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1 Construcción del Triángulo de Sierpinski con latas de Refresco o Cerveza Construcción del Triángulo de Sierpinski con latas de Refresco o Cerveza Construcción del Triángulo de Sierpinski con latas de Refresco o Cerveza Construcción del Triángulo de Sierpinski con latas de Refresco o Cerveza Mario Otero Novoa (IES Navarro Villoslada) La asignatura de matemáticas siempre arrastra la inmerecida fama de dificultad y de ¿y esto para qué sirve?. Por este motivo me propuse construir con los alumnos de 3º de ESO de Secciones Bilingües del IES Navarro Villoslada una figura que nos permitiese estudiar uno de los temas más complicados del curso: las progresiones progresiones progresiones progresiones. El reto era sencillo: conseguir más de 1000 latas de refresco o cerveza para montar el famoso Triángulo Fractal de Sierpinski y relacionarlo con el contenido didáctico de las matemáticas de 3º de ESO. 1) 1) 1) 1) FRACTALES Y TRIÁNGULOS FRACTALES Y TRIÁNGULOS FRACTALES Y TRIÁNGULOS FRACTALES Y TRIÁNGULOS En la década de los 70 se comenzaron a estudiar en matemáticas los llamados objetos objetos objetos objetos fractales fractales fractales fractales que, de modo sencillo, se pueden interpretar como objetos que se repiten a sí mismos independientemente de la escala utilizada para observarlos . Estos objetos resultaron ser muy útiles para explicar fenómenos naturales y estudiar características geométricas con patrones caóticos (como por ejemplo, medir la longitud de la costa de Inglaterra). El Fractal de Sierpinski El Fractal de Sierpinski El Fractal de Sierpinski El Fractal de Sierpinski Es muy común en matemáticas que distintos conceptos surjan en épocas y lugares diferentes para después encajar a la perfección. En este caso, el matemático polaco Waclaw Sierpinski introdujo su famoso triángulo medio siglo antes del desarrollo exhaustivo de la geometría fractal. Su construcción es muy simple: 1) Partimos de un triángulo equilátero. 2) Unimos los puntos medios de los lados y eliminamos el triángulo central. 3) Repetimos el proceso con cada uno de los tres triángulos obtenidos, sin olvidar la eliminación de los triángulos centrales. 4) Continuamos el proceso de forma indefinida. Este objeto cumple dos propiedades curiosas: se repite a sí mismo a cualquier escala y la repetición infinita del proceso de construcción lleva a una figura que tiene superficie cero y perímetro infinito, algo que desafía la lógica de la intuición. Otros ejemplos de f Otros ejemplos de f Otros ejemplos de f Otros ejemplos de fractales ractales ractales ractales El Triángulo de Sierpinski es uno de los innumerables ejemplos de fractales que se pueden encontrar. Si bien, por su importancia histórica o curiosidad, otros famosos son: Esponja de Menger Copo de Koch Conjunto de Mandelbrot Romanescu (verdura fractal)

El triángulo Fractal Sierpinski con

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Construcción del Triángulo de Sierpinski con latas de Refresco o CervezaConstrucción del Triángulo de Sierpinski con latas de Refresco o CervezaConstrucción del Triángulo de Sierpinski con latas de Refresco o CervezaConstrucción del Triángulo de Sierpinski con latas de Refresco o Cerveza

Mario Otero Novoa (IES Navarro Villoslada)

La asignatura de matemáticas siempre arrastra la inmerecida fama de dificultad y de “¿y esto para qué sirve?”. Por este motivo me propuse construir con los alumnos de 3º de ESO de Secciones Bilingües del IES Navarro Villoslada una figura que nos permitiese estudiar uno de los temas más complicados del curso: las progresionesprogresionesprogresionesprogresiones.

El reto era sencillo: conseguir más de 1000 latas de refresco o cerveza para montar el famoso Triángulo Fractal de Sierpinski y relacionarlo con el contenido didáctico de las matemáticas de 3º de ESO.

1)1)1)1) FRACTALES Y TRIÁNGULOSFRACTALES Y TRIÁNGULOSFRACTALES Y TRIÁNGULOSFRACTALES Y TRIÁNGULOS

En la década de los 70 se comenzaron a estudiar en matemáticas los llamados objetos objetos objetos objetos fractalesfractalesfractalesfractales que, de modo sencillo, se pueden interpretar como objetos que se repiten a sí mismos independientemente de la escala utilizada para observarlos. Estos objetos resultaron ser muy útiles para explicar fenómenos naturales y estudiar características geométricas con patrones caóticos (como por ejemplo, medir la longitud de la costa de Inglaterra).

El Fractal de SierpinskiEl Fractal de SierpinskiEl Fractal de SierpinskiEl Fractal de Sierpinski

Es muy común en matemáticas que distintos conceptos surjan en épocas y lugares diferentes para después encajar a la perfección. En este caso, el matemático polaco Waclaw Sierpinski introdujo su famoso triángulo medio siglo antes del desarrollo exhaustivo de la geometría fractal. Su construcción es muy simple:

1) Partimos de un triángulo equilátero.

2) Unimos los puntos medios de los lados y eliminamos el triángulo central.

3) Repetimos el proceso con cada uno de los tres triángulos obtenidos, sin olvidar la eliminación de los triángulos centrales.

4) Continuamos el proceso de forma indefinida.

Este objeto cumple dos propiedades curiosas: se repite a sí mismo a cualquier escala y la repetición infinita del proceso de construcción lleva a una figura que tiene superficie cero y perímetro infinito, algo que desafía la lógica de la intuición.

Otros ejemplos de fOtros ejemplos de fOtros ejemplos de fOtros ejemplos de fractalesractalesractalesractales

El Triángulo de Sierpinski es uno de los innumerables ejemplos de fractales que se pueden encontrar. Si bien, por su importancia histórica o curiosidad, otros famosos son:

Esponja de Menger Copo de Koch Conjunto de Mandelbrot Romanescu (verdura fractal)

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2)2)2)2) LA CONSTRLA CONSTRLA CONSTRLA CONSTRUCCIÓN DEL TRIÁNGULO DE SIERPINSKIUCCIÓN DEL TRIÁNGULO DE SIERPINSKIUCCIÓN DEL TRIÁNGULO DE SIERPINSKIUCCIÓN DEL TRIÁNGULO DE SIERPINSKI

A lo largo de todo el proceso hemos utilizado el siguiente material: • 1092 latas de refresco o cerveza de diámetro 66 mm • 12 tubos de adhesivo de montaje • 2 moldes de madera • 6 botes de pintura de diferentes colores • 24 metros de perfil de aluminio • Muchas horas de esfuerzo y paciencia

Las distintas fases del trabajo fueron realizadas en horas extraescolares por las tardes, ya que necesitábamos disponer de un aula entera de trabajo para poder pegar y almacenar los triángulos utilizados.

Fase 1: Recolección de las lFase 1: Recolección de las lFase 1: Recolección de las lFase 1: Recolección de las latasatasatasatas

Una vez motivados y dispuestos a llegar hasta el final, colocamos un cubo en la entrada del instituto para que todo el mundo colaborase con latas de tamaño estándar. He aquí el resultado de tal proceso:

En total, más de 1300 latas.

Fase 2: Los primeros tFase 2: Los primeros tFase 2: Los primeros tFase 2: Los primeros triángulosriángulosriángulosriángulos

Llegó el momento de empezar a pegar latas. El primer objetivo (y el más duro) fue conseguir pegar 121 triángulos de 9 latas121 triángulos de 9 latas121 triángulos de 9 latas121 triángulos de 9 latas cada uno, para lo que usamos dos moldes de madera, 9 tubos de adhesivo de montaje y dos pistolas para hacer el doble de trabajo en el mismo tiempo. Cada triángulo de 9 latas está formado por 3 bloques de 3 latas y requiere utilizar 12 aplicaciones de pegamento, por lo que el montaje preciso de uno de estos primeros triángulos necesita aproximadamente de 6 o 7 minutos (y eso una vez que ya se tiene interiorizada la rutina de trabajo)

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Fase 3: Los siguientes tFase 3: Los siguientes tFase 3: Los siguientes tFase 3: Los siguientes triángulosriángulosriángulosriángulos

Cuando al fin estuvieron listos los 121 triángulos de 9 latas, comenzamos a pegarlos entre ellos para así conseguir todos los triángulos deseados. Esta vez necesitamos otros dos tubos de adhesivo de montaje. Para el resultado final, hubo que pegar:

Estos son los 6 triángulos que forman parte del montaje final

Fase 4Fase 4Fase 4Fase 4: El c: El c: El c: El colorolorolorolor

Para que quedase bien claro el concepto de fractal, en el proceso de construcción del triángulo de Sierpinski, usamos 6 colores diferentes6 colores diferentes6 colores diferentes6 colores diferentes para visualizar que en cualquier triángulo están contenidos todos los triángulos anteriores. Hubo que comprar:

• Un bote de capa de imprimación • Un bote de pintura de cada uno de los siguientes colores: púrpura-magenta, azul

luminoso, amarillo real, rojo china y verde TK-314 • Un spray de color rojo fosforito para destacar el módulo básico de 3 latas

• 1 triángulo de 3 latas • 1 triángulo de 9 latas (formado por 3 triángulos de 3 latas) • 1 de 27 latas (formado por 3 triángulos de 9 latas) • 1 de 81 latas (formado por 3 triángulos de 27 latas) • 1 de 243 latas (formado por 3 triángulos de 81 latas) • 1 de 729 latas (formado por 3 triángulos de 243 latas)

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Fase 5Fase 5Fase 5Fase 5: Preparación del m: Preparación del m: Preparación del m: Preparación del montajeontajeontajeontaje

Una vez listas estas fases, decidimos colocar los triángulos en la pared frontal del instituto usando perfiles de aluminio en las bases de los distintos niveles para darle fuerza y resistencia a la estructura final. Para aprovechar la esquina y hacer un efecto envolvente, dividimos el cuarto triángulo por la mitad, como se puede observar en el simulacro:

Fase 6Fase 6Fase 6Fase 6: Colocación en la p: Colocación en la p: Colocación en la p: Colocación en la paredaredaredared

A lo largo de dos días, y recurriendo a escaleras, andamio y taladro, pudimos colocar nuestro proyecto y los paneles explicativos en la fachada principal del instituto.

Visita nuestro blog: http://callmeeinstein.blogspot.com.es/2013/05/sierpinskis-fractal-triangle.html

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3)3)3)3) LAS MATEMÁTICAS DEL TRIÁNLAS MATEMÁTICAS DEL TRIÁNLAS MATEMÁTICAS DEL TRIÁNLAS MATEMÁTICAS DEL TRIÁNGULOGULOGULOGULO

LLLLas Mas Mas Mas Matemáticas de Sierpinskiatemáticas de Sierpinskiatemáticas de Sierpinskiatemáticas de Sierpinski

Esta figura nos ayuda no sólo a entender el concepto de fractal, sino a visualizar diversos conceptos matemáticos relacionados con las sucesiones:

• El número de latas de cada triángulo viene dado por la progresión geoméprogresión geoméprogresión geoméprogresión geométricatricatricatrica

3nnL =

Así, el primer triángulo tiene 3 latas, el segundo 9, el tercero 27…

• La longitud de la base y altura de cada triángulo se obtienen también como una progresión progresión progresión progresión geométricageométricageométricageométrica y una sucesiónsucesiónsucesiónsucesión:

2nnb d= ⋅ y

( )2 1 3 2

2

n

nh d− +

= ⋅

=donde d 66 mm es el diámetro de una lata.

Además, para llegar a estas expresiones hemos trabajado con radicales, el Teorema de Pitágoras, y la expresión de la altura de un triángulo equilátero en función de su lado.

InfInfInfInformaciormaciormaciormación previa nón previa nón previa nón previa necesariaecesariaecesariaecesaria

Antes de comenzar el proyecto, era imprescindible saber cuántas latas íbamos a necesitar y las dimensiones totales de la figura. Para ello, usamos la fórmula que nos permite obtener la suma de varios términos consecutivos de una progresión geométrica. En este caso, de los 6 primeros términos de la sucesión del número de latas 3n

nL = ; así:

( ) ( )1 6

6

3 3 1 3 729 11092

3 1 2S latas

⋅ − ⋅ −= = =

Gracias a todo esto, supimos de antemano las dimensiones que debería tener la pared para poder colocar nuestra Sucesión de Triángulos de SierpinskiSucesión de Triángulos de SierpinskiSucesión de Triángulos de SierpinskiSucesión de Triángulos de Sierpinski.

Nivel Número de latas

Ln

Longitud base

bn

Altura

hn

1 3 132 mm 123 mm

2 9 264 mm 237 mm

3 27 528 mm 466 mm

4 81 1056 mm 923 mm

5 243 2112 mm 1838 mm

6 729 4224 mm 3667 mm

A mis aA mis aA mis aA mis alumnos, que me han dado la motivación lumnos, que me han dado la motivación lumnos, que me han dado la motivación lumnos, que me han dado la motivación necesaria como para meterme en algo así.necesaria como para meterme en algo así.necesaria como para meterme en algo así.necesaria como para meterme en algo así.