Wykład 1

Informatyka Stosowana

2 października 2017

Informatyka Stosowana Wykład 1 2 października 2017 1 / 33

Wykłady :45h (w semestrze zimowym) (Egzamin)

3h lekcyjne tygodniowo = 2h15min

30h (w semetrze letnim) (Egzamin)

Ćwiczenia:15h - ćwiczenia "tablicowe" w semestrze zimowym15h - laboratoria w semetrze letnim

Wykład w semestrze zimowym: (w planie: 7:15-10:00 z uwzględnieniemdwóch przerw 15 minutowych)

Wykład 7:30-10:00 (uwzględnia 1 przerwę)

Informatyka Stosowana Wykład 1 2 października 2017 2 / 33

Dla studentów 1-ego roku obecność na wykładach jest obowiązkowa !!!(podczas wykładu mogą być sporządzane listy obecności)

Dopuszczalne 3 nieusprawione nieobecności na wykładach

Nieobecności na wykładach można usprawiedliwiać

Zaliczenie egzaminu od 50% punktów (przy każdym zadaniu podanaliczba punktów)

Aby przystąpić do egzaminu należy mieć zaliczone ćwiczenia

Informatyka Stosowana Wykład 1 2 października 2017 3 / 33

Jak wygląda egzamin?

Imię i nazwisko .............................................................. liczba punktów: .............................

Informatyka Stosowana, EGZAMIN , 2016.09.09 Rząd 1

i)

2x + y − z + w = 0−y + 2z + w = 13x − 2z = 2.

, ii) A =

1 0 2−1 1 23 1 −1

, b = 10

−1

, iii) {x − 2y ≤ 63x + y ≥ 1.

Zad.1 (1p) Rozwiązać układ równań i) (bez stosowania metody podstawiania !!!).

Zad.2 (1.5p) Obliczyć A−1 i A−1b, gdzie A i b zadane są ii).

Zad.3 (1.5p) Rozwiązać graficznie i za pomocą odpowiedniego "układu równań" układ nierówności iii).

Zad.4 (1p) Znaleźć wartość największą i najmniejszą funkcji f (x, y) = x + y przy warunkach:

x + y ≤ 6, −3x + y ≤ 2, x ≥ 0, y ≥ 0.

Zad.5 (1p) Podać definicję pierścienia.

Zad.6 (1p) Sprawdzić, czy odwzorowanie f (x1, x2) = (2x1, x22 , 2x1 + x2) jest liniowe. .

Zad.7 (2p) W zbiorze R określamy działania ◦ i � następująco: a ◦ b = a + b − 1 , a � b = 2ab + 1.Wyznaczyć:a) element neutralny e działania ◦, b) element odwrotny dla dowolnego a. Obliczyć 1−1, 2−1.c) wyznaczyć element neutralny e względem działania �, (uwaga !!: dla każdego a jest inny )d) element odwrotny do a względem działania �. Obl. 3−1, 4−1.

Zad.8 (1p) Sprawdzić, czy wektory (1, 0, 0, 0), (1, 1, 0, 1), (0, 1, 0, 1) są liniowo niezależne w R4.

Zad.9 (2p) Rozważmy punkty A = (3, 1, 2), B = (1, 2, 3), C = (0, 1, 0). Wyznaczyć:a) równanie płaszczyzny π przechodzącej przez punkty A,B i C; b) kosinus kąta ABC;c) długość środkowej BS d) odległość od płaszczyzny π punktu (1, 1, 1).

Informatyka Stosowana Wykład 1 2 października 2017 4 / 33

Kontakt :najlepiej rozpocząć od kontaktu mailowego:

mbucko@utp.edu.pl

osobisty (najlepiej podczas konsultacji, ale dogodny termin można umówićrównież mailowo)

termin konsultacji podam wkrótce ( łącznie 1,5h )

treści wykładów nie trzeba przepisywać, pliki będą udostępniane

imif.utp.edu.pl/m-alama-bucko

pliki z wykładów mogą nie zawierać wykresów, rozwiązań zadań, itp. idlatego warto je notować

tzw. "szybki" kontakt ze Starostą (numer telefonu do kontaktu)

Informatyka Stosowana Wykład 1 2 października 2017 5 / 33

Informatyka Stosowana Wykład 1 2 października 2017 6 / 33

Informatyka Stosowana Wykład 1 2 października 2017 7 / 33

Co w Sylabusie?

a) logikab) analiza matematycznac) algebrad) rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna (?)e) elementy programowania liniowego

Informatyka Stosowana Wykład 1 2 października 2017 8 / 33

Literatura podstawowa

1. Leitner R., Zarys matematyki wyższej dla studentów cz.I, WNT Warszawa2. Marek W., Onyszkiewicz J., Elementy logiki i teorii mnogości w

zadaniach, PWN Warszawa3. Maćkiewcz A., Algorytmy algebry liniowej metody bezpośrednie,

Wydawnictwo Politechniki Poznańskiej4. Stankiewicz W., Zadania z matematyki dla wyższych uczelni

technicznych cz. IA, cz.IB PWN Warszawa 19755. Plucińska A., Pluciński E., Probabilistyka: Rachunek

prawdopodobieństwa, Statystyka matematyczna, Procesy stochastyczneWNT, Warszawa

Informatyka Stosowana Wykład 1 2 października 2017 9 / 33

Literatura uzupełniająca

1. Białynicki - Birula A., Algebra, PWN Warszawa2. Żakowski B. W., Kołodziej W., Matematyka WNT, Warszawa 19753. Jakubowski J., Sztencel R., Wstęp do teorii prawdopodobieństwa,

SCRIPT Warszawa 2001r.4. Gewert M, Skoczylas Z. - cała seria

Informatyka Stosowana Wykład 1 2 października 2017 10 / 33

Elementy logiki matematycznej

Informatyka Stosowana Wykład 1 2 października 2017 11 / 33

Logika matematyczna zajmuje się zdaniami w sensie logiki, tzn. takimizdaniami orzekającymi, które są prawdziwe albo fałszywe.

Zdanie prawdziwe ma wartość logiczną 1.

Zdanie fałszywe ma wartość logiczną 0.

Zdania oznaczamy małymi literami: p, q, r, ...

Wartość logiczną zdania p można zapisać w postaci w(p).

Zdania pytające i rozkazujące nie są zdaniami w sensie logiki.

Informatyka Stosowana Wykład 1 2 października 2017 12 / 33

Przykład1. "13 jest liczbą parzystą" ma wartość logiczną 0 (bo fałsz)

2. "13 jest pechową liczbą " nie jest zdaniem (logicznym), bo nie jest aniprawdziwe ani fałszywe.

3. "n jest liczbą parzystą" nie jest zdaniem (logicznym).

Informatyka Stosowana Wykład 1 2 października 2017 13 / 33

Z jednego albo kilku zdań przy użyciu operatorów logicznych (zwanychrównież spójnikami zdaniowymi albo funktorami zdaniotwórczymi) możemyutworzyć nowe zdania (tzw. zdania złożone) .

Podstawowe operatory logiczne:

– operator jednoargumentowy

zaprzeczenie (negacja) (nie; nieprawda, że )

– operatory dwuargumentowe

koniunkcja (i )alternatywa (lub )alternatywa rozłączna ()implikacja (implikuje )równoważność (jest równoważne )

Informatyka Stosowana Wykład 1 2 października 2017 14 / 33

– zaprzeczenie (negacja) zdania p

oznaczamy ∼ p albo ¬p

czytamy: "nieprawda, że p"; "nie p";

tabelka wartościp ∼ p0 11 0

Jaką wartość logiczną ma zdanie ∼ (∼ p)? (tzw. podwójne zaprzeczenie)

Informatyka Stosowana Wykład 1 2 października 2017 15 / 33

koniunkcja zdań p i q (tzw. iloczyn logiczny zdań p i q)

oznaczamy p ∧ q

czytamy: "p i q"

zdania p i q nazywamy czynnikami

tabelka wartościp q p ∧ q1 1 11 0 00 1 00 0 0

Koniunkcja dwóch zdań jest prawdziwa tylko wtedy, gdy oba zdania sąprawdziwe.

Najłatwiej licząc p ∧ q po prostu wymnożyć wartości logiczne składowychzdań.

W informatyce:

If (warunek1)&(warunek2) then ...., If (warunek1)&&(warunek2) then ....

Informatyka Stosowana Wykład 1 2 października 2017 16 / 33

iloczyn logiczny jest przemienny

p ∧ q ⇔ q ∧ p

iloczyn logiczny jest łączny

(p ∧ q) ∧ r ⇔ p ∧ (q ∧ r)

Informatyka Stosowana Wykład 1 2 października 2017 17 / 33

alternatywa zdań p i q (tzw. suma logiczna zdań p i q)

oznaczamy p ∨ q

czytamy: "p lub q"

zdania p i q nazywamy składnikami

tabelka wartościp q p ∨ q1 1 11 0 10 1 10 0 0

Alternatywa dwóch zdań jest prawdziwa, gdy co najmniej jedno ze zdańjest prawdziwe.

Alternatywa dwóch zdań jest fałszywa tylko wtedy, gdy oba zdania sąfałszywe.

W informatyce:If ( warunek 1 or warunek 2 ) then ...

If ( warunek 1 || warunek 2 ) ....Informatyka Stosowana Wykład 1 2 października 2017 18 / 33

alternatywa logiczna jest przemienna

p ∨ q ⇔ q ∨ p

alternatywa logiczna jest łączna

(p ∨ q) ∨ r ⇔ p ∨ (q ∨ r)

Informatyka Stosowana Wykład 1 2 października 2017 19 / 33

alternatywa rozłączna, różnica symetryczna, xor zdań p i q

oznaczamy p Y q

czytamy: "albo p albo q" ("albo" oznacza: "dokładnie jedno ze zdań p i q ")

tablica wartościp q p Y q1 1 01 0 10 1 10 0 0

Działanie XOR dwóch zdań jest prawdziwe, gdy dokładnie jedno ze zdańjest prawdziwe.

Działanie XOR dwóch zdań jest fałszywe, gdy zdania p i q mają te samewartości logiczne.różnica symetryczna jest przemienna: p Y q ⇔ q Y p

różnica symetryczna jest łączna: (p Y q) Y r ⇔ p Y (q Y r)

Informatyka Stosowana Wykład 1 2 października 2017 20 / 33

implikacja (wynikanie)

oznaczamy p ⇒ q

czytamy "jeżeli p to q"

zdanie p nazywamy poprzednikiem, a zdanie q- następnikiem

tabelka wartościp q p ⇒ q1 1 11 0 00 1 10 0 1

Implikacja jest fałszywa tylko wtedy, gdy z prawdy wynika fałsz.

Informatyka Stosowana Wykład 1 2 października 2017 21 / 33

równoważność

p ⇔ q

czytamy: "p wtedy i tylko wtedy, gdy q"

tabelka wartościp q p ⇔ q1 1 11 0 00 1 00 0 1

Dwa zdania są równoważne, gdy mają takie same wartości logiczne, czylisą równocześnie prawdziwe, albo równocześnie fałszywe.

Zaprzeczeniem działania⇔ jest działanie XOR, zatem

p XOR q ⇔ ∼ (p ⇔ q)

Informatyka Stosowana Wykład 1 2 października 2017 22 / 33

Przykład

p - zdanie " Bydgoszcz jest stolicą Polski",

q - zdanie " UTP jest w Bydgoszczy"

Określić wartość logiczną zdań:

p, q, p ∨ q, p ∧ q, p ⇒ q, q ⇒ p, p ⇔ q.

Informatyka Stosowana Wykład 1 2 października 2017 23 / 33

DefinicjaTautologią (inaczej prawem rachunku zdań) nazywamy zdanie złożone, którejest prawdziwe niezależnie od wartości logicznych zdań, z których jestzłożone.

Jest wiele metod służących weryfikacji, czy dane zdanie jest tautologią.

np. metoda nie wprost, metoda "tabelkowa"

na wykładzie sprawdzenia będziemy dokonywać za pomocą tabelek

tworzymy tabelkę zero-jedynkową, w której dla wszystkich możliwychwartości logicznych zdań prostych weryfikujemy, czy zdanie złożone jestzawsze prawdziwe

Przykład 1: (p ∨ q) ∧ r ⇔ (p ∧ r) ∨ (q ∧ r)Przykład 2: [(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)]⇒ [(q ∨ r)⇒∼ p]

Informatyka Stosowana Wykład 1 2 października 2017 24 / 33

Niektóre prawa rachunku zdań:

1. prawo podwójnego przeczenia : ∼ (∼ p) ⇔ p

2. prawo wyłączonego środka: p ∨ (∼ p)

3. prawa de Morgana:

∼ (p ∨ q) ⇔ (∼ p) ∧ (∼ q)

∼ (p ∧ q) ⇔ (∼ p) ∨ (∼ q)

4. ∼ (p ⇒ q) ⇔ p ∧ (∼ q)

5. p ⇒ q ⇔ (∼ q)⇒ (∼ p)

6. p ⇒ q ⇔ q ∨ (∼ p)

7. (p ∧ q) ∨ r ⇔ (p ∨ r) ∧ (q ∨ r)

8. (p ∨ q) ∧ r ⇔ (p ∧ r) ∨ (q ∧ r)

9. [(p ∧ q)⇒ r ] ⇔ [p ⇒ (q ⇒ r)]

10. (p ⇔ q) ⇔ [(p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)]

Informatyka Stosowana Wykład 1 2 października 2017 25 / 33

Kwantyfikatory

DefinicjaWyrażenie "dla każdego x" nazywamy kwantyfikatorem ogólnym ioznaczamy

∀x .

Wyrażenie "istnieje x" nazywamy kwantyfikatorem szczegółowym ioznaczamy

∃x .

Zapis

∀x∈X p(x) oznacza: dla każdego x ze zbioru X zachodzi p(x).∃x∈X p(x) oznacza: w zbiorze X istnieje x taki, że zachodzi p(x).

Oczywiście∀x p(x)⇒ ∃x p(x)

ale∃x p(x) ; ∀x p(x)

Informatyka Stosowana Wykład 1 2 października 2017 26 / 33

Przykład

∀x∈R x2 + 4 > 0 - zdanie prawdziwe Zatem również ∃x∈R x2 + 4 > 0

jest zdaniem prawdziwym.

∃x∈R x2 + 4 = 0 - zdanie fałszywe

∃x∈R x2 − 4 = 0 - zdanie prawdziwe

∀n∈N 4n > 20 - zdanie fałszywe (bo np. liczby 1,2,3,4,5 tej nierównościnie spełniają)

Informatyka Stosowana Wykład 1 2 października 2017 27 / 33

Kwantyfikatory można łączyć:

∀x∃y - dla każdego x istnieje y∃x∀y - istnieje taki x , że dla każdego y

Przykład

∀x∈R∃y∈R x + y = 2

prawda, bo taki y ma wartość y = 2− x

∃x∈R∀y∈R xy2 ≥ 0

prawda, bo taka nierówność jest prawdziwa dla x ≥ 0

∀x∈R∃y∈R xy2 ≥ 0

nieprawda, bo np. dla x = −2 taki y nie istnieje

Informatyka Stosowana Wykład 1 2 października 2017 28 / 33

Prawa de Morgana dla kwantyfikatorów:

∼ (∀x p(x)) ⇔ ∃x (∼ p(x))

∼ (∃x p(x)) ⇔ ∀x (∼ p(x))

Zatem

ponieważ ∀x∈R x2 + 1 > 0 jest prawdą, więc zaprzeczenie jest fałszem

∼ (∀x∈R x2 + 1 > 0) ⇔ ∃x∈R (∼ (x2 + 1 > 0)) ⇔ ∃x∈R x2 + 1 ≤ 0

ponieważ ∃x∈R (x − 1)2 < 0 jest fałszem, więc zaprzeczenie jest prawdą

∼ (∃x∈R (x−1)2 < 0) ⇔ ∀x∈R (∼ (x−1)2 < 0) ⇔ ∀x∈R (x−1)2 ≥ 0

Informatyka Stosowana Wykład 1 2 października 2017 29 / 33

Jeszcze kilka dodatkowych wzorów:

∀x (p(x) ∨ q(x)) ⇔ ∀x p(x) ∨ ∀x q(x)

∀x (p(x) ∧ q(x)) ⇔ ∀x p(x) ∧ ∀x q(x)

∃x (p(x) ∨ q(x)) ⇔ ∃x p(x) ∨ ∃x q(x)

∃x (p(x) ∧ q(x)) ⇔ ∃x p(x) ∧ ∃x q(x)

Przykład

∃x (x > 0 ∧ x2 = 4) ⇔ ∃x x > 0 ∧ ∃x x2 = 4

Informatyka Stosowana Wykład 1 2 października 2017 30 / 33

Zdefiniowaną logikę wykorzystujemy w budowaniu tzw.bramek logicznych

(->Wikipedia->Bramka logiczna)

Bramka logiczna - element konstrukcyjny maszyn i mechanizmów (dziśzazwyczaj: układ scalony...), realizujący fizycznie pewną prostą funkcjęlogiczną, której argumenty (zmienne logiczne) oraz sama funkcja mogąprzybierać jedną z dwóch wartości, np. 0 lub 1 .

Podstawowymi elementami logicznymi, stosowanymi powszechnie w budowieukładów logicznych, są elementy realizujące funkcje logiczne:

alternatywy,koniunkcji,negacji.

Są to odpowiednio bramki OR, AND i NOT. Za pomocą dwóch takich bramek(OR i NOT lub AND i NOT) można zbudować układ realizujący dowolnąfunkcję logiczną.

Bramki NAND (negacja koniunkcji) oraz NOR (negacja sumy logicznej)nazywa się funkcjonalnie pełnymi, ponieważ przy ich użyciu (tzn. samychNAND lub samych NOR) można zbudować układ realizujący dowolną funkcjęlogiczną.

Informatyka Stosowana Wykład 1 2 października 2017 31 / 33

Zatem bramka logiczna realizuje pewną prostą funkcję logiczną oargumentach 0 i 1.

W zależności od składowych funkcji logicznych mamy następujące rodzajebramek:

bramka NOT (zaprzeczenie ∼)

bramka AND (iloczyn logiczny ∧)

bramka NAND ( NOT AND = ∼ ∧)

bramka OR (alternatywa logiczna ∨)

bramka NOR (NOT OR = ∼ ∨)

bramka XOR (NEQ) (alternatywa rozłączna)

bramka XNOR ( = NOT XOR, czyli zaprzeczenie alternatywy rozłącznej)

Informatyka Stosowana Wykład 1 2 października 2017 32 / 33

Dziękuję za uwagę !

Informatyka Stosowana Wykład 1 2 października 2017 33 / 33