CAŁKA POTRÓJNA - UTPimif.utp.edu.pl/jjanusz/20MIcalkipotrojne+.pdfgdzie D ⊂R2 to obszar regularny, funkcje p(x,y) i q(x,y) sa¸ cia¸głe w D i spełniaja¸ w nim warunek p(x ,

CAŁKA POTRÓJNA

JJ, IMiF UTP

20

(IMiF UTP) CAŁKA POTRÓJNA 20 1 / 32

Obszary normalne

DEFINICJA. Obszar normalny wzgledem płaszczyzny 0xy , to zbiór

Bxy = {(x , y , z) : (x , y) ∈ D, p(x , y) ¬ z ¬ q(x , y)},

gdzie D ⊂ R2 to obszar regularny, funkcje p(x , y) i q(x , y) sa ciagłe w Di spełniaja w nim warunek p(x , y) ¬ q(x , y).

Podobnie definiuje sie obszar normalny wzgledem płaszczyzny 0xz orazobszar normalny wzgledem płaszczyzny 0yz .

UWAGA. Zazwyczaj idziemy dalej w opisie i zbiór D zapisujemy jako obszar normalny względem

osi 0x (albo Oy).

DEFINICJA. Obszarem regularnym nazywamy sume skończonej liczbyobszarów normalnych.


Obszar normalny, przykład

−2 −1 0 1 2−2

0

2

0

1

2

B = {(x , y , z) : (x , y) ∈ D, 0.5 + x2 + y2 ¬ z ¬ 2.5− x2 − y2},


Obszar normalny, inny przykład

Sześciościan B o wierzchołkach (0, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 1, 3), (0, 0, 3),(1, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 1, 2), (1, 0, 2) możemy opisać następująco:

3

2

1

1 x

y

z

0

z = 3− x

B : 0 ¬ x ¬ 1, 0 ¬ y ¬ 1, 0 ¬ z ¬ 3− x


Kolejny przykład, spojrzenie z różnych stron

Czworościan o wierzchołkach (1, 0, 0), (1, 1, 0), (2, 1, 0), (1, 1, 2) jestobszarem normalnym względem wszystkich trzech płaszczyzn układu.

1

1 x

yz

20




1

1 x

yz

20




1

1 x

yz

20




1

1 x

yz

20




1

1 x

yz

20




1

1 x

yz

20


WERSJA 1. Opis czworościanu C o wierzchołkach(1, 0, 0), (1, 1, 0), (2, 1, 0), (1, 1, 2).

C = {(x , y , z) : (x , y) ∈ D, 0 ¬ z ¬ 2− 2x + 2y}.Dokładniej:

C = {(x , y , z) : 1 ¬ x ¬ 2, x − 1 ¬ y ¬ 1, 0 ¬ z ¬ 2− 2x + 2y}.

1

1 x

yz

20

1

1 x

y

20

D




C = {(x , y , z) : 1 ¬ x ¬ 2, x − 1 ¬ y ¬ 1, 0 ¬ z ¬ 2− 2x + 2y}.

1

1 x

yz

20

1

1 x

y

20

D




C = {(x , y , z) : 1 ¬ x ¬ 2, x − 1 ¬ y ¬ 1, 0 ¬ z ¬ 2− 2x + 2y}.

1

1 x

yz

20

1

1 x

y

20

y = x − 1

y = 1




C = {(x , y , z) : 1 ¬ x ¬ 2, x − 1 ¬ y ¬ 1, 0 ¬ z ¬ 2− 2x + 2y}.

1

1 x

yz

20

1

1 x

y

20

z = 0



C = {(x , y , z) : 1 ¬ x ¬ 2, x − 1 ¬ y ¬ 1, 0 ¬ z ¬ 2− 2x + 2y}.

lub

C = {(x , y , z) : 0 ¬ y ¬ 1, 1 ¬ x ¬ y + 1, 0 ¬ z ¬ 2− 2x + 2y}.

1

1 x

yz

20

1

1 x

y

20

z = 2− 2x + 2y



C = {(x , y , z) : 1 ¬ x ¬ 2, x − 1 ¬ y ¬ 1, 0 ¬ z ¬ 2− 2x + 2y}.

lub

C = {(x , y , z) : 0 ¬ y ¬ 1, 1 ¬ x ¬ y + 1, 0 ¬ z ¬ 2− 2x + 2y}.

1

1 x

yz

20

1

1 x

y

20



C = {(x , y , z) : 0 ¬ y ¬ 1, 0 ¬ z ¬ 2y , 1 ¬ x ¬ 1 + y − 12z}.

lub

C = {(x , y , z) : 0 ¬ z ¬ 2,12z ¬ y ¬ 1, 1 ¬ x ¬ 1 + y − 1

2z}.

1

1 x

yz

20

2

1

1 y

z

20



C = {(x , y , z) : 0 ¬ y ¬ 1, 0 ¬ z ¬ 2y , 1 ¬ x ¬ 1 + y − 12z}.

lub

C = {(x , y , z) : 0 ¬ z ¬ 2,12z ¬ y ¬ 1, 1 ¬ x ¬ 1 + y − 1

2z}.

1

1 x

yz

20

2

1

1 y

z

20



C = {(x , y , z) : 0 ¬ y ¬ 1, 0 ¬ z ¬ 2y , 1 ¬ x ¬ 1 + y − 12z}.

lub

C = {(x , y , z) : 0 ¬ z ¬ 2,12z ¬ y ¬ 1, 1 ¬ x ¬ 1 + y − 1

2z}.

1

1 x

yz

20

2

1

1 y

z

20

z = 0

z = 2y



C = {(x , y , z) : 0 ¬ y ¬ 1, 0 ¬ z ¬ 2y , 1 ¬ x ¬ 1 + y − 12z}.

lub

C = {(x , y , z) : 0 ¬ z ¬ 2,12z ¬ y ¬ 1, 1 ¬ x ¬ 1 + y − 1

2z}.

1

1 x

yz

20

2

1

1 y

z

20

x = 1



C = {(x , y , z) : 0 ¬ y ¬ 1, 0 ¬ z ¬ 2y , 1 ¬ x ¬ 1 + y − 12z}.

lub

C = {(x , y , z) : 0 ¬ z ¬ 2,12z ¬ y ¬ 1, 1 ¬ x ¬ 1 + y − 1

2z}.

1

1 x

yz

20

2

1

1 y

z

20

x = 1 + y − 12z



C = {(x , y , z) : 0 ¬ y ¬ 1, 0 ¬ z ¬ 2y , 1 ¬ x ¬ 1 + y − 12z}.

lub

C = {(x , y , z) : 0 ¬ z ¬ 2,12z ¬ y ¬ 1, 1 ¬ x ¬ 1 + y − 1

2z}.

1

1 x

yz

20

2

1

1 y

z

20



C = {(x , y , z) : 1 ¬ x ¬ 2, 0 ¬ z ¬ 4− 2x , x +12z − 1 ¬ y ¬ 1}.

lub

C = {(x , y , z) : 0 ¬ z ¬ 2, 1 ¬ x ¬ 2− 12z , x +

12z − 1 ¬ y ¬ 1}.

1

1 x

yz

20

2

1

1 x

z

20



C = {(x , y , z) : 1 ¬ x ¬ 2, 0 ¬ z ¬ 4− 2x , x +12z − 1 ¬ y ¬ 1}.

lub

C = {(x , y , z) : 0 ¬ z ¬ 2, 1 ¬ x ¬ 2− 12z , x +

12z − 1 ¬ y ¬ 1}.

1

1 x

yz

20

2

1

1 x

z

20



C = {(x , y , z) : 1 ¬ x ¬ 2, 0 ¬ z ¬ 4− 2x , x +12z − 1 ¬ y ¬ 1}.

lub

C = {(x , y , z) : 0 ¬ z ¬ 2, 1 ¬ x ¬ 2− 12z , x +

12z − 1 ¬ y ¬ 1}.

1

1 x

yz

20

2

1

1 x

z

20

z = 0

z = 4− 2x



C = {(x , y , z) : 1 ¬ x ¬ 2, 0 ¬ z ¬ 4− 2x , x +12z − 1 ¬ y ¬ 1}.

lub

C = {(x , y , z) : 0 ¬ z ¬ 2, 1 ¬ x ¬ 2− 12z , x +

12z − 1 ¬ y ¬ 1}.

1

1 x

yz

20

2

1

1 x

z

20

y = x + 12z − 1



C = {(x , y , z) : 1 ¬ x ¬ 2, 0 ¬ z ¬ 4− 2x , x +12z − 1 ¬ y ¬ 1}.

lub

C = {(x , y , z) : 0 ¬ z ¬ 2, 1 ¬ x ¬ 2− 12z , x +

12z − 1 ¬ y ¬ 1}.

1

1 x

yz

20

2

1

1 x

z

20

y = 1



C = {(x , y , z) : 1 ¬ x ¬ 2, 0 ¬ z ¬ 4− 2x , x +12z − 1 ¬ y ¬ 1}.

lub

C = {(x , y , z) : 0 ¬ z ¬ 2, 1 ¬ x ¬ 2− 12z , x +

12z − 1 ¬ y ¬ 1}.

1

1 x

yz

20

2

1

1 x

z

20


PRZYKŁAD. Opisz obszar B

ograniczony powierzchniami:

x = −1, x = 1, y = −1, y = 1 , z = 4− 2x4 − 2y4, z = x2 − y2 + 2.

−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

−1

−0.5

0

0.5

1−2

−1

0

1

2

3

4

x

y

z


Opis:

B : −1 ¬ x ¬ 1, −1 ¬ y ¬ 1, x2 + y2 − 2 ¬ z ¬ 4− 2x4 − 2y4

−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

−1

−0.5

0

0.5

1−2

−1

0

1

2

3

4

x

y

z


DEFINICJA

Załóżmy, że funkcja f (x , y , z) jest ograniczona w obszarze regularnym B.Dzielimy zbiór B na n dowolnych obszarów regularnych B1, . . . ,Bn o paramirozłącznych wnętrzach. Niech ∆i , dla i = 1, 2, . . . n, oznacza objętość obszaruBi . Największą ze średnic zbiorów B1, . . . ,Bn oznaczamy przez δn i nazywamynormą podziału. W każdym zbiorze Bi wybieramy dowolnie punkt (xi , yi , zi ).Tworzymy sumę całkową

σn = f (x1, y1, z1)∆1 + f (x2, y2, z2)∆2 + · · ·+ f (xn, yn, zn)∆n.

Tak postępujemy dla n = 2, 3, . . . otrzymując pewien ciąg podziałów zbioru B.Ciąg ten nazywamy ciągiem normalnym podziałów, jeżeli limn→∞ δn = 0.

Jeżeli dla każdego ciągu normalnego podziałów zbioru B istnieje skończonagranica limn→∞ σn (taka sama bez względu na wybór zbiorów Bi oraz punktów(xi , yi , zi )), to granicę tę nazywamy całką potrójną funkcji f (x , y , z) w zbiorze Bi oznaczamy

∫∫∫Bf (x , y , z)dxdydz , a funkcję f nazywamy całkowalną w zbiorze

B.


INTERPRETACJA

Jeżeli γ(x , y , z) oznacza gęstość objętościową w punkcie (x , y , z), to masaobszaru B jest równa ∫ ∫ ∫

Bγ(x , y , z)dxdydz .

TWIERDZENIE.Funkcja ciągła w obszarze regularnym jest w nim całkowalna.


WŁASNOŚCI. Zakładamy, że funkcje f (x , y , z) orazg(x , y , z) są całkowalne w obszarze regularnym B .

∫∫∫B

[f (x , y , z)± g(x , y , z)

]dxdydz

=∫∫∫

B f (x , y , z)dxdydz ±∫∫∫

B g(x , y , z)dxdydz ;∫∫∫B λf (x , y , z)dxdydz = λ

∫∫∫B f (x , y , z)dxdydz ;

jeśli B jest sumą obszarów regularnych B1 i B2 o rozłącznychwnętrzach, to∫∫∫

B f (x , y , z)dxdydz

=∫∫∫

B1f (x , y , z)dxdydz +

∫∫∫B2

f (x , y , z)dxdydz ;

objętość bryły B = {(x , y , z) : 0 ¬ z ¬ f (x , y), (x , y) ∈ D} jestrówna

∫∫∫B 1dxdydz .


Jak obliczamy całki potrójne?

TWIERDZENIE.Gdy f jest ciągła w obszarze normalnym

Bxy = {(x , y , z) : (x , y) ∈ D, p(x , y) ¬ z ¬ q(x , y)},

to ∫∫∫Bxy

f (x , y , z) dxdydz

=

∫∫D

[∫ q(x ,y)

p(x ,y)f (x , y , z)dz

]dxdy .


PRZYKŁAD

Stosując całki potrójne znaleźć współrzędne środka masy (xs , ys , zs)pięciościanu B o wierzchołkach(0, 0, 0), (1, 0, 0), (1, 1, 0), (0, 0, 1), (1, 0, 1), (1, 1, 1), jeżeli gęstośćobjętościowa γ(x , y , z) = 2.

1

1 x

y

z

0

Bryła B da się opisać następująco:{(x , y , z) : 0 ¬ x ¬ 1, 0 ¬ y ¬ x , 0 ¬ z ¬ 1}.


PRZYKŁAD


1

1 x

y

z

0



PRZYKŁAD „Widać”, że S(

23 ,

13 ,

12

).


1

1 x

y

z

0



B : {(x , y , z) : 0 ¬ x ¬ 1, 0 ¬ y ¬ x , 0 ¬ z ¬ 1}

Podstawiamy do wzoru na współrzędne środka masy

xs =1m

∫∫∫Bxγ(x , y , z) dxdydz , ys =

1m

∫∫∫Byγ(x , y , z) dxdydz ,

zs =1m

∫∫∫Bzγ(x , y , z) dxdydz , m =

∫∫∫Bγ(x , y , z) dxdydz .


B = {(x , y , z) : 0 ¬ x ¬ 1, 0 ¬ y ¬ x , 0 ¬ z ¬ 1}Zatem

m =

∫∫∫Bγ(x , y , z) dxdydz

=

∫ 10

[∫ x

0

(∫ 10

2dz)dy]dx

=

∫ 10

[∫ x

0

[2z]z=1z=0dy

]dx

=

∫ 10

(∫ x

02dy

)dx

=

∫ 10

[2y]y=x

y=0dx

=

∫ x

02xdx

=[x2]10 = 1;


B = {(x , y , z) : 0 ¬ x ¬ 1, 0 ¬ y ¬ x , 0 ¬ z ¬ 1}

xs =1m

∫∫∫Bxγ(x , y , z) dxdydz

=11

∫ 10

[∫ x

0

(∫ 10

2xdz)dy]dx

=

∫ 10

(∫ x

0

[2xz

]z=1z=0xdy

)dx

=

∫ 10

(∫ x

02xdy

)dx

=

∫ 10

[2xy

]y=x

y=0dx

=

∫ 10

2x2dx =23

;


B = {(x , y , z) : 0 ¬ x ¬ 1, 0 ¬ y ¬ x , 0 ¬ z ¬ 1}

ys =1m

∫∫∫Byγ(x , y , z) dxdydz

=

∫ 10

[∫ x

0

(∫ 10

2ydz)dy]dx

=

∫ 10

(∫ x

02ydy

)dx

=

∫ 10

[y2]y=x

y=0dx

=

∫ 10

x2dx

=13

;


B = {(x , y , z) : 0 ¬ x ¬ 1, 0 ¬ y ¬ x , 0 ¬ z ¬ 1}

zs =1m

∫∫∫Bzγ(x , y , z) dxdydz

=

∫ 10

[∫ x

0

(∫ 10

2zdz)dy]dx

=

∫ 10

[∫ x

0

[z2]z=1z=0dy

]dx

=

∫ 10

(∫ x

01dy

)dx

=

∫ 10

xdx =12.


Współrzędne sferyczne

DEFINICJA.Współrzędne sferyczne punktu P , to liczby% ∈ [0,∞), ϕ ∈ [0, 2π), Θ ∈ [0, π] takie, że % jest odległością punktu Pod początku układu O (długością promienia wodzącego), ϕ jest miarąkąta między rzutem prostokątnym wektora

−→OP na płaszczyznę Oxy a

dodatnią półosią Ox , a Θ jest miarą kąta między∗ wektorem−→OP a

dodatnią półosią Oz .

∗ Niektórzy przyjmują za współrzędne sferyczne punktu P liczby %, ϕ, Θ, gdzieΘ = 1

2π −Θ jest (dla z > 0) miarą kąta między wektorem−→OP a płaszczyzną

0xy . Zamiast % możemy pisać r .

Uwaga. Oczywiście zamiast ϕ ∈ [0, 2π) możemy przyjmować ϕ ∈ (−π, π].Jak dla nas, to oba przedziały mogą być domknięte:warunki ϕ ∈ [0, 2π] czy też ϕ ∈ [−π, π] nie sprawią kłopotu.


Przykład

A : % = 2, ϕ = 0, Θ = 0B : % = 2, ϕ = 0, Θ = π/2C : % = 1, ϕ = π/2, Θ = π/2D : % = 1, ϕ = π, Θ = π/2E : % = 2, ϕ = 3π/2, Θ = π/2F : % = 1, ϕ = 0, Θ = π

A

BCD

E F

2

2

1

1 x

y

1

z

0


Wzory „przejścia” (“konwersji”) ze współrzędnych kartezjańskich do sferycznych:

y

z

x

%

v

0

P(x , y , z)

Θ

ϕ

cosΘ =z

%,

z = % cosΘ.



y

z

x

%

v

0

P(x , y , z)

Θ

ϕ

cosΘ =z

%,

z = % cosΘ.



y

z

x

%

v

0

P(x , y , z)

Θ

ϕ

sinΘ =v

%,

v = % sinΘ,



y

z

x

%

v

0

P(x , y , z)

Θ

ϕ

v = % sinΘ,

cosϕ =x

v,

x = v cosϕ = % sinΘ cosϕ



y

z

x

%

v

0

P(x , y , z)

Θ

ϕ

v = % sinΘ,

sinϕ =y

v,

y = v sinϕ = % sinΘ sinϕ



y

z

x

%

v

0

P(x , y , z)

Θ

ϕ

x = % sinΘ cosϕ, y = % sinΘ sinϕ, z = % cosΘ.



y

z

x

%

v

0

P(x , y , z)

Θ

ϕ

Oczywiściex2 + y2 + z2 = v2 + z2 = %2


Jakobian; Zależności: x = % sinΘ cosϕ, y = % sinΘ sinϕ, z = % cosΘ.

Jakobian „przejścia” ze współrzędnych kartezjańskich do sterycznych:∣∣∣∣∣∣∣x ′% x ′Θ x ′ϕy ′% y ′Θ y ′ϕz ′% z ′Θ z ′ϕ

∣∣∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣∣∣sinΘ cosϕ % cosΘ cosϕ −% sinΘ sinϕsinΘ sinϕ % cosΘ sinϕ % sinΘ cosϕ

cosΘ −% sinΘ 0

∣∣∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣∣∣sinΘ cosϕ % cosΘ cosϕ −% sinΘ sinϕsinΘ sinϕ % cosΘ sinϕ % sinΘ cosϕ

cosΘ −% sinΘ 0

∣∣∣∣∣∣∣sinΘ cosϕ % cosΘ cosϕsinΘ sinϕ % cosΘ sinϕ

cosΘ −% sinΘ= 0+ % cosΘ cosϕ · % sinΘ cosϕ · cosΘ + (−% sinΘ sinϕ) · sinΘ sinϕ · (−% sinΘ)

−(−% sinΘ sinϕ) · % cosΘ sinϕ · cosΘ − sinΘ cosϕ · % sinΘ cosϕ · (−% sinΘ)− 0

= %2 cos2Θ sinΘ cos2 ϕ+ %2 sin3Θ sin2 ϕ+ %2 sinΘ cos2Θ sin2 ϕ+%2 sin3Θ cos2 ϕ = %2 cos2Θ sinΘ(cos2 ϕ+ sin2 ϕ)

+%2 sin3Θ(sin2 ϕ+ cos2 ϕ) = %2 cos2ΘsinΘ + %2 sin2Θ · sinΘ

= %2 sinΘ(cos2Θ + sin2Θ) = %2 sinΘ


Całkowanie przez podstawienie

TWIERDZENIE. Gdy S jest zbiorem B „opisanym” we współrzędnychsferycznych, tzn.S = {(%, ϕ,Θ) : (% sinΘ cosϕ, % sinΘ sinϕ, % cosΘ) ∈ B} i gdy funkcja fjest ciągła w obszarze regularnym B, to∫∫∫

Bf (x , y , z) dxdydz

=

∫∫∫Sf (% sinΘ cosϕ, % sinΘ sinϕ, % cosΘ) · %2 sinΘ d%dϕdΘ.

Czynnik %2 sinΘ to odpowiedni jakobian.


PRZYKŁAD. Obliczyć masę kuli o promieniu 1 wykonanejz materiału, którego gęstość w każdym punkcie jest równaodległości tego punktu od środka tej kuli.

Jeśli układ współrzędnych wybierzemy tak, by jego środek był środkiemkuli K , to gęstość γ(x , y , z) =

√x2 + y2 + z2, a więc

m =

∫∫∫K

√x2 + y2 + z2 dxdydz .


PRZYKŁAD. Obliczyć masę kuli o promieniu 1 wykonanejz materiału, którego gęstość w każdym punkcie jest równaodległości tego punktu od środka tej kuli.

Kula K to obszar opisany we współrzędnych sferycznych jako

S = {(%, ϕ,Θ) : 0 ¬ % ¬ 1, 0 ¬ ϕ ¬ 2π, 0 ¬ Θ ¬ π}.

Oczywiście√x2 + y2 + z2 = %.

Przypominam, że jakobian to %2 sinΘ .


S = {(%, ϕ,Θ) : 0 ¬ % ¬ 1, 0 ¬ ϕ ¬ 2π, 0 ¬ Θ ¬ π}.

Zatem

m =

∫∫∫K

√x2 + y2 + z2 dxdydz =

∫∫∫S% · %2 sinΘ d%dϕdΘ

=

∫ 10

[∫ 2π0

(∫ π

0%3 sinΘ dΘ

)dϕ]d%

=

∫ 10

[∫ 2π0

[−%3 cosΘ

]Θ=π

Θ=0 dϕ]d%

=

∫ 10

[∫ 2π0

2%3 dϕ]d%

=

∫ 10

4π%3d%

= 4π[1

4%4]10 = π.


Własność:∫ ba

{∫ dc

[∫ qp g(x) · h(y) · j(z)dz

]dy

}dx =∫ b

a g(x)dx · ∫ dc h(y)dy · ∫ qp j(z)dz

Całkę z poprzedniego slajdu mogliśmy więc wyliczyć tak (wszystkie całkimają stałe granice i całkujemy odpowiedni iloczyn):

m =

∫ 10

[∫ 2π0

(∫ π

0%3 sinΘ dΘ

)dϕ]d%

=

∫ 10%3d% ·

∫ 2π0

1dϕ ·∫ π

0sinΘ dΘ

=[1

4%4]10 ·[ϕ]2π0 ·

[− cosΘ

]π0 =

14· 2π ·

[[−(−1)]− [−1]

]= π.


Kilka innych zastosowań, γ(x , y , z) to gęstość obszaru regularego B

moment statyczny bryły B względem płaszczyzny 0xy jest równy

Mxy =

∫∫∫B

z · γ(x , y , z) dxdydz

moment statyczny bryły B względem płaszczyzny 0xz jest równy

Mxz =

∫∫∫B

y · γ(x , y , z) dxdydz

moment statyczny bryły B względem płaszczyzny 0yz jest równy

Myz =

∫∫∫B

x · γ(x , y , z) dxdydz



moment bezwładności bryły B względem osi 0x jest równy

Ix =

∫∫∫B

(y2 + z2) · γ(x , y , z) dxdydz

moment bezwładności bryły B względem osi 0y jest równy

Iy =

∫∫∫B

(x2 + z2) · γ(x , y , z) dxdydz

moment bezwładności bryły B względem osi 0z jest równy

Iz =

∫∫∫B

(x2 + y2) · γ(x , y , z) dxdydz



moment bezwładności bryły B względem początku układu jest równy

I0 =∫∫∫

B

(x2 + y2 + z2) · γ(x , y , z) dxdydz

moment bezwładności bryły B względem płaszczyzny 0xy jest równy

Ixy =

∫∫∫B

z2 · γ(x , y , z) dxdydz

moment bezwładności bryły B względem płaszczyzny 0xz jest równy

Ixz =

∫∫∫B

y2 · γ(x , y , z) dxdydz

moment bezwładności bryły B względem płaszczyzny 0yz jest równy

Iyz =

∫∫∫B

x2 · γ(x , y , z) dxdydz


Documents

CAŁKA POTRÓJNA - UTPimif.utp.edu.pl/jjanusz/20MIcalkipotrojne+.pdfgdzie D ⊂R2 to obszar regularny, funkcje p(x,y) i q(x,y) sa¸ cia¸głe w D i spełniaja¸ w nim warunek p(x ,