modocorretto corretto ““algoritmialgoritmi”” scorretti. scorretti.

278- 352- 406- 543- 510- 1023-278- 352- 406- 543- 510- 1023-135=135= 146=146= 219=219= 367=367= 238=238= 835= 835=143 214 213 224 328 1812143 214 213 224 328 1812


Approccio globale alle difficoltà:Approccio globale alle difficoltà:il il problem solvingproblem solving

Cos’è un problemaproblema? “Un problema sorgequando un essere vivente ha una meta ma

non sa come raggiungerla” (Duncker): quindi,

la meta può anche non essere raggiunta! (si

impara dai propri errori).

L’esercizioesercizio è semplicemente l’applicazione di un

procedimento già noto.


Approccio globale alle difficoltà:Approccio globale alle difficoltà:il il problem solvingproblem solving

Processo di risoluzione di un problema:

pianificazione esecuzione controllo

Quindi un problema è fondamentalmente unatteggiamento di tipo strategicostrategico (le decisioniprese hanno un ruolo cruciale); nell’eserciziovi è invece l’attivazione di un comportamentoautomaticoautomatico.


Le abilità Le abilità metacognitivemetacognitive

Riguardano la gestione delle risorserisorsecognitivecognitive, che si articola in:

•• consapevolezzaconsapevolezza delle proprie risorse•• regolazioneregolazione del comportamento in

base a tali risorse, cioè attivazione diprocessi di controlloprocessi di controllo (ad es. uso dei post-it

per aiutare la memoria).


Le abilità Le abilità metacognitivemetacognitive

A parità di risorse, una maggioremaggioreconsapevolezzaconsapevolezza e la capacità diattivare processi di controllo possonodare luogo a prestazioni moltodiverse.

L’approccio tradizionale alle difficoltàle ignora, sbagliando!


Le convinzioni sulla matematicaLe convinzioni sulla matematica

Ruolo centrale nella teoria teoria costruttivi-costruttivi-stasta, che supera il vecchio modello deldiscente come “tabula rasa”: l’individuoè l’interpreteinterprete dell’esperienza di ap-prendimento e costruisce le sue con-con-vinzionivinzioni sulla matematica, che lo gui-deranno nella risoluzione dei problemi.


Convinzioni errateConvinzioni errate

In matematica quello che conta sonoIn matematica quello che conta sonoi prodotti e non i processi!i prodotti e non i processi!

Quindi, se il risultato è sbagliatofallisce l’intera “prestazione”(viceversa, è difficile convincere che ilpro-cedimento è sbagliato davanti aun risultato che “torna”).


Convinzioni errateConvinzioni errate

Da qui l’altra convinzione errata cheoccorra molta memoria in matematicamolta memoria in matematica,per ricordare tutti i “prodotti” possibili(vedi le tabelline) invece che i “processi”di calcolo

sfiducia nei propri mezzi: “Ho fatto male il

compito perché era difficile, perché il professore è

severo, perché sono sfortunato …”.


I fattori affettiviI fattori affettivi

Oltre al ruolo cruciale delle abilitàmetacognitive (di per sé nonsufficienti), vi è la dimensionedelle emozioniemozioni nella risoluzionedi problemi e nel processo diapprendimento.



I processi emozionaliprocessi emozionali e quelli cognitivi nellamente non sono contrapposti, bensì sirafforzano.

Le emozioni che un alunno associa alla suavisione della matematica alloracostituiscono per l’insegnante un segnaleprezioso: tale visione, se distorta, produceemozioni negative e comportamentifallimentari (ad es. risposte a caso!).



Sta all’insegnantecorreggerecorreggere tali

distorsioni, per ridareall’allievo autostimaautostima nei

propri mezzi.


LL’’insegnante come solutore di problemiinsegnante come solutore di problemi

L’approccio alle difficoltà approccio alle difficoltà visto sicontrappone a un approcciolimitato all’individuazione e allacorrezione di errori, e riconoscenei processi risolutivi l’influenza dipiù fattori (metacognizione, convinzioni,

emozioni).



L’interpretazione del fallimen-interpretazione del fallimen-to to di un alunno diventa per loinsegnante un compito crucia-le, necessario per progettareinterventi di recupero mirati.



E’ quindi un problemaproblema, e richiededelicati processi decisionali (e val-gono le sue abilità metacognitive,le sue emozioni, ma soprattutto lesue convinzioni sull’insegnamento/ apprendimento della matematica).


ConclusioniConclusioni

In questo modo, si apre necessariamente perl’insegnante la prospettiva di un percorsopercorsonuovonuovo di consapevolezza, che richiede unlavoro di riflessionelavoro di riflessione impegnativo maaffascinante, nel quale l’insegnante potràcostruirecostruire e sperimentaresperimentare strumenti dianalisi e di intervento che saranno preziosiper affrontare le difficoltà dei suoi alunni.


La scolarizzazione del sapereLa scolarizzazione del sapere

Triangolo della didatticaDidattica fondamentale (*)

Insegnante Insegnante

Sapere Alunno Sapere Alunno(*) Scienza che si interessa alla produzione ed alla comunicazione di conoscenze ((*) Scienza che si interessa alla produzione ed alla comunicazione di conoscenze (BrosseauBrosseau,,

1988)1988)


La devoluzioneLa devoluzione

• L’alunno costituisce conoscenza solose assume - se si fa carico - se siinteressa personalmentepersonalmente di quanto gliè stato proposto attraverso lasituazione didattica.

• L’istituzionalizzazioneistituzionalizzazione della consegnadella consegnacome atto attraverso il quale siriconosce la devoluzione.


I I ““saperisaperi””

Profonda differenza tra:•• ““sapere personalesapere personale”” (oggetto che esiste per

ciascuno di noi, ma non necessariamente

appartenente ad un’istituzione e/o da essa

riconosciuto)

•• ““sapere istituzionalesapere istituzionale”” (oggetto del quale leistituzioni si sono occupate, dandogli un nomespecifico).


La La ““scolarizzazione del saperescolarizzazione del sapere””

Atto attraverso il quale l’alunno delegaalla scuola (come istituzione) e all’insegnante(come rappresentante della istituzione) il compitodi selezionare per lui i saperi significati-selezionare per lui i saperi significati-vivi, rinunciando a farlo direttamente

insegnante come depositarioinsegnante come depositario deisaperi che “socialmente” contano.


Scolarizzazione delle relazioniScolarizzazione delle relazioni

Scolarizzazione del sapere scolarizzazionedei rapporti interpersonalirapporti interpersonali studente-insegnante e studente-compagni e delrapporto studente-sapere: nuovo modo diconcepire il “contratto didattico” per l’alunnodeficitario (*)

Che ruolo gioca la scolarizzazione sullChe ruolo gioca la scolarizzazione sull’’efficaciaefficaciadelldell’’apprendimento logico- matematico?apprendimento logico- matematico?

(*) L’alunno “debole” non accede alla conoscenza, al sapere, ma lo fasolo per soddisfare clausole di un “contratto” e soltantoattraverso la mediazione dell’insegnante.


Esempio 1Esempio 1

• Ragazzi di 13-14 anni invitati a risolvereun classico problema (individualmente, foglio,

penna, banco) sul volume di una piramide• Poi a parte (individualmente e in un’altra aula)

invitati a valutare il volume di una piramidereale con un righello

sgomento, rifiuto dell sgomento, rifiuto dell’’approssimazione,approssimazione,abbandono (abbandono (““ non è scolastico!!! non è scolastico!!! ””).).


Esempio 2Esempio 2

Qual è secondo te il numero piùQual è secondo te il numero piùpiccolo del mondo?piccolo del mondo?

•• ZeroZero, perché è niente e non c’èniente meno di niente, anche se sobene che dovrei dire −∞−∞•• Contrasto interiore tra il sapereContrasto interiore tra il sapere

personale e quello istituzionale!personale e quello istituzionale!


Esempio 3Esempio 3

• Sottoposta una stessa relazione binariascritta in forma proposizionale, di dia-gramma cartesiano, di Venn e di Carroll.

• La forma proposizionale ““non cnon c’’entraentraniente in matematica, perché di solito siniente in matematica, perché di solito siusano numeri e non si scrive una cosausano numeri e non si scrive una cosagià fatta, ma metti delle parole e poi igià fatta, ma metti delle parole e poi inumeri per fare matematica...numeri per fare matematica...””


Esempio 3Esempio 3

Tabella con nomi di città: Atene, Milano,Atene, Milano,Parigi, RomaParigi, Roma. Gli studenti dicono:

• Ordine alfabetico (casuale, non voluto)• Ordine di importanza• Ordine geografico, dal Nord al Sud• Tutte e 4 capitali (Milano capitale del

Nord Italia!)ScolarizzazioneScolarizzazione tendenza a voler tro-tendenza a voler tro-

vare informazioni vare informazioni ““nascostenascoste””..


Esempio 4Esempio 4

Spingere gli studenti a fare uso spontaneo dellaSpingere gli studenti a fare uso spontaneo dellalingua comune in un contesto matematico...lingua comune in un contesto matematico...

• Pochissimi gli studenti disposti a fare uso della linguacomune

• Meccanismo automatico di profonda convinzione che lamatematica non possa essere trattata nella linguacomune, ma solo in matematichesematematichese

Mancata devoluzione, dovuta alla scolarizzazionedegli atteggiamenti!


Esempio 5Esempio 5

Somministrazione di problemi conparole di oggetti inesistenti: glistudenti “se ne fanno una ragione”

la situazione situazione scolarizzatascolarizzata spinge lostudente a creare un clima dicoerenza, pur di rispecchiare ilmodello “forte”, istituzionale.


Esempio 6Esempio 6

Prove di Schoenfeld (USA, 1987) su divisioninon intere: “Un bus dell’esercito trasporta 36 soldati; se1128 soldati devono essere trasportati in bus al campod’addestramento, quanti bus devono essere usati?” rrisultati disastrosiisultati disastrosi, peggiorati dall’uso dellacalcolatrice (fiducia cieca nella macchina!)

In Italia: “Un’automobile trasporta 4 bambini. Se devonoessere trasportati 6 bambini a scuola, quante auto occorrono?”

analoghi risultati, anche se un po’ piùrassicuranti...



Molti degli aspetti relativi a contratticontratti,devoluzioni devoluzioni e situazioni situazioni riassumibiliin ““mestieremestiere”” (di alunno, diinsegnante): si apprende per la vita,non studio fine a se stesso!

bisogna “convincere” l’alunno.



Motivazioni date per l’importanzadello apprendimento dellamatematica:

• “non farsi imbrogliare nei negozi”

• “poter controllare il resto al supermercato”

• “imparare ad usare il computer”



Che cosa, se non il condizionamentoChe cosa, se non il condizionamentosociale o la scolarizzazione totalesociale o la scolarizzazione totaledei saperi o la fiducia nelldei saperi o la fiducia nell’’inse-inse-gnante convincono lo studente agnante convincono lo studente afare il suo fare il suo ““mestieremestiere””??



Ogni apprendimento è allora fruttodi una mediazionemediazione: non c’èapprendimento per sé, per lapropria vita, per il proprio futuro,ma solo per motivi relazionali eistituzionali.



Per superare questo ostacolo“metadidattico” l’insegnante devegiocare tutte le sue cartenellnell’’arte della seduzionearte della seduzione, dellacomunica-zione, del modelloumano.



Metafora dellMetafora dell’’atletaatleta: il professoreè un allenatore, la vera vita èaltrove (mettere subito in pratica,non eccedere nella teoria).

Infatti l’atleta cerca l’allenatore, lostudente subiscesubisce il professore!


Obiettivi matematici e autonomiaObiettivi matematici e autonomiapersonalepersonale

Autonomia, socializzazione ecultura sono dirittidiritti alla cuirealizzazione la scuola èchiamata in via istituzionale.


Autonomia socialeAutonomia sociale

Essere Essere autonomi autonomi significa:significa:• saper curare la propria persona e i propri luoghi di vita

• saper comunicare (in forme diverse e con strumenti diversi)

• sapere orientarsi

• saper usare il denaro

• saper usare i servizi pubblici

• saper chiedere aiuto, etc.

““Autonomia non è fare tutto da soli. EAutonomia non è fare tutto da soli. E’’ invece saper invece sapercollaborare, saper domandare, saper metterecollaborare, saper domandare, saper mettereinsiemeinsieme”” ((CanevaroCanevaro, 1992)., 1992).


Diritto alla matematicaDiritto alla matematica

Conoscenza di concetti matematiciprerequisitoprerequisito per lo sviluppo dellaautonomia

esiste un ““dirittodiritto”” alla matematica alla matematica,valido anche per chi presentadifficoltà di astrazione.



““LL’’educazione matematica contribuisceeducazione matematica contribuisce

a formare le abilità necessarie pera formare le abilità necessarie per

interpretare la realtà criticamente e perinterpretare la realtà criticamente e per

intervenire consapevolmente su diintervenire consapevolmente su di

essaessa”” (dai Programmi della scuola

elementare).



““LL’’educazione matematica deve contribuire a unaeducazione matematica deve contribuire a unaformazione culturale del cittadino, in modo daformazione culturale del cittadino, in modo daconsentirgli di partecipare alla vita sociale conconsentirgli di partecipare alla vita sociale conconsapevolezza e capacità critica. In particolareconsapevolezza e capacità critica. In particolarell’’insegnamento della matematica deve avviareinsegnamento della matematica deve avviaregradualmente, a partire da campi di esperienza ricchigradualmente, a partire da campi di esperienza ricchiper lper l’’allievo, allallievo, all’’uso del linguaggio e del ragionamentouso del linguaggio e del ragionamentomatematico, come strumenti per lmatematico, come strumenti per l’’interpretazione delinterpretazione delreale, non unicamente come bagaglio di nozionireale, non unicamente come bagaglio di nozioni””

(U.M.I. 2001)



Educare alla matematicaEducare alla matematica attra-verso obiettivi e attività che ab-biano una diretta ricaduta intermini di intervento sul reale equindi di acquisizione di auto-nomia.



Ad esempio:- riconoscerericonoscere, denominare e classificare oggetti sono

evidenti obiettivi matematici;

- attraversare una strada richiede saper valutare

distanzedistanze, velocitàvelocità, versoverso e direzionedirezione;

- avvitare una vite o una lampadina coinvolge i

concetti di rotazionerotazione e di direzione direzione orizzontale-orizzontale-

verticaleverticale e richiede valutazioni di lunghezza-larghezzalunghezza-larghezza.



Molte competenze matematiche sonoMolte competenze matematiche sonoraggiungibili attraverso attivitàraggiungibili attraverso attivitàdiverse (soprattutto pratiche) non didiverse (soprattutto pratiche) non ditipo matematico tipo matematico l l’’insegnante deveinsegnante deveavere coscienza della loro valenzaavere coscienza della loro valenzamatematica per il discente.matematica per il discente.


LL’’approccio per problemiapproccio per problemi

Gli attuali programmi di matemati-ca invitano a partire dalla solu-solu-zione di problemi concretizione di problemi concreti perarrivare ad appropriarsi deiconcetti matematici.



La sfidasfida posta da un problema è ilmodo migliore di fare appelloall’intelligenza che ogni allievopossiede, per aiutarlo asviluppare le sue doti.



““Un problema nasce quando un essere vivente, motivato aUn problema nasce quando un essere vivente, motivato a

raggiungere una meta, non può farlo in formaraggiungere una meta, non può farlo in forma

automatica o meccanica... Ciò crea uno stato diautomatica o meccanica... Ciò crea uno stato di

squilibrio e di tensione nel campo cognitivo di unsquilibrio e di tensione nel campo cognitivo di un

individuo e lo spinge ad agire per ricostruire lindividuo e lo spinge ad agire per ricostruire l’’equilibrioequilibrio””

(Kanizsa, 1973).

Netta differenza fra situazionesituazioneproblematicaproblematica ed esercizioesercizio.



•• InefficaciaInefficacia della semplice ri-petizione meccanica di eserci-zi, nella verifica a medio-lungo termine degli alunni.



•• Esercizi Esercizi utili per consolidarel’apprendimento, che peròavviene coinvolgendo l’allievoin una scoperta autonoma.



• L’approccio per problemi èmotivantemotivante, stimola l’attenzio-ne, l’uso di competenze prece-denti, la collaborazione traalunni (emotivamente coinvol-emotivamente coinvol-gentegente).



Solo coinvolgendo in prima personaprima persona

scatta la molla della necessità di

risolvere il problema, la spinta che porta

a superare tutte le difficoltà per giungere

ad una conclusione.



Ciò è tanto più vero nel caso di difficoltà di

apprendimento, in quanto è essenziale lo stimolostimolo

soggettivo soggettivo alla soluzione occorre scegliere

situazioni e modalità coinvolgenti esituazioni e modalità coinvolgenti e

rassicurantirassicuranti che aiutino il soggetto ad avere

fiducia in sé e nelle sue possibilità (situazioni

ludiche, materiali legati alla vita quotidiana, ...).



Nella risoluzione dei problemi si ha la pos-sibilità di mettere in pratica un’organizza-zione del lavoro ““trial-and-errortrial-and-error””, chepunti alla collaborazione e non allacompetizione e che offre maggioriopportunità di socializzazione.



E’ quindi possibile ““personalizzarepersonalizzare”” lerichieste agli alunni, consentendo a quellipiù deboli un lavoro insieme alla classe,pur restando i momenti singoli diconsolidamento di quanto costruitoinsieme ai compagni.


La scelta degli obiettiviLa scelta degli obiettivi

Individuare gli obiettivi importantiobiettivi importantie quali no, quali abilità nonpossedute possano essere“aggirate” pur garantendo ilrisultato complessivo.


Obiettivi matematici di base e attività cheObiettivi matematici di base e attività cheli concretizzano nella vita quotidianali concretizzano nella vita quotidiana

RICONOSCERE, DENOMINARE,RICONOSCERE, DENOMINARE,CLASSIFICARECLASSIFICARE

ObiettiviObiettivi• Classificare in base ad attributi dati• Combinare oggetti e attributi• Interpretare insiemisticamente i connetti- vi logici


Obiettivi matematici di base e attività cheObiettivi matematici di base e attività cheli concretizzano nella vita quotidianali concretizzano nella vita quotidianaRICONOSCERE, DENOMINARE, CLASSIFICARERICONOSCERE, DENOMINARE, CLASSIFICARE

AttivitàAttività• Sviluppare i sensi ed essere in grado di distin-guere e separare• Individuare tipologie di negozi e prodotti•Orientarsi tra i reparti di un supermercato• Preparare le stoviglie, riordinare la stanza, le pro-prie cose, etc.•Utilizzare le Pagine Gialle• Saper cercare libri in una biblioteca


Obiettivi matematici di base e attività che liObiettivi matematici di base e attività che liconcretizzano nella vita quotidianaconcretizzano nella vita quotidiana

MMETTEREETTERE ININ R RELAZIONEELAZIONE, O, ORDINARERDINARE, P, PORREORRE ININCCORRISPONDENZAORRISPONDENZA

ObiettiviObiettivi• Scoprire regolarità e ritmi in successioni di oggetti,immagini, suoni• Costruire successioni da regole date• Rappresentare successioni spaziotemporali, relazionid’ordine, corrispondenze, riferite a situazioni concrete• Confrontare concetti di relazione, corrispondenza efunzione in ambiti diversi


Obiettivi matematici di base e attività che liObiettivi matematici di base e attività che liconcretizzano nella vita quotidianaconcretizzano nella vita quotidianaMMETTEREETTERE ININ R RELAZIONEELAZIONE, O, ORDINARERDINARE, P, PORREORRE ININ

CCORRISPONDENZAORRISPONDENZAAttivitàAttività• Saper recepire e mettere in corrispondenza elementari messaggi

visivi e sonori (campanello, telefono, interruttori, ...)• Saper “gestire” alcune regole sociali (giocare, vestirsi, ...)• Ascoltare il proprio ritmo cardiaco, riprodurre ritmi musicali•• Utilizzare un mezzo pubblico seguendo la sequenza delle fermateUtilizzare un mezzo pubblico seguendo la sequenza delle fermate•• Capire lCapire l’’uso di sequenze temporali (mattina, pomeriggio, sera)uso di sequenze temporali (mattina, pomeriggio, sera)•• Organizzare una giornata-tipoOrganizzare una giornata-tipo•• Comprendere i rapporti di parentelaComprendere i rapporti di parentela•• Utilizzare il telefono e lUtilizzare il telefono e l’’elenco telefonicoelenco telefonico•• Preparare la propria cartellaPreparare la propria cartella•• Associare ad ogni alunno il suo posto in classe, il suo armadietto,Associare ad ogni alunno il suo posto in classe, il suo armadietto,

......



PPOSSEDEREOSSEDERE ILIL C CONCETTOONCETTO DIDI N NUMEROUMERO, S, SAPERAPER C CONTAREONTARE, E, ESEGUIRESEGUIRESSEMPLICIEMPLICI O OPERAZIONIPERAZIONI

ObiettiviObiettivi• Contare in senso progressivo e regressivo sulla linea dei

numeri• Confrontare rispetto alla quantità• Leggere e scrivere numeri• Eseguire semplici calcoli mentali e scritti• Intuire e saper usare le proprietà delle operazioni• Conoscere il concetto di frazione come parte di un intero• Ampliare il concetto di numero: dai naturali ai relativi ai

razionali• Rapporti, percentuali, proporzioni• Multipli e divisori


Obiettivi matematici di base e attività che liObiettivi matematici di base e attività che liconcretizzano nella vita quotidianaconcretizzano nella vita quotidianaPPOSSEDEREOSSEDERE ILIL C CONCETTOONCETTO DIDI N NUMEROUMERO, S, SAPERAPER C CONTAREONTARE,,

EESEGUIRESEGUIRE S SEMPLICIEMPLICI O OPERAZIONIPERAZIONI

AttivitàAttività• Saper contare il denaro•• Usare i mezzi pubblici di trasportoUsare i mezzi pubblici di trasporto•• Seguire i numeri civiciSeguire i numeri civici•• Far speseFar spese•• ““LeggereLeggere”” il termometro il termometro•• Consultare il calendario, un orario dei treni, ...Consultare il calendario, un orario dei treni, ...•• Comprare in occasione dei saldiComprare in occasione dei saldi•• Cucinare seguendo una ricetta data e fare le porzioni delCucinare seguendo una ricetta data e fare le porzioni del

cibocibo



SSAPERAPER S SCEGLIERECEGLIERE LELE O OPERAZIONIPERAZIONI ININ S SITUAZIONIITUAZIONI P PROBLEMATICHEROBLEMATICHE

ObiettiviObiettivi• Tradurre problemi espressi con parole in rap-presentazioni matematiche, scegliendo le ope-razioniadatte.• Individuare situazioni problematiche in ambiti diesperienza e formulare ipotesi di soluzione.• Individuare dati e variabili significative in un problema.• Risolvere problemi ricorrendo a procedimenti diversi.



SSAPERAPER S SCEGLIERECEGLIERE LELE O OPERAZIONIPERAZIONI ININ S SITUAZIONIITUAZIONI P PROBLEMATICHEROBLEMATICHE

AttivitàAttività• Organizzare spese• Progettare spostamenti• Organizzare un pasto, una festa, ...• Saper utilizzare il telefono nelle varie situazioni e reagire

adeguatamente agli imprevisti• Utilizzare adeguatamente un distributore automatico,

riconoscendo e utilizzando le istruzioni in sequenza• Utilizzare apparecchi di uso comune (telecomando, video,

lavatrice, ...)• Usare un PC



SSEGUIRE,EGUIRE, I INDICARE,NDICARE, D DESCRIVEREESCRIVERE P PERCORSIERCORSI

ObiettiviObiettivi•Effettuare spostamenti lungo percorsi as-segnati.•Descrivere percorsi eseguiti da altri.•Educare alla visione spaziale.



SSEGUIRE,EGUIRE, I INDICARE,NDICARE, D DESCRIVEREESCRIVERE P PERCORSIERCORSI

AttivitàAttività•Orientarsi nello spazio•Ottenere e dare informazioni corrette•Saper aiutare e farsi aiutare per glispostamenti•Saper “giocare” (gimkane, videogiochi, ...)•Sistemare mobili


Obiettivi matematici di base e attivitàObiettivi matematici di base e attivitàche li concretizzano nella vita quotidianache li concretizzano nella vita quotidiana

MMISUREISURE

ObiettiviObiettivi•Conoscere le principali unità di misura,saperle usare correttamente•Scegliere strumenti adeguati pereffettuare misure•Sistema metrico decimale



MISUREMISURE

AttivitàAttività• Saper leggere una ricetta di cucina•Misurare le altezze e il peso dei compagni di classe• Prendere le opportune misure per realizzaresemplici lavori e attività in classe (rivestimentodell’armadietto, tende, ...)•Costruire oggetti (aquiloni, casette per animali, ...)• Sistemare mobili in classe



FFORME, ORME, FFIGURE E IGURE E LLORO ORO PPROPRIETAROPRIETA’’

ObiettiviObiettivi•Riconoscere negli oggetti i più semplici tipi difigure geometriche piane e solide.•Misurare aree e perimetri delle principali figurepiane.• Studio delle figure del piano e dello spazio apartire da modelli materiali.• Lunghezze, aree, volumi, angoli e loro misura.



FFORME, ORME, FFIGURE E IGURE E LLORO ORO PPROPRIETAROPRIETA’’

AttivitàAttività• Saper individuare oggetti sconosciuti, attraverso la de-scrizione della loro forma.• Riconoscere l’uso di certi oggetti a partire dalla loroforma (pentole, stoviglie, attrezzi da lavoro).• Riconoscere i principali segnali stradali.• Usare puzzle o giochi di costruzione di figure (Lego, ...).• Smontare e rimontare oggetti.• Arredare una stanza.



LLAVORARE NEL AVORARE NEL PPIANO IANO CCARTESIANOARTESIANO

ObiettiviObiettivi• Individuare posizioni e spostamenti nelpiano, rappresentare situazioni con l’usodi reticolati a coordinate intere positive.•Uso del metodo delle coordinate insituazioni concrete.



LLAVORARE NEL AVORARE NEL PPIANO IANO CCARTESIANOARTESIANO

AttivitàAttività• Fare alcuni giochi comuni (ad es. battaglia nava-le, tartaruga Logo, ...).• Saper individuare una strada o un percorso sullemappe TuttoCittà.• Interpretare e utilizzare le cartine.



OOSSERVARE LE SSERVARE LE TTRASFORMAZIONI DEL RASFORMAZIONI DEL PPIANOIANO

ObiettiviObiettivi• Individuare simmetrie in oggetti e figure.• Ingrandimenti, rimpicciolimenti, riduzioni inscala.•Ombre, rappresentazioni prospettiche, foto-grafie, pitture.



OOSSERVARE LE SSERVARE LE TTRASFORMAZIONI DEL RASFORMAZIONI DEL PPIANOIANO

AttivitàAttività•Osservare e comprendere le ombre.• Riconoscere lo schema corporeo (destra/sinistra,avanti/dietro, ...).• “Guardare” con interesse il mondo dell’arte.• Ricalcare figure (anche con tecniche tridimensionali).• Utilizzare lo specchio e riconoscere le taglie dei vestiti.• Saper usare una fotocopiatrice, una macchina foto-grafica, ...



Se l’insegnante imposterà il suo lavorocon la convinzione che la conquista diabilità matematiche è alla base dimolte competenze di autonomia,una valutazione delle competenze diautonomia degli alunni servirà avalutare le abilità matematiche,coinvolgendo l’alunno stesso.



In tal modo per l’alunno lavalutazione è un’occasione diautovalutazioneautovalutazione, di scopertasu se stesso e quindi dicrescita personale.



Quindi la valutazione dovrebbe essere fattauna volta in presenza delle miglioricondizioni di adattamento, un’altra senzaappoggi ed accorgimenti particolari: cosìl’alunno sarà aiutato a comprendere ilsuo rendimento con i supporti adeguatio senza di essi.



Naturalmente l’autovalutazione èraggiungibile se gli obiettiviobiettivi sonodichiarati, condivisi ed ancheoggettivamente riferibili a situa-zioni di comune e agevole lettura.



L’insegnante risulterà avvantaggiato in talevalutazione se la progettazione delleprogettazione delleattivitàattività sarà effettuata, evidenziando in unoschema di osservazione, le singolecompetenze matematiche che possonoessere chiamate in causa da diverseproposte operative: potrà così leggere altermine della valutazione le abilitàpossedute dall’alunno.



LL’’autonomia personale autonomia personale è una con-è una con-quista per ogni discente, ed i van-quista per ogni discente, ed i van-taggi delltaggi dell’’integrazione aiutano an-integrazione aiutano an-che (e soprattutto) lche (e soprattutto) l’’apprendimen-apprendimen-to della matematica.to della matematica.


LL’’organizzazione per ridurre gli handicaporganizzazione per ridurre gli handicap

Apprendere:Apprendere:superare i propri limiti organizzandosi insiemesuperare i propri limiti organizzandosi insieme

Per circa 10.000 anni Per circa 10.000 anni ll’’Homo SapiensHomo Sapiense le l’’Uomo di Uomo di NeanderthalNeanderthal hannohannoconvissuto: poi convissuto: poi questquest’’ultimo ultimo si èsi èestinto, mentre dal primo siamoestinto, mentre dal primo siamoderivati noi.derivati noi.



Apprendere:Apprendere:superare i propri limiti organizzandosi insiemesuperare i propri limiti organizzandosi insieme

CosCos’è’è successo? successo?La semplice forza bruta dellLa semplice forza bruta dell’’Uomo di Uomo di NeanderthalNeanderthal, individualista, individualista

e sicuro dei propri mezzi, è stata soverchiata dalla potenzae sicuro dei propri mezzi, è stata soverchiata dalla potenza

collettiva dellcollettiva dell’’organizzazione sociale dellorganizzazione sociale dell’’Homo Sapiens:Homo Sapiens:

anche oggi assistiamo alla anche oggi assistiamo alla divaricazione tra glidivaricazione tra gliinteressi individualiinteressi individuali (chiari, precisi) (chiari, precisi) e le l’’insiemeinsiemecome struttura organicacome struttura organica, sempre di là da venire e non, sempre di là da venire e non

attualeattuale……



LL’’organizzazione della classeorganizzazione della classeUna classe scolastica è composta di individui che hannoUna classe scolastica è composta di individui che hanno

ritmi e abilità differentiritmi e abilità differenti (diverse abilità, e non (diverse abilità, e non

solo solo disabilitàdisabilità) ma con limiti (non solo e non tanto quelli) ma con limiti (non solo e non tanto quelli

visibili) con i quali confrontarsi.visibili) con i quali confrontarsi.

Nel processo di apprendimento scolastico questi limitiNel processo di apprendimento scolastico questi limiti

vengono spesso ignorati, lasciando che vengono spesso ignorati, lasciando che ciascunociascunorisolva da sé i propri problemirisolva da sé i propri problemi..



LL’’organizzazione della classeorganizzazione della classeIn una classe, se non cIn una classe, se non c’è’è buonabuona

organizzazioneorganizzazione, gli elementi di, gli elementi didisorganizzazione emergono quo-disorganizzazione emergono quo-tidianamente e vengono probabil-tidianamente e vengono probabil-mente attribuiti ai singoli e nonmente attribuiti ai singoli e nonallall’’insieme.insieme.



LL’’organizzazione della classeorganizzazione della classeSe invece gli Se invece gli elementi organizzativielementi organizzativi vengono vengono

costantemente considerati nel processo dicostantemente considerati nel processo diapprendimento, è necessario esaminareapprendimento, è necessario esaminarespazispazi, , tempitempi, , materialimateriali, , ritmiritmi, in modo da, in modo dapersonalizzare il percorso dipersonalizzare il percorso diapprendimentoapprendimento per ciascun componente del per ciascun componente delgruppo grazie alla capacità organizzativagruppo grazie alla capacità organizzativadata dal gruppo stesso.data dal gruppo stesso.


Nella classe abbiamo quindi persone chedevono mettere insieme delle risorserisorseeterogeneeeterogenee provando a farle coesistere in ungruppo (per quanto possibile) omogeneo: gliobiettivi saranno comuni proporzionalmenteall’eterogeneità delle situazioni, per arrivare(attraverso le differenze) ad un quadroquadrocomunecomune delle strategie di apprendimento.

LL’’organizzazione della classe come fattore abilitanteorganizzazione della classe come fattore abilitante


Un insegnante si pone il problema diUn insegnante si pone il problema di

come collegare le strategie dicome collegare le strategie di

apprendimento individuale alla strategiaapprendimento individuale alla strategia

organizzativa collettiva, senza farorganizzativa collettiva, senza far

perdere negli allievi il senso, la voglia eperdere negli allievi il senso, la voglia e

la volontà di conoscere.la volontà di conoscere.

LL’’organizzazione della classe come fattore abilitanteorganizzazione della classe come fattore abilitante


Occorre comunque evitare che il gruppovenga percepito come ««il gruppo piùil gruppo piùuno uno ((il disabileil disabile)»)» ed inoltre che,quando vi sono casi di difficoltàcomportamentale scolastica, vi sia lapolarizzazione tra i ““buonibuoni”” e i““cattivicattivi””..

Conoscere scientificamente:Conoscere scientificamente:ll’’approccio comprensivoapproccio comprensivo


Ciò ad es. mediante la stimolazione stimolazione basalebasale

(Fröhlich), che consiste nell’organizzare variesituazioni caratterizzate dall’immersione instimolazioni dirette e indirette per scoprirequelle che meglio attivano i processi diassunzione di comportamenti adattivi ecomunicativi, facendo uso di materiali (semi,stoffe, carta) messi a contatto (tattile, acustico,olfattivo) con il corpo.



Questa possibilità può essere presentata sotto forma diesperienza emotivaesperienza emotiva, con un’attenzione ai particolari(i tempi di benessere/malessere, l’organizzazionedegli sguardi, le possibilità di espressione) legati adun aspetto organizzativo costruito insieme.

Vi è la possibilità di esaminare e di scegliere le proposteda fare, evitando di contrapporreevitando di contrapporre quelle per lapersona in situazione di handicap e quelle per Inormali, tentando di avere una proposta per tutti,perchè articolata su bisogni e obiettivi plurimi.



L’approccio comprensivoapproccio comprensivo, che supera e integral’approccio naturalista o positivista (da positum =oggetto naturale), contiene elementi di comprensioneintuitiva, collegati ed educati a collegarsi a unosviluppo cognitivo; esso critica come limitantel’immagine meccanica dell’attività psichica di unindividuo tipica dell’Europa dei secoli scorsi, in cui lamente era paragonata al funzionamento di unorologio, poi ad un impianto elettrico e quindi ad un“cervello elettronico”.



I limitilimiti di queste immagini sono evidenti; glistudi sulle situazioni traumatichepermettono di capire che non si tratta diammaccature di lamiere o di macchinari, incui se un pezzo si rompe rimane rotto finoall’eventuale sostituzione: la nostraorganizzazione psichica, mentale eumana ha altre caratteristiche.



I numeri possono aiutare a trovare un senso, maI numeri possono aiutare a trovare un senso, mapossono anche rendere insensata la realtà.possono anche rendere insensata la realtà.

E questo vale anche e soprattutto per chi èin difficoltà (difficoltà che può semplice-mente consistere nell’attribuire un sensorigido e pecostituito alle operazioni ma-tematiche).

I numeri per organizzareI numeri per organizzare



Per conoscere occorre avere delleprocedure di padronanza pernon sentirsi aggrediti e assediatidalle novità.




I numeri possono essere uno strumento perla ricerca di senso: ciò sembra ancora piùchiaro quando i numeri adatti a distinguere,ordinare e a organizzare un contestovengono confusi, tanto da far perdere ilsenso.




La disumanizzazione riduceogni individuo a un numero,negando ogni elemento diidentità.




Ma poiché i numeri non sono tutti uguali,proprio i numeri possono consentire lastrutturazione di un processo cogni-tivo e quindi la ricerca di padronanza delcontesto.




Tra gli studiosi di scienze dell’educazione vi è lapreoccupazione di stabilire quale rapportodebba intercorrere, e se debba esservi rapporto,fra gli aspetti metodologici e l’apprendimentodi contenuti: dall’esperienza si può dedurre chetale rapporto è molto stretto.




L’aspetto di «gestione mentale» (ovverometodologico) è fondamentale: i numeri,le misurazioni, la “contabilità”contribuiscono al processo cognitivoproprio perchè c’è una procedurametodologica.




Più un individuo è in difficoltà, o in situazione dihandicap, più corre il rischio di essere vittima di unpregiudizio diffuso: che i suoi apprendimenti debbanoessere elementari, dominati da effetti pratici e da una certafrantumazione in segmenti brevi, la cui composizione è nellapadronanza di un insegnante, e non si può quindi pretendereda e in un alunno, per di più in difficoltà.

Ma questo rischio aggrava le difficoltà.




La ricerca di senso, invece, può diminuire le difficoltàstesse; o meglio, può diminuire particolari difficoltà,collegate ai processi di conoscenza, può aumentarel’impegno di insegnamento/apprendimento.

E se tale aumento è vissuto come una difficoltà,allora si può dire che queste non solo non calano,ma addirittura aumentano!




E’ illusorio ritenere che il successo nell’apprendimen-to, per un individuo con handicap, sia cancellare ildeficit.

E’ invece possibile, e comprensibile, che procedendonegli apprendimenti (e quindi avendo qualche suc-cesso) gli impegni si rinnovino ed aumentino.



Il ruolo dellIl ruolo dell’’errore nellerrore nell’’apprendimento dellaapprendimento dellamatematicamatematica

Gli interventi in presenza di alunni consvantaggio sociale dovrebbero averel’obiettivo di fornire loro unapprendimento della matematica dibase completamente all’interno di unadidattica didattica ““normalenormale””, cioè rivolta a tuttala classe.



Ne risulta una costruzione delsapere matematico frutto del lavorocollettivo della classe, nonché dellavoro individuale.

In tali attività, il ruolo giocato daerrori e misconcetti è essenziale.



E’ ben nota l’importanza degli errori importanza degli errori nellosviluppo scientifico, in particolare inmatematica.

E’ proprio scoprendo errori fatti in precedenza che si sonodefiniti nuovi concetti matematici o che si sono scopertenuove aree di ricerca: ciò può sembrare paradossale,essendo la matematica agli antipodi dell’imprecisione edell’errore!



Il ruolo dellruolo dell’’erroreerrore è importante edaltrettanto paradossale nell’apprendimen-to della matematica: infatti, per apprende-re in profondità alcuni concetti appare ne-cessario commettere degli errori, “sbatte-re il naso” contro certe difficoltà e nonnasconderle.



Nel ““triangolo didatticotriangolo didattico”” sapere ufficiale - alunno -insegnante, l’insegnante è un ingegnere didattico cheprogetta e prepara situazioni di apprendimento checontestualizzano i problemi matematici in formeopportune per gli alunni, stimolati e sostenuti inun’attività complessa in cui il problem solvingproblem solving siintreccia sistematicamente con il problem posingproblem posing: conl’aiuto dell’insegnante, essi giungono così alsuperamento e alla soluzione della situazione dipartenza.



Seguirà una fase di istituzionalizzazioneistituzionalizzazione delsapere appena costruito, che porterà glialunni – grazie all’intervento dell’insegnante– a disporre di un nuovo pezzo di saperematematico opportunamente organizzatoall’interno delle loro conoscenze edecontestualizzato dalla particolaresituazione di apprendimento utilizzata.



L’ipotesi di base è fortemente costruttivistica: sisiapprende solo ciò che si costruisce dentroapprende solo ciò che si costruisce dentrodi sédi sé.

Cioè, è l’alunno in prima persona che deve“fare” per apprendere, e non necessariamentefare qualcosa di concreto: l’attività può (edovrebbe) essere speculativa e indotta dallasituazione didattica preparata dall’insegnante.



Il processo attivo diapprendimento diventa in tal

modo essenzialmentedell’alunno, che può

elaborare le sue straderisolutive.



Ma se l’alunno sbaglia, seguendo ad es.una strategia errata, come precedere?

Si corrono allora due rischi:•• ll’’alunno crede di avere risolto il problema ealunno crede di avere risolto il problema e

vive felice con il suo errore (e convinto divive felice con il suo errore (e convinto diavere ragione);avere ragione);

•• ll’’alunno si blocca dopo un poalunno si blocca dopo un po’’ e si e sismarrisce.smarrisce.



In entrambi i casi è forte la tentazionetentazione (specie conalunni in difficoltà o handicap) di ricorrere ad unapedagogia direttiva ed esplicativa: “Hai sbagliato,dovevi fare così”, oppure suggerendo la soluzione (oparte di essa); così si rinuncia all’ipotesi di farcostruire all’alunno il proprio sapere, e ciò ècomunque sbagliato, anche con alunninormodotati.



Infatti, ll’’apprendimento apprendimento direttivodirettivo di procedurerisolutive e algoritmi porta inesorabilmenteall’incapacità di usarle al momento del bisogno insituazioni qualsiasi, a meno che ciò non siaesplicitamente richiesto.

Una situazione didattica è efficace se contiene in ségli elementi che rendono possibile all’alunno lavalidazionevalidazione dei risultati ottenuti: è cioè lasituazione stessa a contenere in sé gli elementiautocorrettivi.



E’ nota la grande difficoltà che hanno gli alunni conrendimento medio-basso a usare e produrrespontaneamente strategie moltiplicativestrategie moltiplicative incontesti diversi: questo limite li costringe apensare in termini di differenze tra grandezze emolto meno in termini di rapporto tra queste.

Per superare tali difficoltà, sembrano efficacistrumenti di rappresentazione, soprattutto grafica,come ad es. il piano cartesiano.



Vediamo un esempio concreto, relativo alla seconda media. Si fornisce alla classe, divisa in

gruppi di 3-5 alunni, una copia del tangram piccolo (di 12 cm di lato); dopo aver fatto la

conoscenza geometrica delle figure ivi contenute, si chiede loro di costruire e ritagliare un

tangram più grande, di 15 cm di lato (ciascun alunno nel gruppo opera su una delle figure).

Gli alunni con rendimento medio-basso tendono a seguire una strategia “additiva” del tipo

“aggiungi 3 cm”. Quando fanno combaciare i pezzi si accorgono che qualcosa non va, e

l’intervento degli alunni con rendimento medio-alto dà luogo ad un fenomeno di

socializzazione del saperesocializzazione del sapere.


Gli ostacoliGli ostacoli

Vi sono errori talmente pervasivi ed universali

che sembrano essere radicati nel profondo

delle discipline e delle conoscenze degli

alunni: parleremo allora di OSTACOLIOSTACOLI, alcuni

dei quali derivanti anche da interventi didattici

incompleti o non opportuni.



Vi sono invece ostacoli che non dipendono dalla didatticaseguita dagli alunni, ma che producono errori sistematici;fra essi ricordiamo:

• il significato delle operazionisignificato delle operazioni (difficoltà delle strutturemoltiplicative rispetto a quelle additive, dellaproporzionalità inversa rispetto a quella diretta);

• i numeri decimalinumeri decimali (moltiplicazioni con numeri minori diuno);

• le frazionifrazioni;• il calcolo letteralecalcolo letterale.



Molti studenti apprendono a memoria i meccanismidel calcolo senza comprenderli; alcuni sono giàbloccati dalle prime formule dell’aritmetica, altri siabituano ad un faticoso lavoro di traduzione dalproprio linguaggio interiore al linguaggio formaledella matematica.

La cosa riesce (in parte) con gli interi, ma “fa acqua” con idecimali, per avere un tracollo con le frazioni e una totaledisfatta con il calcolo letterale.



Il problema deriva dalla separazione crescente etotale tra i segni segni usati in matematica e i lorosignificatisignificati.

Ciò porta a rigidità incredibili e a una mancanza di flessibilità dipensiero: gli alunni separano nettamente le proprie capacità diragionamento dai formalismi e dai meccanismi, che invecesarebbero governati da misteriose regole dettate da qualchecrudele divinità che si proporrebbe sistematicamente di nonfare capire nulla!



Una didattica in cui le formule venganoapprese come strumenti di pensiero e noncome puri segni deve essere l’obiettivofondamentale dell’insegnamento dellamatematica a tutti i livelli.

Sono perciò controproducenti tutti quei metodi che tendono

a separare i due momenti, che corrono dietro ai formalismi

troppo precocemente oppure che presentano il sapere

come qualcosa di imbalsamato e rigido, soprattutto con gli

alunni con rendimento medio-basso.


Gli ostacoli: esempiGli ostacoli: esempi

Problema 1Problema 1:: Alberto ha un certo numero difigurine. Durante il gioco ne perde 35 e nevince 20. Dopo aver giocato, ha più o menofigurine?

a)Ne ha più di prima, perché la differenza tra 35 e 20 è 15.

[Sì] [No] Perché?

b)Ne ha meno di prima, perché la differenza tra 35 e 20 è 15.

[Si] [No] Perché?



Alcune risposte date da alunni:

1.Ne ha più di prima, perché prima ne aveva 35, poi ne

perde 35 e poi ne vince 20 e in tutto ha 15 figurine di

differenza.

2.Ne ha meno di prima, perché se fai il numero di figurine

meno quelle che ha perso più 20, ti viene un numero più

piccolo di 15 del numero totale di figurine che aveva.



Problema 2Problema 2:: Alberto ha 100 figurine. Durante il gioco ne

perde 35 e ne vince 20. Dopo aver giocato, ha più o meno

di 100 figurine?

a)Ne ha più di 100, perché la differenza tra 35 e 20 è 15.

[Sì] [No] Perché?

b)Ne ha meno di 100, perché la differenza tra 35 e 20 è 15.

[Si] [No] Perché?



Alcune risposte date da alunni:

1. Ne ha meno di prima, perché se lui parte già con 100 figurine

nel gioco e ne perde 35, per arrivare a 100 ne mancano.

2. Ne ha meno di prima, perché la differenza tra le figurine perse

e quelle vinte bisogna sottrarla alle figurine complessive e così

verrà un numero minore di 100, perché ne ha perse di più di

quelle guadagnate.



Le difficoltà del primo problema (manca undato e, in qualche modo, intervengono inegativi) possono essere superate in duemodi ben diversi: uno più aperto e pre-algebrico, uno più chiuso e puramentearitmetico; il secondo è tipico degli alunni più“scolasticizzati”.



La mentalità mentalità pre-algebricapre-algebrica è un atteggiamentoche occorre sviluppare negli alunni proponendoloro un diverso stile di apprendimento dellamatematica e professando un diverso stile diinsegnamento della medesima.

Vanno sfatati alcuni pregiudizi: non è vero che“solo i più bravi ce la fanno”; spesso sono le difficoltàche stimolano, purchè gli alunni non si cimentinosubito con formalismi bloccanti.



L’aritmetica si presta adanticipare il pensieropensiero

algebricoalgebrico; ma uno degliostacoli che maggiormanteanticipano l’algebra è quello

delle frazioni.


Le frazioniLe frazioni

Le frazioni sono il primo grossoprimo grossoscoglioscoglio nell’apprendimento dellamatematica nella scuola dell’obbligo,pari a quello rappresentato dallinguaggio algebrico nel biennio dellesuperiori.



In esse si manifestano veri e propri ostacoliostacoli, superabilisolo in parte:

1. le frazioni hanno molteplici significati, ciascuno coinvolgente un

campo diverso di esperienza e/o un settore diverso della matematica;

2. le frazioni hanno modelli diversi di rappresentazione, ciascuno

con pregi e difetti, alcuni più concreti, altri più simbolici (dalle torte ai

simboli m/nm/n);

3. gli algoritmi di calcolo relativi alle frazioni non incorporano sempre

in modo trasparente i diversi significati di queste e fanno riferimento

alle loro forme di rappresentazione altamente simboliche.



Mentre i primi due aspetti sono riscontrabilianche nell’usuale aritmetica dei numerinaturali, il terzo rappresenta il salto di qualitàmaggiore, in quanto richiede in forma moltopiù accentuata manipolazioni formalimanipolazioni formalirelativamente lunghe sganciate da ogniimmediato significato (e ciò avvicinal’aritmetica delle frazioni all’algebra).



Le frazioni hanno il proprio significato, sia di

nuovi numeri che possono essere sommati,

sottratti, moltiplicati, confrontati, etc. (ad es.

1/2 + 1/4 = 3/41/2 + 1/4 = 3/4; ; 1/2 > 1/31/2 > 1/3), sia di

rappresentanti di classi di equivalenza (ad es.

1/2 1/2 ≡≡ 5/10 5/10).



Il significato di frazione come nuovo numero si basa sulconcetto di parte rispetto al tuttoparte rispetto al tutto (ma ciò non spiega lefrazioni maggiori di 11).

Si richiede ben altra astrazioneastrazione per cogliere il significato dellafrazione come elemento di una classe di equivalenza (1/21/2può essere ritenuto maggiore di 5/105/10).

Ancora più astratto è il significato degli elementi dellastruttura quozientestruttura quoziente, cioè il fatto che 2/32/3 è soluzionedell’equazione 3x = 23x = 2.



I razionali sono anche rappresentabilicome numeri decimali (periodici); ilpassaggio ai decimali è semplice masottile (1/31/3 equivale ad 1 : 31 : 3) ecorrisponde ad una precisa operativitàsulla calcolatrice.



Legato al significato delle frazioni come decimali èquello dei razionali (e quindi delle frazioni) comemisuremisure e la loro rappresentabilità sulla rettarettanumericanumerica.

Questo è un modello molto importante, in quantolega gli aspetti decimali a quelli geometrici epermette a volte di superare gli ostacoli implicatinel significato di frazione come parte di un tutto.

00 1/21/2 111/41/4 1/31/3 5/45/4



Un altro aspetto delle frazioni è la

rappresentazione di rapportirappresentazione di rapporti.

In un fattore di scala (ad es. un cerchio

rimpicciolito di 2/32/3) il significato della frazione

è diverso da quello di parte del tutto (i 2/32/3della torta-cerchio).



Un ulteriore significato della frazione è quello

della frazione come operatorefrazione come operatore: ad es. 2/32/3“opera” su un sacchetto di 3030 caramelle

producendone 2020, ovvero (2/3) x 30 = 20(2/3) x 30 = 20;

oppure 2/32/3 opera su un rettangolo di lati 6060cmcm e 30 cm30 cm producendone uno di lati 40 cm40 cme 20 cm20 cm.



Questo significato permette di spiegare con

facilità la moltiplicazione tra frazioni come

“composizione di operazionicomposizione di operazioni”, ad esempio:

(1/3) x (3/4) x 60 = (1/3) x 45 = 15(1/3) x (3/4) x 60 = (1/3) x 45 = 15

ma non spiega – anzi diventa un ostacolo – le

regole per la somma di frazioni, che affondano

nei significati più astratti di frazione.



Il mondo dei rapporti (e poi delle proporzioni), degli

operatori e poi delle tabelle favorisce l’acquisizione di una

mentalità relazionalementalità relazionale, indispensabile per cogliere le

relazioni esistenti tra i dati:

• il costo della pasta al supermercato in funzione del peso

(2 Euro al Kg2 Euro al Kg);

• i Km percorsi da un’auto in funzione del tempo (100 Km100 Kmallall’’oraora).



Si tratta sempre di relazioni lineari (costo = 2 x pesocosto = 2 x peso;

spazio = 100 x tempospazio = 100 x tempo), cioè del tipo y = ky = k··xx

Pertanto, se si considerano i 2/32/3 di un dato, anche l’altro

varia di 2/32/3 (ad es. siccome 6 Kg6 Kg di pasta costano 1212EuroEuro, 4 Kg4 Kg – i 2/32/3 appunto – costeranno (2/3) x 12 = 8(2/3) x 12 = 8EuroEuro).

Le frazioni sono lo strumento naturale per “saltare” lungo le

tabelle in cui sono rappresentati i valori di funzioni lineari.



Il maggior rischio (sempre presente e non facilmente

evitabile) con le frazioni è quello di un apprendimentoapprendimento

puramente meccanicopuramente meccanico di segni misteriosi (la linea di

frazione è uno dei misteri principali) e di regole

“magiche” per manipolarli: è un momento in cui la

simbolizzazione rischia di sopraffare i significati.

I criteri da seguire potrebbero essere i seguenti:



1.1. Creare situazioni di apprendimentoCreare situazioni di apprendimento in cui

gli alunni costruiscano il significato vero di

quanto apprendono, tenendo conto che

chiunque tende a tradurre (a volte non

comprendendoli) i concetti in regole operative:

ciò può essere deleterio per le frazioni.



2.2. Esplicitare e discutere con gli alunni i modi diEsplicitare e discutere con gli alunni i modi dirappresentazionerappresentazione, tenendo conto che rappresenta-re non vuol dire disegnare la realtà, ma tradurla se-condo opportuni codici che, nel caso della matema-tica, solo altamente ideografici.

L’ideografia delle frazioni può indurre in errori desunti da analogiescorrette con l’aritmetica (ad es. 1/2 + 1/3 = 1/51/2 + 1/3 = 1/5).

Può essere utile un confronto continuo tra i modi con cui sono scrittee lette le diverse rappresentazioni (ad es. 3/43/4 e 0,750,75 sullacalcolatrice, sulla retta dei numeri, etc.).



3. Tenere presenti le diverse strategie (corrette o meno)con cui gli alunni affrontano un problema; discuterlenella classe e discutere i mezzi di rappresentazionediscutere i mezzi di rappresentazioneusatiusati.

Il metodo della socializzazione del sapere è qui essenziale perché

permette di far diventare oggetto didattico il modo in cui si

scrivono le frazioni e gli errori relativi. I metodi direttivi di

correzione non servono perché non pongono all’alunno il

problema nel modo giusto (effettuo la correzione per far piacere

all’insegnante, che vuole così per motivi misteriosi...).


Le frazioni: un esempioLe frazioni: un esempio

Questo esempio risale al 1700 a.C. ed è presodal papiro Rhind (un testo contenenteun’ottantina di problemi, usato per istruire ifunzionari pubblici del faraone):

«Dividere Dividere 8 8 pani tra pani tra 10 10 personepersone».

Sono possibili in una classe strategie diverse disoluzione.



La prima strategia consiste nei seguenti passi:

a)dare 1/21/2 pane a ciascuno (88 pani = = 16/216/2; 10/210/2 a 1010 persone;

restano 6/26/2 = = 12/412/4);

b)dare poi 1/41/4 di pane a ciascuno (restano 2/42/4 = = 1/21/2 pane);

c) suddividere il 1/21/2 pane in 1010 parti e quindi dare 1/201/20 a ciascuno.

In conclusione, a ciascuno tocca 1/2 + 1/4 + 1/201/2 + 1/4 + 1/20 = = 8/108/10 di pane.

a)a)

b)b)

c)c)

«Dividere Dividere 8 8 pani tra pani tra 10 10 personepersone»



La seconda strategia consiste nel dividere

ciascuno degli 88 pani in 1010 parti, contare le

parti (8080) e suddividerle tra le 1010 persone: a

ciascuno toccano quindi 88 parti, cioè 8/108/10 di

pane.



A volte si ottiene (da alunni “bravi”)anche la seguente strategia.

Si risolve il problema: “Dividi 55 panifra 44 persone”; ciascuno ottiene 4/54/5 dipane; il risultato vale anche per ilproblema di partenza.



Supponiamo che in una classe si siano verificatele tre strategie; a questo punto l’insegnantedeve condurre la classe, guidando ladiscussione, a decidere se tutte e tre sianocorrette e perché.

Nella discussione bisogna anche coinvolgerecoloro che hanno prodotto strategie e risultatiscorretti e, utilizzando la dinamica dellasocializzazione del sapere, portarli aconvincersi che hanno sbagliato.



L’obiettivo è di fare costruire agli alunni lemanipolazioni necessarie per verificare che:

1/2 + 1/4 + 1/20 = 8/10 = 4/51/2 + 1/4 + 1/20 = 8/10 = 4/5

In tal modo la dialettica tra strategie (corrette escorrette) costruite dagli alunni, modelli dirappresentazione, scrittura simbolica e regole(per la somma di frazioni) da istituzionalizzareviene sfruttata al meglio.


Commenti e conclusioniCommenti e conclusioni

A volte gli alunni che non sanno usare bene lalingua possono essere messi in grado disviluppare potenti forme di ragionamentoalternativo, ad es. usando e affinando il“pensiero spazialepensiero spaziale” (anche come supportoall’aritmetica), specialmente facendo uso delLogo (un “micromondo” che stimola laproduzione di ragionamenti geometricicomplessi).



E’ anche utile la rappresentazione graficadei dati (piano cartesiano) nella risoluzionedi problemi, con situazioni in cui ad es. lastrategia aritmetica è bloccata e soloquella geometrica è possibile.

Vi sono però alcuni aspetti significativi daconsiderare.



Difficoltà Difficoltà interne:interne: gli alunnicon maggiori deficitripiegano su strategie“povere” non appenaincontrano delle difficoltà.



Difficoltà esterneDifficoltà esterne:: in particola-re, difficoltà di transfert dal mi-cromondo (ad es. Logo) adaltre situazioni (sia fittizie chereali).



E’ più utile mirare agli aspetti verbaliaspetti verbaliintegrandovi gli aspetti di ragiona-mento visivo (il linguaggio è il motoredell’apprendimento, non l’effetto, edè lo strumento principale chesupporta la costruzione del saperematematico.



Occorre aiutare gli alunni a costruiremicromondi nella loro testa, comerisposta a situazioni problematiche, conl’uso di opportune rappresentazioni:nella risoluzione di un problema èessenziale la costruzione da partedell’alunno di uno “spazio mentalespazio mentale” pergli esperimenti.



Di grande interesse sono i problemi e le rap-presentazioni in cui lo spaziospazio si mescolaal tempotempo (vissuto e rappresentato).

Per questo, il diagramma cartesiano e letabelle, quando rappresentano fenomenispaziotemporali sono mediatori formidabilianche dei ragionamenti geometrico-visivi.

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Le difficoltà nella didattica della matematica