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Fondamenti e didattica della matematica -Geometria - Corso speciale - Facoltà di Scienzedella Formazione - Università Milano Bicocca -

a.a. 2007-2008

10 novembre 2007

Marina Bertolini ([email protected])

Dipartimento di Matematica F.Enriques

Università degli Studi di Milano

Fondamenti e didattica della matematica - Geometria - Corso speciale - Facoltà di Scienze della Formazione - Università Milano Bicocca - a.a. 2007-2008 – p. 1/??

mailto:[email protected]

Geometria delle similitudini


Omotetie del piano

Una omotetia del piano è una trasformazione del pianocostruita in questa maniera

si fissa un punto O del piano

si fissa un parametro reale positivo k (k > 0)

Se P è un punto del piano per costruire P′, l’immagine diP, si traccia la semiretta che parte da O passante per P esu questa semiretta si pone P′ tale che la distanza di Oda P′ sia k volte la distanza di O da P.

k = 2

O


Omotetie del piano

Possiamo anche avvalerci dello strumento della carta aquadretti

k = 3

O


Omotetie

Se k = 1 ad ogni punto P del piano corrisponde Pstesso.

La trasformazione del piano per cui per ognipunto P si ha f (P) = P è detta trasformazioneidentica (è anche detta identità ).

Nella definizione data si è posto k > 0. Se infattiavessimo ammesso il valore k = 0 la costruzionegeometrica descritta sarebbe ancora possibile, maad ogni punto P del piano sarebbe associato ilpunto O.

In questo caso non si avrebbe unacorrispondenza biunivoca.


Omotetie e figure geometriche

Se consideriamo una figura geometrica, possiamopensare di applicare l’omotetia a tutti i punti della figura

k = 2

O


Omotetie e figure geometriche

Se consideriamo figure geometriche più semplici nonabbiamo bisogno di applicare l’omotetia a tutti i puntidella figura

k = 2

O


Poligoni

Analogamente se consideriamo un poligono

k = 3

O

I lati del poligono triplicano.Fondamenti e didattica della matematica - Geometria - Corso speciale - Facoltà di Scienze della Formazione - Università Milano Bicocca - a.a. 2007-2008 – p. 8/??

Omotetie

Considerando una omotetia di centro O e rapporto k:

l’immagine di un segmento AB è ancora unsegmento A′B′

la lunghezza del segmento A′B′ è pari a k voltela lunghezza del segmento AB

l’immagine di un poligono è un poligono con lostesso numero di lati

la misura di ogni lato del poligono vienemoltiplicata per kne consegue che il perimetro del poligono vienemoltiplicato per k

l’area del poligono viene moltiplicata per k2


Omotetie

Considerando una omotetia di centro O e rapporto k:

l’immagine di una retta è una retta

l’immagine di una circonferenza è una circonferenzadi lunghezza k volte la lunghezza dellacirconferenza di partenza mentre l’area delcerchio compreso è k2 volte l’area della figura dipartenza

dati tre punti A, B e C, la misura dell’angolo ÂBC è

uguale alla misura dell’angolo Â′B′C′


Omotetie e similitudini

Le omotetie appartengono ad una classe più ampia ditrasformazioni: le similitudini.

Per le omotetie siamo stati in grado di esplicitare lacostruzione geometrica che permette (dati il punto O e lacostante reale positiva k) di costruire l’immagine di unqualsiasi punto del piano.

Per le similitudini invece daremo una definizione astratta.


Similitudini

Definizione – Una similitudine è una trasformazione fdel piano che verifica le condizioni seguenti

Le distanze vengono mutate, ma vengono mutate inrapporto costante. Cioè possiamo trovare unnumero k tale che se la distanza di due punti P e Qvale TOT, allora la distanza tra i loro corrispondentif (P) e f (Q) vale k · TOT.

Gli angoli non cambiano. Cioè comunque si fissinotre punti A, B e C, l’angolo da questi individuato èuguale all’angolo individuato dai loro corrispondentif (A), f (B) e f (C).


Similitudini

La definizione di similitudine può quindi essere datamettendo una delle due condizioni oppure l’altraindistintamente.

Dalla definizione di similitudine si possono dedurrealcune proprietà geometriche:

se tre punti A, B e C sono allineati, allora anchef (A), f (B) e f (C) sono allineati (per la condizionesugli angoli)

l’immagine di una retta è una retta, l’immagine di unsegmento è un segmento, . . .


Similitudini

La condizione sulle distanze è una condizione diproporzionalità tra le misure dei segmenti.Se abbiamo un segmento a e un segmento b, allora,indicando con a′ e b′ le rispettive immagini, vale laproporzione (tra le loro misure)

a′ : a = b′ : b

più precisamente

a′ : a = b′ : b = k


Similitudini

Le omotetie sono similitudini

infatti le omotetie soddisfano sia la condizione sulledistanze che la condizione sugli angoli

Ci sono però similitudini che non sono omotetie.


Similitudini

Le isometrie sono similitudini di rapporto k = 1

Si dimostra che ogni similitudine si può ottenere comecomposizione di una omotetia e di una isometria.


Figure simili


Figure simili

Definizione – Due figure del piano si dicono simili se èpossibile costruire una similitudine del piano che mandala prima figura nella seconda.

La geometria delle similitudini studia le proprietà incomune a due figure simili.

Dalla definizione di figure simili, per capire quindi se duefigure sono simili occorre costruire una similitudine (ditutto il piano) che mandi la prima figura nella seconda.


Quadrati


Scorciatoie

Questo a volte può sembrare un problema di non facilesoluzione.

Quello di cui abbiamo bisogno sono delle scorciatoieche ci permettano, date due figure, di stabilire se le figuresono simili senza costruire esplicitamente unasimilitudine.Queste scorciatoie sono dette criteri di similitudine .


Poligoni

Consideriamo due poligoni del piano. Se i due poligonisono simili, significa che esiste una corrispondenzabiunivoca di tutto il piano che manda il primo poligono nelsecondo.

In particolare questa corrispondenza biunivoca di tutto ilpiano farà corrispondere ad ogni vertice del primopoligono uno e un solo vertice del secondo poligono, eviceversa. Analogamente per i lati.

In altre parole la corrispondenza biunivoca del pianoinduce una corrispondenza biunivoca tra i vertici dei duepoligoni, e tra i lati corrispondenti.


Poligoni

Inoltre, se supponiamo che i due poligoni siano simili, leproprietà delle similitudini ci dicono anche

se misuriamo l’angolo del primo poligono in A emisuriamo l’angolo del secondo poligono in A′,allora questi angoli sono uguali

e questo vale per qualunque vertice del poligonosi vada a scegliere

alla similitudine è associata una costante diproporzionalità k, e questo implica che il rapporto trale misure dei lati

A′B′

AB= k

e questo vale per qualunque lato del poligono sivada a scegliere


Poligoni

Abbiamo cioè concluso che se due poligoni (ABCD . . . eA′B′C′D′ . . . sono simili), allora

1. gli angoli sono uguali (nel senso che l’angolo nelvertice A è uguale all’angolo nel vertice A′ e cosìvia per gli altri vertici)

2. i lati sono in rapporto costante (nel senso che ilrapporto tra le misure di AB e A′B′ è uguale al kassociato alla similitudine, e così via per gli altri lati)

ATTENZIONE: le condizioni 1 e 2 sono quindicondizioni necessarie perché i due poligoni siano simili.

Quello che ci serve sono invece condizioni sufficientiper stabilire che due poligoni siano simili.


Rettangoli

Questi rettangoli sono simili?

A B

CD

A′ B′

C′D′

In verde abbiamo costruito una omotetia di centro A′ ek = 2.(NOTA: in questo esempio le lettere sono fuorviantirispetto al problema)


Rettangoli

Due rettangoli sono simili se, detta b la base del primorettangolo e b′ la base del secondo rettangolo e detta hl’altezza del primo rettangolo e h′ l’altezza del secondorettangolo, vale la proporzione

b

b′=

h

h′

CONSEGUENZA: due quadrati sono sempre simili.


Triangoli

Anche per i triangoli abbiamo delle scorciatoie

due triangoli sono simili se esiste unacorrispondenza tra gli angoli del primo triangolo e gliangoli del secondo tale che gli angoli corrispondentisono uguali

due triangoli sono simili se esiste unacorrispondenza tra i lati del primo triangolo e i latidel secondo triangolo tale che i lati corrispondentisono in proporzione

due triangoli sono simili se un angolo del primo èuguale ad un angolo del secondo e i lati adiacenti aquesti due angoli sono in proporzione


Triangoli rettangoli

Dati due triangoli rettangoli

A B

C

ab

cα β

γ

A′ B′

C′

a′b′

c′α′ β′

γ′

come possiamo stabilire se sono simili?



Per verificare se due triangoli rettangoli sono simili (unavolta poste le “lettere” come nel lucido precedente) èsufficiente verificare una (una soltanto!) delle condizioniseguenti

β = β′

γ = γ′

b′/b = a′/a

c′/c = a′/a

c′/c = b′/b

. . .



Osserviamo che le condizioni di tipo

c′/c = b′/b

possono essere scritte invece

b/c = b′/c′

Questo significa che possiamo associare al primotriangolo il numero b/c e possiamo associare al secondotriangolo il numero b′/c′ (questi sono infatti due numeriche dipendono dal singolo triangolo)e concludere che due triangoli rettangoli sono simili se esolo se il numero che associo loro è uguale.


Altre figure

Come è possibile stabilire se le seguenti figure sonosimili?


Esercizio

I seguenti triangoli sono simili.

A B

C

A′

B′

C′

Il numero associato ad entrambi i triangoli èA′C′

A′B′ =ACAB = 3

Qual è il rapporto di similitudine?Che rapporto c’è tra le aree dei due triangoli?Fondamenti e didattica della matematica - Geometria - Corso speciale - Facoltà di Scienze della Formazione - Università Milano Bicocca - a.a. 2007-2008 – p. 31/??

Esercizio

I seguenti rombi sono simili?

La similitudine dei triangoli evidenziati garantisce lasimilitudine dei rombi.


Similitudini e quadrettatura

Per costruire figure simili può essere utile utilizzarequadrettature di dimensioni differenti


Un gioco

Prendete un foglio di carta a quadretti, e scegliete unpunto P. Seguite quanto faccio io a video, ma

raddoppiate il numero diquadretti rispetto a quello chefaccio io

se io vado “a destra”, voiandate “in alto” sul vostro foglio

se io vado “in alto”, voi andate“a sinistra”

se io vado “a sinistra”, voiandate “in basso”

se io vado “in basso”, voiandate “a destra”


Un gioco

Il gioco che abbiamo fatto, costruisce una similitudine

convincetevi del fatto che quello che abbiamo fatto èeffettivamente costruire una similitudine

costruire situazioni analoghe a questa modificandole “regole del gioco”


Similitudini e aree

Che cosa significa l’espressione raddoppiare una figura ?

Disegniamo due rettangoli di cui uno con i lati doppidell’altro

L’area risulta moltiplicata per 4


Similitudini e aree

L’esempio del rettangolo riflette una situazione generale

Se due figure sono simili tramite unasimilitudine di rapporto k, allora il rapporto tra learee delle due figure è k2


Geometria delle similitudiniOmotetie del pianoOmotetie del pianoOmotetieOmotetie e figure geometricheOmotetie e figure geometrichePoligoniOmotetieOmotetieOmotetie e similitudiniSimilitudiniSimilitudiniSimilitudiniSimilitudiniSimilitudiniFigure similiFigure similiQuadratiScorciatoiePoligoniPoligoniPoligoniRettangoliRettangoliTriangoliTriangoli rettangoliTriangoli rettangoliTriangoli rettangoliAltre figureEsercizioEsercizioSimilitudini e quadrettaturaUn giocoUn giocoSimilitudini e areeSimilitudini e aree

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