ANÁLISIS DE NODOSClase 6b

18-02-2014

Un nodo se define como la unión de una o mas ramas. Si ahora se define un

nodo de cualquier red como una referencia (es decir, un punto potencial cero o

tierra), los nodos restantes de la red tendrán un potencial fijo con respecto a

esta referencia. Por tanto para una red con nodos, existirán nodos con respecto

con potencial fijo respecto del nodo de referencia asignado. Las ecuaciones que

relacionan estos voltajes nodales pueden escribirse al aplicar la ley de corriente

de Kirchhoff sobre cada uno de los nodos. Para obtener la solución completa de

una red, estos voltajes nodales se evalúan entonces en la misma forma en que

se calcularon las corrientes de lazo en el análisis de mallas.

El método de análisis de nodos se aplica de la siguiente forma:

1. Determine el numero de nodos dentro de la red.

2. Escoja un nodo de referencia, y etiquete cada nodo restante con un valor de voltaje con

subíndice: V1, V2, etcétera.

3. Aplique la ley de corriente de Kirchhoff sobre cada nodo excepto sobre el de referencia.

Asuma que todas las corrientes desconocidas abandonan el nodo por cada aplicación de

la ley de corriente de Kirchhoff. En otras palabras, para que cada nodo se vea influenciado

por la dirección que una corriente desconocida en otro nodo pudiera haber tenido. Cada

nodo se debe tratar como una entidad distinta e independiente de la aplicación de la ley

de corriente de Kirchhoff a los otros nodos.

El método de análisis de nodos se aplica de la siguiente forma:

4. Resuelva las ecuaciones resultante para los voltajes nodales.

PROBLEMAS

Problema 1

Aplique el análisis de nodos de la figura siguiente

PROBLEMAS

Solucion

Paso 1 y 2: La red cuenta con dos nodos, como se muestra en la figura a. El

nodo inferior se define como el nodo de referencia al potencial de tierra

(cero volts), y el otro nodo como , que es el voltaje del nodo 1 a tierra.

Paso 3: En la figura b se establece que abandonan el nodo, y se aplica la

ley de corriente de Kirchhoff de la siguiente forma:

PROBLEMAS FIGURA A

PROBLEMAS FIGURA B

PROBLEMAS

Solucion

La corriente se relaciona con el voltaje nodal mediante la ley

de Ohm:

PROBLEMAS

Solucion

La corriente también esta determinada por la ley de Ohm de

la siguiente forma:

Al sustituir en la ecuación de la ley de corriente de Kirchhoff:

PROBLEMAS

Solucion

Y reagrupando se tiene

PROBLEMAS

Solucion

Al sustituir valores numéricos, se obtiene:

PROBLEMAS

Solucion

Las corrientes pueden determinarse entonces

utilizando las ecuaciones anteriores:

PROBLEMAS

Solucion

El signo negativo indica simplemente que la corriente

tiene una dirección opuesta a la que aparece en la

figura B

PROBLEMAS

Problema 2

Aplique el análisis de nodos de la figura siguiente

PROBLEMAS

Solución

Pasos 1 y 2: La red cuenta con tres nodos, como se define en la figura a,

siendo el no inferior nuevamente definido como el de referencia (como un

potencial de tierra o de cero volts), y los otros nodos como

Paso 3: Para el nodo las corrientes se definen como se muestra en la figura

b y se aplica la ley de corriente de Kirchhoff.

PROBLEMAS FIGURA A

Solución

PROBLEMAS FIGURA B

Solución

PROBLEMAS

Solución

de manera que:

PROBLEMAS FIGURA C

Solución

PROBLEMAS

Solución

Para le nodo las corrientes se definen como se muestra en la

figura C y se aplica la ley de corriente de Kirchhoff:

PROBLEMAS

Solución

Al sustituir valores

Paso 4: El resultado son dos ecuaciones y dos incógnitas:

PROBLEMAS

Solución

Al sustituir valores

Paso 4: El resultado son dos ecuaciones y dos incógnitas:

PROBLEMAS

Solución

Las cuales se convierten en:

PROBLEMAS

Solución

Dado que es mayor que , la corriente fluirá desde tierra hasta

y es igual a:

PROBLEMAS

Solución

El valor positivo de da por resultado una corriente desde el

nodo hasta tierra igual a:

Dado que es mayor que , la corriente fluirá desde hasta y es

PROBLEMAS

Problema 3

Determine los voltajes nodales para la red de la siguiente figura

PROBLEMAS FIGURA A

Solución

Pasos 1 y 2: Como se indica en la figura a

PROBLEMAS FIGURA A

Solución

Paso 3: Incluido en figura A para el nodo . Al aplicar la ley de corriente de

Kirchhoff

Ampliando y volviendo agrupar

PROBLEMAS FIGURA A

Solución

Para el nodo las corrientes están definidas como en la figura B

PROBLEMAS FIGURA A

Solución

Al aplicar la ley de corriente de Kirchhoff

Ampliando y volviendo a agrupar:

PROBLEMAS FIGURA A

Solución

Lo que da por resultado dos ecuaciones y dos incógnitas (numeradas para

referencia posterior):

Lo cual genera:

PROBLEMAS FIGURA A

Solución

PROBLEMAS FIGURA A

Solución

Dado que es mayor que , la corriente a través de pasa de .

Su valor es:

El que sea positivo ocasiona que la corriente hasta tierra sea

igual a:

PROBLEMAS FIGURA A

Solución

Por ultimo, dado que es negativo, la corriente fluye desde

tierra hasta y es igual a:

SUPERNODO

En ocasiones existirán fuentes independientes de voltaje

dentro de la red a la que se aplique el análisis de nodos. En

tales casos es posible convertir la fuente de voltaje a una

fuente de corriente (si se encuentra presente un resistor en

serie) y continuar como antes, o introducir el concepto de un

supernodo y proceder de la siguiente forma.

SUPERNODO

Se comienza como antes y se asigna un voltaje nodal a cada

nodo independiente de la red, incluyendo a cada fuente de

voltaje independiente como si esta fuera un resistor o una

fuente de corriente. Luego, mentalmente se reemplazan las

fuentes de voltaje independientes con equivalentes de corto

circuito, y se aplica la ley de corriente de Kirchhoff a los nodos

definidos de la red.

SUPERNODO

Cualquier nodo que incluya el efecto de elementos ligados solo

a otros nodos se denomina supernodo (dado que tiene un

numero adicional de términos). Por ultimo, se relacionan los

nodos definidos con las fuentes de voltaje independientes de

la red, y se resuelve para los voltajes nodales.

PROBLEMAS

Problema 4

Determine los voltajes nodales de la figura utilizando el

concepto de supernodo.

PROBLEMAS

PROBLEMAS

Solución

Al reemplazar la fuente de voltaje independiente de 12V con un

equivalente de corto circuito se obtendrá la red de la figura A. Aunque se

analizo antes la aplicación mental del equivalente de corto circuito, podría

ser prudente en esta temprana etapa de desarrollo volver a dibujar la red

como se muestra en la figura B.

PROBLEMAS

Solución

PROBLEMAS

Solución

El resultado será un solo supernodo para el cual deberá aplicarse la ley de

corriente de Kirchhoff. Es importante asegurarse de dejar los otros nodos

definidos en su lugar y utilizarlos para definir las corrientes provenientes

de esa región de la red. En particular, observe que la corriente dejara el

supernodo en y entonces ingresar{a al mismo supernodo en . Po tanto

esta corriente deber{a aparecer dos veces al aplicar la ley de corriente de

Kirchhoff, como se muestra a continuación:

PROBLEMAS

Solución

Entonces

Al relacionar los valores los voltajes nodales definidos con la fuente de

voltaje independiente se tiene:

PROBLEMAS

Solución

La cual da por resultado dos ecuaciones y dos incógnitas

Al sustituir

PROBLEMAS

Solución

Al sustituir da como resultado lo siguiente:

De manera que:

Y

PROBLEMAS

Solución

La corriente de la red puede determinarse entonces en la siguiente forma: