Tor Vergata
M. Salerno 1Trifase
Trasmissione dell’energia elettricaSchema di principio
Vg
+caricolinea di trasmissione
Effetti della linea di trasmissione 1. dissipazione di energia2. caduta di tensione
Schema equivalente della linea
jX R
R resistenza di linea
R dipende dalla lunghezza, dalla sezione dei conduttori e dal materiale utilizzato
Xreattanza di linea
X dipende dalla lunghezza e dalla disposizione dei conduttori ( X = L )
jX R
jX R
1. Dissipazione di energia
I
PaL = R | I |2Potenza attiva dissipata in linea
| I | = I = Ieff2
Si ricordi che
= R I 2 = 2 R Ieff 2 [W ]La potenza dissipata provoca riscaldamento dei conduttori e aggravio nei costi di gestione.
La potenza dissipata viene limitata diminuendo R (conduttori in rame, alluminio, aumento della sezione) e diminuendo l’intensità della corrente di linea.
Vb Va
+ +
2. Caduta di tensione
Va
Vb
VR
VX
I
Si ricordi chePaC = Veff I eff cos potenza attiva sul carico
QC = Veff I eff sin potenza reattiva sul carico
Va Vb
V
V / V = (2R V I cos + 2X V I sin ) / V2
= (2R PaC + 2X QC ) / Veff2
V V b V a VR cos + VX
sin = 2R I cos + 2X I sin
2. Caduta percentuale di tensione
V / V = (2R PaC + 2X QC ) / Veff2
Il termine RPaC è prevalente rispetto al termine XQC nelle linee in cavo e per alti fattori di potenza.
Eccessive cadute di tensione possono provocare malfunzionamenti sul carico.
La caduta di tensione viene limitata diminuendo R e X, e aumentando la tensione di linea.
Tor Vergata
M. Salerno 2Trifase
Uso dei trasformatori nella trasmissione dell’energia elettrica
Trasmissione dell’energia elettrica
Vg
+carico
tensioni e correnti in valori efficaci
Nelle applicazioni Vg qualche decina di kV, Vl qualche centinaio di kV, Vu qualche centinaio di V
Rg Rl Ru
1:n m:1
generazione trasmissione utilizzazione
Vl
+
Vu
+
(1/m) Vl = Vun Vg = Vl
Il
Ig Iu
(1/n) Ig = Il m Il = Iu
Dal teorema di Thévenin
L
n Vg
+ n2 Rg + Rl
L
M
(n/m)Vg
+ (n2 /m2 ) Rg +(1 /m2 ) Rl + Ru
M
Le elevate tensioni e le (relativamente) basse correnti in linea permettono la trasmissione di energia elettrica a grande distanza, limitando le perdite di energia e le cadute di tensioneLe tensioni del generatore sono fissate da esigenze costruttiveLe tensioni del carico sono fissate da esigenze d’uso e di sicurezzaI trasformatori reali utilizzati sono dispositivi ad altissimo rendimento energetico ( > 99 %)
Tor Vergata
M. Salerno 3Trifase
Sistema monofase
Trasmissione dell’energia elettrica
Vg
+carico
Vg
+carico
Vg
+carico
RR
RR
RR
Ieff
Ieff
Ieff
Potenza attiva totale utile (RC resistenza di carico)
PaC = 3 RC Ieff2
Potenza attiva totale dissipata (R resistenza di un conduttore di linea) PaL = 6 R Ieff
2
Conduttore comune ai tre circuiti
FASE A
FASE B
FASE C
NEUTRO
Notazione: FASE A FASE B FASE C NEUTRO
Sistema trifase a quattro fili
Correnti e tensioni di fase
IA
IB
IC
VgA
VgB
VgC
Moduli: IA = IB = IC (= I )[ IeffA = IeffB = IeffC (= Ieff ) ]
Corrente di neutro: IN = IA + IB + IC
IN
Circuito trifase equilibrato IN = IA + IB + IC = 0
IA
IB IC
= 0
PaC = 3 RC Ieff2 ; PaL = 3 R Ieff
2
A parità di potenza utile, in un sistema trifase equilibrato è dissipata metà potenza in linea rispetto a un sistema monofase
Poiché IN = 0 , il conduttore di neutro in linea può essere eliminato
Sistema trifase a tre fili
Tor Vergata
M. Salerno 4Trifase
Sistemi trifaseSistema trifase di trasmissione dell’energia elettrica
A
B
C
linea trifase a tre fili
IA
IB
IC
generatore trifase
carico trifase
EA
EBEC
+
++
Ng
Generatore in connessione a stella
Ng neutro del
generatore
EA , EB , EC tensioni stellate EA
EB EC
Ng
A
BC
sistema trifase simmetrico
Nc neutro del
carico
ZCZB
ZA
Nc
Carico in connessione a stella
ZCAZAB
ZBC
Carico in connessione a
triangolo
VAB
VBC
VCA
+
+
+
Generatore in connessione a
triangolo
VAB , VBC , VCA tensioni
concatenate
VAB
VBC
VCA
VAB = VBC = VCA = V
EA = EB = EC = E
V = 3 E
Tor Vergata
M. Salerno 5Trifase
Trasformatore trifaseA
B
C
generatore trifase
carico trifase
A’
B’
C’
Tre trasformatori identici di rapporto
m:n
V1
V2
m:n
V1 V2
+ + EA
EB
EC
A
BC
A’
B’C’EA = EB = EC = E
EA’ = EB’ = EC’ = E’
E / E’ = m / n
Y - YConnessione stella / stella
Connessione stella / triangolo
Y -
VA’B’ = VB’C’ = VC’A’ = V’
E / V’ = m / n
E / E’ = 3 m / n
EA = EB = EC = E
EA
EB
EC
A
BC
A’
B’C’
Connessione triangolo / triangolo
-
VA’B’ = VB’C’ = VC’A’ = V’
V / V’ = m / n
E / E’ = m / n
VAB = VBC = VCA = V
B
EA
EB
EC
A
C
A’
B’C’
Connessione triangolo / stella
- Y
EA’ = EB’ = EC’ = E’
V / E’ = m / n
E / E’ = m /( 3 n)
VAB = VBC = VCA = V
B
EA
EB
EC
A
C
A’
B’
C’
Tor Vergata
M. Salerno 6Trifase
Autotrasformatore monofase
Autotrasformatore trifaseA
B
C
generatore trifase
carico trifase
m:n
V1 V2
+ + V2 / V1 = n / m
Vb = Va (m+n) / m
Va Vb
Va = V1
Vb = V1 + V2
m:n
V1 V2
+ + V2 / V1 = n / m
Va Vb
Va = V1
Vb = V1 - V2
Vb = Va (m-n) / m
L’autotrasformatore è conveniente per rapporti di trasformazione (m+n)/m non molto diversi da uno (m > n).
Per contro, i circuiti primario e secondario non sono disaccoppiati, ma hanno un terminale in comune
A’
B’
C’
E’ = E (m+n) / m
Tor Vergata
M. Salerno 7Trifase
Esempio
Trasmissione e distribuzioneComponenti e simbologia
380 kV132 kV20 kV
380 V
trasmissione in AT
distribuzione in ATdistribuzione in MT
distribuzione in BT
AT : alta tensione; MT : media tensione; BT : bassa tensione
linee trifasi: tensioni concatenatevalori efficaci
Autotrasformatoretrifase 380 / 132 kV
Trasformatore trifase 132 / 20 kV Trasformatore trifase
20 / 0.38 kV
utenti380 V
20 kV
132 kV
380 kV
La rete di trasmissione in AT è alimentata da un insieme di generatori trifase (alternatori), per mezzo di trasformatori elevatori di tensione
Le reti di trasmissione e distribuzione sono realizzate in modo da permettere connessioni multiple o di emergenza.Componenti specifici (interruttori, sezionatori) permettono di connettere o disconnettere sezioni di rete in AT, MT e BT.
Organi particolari permettono di compensare le cadute di tensione in linea, per garantire la costanza della tensione d’utente entro i margini consentiti.Condensatori di rifasamento sono inseribili in vari punti critici della rete.
La frequenza dell’intero sistema è fissa ( p. es. 50 Hz in Italia, 60 Hz negli U.S.A. )
La rete di distribuzione in BT è di norma trifase a quattro fili.
Le utenze in BT si distinguono in utenze trifase (laboratori, officine, ecc.) e utenze monofase (utenze domestiche)
Sono in esercizio due sistemi standard:
Sistema 380 Veff concatenata / 220 Veff stellata (220 380 /1.73) : alle utenze monofase è assegnata la tensione stellata a 220 Veff (fra una fase e il neutro)
Sistema 220 Veff concatenata / 127 Veff stellata (127 220 /1.73) : alle utenze monofase è assegnata la tensione concatenata a 220 Veff (fra due fasi) e (eventualmente) la tensione stellata a 127 Veff (fra una fase e il neutro)Il sistema 220 / 127 è in fase di dismissione
Tor Vergata
M. Salerno 8Trifase
Sistemi trifase: notazioniA
B
C
generatore trifase
carico trifase
VAB
VBC
+
+ VCA+
tensioni concatenate : Vhk , con hk = AB, BC, CA
Vhk = 0 (somma per tutte le possibili coppie hk)
N
EA+
+
+
EB
EC
tensioni stellate : Ek , con k = A, B, C
Vhk = Eh - Ek , per ogni hk
IA
IB
IC
correnti di fase : Ik , con k = A, B, C
Ik = 0 (somma per tutti i k) : trifase a tre fili
Ik = IN (somma per tutti i k) : trifase a quattro
fili
IN
Tor Vergata
M. Salerno 9Trifase
Sistema trifase a tre filiA
B
C
generatore trifase
ZCZB
ZA
Identificazione del sistemaMisura delle ampiezze(o dei valori efficaci)
delle tensioni concatenateVAB , VBC , VCA
VCA
VBC
VAB
VCA
VBC
VAB
B
C A
Identificazione delle tensioni stellate EA , EB , EC
Si scelga un punto arbitrario nel piano dei fasori, come punto neutro Ng dei generatori(si può scegliere uno dei centri del triangolo delle tensioni concatenate)(si può anche scegliere uno dei punti A, B, C)
VCA
VBC VAB
B
C A
Identificati i fasori VAB , VBC , VCAIdentificati i fasori EA , EB , EC
EC
EB
EA
B
C A
Ng
EA
EBEC
+
++
Ng
Scelte arbitrarie nella identificazione dei fasori delle tensioni stellate
I fasori delle tensioni sono identificati a meno
di una arbitraria rotazione di fase
EC
EB
EA
B
C
A Ng
Sequenza diretta
delle fasi
A B
C
EC
EB
EA
B
C A
NgEC
EB
EA
B
C A
NgSequenza inversa
delle fasi
A
B
C rotazione arbitraria di fase
ordine della sequenza delle fasi (diretta o inversa)
posizione del neutro dei generatori nel piano dei fasori
Ng
Calcolo delle tensioni sul carico
Yk = 1 / Zk ammettenze di carico
NC neutro del carico
NC
Yk (ENc -Ek) = 0
ENc = Y
k
YkEk
ENc tensione del neutro del carico
rispetto al neutro dei generatori
ENc+
B
C A
Ng
NC
ENc
EC
EB
EA
Dato il triangolo ABC, la posizione del punto NC è invariante rispetto alla scelta arbitraria del punto Ng Infatti, per ogni Ex, si ha:
Ex
Ex arbitrario
Ek = Ex + E’k , k = A, B, C E’B
E’C E’A
ENc = [Yk(Ex+E’k)]/( Yk) =Ex+ Yk E’k/( Yk) =Ex + E’Nc
E’Nc
B
C A
Ng
NC
ENc
EC
EB
EA
EZb
EZc
EZa
EZk ZK
NC
+
EZk = Ek - ENc
Calcolo delle correnti di fase e della potenza assorbita dal carico
Ik = Yk EZk k = A , B , C
IA
IB
IC
Pa = k Re [Yk] Eeff Zk2
Qk = - k Im [Yk] Eeff Zk2
potenza attiva totale
potenza reattiva totale
ENc = 0
Condizioni di equilibrio e simmetria
YA = YB = YC = Y
condizioni di equilibrio ENc = (EA+EB+EC) / 3
EA + EB + EC = 0condizioni di
simmetria
B
C A
EC = EZc EA = EZa
ENc = 0
VAB = VBC = VCA
NC
Ng
EB = EZb
sistema trifase simmetrico ed equilibrato
Tor Vergata
M. Salerno 10Trifase
EA
EBEC
+
++ZCZB
ZA
carico a stella
EA
EBEC
+
++
carico a triangolo
ZAB
ZBC
ZCA
Trasformazione stella triangolo
ENc +
ENc = [YkEk ] / Yk
Yk= 1 / Zk ;Yhk= 1 / Zhk
Si ponga EB = EC = 0 (generatori di tensione disattivati)
Calcolo di IB
IB IB
IB = YAB EA
in ZBC non scorre corrente, perché ZBC è in corto circuito
ENc = [YA/ Yk ] EA IB = YB ENc = [YAYB/ Yk ]
EA
EA
EB = 0EC= 0
+EA
EB = 0EC= 0
+
YAB = YAYB/ Yk
YBC = YBYC/ Yk per rotazione degli indici YCA = YCYA/ Yk
Yhk= 1 / Zhk
ZCZB
ZA
carico a stella
A
B
C carico a triangolo
ZAB
ZBC
ZCA
A
B C
Yk= 1 / Zk
YAB = YAYB/ Yk
YBC = YBYC/ Yk
YCA = YCYA/ Yk ZA = ZABZCA/ Zhk
ZB = ZABZBC/ Zhk
ZC = ZBCZCA/ Zhk
Trasformazione inversaZAB = Yk / YAYB
ZCA = Yk / YCYA
ZBC = Yk / YBYC Zhk = Yk [1/(YAYB )+1/(YBYC ) +1/(YCYA )] = [ Yk /(YAYB )] [1+ YA /YC + YB /YC]Sommando membro a membro
= ZAB [(YA+YB+YC ) / YC ] = ZAB [Yk / (YCYA )] YA = ZAB ZCA YA
ZA = ZAB ZCA Zhk ZB = ZAB ZBC Zhk ZC = ZBC ZCA Zhk
per rotazione degli indici
Tor Vergata
M. Salerno 11Trifase
Ipotesi: Le impedenze Zhk (espresse in forma polare) hanno tutte lo stesso argomento
Stella / triangolo: proprietà
ZCZB
ZA
carico a stella
A
B
C carico a triangolo
ZAB
ZBC
ZCA
A
B C
ZA = ZABZCA/ Zhk
ZB = ZABZBC/ Zhk
ZC = ZBCZCA/ Zhk
ZAB= |ZAB | e j ; ZBC= |ZBC | e j ; ZCA= |ZCA | e j
ZA = |ZAB | e j|ZCA | e j/ |Zhk | e j= [ |ZAB ||ZCA |/ |Zhk | ]e jZB = |ZAB | e j|ZBC | e j/ |Zhk | e j= [ |ZAB ||ZBC |/ |Zhk | ]e jZC = |ZBC | e j|ZCA | e j/ |Zhk | e j= [ |ZBC ||ZCA |/ |Zhk | ]e j
Allora: Anche le impedenze Zk (espresse in forma polare) hanno tutte lo stesso argomento
YAB = YAYB/ Yk
YBC = YBYC/ Yk
YCA = YCYA/ Yk
Yhk= 1 / Zhk = 1 / [|Zhk | e j] = |Yhk | e –j ; Yk= 1 / Zk = 1 / [|Zk | e j] = |Yk | e –
j
YA= |YA | e –j ; YB= |YB | e –j ; YC= |YC | e –j
Le impedenze Zk (espresse in forma polare) hanno tutte lo stesso argomento
YAB = |YA | e –j|YB | e –j/ |Yk | e –j= [ |YA ||YB |/ |Yk | ]e –j
YBC = |YB | e –j|YC | e –j/ |Yk | e –j= [ |YB ||YC |/ |Yk | ]e –j
YCA = |YC | e –j|YA | e –j/ |Yk | e –j= [ |YC ||YA |/ |Yk | ]e –j
Allora: Anche le impedenze Zhk (espresse in forma polare) hanno tutte lo stesso argomento
stella di impedenze Zk con lo stesso argomento
triangolo di impedenze Zhk con lo stesso argomento
stella di resistori triangolo di resistori
stella di induttori triangolo di induttori
stella di condensatori triangolo di condensatori
Casi particolari
C
B
A
C
B
A
Esempio
R+jX
Xhk / Rhk = c
le impedenze del triangolo devono
avere la stessa fase = atan ( c )
Rhk +j Xhk = Rhk(1 +j Xhk /Rhk ) = Rhk(1 +j c )
ZA = ZAB ZCA Zhk= ( RAB +j XAB ) (RCA +j XCA ) ( RAB +j XAB +RBC +j XBC + RCA +j XCA )
= RAB (1 +j c ) RCA (1 +j c ) RAB (1 +j c ) + RBC (1 +j c ) + RCA (1 +j c )
= RAB RCA (RAB + RBC + RCA )(1 +j c ) ZA è una impedenza RL serie con fase = atan ( c )
analogamente
ZB = RAB RBC (RAB + RBC + RCA )(1 +j c )
ZC = RBC RCA (RAB + RBC + RCA )(1 +j c )
R+jX
Xk / Rk = c
le impedenze della stella devono avere
la stessa fase = atan ( c )
Yk = 1/( Rk +j Xk ) = ( Rk - j Xk ) / ( Rk2
+ Xk2) = Rk( 1 - j Xk / Rk ) / ( Rk
2 + Xk
2) = Gk (1 - j c ) ;
Gk = Rk / ( Rk2
+ Xk2)
YAB = YA YB Yk= GA (1 -j c ) GB (1 -j c ) GA (1 -j c ) + GB (1 -j c ) + GC (1 -j c )
= GA GB ( GA + GB + GC )(1 - j c ) ZAB = 1/YAB è una impedenza RL serie con fase = atan ( c )
analogamente
YBC = GB GC ( GA + GB + GC )(1 - j c )
YCA = GC GA ( GA + GB + GC )(1 - j c )
Tor Vergata
M. Salerno 12Trifase
= e j2/3
fattore di rotazione antioraria di 120°
1
Sistema trifase simmetrico ed equilibrato
3 = 1 ; = -2 ; 2 = -1
+ + 2 = 0
Proprietà elementari di
1
D ID
D I
I
Terna simmetrica diretta
Terna simmetrica inversa 1
2 3
1
2 3
D1
2
3 I1
2
3
{D , D, D2}
{I , I-1, I-2}
{I , I2, I}
A
BC
generatore trifase
carico trifase
Un sistema trifase si dice simmetrico, se le tensioni formano una terna simmetrica (la simmetria dipende dal generatore trifase)
Un sistema trifase si dice equilibrato, se le correnti formano una terna simmetrica (l’equilibrio dipende dal carico trifase)
Carichi fortemente squilibrati possono provocare dissimetrie nelle tensioni, a causa di cadute di tensione dissimmetriche in linea
EA
EB
EC
IA
IB
IC
angolo di sfasamento fra tensione e corrente (uguale per le tre fasi)
t
terna trifase 2/3
somma = 0 per ogni t
Tor Vergata
M. Salerno 13Trifase
p = vAC iA + vBC iB Pc = ½ [VAC IA* + VBC IB* ]
potenza assorbita dal carico
potenza istantanea potenza complessa
Sistema trifase a tre fili
iA + iB + iC = 0
Potenza nei sistemi trifasegeneratore
trifasecarico trifase
A
B
C
iA
iB
iC
p(t) = vAC(t) iA(t) + vBC(t) iB(t) Pc = ½ [VAC IA* + VBC IB* ]
p(t) = ek(t) ik(t) Pc = ½ Ek Ik*
p = (eA - eC) iA + (eB - eC) iB
= eA iA + eB iB - eC (iA + iB)
Pc = ½ [(EA - EC) IA* + (EB – EC) IB*]
= ½ [EA IA* + EB IB* - EC (IA* + IB*)]
p = eA iA + eB iB + eC iC Pc = ½ [ EA IA* + EB IB* + EC IC*]
vBC
vAC+
+
N
eA+
+
+
eB
eC
vAC = eA - eC
vBC = eB - eC
Neutro a potenziale arbitrario
iC = -(iA + iB)
potenza attiva potenza reattiva
Pa = ½ Re[VAC IA* + VBC IB*] Q = ½ Im[VAC IA* + VBC IB*]
Pa = ½ Re[ Ek Ik*] Q = ½ Im[ Ek Ik*]
Espressioni valide per ogni sistema trifase a tre fili. Le
tensioni stellate possono essere riferite a un neutro (reale o
fittizio), a potenziale arbitrario
Sistema trifase a quattro fili
iA + iB + iC = iN
generatore trifase
carico trifase
A
B
C
iA
iB
iC
N
eA+
+
+
eB
eC Neutro a potenziale fissatoiN
Espressioni valide per ogni sistema trifase a quattro fili. Le tensioni stellate sono riferite al
potenziale del neutro
Sistema trifase a tre fili simmetrico ed equilibrato
iA + iB + iC = 0
generatore trifase
carico trifase
A
B
C
iA
iB
iC
N
eA+
+
+
eB
eC
Neutro riferito al centro stella
eA + eB + eC = 0
potenza istantanea assorbita dal carico E I p(t) = ek(t) ik(t)
p(t) = ¼ [ Eke jt + Ek*e- jt ] [ Ike jt + Ik*e- jt ] = = ¼ [ Ek Ik*+Ek*Ik ] + ¼ [ Ek Ik e j2t+Ek*Ik*e- j2t ] =
= ½ Re[ Ek Ik*] + ½ Re[ Ek Ik e j2t ] =
EA = E ; EB = E ; EC = E 2
IA = I ; IB = I ; IC = I 2
= (3/2) Re[E I*] + ½ Re[ E I e j2t (1+ 2 + 4)] = 1+ 2 + 4 = 1+ + 2 = 0
= (3/2) Re[E I*]
= (3/2) Re[E I*]
= Pa = 3 Eeff Ieff cos
La potenza istantanea trasferita da un sistema trifase
simmetrico ed equilibrato è costante nel tempo ed è pari
alla potenza attiva
t
potenza istantanea
la somma dei termini variabili è nulla
Pa = p(t) = 3 Eeff Ieff cos p. attiva
Q = 3 Eeff Ieff sin p. reattiva
La proprietà di trasferire potenza istantanea costante, nei sistemi trifase a tre fili simmetrici ed equilibrati, non è legata alla scelta del neutro al centro stella del triangolo
delle tensioni. Le condizioni per il trasferimento di potenza istantanea costante sono: triangolo delle tensioni concatenate equilatero (sistema simmetrico),
triangolo delle correnti di linea equilatero (sistema equilibrato)
generatore trifase
carico trifase
A
B
C
iA
iB
iC
vAC+
+ vBC
potenza istantanea assorbita dal carico (verifica)
IA IB
VAC
VBC
Sistema trifase a tre fili simmetrico ed equilibrato
VAC = V ; VBC = V ½
IA = I ; IB = I
p(t) = vAC (t) iA(t) + vBC (t) iB(t)
= ½ Re[VAC IA* + VBC IB*] + ½ Re [ VAC IA e j2t + VBC IB e j2t ] =
p(t) = ¼ [ VAC e jt+VAC*e- jt ] [ IA e jt+IA*e- jt ] + ¼ [ VBC e jt+VBC*e- jt ] [ IB e jt+IB*e- jt ]
VAC = V ; VBC = V ½
IA = I ; IB = I = Pa + ½ Re [( V I + V ½ I ) e j2t ] =
= Pa + ½ Re [V I (1+ 3/2) e j2t ] = = Pa 3/2 = e j = -1
= Pa = ½ Re[VAC IA* + VBC IB*]
La potenza istantanea è costante e pari alla
potenza attiva
p(t) = Pa + ½ Re [V I (1+ 3/2) e j2t] = Pa
t
potenza istantanea
la somma dei termini variabili è nulla
Tor Vergata
M. Salerno 14Trifase
Componenti simmetricheUna generica terna di vettori { V 1 , V 2 , V3 } è pari alla somma di una terna di vettori identici {M , M , M } , una terna simmetrica diretta { D , D , D 2 } e una terna simmetrica inversa {I , I 2, I }
[ V 1 V 2 V3 ] = [M M M ] + [D D D 2] + [I I 2 I ]
V 1 , V 2 , V3 termini noti
M , D , I incognite
M + D + I = V 1
M + D 2 + I = V3
M + D + I 2 = V2
1 1 1 1 1 13 0 0 1 2
1 2 0 0 1 2 1 20 0 3
si dimostra che1 1 1 1 1 11 2
= 1 2 1 2 1 2
1
3
-1
pertanto
soluzioneM = (V 1 + V 2 + V 3 ) / 3
I = (V 1 + V 2 + V 3 2 ) / 3D = (V 1 + V 2 2 + V 3 ) / 3
[ V 1 V 2 V3 ] = = [M M M ] + + [D D D 2] + + [I I 2 I ]
M = (V 1 + V 2 + V 3 ) / 3
I = (V 1 + V 2 + V 3 2 ) / 3D = (V 1 + V 2 2 + V 3 ) / 3
Esempio
V 1
V 2
V 3
V 1 + V 2 +
V3
V 1
V 2
V 3
3M
M
V 1 + V 2 2 + V3
V 1
V 2
V 3 3D
3D
V 1
V 2
V 1 + V 2 + V3 2
V 3
3I
I
In questo esempio, la componente I è prevalente rispetto alle componenti D e M . Ciò può essere giustificato intuitivamente osservando che la terna V1 , V2 , V3 è “simile” a una terna simmetrica inversa (i vettori hanno quasi le stesse ampiezze, la sequenza delle fasi è di verso orario). In generale, il grado di dissimetria di una terna di vettori può essere posto uguale a |I | / |D | , se |I | < |D | , ovvero |D | / |I | , se |I | > |D |
Proprietà elementariV 1 + V 2 + V 3 = 0 M = 0
V 1 V 2 V3 M D I
grado didissimmetria 0%
V V V 2 0 V
0 V +C V +C V 2 +C C V 0
grado didissimmetria 0%
V V 2 V 0 0
V
V +C V 2+C V +C C 0 V grado di
dissimmetria 100% 3V 0 0 V V
V
Tor Vergata
M. Salerno 15Trifase
EA
EB EC
A
B C
generatore trifase
carico trifase
A
B
C
IA
IB
IC
N
EA+
+
+
EB
EC
Trifase a tre fili
Suddivisione di un sistema trifase
Suddivisione della terna delle tensioni stellate nelle componenti simmetricheEM = (EA + EB + EC ) / 3 terna monofase
EI = (EA + EB + EC 2 ) / 3 terna simmetrica inversa
ED = (EA + EB 2 + EC ) / 3 terna simmetrica diretta
EM , ED , EI
Le terne simmetriche diretta ED e inversa EI delle tensioni stellate sono invarianti rispetto alla
scelta della tensione del neutro. Infatti, per ogni Ex , si ha Ek = E’k + Ex , con k = A , B , C
E’A
E’C E’B
Ex
EM = [(E’A + Ex ) + (E’B + Ex ) + (E’C + Ex )] / 3 = [E’A + E’B + E’C ] / 3 + Ex = E’M + ExEI = [(E’A + Ex ) + (E’B + Ex ) + (E’C + Ex ) 2] / 3 = [E’A + E’B + E’C 2] / 3 = E’I
ED = [(E’A + Ex ) + (E’B + Ex ) 2 + (E’C + Ex )] / 3 = [E’A + E’B 2 + E’C ] / 3 = E’D
EM = E’M + Ex
ED =
E’DEI =
E’I
Per ogni Ex
IA
IB IC
Suddivisione della terna delle correnti nelle componenti simmetriche
IM = (IA + IB + IC ) / 3 terna monofase
II = (IA + IB + IC 2 ) / 3 terna simmetrica inversa
ID = (IA + IB 2 + IC ) / 3 terna simmetrica diretta Sistema trifase a tre fili IA + IB + IC = 0
Ik = 0
IM = 0
ID , II
Potenza complessa trasferita al caricoPc = ½ Ek Ik*
IA = ID + II IB = ID + II 2
IC = ID 2 + II
EA = EM + ED + EIEB = EM + ED + EI 2
EC = EM + ED 2 + EI = ½ (EM + ED + EI) (ID + II)* +
½ (EM + ED + EI 2) (ID + II 2)* +
½ (EM + ED 2 + EI ) (ID 2 + II )*
EM [ID (1 + + 2) + II (1 + 2 + )] *= 0Termini contenenti EM
ED II* + EI ID* + ED II* -2 + EI 2 ID* -1 +
+ ED 2 II* -1 + EI ID* -2 =
= ED II* (1 + –1 + ) + EI ID* (1 + 1 + -1) = 0
Termini misti contenenti ED II* oppure EI ID* Alla potenza complessa contribuiscono solo i termini contenenti ED ID* e EI II*
Termini relativi al sistema trifase simmetrico diretto
ED ID* + ED ID* -1 + ED 2 ID* -2 = 3 ED ID*
Termini relativi al sistema trifase simmetrico inverso
EI II* + EI 2 II* -2 + EI II* -1 = 3 EI II*
Pc = ½ Ek Ik* = 3/2 (ED ID* + EI II* )
La potenza complessa (e le potenze attiva e reattiva) è trasferite al carico come se i sistemi trifase simmetrici, diretto e inverso, agissero indipendentemente
Pc = ½ Ek Ik* = 3/2 (ED ID* + EI II* )
Nei sistemi trifase a tre fili, il termine monofase delle tensioni non contribuisce al trasferimento della potenza complessa
L’espressione della potenza complessa non dipenda dalla posizione del centro stella nel triangolo delle tensioni
La potenza istantanea, in presenza simultanea delle componenti diretta e inversa, non è costante nel tempo
Tor Vergata
M. Salerno 16Trifase
Da sistema trifase diretto a inversoTrasformazione di un sistema trifase simmetrico diretto
in un sistema trifase simmetrico inverso (e viceversa)
generatore trifase
carico trifase
A
B
C
A B C simmetrico direttoA’
B’
C’A’B’C’ simmetrico inverso
(e viceversa)
L’inversione può avvenire su una qualunque coppia di conduttori
Il carattere diretto o inverso di un sistema trifase non è una caratteristica intrinseca, ma un modo di ordinare la sequenza delle fasi.
Se il sistema trifase ABC è non simmetrico, con componenti simmetriche D e I , anche il sistema A’B’C’ è non simmetrico con componenti D’ = I e I’ = D
Tor Vergata
M. Salerno 17Trifase
Da sistema monofase a trifasegeneratore monofase carico
trifase
1
2
3
In molte applicazioni può essere necessario alimentare un carico trifase, pur disponendo di un generatore monofase
Esempio tipico: alimentazione di un motore trifase da parte di una utenza monofase
Attenzione! la fase 3 deve essere alimentata per non danneggiare il carico
Il circuito di alimentazione della fase 3 dipende dal circuito di carico
Caso tipico: carico a stella di tipo RL
generatore monofase
1
2
3
Ipotesi: le tre impedenze di carico uguali e pari a R+jX
R+jX
la terza fase è alimentata tramite un condensatore CC
Tensioni stellate: Ek
Correnti di fase: Ik
I1
I2
I3
Ek = (R+jX) Ik
V23
+Tensione condensatore: V 23 = E 2 – E 3
Suscettanza condensatore: B = CjB
I 3 = jB V 23
Calcolo della suscettanza B e caratterizzazione del sistema trifase
V23
normalizzazione : V23= -1 ; R = 1
tensionicorrenti
I3 = jB V23 = - jB
V23 I3
I3
Ek = (1 + jX) Ik
E3 = (1 + jX) I3 = (1 + jX)(- jB) = XB - jB
R I3
jX I3
E3
E3
; E3 = XB - jB
2 3
E2 E2 = V23 + E3 = -1 + XB - jB
I2
I2 = E2 /(1 + jX) ; E2 = -1 + XB - jB
I1 + I2 + I3 = 0Il sistema trifase 123 è a tre fili; pertanto
Moltiplicando per 1+jX
(1+jX) I1 + (1+jX) I2 + (1+jX) I3 = 0
Quindi E1 + E2 + E3 = 0
E1 = – E2 – E3 = 1 – 2XB + j 2B
1
E1
I1
I1 = E1 /(1 + jX) ; E1 = 1 – 2XB + j 2B
Componenti simmetriche :
3D = E1 + E2 2 + E3 ; 3I = E1 + E2 + E3 2
Per semplificare i calcoli, si ricordi che D non varia se si aggiunge un arbitrario vettore costante alle tensioni Ek Si ponga E’k = Ek – XB+jB
E’1 = 1 - 3XB+j3B ; E’2 = - 1 ; E’3 = 0
E1 = 1 – 2XB + j2B ; E2 = -1 + XB - jB ; E3 = XB - jBE’1 = 1 - 3XB + j3B ; E’2 = - 1 ; E’3 = 0
Componenti simmetriche :3D = E’1 + E’2 2 ; 3I = E’1 + E2’
= - ½ + j 3½ /2 ; 2 = - ½ - j 3½ /2
3D = (1–3XB+j3B) – (–½+j3½/2) = 3/2–3XB + j(3B+3½/2)
3I = (1–3XB+j3B) – (–½–j3½/2) = 3/2–3XB + j(3B–3½/2)
D = ½ – XB + j(B + 3½/6)
I = ½ – XB + j(B – 3½/6)
D = ½ – XB + j(B + 3½/6)I = ½ – XB + j(B – 3½/6)
Componenti simmetriche
Grado di dissimmetria
G =
|½ – XB + j(B + 3½/6)||½ – XB + j(B – 3½/6)|
Grado di dissimmetria G =
|½ – XB + j(B + 3½/6)||½ – XB + j(B – 3½/6)|
Per ogni X (reattanza normalizzata del carico) esiste un valore di B che rende minimo il grado di dissimmetria
X B G
0 .58 58% .3 .55 47% .6 .50 36% .9 .43 25%1.2 .37 15%1.5 .32 6%1.8 .28 2%
Si ottiene G = 0 per X = 3½ = 1.73 e B = 3½/6= 0.29
V23 2 3
1
E2 E3
E1
I3
I1 I2
tensionicorrenti
X = 1.73;B = 0.29G = 0
Esempio
Pa = 2200 W ; Eeff = 127 V ; X = 0.3 R
f = 50 Hz ; = 314 rad/sdati
Pa = 3 Eeff 2 /R ; R = 3 Eeff
2 / Pa = 22 B = .55 / R ; C = .55 / ( R) = 79.6 F
valori denormalizzati
Tor Vergata
M. Salerno 18Trifase
Normalizzazione
R L CZ = R Z = j L Y = j C
Re[Z] = R Im[Z] = 0
Re[Z] = 0 Im[Z] = L
Re[Y] = 0 Im[Y] = C
|Z| = R Arg[Z] = 0
|Z| = L Arg[Z] = /2
|Z| = 1/ L Arg[Z] = -/2
forma cartesiana
forma polare
normalizzazionedi frequenza
Re[Z] = 0 Im[Z] = -1/ C