Wykład 5
Informatyka Stosowana
29 pazdziernika 2018Magdalena Alama-Bucko
Informatyka Stosowana Wykład 5 29.10.2018, M.A-B 1 / 37
Funkcje
Informatyka Stosowana Wykład 5 29.10.2018, M.A-B 2 / 37
Wracamy do omawiania własnosci funkcji
Informatyka Stosowana Wykład 5 29.10.2018, M.A-B 3 / 37
Zadanie Wyznaczyc dziedzine funkcji:
a) f (x) =√−2x3(x − 1)2(x + 2)3 · ln (3− |2x − 1|).
b) f (x) = ln[(2(x + 2)3x2(x − 5)3
]·√|3x + 1| − 2.
Informatyka Stosowana Wykład 5 29.10.2018, M.A-B 4 / 37
Definicja (scisła monotonicznosc funkcji)Funkcja f (x) jest rosnaca na A ⊂ Df , jesli dla x1, x2 ∈ A takich ze x1 < x2zachodzi
f (x1) < f (x2).
A zatem wraz ze wzrostem argumentów, wzrastaja równiez wartosci.
Funkcja f (x) jest malejaca na A ⊂ Df , jesli dla x1, x2 ∈ A takich ze x1 < x2zachodzi
f (x1) > f (x2).
A zatem wraz ze wzrostem argumentów, maleja wartosci funkcji.
Przykład. funkcja rosnaca :
f (x) = x , f (x) = x2 dla x > 0, f (x) = 2x , f (x) = ln x
funkcja malejaca :
f (x) = −x , f (x) = x2 dla x < 0, f (x) = (12)x = 2−x , f (x) = log 1
2x
Informatyka Stosowana Wykład 5 29.10.2018, M.A-B 5 / 37
Definicja (słaba monotonicznosc funkcji)Funkcja f (x) jest niemalejaca na A ⊂ Df , jesli dla x1, x2 ∈ A takich ze x1 < x2zachodzi
f (x1) ≤ f (x2).
A zatem wraz ze wzrostem argumentów, uzyskujemy nie mniejsze wartosci(wieksze albo takie same).
Funkcja f (x) jest nierosnaca na A ⊂ Df , jesli dla x1, x2 ∈ A takich ze x1 < x2zachodzi
f (x1) ≥ f (x2).
A zatem wraz ze wzrostem argumentów, uzyskujemy nie wieksze wartosci(mniejsze albo takie same).
Informatyka Stosowana Wykład 5 29.10.2018, M.A-B 6 / 37
Przykład 1 Okreslic monotonicznosc funkcji f (x) = 3x + 5 dla x ∈ R.
Przykład 2 Okreslic monotonicznosc funkcji f (x) = x2 + 2 dla x < 0.
Informatyka Stosowana Wykład 5 29.10.2018, M.A-B 7 / 37
Własnosca)
Suma funkcji rosnacych jest funkcja rosnaca.Suma funkcji malejacych jest funkcja malejaca.
b)Iloczyn nieujemnych funkcji rosnacych jest funkcja rosnaca.Iloczyn nieujemnych funkcji malejacych jest funkcja malejaca.
Przykład.
funkcja rosnaca:
f (x) = x + x2 + x3, x > 0;
bo y = x , y = x2 dla x > 0, y = x3 sa funkcjami rosnacymi
f (x) = x2 · 2x , x > 0
bo y = x2 dla x > 0 jest rosnaca i nieujemna (zawsze)y = 2x jest rosnaca i nieujemna (zawsze)
Informatyka Stosowana Wykład 5 29.10.2018, M.A-B 8 / 37
Własnosca)
Suma funkcji rosnacych jest funkcja rosnaca.Suma funkcji malejacych jest funkcja malejaca.
b)Iloczyn nieujemnych funkcji rosnacych jest funkcja rosnaca.Iloczyn nieujemnych funkcji malejacych jest funkcja malejaca.
Przykład.
funkcja malejaca:
f (x) = −x + x2, x < 0; ,
bo y = −x , y = x2 dla x < 0 sa malejace
f (x) = x2 · 2−x , x < 0
bo y = x2 dla x < 0 jest malejaca i nieujemna (zawsze)y = 2−x jest malejaca i nieujemna (zawsze)
Informatyka Stosowana Wykład 5 29.10.2018, M.A-B 9 / 37
Dowód.a) Załózmy, ze f (x) i g(x) sa rosnace. Zatem dla x1 < x2 mamy
f (x1) < f (x2), g(x1) < g(x2).
Pokazemy, ze h(x) = f (x) + g(x) jest funkcja rosnaca.
h(x2)− h(x1) = f (x2) + g(x2)− f (x1)− g(x1)
=
(f (x2)− f (x1)
)+
(g(x2)− g(x1)
)> 0.
Zatem h(x) jest funkcja rosnaca.
Informatyka Stosowana Wykład 5 29.10.2018, M.A-B 10 / 37
Dowód.b) Załózmy, ze f (x) i g(x) sa rosnace i nieujemne. Zatem dla x1 < x2 mamy
f (x1) < f (x2), g(x1) < g(x2).
Pokazemy, ze h(x) = f (x) · g(x) jest funkcja rosnaca.
h(x2)− h(x1) = f (x2) · g(x2)− f (x1) · g(x1)
= f (x2) · g(x2)−f (x2) · g(x1) + f (x2) · g(x1)− f (x1) · g(x1)
= f (x2)
(g(x2)− g(x1)
)+ g(x1)
(f (x2)− f (x1)
)g(x2)− g(x1) > 0 bo g(x) rosnacaf (x2)− f (x1) > 0 bo f (x) rosnacaf (x2) > 0,g(x1) > 0 bo obie funkcje nieujemne
Stad dla wszystkich x1 < x2 mamy h(x2)− h(x1) > 0 , zatem funkcja h(x) jestrosnaca.
Informatyka Stosowana Wykład 5 29.10.2018, M.A-B 11 / 37
Przykład Czy ta nieujemnosc funkcji jest wazna?
f (x) = xnieujemna (dla x ≥ 0),wartosci ujemne dla x < 0rosnaca dla x ∈ R
g(x) = 2x
nieujemna dla x ∈ Rrosnaca dla x ∈ R
Funkcja h(x) = f (x) · g(x) = x · 2x jestrosnaca dla x ≥ 0 (bo spełnia wszystkie warunki)jaka jest ta funkcja dla x ≤ 0 ?
Informatyka Stosowana Wykład 5 29.10.2018, M.A-B 12 / 37
Definicja (Róznowartosciowosc funkcji)Funkcja f (x) jest róznowartosciowa, jesli dla x1, x2 ∈ Df zachodzi implikacja:
f (x1) = f (x2) ⇒ x1 = x2.
(albo równowaznie: x1 6= x2 ⇒ f (x1) 6= f (x2). )
Dany wykres funkcji jest wykresem funkcji róznowartosciowej, gdy kazdapozioma prosta przecina wykres co najwyzej w 1 punkcie.
Przykład Przecinajac parabole f (x) = x2 prosta y = 4 otrzymujemy dwapunkty przeciecia, bo f (2) = 22 = 4 i f (−2) = (−2)2 = 4. Zatem f (x) = x2 niejest róznowartosciowa
Uwaga. Jezeli funkcja jest rosnaca lub malejaca na zbiorze A to jest na nimróznowartosciowa.
Informatyka Stosowana Wykład 5 29.10.2018, M.A-B 13 / 37
Przykład 1 Funkcja f (x) = x + 1x nie jest róznowartosciowa, bo równanie
f (x1) = f (x2) implikuje warunki
x1 = x2 albo x1 · x2 = 1.
Drugi warunek jest na przykład spełniony dla x1 = 2, x2 = 12 , dla których
f (x1) = f (2) = 2 +12= 2.5, f (x2) = f (
12) =
12+ 2 = 2.5
(czyli wskazalismy rózne punkty x1 i x2, dla których wartosc funkcji jest takasama ).
Informatyka Stosowana Wykład 5 29.10.2018, M.A-B 14 / 37
Przykład 2 Funkcja f (x) = x2 nie jest róznowartosciowa, bo równanief (x1) = f (x2) implikuje warunki
x1 = x2 albo x1 + x2 = 0.
Drugi warunek jest na przykład spełniony dla x1 = 1, x2 = −1, dla których
f (x1) = f (1) = 1, f (x2) = f (−1) = 1
(czyli wskazalismy rózne punkty x1 i x2, dla których wartosc funkcji jest takasama ).
Informatyka Stosowana Wykład 5 29.10.2018, M.A-B 15 / 37
Definicja (Równosc funkcji)Niech f : Df → R, g : Dg → R.
Funkcje f i g sa równe (f=g), jesli:
a) Df = Dg ,b) dla kazdego x ∈ Df zachodzi f (x) = g(x).
Przykład Funkcje
f (x) = x + 2 i g(x) =x2 − 4x − 2
nie sa równe, bo Df = R oraz Dg = R\{2}.
Informatyka Stosowana Wykład 5 29.10.2018, M.A-B 16 / 37
Definicja (Funkcja okresowa)Funkcja f (x) jest okresowa, jesli istnieje liczba T > 0 taka, ze dla kazdegox ∈ D zachodzi
x + T ∈ D, x − T ∈ D oraz f (x + T ) = f (x).
Przykład. Rozwazmy funkcje h(x) = x dla x ∈ [0,1). Niech f (x) bedziedokładnym przekopiowaniem tej funkcji na odcinku [1,2), [2,3), ... oraz[−1,0), [−2,−1), .... Jest to funkcja okresowa o okresie T = 1. Mamy np.
f (−1.5) = f (0.5) = f (1.5) = f (2.5) = ... = f (10.5) = 0.5.
Przykłady:funkcje o okresie 2π:
f (x) = sin x , f (x) = cos x
funkcje o okresie π :
f (x) = tg x , f (x) = ctg x .
Informatyka Stosowana Wykład 5 29.10.2018, M.A-B 17 / 37
Definicja (Funkcja parzysta)Funkcja f (x) jest parzysta, jesli dla kazdego x ∈ D mamy:
−x ∈ D oraz f (−x) = f (x).
Wykres funkcji parzystej jest symetryczny wzgledem osi OY .
Przykłady: f (x) = x2, f (x) = x4, f (x) = cos x
Definicja (Funkcja nieparzysta)Funkcja f (x) jest nieparzysta, jesli dla kazdego x ∈ D mamy:
−x ∈ D oraz f (−x) = −f (x).
Wykres funkcji nieparzystej jest symetryczny wzgledem poczatku układuwspółrzednych, czyli punktu (0,0).
Przykłady: f (x) = x , f (x) = x3, f (x) = sin x , f (x) = tg xInformatyka Stosowana Wykład 5 29.10.2018, M.A-B 18 / 37
Przykład.
a) f (x) = x4 − 3x2 + 1 jest funkcja parzysta, bo
Df = R oraz f (−x) = f (x).
b) f (x) =2 + x2
x5 jest funkcja nieparzysta, bo
Df = R\{0} oraz f (−x) = −f (x).
c) f (x) =x + 1
x2 − 2xnie moze byc ani parzysta, ani nieparzysta, bo
Df = R\{0,2}
nie jest zbiorem symetrycznym wzgledem zera.
Informatyka Stosowana Wykład 5 29.10.2018, M.A-B 19 / 37
Inne własnosci funkcji
Informatyka Stosowana Wykład 5 29.10.2018, M.A-B 20 / 37
Definicja (Złozenie funkcji)Niech X ,Y ,Z ,W ⊂ R oraz funkcje
f : X → Y , g : Z →W , takie, ze Y ⊂ Z .
Złozeniem funkcji g i f nazywamy funkcje
g ◦ f : X →W
dla x ∈ X okreslona wzorem:
(g ◦ f )(x) = g(f (x)), dla x ∈ X .
funkcje g w powyzszej definicji nazywamy funkcja zewnetrzna, a f -wewnetrzna.
Złozenie g ◦ f istnieje , o ile Y ⊂ Z , zatem zbiór wartosci funkcji f jestpodzbiorem dziedziny funkcji g.
Jezeli f i g maja dziedziny rzeczywiste R, to istnieja f ◦ g i g ◦ f .
"W praktyce" nie bedziemy sprawdzac tych warunków, a jedyniewyznaczac wzór złozenia z dziedzina.
Informatyka Stosowana Wykład 5 29.10.2018, M.A-B 21 / 37
Przykład 1
f (x) = sin x , g(x) = x2 + 4
f : R→< −1,1 >g : R→< 4,∞)
istnieje f ◦ g, bo Wg =< 4,∞) ⊂ R = Df .
Wówczasf ◦ g : R→< −1,1 >
oraz(f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f (x2 + 4) = sin(x2 + 4).
istnieje g ◦ f , bo Wf =< −1,1 >⊂ R = Dg .
Wówczasg ◦ f : R→< 4,∞)
oraz(g ◦ f )(x) = g(f (x)) = g(sin x) = (sin x)2 + 4.
Informatyka Stosowana Wykład 5 29.10.2018, M.A-B 22 / 37
Przykład 2
f (x) = x2 − 1, g(x) = ex
f : R→< −1,∞)
g : R→ (0,∞).
poniewaz obie dziedziny sa R, wiec oba złozenia istnieja
istnieje f ◦ g, bo Wg = (0,∞) ⊂ R = Df .
Wówczasf ◦ g : R→< −1,∞)
oraz(f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f (ex) = (ex)2 − 1 = e2x − 1.
istnieje g ◦ f bo Wf =< −1,∞) ⊂ R = Dg .
Wówczasg ◦ f : R→ (0,∞)
oraz(g ◦ f )(x) = g(f (x)) = g(x2 − 1) = ex2−1.
Informatyka Stosowana Wykład 5 29.10.2018, M.A-B 23 / 37
Przykład 3
f (x) = x2 + 1, g(x) = x − 1
f : R→< 1,∞),
g : R→ R.
poniewaz obie dziedziny sa R, wiec oba złozenia istnieja
istnieje f ◦ g, bo Wg = R = Df .
Wówczasf ◦ g : R→< 1,∞)
oraz
(f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f (x − 1) = (x − 1)2 + 1 = x2 − 2x + 2.
istnieje g ◦ f bo Wf =< 1,∞) ⊂ R = Dg .
Wówczasg ◦ f : R→ R
oraz(g ◦ f )(x) = g(f (x)) = g(x2 + 1) = x2 + 1− 1 = x2.
Informatyka Stosowana Wykład 5 29.10.2018, M.A-B 24 / 37
Przykład 4
f (x) =2x + 1x − 1
, g(x) = x − 1.
f : R\{1} → R\{2} (funkcja homograficzna)g : R→ R.
istnieje g ◦ f bo Wf = R\{2} ⊂ R = Dg .
Wówczasg ◦ f : R\{1} → R
oraz(g ◦ f )(x) = g(f (x)) = g(
2x + 1x − 1
) =2x + 1x − 1
− 1 = ....
Informatyka Stosowana Wykład 5 29.10.2018, M.A-B 25 / 37
Przykład 4 - ciag dalszy
f (x) =2x + 1x − 1
, g(x) = x − 1.
f : R\{1} → R\{2},g : R→ R.
Nie istnieje złozenie f ◦ g, bo Wg = R nie jest podzbiorem Df = R\{1}.
(problem bo funkcja f nie potrafi obliczyc wartosci dla 1, która znajdujesie w zbiorze Wg)
Jednak potrafimy wyznaczyc postac ewentualnej funkcji f ◦ g :
(f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f (x − 1) =2(x − 1) + 1
x − 1− 1=
2x − 1x − 2
i jest to funkcja działajaca
f ◦ g : R\{2} → R\{2},
(gdyby (!!!)złozenie istniało, to otrzymalibysmy funkcjef ◦ g : R→ R\{2}).
Informatyka Stosowana Wykład 5 29.10.2018, M.A-B 26 / 37
Własnosc
a) Złozenie 2 funkcji rosnacych jest funkcja rosnaca.
b) Złozenie 2 funkcji malejacych jest funkcja rosnaca.
c) Złozenie funkcji rosnacej i malejacej jest funkcja malejaca.
Przykłady Poniewaz funkcje ln x jest rosnaca, a −3x + 2 - malejaca, tofunkcje
−3 ln x + 2, ln(−3x + 2) sa malejace
a funkcje:
ln ln x = ln(ln x), −3(−3x + 2) + 2 = 9x − 4 sa rosnace
Poniewaz kazda funkcja scisle monotoniczna jest funkcja róznowartosciowa,z powyzszych własnosci wynika nastepujaca:
WłasnoscZłozenie funkcji róznowartosciowych jest funkcja róznowartosciowa.
Informatyka Stosowana Wykład 5 29.10.2018, M.A-B 27 / 37
Definicja (Funkcja odwrotna)Niech f : X → Y bedzie róznowartosciowa na swojej dziedzinie.
Funkcja odwrotna do f nazywamy funkcje
f−1 : Y → X
taka, ze:
f−1(y) = x ⇔ y = f (x), dla x ∈ X , y ∈ Y .
Równowaznie dla dowolnych x ∈ X , y ∈ Y zachodza
(f ◦ f−1)(y) = y oraz (f−1 ◦ f )(x) = x .
Powyzsze zapisy mówia, ze złozenie funkcji odwrotnych jest odwzorowaniemidentycznosciowym, czyli takim ze Id(x) = x .
Informatyka Stosowana Wykład 5 29.10.2018, M.A-B 28 / 37
Przykład Funkcjami odwrotnymi sa funkcje f (x) = 2x oraz f−1(x) = 12 x dla
x ∈ R.
Oczywiscie obie funkcje f i f−1 sa okreslone nastepujaco:
R→ R
oraz
(f ◦ f−1)(x) = f (f−1(x)) = f (12
x) = 2 · 12
x = x
(f−1 ◦ f )(x) = f−1(f (x)) = f−1(2x) =12· 2x = x
Informatyka Stosowana Wykład 5 29.10.2018, M.A-B 29 / 37
WłasnoscWykresy funkcji odwrotnych sa symetryczne wzgledem prostej y = x .
Przykład 1 Funkcje y = 2x i y = 0.5x sa do siebie odwrotne
WłasnoscJezeli funkcja f jest rosnaca, to f−1 tez jest rosnaca.Jezeli funkcja f jest malejaca, to f−1 tez jest malejaca.
Informatyka Stosowana Wykład 5 29.10.2018, M.A-B 30 / 37
Przykład 2 Funkcje y = loga x i y = ax (dla ustalonego a > 0) sa do siebieodwrotne
Przykłady par funkcji odwrotnychxk ↔ k
√x (k -nieparzyste)
loga x ↔ ax
sin x ↔ arc sin xcos x ↔ arc cos xtg x ↔ arc tg xctg x ↔ arc ctg xax+bcx+d ↔
ex+fgx+h
Informatyka Stosowana Wykład 5 29.10.2018, M.A-B 31 / 37
Funkcje cyklometryczne
Funkcje cyklometryczne to funkcje odwrotne do funkcjitrygonometrycznych.
poniewaz funkcje trygonometryczne nie sa róznowartosciowe, dokonstrukcji funkcji arcus nalezy wybrac taki wycinek wykresu, na którymdana funkcja jest róznowartosciowa i przyjmuje wszystkie mozliwewartosci danej funkcji
arcus sinus x (arc sin x) jest funkcja odwrotna do funkcji sin x ,ograniczonej do przedziału [−π
2 ,π2 ].
arcus cosinus x (arc cos x) ..... cos x ograniczonej do przedziału [0, π].
arcus tangens x (arc tg x) ..... tg x ograniczonej do przedziału (−π2 ,
π2 ).
arcus cotangens x (arc ctg x) ..... ctg x ograniczonej do przedziału (0, π).
Informatyka Stosowana Wykład 5 29.10.2018, M.A-B 32 / 37
arc sin x
Dla x ∈ [−1,1] oraz y ∈ [−π2 ,
π2 ]
y = arc sin x ⇔ x = sin y
Przykłady: arc sin 12 = π
6 , arc sin(−√
32 ) = −π
3 , arc sin 1 = π2
Informatyka Stosowana Wykład 5 29.10.2018, M.A-B 33 / 37
arc cos x
Dla x ∈ [−1,1] oraz y ∈ [0, π]
y = arc cos x ⇔ x = cos y
Przykłady: arc cos 12 = π
3 , arc cos(−√
32 ) = π − π
6 = 5π6 , arc cos 1 = 0
Informatyka Stosowana Wykład 5 29.10.2018, M.A-B 34 / 37
arc tg x
Dla x ∈ R oraz y ∈ (−π2 ,
π2 )
y = arc tg x ⇔ x = tg y
Przykłady: arc tg√
33 = π
6 , arc tg(−√
3) = −π3 , arc tg 1 = π
4
Informatyka Stosowana Wykład 5 29.10.2018, M.A-B 35 / 37
arc ctg x
Dla x ∈ R oraz y ∈ (0, π)
y = arc ctg x ⇔ x = ctg y
Przykłady: arc ctg√
33 = π
3 , arc ctg(−1) = π − π4 = 3π
4 , arc ctg 1 = π4
Informatyka Stosowana Wykład 5 29.10.2018, M.A-B 36 / 37
Dziekuje za uwage !
Informatyka Stosowana Wykład 5 29.10.2018, M.A-B 37 / 37