лекция 5.1 эмм в менеджменте

Экономико-математические методы

в планировании и управлении

Уральский федеральный университет

2014

им. первого Президента России Б.Н.Ельцина

Кафедра «Экономика и управление

строительством и рынком недвижимости»

Автор: доцент, к.ф.-м.н. В.А.Ларионова 2

Тема 5. Конверсия валют и наращение процентов

План

Основные понятия и определения;

Конверсия валюты и наращение по простой

процентной ставке;

с предварительной конверсией СКВ в рубли;

с предварительной конверсией суммы в рублях в СКВ;

Конверсия валюты и наращение по сложной

процентной ставке;

с предварительной конверсией СКВ в рубли;

с предварительной конверсией суммы в рублях в СКВ.


Основные понятия и определения

Конверсия − это операция обмена одних денежных единиц на другие.

Курс обмена − это стоимость единицы СКВ в рублях на заданный момент времени.

4 варианта размещения денег на депозит:

без конверсии: СКВ СКВ;

с конверсией: СКВ Руб. Руб. СКВ;

без конверсии: Руб. Руб.;

с конверсией: Руб. СКВ СКВ Руб.

Задача: Сравнить доходы от непосредственного размещения имеющихся денежных средств в депозиты и опосредованно через другую валюту.


Основные понятия и определения

Введем обозначения:

js , j ставка простых и сложных процентов по валютным депозитам;

is , i ставка простых и сложных процентов по рублевым депозитам;

P начальная сумма в СКВ;

Pr начальная сумма в рублях;

S наращенная сумма в СКВ;

Sr наращенная сумма в рублях;

K0 курс обмена в начале операции (курс СКВ в рублях);

K1 курс обмена в конце операции;

n срок депозита.



процентной ставке

При наращении без конверсии (варианты 1, 3) источником дохода является только процентная ставка. Наращенную сумму легко рассчитать по известным формулам:

для простой ставки

для сложной ставки

При наращении с конверсией (варианты 2, 4) существуют два источника дохода:

процентная ставка безусловный фактор,

изменение курса СКВ условный фактор.

(1 ) (1 )v v s r r sS P n j S P n i

(1 ) (1 )n n

v v r rS P j S P i



процентной ставке: СКВ Руб. Руб. СКВ

Рассмотрим первый случай:

1-й шаг обмен СКВ на рубли. Рассчитаем сумму в рублях по формуле:

2-й шаг наращение процентов по ставке is по известной формуле:

3-й шаг конвертирование наращенной в рублях суммы в исходную валюту. Итоговую сумму в СКВ рассчитаем по формуле:

0 1. .sК i КСКВ Руб Руб СКВ

0r vP K P

0(1 ) (1 )r r s v sS P n i K P n i

0

1 1

(1 )v srv

K P n iSS

K K




Обозначим отношение курса СКВ в конце операции

K1 к курсу СКВ в начале операции K0 через k. Тогда

формула примет вид:

, где

Коэффициент при P является множителем

наращения при наличии конверсии:

Ставка, при которой множитель наращения без

конверсии равен множителю наращения с

конверсией, называется эквивалентной.

Для этого приравняем множители наращения для

операций без конверсии и с конверсией:

1

0

Kk

K

1 (1 )v v sS k P n i

1 (1 )sk n i

11 (1 )э sn j k n i




Ставка оценивает

доходность операции в целом, т.е. показывает,

какую ставку необходимо назначить по депозитам в

СКВ, чтобы доход был таким же, как с конверсией.

Зависимость

эквивалентной

ставки от

соотношения

курсов СКВ

jэ= f(k) -

гипербола.

(1 ) 1sэ

n ij

k n n




Приравнивая jэ к нулю, найдем точку пересечения

графика с осью абсцисс:

Получим критическое значение соотношения курсов

k=k*, при котором эквивалентная ставка jэ равна 0 :

Таким образом,

при k=k* доходность операции конверсии равна 0 ;

при k>k* операция конверсии убыточна (доходность

меньше нуля, так как jэ<0 );

при k<k* операция конверсии приносит доход.

1 11 0s

э

n ij

k n

* 1 sk n i


Задача: Определить максимально допустимое

значение kmax , при котором множители наращения с

конверсией и без конверсии по ставкам депозитов is

и js, объявленным банками, равны?

Приравняем множители наращения:

Откуда получаем: .

Выводы:

При заданном K0 и K1*=k*K0 первоначальная

сумма Pv сохраняется, не принося дохода.

При заданном K0 и K1max=kmaxK0 первоначальная

сумма Pv наращивается с одинаковой скоростью в

любой валюте.



max

11 s

s

n in j

k

max

1

1

s

s

n ik

n j



процентной ставке: Руб. СКВ СКВ Руб.

Рассмотрим случай второй случай:

1-й шаг обмен рублей на СКВ:

2-й шаг наращение процентов по ставке js :

3-й шаг конвертирование наращенной в СКВ

суммы в рубли. Итоговую сумму в рублях рассчитаем

по формуле:

0 1. .sК j КРуб СКВ СКВ Руб

0

rv

PP

K

0

(1 ) (1 )rv v s s

PS P n j n j

K

11

0

(1 )r sr v

K P n jS S K

K



процентной ставке : Руб. СКВ СКВ Руб.

Обозначив отношение курса СКВ в конце операции

K1 к курсу СКВ в начале операции K0 через k,

перепишем формулу в виде:

, где

Коэффициент при Pr является множителем

наращения при наличии конверсии:

Найдем эквивалентную ставку для этого случая.

Для этого приравняем множители наращения для

операций без конверсии и с конверсией:

1

0

Kk

K(1 )r r sS P k n j

(1 )sk n j

1 (1 )э sn i k n j




Ставка показывает,

какую ставку необходимо назначить по депозитам в

рублях, чтобы доход был таким же, как с конверсией.

Зависимость

эквивалентной

ставки от

соотношения

курсов СКВ

iэ= f(k) -

линейная.

(1 ) 1sэ

k n ji

n n




Приравнивая iэ к нулю, найдем точку пересечения

графика с осью абсцисс:

Получим критическое значение соотношения курсов

k=k*, при котором эквивалентная ставка iэ равна 0 :

Таким образом,

при k=k* доходность операции конверсии равна 0 ;

при k>k* операция конверсии приносит доход;

при k<k* операция конверсии убыточна.

*(1 ) 10s

э

k n ji

n

* 1

1 s

kn j


Задача: Определить минимально допустимое

значение kmin , при котором множители наращения с

конверсией и без конверсии по ставкам депозитов is

и js , объявленным банками, равны?

Приравняем множители наращения:

Выводы:

При заданном K0 и K1*=k*K0 первоначальная

сумма Pr сохраняется, не принося дохода.

При заданном K0 и K1min=kminK0 первоначальная

сумма Pr наращивается с одинаковой скоростью в

любой валюте.



min min

11 (1 )

1

ss s

s

n in i k n j k

n j


Спасибо за внимание

Education

лекция 5.1 эмм в менеджменте