Wykład 6 - UTPimif.utp.edu.pl/wp-content/uploads/2018/10/wyklad_6_2018... · 2018-11-06 · Własnos´c´ Wykresy funkcji odwrotnych sa˛symetryczne wzgledem˛ prostej y = x: Własnos´c´

Wykład 6

Informatyka Stosowana

5 listopada 2018Magdalena Alama-Bucko

Informatyka Stosowana Wykład 6 5.11.2018, M.A-B 1 / 25

Definicja (Funkcja odwrotna)Niech f : X → Y bedzie róznowartosciowa na swojej dziedzinie.

Funkcja odwrotna do f nazywamy funkcje

f−1 : Y → X

taka, ze:

f−1(y) = x ⇔ y = f (x), dla x ∈ X , y ∈ Y .

Równowaznie dla dowolnych x ∈ X , y ∈ Y zachodza

(f f−1)(y) = y oraz (f−1 f )(x) = x .

Powyzsze zapisy mówia, ze złozenie funkcji odwrotnych jest odwzorowaniemidentycznosciowym, czyli takim ze Id(x) = x .


WłasnoscWykresy funkcji odwrotnych sa symetryczne wzgledem prostej y = x .

WłasnoscJezeli funkcja f jest rosnaca, to f−1 tez jest rosnaca.Jezeli funkcja f jest malejaca, to f−1 tez jest malejaca.


Przykład 2 Funkcje y = loga x i y = ax (dla ustalonego a > 0) sa do siebieodwrotne

Przykłady par funkcji odwrotnychxk ↔ k

√x (k -nieparzyste)

loga x ↔ ax

sin x ↔ arc sin xcos x ↔ arc cos xtg x ↔ arc tg xctg x ↔ arc ctg xax+bcx+d ↔

ex+fgx+h


Funkcje cyklometryczne

Funkcje cyklometryczne to funkcje odwrotne do funkcjitrygonometrycznych.

poniewaz funkcje trygonometryczne nie sa róznowartosciowe, dokonstrukcji funkcji arcus nalezy wybrac taki wycinek wykresu, na którymdana funkcja jest róznowartosciowa i przyjmuje wszystkie mozliwewartosci danej funkcji

arcus sinus x (arc sin x) jest funkcja odwrotna do funkcji sin x ,ograniczonej do przedziału [−π

2 ,π2 ].

arcus cosinus x (arc cos x) ..... cos x ograniczonej do przedziału [0, π].

arcus tangens x (arc tg x) ..... tg x ograniczonej do przedziału (−π2 ,

π2 ).

arcus cotangens x (arc ctg x) ..... ctg x ograniczonej do przedziału (0, π).


arc sin x : [−1,1]→ [−π2 ,

π2 ]

Dla x ∈ [−1,1] oraz y ∈ [−π2 ,

π2 ]

y = arc sin x ⇔ x = sin y

kat x −π2 −π

3 −π4 −π

6 0 π6

π4

π3

π2

sin x −1 −√

32 −

√2

2 − 12 0 1

2

√2

2

√3

2 1


arc sin x =?

W powyzszym zapisie x oznacza wartosc funkcji sinus.

Pytamy : dla jakiego kata sinus taka wartosc przyjmuje?

kat −π2 −π

3 −π4 −π

6 0 π6

π4

π3

π2

sin x −1 −√

32 −

√2

2 − 12 0 1

2

√2

2

√3

2 1

arc sin 12 = π

6 bo sin π6 = 1

2

arc sin(−√

32 ) = −π

3 bo sin(−π3 ) = −

√3

2

arc sin 1 = π2 bo sin π

2 = 1


arc cos x : [−1,1]→ [0, π]

Dla x ∈ [−1,1] oraz y ∈ [0, π]

y = arc cos x ⇔ x = cos y

kat x 0 π6

π4

π3

π2

2π3

3π4

5π6 π

cos x 1√

32

√2

212 0 − 1

2 −√

22 −

√3

2 −1


arc cos x =?

W powyzszym zapisie x oznacza wartosc funkcji cosinus.

Pytamy : dla jakiego kata cosinus taka wartosc przyjmuje?

kat x 0 π6

π4

π3

π2

2π3

3π4

5π6 π

cos x 1√

32

√2

212 0 − 1

2 −√

22 −

√3

2 −1

Przykłady:

arc cos 12 = π

3 bo cos π3 = 1

2

arc cos(−√

32 ) = 5π

6 bo cos 5π6 = −

√3

2

arc cos 1 = 0 bo cos 0 = 1


arc tg x : R→ (−π2 ,

π2 )

Dla x ∈ R oraz y ∈ (−π2 ,

π2 )

y = arc tg x ⇔ x = tg y

kat (−π2 )+ −π

3 −π4 −π

6 0 π6

π4

π3 (π

2 )−

tg x −∞ −√

3 −1 −√

33 0

√3

3 1√

3 ∞


arc tg x =?

W powyzszym zapisie x oznacza wartosc funkcji tangens.

Pytamy : dla jakiego kata tangens taka wartosc przyjmuje?

kat (−π2 )+ −π

3 −π4 −π

6 0 π6

π4

π3 (π

2 )−

tg x −∞ −√

3 −1 −√

33 0

√3

3 1√

3 ∞

Przykłady:

arc tg√

33 = π

6 bo tg(π6 ) =

√3

3

arc tg(−√

3) = −π3 bo tg(−π

3 ) = −√

3

arc tg 1 = π4 bo tg(π

4 ) = 1


arc ctg x : R→ (0, π)

Dla x ∈ R oraz y ∈ (0, π)

y = arc ctg x ⇔ x = ctg y

kat x 0+ π6

π4

π3

π2

2π3

3π4

5π6 (π)−

ctg x ∞√

3 1√

33 0 −

√3

3 −1 −√

3 −∞


arc ctg x =?

x oznacza tu wartosc funkcji ctg.

Pytamy : dla jakiego kata cotangens taka wartosc przyjmuje?

kat x 0+ π6

π4

π3

π2

2π3

3π4

5π6 (π)−

ctg x ∞√

3 1√

33 0 −

√3

3 −1 −√

3 −∞

Przykłady:

arc ctg√

33 = π

3 bo ctg(π3 ) =

√3

3

arc ctg(−1) = 3π4 bo ctg( 3π

4 ) = −1

arc ctg 1 = π4 bo ctg π

4 = 1


Schemat wyznaczania funkcji odwrotnej do y = f (x):1 Badamy róznowartosciowosc f (x)

2 Zamieniamy miejscami x i y (x ↔ y ) , a nastepnie ze wzoru x = f (y)wyznaczamy y = g(x). Otrzymana funkcja g jest szukana f−1.

W celu sprawdzenia mozna policzyc f (f−1(x)) oraz f−1(f (x)). W obuprzypadkach powinno wyjsc x .

Zadanie 1 Wyznaczyc funkcje odwrotna (o ile istnieje) do funkcji:

a) f (x) = 12x + 2x ;

b) f (x) = 5 3√

x − 2;

c) f (x) = 3x−12x+1 ;

c’) f (x) =3e5x − 12e5x + 1

;

d) f (x) = 3 ln(x5 − 1) + 2.

Dokonac odpowiednich sprawdzen.


Zbiory


Oznaczenia:

A,B,C, .... - Zbiory (oznaczane wielka litera)

a,b, c, ... - elementy zbioru (oznaczane mała litera)

a ∈ A czytamy: element a nalezy do zbioru A

a /∈ A czytamy: element a nie nalezy do zbioru A


DefinicjaZbiór, którego wszystkimi elementami sa a1,a2, . . . ,an nazywamy zbioremskonczonym i oznaczamy

a1,a2, . . . ,an

DefinicjaLiczebnoscia zbioru A (inaczej moca zbioru) nazywamy liczbe elementównalezacych do zbioru A i oznaczamy |A|.

Zbiór, którego moc jest okreslona przez pewna liczbe naturalna nazywamyzbiorem skonczonym.

Przykład A = 1,√

3,8, to |A| = 3.

DefinicjaZbiór, który nie zawiera zadnego elementu nazywamy zbiorem pustym ioznaczamy symbolem ∅


DefinicjaMówimy, ze zbiór A jest podzbiorem zbioru B, czyli A ⊂ B, gdy kazdyelement zbioru A jest równoczesnie elementem zbioru B, zatem

A ⊂ B ⇔(

x ∈ A⇒ x ∈ B).

Stad w przypadku, gdy A ⊂ B, w zbiorze B moga byc elementy, które nienaleza do zbioru A.


DefinicjaZbiory nazywamy rozłacznymi, gdy nie maja zadnego elementu wspólnego.

Przykład1,3,5 ∩ 2,4 = ∅

1,3,5 ∩ 1,2 = 1.

DefinicjaZbiory nazywamy równymi, gdy składaja sie z tych samych elementów.

WłasnoscJezeli A ⊂ B i B ⊂ A, to A = B.


Definicja (Działania na zbiorach)- Suma zbiorów A i B (ozn. A ∪ B) to zbiór punktów, które naleza do

zbioru A albo naleza do zbioru B, czyli

A ∪ B = x : x ∈ A ∨ x ∈ B;

- Iloczyn (czesc wspólna) zbiorów A i B (ozn. A ∩ B), to zbiór punktów,które naleza równoczesnie do zbioru A i do zbioru B, czyli

A ∩ B = x : x ∈ A ∧ x ∈ B;


Definicja (Działania na zbiorach)- Róznica zbiorów A i B (ozn. A \ B) to zbiór punktów, które naleza do

zbioru A, ale nie naleza do zbioru B, czyli

A \ B = x : x ∈ A ∧ x /∈ B = x : x ∈ A ∧ ∼ x ∈ B,

- Dopełnienie zbioru A (ozn. A′) to zbiór punktów, które nie naleza dozbioru A, tzn.

A′ = x : x ∈ Ω ∧ x /∈ A = x : x /∈ A = x : ∼ x ∈ A.


WłasnoscDla dowolnych zbiorów A,B,C zachodza własnosci:

a) A ∪ B = B ∪ A, A ∪ ∅ = A, A ∪ A′

= Ω

b) A ∩ B = B ∩ A A ∩ ∅ = ∅, A ∩ A′

= ∅c) (A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C)

d) (A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C)

e) prawa de Morgana dla zbiorów

(A ∪ B)′ = A′ ∩ B′, (A ∩ B)′ = A′ ∪ B′

oraz wiele innych, np.

f) A \ (B ∪ C) = (A \ B) ∩ (A \ C)

g) A \ (B ∩ C) = (A \ B) ∪ (A \ C)

Zadanie Sprawdzic, czy dla dowolnych zbiorów A,B,C prawdziwe sarównosci:

a) (A ∪ B ∪ C) \ (A ∪ B) = Cb) A \ (B ∪ C) = (A \ B) \ C


Pokazemy, własnosc c) , tzn.

(A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C)

x ∈ L⇔ x ∈ (A ∪ B) ∩ C

⇔ x ∈ (A ∪ B) ∧ x ∈ C ⇔ (x ∈ A ∨ x ∈ B) ∧ x ∈ C

(p ∨ q) ∧ r ⇔ (p ∧ r) ∨ (q ∧ r)

⇔ (x ∈ A ∧ x ∈ C) ∨ (x ∈ B ∧ x ∈ C) ⇔ x ∈ A ∩ C ∨ x ∈ B ∩ C

⇔ x ∈ (A ∩ C) ∪ (B ∩ C) ⇔ x ∈ P

gdzie L i P oznaczaja lewa i prawa strone udowadnianej tozsamosci.


Zadanie b) Sprawdzimy, czy dla dowolnych zbiorów zachodzi

A \ (B ∪ C) = (A \ B) \ C

Niech L i P oznaczaja lewa i prawa strone powyzszego wyrazenia.x ∈ L ⇔ x ∈ A \ (B ∪ C)

⇔ x ∈ A ∧ ∼ x ∈ (B ∪ C) ⇔ x ∈ A ∧ ∼ (x ∈ B ∨ x ∈ C)

∼ (p ∨ q)⇔ (∼ p) ∧ (∼ q)

⇔ x ∈ A ∧ x /∈ B ∧ x /∈ C

x ∈ P ⇔ x ∈ (A \ B) \ C

⇔ x ∈ (A \ B) ∧ x /∈ C ⇔ x ∈ A ∧ x /∈ B ∧ x /∈ C

Zatem wyrazenie jest prawdziwe dla dowolnych zbiorów A,B,C, bo x ∈ Li x ∈ P maja taka sama postac:

x ∈ A ∧ x /∈ B ∧ x /∈ C.


Dziekuje za uwage !


Documents

Wykład 6 - UTPimif.utp.edu.pl/wp-content/uploads/2018/10/wyklad_6_2018... · 2018-11-06 · Własnos´c´ Wykresy funkcji odwrotnych sa˛symetryczne wzgledem˛ prostej y = x: Własnos´c´