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Funciones Exponenciales
La función exponencial con base a se define para todos
los números reales x por:
Ejemplos de funciones exponenciales:
Base 2 Base 3Base 10
Base (1/2)
D
e
fi
n
i
c
i
ó
n
con a > 0 , a ≠ 1
Ejemplos: sea la función f(x) = 3 x , para obtener su gráfica le damos valores a x y obtenemos el valor de f
Funciones Exponenciales
x f (x) = 3 x
-3 3 - 3 = 0.037
- 2 3 – 2 = 0.111
- 1 3 – 1= 0.333
0 3 0 = 1
1 3 1 = 3
2 3 2 = 9
3 3 3 = 27
Funciones Exponenciales
Gráfica de las funciones
Grafica de las funciones
En general el valor de la base a de la función
exponencial nos indica la forma de la gráfica
Funciones Exponenciales
Función Exponencial Natural
La función exponencial natural es la función exponencial de base e
El número e es un interesante número que tiene
que ver con la naturaleza, la ciencia y la tecnología.
A partir de e se determina la ecuación de la curva
de un puente colgante , el tiempo de enfriamiento
de un cuerpo , la antigüedad de la materia orgánica
por desintegración del carbono 14, el crecimiento
de la población, el interes compuesto, entre otras.
Funciones Exponenciales
Recordar que las características de esta función
son las mismas que la función exponencial
para a > 1(0,1)
El número e es un número irracional cuyo valor es
aproximadamente 2.7182818284590452353602
Gráfica de
De las gráficas anteriores podemos deducir las siguientes
propiedades de la función exponencial:
Dominio todos los números reales
El rango es el intervalo de ( 0, ∞ )
Es continua
f ( 0 ) = 1 para cualquier valor de a
f ( 1 ) = a para cualquier valor de a
Si a > 1, la función es creciente
Si 0 < a < 1, la función es decreciente.
Funciones Exponenciales
LOGARITMO DE UN NÚMERO
El logaritmo en base a de un número x es el número y, si a elevado al exponente y da como resultado x.
En símbolos: log ax = y a y = x
a es la base del logaritmo y debe ser un número positivo y distinto de 1.
x es el argumento del logaritmo y debe ser un número real positivo.
Los logaritmos más usados son:
Logaritmos decimales: son aquellos de base 10. Generalmente, la
base no se escribe. Por ejemplo: log x = log10x
Logaritmos naturales: son los de base e. Se ls escribe con ln, es decir
que: ln x = logex
Sea a un número positivo con . ,
la función logarítmica con base a, se define
como
D
e
f
i
n
i
c
i
ó
n
(Se lee: «Logaritmo en base a de X»)
FUNCIONES LOGARÍTMICAS
Comparando la forma Exponencial y la forma Logarítmica tenemos
Exponencial: Logarítmica:
Base
Exponente
Base
Exponente
En ambas formas la base a es la misma
FUNCIONES LOGARÍTMICAS
Forma
Logarítmica
Forma
Exponencial
EJEMPLO:
FUNCIONES LOGARÍTMICAS
Ejemplo : Trazar la gráfica de la función f(x) = log2 x
Para construir una tabla de valores, elegimos los valores de x
como potencias de 2, de modo que sea más facil hallar sus
logaritmos.
x f (x) = log2
x
2 - 3 = 0.125 - 3
2 – 2 = 0.25 - 2
2 – 1= 0.5 - 1
2 0 = 1 0
2 1 = 2 1
2 2 = 4 2
2 3 = 8 3
FUNCIONES LOGARÍTMICAS
FUNCIONES LOGARÍTMICAS DE
DISTINTAS BASES
A continuación podemos ver como afectan las diferentes bases en una función logarítmica.
FUNCIONES LOGARÍTMICAS
En general el valor de la base a de la función
logarítmica nos indica la forma de la gráfica
Logarítmo naturalEl logarítmo con base e se llama logarítmo natural y se denota por:
f(x) = ln x
La función logarítmo natural y = ln x es la función inversa de la función
exponencial:
FUNCIONES LOGARÍTMICAS
De las gráficas anteriores podemos deducir las siguientes
propiedades de la función logarítmica:
Dominio todos los números reales positivos
El rango es el intervalo de ( -∞, ∞ )
Es continua
f ( 1 ) = 0 para cualquier valor de a
f ( a ) = 1 para cualquier valor de a
Si a > 1, la función es creciente
Si 0 < a < 1, la función es decreciente.
FUNCIONES LOGARÍTMICAS
PROPIEDADES DE LOS LOGARÍTMOS
Sí a> 0 y a ≠ 1, con x, y números reales positivos y n cualquier
número real. Se cumplen las siguientes propiedades:
Logaritmo de un producto
Logaritmo de un cociente
Logaritmo de una potencia
log ( ) log loga a axy x y
alog ( ) log loga a
xx y
y
n
alog (x ) logan x
Estas propiedades nos ayudarán a simplificar expresiones
logarítmicas y numéricas así como en la resolución de ecuaciones
exponenciales y logarítmicas.
CAMBIO DE BASE
El logaritmo en una base b de un número se puede obtener a partir
de logaritmos en otra base conocida:
(también puede
Ejemplo: emplearse log)
loglog (x)
log
a
b
a
x
b
Anteriormente mencionamos que os logaritmos más utilizados
son el de base 10 (log) y el de base e (ln), sin embargo podemos
necesitar calcular el logaritmo en una base distinta, aquí
empleamos el procedimiento de cambio de base.
APLICACIONES
Las funciones exponenciales y logarítmicas pueden ser utilizadas para resolver y modelar algunas situaciones de la vida real. Algunas de estas situaciones son: el crecimiento de bacterias en un cultivo, el crecimiento de la población de una ciudad, el tiempo que toma un objeto para llegar a cierta temperatura, etc.
Módelo de crecimiento y decrecimiento de Poblaciones
Donde
“Ao” es la población inicial
“k” es la tasa de crecimiento o de
decrecimiento
t es el tiempo
Sea P(t) el tamaño de la población al tiempo t, el modelo
exponencial presupone que la tasa de aumento de la población es
proporcional a la población en el instante:
Desintegración Radiactiva
Donde “Co” es la cantidad de masa inicial
del elemento radiactivo
Los elementos radiactivos tienden
a disminuir su masa conforme
transcurre el tiempo, sea t el
tiempo medido en años y C(t) la
cantidad medida en gramos del
elemento radiactivo, entonces la
cantidad de masa C(t) despues de t
años esta dada por:
Ley de Enfriamiento de Newton
k > 0
La velocidad de enfriamiento de un cuerpo cálido en un ambiente más frío Tm, cuya temperatura es T, es proporcional a la diferencia entre la temperatura instantánea del cuerpo y la del ambiente.
donde “u” es la temperatura del
medio,
“T” es la temperatura inicial del
cuerpo
“K” es la constante de enfriamiento
del cuerpo
El interés compuesto se calcula mediante la fórmula
donde:
A(t) = cantidad después de t años
P =Capital o valor actual
r = tasa de interés por año
n = número de veces que el interés se compone por año
t = número de años
Interés Compuesto
Interés Compuesto en forma Continua
El interés compuesto en forma continua se calcula mediante
la fórmula:
donde:
A(t) = cantidad después de t años
P = capital o valor actual
r = tasa de interés por año
t = número de años
Magnitud de un Terremoto
Donde I es la intensidad del
terremoto, Io es la intensidad de
un terremoto estándar de
referencia
Para medir la magnitud de
un terremoto se realizan
lecturas en un sismógrafo
que deben ser representadas
en una escala por ejemplo :
La Escala Richter cuya
magnitud se halla :
La concentración de iones hidrógeno en una solución
determina su grado de acidez. Como se trata de cantidades
muy pequeñas, se inventó una escala logarítmica que facilita
su manejo.
La fórmula que relaciona el pH de una solución con la
concentración de iones hidrógeno es la siguiente:
pH = log (1/[H+])
donde [H+] representa los moles de iones hidrógeno por litro.
PH y acidez de las soluciones
