Wykład 5 - UTPimif.utp.edu.pl/wp-content/uploads/2018/10/wyklad_5_2018...Deﬁnicja (scisła monotoniczno´ s´c funkcji)´ Funkcja f(x) jest rosnaca˛ na A ˆD f;jesli dla´ x 1;x

Wykład 5

Informatyka Stosowana

29 pazdziernika 2018Magdalena Alama-Bucko

Informatyka Stosowana Wykład 5 29.10.2018, M.A-B 1 / 37

Funkcje


Wracamy do omawiania własnosci funkcji


Zadanie Wyznaczyc dziedzine funkcji:

a) f (x) =√−2x3(x − 1)2(x + 2)3 · ln (3− |2x − 1|).

b) f (x) = ln[(2(x + 2)3x2(x − 5)3

]·√|3x + 1| − 2.


Definicja (scisła monotonicznosc funkcji)Funkcja f (x) jest rosnaca na A ⊂ Df , jesli dla x1, x2 ∈ A takich ze x1 < x2zachodzi

f (x1) < f (x2).

A zatem wraz ze wzrostem argumentów, wzrastaja równiez wartosci.

Funkcja f (x) jest malejaca na A ⊂ Df , jesli dla x1, x2 ∈ A takich ze x1 < x2zachodzi

f (x1) > f (x2).

A zatem wraz ze wzrostem argumentów, maleja wartosci funkcji.

Przykład. funkcja rosnaca :

f (x) = x , f (x) = x2 dla x > 0, f (x) = 2x , f (x) = ln x

funkcja malejaca :

f (x) = −x , f (x) = x2 dla x < 0, f (x) = (12)x = 2−x , f (x) = log 1

2x


Definicja (słaba monotonicznosc funkcji)Funkcja f (x) jest niemalejaca na A ⊂ Df , jesli dla x1, x2 ∈ A takich ze x1 < x2zachodzi

f (x1) ≤ f (x2).

A zatem wraz ze wzrostem argumentów, uzyskujemy nie mniejsze wartosci(wieksze albo takie same).

Funkcja f (x) jest nierosnaca na A ⊂ Df , jesli dla x1, x2 ∈ A takich ze x1 < x2zachodzi

f (x1) ≥ f (x2).

A zatem wraz ze wzrostem argumentów, uzyskujemy nie wieksze wartosci(mniejsze albo takie same).


Przykład 1 Okreslic monotonicznosc funkcji f (x) = 3x + 5 dla x ∈ R.

Przykład 2 Okreslic monotonicznosc funkcji f (x) = x2 + 2 dla x < 0.


Własnosca)

Suma funkcji rosnacych jest funkcja rosnaca.Suma funkcji malejacych jest funkcja malejaca.

b)Iloczyn nieujemnych funkcji rosnacych jest funkcja rosnaca.Iloczyn nieujemnych funkcji malejacych jest funkcja malejaca.

Przykład.

funkcja rosnaca:

f (x) = x + x2 + x3, x > 0;

bo y = x , y = x2 dla x > 0, y = x3 sa funkcjami rosnacymi

f (x) = x2 · 2x , x > 0

bo y = x2 dla x > 0 jest rosnaca i nieujemna (zawsze)y = 2x jest rosnaca i nieujemna (zawsze)


Własnosca)

Suma funkcji rosnacych jest funkcja rosnaca.Suma funkcji malejacych jest funkcja malejaca.

b)Iloczyn nieujemnych funkcji rosnacych jest funkcja rosnaca.Iloczyn nieujemnych funkcji malejacych jest funkcja malejaca.

Przykład.

funkcja malejaca:

f (x) = −x + x2, x < 0; ,

bo y = −x , y = x2 dla x < 0 sa malejace

f (x) = x2 · 2−x , x < 0

bo y = x2 dla x < 0 jest malejaca i nieujemna (zawsze)y = 2−x jest malejaca i nieujemna (zawsze)


Dowód.a) Załózmy, ze f (x) i g(x) sa rosnace. Zatem dla x1 < x2 mamy

f (x1) < f (x2), g(x1) < g(x2).

Pokazemy, ze h(x) = f (x) + g(x) jest funkcja rosnaca.

h(x2)− h(x1) = f (x2) + g(x2)− f (x1)− g(x1)

=

(f (x2)− f (x1)

)+

(g(x2)− g(x1)

)> 0.

Zatem h(x) jest funkcja rosnaca.


Dowód.b) Załózmy, ze f (x) i g(x) sa rosnace i nieujemne. Zatem dla x1 < x2 mamy

f (x1) < f (x2), g(x1) < g(x2).

Pokazemy, ze h(x) = f (x) · g(x) jest funkcja rosnaca.

h(x2)− h(x1) = f (x2) · g(x2)− f (x1) · g(x1)

= f (x2) · g(x2)−f (x2) · g(x1) + f (x2) · g(x1)− f (x1) · g(x1)

= f (x2)

(g(x2)− g(x1)

)+ g(x1)

(f (x2)− f (x1)

)g(x2)− g(x1) > 0 bo g(x) rosnacaf (x2)− f (x1) > 0 bo f (x) rosnacaf (x2) > 0,g(x1) > 0 bo obie funkcje nieujemne

Stad dla wszystkich x1 < x2 mamy h(x2)− h(x1) > 0 , zatem funkcja h(x) jestrosnaca.


Przykład Czy ta nieujemnosc funkcji jest wazna?

f (x) = xnieujemna (dla x ≥ 0),wartosci ujemne dla x < 0rosnaca dla x ∈ R

g(x) = 2x

nieujemna dla x ∈ Rrosnaca dla x ∈ R

Funkcja h(x) = f (x) · g(x) = x · 2x jestrosnaca dla x ≥ 0 (bo spełnia wszystkie warunki)jaka jest ta funkcja dla x ≤ 0 ?


Definicja (Róznowartosciowosc funkcji)Funkcja f (x) jest róznowartosciowa, jesli dla x1, x2 ∈ Df zachodzi implikacja:

f (x1) = f (x2) ⇒ x1 = x2.

(albo równowaznie: x1 6= x2 ⇒ f (x1) 6= f (x2). )

Dany wykres funkcji jest wykresem funkcji róznowartosciowej, gdy kazdapozioma prosta przecina wykres co najwyzej w 1 punkcie.

Przykład Przecinajac parabole f (x) = x2 prosta y = 4 otrzymujemy dwapunkty przeciecia, bo f (2) = 22 = 4 i f (−2) = (−2)2 = 4. Zatem f (x) = x2 niejest róznowartosciowa

Uwaga. Jezeli funkcja jest rosnaca lub malejaca na zbiorze A to jest na nimróznowartosciowa.


Przykład 1 Funkcja f (x) = x + 1x nie jest róznowartosciowa, bo równanie

f (x1) = f (x2) implikuje warunki

x1 = x2 albo x1 · x2 = 1.

Drugi warunek jest na przykład spełniony dla x1 = 2, x2 = 12 , dla których

f (x1) = f (2) = 2 +12= 2.5, f (x2) = f (

12) =

12+ 2 = 2.5

(czyli wskazalismy rózne punkty x1 i x2, dla których wartosc funkcji jest takasama ).


Przykład 2 Funkcja f (x) = x2 nie jest róznowartosciowa, bo równanief (x1) = f (x2) implikuje warunki

x1 = x2 albo x1 + x2 = 0.

Drugi warunek jest na przykład spełniony dla x1 = 1, x2 = −1, dla których

f (x1) = f (1) = 1, f (x2) = f (−1) = 1

(czyli wskazalismy rózne punkty x1 i x2, dla których wartosc funkcji jest takasama ).


Definicja (Równosc funkcji)Niech f : Df → R, g : Dg → R.

Funkcje f i g sa równe (f=g), jesli:

a) Df = Dg ,b) dla kazdego x ∈ Df zachodzi f (x) = g(x).

Przykład Funkcje

f (x) = x + 2 i g(x) =x2 − 4x − 2

nie sa równe, bo Df = R oraz Dg = R\{2}.


Definicja (Funkcja okresowa)Funkcja f (x) jest okresowa, jesli istnieje liczba T > 0 taka, ze dla kazdegox ∈ D zachodzi

x + T ∈ D, x − T ∈ D oraz f (x + T ) = f (x).

Przykład. Rozwazmy funkcje h(x) = x dla x ∈ [0,1). Niech f (x) bedziedokładnym przekopiowaniem tej funkcji na odcinku [1,2), [2,3), ... oraz[−1,0), [−2,−1), .... Jest to funkcja okresowa o okresie T = 1. Mamy np.

f (−1.5) = f (0.5) = f (1.5) = f (2.5) = ... = f (10.5) = 0.5.

Przykłady:funkcje o okresie 2π:

f (x) = sin x , f (x) = cos x

funkcje o okresie π :

f (x) = tg x , f (x) = ctg x .


Definicja (Funkcja parzysta)Funkcja f (x) jest parzysta, jesli dla kazdego x ∈ D mamy:

−x ∈ D oraz f (−x) = f (x).

Wykres funkcji parzystej jest symetryczny wzgledem osi OY .

Przykłady: f (x) = x2, f (x) = x4, f (x) = cos x

Definicja (Funkcja nieparzysta)Funkcja f (x) jest nieparzysta, jesli dla kazdego x ∈ D mamy:

−x ∈ D oraz f (−x) = −f (x).

Wykres funkcji nieparzystej jest symetryczny wzgledem poczatku układuwspółrzednych, czyli punktu (0,0).

Przykłady: f (x) = x , f (x) = x3, f (x) = sin x , f (x) = tg xInformatyka Stosowana Wykład 5 29.10.2018, M.A-B 18 / 37

Przykład.

a) f (x) = x4 − 3x2 + 1 jest funkcja parzysta, bo

Df = R oraz f (−x) = f (x).

b) f (x) =2 + x2

x5 jest funkcja nieparzysta, bo

Df = R\{0} oraz f (−x) = −f (x).

c) f (x) =x + 1

x2 − 2xnie moze byc ani parzysta, ani nieparzysta, bo

Df = R\{0,2}

nie jest zbiorem symetrycznym wzgledem zera.


Inne własnosci funkcji


Definicja (Złozenie funkcji)Niech X ,Y ,Z ,W ⊂ R oraz funkcje

f : X → Y , g : Z →W , takie, ze Y ⊂ Z .

Złozeniem funkcji g i f nazywamy funkcje

g ◦ f : X →W

dla x ∈ X okreslona wzorem:

(g ◦ f )(x) = g(f (x)), dla x ∈ X .

funkcje g w powyzszej definicji nazywamy funkcja zewnetrzna, a f -wewnetrzna.

Złozenie g ◦ f istnieje , o ile Y ⊂ Z , zatem zbiór wartosci funkcji f jestpodzbiorem dziedziny funkcji g.

Jezeli f i g maja dziedziny rzeczywiste R, to istnieja f ◦ g i g ◦ f .

"W praktyce" nie bedziemy sprawdzac tych warunków, a jedyniewyznaczac wzór złozenia z dziedzina.


Przykład 1

f (x) = sin x , g(x) = x2 + 4

f : R→< −1,1 >g : R→< 4,∞)

istnieje f ◦ g, bo Wg =< 4,∞) ⊂ R = Df .

Wówczasf ◦ g : R→< −1,1 >

oraz(f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f (x2 + 4) = sin(x2 + 4).

istnieje g ◦ f , bo Wf =< −1,1 >⊂ R = Dg .

Wówczasg ◦ f : R→< 4,∞)

oraz(g ◦ f )(x) = g(f (x)) = g(sin x) = (sin x)2 + 4.


Przykład 2

f (x) = x2 − 1, g(x) = ex

f : R→< −1,∞)

g : R→ (0,∞).

poniewaz obie dziedziny sa R, wiec oba złozenia istnieja

istnieje f ◦ g, bo Wg = (0,∞) ⊂ R = Df .

Wówczasf ◦ g : R→< −1,∞)

oraz(f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f (ex) = (ex)2 − 1 = e2x − 1.

istnieje g ◦ f bo Wf =< −1,∞) ⊂ R = Dg .

Wówczasg ◦ f : R→ (0,∞)

oraz(g ◦ f )(x) = g(f (x)) = g(x2 − 1) = ex2−1.


Przykład 3

f (x) = x2 + 1, g(x) = x − 1

f : R→< 1,∞),

g : R→ R.

poniewaz obie dziedziny sa R, wiec oba złozenia istnieja

istnieje f ◦ g, bo Wg = R = Df .

Wówczasf ◦ g : R→< 1,∞)

oraz

(f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f (x − 1) = (x − 1)2 + 1 = x2 − 2x + 2.

istnieje g ◦ f bo Wf =< 1,∞) ⊂ R = Dg .

Wówczasg ◦ f : R→ R

oraz(g ◦ f )(x) = g(f (x)) = g(x2 + 1) = x2 + 1− 1 = x2.


Przykład 4

f (x) =2x + 1x − 1

, g(x) = x − 1.

f : R\{1} → R\{2} (funkcja homograficzna)g : R→ R.

istnieje g ◦ f bo Wf = R\{2} ⊂ R = Dg .

Wówczasg ◦ f : R\{1} → R

oraz(g ◦ f )(x) = g(f (x)) = g(

2x + 1x − 1

) =2x + 1x − 1

− 1 = ....


Przykład 4 - ciag dalszy

f (x) =2x + 1x − 1

, g(x) = x − 1.

f : R\{1} → R\{2},g : R→ R.

Nie istnieje złozenie f ◦ g, bo Wg = R nie jest podzbiorem Df = R\{1}.

(problem bo funkcja f nie potrafi obliczyc wartosci dla 1, która znajdujesie w zbiorze Wg)

Jednak potrafimy wyznaczyc postac ewentualnej funkcji f ◦ g :

(f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f (x − 1) =2(x − 1) + 1

x − 1− 1=

2x − 1x − 2

i jest to funkcja działajaca

f ◦ g : R\{2} → R\{2},

(gdyby (!!!)złozenie istniało, to otrzymalibysmy funkcjef ◦ g : R→ R\{2}).


Własnosc

a) Złozenie 2 funkcji rosnacych jest funkcja rosnaca.

b) Złozenie 2 funkcji malejacych jest funkcja rosnaca.

c) Złozenie funkcji rosnacej i malejacej jest funkcja malejaca.

Przykłady Poniewaz funkcje ln x jest rosnaca, a −3x + 2 - malejaca, tofunkcje

−3 ln x + 2, ln(−3x + 2) sa malejace

a funkcje:

ln ln x = ln(ln x), −3(−3x + 2) + 2 = 9x − 4 sa rosnace

Poniewaz kazda funkcja scisle monotoniczna jest funkcja róznowartosciowa,z powyzszych własnosci wynika nastepujaca:

WłasnoscZłozenie funkcji róznowartosciowych jest funkcja róznowartosciowa.


Definicja (Funkcja odwrotna)Niech f : X → Y bedzie róznowartosciowa na swojej dziedzinie.

Funkcja odwrotna do f nazywamy funkcje

f−1 : Y → X

taka, ze:

f−1(y) = x ⇔ y = f (x), dla x ∈ X , y ∈ Y .

Równowaznie dla dowolnych x ∈ X , y ∈ Y zachodza

(f ◦ f−1)(y) = y oraz (f−1 ◦ f )(x) = x .

Powyzsze zapisy mówia, ze złozenie funkcji odwrotnych jest odwzorowaniemidentycznosciowym, czyli takim ze Id(x) = x .


Przykład Funkcjami odwrotnymi sa funkcje f (x) = 2x oraz f−1(x) = 12 x dla

x ∈ R.

Oczywiscie obie funkcje f i f−1 sa okreslone nastepujaco:

R→ R

oraz

(f ◦ f−1)(x) = f (f−1(x)) = f (12

x) = 2 · 12

x = x

(f−1 ◦ f )(x) = f−1(f (x)) = f−1(2x) =12· 2x = x


WłasnoscWykresy funkcji odwrotnych sa symetryczne wzgledem prostej y = x .

Przykład 1 Funkcje y = 2x i y = 0.5x sa do siebie odwrotne

WłasnoscJezeli funkcja f jest rosnaca, to f−1 tez jest rosnaca.Jezeli funkcja f jest malejaca, to f−1 tez jest malejaca.


Przykład 2 Funkcje y = loga x i y = ax (dla ustalonego a > 0) sa do siebieodwrotne

Przykłady par funkcji odwrotnychxk ↔ k

√x (k -nieparzyste)

loga x ↔ ax

sin x ↔ arc sin xcos x ↔ arc cos xtg x ↔ arc tg xctg x ↔ arc ctg xax+bcx+d ↔

ex+fgx+h


Funkcje cyklometryczne

Funkcje cyklometryczne to funkcje odwrotne do funkcjitrygonometrycznych.

poniewaz funkcje trygonometryczne nie sa róznowartosciowe, dokonstrukcji funkcji arcus nalezy wybrac taki wycinek wykresu, na którymdana funkcja jest róznowartosciowa i przyjmuje wszystkie mozliwewartosci danej funkcji

arcus sinus x (arc sin x) jest funkcja odwrotna do funkcji sin x ,ograniczonej do przedziału [−π

2 ,π2 ].

arcus cosinus x (arc cos x) ..... cos x ograniczonej do przedziału [0, π].

arcus tangens x (arc tg x) ..... tg x ograniczonej do przedziału (−π2 ,

π2 ).

arcus cotangens x (arc ctg x) ..... ctg x ograniczonej do przedziału (0, π).


arc sin x

Dla x ∈ [−1,1] oraz y ∈ [−π2 ,

π2 ]

y = arc sin x ⇔ x = sin y

Przykłady: arc sin 12 = π

6 , arc sin(−√

32 ) = −π

3 , arc sin 1 = π2


arc cos x

Dla x ∈ [−1,1] oraz y ∈ [0, π]

y = arc cos x ⇔ x = cos y

Przykłady: arc cos 12 = π

3 , arc cos(−√

32 ) = π − π

6 = 5π6 , arc cos 1 = 0


arc tg x

Dla x ∈ R oraz y ∈ (−π2 ,

π2 )

y = arc tg x ⇔ x = tg y

Przykłady: arc tg√

33 = π

6 , arc tg(−√

3) = −π3 , arc tg 1 = π

4


arc ctg x

Dla x ∈ R oraz y ∈ (0, π)

y = arc ctg x ⇔ x = ctg y

Przykłady: arc ctg√

33 = π

3 , arc ctg(−1) = π − π4 = 3π

4 , arc ctg 1 = π4


Dziekuje za uwage !


Documents

Wykład 5 - UTPimif.utp.edu.pl/wp-content/uploads/2018/10/wyklad_5_2018...Deﬁnicja (scisła monotoniczno´ s´c funkcji)´ Funkcja f(x) jest rosnaca˛ na A ˆD f;jesli dla´ x 1;x