Gioco e Video gioco con…Sierpinski

Convegno“Esperienze a confronto matematica & realtà”

5-7 Maggio 2014Perugia

Biafora LucreziaRita Calio’Nicotera FrancescoPanella Andrea

Tutor : prof. ssa Anna Alfieri

SOMMARIOCosa sono i frattali ?

Le proprietà dei frattali

La gerla di Sierpinski

La torre di Hanoi…. il gioco

FractaPanic…. il videogioco

La geometria frattale

utilizza strumenti matematici elementari;

è contemporaneamente antica e modernissima;

coniuga la bellezza con l’utilità;

si presta ad applicazioni in vari campi

“….il libro della natura è scritto in lingua matematica ed i suoi caratteri sono triangoli,cerchi ed altre figure geometriche,senza i quali mezzi è impossibile a intenderne umanamente parola;senza questi è un aggirarsi vanamente per un oscuro labirinto…” Galileo Galilei

“…Osservando la natura vediamo che le montagne non sono dei coni, le nuvole non sono delle sfere, le coste non sono cerchi, ma sono degli oggetti geometricamente molto complessi…” Benoit Maldenbrot

descrizione della

complessità della natura,i

frattali si sono

diffusi,come strumento

dalle scienze naturali a

quelle economiche e

sociali,dalla fisiologia

alla tecnologia.

Dimensione frazionaria: è un parametro molto importante che determina il grado di irregolarità dell’oggetto frattale preso in esame;

Autosimilarità : a qualunque scala si osservi, l'oggetto presenta sempre gli stessi caratteri globali.

Struttura fine: rivela dettagli ad ogni ingrandimento , ossia, ad ogni iterazione si arricchisce di nuovi particolari;

PROPRIETA’ DEI FRATTALI

COSTRUZIONI FRATTALIIFS: Iterated Function System successione di figure iterate generate da più trasformazioni Ti. La figura frattale è una figura limite

L-SystemIntrodotti negli anni ‘60 dallo studioso LindermayerPer descrivere fenomeni di crescita delle piante

Wacklaw Sierpinski

Wacław Franciszek Sierpiński

(Varsavia, 14 marzo 1882 – Varsavia, 21 ottobre 1969) è stato un matematico polaccoFondatore della scuola matematica polacca, fu uno dei massimi matematici polacchi.Sierpiński è ampiamente conosciuto per i suoi importanti contributi nella teoria degli insiemi , nella teoria dei numeri, nella teoria delle funzioni e in topologia.. Scoperte matematiche e topologiche che portano il suo nome, rilevanti per gli studi successivi, sono anche il triangolo di Sierpiński, il crivello di Sierpiński

GERLA DI SIERPINSKINel 1916 il matematico polacco W. Sierpinski

propose una nuova figura molto particolare descrittamediante un processo iterativo.

Fₒ START

F1T

Fₒ START

Fn+1= T(Fn) n= 0,1,… {

Abbiamo una successione di figure iterate “generate” da una trasformazione T. La successione evolve verso una figura limite che è la figura frattale

F2 F3

CODICE DEL TRIANGOLO DI S

T1: T2:

T3:

AREA NULLA

l’area del triangolo diventa ogni volta i ¾ della precedente ,infatti ad ogni passo si elimina il triangolo centrale. Al crescere del numero dei passi,l’area decrescerà tendendo a 0.

An=3/4 An-1= (3/4)ⁿA

AREA , PERIMETRO, DIMENSIONE

PERIMETRO INFINITO

Il perimetro del triangolo diventa ogni volta 3/2 del precedente,infatti i triangoli si triplicano restando simili a se stessi mentre il loro lato si dimezza. Al crescere del numero dei passi anche il perimetro cresce indefinitivamente

•la misura di un lato è 2-k [ricordo che 2-k = (1/2)k];• il numero di triangoli è 3k.

DIMENSIONE DI HAUSDORF

d == log3/log2 = 1,5849625...

una misura frazionaria, che indica la quantificazione della probabilita' che una regione determinata di spazio venga occupata dalla struttura frattale.

La torre di Hanoi

UN PO’ DI STORIA . . .Il rompicapo della Torre di Hanoi fu inventato nel 1883 dal matematico francese Édouard Lucas, che lo chiamò "La Tour d'Hanoi".

Il rompicapo fu importato da Tonchino dal professor N. Claus originario del Siam, mandarino della Scuola "Li-Sou-Stian".

Ma tutto questo gioco di parole risultò essere nient'altro che l'anagramma di Lucas d'Amiens, della scuola di Saint-Louis, nella quale insegnava.

COME SI GIOCA … ??

(x,y)x: numero di dischettiy: numero del paletto

1 2 3

TORRE DI HANOI TRIANGOLO DI SIEPINSKI

1 2 3

Posizione (1,1)

(1,1)

(1,3)

Seguendo i lati del triangolo si può risolvere il rompicapo spostando il dischetto in posizione (1,2) o in posizione (1,3)

(1,2)

Posizione (2,1)

(1,3)

(2,1) (2,2)

(1,2)(1,3)

Seguendo i lati del triangolo spostiamo un dischetto sul terzo paletto (1,3) lasciando un dischetto sul primo paletto (1,1); spostiamo quest’ultimo sul secondo paletto (1,2); spostiamo il dischetto in posizione (1,3) sul secondo paletto.

(1,1)

1 2 3