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FENOMENOS DE ESPERA
Elaborado por: Liliana Michelle Ferreira
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¿Qué tienen en común las siguientes situaciones?
Barcos que esperan ser atendidos en un puerto
Automóviles que esperan para pagar en un peaje
Clientes que esperan su pago en el banco
Aviones que esperan para despegar de un aeropuerto
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LA ESPERA
¿Cuando ocurre?
Este fenómeno ocurre siempre que la demanda actual de un
servicio excede a la capacidad actual de proporcionarlo
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La manifestación de la espera es el resultado directo de la
aleatoriedad en la operación en instalaciones de servicio
Cuánto tiempo será necesario para dar
servicio
Muchas veces es imposible predecir con exactitud
Cuándo llegarán las unidades que buscan el
servicio y/o
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Proporcionar demasiado servicio
COSTOS DE SERVICIO
Carecer de la capacidad de serviciosuficiente COLAS
INACTIVDAD
Costo de espera: Es el costo para el cliente al esperar
Costo de servicio: Es el costo de operación del servicio brindado
COSTOS DE ESPERA
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Por tanto, la meta principal es:
Lograr un balance económico entre el costo de servicio y el costo asociado con la espera por ese servicio
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Con el estudio de los sistemas de colas se busca:
Evaluar el impacto que las posibles alternativas de modificación de la capacidad del sistema tendrían en el coste total del mismo. Definir cual debe ser la mejor configuración de tal forma que se minimice el costo de operación del sistema
Establecer un balance equilibrado (“óptimo”) entre las consideraciones cuantitativas de costes y las cualitativas de servicio
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Tras este estudio, es posible obtener diferentes medidas que permiten analizar el comportamiento de un sistema de colas:
Tiempo medio que una unidad permanece en el sistema y la distribución de frecuencia del tiempo de permanencia en el sistema.
Utilización de las estaciones de servicio.
Número medio de unidades en el sistema y distribución del número de unidades del sistema.
Tiempo medio que permanece una unidad en cada una de las colas y su distribución.
Número medio de unidades en cada una de las colas y su distribución.
Tiempo de inactividad de las estaciones de servicio, o porcentaje de utilización
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Estructura
Llegadas
ColaInstalación del
servicio
Disciplinade la cola Salidas
Modelo Básico de un Sistema de Colas
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Estructura
Modelo de un Sistema de Colas con una línea y un servidor
Llegadas
Sistema de colas
Cola Servidor
Salidas
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Estructura
Modelo de un Sistema de Colas una línea y múltiples servidores
Llegadas
Sistema de colas
Cola
ServidorSalidas
Servidor
Servidor
Salidas
Salidas
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Llegadas
Sistema de colas
Cola ServidorSalidas
Servidor
Servidor
Salidas
Salidas
Cola
Cola
EstructuraModelo de un Sistema de Colas varias líneas y múltiples servidores
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LlegadasCola
Servidor
Salidas
Cola
Servidor
EstructuraModelo de un Sistema de Colas una línea y servidores secuenciales
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Componentes
Llegada de clientes
Tamaño de la Población de Clientes: número total de clientes que pueden requerir servicio en determinado momento.
Población Finita: grupo de clientes de tamaño limitado, que pueden requerir servicio en determinado momento.
Población Infinita: es aquella lo bastante grande con relación al sistema de servicio como para que el cambio de tamaño, ocasionado por sustracciones o adiciones a la población, no afecte significativamente las probabilidades del sistema.
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Un Cliente es todo individuo de la población potencial que solicita servicio.
Tiempo entre Llegadas: tiempo que transcurre entre dos llegadas sucesivas en el sistema de colas.
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Componentes
Llegada de clientes
Tiempo entre Llegadas: tiempo que transcurre entre dos llegadas sucesivas en el sistema de colas.
Tasa Media de Llegadas: número esperado de llegadas por unidad de tiempo.
Tiempo esperado entre llegadas: 1/λ . Ejemplo: si la tasa media de llegadas es λ = 20 clientes por hora. Entonces el tiempo esperado entre llegadas es 1/λ = 1/20 = 0.05 horas o 3 minutos
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Componentes
Llegada de clientes
Llegadas poissonianas: según las cuales el número de clientes que llegan a requerir servicio es un proceso de Poisson, o equivalentemente, el tiempo entre llegadas de clientes sucesivos es exponencial.
Llegadas no estacionarias: Se presenta cuando la tasa de llegada no es constante, sino que depende del instante de tiempo considerado
Tipos de Llegadas:
Llegadas regulares, a intervalos constantes.
Llegadas en grupo.
Llegadas regulares con impuntualidad.
Llegadas en tiempos discretos.
Llegadas que siguen una distribución general.
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Consiste en una o más instalaciones de servicio, cada una de ellas con uno o más canales de servicio.
Componentes
Mecanismo de Servicios
Canal: Hace referencia al número de servidores o estaciones que prestan el servicio.
Configuración de las estaciones de servicio: éstas pueden estar en paralelo, cuando todas prestan el mismo servicio, y una unidad pasa solamente por una estación; o en serie, cuando una unidad debe pasar por todas las estaciones.
Duración del servicio: tiempo que transcurre desde el inicio del servicio para un cliente hasta su terminación en una instalación.
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Componentes
Disciplina de la Cola
Es el modo u orden en el que los clientes son seleccionados para ser servidos
FIFO o PEPS (First In, First Out o Primero en Entrar, Primero en Salir). La primera unidad que llega, será la primera en ser atendida.
LIFO o UEPS (Last In, Last Out o Últimos en Entrar, Primeros en Salir). Los últimos clientes en llegar, serán los primeros en ser atendidos.
SIRO o SOA (Service In Random Order o Servicio en Orden Aleatorio ). Selecciona a los clientes de forma aleatoria.
Selección de acuerdo con la importancia o prioridad del cliente.
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Componentes
Filas o Líneas de Espera
Longitud. Número máximo de unidades que pueden esperar en frente de una estación.
Número de filas. Cuando hay varias estaciones en paralelo puede existir una fila única que alimente todas las estaciones o puede existir una cola para cada estación. Además, en, cada unidad que llega puede escoger la cola en la cual esperará. Cuando las estaciones que prestan el servicio están ordenadas en serie, debe existir una cola para cada estación.
Disciplina de la Fila. Indica el método para determinar el orden de servicio a los clientes que aguardan en la fila
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Las características de los sistemas de colas están determinadas por:
Distribución de lostiempos entre llegadas
Distribución de lostiempos de servicio
Distribución Exponencial
Distribución de Poisson
Distribución Exponencial
Distribución Erlang
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Distribución Exponencial
Distribución de Poisson
k!
eλP(k)
λk −
=Donde:P(k) : probabilidad de k llegadas por unidad de tiempoλ : tasa media de llegadase = 2,7182818
P X ke
k != =
λ λt) k t
( )( −Donde:
l : esperanza de llegada de un cliente por unidad de tiempo
t : intervalo de tiempo.
e = 2.7182818
Llegadas
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Condiciones necesarias para la existencia del proceso de llegada Poisson
ContinuidadContinuidad: : Al menos un cliente debe llegar a la cola durante un intervalo Al menos un cliente debe llegar a la cola durante un intervalo de tiempode tiempo..
EstacionarioEstacionario: : Para un intervalo de tiempo dado, la probabilidad de que Para un intervalo de tiempo dado, la probabilidad de que llegue un cliente es la misma que para todos los intervalos de tiempo de la llegue un cliente es la misma que para todos los intervalos de tiempo de la misma longitud.misma longitud.
IndependenciaIndependencia: : La llegada de un cliente no tiene influencia sobre la llegada La llegada de un cliente no tiene influencia sobre la llegada de otro.de otro.
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Ejemplo de Distribución de Poisson
La tienda JB Sports, está abierto 14 Horas al día y en el último mes ha promediado 20 clientes diarios en caja. ¿Qué probabilidad hay de que en la siguiente hora llegue un cliente exactamente? ¿Cuál es la probabilidad de que lleguen 2?
La media (λ) de clientes por hora es de 20/ 14 = 1,4285. Entonces tenemos n=1 (1 cliente), n=2 (2 clientes).
P X ke
k != =
λ λt) k t
( )( −
P 1e
1 !=
1,4285 )1
( )( − 1,4285
P 2e
2!
=1,4285 )
2
( )( − 1,4285
=.3424 = 34.24%
=. 2445 = 24.45%
Llegadas
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Distribución Exponencial
Servicios
donde :m = es el número de clientes promedio que pueden ser atendidos por período de tiempo
Posee un parámetro de forma k que determina su desviación estándar:
Distribución de Kerlang
mediak
1=σSi k = 1, entonces la distribución Erlang es igual a la exponencialSi k = ∞, entonces la distribución Erlang es igual a la distribución degenerada con tiempos constantesLa forma de la distribución Erlang varía de acuerdo con k
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Modelo de Colas
Existe una clasificación estándar para identificar los modelos de colas, según sus características o propiedades, introducida en 1953 por el investigador británico D. Kendall. Los modelos se identifican mediante la siguiente convención, en letras:
a b c:
d e fa : Distribución de tiempo entre llegadas
b : Distribución de tiempos de servicio
c : Número de servidores
d : Disciplina del Servicio
e : Numero máximo de clientes que pueden estar en el sistema
f : Fuente de Generación de Clientes
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En los parámetros a y b (distribución del tiempo entre llegadas y del tiempo se servicio ) se emplea la siguiente convención:
M: Llegada con distribución Poisson y Servicio ExponencialD: Llegada o Servicio DeterministicoE: Llegadas y Servicios con Distribución Erlang y GammaGI: Llegadas con una distribución general independienteG: Servicios con una distribucion general independiente
En d se emplea la siguiente convención:
FIFO o PEPS (First In, First Out o Primero en Entrar, Primero en Salir)LIFO o UEPS (Last In, Last Out o Últimos en Entrar, Primeros en Salir). SIRO o SOA (Service In Random Order o Servicio en Orden Aleatorio ).
En e y f los valores puede ser un entero finito o infinito
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M/M/5: (FIFO/∞/∞) Sistema de colas con tiempo entre llegadas exponencial, tiempo de servicio exponencial, 5 servidores, disciplina de servicio FIFO, con un máximo infinito de clientes y una fuente de generación infinita.
M/M/1: (FIFO/10/∞) Sistema de colas con tiempo entre llegadas exponencial, tiempo de servicio exponencial, 1 servidor, disciplina de servicio FIFO, con un máximo de 10 clientes y una fuente de generación infinita.
M/G/1 Sistema de colas con tiempo entre llegadas exponencial, tiempo de servicio con distribución general y 1 servidor.
M/ M/2Sistema de colas con tiempo entre llegadas exponencial, tiempo de servicio exponencial y 2 servidores.
EJEMPLOS
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Variables de un modelo de colas
Variables exógenas o de entrada al sistema:
•Tiempo entre llegadas al sistema•Tiempo de servicio en las diferentes estaciones. •Prioridad de los clientes•Número de estaciones de servicio •Tasa de llegada de clientes al sistema •Tasa de servicio de las diferentes estaciones o servidores •Costos de prestación del servicio por unidad de tiempo •Costo de espera o de inactividad por cliente
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Variables de un modelo de colas
Variables de estado:
•Tiempo que una orden cualquiera permanece en una cola.•Tiempo que una estación esta inactiva, esperando la llegada de un cliente.•Número de unidades en el sistema en cualquier instante.•Número de unidades en la cada cola.•Número de estaciones inactivas en cualquier instante.•Número de órdenes recibiendo servicio en un instante cualquiera.•Tiempo de permanencia de un cliente en el sistema
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Variables de un modelo de colas
Variables endógenas:
•Número medio unidades en el sistema. •Número medio de unidades en cada una de las colas.•Número medio de unidades recibiendo servicio. •Número medio de estaciones inactivas.•Tiempo medio que una unidad permanece en el sistema. •Tiempo medio que una unidad permanece en cada una de las colas.
